제4장

불(Boole)연결자

지금까지는 단순명제만을 다루었다. 보다 복잡한 주장을 다루기 위해서는

구문을 확장해야만 하며, 1차 논리 언어에서 복합명제을 어떤 방식으로 지

원하는지를 살펴보도록 하겠다. 본 장(chapter)에서는 가장 간단한 형태의

연결자(connectives)를 세 개(논리합, 논리곱, 부정)를 소개한다.

논리합, 논리곱, 부정은 각각 영어의 and, or, not에 해당하며, 죠지 불

(George Boole)이라는 수학자 이름을 따라 불 연결자라고 불린다.

4.1 불(Boole)연결자

4.1.1 논리역(negation) 연결자 : ¬

1차 논리 언어의 명제 P와 기호 ¬를 이용하여 새로운 복합명제 ¬P를 만

든다. 즉,

P가 명제면 ¬P도 명제다.

39

40 불(Boole) 연결자

논리역 연결자의 의미와 게임 규칙

1차 논리 언어의 임의의 명제 P에 대해,

¬P가 참이라 함은 P가 거짓임의 의미한다.

따라서 다음과 같은 진리표(truth table)가 성립한다.

P ¬P

TRUE FALSE

FALSE TRUE

You try it (영어교재 69쪽)

(1) Wittgenstein’s World를 Tarski’s World 프로그램을 이용하여 연다.

(2) 새로운 명제 파일(sentence file)을 열어 아래 명제를 적어 넣는다.

¬¬¬¬¬Between(e, d, f)

(3) Verify 버튼을 눌러 위 명제의 진리값을 확인한다.

(4) 이제 게임(game)을 시작한다. 원하는 대로 임의로 선택하면서 게임

을 시도해본다.

(5) 앞서 시도한 바와 다른 선택을 통해 게임을 진행한다.

(6) 프로그램을 종료하면서 저장할 필요는 없다.

기억해둘 것

(1) P가 1차 논리 언어의 명제면 ¬P도 1차 논리 언어의 명제다.

불(Boole) 연결자 41

(2) ¬P가 참이라 함은 P가 거짓임을 의미한다.

(3) 단순명제이거나 단순명제에 논리역을 붙인 명제를 리터럴(literal)이

라 부른다.

42 불(Boole) 연결자

4.1.2 논리곱(conjunction) 연결자 : ∧

1차 논리 언어의 명제 P와 Q, 그리고 기호 ∧를 이용하여 새로운 복합명제

P ∧ Q를 만든다. 즉,

P와 Q가 명제면 P ∧ Q도 명제다.

논리곱 연결자의 의미와 게임 규칙

P ∧ Q가 참이라 함은 P와 Q 모두 참임을 의미한다.

따라서 다음과 같은 진리표가 성립니다.

P Q P ∧Q

TRUE TRUE TRUE

TRUE FALSE FALSE

FALSE TRUE FALSE

FALSE FALSE FALSE

You try it (영어교재 72쪽)

(1) Tarski’s World 프로그램을 이용하여 Claire’s World를 연다.

(2) 새로운 sentence 파일을 연 다음 아래 내용을 적어 넣는다.

¬Cube(a)∧¬Cube(b)∧¬Cube(c)

(3) 위 명제가 주어진 world에서 거짓임을 확인하라. (왜 그런가 ?)

(4) 위 명제가 참이라고 가정하고 게임을 시작하라. 하지만 곧 게임에서

질 것이다.

불(Boole) 연결자 43

(5) 하지만 왜 처음 선택이 틀렸는지 확인할 수 있다. 즉, 어디가 문제인

지 확인할 수 있다.

(6) 이제 위 명제가 거젓이라고 가정하고 게임을 시작하라.

(7) 이제 Tarski’s World 프로그램이 논리곱 연결자로 연결된 명제 중에서

어떤 명제가 거짓인지 선택하라고 물을 것이다.

(8) 예를 들어 첫 번째 명제를 선택한 후 OK를 누르면 무슨 일이 발생하

는지 확인할 수 있다.

(9) 만약 게임에 진다는 다른 명제를 선택해야 한다. 이와 같은 방식으로

게임을 이길 때까지 진행해야 한다.

