Im Freizeitpark€¦ · Thema Trigonometrie Kontexte t Kernfragen t Kernideen In der Trigonometrie...

Im Freizeitpark – Mit Längen und Winkeln rechnen

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Didaktischer Hintergrund zum Kapitel..............................................................ab Seite 2

Einstieg.............................................................................................................ab Seite 6

Erkunden...........................................................................................................ab Seite 8

Ordnen..............................................................................................................ab Seite 13

Vertiefen...........................................................................................................ab Seite 17

Checkliste..........................................................................................................ab Seite 30

Digitale Angebote für dieses Kapitel.................................................................ab Seite 33

Herausgegeben von: Autoren: Redaktion:

Susanne Prediger

Bärbel Barzel

Stephan Hußmann

Timo Leuders

Stephan Hußmann

Heinz Laakmann

Udo Mühlenfeld

Conny Witzmann

Raja Herold-Blasius

© 2018 Kosima-Projekt: Zitierbar als Hußmann, S.; Laakmann, S.; Mühlenfeld, U. & Witzmann, C. (2018): Im Freizeitpark – Mit Längen und Winkeln rechnen. In: Prediger, S., Barzel, B., Hußmann, S. & Leuders, T. (Hrsg.): Handreichungen zur Mathewerkstatt 10. Dortmund/ Freiburg/ Essen: Kosima. Online unter www.ko-si-ma.de © 2018 Cornelsen Schulverlage GmbH, Berlin: Das Copyright gilt für alle dargestellten Seiten und Auszüge von Seiten des Schülerbuches und des Materialblocks der mathewerkstatt; Rechteinhaber und Bildquellen sind in den entsprechenden Bildnachweisen dieser Produkte ausgewiesen.


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Titel Im Freizeitpark – Mit Längen und Winkeln rechnen Thema Trigonometrie Kontexte – Kernfragen – Kernideen In der Trigonometrie als Teilgebiet der Geometrie fließen sowohl geometrische Konzepte wie Ähnlichkeit oder Strahlensät-ze als auch funktionale Zusammenhänge zusammen, die durch das Spiralprinzip immer wieder in der Sekundarstufe thema-tisiert und erweitert wurden. In Klasse 10 münden diese in die Bestimmung und Berechnung von Seiten und Winkeln durch funktionale Zusammenhänge in rechtwinkligen Dreiecken. Nach der Verinnerlichung der Zusammenhänge Sinus, Kosinus und Tangens machen die Lernenden die Entdeckung, dass der Sinus-Zusammenhang auf Kreisbewegungen im Einheitskreis übertragen werden kann. Mit Verknüpfung der funktiona-len Perspektive werden diese Bewegungen in ein Koordinatensystem übertragen, sodass der Zusammenhang der Sinusfunk-tion sichtbar gemacht wird. In Freizeitparks gibt es verschiedene Attraktionen, bei deren Konstruktion die Trigonometrie mit einbezogen werden muss, um Höhen, Steigungen und Gefälle zu berechnen und zu planen. Im Kontext von verschiedenen Achterbahnen erkunden die Lernenden die Zusammenhänge zwischen Höhe, Länge der Fahrstrecke, Bodenlänge und Steigung, um diese mit den Sei-tenverhältnissen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken in Verbindung zu setzen. Die Zuordnung eines Winkels zu ei-nem bestimmten Seitenverhältnis im Dreieck ist dabei wesentlich. Am Beispiel des Riesenrads, das sich wiederholt dreht, werden Kreisbewegungen am Einheitskreis thematisiert. Dabei kön-nen die Lernenden ihre Erfahrungen beim Riesenradfahren miteinbeziehen, dass sich der Höhenunterschied verschieden stark verändert, was dann in der Sinusfunktion und deren Graphen mathematisch deutlich wird.

Kernfrage A: Wie kann ich Steigung in Dreiecken bestimmen? Bei der Untersuchung verschiedener Achterbahnen und ihrer Höhe oder Steilheit entdecken die Lernenden in E1 und E2, dass die Steilheit von Achterbahnen nicht von der Höhe, sondern den Seitenverhältnissen, also der Steigung abhängig ist. Mit dieser Erkenntnis werden im Laufe der Etappe (E3|E3, O2|O2, E4|E4, O3, E5|E5, O4|O4, E6, O5) die verschiedenen Seitenverhältnisse Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck eingeführt und mit ihnen fehlende Größen be-rechnet. Als besonders wichtig gilt dabei die Vernetzung der drei Zusammenhänge Sinus, Kosinus und Tangens, die am Ende der Etappe (E6) stattfindet. Kernfrage B: Wie kann ich Bewegungen mit Wiederholungen darstellen? In Bezug auf die Kreisbewegungen werden die zuvor erworbenen Kenntnisse auf rechtwinklige Dreiecke im Riesenrad übertragen (E7). Deren funktionaler Zusammenhang kann im Koordinatensystem dargestellt werden, sodass die Sinusfunk-tion eingeführt wird (O6). Kompetenzen K1: Ich kann die Steilheit von Achterbahnen rechnerisch vergleichen, wenn ich Höhe und Fahrstrecke kenne. K2: Ich kann in rechtwinkligen Dreiecken aus den Angaben einer Seitenlänge und einer weiteren Größe alle anderen Win-

kel und alle anderen Seitenlängen bestimmen. K3: Ich kann die Steigung in einem rechtwinkligen Dreieck als Winkel, Prozentangabe und als Verhältnis angeben. K4: Ich kann mit dem Taschenrechner zu einem vorgegebenen Winkel α die Werte sin α, cos α und tan α bestimmen und

umgekehrt aus diesen Werten den Winkel. K5: Ich kann aus der Angabe von Seitenlängen und Winkelmaßen die Fläche von Dreiecken und Vierecken berechnen. K6: Ich kann die Längen von Seiten- und Raumdiagonalen in Quadern berechnen und die Winkel dazwischen. K7: Ich kann in verschiedenen Situationen mit sin α, cos α und tan α weitere Werte berechnen. K8: Ich kann am Beispiel der Höhenveränderung in einem rechtwinkligen Dreieck erklären, was eine Sinusfunktion ist. K9: Ich kann Situationen benennen, die sich durch eine Sinusfunktion beschreiben lassen. Zusammenhang

Wurzeln und Irrationale Zahlen Zahl und Maß

Raum und Form

Daten und Zufall

Beziehung und Veränderung

Kl. 10 bis Kl. 8 Kl. 9

Maßstab Trigonometrie

Quadratische Funktionen

Dreiecke & Drei-eckskonstruktion Ähnlichkeit und

Skalierung

Strahlensatz & Pythagoras

funktionale Zusammenhänge

Flächeninhalt und Volumen


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Struktur ca. 3 Wochen

Einstieg: Eindenken in das Kontextthema „Längen und Winkel im Dreieck berechnen“

A Wie kann ich Steigung in Dreiecken bestimmen? E O

E1 Steigung/Winkel im Drei-eck durch Dreieckskon-struktion und Messen ermit-teln

O1 Konstruktion von recht-winkligen Dreiecken, Ein-führung der Fachbegriffe „Steigung“, „Gegenkathe-te“ und „Ankathete“ im Dreieck

V1,V2

V3,V4

Wiederholung von Stei-gung in Funktionen und Dreieckskonstruktion Seitenverhältnisse durch Dreieckskonstruktionen ermitteln

15 30

E2

E3|E3

E4|E4

Eigenschaften ähnlicher Dreiecke entdecken Berechnung von Seitenver-hältnissen im rechtwinkli-gen Dreieck (Gegenkathete & Hypotenuse) Zusammenhang Verhältnis und Winkel nutzen Funktionalen Zusammen-hang (Proportionalität) von Winkel und Verhältnis überprüfen

O2|O2

O3

Zusammenhang zwischen Seiten und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck verstehen Einführung „Sinus“ und Berechnung mit Taschen-rechner

V3c),V5

V6-V8

Steigung bestimmen (Si-nus) und Messungen mit Berechnungen vergleichen Sinusberechnungen & Ähnlichkeit der rechtwink-ligen Dreiecke

20 25

20

25

25

E5|E5 E6

Berechnung von Seitenver-hältnissen im rechtwinkli-gen Dreieck (Ankathete & Hypotenuse) Berechnung von Seitenver-hältnissen im rechtwinkli-gen Dreieck (Ankathete & Gegenkathete) Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus & Tangens erschließen

O4|O4 O5

Einführung „Kosinus“ und deren Berechnung Einführung „Tangens“ und Berechnung

V9

V10-V35, V13,V17, V22,V27,

V34

Steigung bestimmen (Ko-sinus) und mit Sinuswerten vergleichen Anwendung aller drei Zusammenhänge (Sinus, Kosinus & Tangens) in verschieden Kontexten

20 15

25 20

B Wie kann ich Bewegungen mit Wiederholungen darstellen? E O

E7 Rechtwinklige Dreiecke im Kreis erkennen und als funktionalen Zusammen-hang im Koordinatensystem darstellen

O6

Rechtwinklige Dreiecke im Einheitskreis untersuchen Einführung „Sinusfunkti-on“

V36-V38

V39-V43

Weitere Analyse von Zu-sammenhang Kreisbewe-gung - Sinusfunktion Anwendungsaufgaben Sinusfunktion in verschie-denen Kontexten

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Basisweg (bei Nutzung aller Basisaufgaben): Im Basisweg ist – unter Vorbehalt der Prüfung des Lehrplans – die Behandlung der Sinusfunktion kürzbar (E7, O6). E1 – O1 – V1-V3 – E2ab) – E3 – O2 – E4 – O3ad) – V6, V8 – E5 – O4 – E6 – O5abd) – V10, V11 – V13, V17, V22, V27, V34 Kurzweg (bei Nutzung aller Basisaufgaben): Phase der Dreieckskonstruktion und Messung kürzen (E1, E2, O1). Nicht alle, sondern gezielte Vertiefungsaufgaben aus dem Aufgabenpool wählen, die die Lernenden bearbeiten sollen.


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Intensivzugriff

Hintergrund Anknüpfend an das Vorwissen der vorherigen Schuljahre zu den Themen Dreiecke und Dreieckskonstruktion (Klasse 7), Ähnlichkeit, Strahlensätze (Klasse 9) und Funktionen (ab Klasse 5) entdecken die Lernenden im Kontext von Achterbahnen die Zusammenhänge zwi-schen Seitenverhältnissen und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken. Dabei entwickeln sie die Kompetenz, durch die Zusammenhänge im rechtwinkligen Dreieck Seiten und Winkel rechnerisch zu bestimmen. Das erworbene Wissen wird im Anschluss auf rechtwinklige Dreiecke im Einheitskreis übertragen und damit die Sinusfunktion in ihren zentralen Eigenschaften eingeführt. Etappe A: Wie kann ich Steigung in Dreiecken bestim-

men? Bevor auf die konkreten Konzepte von Sinus, Kosinus und Tangens, die den Zusammenhang von Seitenverhält-nissen und Winkeln im rechtwinkligen Dreieck darstel-len, eingegangen werden kann, müssen grundlegende Konzepte der Geometrie wie die Dreieckskonstruktion oder Ähnlichkeit wiederholt werden. Auch funktionale Zusammenhänge, wobei besonders die Änderung/ Stei-gung eine Rolle spielt, sollen an dieser Stelle in Erinne-rung gerufen werden. In E1, E2, O1 werden die Zusammenhänge von Winkeln und Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck anhand von Dreieckskonstruktionen und dem Messen am rechtwink-ligen Dreieck von den Lernenden abgeleitet und in Tabel-len festgehalten. Dies geschieht im Kontext der Steilheit von Achterbahnen. Die Tabellen sollen dazu dienen, dass im weiteren Verlauf immer wieder auf sie zurückgegriffen werden kann, um die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck mit der Winkelberechnung zu vernetzen. Die zentrale Zielper-spektive des Kapitels ist die Erkenntnis, dass gleiche Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck einem bestimmten Steigungswinkel im Dreieck entsprechen. Damit können Fehlvorstellungen wie z. B., dass in größe-ren Dreiecken auch die Winkel größer sind, aufgegriffen werden. Durch die bewusste Arbeit mit Ähnlichkeit von Dreiecken im Zusammenhang der Trigonometrie kann diesen Fehlvorstellungen entgegengewirkt werden (zum Beispiel in O2, O4).

Erst nach dem Aufbau des Verständnisses, dass die Ver-hältnisberechnung der Seiten der Winkelberechnung im rechtwinkligen Dreieck entspricht (E3), werden die Be-griffe Sinus, Kosinus und Tanges für die verschiedenen Seitenverhältnisse eingeführt. Dazu werden zunächst die Seitennamen im rechtwinkli-gen Dreieck geklärt (O1), um dann die Formeln für die Berechnung von Sinus, Kosinus und Tangens im Kontext herzuleiten.

Das erste Seitenverhältnis, das am rechtwinkligen Drei-eck herausgearbeitet wird, ist der Sinus-Zusammenhang (E3|E3, O2|O2, O3). Dabei wird aus der Erkenntnis, dass jedem Seitenverhältnis ein bestimmter Winkel zugeord-net werden kann, die Formel zur Sinus-Berechnung

sin α = GegenkatheteHypotenuse

abgeleitet.

Da es sich um einen funktionalen Zusammenhang han-delt, untersuchen die Lernenden den Sinus-Zusammenhang nach Proportionalität (E4|E4), wobei sie feststellen werden, dass zwischen den Seitenverhältnissen und den Winkeln kein proportionaler Zusammenhang vorliegt. An dieser Stelle kann eine Verknüpfung zu den zuvor angefertigten Tabellen stattfin-den. Das Prinzip der Seitenverhältnisse soll auch auf den Kosinus- und Tangens-Zusammenhang übertragen werden. Dazu werden zusätzlich das Verhält-nis von Bodenlänge und Fahrstrecke (Kosinus) (E5|E5) und von Höhe und Bodenlänge (Tangens) (E6) der Ach-terbahn betrachtet. Nach der Einführung der Formel

cos α = AnkatheteHypotenuse

soll die Aufmerksamkeit vor allem auf

den Zusammenhang von Sinus und Kosinus gelenkt wer-den, damit entdeckt werden kann, dass sich die beiden ergänzen (O4|O4). In Verbindung mit dem Steigungsdreieck linearer Funk-tionen wird zum Schluss der Tangens mit seiner Formel

tan α = GegenkatheteAnkathete

erarbeitet (O5), sodass für die Berech-

nung fehlender Größen zwischen den verschiedenen Zusammenhängen frei gewählt werden kann. Dahin-gehend werden auch die Zusammenhänge zwischen Si-nus, Kosinus und Tangens generell thematisiert, wozu immer wieder die Tabellen aus dem Erkunden hinzuge-zogen werden können. Ergänzt wird die Etappe durch einen umfangreichen Aufgaben-Pool, der neben vielen Anwendungs- und Sachaufgaben auch den Umgang mit dem Taschenrech-ner zur Berechnung der Winkel schult (V11-V14). Zusätz-lich wird die Trigonometrie im Zusammenhang mit dem


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Satz des Pythagoras (V15) oder zur Flächenberechnung (V18-V22) genutzt, sodass die Lernenden ihre neu erwor-benen Fertigkeiten mit vorherigen mathematischen The-men verknüpfen und ergänzen können.

Etappe B: Wie kann ich Bewegungen mit Wiederholun-

gen darstellen? In Etappe B findet eine Vernetzung der neu erworbenen Zusammenhänge mit sich wiederholenden Kreisbewe-gungen statt (E7, O6). Im Basisweg kann auf diese Etap-pe verzichtet werden, damit der Fokus auf Etappe A liegt und grundlegender bearbeitet wird. Im Kontext der Höhenveränderungen bei einer Fahrt in einem Riesenrad sollen Entdeckungen am Ein-heitskreis gemacht wer-den. Dazu werden recht-winklige Dreiecke im Einheitskreis gefunden und mithilfe des Sinus die verschiedenen Höhen berechnet. Diese werden zum einen in Zusammenhang mit der Zeit, die für eine Umdrehung benötigt wird, und zum anderen mit dem Winkel gebracht. Auf diese Weise entstehen funktionale Zusammenhänge, die in ein Koor-dinatensystem eingetragen und somit sichtbar gemacht werden können.

Damit wird am Ende von Etappe B als Verknüpfung von Werten im Einheitskreis und dem Koordinatensystem die Sinusfunktion eingeführt. Es geht dabei aber nicht nur um die Zuordnung der Werte, sondern auch um die Funk-tion, die als Ganzes betrachtet werden soll. Dazu regen vor allem die Vertiefungsaufgaben in verschiedenen Situationen an. Differenzierung mithilfe von Basisaufgaben Die Differenzierung findet in diesem Kapitel durch stär-kere Vorstrukturierung und Konkretisierung sowie durch Weglassen nicht zentraler Lerninhalte zugunsten von effektiverer Lernzeit für die zentralen Inhalte statt. Die Basisaufgaben ermöglichen eine stärker vorstruktu-rierte Annäherung an die zentralen Inhalte mit kleinen Hilfestellungen innerhalb des Erkundungsprozesses, insbesondere in den Aufgaben E3, E4, E5. Auch die Ein-führung der Begriffe und Formeln von Sinus, Kosinus und Tangens findet ein wenig vereinfacht und strukturier-ter statt (O2, O4). Inwieweit die Wiederholung von Steigung in Funktionen und Dreieckskonstruktionen realisiert werden muss, ist individuell zu entscheiden. Die Lernenden sollten sich gerade an den Dreieckskonstruktionen nicht zu lange

aufhalten, um nicht die wesentlichen Inhalte des Kapitels zu übersehen. Der Kern des Kapitels liegt damit bei den Seitenverhältnissen von rechtwinkligen Dreiecken und ihrem Zusammenhang mit den Winkeln. Nach Einfüh-rung von Sinus, Kosinus und Tangens gibt es ein breites Angebot von Basis- und Vertiefungsaufgaben, die je nach Niveau als Plicht- und Wahlaufgaben in der Übungs-phase eingesetzt werden können. Etappe B (E7, O6) kann unter Vorbehalt und Prüfung des Lehrplans bei schwächeren Lernenden ausgelassen wer-den. Bevor sich diese mit den funktionalen Zusammen-hängen am Einheitskreis und der Sinusfunktion befassen, ist es fundamentaler, die Inhalte aus Etappe A vollends verstanden und verinnerlicht zu haben. Der Basisweg bietet in dem Sinne mehr Zeit für die Vertiefung und Übung der Berechnung und Anwendung von Sinus, Ko-sinus und Tangens, auch in verschiedenen Situationen, während sich die Mitschülerinnen und Mitschüler mit der Sinusfunktion befassen. Diagnose Diagnostisch zu beachten sind insbesondere die folgen-den konzeptuellen und prozeduralen Aspekte im Können und Denken der Lernenden: Inwiefern erkennen die Lernenden den Zusammen-

hang von Seitenverhältnissen und Winkeln in ähnli-chen Dreiecken, sodass daraus Regeln der Trigono-metrie abgeleitet werden können? (wird sichtbar in E1-E2, O2 und ggf. weiter konsolidiert durch V7)

Inwiefern können die Lernenden ihre Kenntnisse von Sinus auf Kosinus und Tangens übertragen und dabei Zusammenhänge feststellen, die für die Anwendung hilfreich sein können (wenn nur bestimmte Angaben gegeben sind oder die gesuchte Größe in mehreren Schritten berechnet werden muss)? (wird sichtbar in O4, O5 und ggf. weiter konsolidiert durch V10)

Inwiefern können Lernende überprüfen, wann es sich bei einer Funktion um eine Sinusfunktion handelt und dabei anhand verschiedener Situationen erklä-ren, wo eine Bewegung innerhalb der Sinusfunktion zu erkennen ist? (wird sichtbar in O6 und ggf. weiter konsolidiert durch V36, V38, V39-V43)

Zusätzliches Trainingsangebot Zu jeder Trainingsaufgabe befinden sich weitere Trai-ningsaufgaben im Onlinebereich von CORNELSEN.


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Einstiegseite Im Freizeitpark: Höhe und Steilheit von Rutschen

Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • aktivieren ihr Vorwissen und ihre eigenen Erfahrungen

zum Thema Steilheit und Steigung von Rutschen; • formulieren erste Überlegungen und Vermutungen, dass

die Steigung nicht von der Höhe, sondern von dem Ver-hältnis der Seiten abhängt.

Bezug Die durch die Einstiegsseite entwickelte Situation wird in E1 im Kontext von Achterbahnen fortgeführt und konkreter für die Lernenden erfahrbar, wenn sie verschiedene Achter-bahnen mit ihren Höhen, Fahrstrecken und Steigungen vergleichen sollen. Diese Vergleiche werden in E2 anhand von ähnlichen Drei-ecken systematisch aufgegriffen.

Vorbereitung/Material Gibt es verschiedene Rutschen auf dem Schulhof, bei de-nen die Situation erfahrbar gemacht werden könnte? Ken-nen die Lernenden Rutschen oder Achterbahnen mit ver-schiedenen Steigungen aus dem Schwimmbad, Freizeit-park oder der Kirmes in der Nähe? Wie kann man über-haupt die Steigung von Rutschen bestimmen?

Umsetzungsvorschlag (10 min)

Gemeinsames Anschauen der Seite und Sammeln erster Beschreibungen und Ideen, z. B. zu folgenden Fragen: • Worüber diskutieren die Freunde? • Woran erkennt man, dass eine Rutsche steil/

steiler als eine andere ist? • Wieso ist die höchste Rutsche nicht automa-

tisch die steilste? • Worauf muss man achten, um die Steilheit

einer Rutsche zu bestimmen?

UG

Inte

nsi

vzu

grif

f

Umsetzungshinweise/Alternativen Die Lernenden verbinden das Gespräch der Freunde schnell mit ihren eigenen Erfahrungen, die sie schon mit Rutschen oder Achterbahnen gemacht haben. Allerdings ist vermutlich nicht allen eindeutig klar, wie das Phänomen der unterschiedlichen Steilheit zu beschreiben oder erklä-ren ist. Auf der Auftaktseite wird die Bestimmung der Steigung von Rutschen thematisiert, da nicht nur die Höhe für die Steilheit der Rutsche entscheidend ist. Es empfiehlt sich die getätigten Formulierungen für die Beschreibung von Steigung und Seitenverhältnissen festzuhalten. Diese Formulierungen bilden eine informelle Ressource und können im weiteren Verlauf auf die rechtwinkligen Dreiecke und deren Begriffe für Seiten und Winkel über-tragen werden. Somit kann beim Erklären sowohl von der Lehrkraft als auch den Lernenden immer auf die eigenen und die mathematisch korrekten Begriffe zurückgegriffen werden. In E1 findet ein Vergleich verschiedener Dreiecke durch Dreieckskonstruktionen und Messen statt, was zwar zum Erkennen der Steigung führt, sich jedoch als recht mühsam herausstellt. Dahingehend werden in E2 Strategien gesucht, wie die Steigungsbestimmung auch ohne Zeichnungen möglich wäre, indem ähnliche Dreiecke untersucht wer-den.


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Ziele des Kapitels aus Vorschauperspektive

Das Gespräch der Freunde führt zur Kernfrage: Wie bestimme ich die Steigung in einem rechtwink-ligen Dreieck mit Längen und Winkeln?

Die Steigung oder Steilheit von Rutschen und später Achterbahnen bildet den Kontext für das Thema Trigonometrie.

In diesem Kapitel… untersuchst du, wie man mit Hilfe von Winkeln und Längen Steigungen berechnen kann. kannst du Winkel und Längen in Dreiecken berechnen, die du bislang nur mit Hilfe von

Konstruktionen bestimmen konntest. kannst du Kreisbewegungen mit Hilfe einer Funktion beschreiben. lernst du die Sinusfunktion kennen.


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Erkunden A Wie kann ich Steigung in Dreiecken bestimmen?

Sch

ne

llzu

grif

f E1 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • konstruieren rechtwinklige Dreiecke und bestimmen die

Steigung durch das Messen des Steigungswinkels; • erkennen, dass die Steigung als Winkel angegeben wer-

den kann.

E1 Bezug Weiter mit O1. E1 Material Wissensspeicher Figuren 6 zur Wiederholung der Dreieckskonstruktion E1 Umsetzungsvorschlag (30-45 min)

Gemeinsames Lesen, Betrachten und Klären der Aufgabenaufträge

UG

vor a) evtl. V1 und V2 als Wiederholung (Stei-gung & Dreieckskonstruktion) bearbeiten

EA &

UG

a) Erkennen, dass es sich bei den Achter-bahnen um rechtwinklige Dreiecke han-delt, die somit konstruiert werden können und Messen der Winkel

PA

b) Reflektion und Übertragung der Ergebnis-se aus a) auf den Winkel als Steigung

PA

ab) Präsentation der Ergebnisse UG

Mögliche HA: V3a), V3b) oder O1a), O1b)

E2 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • entdecken die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke in Be-

zug auf die Seitenverhältnisse und Steigungswinkel.

E2 Bezug Nach O1. Im Basisweg kann E2c) übersprungen werden. Weiter mit E3|E3. E2 Material Wissensspeicher Figuren 15 zur Wiederholung der Ähn-lichkeit von Dreiecken. Dreieckskonstruktionen aus E1, evtl. auch von Lehrkraft vorbereitet E2 Umsetzungsvorschlag (20 min)

a) Gemeinsames Lesen der Sprechblasen und begründete Erklärung/Übertragung auf Achterbahnen und Dreiecke aus E1

UG

b) Zeichnen ähnlicher Dreiecke mit glei-chem Steigungswinkel und Unterschied zwischen Höhe und Steigung erarbeiten

EA

b) Verschiedene Dreiecke vergleichen und Ergebnisse in Tabelle sammeln, evtl. auf Folien für das folgende UG

GA/ PA

Ergebnissammlung im Plenum Festhalten des Zusammenhangs von Seitenverhält-nissen und Steigungswinkel

UG

Mögliche HA: E2c) und V3d), V4, im Basisweg ohne E2c)

Inte

nsi

vzu

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f E1 Umsetzungshinweise/Alternativen Durch eine kurze Abfrage der Vorkenntnisse sollte die Lehrkraft schon vor der Bearbeitung der Aufgabe wissen, ob den Lernenden die Konzepte Steigung, rechtwinkliges Dreieck und Dreieckskonstruktionen gegenwärtig sind. V1 und V2 können zur Wiederholung eingesetzt werden. Wichtig ist, dass die Lernenden erkennen, dass es sich bei den Achterbahnen um rechtwinklige Dreiecke handelt. Nur davon ausgehend können die weiteren Erkundungen bear-beitet werden. Dazu kann eines der Bilder im größeren Format ausgedruckt werden, um das Dreieck für alle deut-lich einzuzeichnen. Die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke, die in O1 wiederholend zusammengefasst wer-den, und die Ähnlichkeit von Dreiecken (E2) bilden die Grundlage dieses Kapitels. E1 Erwartungshorizont Die Steilheit oder Steigung der Achterbahnen entspricht dem Steigungswinkel im Dreieck. E1 Differenzierung Langsamere Lernende können für einzelne Achterbahnen Dreiecke konstruieren, das Verstehen des Prinzips ist an dieser Stelle wichtiger.

E2 Umsetzungshinweise Wichtig ist, dass beim Sammeln der Ergebnisse in den Ta-bellen gut das Muster der ähnlichen Dreiecke deutlich wird. Dazu können auch von der Lehrkraft Seitenlängen und Winkel vorbereitet werden, an denen die Lernenden das Muster leichter erkennen als an ihren eigenen Beispielen. Auch der Unterschied von Höhe und Steigung sollte er-wähnt und für alle deutlich herausgearbeitet werden, damit es in den folgenden Lerneinheiten zu keinen Irritationen der Begrifflichkeiten kommt. E2 Erwartungshorizont Die Ähnlichkeit der Dreiecke wird an dieser Stelle genutzt, um zu erkennen, dass die Winkel bei ähnlichen Dreiecken gleich groß sind. Dies ist für die Trigonometrie entschei-dend, da die Winkel nicht von den Seitenlängen, sondern vom Verhältnis der der Seiten- längen abhängig sind. Dieser Zusammenhang soll verinnerlicht und gefestigt werden. E2 Differenzierung Die Aufgabe E2c) gehört nicht zum Basisweg. Stattdessen kann E2b) intensiver bearbeitet werden.


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Sch

ne

llzu

grif

f E3|E3 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • erinnern sich, dass der Steigungswinkel durch das Seiten-

verhältnis im rechtwinkligen Dreiecke berechnet werden kann;

• berechnen verschiedene Seitenverhältnisse von recht-winkligen Dreiecken;

• erkennen und prüfen, dass jedes Seitenverhältnis genau einem Winkel zugeordnet werden kann.