44 불(Boole) 연결자

4.1.3 논리합(disjunction) 연결자 : ∨

1차 논리 언어의 명제 P와 Q, 그리고 기호 ∨를 이용하여 새로운 복합명제

P ∨ Q를 만든다. 즉,

P와 Q가 명제면 P ∨ Q도 명제다.

논리곱 연결자의 의미와 게임 규칙

P ∨ Q가 참이라 함은 P 또는 Q가 참임을 의미한다.

따라서 다음과 같은 진리표가 성립니다.

P Q P ∨Q

TRUE TRUE TRUE

TRUE FALSE TRUE

FALSE TRUE TRUE

FALSE FALSE FALSE

You try it (영어교재 72쪽)

(1) Tarski’s World를 이용하여 Ackermann’s World를 연다.

(2) 새로운 sentence를 연 후 아래 명제를 입력한다.

Cube(c)∨¬(Cube(a)∨Cube(b))

(3) 괄호에 주의하라.

(4) 위 명제가 참이라고 가정하고 게임을 시작하라.

불(Boole) 연결자 45

(5) 그러면 논리합으로으로 연결된 명제 중에서 참이라고 추정되는 명제

하나를 선택해야 한다.

(6) 처음 명제는 거짓임이 확실하므로 두 번째 명제를 선택한다.

(7) 이제 또 다른 논리합 명제가 거짓임을 보여야 한다. 하지만 어떤 명

제도 거짓이기에 게임에서 지게된다.

(8) 따라서 위 명제가 거짓이라고 선택하고 게임을 시작한다.

(9) 앞서의 방식을 이용하면 게임에서 이길 수 있다.

4.1.4 Tarski World에서 ∧,∨,¬ 관련 게임 규칙 설명

명제형태 참/거짓 선택 순서 목표

TRUE 사용자 P,Q 중에서

P ∨Q 참인 것을

FALSE Tarski’s World 선택한다.

TRUE Tarski’s World P,Q 중에서

P ∧Q 거짓인 것을

FALSE 사용자 선택한다.

¬P를 P로

¬P 참이나 거짓 - 바꾸고, 참/거짓

선택을 뒤집는다.

46 불(Boole) 연결자

4.2 모호성과괄호사용

다음의 두 복합명제을 살표보자.

Home(max) ∨ Home(claire) ∧ Happy(carl)

¬Home(claire) ∧ Home(max)

의미가 명확한가 ? 그렇지 않다. 왜냐하면 어떤 연결자를 먼저 해석할 것이

냐에 따라 의미가 달라지기 때문이다. 의미의 모호함을 해결하기 위해서는

괄호를 사용하면 된다. 즉, 아래에서처럼 괄호를 어떻게 사용할 것인가를

결정하면 의미를 명확히 할 수 있다.

Home(max) ∨ (Home(claire) ∧ Happy(carl))

(Home(max) ∨ Home(claire)) ∧ Happy(carl)

¬Home(claire) ∧ Home(max)

¬(Home(claire) ∧ Home(max))

모호성과 괄호 사용 47

You try it (영어교재 80쪽)

(1) Boole’s Sentence와 Wittgenstein’s World를 연다.

(2) 명제의 진리값을 평가하고 확인하라.

(3) 진리값이 예상과 다를 경우 게임을 통해 어디에 문제가 있는지를 확

인하라.

(4) 괄호의 중요성을 알 수 있게 되었는가 ?

(5) 괄호를 없애거나 괄호의 위치를 바꾸면서 다시 한 번 진리값을 확인

하라.

48 불(Boole) 연결자

4.3 논리적동일성

여러 개의 명제들이 서로 논리적으로 동일할 수 있다. 예를 들어 P ∧Q와

Q ∧ P는 논리적으로 동일하다. 논리적 동일성을 ⇔ 표시를 이용하여 나타

내며, 따라서 (P ∧Q)⇔ (Q ∧ P)이 성립한다.

다른 예로는 이중논리역(double negation) 법칙과 드 모르강(de Mor-

gan) 법칙이 있다.

• 이중 논리역(double negation)의 법칙 :

¬¬P⇔ P

• 드 모르강(De Morgan)의 법칙 :

¬(P ∧Q)⇔ (¬P ∨¬Q)

¬(P ∨Q)⇔ (¬P ∧¬Q)

연습문제 2. (영어교재 연습문제 3.18) 블록언어에서 동일한 의미를 갖는

명제를 인식하는 방법을 아래 예제들을 이용하여 연습한다.