E3|E3 Bezug Nach O1, E2, weiter mit V3c) und O2|O2. Die Basisaufgabe E3 läuft parallel zu E3, ist aber wesent-lich weniger komplex und stärker vorstrukturiert. E3|E3 Vorbereitung/Material Wissensspeicher Figuren 15 zur Wiederholung der Ähn-lichkeit von Dreiecken. Ergebnisse aus E2, evtl. Plakat mit großer Tabelle der Winkel und Seitenver-hältnisse für die ganze Klasse für spätere Berechnungen

E3|E3 Umsetzungsvorschlag (45 min)

a)|a) Hinweisen auf Basisaufgabe und dement-sprechende Einteilung der Gruppen

Diskussion der Sprechblasen und Ver-gleich der Tabellen aus E2

GA

b)|b) Strukturierte Dreieckszeichnung zum Erkennen des Zusammenhangs von Sei-tenverhältnis und Winkel

EA

c)|c) Ergebnisse zusammentragen und im Plenum eine große Tabelle mit geordne-ten Winkeln als Plakat anfertigen

GA/ UG

d)|d) Genauere Untersuchung des entdeckten Phänomens „Winkel kann Seitenverhält-nis zugeordnet werden“ und Diskussion seiner Gültigkeit

GA

Mögliche HA: E3|E3e) als Ergänzung, wenn diese nicht mehr im Unterricht bearbeitet wird, V5 in Zusammenhang mit der zuvor angefertigten Tabelle

Inte

nsi

vzu

grif

f E3|E3 Umsetzungshinweise Sowohl bei der ursprünglichen als auch bei der Basisaufgabe ist bei dieser Aufgabe die Übertragung der Entdeckungen bei gezeichneten Dreiecken auf die Berechnung des Stei-gungswinkels im rechtwinkligen Dreieck fundamental. Um b) für alle besser zu strukturieren, können an dieser Stelle bereits Winkel vorgegeben werden, die untersucht werden, falls die freie Auswahl zu Unklarheiten führt. Das Sammeln der Ergebnisse in einer Tabelle (c)) kann dann im Plenum stattfinden, sodass eine für alle Lernenden einheitli-che Tabelle entsteht, die in folgenden Aufgaben genutzt werden kann. Wichtig ist es, dass alle Lernenden am Ende verinnerlicht haben, inwieweit Seitenverhältnis und Winkel zusammenge-hören und dies in eigenen Worten verbalisieren können. Dabei kann die Lehrkraft auch noch einmal auf die Ähnlich-keit von Dreiecken hinweisen. E3|E3 Lernwege Es kann nicht davon ausgegangen werden, dass alle Lernen-den ein Verhältnis automatisch mit einer Division in Ver-bindung bringen. Das heißt, dass sie zwar sehen und verste-hen, dass die Steigung von Dreiecken von Länge und Höhe abhängig ist, können dies aber nicht auf eine Rechnung übertragen. In dem Sinne sollte in b) bei Bedarf thematisiert

werden, warum das Verhältnis mit hf berechnet wird.

In der Basisaufgabe wird dies bereits in den Sprechblasen erwähnt.

E3|E3 Erwartungshorizont a)|a) Mit Einbezug vorangegangener Ergebnisse und Er-kenntnisse wird deutlich, dass mit Berechnung des Seiten-verhältnisses auch der Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnet werden kann. Damit wird die Winkelbestimmung erleichtert, da keine Konstruktionen mehr notwendig sind. Die Überprüfung dieser Idee wird in b) explizit angeregt. b)|b), c)|c), d)|d), e)|e) Wenn die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck gleich sind, dann sind auch die Winkel im rechtwinkligen Dreieck gleich. Hierbei findet eine Verknüpfung zur Ähn-lichkeit von Dreiecken statt. Damit kann einem Winkel genau ein Seitenverhältnis zugeordnet werden und umge-kehrt. E3|E3 Differenzierung In der Basisaufgabe sind einige Formulierungen präziser und hinweisender gewählt, dass auch den schwächeren Schülerinnen und Schülern der Zusammenhang von Seiten-verhältnis und Winkel deutlich wird. Außerdem sind offene Aufgaben durch vorgegebene Anweisungen strukturierter und reduzierter aufbereitet.


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Sch

ne

llzu

grif

f E4|E4 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • überprüfen die Proportionalität von Winkel und Seiten-

verhältnis; • erkennen, dass kein proportionaler Zusammenhang zwi-

schen den Winkeln und Seitenverhältnissen vorliegt.

E4|E4 Bezug Nach O2|O2 und weiter mit O3, um den funktionalen Zusammenhang „Sinus“ zu bestimmen. Die Basisaufgabe E4 läuft parallel zu E4, ist aber wesent-lich weniger komplex und stärker vorstrukturiert. E4|E4 Vorbereitung/Material Wissensspeicher Funktionen 8 zur Wiederholung proporti-onaler Funktionen, Tabellen/ Plakat aus E2 und E3

E4|E4 Umsetzungsvorschlag (20 min)

Wiederholung proportionaler Zusam-menhänge und Forschungsfrage „Liegt hier eine proportionale Funktion vor?

UG

a)|a) Hinweise auf Basisaufgabe und dement-sprechende Einteilung der Gruppen Funktion für die Zuordnung von Winkel und Seitenverhältnis aufstellen und diese nach Proportionalität prüfen

EA

b)|b) Darstellungswechsel durch das Zeichnen eines Graphen der zuvor aufgestellten Funktion und ebenfalls Untersuchung

EA

ab)| ab)

Ergebnissammlung an der Tafel und Reflektion der Ergebnisse im Plenum mit Beantwortung der Forschungsfrage

UG

Mögliche HA: Nachfolgende Aufgaben (O3) sollten lieber zusammen in der Schule bearbeitet werden, da es sich um die Einführung des Begriffes „Sinus“ handelt, danach V6-V8.

Inte

nsi

vzu

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f E4 Umsetzungshinweise Es ist bei dieser Aufgabe wichtig, dass die Lernenden über die Kenntnisse und Eigenschaften von proportionalen Funktionen verfügen, da sie den funktionalen Zusammen-hang „Sinus“ ansonsten nicht nach Proportionalität über-prüfen können. Diese müssen also möglicherweise wie-derholt werden, um eine reibungslose Durchführung der Aufgabe zu gewährleisten. Da die vorgefertigte Tabelle aus E2 und E3 als Wertetabel-le dient, sollen nun aus dieser in a) ein Funktionsterm und in b) ein Funktionsgraph erstellt werden. Beide Formen der Darstellung lassen bei genauer Überprüfung erkennen, dass kein proportionaler Zusammenhang vorliegt, was die Lernenden durch die Kriterien der Proportionalität be-gründen können. E4 Lernwege In dieser Aufgabe geht es konkret um die Verknüpfung der Inhaltsbereiche Geometrie und Funktionen, da die Schüle-rinnen und Schüler ihre Beobachtungen an einem Dreieck in einen funktionalen Zusammenhang übertragen sollen. Diese Vernetzung kann für manche eine größere Heraus-forderung darstellen als vermutet. Hilfestellungen und genaue Anleitung der Lehrkraft sind daher auch in der Einzelarbeitsphase durchaus gefragt. Noch deutlicher wird der funktionale Zusammenhang der Trigonometrie durch die Bearbeitung von O3 (Einführung von Sinus), weswegen diese beiden Aufgaben auf jeden Fall hintereinander, am besten während einer Unterrichts-einheit, bearbeitet werden sollten.

E4 Erwartungshorizont a) Funktionsterm: f(x) = 0,0017x Bei der Prüfung des Terms durch Einsetzen der verschiede-nen Winkel wird deutlich, dass die Seitenverhältnisse nicht gleichmäßig ansteigen, was einen proportionalen Zusam-menhang ausschließt. b) Der Graph wird durch das Eintragen der Werte in der Tabelle in ein Koordinatensystem erstellt. Bei der Verbin-dung der Punkte entsteht keine Gerade, wie sie für proporti-onale Funktionen üblich ist. Daher kann auch anhand dieser Darstellungsweise eine Proportionalität des Zusammen-hangs ausgeschlossen werden. Auch lineare und quadrati-sche Funktionen können verworfen werden. E4 Differenzierung In beiden Teilaufgaben von E4 findet eine Differenzierung durch zusätzliche Vorgaben statt, die die Bearbeitung zwar erleichtern, einen Entdeckungsprozess jedoch nicht min-dern. So ist in a) bereits der Funktionsterm vorgegeben, der jedoch auch durch Einsetzen verschiedener Werte überprüft werden muss. Für die Erstellung des Funktionsgraphen ist in b) bereits ein Koordinatensystem vorgegeben, sodass sich die Lernenden auf die wesentlichen Aufgaben, Werte einzutragen und den Graphen zu beschreiben, konzentrieren können, ohne sich lange an der Erstellung eines Koordinaten- systems aufzuhalten.


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Sch

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f E5|E5 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • erkunden den Zusammenhang von Bodenlänge (Ankathe-

te) und Fahrstrecke (Hypotenuse) im rechtwinkligen Dreieck;

• erkennen und begründen, dass auch bei diesem Zusam-menhang jeder Winkel genau einem Verhältnis zugeord-net werden kann;

• entdecken Zusammenhänge von Sinus und Kosinus. E5|E5 Bezug Nach O3, weiter mit O4|O4, um den funktionalen Zusam-menhang „Kosinus“ zu bestimmen. Die Basisaufgabe E5 läuft parallel zu E5, ist aber wesent-lich weniger komplex und stärker vorstrukturiert. E5|E5 Material Tabellen/ Plakat aus E3 E5|E5 Umsetzungsvorschlag (20 min) a) Tabelle mit neuem Verhältnis anlegen

und mit Lernpartner vergleichen EA

PA

b) Begründungen von Sinus auf Kosinus übertragen

UG

cd) Zusammenhänge von Sinus und Kosinus finden und im Plenum besprechen

GA

UG

Mögliche HA: V9 oder E6 (nicht für Basisweg)

E6 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • erkunden den Zusammenhang von Höhe (Gegenkathete)

und Bodenlänge (Ankathete) im rechtwinkligen Dreieck; • nutzen ihre Kenntnisse von Sinus und Kosinus, um diese

auf den Zusammenhang Tangens zu übertragen. E6 Bezug Nach E5|E5 und O4|O4, dann weiter mit O5. Eventuell auch schon V10abc), dann weiter mit V10de). E6 Material Tabellen/ Plakat aus E3 und E5|E5 E6 Umsetzungsvorschlag (20 min)

Wie in vorheriger Aufgabe Tabelle mit neuem Verhältnis anlegen (ggf. als HA) und mit Lernpartner vergleichen

EA

PA

Vergleiche der verschiedenen Tabellen und Diskussion über Gemeinsamkeiten/ Unterschiede

UG

Zusammenhang Sinus, Kosinus, Tangens UG

Mögliche HA: Nachfolgende Aufgaben (O5) sollten lieber zusammen in der Schule bearbeitet werden, da es sich um die Einführung des Begriffes „Tangens“ handelt.

Inte

nsi

vzu

grif

f E5|E5 Umsetzungshinweise Während der Erkundung des Verhältnisses von Bodenlän-ge und Fahrstrecke sollen immer wieder Rückbezüge zu Sinus geschlossen werden, da diese sich ergänzen. Das Prinzip der Erkundung ist den Schülerinnen und Schüler bereits aus E3|E3 bekannt, sodass sie die entdeckten Zu-sammenhänge in ihrer Alltagssprache formulieren können, die dann in O4|O4 durch Fachsprache überformt werden. E5|E5 Erwartungshorizont ab) Es wird ein anderes Seitenverhältnis im Dreieck berechnet, was jedoch die gleichen Eigenschaften der Ähnlichkeit besitzt wie das Verhältnis Sinus aus den vorherigen Aufgaben. cd) Durch den Vergleich der Tabellen wird den Lernenden deutlich, dass sich die Rechnungen von Sinus und Kosinus ergänzen und zusammen immer 90° betragen. E5|E5 Differenzierung Die Basisaufgabe a) bietet den schwächeren Lernenden durch genaue Angaben von Winkeln eine höhere Struktu-rierung, sodass auch das neue Verhältnis systematisch untersucht werden kann. Auch der Zusammenhang von Sinus und Kosinus wird in b) vereinfacht thematisiert und erarbeitet.

E6 Umsetzungshinweise Die Aufgabe orientiert sich stark an E5|E5, sodass die Auf-gabenstellungen evtl. von der Lehrkraft in Anlehnung an diese als konkreter Arbeitsauftrag umformuliert werden können. Im Anschluss werden auch hier die gesammelten Beobachtungen in O5 in mathematische Konzepte und Be-griffe überführt. E6 Erwartungshorizont Die Lernenden erkunden den letzten Zusammenhang im rechtwinkligen Dreieck von Gegenkathete und Ankathete. Dabei arbeiten sie wie zuvor mit der Ähnlichkeit von Drei-ecken und dem Zusammenhang von Winkel und Seitenver-hältnis. Außerdem erkennen sie Zusammenhänge zwischen Sinus, Kosinus und Tangens. E6 Differenzierung Da es sich um eine ähnliche Aufgabenstellung wie bei E5|E5 handelt, können die differenzierten Aufgaben- stellungen der Basisaufgabe E5 als Orientierung dienen und auf diese Aufgabe übertragen werden.


12

Erkunden B Wie kann ich Bewegungen mit Wiederholungen darstellen?

Sch

ne

llzu

grif

f E7 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • finden rechtwinklige Dreiecke im Kreis; • übertragen ihre Kenntnisse über die Eigenschaften und

Berechnung von Sinus auf die Dreiecke im Einheitskreis; • tragen die Ergebnisse aus den Berechnungen im Kreis in

ein Koordinatensystem ein; • entdecken den funktionalen Zusammenhang der Kreis-

bewegung und lernen die Sinusfunktion kennen.

E7 Bezug Nach E6 bzw. V35, weiter mit O6. Im Basisweg ist Erkunden B nicht vorgesehen und kann ausgelassen werden. E7 Material evtl. Modelle des Riesenrads, an denen Entdeckungen für alle erkennbar eingezeichnet werden können, evtl. das Koordinatensystem zum Eintragen in größerem Format

E7 Umsetzungsvorschlag (45 min)

Gemeinsam Einlesen in Aufgabenstellung, Gespräch über eigene Erfahrungen

UG

a) Mit dem Modell und den Angaben untersu-chen die Lernenden das Riesenrad mit Hilfe von Skizzen und Notizen

GA

a) Berechnen der Höhen und Winkel mit dem Sinus und Verknüpfung zu bereits erlernten Inhalten

GA

Besprechen und Vergleichen der Ergebnisse im Plenum

UG

b) Einzeichnen der Werte in das Koordinaten-system und Beantwortung der Forschungs-fragen

GA

Ergebnissicherung UG

Mögliche HA: falls noch nicht bearbeitet, dann Beantwor-tung der Fragen aus E7b) oder V36ab)

Inte

nsi

vzu

grif

f E7 Umsetzungshinweise Um die eher abstrakte Kreisbewegung besser zu veran-schaulichen, helfen neben den Abbildungen im Buch echte Modelle des Riesenrads, die die Schülerinnen und Schüler in die Hand nehmen und drehen können und worauf Ent-deckungen direkt eingezeichnet werden können. Aus die-sem Grund sollen sie sich mit den Modellen in Gruppen befassen und ihre Beobachtungen kommunizieren. Damit alle Gruppen zu den gewünschten Entdeckungen kommen, sollte diese von der Lehrkraft in möglichst heterogene Leistungsgruppen eingeteilt werden, sodass leistungsstär-kere Schülerinnen und Schüler die schwächeren unterstüt-zen können. E7 Lernwege Durch die produktiven Lerngespräche in den Gruppenpha-sen werden auch die Lerninhalte der vorherigen Stunden zum Thema Trigonometrie, und an dieser Stelle speziell zum Sinus, aktiviert (a)). Sollten zu dem Zeitpunkt Defizi-te oder Fehlvorstellungen erkannt werden, kann diesen mit Einbezug der Unterrichtsnotizen, Wissensspeicher und weiteren Übungsaufgaben entgegengewirkt werden. Die Wiederholung und vollständige Verinnerlichung der drei Zusammenhänge Sinus, Kosinus und Tangens ist dabei primäres Ziel, sodass der Fokus eher darauf liegt, als zwangsläufig auch die Sinusfunktion zu thematisieren (unter Vorbehalt der Prüfung des Lehrplans). Das Wissen zu funktionalen Zusammenhängen wird von den Lernenden ebenfalls auf unterschiedliche Weise her-vorgerufen b). Auch hier können der Einsatz der älteren Wissensspeicher und die Gespräche unter den Lernenden während der Gruppenarbeit hilfreich sein.

E7 Erwartungshorizont a) Die Schülerinnen und Schüler berechnen sowohl die Zeiten als auch Winkel und Höhen im Einheitskreis, wozu sie den Sinus-Zusammenhang nutzen. b) Nach Übertragung der Werte in ein Koordinatensystem entsteht folgender Funktionsgraph, der den Lernenden bis-her unbekannt ist.

Sie vernetzen die Ergebnisse aus den Rechnungen im Ein-heitskreis in a) mit dem Funktionsgraphen und erkennen, dass sich die Steigung innerhalb des Graphen immer wieder ändert, was in der Aufgabe noch als Veränderung der Höhe bezeichnet wird. E7 Differenzierung Erkunden B ist nicht im Basisweg vorgesehen und kann daher – unter Vorbehalt der Prüfung des Lehrplans – ausge-lassen werden. Die Heterogenität der Lerngruppe soll durch die Einteilung der Gruppen kompensiert werden, sodass sich die Lernenden gegenseitig unterstützen und helfen können.


13

Ordnen A Wie kann man die Steigung in Dreiecken bestimmen?

Sch

ne

llzu

grif

f O1 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • erfahren, dass Steigungen von Strecken in einem Winkel

angegeben werden können; • identifizieren die Eigenschaften von rechtwinkligen Drei-

ecken; • wiederholen Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck,

die sie bereits kennen; • lernen neben der Hypotenuse auch die Begriffe Gegen-

kathete und Ankathete kennen; • nutzen die Seitennamen des rechtwinkligen Dreiecks zur

Dreieckskonstruktion.

O1 Bezug Nach E1. Je nach Bedarf in Kombination mit V1-V2, weiter mit E2. O1 Vorbereitung/Material Wissensspeicher Figuren 6 und Figuren 17 zu Wiederho-lung von Dreieckskonstruktionen, Winkelsumme und Satz des Pythagoras Wissensspeicher Steigungswinkel und Verhältnisse 1, obe-rer Teil und dazu evtl. Speicher-Plakat, um Seitennamen zum Aufhängen in der Klasse festzuhalten.

O1 Umsetzungsvorschlag (30 min)

Der Begriff Steigung für den Steigungs-winkel wird für alle eingeführt.

UG

abc) Eigenschaften von rechtwinkligen Drei-ecken finden, prüfen und konkretisieren, dann im Plenum besprechen

GA, UG

d) Einführung der Begriffe Gegenkathete und Ankathete und Klärung der Unter-schiede

UG

e) Dreieckskonstruktion durch Nutzung der neuen Begrifflichkeiten

EA

f) Vergleichen und Übertragen der Ergeb-nisse in den Wissensspeicher und auf Speicher-Plakat für Klassenraum

UG

Mögliche HA: O1e), falls nicht vollständig im Unterricht bearbeitet, evtl. V3, V4

Inte

nsi

vzu

grif

f O1 Umsetzungshinweise/Alternativen Im Vordergrund dieser Sicherungsphase stehen vor allem die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke, deren Verin-nerlichung grundlegend und wichtig für die Weiterarbeit in diesem Kapitel ist. Aus diesem Grund werden auch noch einmal andere Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck in c) ins Gedächtnis gerufen, um eine Vernetzung dieser zusammenhängenden Themen zu schaffen. Bei der Einführung der neuen Begrifflichkeiten ist es wich-tig, dass die Lernenden diese ab diesem Zeitpunkt mit den vorherigen Vorstellungen verknüpfen und nutzen, was durch e) direkt angeregt wird. Auch weiterhin sollen die Lernenden ermutigt werden, die Fachwörter im Unter-richtsgespräch und untereinander zu verwenden. O1 Erwartungshorizont a) Situation 1: 2, 5; Situation 2: 1, 3; Situation 3: 4 b) Die Lernenden erkennen, dass genau ein Dreieck kon-struiert werden kann, wenn zwei Seiten oder ein Winkel mit der Ankathete im rechtwinkligen Dreieck angegeben sind. c) Die Lernenden verknüpfen die Situationen aus a) mit Rechnungen wie der Winkelsumme oder dem Satz des Pythagoras und erkennen, dass nicht immer alle fehlenden Größen berechnet werden können – Notwendigkeit weite-rer Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck. Im Wissensspeicher werden die Seitennamen wie in d) eingetragen.

O1 Lernwege Innerhalb der Gruppenarbeit sollen die Lernenden anhand der Dreieckskonstruktionen die Eigenschaften von recht-winkligen Dreiecken untersuchen und sammeln. Dabei kön-nen sie mit verschiedenen Strategien vorgehen. Einige, leis-tungsstärkere Schülerinnen und Schüler erkennen vielleicht sofort, welche Situationen zu einem eindeutigen Dreieck führen und welche nicht. Andere müssen dies evtl. erst aus-probieren und Beispiele finden. Je nach Abstraktionsgrad dauert die Bearbeitung der Aufgaben jedoch unterschiedlich lange. Aus diesem Grund sollte die Lehrkraft auf die Eintei-lung leistungsheterogener Gruppen achten. O1 Differenzierung Durch die Dreieckskonstruktion sollen die Eigenschaften rechtwinkliger Dreiecke wiederholt und verinnerlicht wer-den, was jedoch nicht bei allen Schülerinnen und Schülern zwangsläufig in einem Schritt geschieht. Daher könnten diese Eigenschaften als differenzierende Maßnahme noch einmal gesammelt und visualisiert in einigen Stichpunkten festgehalten werden. So entsteht ein Produkt, auf das die Lernenden auch später wieder zurückgreifen können. Auch das Speicher-Plakat für den Klassenraum dient als Hilfestellung, da es wie ein Wortspeicher für die neuen Begriffe von allen jederzeit genutzt werden kann.


14


Sch

ne

llzu

grif

f O2|O2 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • übertragen ihre Entdeckungen im Kontext „Achterbahn“

auf die Fachbegriffe im rechtwinkligen Dreieck; • erkennen durch die Ähnlichkeit den Zusammenhang zwi-

schen Seitenverhältnissen und Winkeln im recht-winkligen Dreieck.

O2|O2 Bezug Nach E2 und E3|E3, weiter mit V5 und E4|E4. Die Basisaufgabe O2 läuft parallel zu O2, ist aber wesent-lich weniger komplex und stärker vorstrukturiert. O2|O2 Vorbereitung/Material Wissensspeicher Figuren 6 zur Wiederholung von Ähnlichkeit, Tabellen aus E3|E3 Wissensspeicher Figuren 19, mittlerer Teil, evtl. auf Folie zum gemeinsamen Ausfüllen O2|O2 Umsetzungsvorschlag (25 min)

a) Klärung der Bedeutung von Ähnlichkeit in rechtwinkligen Dreiecken

UG

b) Berechnung der Verhältnisse in ähnlichen Dreiecken und Zuordnung der Winkel

EA

c) Lösungen vergleichen und (gemeinsames) Eintragen in den Wissensspeicher (Folie)

UG

Mögliche HA: V5, evtl. E4|E4 ausprobieren

O3 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • lernen den Begriff „Sinus“ als funktionalen Zusammen-

hang von Gegenkathete und Hypotenuse kennen; • berechnen den Sinus mit dem Taschenrechner und reflek-

tieren die Ergebnisse anhand der Tabellen aus den vorhe-rigen Aufgaben.

O3 Bezug Nach E4|E4, weiter mit V6-V8 und dann E5|E5. O3 Vorbereitung/Material Wissensspeicher Figuren 19, unterer Teil, Ergebnisse aus E4|E4 O3 Umsetzungsvorschlag (25 min)

Gemeinsames Lesen und Betrachten der Erläuterung und Sprechblasen

UG

a) Diskussion über funktionalen Zusammen-hang von Sinus

PA/ UG

bc) Berechnung mit Taschenrechner, auch von fehlenden Werten

EA

d) Besprechung der Ergebnisse und Ausfül-len des Wissensspeichers

UG/ EA

Mögliche HA: Ergänzen des Wissensspeichers (O3d)), so-fern noch nicht im Unterricht bearbeitet, V6-V8

Inte

nsi

vzu

grif

f O2|O2 Umsetzungshinweise Im Zuge der Ähnlichkeit von Dreiecken geht es vor allem um die Sicherung, dass jedem Winkel im rechtwinkligen Dreieck genau ein Seitenverhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse zugeordnet werden kann. Da dies nicht expli-zit aufgegriffen wird, sollte es von der Lehrkraft im Unter-richtsgespräch verbalisiert werden, sodass die Lernenden die Formulierung übernehmen können. O2|O2 Erwartungshorizont a) Durch die Diskussion der Aussagen wiederholen die Lernenden das Konzept der Ähnlichkeit von Dreiecken und erkennen den Zusammenhang von Gegenkathete und Hypotenuse mit dem dazugehörigen Winkel. b) Im Vergleich der Berechnungen und den Tabellen aus E3|E3 wird klar, dass jedem Winkel genau ein Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse zugeordnet wird. O2|O2 Differenzierung Durch die konkrete Beschriftung der ähnlichen Dreiecke in der Basisaufgabe (a)) wird die Aufgabenstellung weniger abstrakt und greifbarer. Durch vorgegebene Winkel und eine Vorgangsbeschreibung (b)) ist die Aufgabe außerdem vorstrukturiert, was die Bearbeitung erleichtert.

O3 Umsetzungshinweise Hier wird zum ersten Mal von dem Zusammenhang „Sinus“ gesprochen, der in den vorherigen Aufgaben angebahnt und dessen Eigenschaften bereits entdeckt wurden. Daher könn-ten vor Bearbeitung der Aufgabe die bisherigen Erkenntnis-se gesammelt und an der Tafel festgehalten werden. Mög-lich wäre es, den Sinus auf den Kontext der Achterbahnen (E1, E2) zurück zu übertragen. Damit findet auch eine Ver-netzung der Alltags- und Fachbegriffe statt. O3 Erwartungshorizont Die Lernenden können nachvollziehen, dass für den neuen

Zusammenhang Sinus die Formel sin α = GegenkatheteHypotenuse

gilt und

diese zur Berechnung fehlender Werte nutzen. O3 Differenzierung Da bereits alle Entdeckungen gemacht wurden, sieht der Basisweg nur die Bearbeitung von O3a) und d) vor. Dabei geht es konkret um das Verständnis von Sinus und die Berechnung verschiedener Sinuswerte mit dem Taschenrechner, was in weiteren Aufgaben geübt wird.


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Sch

ne

llzu

grif

f O4|O4 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • lernen den Begriff „Kosinus“ als funktionalen Zusam-

menhang von Gegenkathete und Hypotenuse kennen; • berechnen den Kosinus mit dem Taschenrechner und

reflektieren die Ergebnisse anhand der Tabellen aus den vorherigen Aufgaben;

• entdecken den Zusammenhang zwischen Sinus und Kosi-nus.

O4|O4 Bezug Nach E5|E5, weiter mit E6. Die Basisaufgabe O4 läuft parallel zu O4, ist aber wesent-lich weniger komplex und stärker vorstrukturiert. O4|O4 Vorbereitung/Material Tabellen aus E5|E5, Wissensspeicher Figuren 20, oberer Teil O4|O4 Umsetzungsvorschlag (25 min) .a) Gemeinsames Lesen und Diskussion über

Sprechblase und Abbildung UG

.b) Berechnung des Kosinus EA

.c) Werte von Sinus und Kosinus gegenüber-stellen und Zusammenhang finden

PA

.d) Vergleichen und in WS übertragen UG

Mögliche HA: möglicherweise O4|O4d), V10abc)

O5 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • verknüpfen die Berechnung der Steigung im Dreieck mit

den Steigungsdreiecken linearer Funktionen; • lernen den Begriff „Tangens“ als funktionalen Zusam-

menhang von Gegenkathete und Ankathete kennen und berechnen diesen.

O5 Bezug Nach E6, weiter mit V10-V35 als Anwendungsaufgaben. O5 Vorbereitung/Material Wissensspeicher Funktionen 4 zur Wiederholung des Stei-gungsdreiecks, Treppenbild aus Buch groß auf Folie oder Tafel, Wissensspeicher Figuren 20, unterer Teil O5 Umsetzungsvorschlag (20 min)

a) An OHP oder Tafel Wiederholung Stei-gungsdreieck und Verknüpfung mit Sei-tenverhältnissen im Dreieck

UG

bd) Berechnung des Tangens, vergleichen und Übertragung in Wissensspeicher

EA, PA

c) Formulierung der Verknüpfung von Stei-gungsdreieck und Tangens an Bild

PA

Mögliche HA: möglicherweise O5d), V10d)

Inte

nsi

vzu

grif

f

O4|O4 Umsetzungshinweise Ähnlich wie in O2|O2 geht es in dieser Aufgabe darum, durch die Ähnlichkeit von Dreiecken die Zuordnung eines jeden Winkels im rechtwinkligen Dreieck zu genau einem Seitenverhältnis von Ankathete und Hypotenuse zu si-chern. Auch hier ist es Aufgabe der Lehrkraft, dies explizit zu formulieren und kommunizieren, um die Lernenden fachsprachlich zu sensibilisieren. O4|O4 Erwartungshorizont Durch die Diskussion der Aussagen mit der Tabelle aus E5|E5 wiederholen die Lernenden das Konzept der Ähn-lichkeit von Dreiecken und erkennen den Zusammenhang von Ankathete und Hypotenuse mit dem dazugehörigen Winkel (a)). Dahingehend können sie die Formel

cos α = AnkatheteHypotenuse

nachvollziehen (b)). Dass sich die Sinus-

und Kosinuswerte ergänzen, erkennen und formulieren die Lernenden in c). O4|O4 Differenzierung In Anlehnung an O2 bietet die Basisaufgabe Hilfestellun-gen durch konkrete Beschriftung der ähnlichen Dreiecke (a)) und vorgegebene Winkel (b)), die die Bearbeitung der Aufgabe vorstrukturieren und erleichtern.