(1) Bernays’ Sentence를 열면 여러 개의 단순명제을 볼 수 있다.

(2) 비어 있는 칸에 빈칸 위 명제와 동일한 의미를 갖는 명제를 기존에 사

용되지 않은 술어를 이용하여 작성하라.

(3) 명제 작성 시 블록언어에서만 의미를 갖는 사실을 인식하며 작성해야

한다.

(4) 작성한 명제가 동일한 진리값을 가짐을 확인하라. 예를 들어 Acker-

mann’s World, Bolzano’s World, Boole’s World, Leibniz’s World 등에서

각각의 두 명제가 동일한 진리값을 가짐을 확인하라.

논리적 동일성 49

연습문제

(1) P는 참인 명제가 되고 Q는 P에 몇 개의 논리역 연결자를 붙인 형태

이다. 만약 짝수 개의 논리역 연결자를 붙인다면 Q가 참이 됨을, 홀수

개의 논리역 연결자를 붙인다면 Q가 거짓이 됨을 보여라. [힌트 : 이

간단한 사실은 무엇이 수학적 귀납법으로 알려져 있는지에 대한 완벽

한 증명이다. 만약 유도에 의한 증명이 익숙하다면 계속 증명을 하라.

아니라면 왜 참인지 분명하게 설명하라.]

P가 진리값을 모르는 단순명제이고, Q는 위의 설명과 같은 형태다.

Q가 몇 개의 논리역을 가지고 그것이 항상 같은 진리값을 가지는 단

순문장이라면 P이거나 ¬P이다. 어떻게 결정하는지 간단한 과정으로

설명하라.

(2) (세상 만들기) Max’s Sentences를 열고 모든 명제가 참이 되도록 세

상을 만들어라. 여섯 개의 블록들로 시작하고 그것을 변화시켜 모든

명제를 참으로 만들어라. 뒤의 명제를 참으로 만드느라 앞의 명제를

거짓으로 만드는 실수를 하지 않도록 하라.

(3) Ramsey’s World를 열고 새 sentence 파일을 열어라. 다음 네 개의 명

제를 추가하라 :

a Between(a, b, c) ∨ Between(b, a, c)

b FrontOf(a, b) ∨ FrontOf(c, b)

c ¬SameRow(b, c) ∨ LeftOf(b, a)

d RightOf(b, a) ∨ Tet(a)

각 명제들을 Ramsey’s World에서 평가하고 너의 평가와 확인하라. 그

리고 세상에 하나의 변화를 주었을 때 네 명제들을 모두 거짓으로 만

50 불(Boole) 연결자

들어라. 변경된 세상을 World 3.10으로 저장하고 sentence 파일과 같

이 제출하라.

(4) (괄호) 명제 ¬(Small(a) ∨ Small(b))는 명제 ¬Small(a) ∨ Small(b)의

결론이 아니다. 이 주장의 반례, 즉 전제가 참이고 결론이 거짓인 세

상을 제출하라.

(5) (더 많은 괄호) 명제 Cube(a) ∧ (Cube(b) ∨ Cube(c))는 명제 (Cube(a)

∧ Cube(b)) ∨ Cube(c)의 결론이 아니다. 이 주장의 반례, 즉 전제가

참이고 결론이 거짓인 세상을 제출하라.

(6) (드모르간 등치법칙) DeMorgan’s Sentences파일을 열어라. 모든 홀수

명제들이 참이 되도록 세상을 건설하라. 이것을 어떻게 만들던지 짝

수 명제들 또한 참이 됨을 주목하라. 이것을 World 3.16.1 파일로 제

출하고 다음으로 모든 홀수 명제들이 거짓이 되도록 세상을 건설하라.

마찬가지로 짝수 명제들 또한 거짓이 됨을 주목하고 World 3.16.2 파

일로 제출하라.

(7) 예제 3.16에서 DeMorgan’s Sentences의 홀수 명제들과 짝수 명제들

사이의 관계에 대한 중요한 사실을 발견했다. 왜 짝수 명제들은 항상

그 앞의 홀수 명제들의 진리값에 좌우되는지 설명하라.