O5 Umsetzungshinweise/Alternativen Zur besseren Visualisierung kann Aufgabe a) vergrößert dargestellt und im Planum bearbeitet werden. Achtung: Nicht alle Lernenden können ohne Vorbereitung die linearen Funktionen und das Steigungsdreieck in Erinnerung rufen. Nach der Einführung von Sinus und Kosinus sollte auch der Tangens in Zusammenhang mit den beiden anderen Seiten-verhältnissen gebracht werden. O5 Erwartungshorizont Mit Unterstützung des bereits bekannten Steigungsdreiecks linearer Funktionen können die Lernenden die Formel tan α =

GegenkatheteAnkathete

nachvollziehen und danach zum Ausfüllen des

Wissensspeichers nutzen. O5 Differenzierung Der Basisweg lässt O5c) aus. Die weitere Berechnung und Anwendung des Tangens ist nicht zwingend notwendig, um das Steigungsdreieck nochmals einzubeziehen und die Verknüpfung zu verbalisieren.


16

Ordnen B Wie stellt man Bewegungen mit Wiederholungen dar?

Sch

ne

llzu

grif

f O6 Ziele Die Schülerinnen und Schüler… • erkennen die Sinnhaftigkeit eines Einheitskreises; • erarbeiten den funktionalen Zusammenhang der Bewe-

gungen im Einheitskreis; • beschreiben den Graphen der Sinusfunktion und be-

stimmen mit dem Sinus Werte der Funktion; • lernen den Begriff „Sinusfunktion“ für den erarbeiteten

funktionalen Zusammenhang kennen und reflektieren den Begriff der Funktion.

O6 Bezug Nach E7 und V11-V35. Weiter mit V36-V38 und dann V39-V43. Im Basisweg ist Ordnen B nicht vorgesehen und kann aus-gelassen werden. O6 Vorbereitung/Material Funktionsgraph aus E7 (evtl. im größeren Format aus der Gruppenarbeit) Wissensspeicher Sinusfunktion

O6 Umsetzungsvorschlag (45 min)

a) Reflektion der Ergebnisse aus E7 und Über-tragung auf den Einheitskreis

UG

bc) genauere Untersuchung des Graphen, auch in Bezug auf funktionalen Zusammenhang

PA

de) Berechnung exakter Werte der Sinusfunkti-on mithilfe der Eigenschaften des Einheits-kreises und des Sinus-Zusammenhangs

EA

f) Erarbeitung des Begriffs „Sinusfunktion“ und Bedeutung des Begriffs

UG

e) Ausfüllen und vergleichen des Wissensspei-chers (vor allem der Lückentexte)

PA/

UG

Mögliche HA: evtl. Ergänzungen im Wissensspeicher (O6g)) oder V38

Inte

nsi

vzu

grif

f O6 Umsetzungshinweise/Alternativen Die Erarbeitung der Sinusfunktion findet vor allem anhand des Funktionsgraphen statt, sodass die Berechnungen und Eigenschaften der Sinusfunktion visuell mit dem Verlauf des Graphen verknüpft werden können. Dies ist besonders sinnvoll, um die Kreisbewegung im Einheitskreis zu er-kennen und die Nutzung des Sinus-Zusammenhangs nach-zuvollziehen. Allerdings werden zu den funktionalen Eigenschaften innerhalb der Aufgabe noch keine allgemeingültigen Re-geln oder Gesetze formuliert. Diese Sicherung findet im Wissensspeicher durch die Ergänzung der Lückentexte statt, was jedoch eine recht komplexe Aufgabe darstellt und daher konkret im Unterricht thematisiert werden sollte. Der Darstellungswechsel in verbale Erklärungen setzt vollständiges Verständnis der zuvor bearbeiteten Ent-deckungen und Zusammenhänge voraus und sollte von der Lehrkraft nicht unterschätzt werden. O6 Erwartungshorizont a) Die Lernenden erkennen den Einheitskreis als hilfrei-ches Medium zur Berechnung von Kreisbewegungen an, da durch den Radius 1 bereits eine Seite des Dreiecks (die Hypotenuse) bekannt ist. Dies ermöglicht die Berechnung der Höhe mit Sinus, sobald ein Winkel bekannt ist. bc) abhängige Größe: die Höhen der Gondel unabhängige Größe: die Winkel zwischen Startpunkt und aktueller Position der Gondel Die Lernenden erkennen 1 als höchsten und -1 als niedrigs-ten Punkt der Gondel an.

Dadurch, dass sich die Werte nach 180° bzw. 360° wieder-holen, entdecken die Lernenden die Kreisbewegung im Graphen. Wird der Graph über eine Drehung hinaus weiter-geführt, können sie auch erkennen, dass der Graph im glei-chen Rhythmus unendlich fortgesetzt werden könnte. Auch stärkere und schwächere Steigungen werden anhand des Graphen untersucht. de) Die Lernenden bestimmen mit der Formel

sin α = GegenkatheteHypotenuse

verschiedene Werte der Sinusfunktion.

Dabei können unterschiedliche Winkel eingesetzt werden. Da die Hypotenuse immer 1 ist (Einheitskreis), können zugehörige Funktionswerte zu den Winkeln ermittelt wer-den. f) Die Lernenden betrachten den Namen „Sinusfunktion“ als sinnvoll an, da die Berechnungen der Werte mit dem Sinus-Zusammenhang stattfinden. Handelt es sich nicht um einen Einheitskreis, so ändert sich der Wert der Hypotenuse. O6 Differenzierung Wie bereits erwähnt, ist nicht im Basisweg vorgesehen und kann daher – unter Vorbehalt der Prüfung des Lehrplans – ausgelassen werden. Der Heterogenität der Lerngruppe kann in der Partnerarbeitsphase durch beispielsweise Lerntan-dems gerecht werden, indem jeweils ein stärkerer Lernender mit einem schwächeren Lernenden zusammen- arbeitet und beide ihre Kompetenzen ergänzen können.


17

Vertiefen 1 Rechtwinklige Dreiecke konstruieren

Hintergrund

In den Vertiefenaufgaben V1-V4 wiederholen die Lernenden ihr Wissen über die Steigung in Funktio-nen und Dreieckskonstruktionen. Diese führen sie zunächst kontextungebunden und dann im Kontext der Achterbahnen durch, um fehlende Seiten und Winkel, aber auch Seitenverhältnisse durch Messen und Berechnungen zu ermitteln.

V1 Ziel: Eigenschaften der Steigung linearer Funktionen wiederholen Dauer 5-15 min, abhängig von den Vorkenntnissen der Schülerinnen und Schüler Material Wissensspeicher Funktionen 5

Bezug Vor E1 als wiederholender Einstieg oder kombiniert mit E1. Hinweise Für die Wiederholung können die Unterlagen (Wissensspeicher) aus den vorherigen Schuljahren hilf-

reich sein, da die Lernenden durch ihre Notizen ihre Kenntnisse aktivieren können, die sie für die fol-genden Unterrichtsstunden zum Thema Steigung benötigen.

Lernwege Die Lernenden erinnern sich an die verschiedenen Darstellungsformen einer linearen Funktion und die Berechnung der Steigung mit dem Steigungsdreieck. Um die Steigung als Winkel anzugeben, messen sie außerdem mit dem Geodreieck an dem Funktionsgraphen und stellen so schon erste Zusammen-hänge zwischen Funktionen und rechtwinkligen Dreiecken her. Differenzierung: Mit einer Partner oder Gruppenarbeit kann auf die unterschiedlichen Vorkenntnisse reagiert werden, sodass sich die Lernenden gegenseitig ergänzen.

V2 Ziel: Techniken und Sätze der Dreieckskonstruktion wiederholen Dauer 20 min Material Wissensspeicher Figuren 6

Bezug Vor E1 als wiederholender Einstieg oder kombiniert mit E1. Hinweise Kontextungebunden geht es in dieser Aufgabe rein um die Technik der Dreieckskonstruktion und die

Ermittlung fehlender Werte durch Messen. Sollte die Dreieckskonstruktion den Lernenden präsent sein, so müssen nicht alle Teilaufgaben bearbeitet werden.

Lernwege Die Lernenden wiederholen und üben die Dreieckskonstruktion mit verschiedenen Angaben (a)) und grenzen dabei eindeutige von nicht eindeutigen Dreiecken ab (b)).

V3 Ziel: Dreieckskonstruktion zur Ermittlung von Seitenverhältnissen und Steigung nutzen Dauer 20-30 min Bezug Nach E1 (und V1-V2). Als HA geeignet. V3c) nach E3|E3, um Tabellen nutzen zu können. Hinweise Bei Bedarf kurze Wiederholung zu Maßstäben einschieben. Lernwege Die Lernenden wenden die Dreieckskonstruktion im Kontext der Achterbahnen an und ermitteln Sei-

tenverhältnisse und Winkel an zwei Beispielen (b), d)). In c) findet ein Vergleich mit den Tabellen aus E3|E3 statt, sodass an dieser Stelle ein Bezug zur Ähnlichkeit von Dreiecken und der eindeutigen Zu-ordnung von Seitenverhältnissen und Winkeln stattfindet.

V4 Ziel: Winkel im Dreieck durch Seitenverhältnisse herausfinden Dauer 15 min Bezug Nach E1, O1 und E2 (und V1-V2), evtl. auch nach. Als HA geeignet. Hinweise Ergebnisse können variieren, da die Körpermaße der Lernenden unterschiedlich sind. Darauf sollte

beim Vergleich der Ergebnisse hingewiesen werden. Die Durchführung an einer echten Leiter mit Ausmessen der Körpermaße etc. kann sehr motivierend sein.

Lernwege Mit den Körpermaßen können die Lernenden zunächst die fehlenden Angaben des durch sie gebildeten Dreiecks bestimmen. Diese müssen dann auf das Leiter-Wand-Dreieck übertragen werden, um den Anstellwinkel α bestimmen zu können.


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Vertiefen 2 Mit Sinus rechnen

Hintergrund

In den Vertiefenaufgaben V5-V8 festigen die Lernenden ihr Verständnis, dass der Steigungswinkel in rechtwinkligen Dreiecken durch die Seitenverhältnisse berechnet werden kann (V5) und sichern den

Begriff des Sinus für die Formel sin α = GegenkatheteHypotenuse

, indem sie die Formel zur Berechnung fehlender

Größen nutzen. Dabei finden immer wieder Vergleiche zu den zuvor angefertigten Tabellen und den gemessenen sowie berechneten Werten statt, um die Zusammenhänge zu vertiefen (V6-V8).

V5 Ziel: Steigung bestimmen durch Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse Dauer 15 min Material Tabellen aus E3|E3. Bezug Nach E3|E3 und O2|O2. Als HA geeignet mit den Tabellen aus E3|E3. Hinweise Durch die Berechnung der Seitenverhältnisse aus beiden Perspektiven (α und β), wird an dieser Stelle

bereits der Kosinus angedeutet, da sich die Verhältnisrechnungen und Winkel im rechtwinkligen Drei-eck ergänzen. Dies muss aber noch nicht kommuniziert werden, auch wenn die Entdeckungen für später bedeutend sein können.

Lernwege Die Lernenden berechnen den Steigungswinkel im rechtwinkligen Dreieck durch das Verhältnis von Gegenkathete und Hypotenuse, ohne jedoch den Begriff „Sinus“ oder die Formel zu kennen. Dabei überprüfen sie die Ergebnisse mit den zuvor angefertigten Tabellen aus E3|E3 und interpretieren die Ergebnisse.

V6 Ziel: Gemessene und berechnete Sinuswerte verknüpfen Dauer 15-20 min Material Tabellen aus E3|E3. Bezug Nach E4|E4 und O3. Als HA geeignet mit den Tabellen aus E3|E3. Hinweise Auch nach Einführung der Sinusformel sollen in dieser Aufgabe die Seiten und Winkel vor der Berech-

nung gemessen werden, um die Verknüpfung gänzlich zu sichern. Lernwege

Nach den Messungen berechnen die Lernenden den Sinus durch die Sinusformel. Sie bestimmen dabei auch die Seitennamen des rechtwinkligen Dreiecks, um diese abermals zu vertiefen (a)). Nach dem Vergleich mit den Tabellen in b) erklären die Lernenden, dass der Quotient kleiner als 1 sein muss, da die Hypotenuse immer die längste Seite im Dreieck ist (c)).

V7 Ziel: Allgemeine Anwendungsmöglichkeiten des Sinus durch Ähnlichkeit der Dreiecke

erkennen Dauer 20 min Material Wissensspeicher Figuren 19

Bezug Nach E4|E4 und O3. a) als HA geeignet. Hinweise Die Aufgabe dient als Zusammenführung der vorherigen Entdeckungen und Rechnungen, da zunächst

konstruiert und gemessen wird, bevor allein durch die Sinusformel fehlende Größen bestimmt werden. Dabei soll das Prinzip der Ähnlichkeit die Lernenden dazu bringen, den Zusammenhang zu erkennen, dass der gleiche Winkel im rechtwinkligen Dreieck auch zu einem gleichen Seitenverhältnis führt.

V8 Ziel: Notwendigkeit von zwei bekannten Angaben zur Sinusberechnung erkennen Dauer 20 min Bezug Nach E4|E4 und O3. Vorbereitung von a) als HA geeignet. Hinweise Die Aufgabe sollte deutlich machen, dass es wesentlich angenehmer sein kann, die fehlenden Werte zu

berechnen, als jedes Mal Dreiecke zu konstruieren und die Größen zu messen. Dies kann auch im Ple-num nach der Partnerarbeit deutlich kommuniziert werden.

Lernwege Nachdem die Schülerinnen und Schüler gemessene und berechnete Werte ein weiteres Mal verknüpfen (b)), finden sie durch die Berechnungen in c) heraus, dass nur zwei bekannte Angaben notwendig sind, um fehlende Größen zu bestimmen.


19

Vertiefen 3 Mit Kosinus und Tangens rechnen

Hintergrund

In den Aufgaben V9-V10 festigen die Lernenden ihr Verständnis, dass der Steigungswinkel in recht-winkligen Dreiecken durch verschiedene Seitenverhältnisse berechnet werden kann (V9) und sichern

die Begriffe von Kosinus und Tangens mit den Formeln cos α = AnkatheteHypotenuse

und tan α = GegenkatheteAnkathete

, indem

sie die Formeln zur Berechnung fehlender Größen nutzen. Dabei finden immer wieder Vergleiche zu den zuvor angefertigten Tabellen und den gemessenen sowie berechneten Werten statt und der Zu-sammenhang von Sinus und Kosinus wird vertieft (V10).

V9 Ziel: Steigung bestimmen durch Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse Dauer 20 min Material Tabellen aus E5|E5 und Ergebnisse aus V5. Bezug Nach E5|E5. Als HA geeignet. Hinweise Nachdem der Zusammenhang zwischen Sinus und Kosinus in den vorausgegangenen Aufgaben bereits

angedeutet wurde, findet auch hier die Berechnung der Seitenverhältnisse aus beiden Perspektiven (α und β) statt. Allerdings geht es in c) dann konkret um die Gegenüberstellung der Ergebnisse von Sinus und Kosinus, sodass die Lernenden spätestens jetzt erkennen, dass sich die Verhältnisrechnungen und Winkel von Sinus und Kosinus im rechtwinkligen Dreieck ergänzen.

Lernwege Die Lernenden berechnen den Steigungswinkel im rechtwinkligen Dreieck durch das Verhältnis von Ankathete und Hypotenuse, ohne jedoch den Begriff „Kosinus“ oder die Formel zu kennen. Dabei überprüfen sie die Ergebnisse mit den zuvor angefertigten Tabellen aus E5|E5 und interpretieren die Ergebnisse, auch in Zusammenhang mit den Werten aus V5, die mit dem Sinus ermittelt wurden (c)).

V10 Ziel: Gemessene und berechnete Kosinus- und Tangenswerte verknüpfen und untersu-

chen Dauer 20 min Material evtl. Wissensspeicher Funktionen 5

Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Lernwege Nach der Konstruktion und Messung berechnen die Lernenden in a) den Kosinus durch die Sinusfor-

mel. Mit den Vergleichsrechnungen in b) im gleichen Dreieck erkennen sie noch einmal den Zusam-menhang von Sinus und Kosinus. Danach können die Lernenden durch die Nutzung von Kosinus und Tangens die Tabellen ausfüllen (c) und d)) und untersuchen und begründen einige Phänomene der Zu-sammenhänge (e)).


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Vertiefen 4 Schneller zum Ziel mit dem Taschenrechner

Hintergrund

In den Aufgaben V11-V14 eignen sich die Lernenden die Berechnung von Seitenverhältnissen und Winkeln von Sinus, Kosinus und Tangens mit dem Taschenrechner an und üben dies. Dabei geht es zunächst um die rein handwerkliche Übung, Sinus, Kosinus und Tangens in den Taschenrechner einzu-tippen (V11a)). Weiterhin werden die Berechnungen mit dem Taschenrechner genutzt, um Phänomene und Muster in rechtwinkligen Dreiecken zu untersuchen (V11b), V12) und fehlende Größen zu ermit-teln (V13). In V14 wird die Anwendung von Sinus, Kosinus und Tangens auf ein gleichschenkliges Dreieck übertragen.

V11 Ziel: Sinus, Kosinus und Tangens mit dem Taschenrechner berechnen Dauer 15 min Material Taschenrechner (ab jetzt in jeder Aufgabe) Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweise Der Tipp neben der Aufgabe erklärt genau, welche Tasten des Taschenrechners gedrückt werden müs-

sen, um Seitenverhältnisse und Winkel zu berechnen. V12 Ziel: Winkel mit Taschenrechner berechnen und nach Mustern untersuchen Dauer 15 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweise Der Taschenrechner wird genutzt, um Winkel zu berechnen und diese in einem bestimmten Zusam-

menhang, hier die Muster, zu interpretieren. Auch die Deutung der Fehlermeldung gibt Anlass, über die Zusammenhänge der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck nachzudenken.

Lernwege Die Lernenden erkennen durch die Fehlermeldung bei sin α = 1,1, dass Sinus niemals größer sein kann als 1.

V13 Ziel: Fehlende Größen mit zwei Angaben und dem Taschenrechner berechnen Dauer 20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Paralleldifferenzierend einzusetzen zur Basisaufgabe V13. Hinweis Als Hilfe oder zusätzliche Orientierung kann den Lernenden geraten werden, sich ein rechtwinkliges

Dreieck aufzuzeichnen und zu beschriften, damit es einfacher ist, die Zusammenhänge zu erkennen. Lernwege Die Lernenden berechnen aus zwei gegebenen Größen alle fehlenden Größen im rechtwinkligen Drei-

eck mit dem Taschenrechner. So können sie die Tabelle ergänzen. Dabei kommen sie evtl. erst durch Umwege auf das gesuchte Ergebnis.

Basisaufgabe V13 Ziel: Fehlende Größen mit zwei Angaben und dem Taschenrechner berechnen Dauer 25-30 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Basisaufgabe paralleldifferenzierend einzusetzen zu V13. Hinweis Das Dreieck, das den Lernenden in V13 optional als zusätzliche visuelle Orientierung vorgeschlagen

werden kann, ist in der Basisaufgabe bereits gegeben. Außerdem erhalten die Lernenden eine struktu-rierte Anleitung, wie fehlende Größen berechnet werden können. Dabei wird nicht nur auf die Zusam-menhänge Sinus, Kosinus und Tangens hingewiesen, sondern auch auf den Satz des Pythagoras, dessen Anwendung hilfreich sein kann.

Lernwege Wie in V13 berechnen die Lernenden die fehlenden Größen aus zwei angegebenen Größen. Es handelt sich allerdings um andere Angaben, sodass die Aufgaben einfacher zu lösen sind.

V14 Ziel: Zusammenhänge der Trigonometrie auf gleichschenklige Dreiecke übertragen Dauer 10-15 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Lernwege Die Lernenden erkennen, dass ein gleichschenkliges Dreieck aus zwei rechtwinkligen Dreiecken be-

steht und somit die zuvor erarbeiteten Zusammenhänge Sinus, Kosinus und Tangens auch in diesen Dreiecken genutzt werden können, um sie zu untersuchen. Durch Berechnung mit dem Taschenrechner überprüfen sie die Aussagen der Aufgabe.


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Vertiefen 5 Pythagoras und Sinus

Hintergrund

In der Aufgabe V15 werden die Lernenden explizit auf den Zusammenhang vom Satz des Pythagoras und der Trigonometrie aufmerksam gemacht. Dies zeigt, dass die Schülerinnen und Schüler ihr Vor-wissen über rechtwinklige Dreiecke nicht nur aktivieren, sondern auch nutzen sollen, um Berechnun-gen in rechtwinkligen Dreiecken anzustellen. In vielen Fällen kann es helfen, nicht nur den Pythagoras oder die Sätze der Trigonometrie isoliert zu betrachten, sondern alles in Kombination zu verwenden. Nachdem der Satz des Pythagoras wiederholt wird (a)), geht es wieder um den Vergleich gemessener und berechneter Werte (b)). In den Teilaufgaben c) und d) werden dann wieder fehlende Größen an-hand von gegebenen Angaben berechnet, wobei die Lernenden selber entscheiden müssen, welcher Rechenweg ihnen am besten helfen kann. Innerhalb dieser Anwendungsaufgaben sollen die Lernenden ebenfalls auf der Ebene der Kommunikation und Argumentation aktiviert werden.

V15 Ziel: Verknüpfung vom Satz des Pythagoras und der Trigonometrie in rechtwinkligen

Dreiecken zur Berechnung fehlender Größen Dauer 45-60 min (kann als Thema einer Unterrichtseinheit genutzt werden) Material Wissensspeicher Figuren 17

Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Hinweis Die Kombination von Messungen und Berechnungen werden an dieser Stelle ein weiteres Mal themati-

siert und zeigen den Lernenden eine Möglichkeit auf, wie sie auch in späteren Situationen ihre Ergeb-nisse überprüfen können.

Lernwege Nach verschiedenen Berechnungen innerhalb der Aufgabe sollen die Lernenden in d) die Rechnungen nutzen, um Dreiecke zu untersuchen. Dabei sollen sie erkennen, dass es nur ein eindeutiges Dreieck zu verschiedenen Angaben gibt, wenn eine eindeutige Lösung bestimmt werden kann. In einem weiteren Schritt sollen sie auf der Argumentationsebene eigene Beispiele für eindeutig rechtwinklige Dreiecke finden, wozu sie die Eigenschaften dieser zuvor analysiert haben müssen. Differenzierung: Die Lernenden sollen immer angehalten werden, Skizzen der Dreiecke anzufertigen, sodass die Berechnung fehlender Werte erleichtert wird. Die rechte Spalte von d) kann im Basisweg weggelassen werden.


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Vertiefen 6 Besondere Winkel in Dreiecken

Hintergrund

In den Aufgaben V16-V17/ V17 werden noch einmal spezifisch die Eigenschaften von Winkeln, auch in Zusammenhang mit den Seitenverhältnissen, in rechtwinkligen Dreiecken fokussiert. Dazu wird das rechtwinklige Dreieck in V16 durch die Höhe in zwei rechtwinklige Dreiecke unterteilt, sodass Unter-suchungen stattfinden können. In V17/ V17 analysieren die Lernenden gezielt den Bezug zwischen Winkeln und Seitenverhältnissen und betrachten dabei besondere Winkel und Seitenverhältnisse.

V16 Ziel: Berechnungen an einem zerlegten rechtwinkligen Dreieck anstellen

Dauer 30 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Hinweise Auch in dieser Aufgabe können Skizzen der rechtwinkligen Dreiecke als Hilfen genutzt werden. Lernwege Die Lernenden finden anhand selber gezeichneter Dreiecke heraus, dass die Winkel α und γ2 gleich

groß sind (a)). Bei b) berechnen sie dann wieder fehlende Größen, aber dieses Mal in einem zerlegten rechtwinkligen Dreieck. Teilaufgabe c) regt dazu an, eigene Beispiele zu finden. Differenzierung: Um Teilaufgabe a) weniger offen zu gestalten, kann die Lehrkraft bereits einige Drei-ecke vorgeben, an denen der Zusammenhang von α und γ2 untersucht werden kann. Teilaufgabe b) ist paralleldifferenzierend, da die linke Spalte einfachere Anwendungsaufgaben enthält als die rechte.

V17 Ziel: Besondere Seitenverhältnisse und dazugehörige Winkel im rechtwinkligen Dreieck

untersuchen Dauer 25-30 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Evtl. als HA geeignet. Paralleldifferenzierend einzusetzen zur Basisaufgabe V17. Hinweise Teilaufgabe a) differenziert bereits durch die verschiedenen Spalten, bei schwächeren Schülerinnen und

Schülern kann die rechte Spalte ausgelassen werden. Eine dritte Differenzierung mit weiterer Vorstruk-turierung findet in V17 statt. In b) können wieder Skizzen als Hilfsmittel angeraten werden.

Lernwege Die Lernenden sollen sowohl mit als auch ohne Rechnung die Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck erkennen und somit beispielsweise in a) herausfinden, dass die Hypotenuse bei einem 30°-Winkel doppelt so lang ist wie die Gegenkathete. Weitere solcher besonderen Zusammenhänge werden in b) thematisiert und untersucht.

Basisaufgabe V17 Ziel: Besondere Seitenverhältnisse und dazugehörige Winkel im rechtwinkligen Dreieck

untersuchen Dauer 25-30 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Basisaufgabe paralleldifferenzierend einzusetzen zu V17. Hinweis Das Dreieck in a) wird in einer anderen Perspektive dargestellt, die das Erkennen der Seitenverhältnisse

erleichtern kann. Lernwege Wie in V17 erkennen die Lernenden zunächst ohne Rechnung die Seitenverhältnisse (a)) und untersu-

chen dann konkret einige besondere Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck (b)). Dazu erhalten sie weniger Analyseaufgaben, auf die sie sich konzentrieren sollen und die bereits Anregungen zum Vorgehen der Untersuchung bieten.


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Vertiefen 7 Flächen berechnen in anderen Formen

Hintergrund

In den Aufgaben V18-V22|V22 untersuchen die Lernenden andere Figuren und finden dabei rechtwink-lige Dreiecke, um mit den Zusammenhängen der Trigonometrie fehlende Größen, Umfang und Flä-cheninhalt zu berechnen. Es geht dabei um das allgemeine Dreieck und Parallelogramm (V18-V20), Rechteck (V21), Trapez und Raute (V22|V22).

V18 Ziel: Mit rechtwinkligen Dreiecken im allgemeinen Dreieck und Parallelogramm den

Flächeninhalt bestimmen Dauer 45 min, bei gründlicher Bearbeitung als Inhalt einer Unterrichtsstunde geeignet Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Hinweise Paralleldifferenzierend. Konzept der Ähnlichkeit kann als Hilfestellung erneut aufgegriffen werden. Lernwege Die Lernenden erkennen, auch anhand des Tipps an der Seite, dass in verschiedenen Figuren wie all-

gemeinen Dreiecken und Parallelogrammen rechtwinklige Dreiecke gefunden werden können, die bei der Berechnung fehlender Werte helfen können. Sobald zwei Seiten und ein Winkel des Dreiecks gege-ben sind, können die Schülerinnen und Schüler mit Sinus, Kosinus oder Tangens die Höhe des Dreiecks und somit auch den Flächeninhalt bestimmen(a)-d)). Gleiches gilt im Parallelogramm(e)-f)). Die Teil-aufgaben c), d) und e) können im Basisweg übersprungen werden, da verallgemeinernde Formel und zusätzliche Untersuchungen thematisieren.

V19 Ziel: Parallelogramme mit gleichen Seitenlängen untersuchen Dauer 15-20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Kann im Basisweg übersprungen werden. Lernwege Die Lernenden untersuchen Parallelogramme und deren Flächeninhalte. Dabei erkennen sie, dass sich

die Flächeninhalte von Parallelogrammen auch bei gleichen Seitenlängen unterscheiden und die Winkel dabei eine entscheidende Rolle spielen.

V20 Ziel: Die Höhe im Parallelogramm durch Sinus bestimmen und für die Flächenberech-

nung nutzen Dauer 15 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Kann als HA vorbereitet werden, sollte aber dann auch diskutiert werden. Hinweise Es kann helfen, an der Tafel das rechtwinklige Dreieck, das durch die Höhe im Parallelogramm entsteht

genauer zu betrachten und die Seitennamen zu beschriften, damit der Sinus in der Flächenformel deut-licher wird. Kann auch im Basisweg mit ausreichender Hilfestellung eingesetzt werden.

Lernwege In dieser Aufgabe ersetzen die Lernenden die Höhe des Parallelogramms durch sin α, um den Flächen-inhalt zu berechnen und erklären dies (a)). Die Formel nutzen sie anschließend für die Flächenberech-nung (b)), wenn die Höhe nicht bekannt ist. Auch an dieser Stelle analysieren sie den Zusammenhang von Flächeninhalt und Winkeln (c)), wie in der vorherigen Aufgabe V19.

V21 Ziel: Zusammenhänge der Trigonometrie zur Flächenberechnung im Rechteck nutzen

Dauer 15-20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Kann als HA vorbereitet werden, sollte aber dann auch diskutiert werden.

Lernwege In dieser Aufgabe wenden die Lernenden die Zusammenhänge von rechtwinkligen Dreiecken in Recht-ecken an, indem sie vor allem die Diagonalen nutzen. Dabei berechnen sie in a), d) und e) sowohl feh-lende Größen als auch Umfang und Flächeninhalt und untersuchen in b) und c) Muster und Zusammen-hänge in Rechtecken.


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V22 Ziel: Mit rechtwinkligen Dreiecken im Trapez und der Raute den Flächeninhalt bestim-

men Dauer 20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Paralleldifferenzierend einzusetzen zur Basisaufgabe V22. Hinweise Zusammen können die Lernenden im Plenum oder PA/ GA diskutieren, wo sich die rechtwinkligen

Dreiecke im Trapez befinden, um die Zusammenhänge der Trigonometrie nutzen zu können. Lernwege Die Lernenden verwenden in dieser Aufgabe Sinus, Kosinus und Tangens, um Umfang und Flächenin-

halt in Trapez und Raute zu berechnen, indem sie auch in diesen Figuren rechtwinklige Dreiecke fin-den.

Basisaufgabe V22 Ziel: Mit rechtwinkligen Dreiecken im Trapez und der Raute den Flächeninhalt bestim-

men Dauer 20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Basisaufgabe paralleldifferenzierend einzusetzen zu V22. Lernwege Wie in V22 sollen die Lernenden ihre Kenntnisse zu rechtwinkligen Dreiecken auf Trapeze und Rauten

übertragen. Allerdings erhalten sie in der Basisaufgabe bereits die eingeteilten Figuren, sodass die rechtwinkligen Dreiecke nicht mehr gesucht werden müssen. In a) ist als Hilfestellung eine genaue Beschreibung der Vorgehensweise beschrieben, in welcher Reihenfolge die fehlenden Größen berech-net werden können, um am Ende den Flächeninhalt berechnen zu können. Außerdem wurden einige Teilaufgaben gekürzt, sodass die Schülerinnen und Schüler im Unterricht ungefähr die gleiche Bearbei-tungsdauer benötigen sollten.

Vertiefen 8 Sinus, Kosinus und Tangens in verschiedenen Situationen

Hintergrund

Bei den Aufgaben V23-V35 handelt es sich um Sachaufgaben rund um das Thema Trigonometrie, so-dass die Lernenden in verschiedenen Kontexten mit den Zusammenhängen Sinus, Kosinus und Tan-gens arbeiten und Probleme lösen.

V23 Ziel: Sinus, Kosinus und Tangens zur Berechnung von Rampen nutzen Dauer 30-45 min (abhängig, ob Aufgaben mit Praxisbeispielen erweitert werden) Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. In c) können auch die Rampen oder Treppen der eigenen Schule vermessen und berechnet werden, um einen Lebensweltbezug zu schaffen.

Lernwege Die Lernenden untersuchen verschiedene Rampen und vergleichen diese. In a) handelt es sich um Autorampen, in b) wird die Einhaltung bestimmter Winkel von Rampen in Hamsterkäfigen überprüft und c) beschäftigt sich mit Rollstuhlrampen. Auch an dieser Stelle sollen vorgeschriebene Höhen und Winkel von Rampen kontrolliert werden.

V24 Ziel: Steigung von verschiedenen Bergen mithilfe der Trigonometrie vergleichen Dauer 15-20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. Außerdem sollte die durchschnittliche Steilheit thematisiert werden, da die Berge nicht kontinuierlich steigen.

Lernwege Um die Steilheit der Berge zu bestimmen, müssen die Lernenden zunächst den Höhenunterschied be-rechnen. Danach können sie den Sinus nutzen, um die Steilheit in einem Winkel anzugeben.


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V25 Ziel: Sinus, Kosinus und Tangens zu Berechnungen beim Hausbau nutzen Dauer 20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. Lernwege Die Lernenden nutzen die Zusammenhänge der Trigonometrie für Berechnungen von Dächern (a)),

Baugerüsten (b)) und Rolltreppen (c)). Auch hier überprüfen sie vorgegebene Vorschriften.

V26 Ziel: Trigonometrie bei Körpern nutzen Dauer 20-25 min Material Wissensspeicher Körper 10

Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen wird. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. Außerdem sollten die Körper als auch die Volumenberechnung bei Bedarf vorher wiederholt werden.

Lernwege Anhand von Pyramiden (a)) und Kegeln (b), c)) erarbeiten die Lernenden die Berechnung der Stei-gungswinkel und anderer fehlender Werte in Körpern durch Sinus, Kosinus und Tangens, nachdem sie dies in Vertiefen 7 bereits in verschiedenen Figuren gemacht haben. Sie werden auch dazu aufgefor-dert, weiterführende Überlegungen anzustellen.

V27 Ziel: Trigonometrie im Quader nutzen Dauer 35-45 min (abhängig, ob Aufgaben mit Anschauungsmaterial erweitert werden) Material verschiedene Quader zur Anschauung, um sich die rechtwinkligen Dreiecke der Diagonalen besser

vorstellen zu können Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen wird. Pa-

ralleldifferenzierend einzusetzen zur Basisaufgabe V27. Hinweise Die Aufgabe ist besonders gut für eine Gruppenarbeit geeignet. Lernwege Die Lernenden wenden Sinus, Kosinus und Tangens für die Berechnung fehlender Werte der Seiten-,

Flächen- und Raumdiagonalen im Quader an, durch die rechtwinklige Dreiecke entstehen. Weiterfüh-rend sollen außerdem verallgemeinernde Formeln für die Diagonalen im Quader gefunden werden.

Basisaufgabe V27 Ziel: Trigonometrie im Quader nutzen Dauer 35-45 min (abhängig davon, ob Aufgaben mit Anschauungsmaterial erweitert werden) verschiedene Quader zur Anschauung, um sich die rechtwinkligen Dreiecke der Diagonalen besser

vorstellen zu können Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen wird. Ba-

sisaufgabe paralleldifferenzierend einzusetzen zu V27. Hinweise Die Aufgabe ist besonders gut für eine Gruppenarbeit geeignet. Lernwege Die Basisaufgabe ermöglicht eine vertiefende Auseinandersetzung mit dem Schrägbild des Quaders,

um die Diagonalen besser zu visualisieren und das räumliche Denken zu unterstützen. Auch das Recht-eck der Raumdiagonale wird noch einmal isoliert dargestellt. Nach den Berechnungen im Quader fin-den außerdem Berechnungen im Würfel statt.

V28 Ziel: Steigungswinkel und Längen von Leitern durch die Zusammenhänge der Trigono-

metrie bestimmen Dauer 15-20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. Als weiterführendes Kurzprojekt könnte die örtliche Feuerwehr kontaktiert werden, um weitere Be-rechnungen mit den Drehleitern der Feuerwehrautos durchzuführen.

Lernwege In dieser Aufgabe müssen die Lernenden vor allem beachten, dass die Leitern nicht am Boden begin-nen, sondern einen anderen Fußpunkt haben.


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V29 Ziel: Winkel von gefaltetem Papier untersuchen Dauer 45 min (als Kurzprojekt in einer Gruppenarbeit) Material verschiedene DIN-Blätter und auch Papier in anderen Formaten Bezug Nach O4|O4 und O5. Hinweise In Gruppenarbeit könnte das Falten, Berechnen und Messen mit verschiedenen Größen der Blätter von

allen selbst durchgeführt werden und in Gruppenergebnissen festgehalten werden. Später können die Gruppen ihre Ergebnisse vergleichen.

Lernwege Die Lernenden stellen fest, dass die Winkel bei gleichbleibendem Seitenverhältnis des Papiers immer gleich sind. Stehen Länge und Breite des Papiers in einem anderen Verhältnis, gilt der entdeckte Zu-sammenhang nicht mehr.

V30 Ziel: Schatten unter verschiedenen Einfallswinkeln der Sonnenstrahlen berechnen Dauer 20 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. Lernwege Die Lernenden erkennen die Auswirkung verschiedener Einfallswinkel der Sonne für den Schatten der

Bäume zu unterschiedlichen Tages- oder Jahreszeiten.

V31 Ziel: Neigungen schiefer Türme bestimmen und vergleichen Dauer 25-30 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweis Auch hier können Skizzen angefertigt werden, um die Dreiecke für die Berechnungen zu visualisieren. Lernwege Mit dem Sinus können die Lernenden die Neigungen der Türme bestimmen und vergleichen, welcher

Turm der schiefste ist.

V32 Ziel: Rechtwinklige Dreiecke bei Kontrolltürmen zur Bestimmung von Höhe und Ab-stand nutzen

Dauer 15 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Kann im Basisweg übersprungen werden. Hinweise Die Schülerinnen und Schüler sollen angehalten werden, Skizzen anzufertigen, um die Dreiecke für die

Berechnungen zu visualisieren. Lernwege In dieser Aufgabe erkennen die Lernenden, dass sie zunächst ein anderes rechtwinkliges Dreieck nutzen

müssen, um fehlende Werte zu berechnen, um dann die eigentlich gesuchten Größen bestimmen zu können.

V33 Ziel: Auswirkung von Messfehlern erkennen Dauer 15 min Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet. Hinweise Durch Variieren der Winkel (a)) und der Entfernung (b)) untersuchen die Lernenden die Auswirkungen

von Messfehlern und können dabei ihre eigene Messgenauigkeit reflektieren.

V34 Ziel: Trigonometrie zur Bestimmung von Straßensteigung nutzen Dauer 30-45 min (abhängig von der Ausführlichkeit) Material Verknüpfung mit V24. Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Paralleldifferenzierend einzusetzen zur Basisauf-

gabe V34. Hinweise Die Lernenden sollen erkennen, dass das im Schild abgebildete Dreieck nicht zur Berechnung der Stra-

ßensteigung geeignet ist, da es sich um ein rechtwinkliges Dreieck handeln muss (a)). In e) und f) ist wieder von durchschnittlicher Steigung die Rede, was evtl. kurz im Plenum thematisiert werden muss.

Lernwege Die Lernenden sollen die gegebene Formel zur Berechnung der Straßensteigung nachvollziehen (a)) und verknüpfen diese mit dem Tangens (b)). Auf diese Weise können sie die Steigung verschiedener Straßen bestimmen. Außerdem werden sie in d) aufgefordert, Veränderungen zu beobachten und zu deuten.


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Basisaufgabe V34 Ziel: Trigonometrie zur Bestimmung von Straßensteigung nutzen Dauer 30-45 min (abhängig der Ausführlichkeit) Material Verknüpfung mit V24. Bezug Nach O4|O4 und O5. Teilaufgaben als HA geeignet. Basisaufgabe paralleldifferenzierend einzusetzen

zu V34. Lernwege In dieser Basisaufgabe haben die Lernenden die Gelegenheit, die gegebene Steigungsformel genauer zu

betrachten und auf diese Weise besser nachvollziehen zu können. Dabei wird auch nochmal der Zu-sammenhang von Dezimal- und Prozentzahlen thematisiert. Haben die Schülerinnen und Schüler die Formel wirklich verstanden, kann diese wie in V34 mit dem Tangens verknüpft und die verschiedenen Straßensteigungen berechnet werden.

V35 Ziel: Trigonometrie zu Berechnungen in einer Kugel nutzen Dauer 25-30 min Material evtl. ein Globus zur Anschauung Bezug Nach O4|O4 und O5. Als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen wird. Kann

im Basisweg übersprungen werden. Hinweise Diese Problemlöseaufgabe verlangt einiges Vorwissen über die Erde mit ihren Längen- und Breiten-

graden. Evtl. muss dies im Plenum vorher besprochen werden, um die Aufgabe richtig lösen zu können. Eine Wiederholung der Kugelformeln könnte sinnvoll sein. Die Länge des Äquators muss recherchiert werden.

Lernwege Die Lernenden finden rechtwinklige Dreiecke in einer Kugel und berechnen mit den Zusammenhängen der Trigonometrie verschiedene Radien und Punkte. Dies wird mit der Formel zur Geschwindigkeits-berechnung verknüpft.


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Vertiefen 9 Bewegungen mit Wiederholungen darstellen

Hintergrund

In den Aufgaben V36-V43 üben die Lernenden die Berechnung von Sinus im Kreis, untersuchen inten-siv die Sinusfunktion und vertiefen und nutzen ihre Kenntnisse über die Sinusfunktion in interessanten Anwendungskontexten. Auch Vertiefen 9 kann im Basisweg weggelassen werden.

V36 Ziel: Sinuswerte im Kreis berechnen Dauer 25 min Bezug Nach E7. Teilaufgaben als HA geeignet. Kann im Basisweg ausgelassen werden. Hinweise Evtl. können die rechtwinkligen Dreiecke noch einmal im Kreis eingezeichnet werden, um zu verdeut-

lichen, wie mit dem Sinus die Höhe berechnet werden kann. Lernwege Die Lernenden bestimmen mit der Sinus-Formel verschiedene Werte am Kreis und erkennen durch die

Kreisbewegung die Wiederholung und Symmetrie der Winkel und Werte. Davon ausgehend geben sie zu vorgegebenen Winkeln Sinuswerte und zu vorgegebenen Sinuswerten Winkel an.

V37 Ziel: Sinuswerte aus dem Kreis in einen Graphen übertragen im Kontext „Riesenrad“ Dauer 20 min

Bezug Nach E7. Als HA geeignet. Kann im Basisweg ausgelassen werden. Hinweise An dieser Stelle ist der Begriff der Sinusfunktion noch nicht bekannt, sodass die Lernenden neutral mit

dem Graphen umgehen und experimentieren können. Lernwege In der Aufgabe tragen die Lernenden die Positionen der Gondel im Riesenrad (Kreis) in ein Koordina-

tensystem ein und untersuchen den Graphen. Dabei nehmen sie systematisch Veränderungen des Gra-phen als Ganzes vor, indem sie erst den Zusammenhang von Zeit und Höhe (b)) und dann Zeit und Drehwinkel (c)) untersuchen und die Auswirkungen interpretieren.

V38 Ziel: Intensive Untersuchung der Sinusfunktion Dauer 25 min Bezug Nach O6. Als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen wird. Kann im Basis-

weg ausgelassen werden. Lernwege Die Lernenden untersuchen die Sinusfunktion besonders genau, um wichtige Werte und den Verlauf

herauszuarbeiten. Dazu gehören Schnittpunkte mit den Achsen, Hoch- und Tiefpunkte und Verände-rungen der Steigung (a)). Noch einmal genauer untersucht wird die Veränderung der Steigung bei der Sinusfunktion in Teilaufgabe b).

V39 Ziel: Sinusfunktion auf den Kontext Sonnenverlauf übertragen Dauer 25 min Material Materialblock Bezug Nach O6 und V38. Als HA geeignet. Kann im Basisweg ausgelassen werden. Hinweise Vor Bearbeitung der Sachaufgabe sollte die Sinusfunktion mit ihren Eigenschaften und in ihrer präg-

nanten Gestalt verinnerlicht worden sein, damit weiterführende Untersuchungen und Vergleiche mög-lich sind.

Lernwege Die Lernenden analysieren den Sonnenverlauf, indem sie Hoch- und Tiefpunkte als auch die Steigung betrachten und übertragen den Verlauf dann auf den Graphen der Sinusfunktion, indem sie die Funktion als Ganzes betrachten. Als Orientierung dient dabei die Uhrzeit als x-Achse, die den entsprechenden Winkeln der Sinusfunktion zugeordnet werden soll.


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V40 Ziel: Sinusfunktion auf den Kontext Solarstromproduktion übertragen Dauer 15-20 min Bezug Nach O6 und V38. Als HA geeignet. Kann im Basisweg ausgelassen werden. Hinweise Vor Bearbeitung der Sachaufgabe sollte die Sinusfunktion mit ihren Eigenschaften und in ihrer präg-


Lernwege Die Schülerinnen und Schüler tragen die Werte der Stromproduktion in ein Koordinatensystem ein und erkennen ähnliche Charakteristika wie bei der Sinusfunktion. Daher findet in b) ein Vergleich mit der Sinusfunktion statt, bei dem die einzelnen Monate einem Winkel zugeordnet werden sollen.

V41 Ziel: Sinusfunktion zur Berechnung des Schattenverlaufs bei Bäumen Dauer 25-30 min

Material Ergebnisse aus V30.

Bezug Nach O6 und V38. Als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen wird. Kann im Basisweg ausgelassen werden.

Hinweise Vor Bearbeitung der Sachaufgabe sollte die Sinusfunktion mit ihren Eigenschaften und in ihrer präg-nanten Gestalt verinnerlicht worden sein, damit weiterführende Untersuchungen und Vergleiche mög-lich sind.

Lernwege Anders als in V30 soll nun der Schatten eines Baumes nicht zu einem bestimmten Zeitpunkt, sondern der Verlauf aufgezeigt werden. Dazu wird aber auch in dieser Aufgabe der Sinus benötigt. Außerdem untersuchen die Lernenden anhand des gegebenen Kontextes, welche Auswirkungen Veränderungen verschiedener Komponenten (Baumhöhe, Einfallswinkel der Sonne) auf den Graphen der Sinusfunktion haben.

V42 Ziel: Eigenschaften der Sinusfunktion wiederholen und den Funktionsterm erarbeiten Dauer 45 min (kann zur Gestaltung einer ganzen Unterrichtseinheit genutzt werden) Material Computer mit dynamischer Mathematiksoftware Bezug Nach O6 und V38. Teilaufgaben als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen

wird. Kann im Basisweg ausgelassen werden. Hinweise Vor Bearbeitung der Sachaufgabe sollte die Sinusfunktion mit ihren Eigenschaften und in ihrer präg-


Lernwege Im Kontext der Tageslängen untersuchen die Lernenden ein weiteres Mal die besonderen Punkte und die Steigung des Graphen. In Teilaufgabe b) prüfen sie dann die Gemeinsamkeiten des Graphen mit der Sinusfunktion und die Eignung, den Verlauf der Tageslänge als Sinusfunktion darzustellen. Mithilfe einer dynamischen Mathematiksoftware am Computer wird an dieser Stelle nicht nur der Graph, son-dern auch der Funktionsterm der Sinusfunktion thematisiert (c)-d)).

V43 Ziel: Darstellung von Kreisbewegungen durch die Sinusfunktion reflektieren Dauer 35 min (Aufgabe kann aber durch Ergänzungen erweitert werden) Bezug Nach O6 und V38. Teilaufgaben als HA geeignet, wenn die Aufgabe danach im Unterricht besprochen

wird. Kann im Basisweg ausgelassen werden. Hinweise Vor Bearbeitung der Sachaufgabe sollte die Sinusfunktion mit ihren Eigenschaften und in ihrer präg-


Lernwege Mithilfe der Sinusfunktion untersuchen die Lernenden den Abstand des Mondes „Europa“ zum Jupiter. Dazu nutzen sie die Tabellen und Funktionsgraphen und müssen dabei ihre bisherigen Kenntnisse zu Kreisbewegungen erweitern, da diese nicht vertikal wie bei einem Riesenrad stattfinden, sondern hori-zontal.


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Kompetenzen Übergreifende mathematische Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler… erklären mathematische Phänomene und Zusam-

menhänge. vernetzen die Kenntnisse verschiedener Inhaltsberei-

che (Funktionen und Geometrie). untersuchen mathematische Zusammenhänge durch

systematische Veränderung und interpretieren die Muster.

Schwerpunkte bei den arbeitsmethodischen Kompetenzen Die Schülerinnen und Schüler… vergleichen und verknüpfen gemessene und berech-

nete Ergebnisse. untersuchen funktionale Zusammenhänge in geomet-

rischen Situationen (auch durch dynamische Mathe-matiksoftware).

Hinweise zur systematischen Wortschatzarbeit Sprechen und Schreiben: Die folgenden (ggf. schon aus anderen Kapiteln bekannten) Wörter und Satzbausteine sollten Lernende dauerhaft aktiv nutzen können: Es sieht aus, als wäre er größer als …, Ich verändere die Größen, Ich verdopple/ verdreifache/ halbiere … die Größe

[Seitenlängen, Winkel], Ich messe die Seitenlängen/ den Winkel, Die Winkelsumme beträgt …, Ein rechtwinkliges Dreieck hat eine Hypotenuse und

zwei Katheten (Gegenkathete und Ankathete), Die Hypotenuse liegt gegenüber vom rechten Winkel

und ist die längste Seite, Ich berechne das Seitenverhältnis von Gegenkathete/

Ankathete/ Hypotenuse, Das Seitenverhältnis zwischen … und … bleibt

gleich, Die Steigung beträgt …, Es steigt (nicht) proportional, Die Steigung kann als Winkel angegeben werden, Die Dreiecke sind einander ähnlich, Das Seitenverhältnis gehört zu einem Winkel, Der Sinus/ Kosinus/ Tangens von α beträgt, Sinus und Kosinus gehören zusammen/ ergänzen

sich, Man kann eine Funktion aufstellen, Mit dem Satz des Pythagoras kann die fehlende Seite

… berechnet werden, Die Figur (Dreieck, Rechteck, Parallelogramm…)

muss eingeteilt werden, damit ein rechtwinkliges Dreieck entsteht,

Der Kreis hat den Radius …, Mit dem Radius entstehen rechtwinklige Dreiecke

im Kreis, Man kann den Graphen auf die Sinusfunktion über-

tragen, Ich konstruiere ein Dreieck mit dem Steigungswin-

kel …, Eine Steigung von … Grad, Das Verhältnis von Höhe und Strecke ist …, Des Winkels zur Hypotenuse/ Ankathete ist …, Wenn das Verhältnis der Längen gleich bleibt, dann

…, Zum Winkel … gehört das Verhältnis …, ... ist die Erweiterung des Bruches …, Ich verändere beide Längen mit dem Faktor …, Der zugehörige Drehwinkel beträgt …, … sind zueinander ähnlich, die Hypotenuse, Ich stelle … in Abhängigkeit von … dar, Wenn der Graph der Funktion steigt, dann …, Der Winkel zwischen x-Achse und … Ich ergänze das Dreieck zu einem rechtwinkligen

Dreieck mit … .

Lesen und Zuhören: Diese Wörter und Satzbausteine sollten Lernende verstehen, aber nicht unbedingt selbst nutzen können: Die Figuren/ Dreiecke sind zueinander mathematisch

ähnlich, Die einander entsprechenden Winkel sind gleich

groß, Die Längenverhältnisse einander entsprechender

Seiten sind gleich, Die Funktionsgleichung beschreibt den funktionalen

Zusammenhang, Die Figuren sind kongruent, also deckungsgleich, Das Dreieck ist eindeutig konstruierbar, Das Seitenverhältnis kann dem Winkel zugeordnet

werden, Der Winkel … entspricht der Steigung, Es liegt ein/ kein proportionaler Zusammenhang vor, Die Gegenkathete liegt dem Winkel gegenüber, Die Ankathete liegt auf einem Schenkel des Win-

kels, Das Steigungsdreieck entspricht dem Tangens, Zerlegung der Figur in rechtwinklige Dreiecke, Ergänzung des Dreiecks zu einem rechtwinkligen

Dreieck, Durch Flächen- und Raumdiagonalen entstehen

rechtwinklige Dreiecke in Körpern, Der Funktionsterm beschreibt … in Abhängigkeit

von …, Im Einheitskreis kann jedem Funktionswert ein

exakter Winkel zugeordnet werden,


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Der Verlauf von … entspricht der Sinusfunktion, Der Tangens des Winkels entspricht der Steigung der

linearen Funktion …, Der Quotient der Größen … und …, Die Ankathete liegt auf einem Schenkel des Win-

kels. Überprüfung Eine alternative Leistungsüberprüfung könnte z. B. in einem Projekt bestehen, in dem die Trigonometrie in einem der Anwendungskontexte (Freizeitpark, Situatio-nen in Vertiefen 8) tiefergehend genutzt wird. Dazu müssten die Lernenden zu dem jeweiligen Thema weiter-führende Recherchen anstellen, um dann mit den Infor-mationen und dem Sinus, Kosinus und Tangens fehlende Werte zu berechnen und Probleme zu lösen. Auch die sich wiederholende Bewegung im Kreis bietet Anlässe, die in Sachsituationen genauer untersucht wer-den könnten. Beispielsweise könnten anlehnend an V43 weitere Planeten und ihre Monde genauer betrachtet werden.


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Die Hinweise beziehen sich auf die Aufgaben im Schulbuch. Alternativ kann mit den zusätz-lichen Trainingsaufgaben im Onlinebereich von Cornelsen geübt werden.

Basiskompetenzen, die in der Übe-Kartei für das spätere

Vertiefen aufgegriffen werden: K1 Ich kann den Zusammenhang von Winkeln und Sinus-

werte erklären? K2 Ich kann mit Sinus, Kosinus & Tangens Maße von Seiten,

Winkeln und Flächen in rechtwinkligen Dreiecken be-stimmen.

K3 Ich kann mit einer Sinusfunktion Kreisbewegungen be-schreiben.

K1

K2

K3

K4

K5

K6

K7

K8

K9

Kompetenzen aus vorangegangenen Kapiteln:

Steigung von Funktionen

K1 Ich kann die Steilheit von Achterbahnen rechnerisch ver-gleichen, wenn ich Höhen und Fahrstrecken kenne.

Satz des Pythagoras

K2 Ich kann in rechtwinkligen Dreiecken aus den Angaben einer Seitenlänge und einer weiteren Größe alle anderen Winkel und alle anderen Seitenlängen bestimmen.

Ähnlichkeit

K3 Ich kann die Steigung in einem rechtwinkligen Dreieck als Winkel, Prozentangabe und als Verhältnis angeben.


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Materialübersicht für dieses Kapitel

Das hier aufgelistete Material ist jeweils mit einem Verweis versehen, an dem Sie erkennen, wo Sie das Material finden. Dabei steht:

- SB für das zugehörige Schulbuch, - MB für den gedruckten Materialblock,

- KOSIMA für Online-Angebote auf der KOSIMA-Homepage: http://www.ko-si-ma.de Produkte Handreichungen mathewerkstatt 10,

- CORNELSEN für Online-Angebote bei Cornelsen mit Mediencode (Buchkennung: MWS040048-Buchseite-Zahl): www.cornelsen.de/mathewerkstatt-info mathewerkstatt 10 oder mathewerkstatt 6.

Trigonometrie 1 Bild der Einstiegsseite (SB|KOSIMA)

Trigonometrie 2 Wissensspeicher Figuren 6 (SB E1|MB Kl. 7)

Trigonometrie 3 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 6 (SB E1|KOSIMA)

Trigonometrie 4 Wissensspeicher Figuren 15 (SB E2/E3/E3|MB Kl. 9)

Trigonometrie 5 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 15 (SB E2/E3/E3|KOSIMA)

Trigonometrie 6 Basisaufgabe Steigung von Achterbahnen berechnen (SB E3|MB)

Trigonometrie 7 Basisaufgabe Doppelter Winkel, doppelte Steigung (SB E4|MB)

Trigonometrie 8 Wissensspeicher Funktionen 8 (SB E4/E4|MB Kl. 8)

Trigonometrie 9 Ausgefüllter Wissensspeicher Funktionen 8 (SB E4/E4|KOSIMA)

Trigonometrie 10 Basisaufgabe Bodenlänge und Fahrstrecke (SB E5|MB)

Trigonometrie 11 Wissensspeicher Figuren 6 (SB O1/O2/O2|MB Kl. 7) Trigonometrie 12 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 6 (SB O1/O2/O2|KOSIMA)

Trigonometrie 13 Wissensspeicher Figuren 17 (SB O1|MB Kl. 9) Trigonometrie 14 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 17 (SB O1|KOSIMA)

Trigonometrie 15 Wissensspeicher Figuren 19 (SB O1/O2/O2/O3|MB) Trigonometrie 16 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 19 (SB O1/O2/O2/O3|KOSIMA)

Trigonometrie 17 Basisaufgabe Zusammenhang zwischen Gegenkathete, Hypotenuse und Winkel (SB O2|MB)

Trigonometrie 18 Basisaufgabe Zusammenhang zwischen Ankathete, Hypothenuse und Winkel (SB O4|MB)

Trigonometrie 19 Wissensspeicher Figuren 20 (SB O4/O4/O5|MB) Trigonometrie 20 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 20 (SB O4/O4/O5|KOSIMA)

Trigonometrie 21 Wissensspeicher Funktionen 4 (SB O5|MB Kl. 8) Trigonometrie 22 Ausgefüllter Wissensspeicher Funktionen 4 (SB O5|KOSIMA)

Trigonometrie 23 Wissensspeicher Funktionen 20 (SB O6|MB) Trigonometrie 24 Ausgefüllter Wissensspeicher Funktionen 20 (SB O6|KOSIMA)

Trigonometrie 25 Wissensspeicher Funktionen 5 (SB V1/V10|MB Kl. 8) Trigonometrie 26 Ausgefüllter Wissensspeicher Funktionen 5 (SB V1/V10|KOSIMA)

Trigonometrie 27 Basisaufgabe Fehlende Größen in rechtwinkligen Dreiecken berechnen (SB V13|MB)

Trigonometrie 28 Wissensspeicher Figuren 17 (SB V15|MB Kl. 9)

Trigonometrie 29 Ausgefüllter Wissensspeicher Figuren 17 (SB V15|KOSIMA) Trigonometrie 30 Basisaufgabe Spezielle Winkelmaße (SB V17|MB)

Trigonometrie 31 Basisaufgabe Flächenberechnung von Trapez und Raute (SB V22|MB)

Trigonometrie 32 Wissensspeicher Körper 10 (SB V26|MB)

Trigonometrie 33 Ausgefüllter Wissensspeicher Körper 10 (SB V26|KOSIMA) Trigonometrie 34 Basisaufgabe Quader und Würfel (SB V27|MB)

Trigonometrie 35 Basisaufgabe Straßensteigung (SB V34|MB)


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Trigonometrie 36 Arbeitsmaterial Mitternachtssonne (SB V39|MB)

Trigonometrie 37 Simulation (SB V43|CORNELSEN, Mediencode: 125-1)

Trigonometrie 38 Zusätzliches Trainingsangebot (CORNELSEN, Mediencode: 126-1) Trigonometrie 39 Checkliste zum Ausfüllen (SB|MB & CORNELSEN)

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