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Seminar Datenverarbeitung SS’98

Einführung in die Fuzzy-Logik(zur Anwendung in Fuzzy-Reglern)

Bearbeiter: Michael Hubo

Betreuer: Matthias Ortmann

Einführung in die Fuzzy-Logik Inhaltsverzeichnis

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1. MOTIVATION.................................................................................................................................2

2. WAS BEDEUTET FUZZY-LOGIK? ..............................................................................................2

3. WARUM FUZZY-LOGIK? .............................................................................................................3

4. DEFINITION VON FUZZY-SETS..................................................................................................6

4.1 ALLGEMEINES................................................................................................................................64.2 FUZZY-SETS AUF DISKRETEN GRUNDMENGEN..................................................................................64.3 FUZZY-SETS AUF KONTINUIERLICHEN GRUNDMENGEN .....................................................................7

5. MENGENOPERATIONEN AUF FUZZY-SETS ..........................................................................10

5.1 ALLGEMEINE VERKNÜPFUNGEN ....................................................................................................105.2 DER NICHT-OPERATOR...............................................................................................................105.3 DER ODER-OPERATOR ................................................................................................................115.4 DER UND-OPERATOR ..................................................................................................................135.5 VERKNÜPFUNGEN AUF VERSCHIEDENEN GRUNDMENGEN................................................................14

6. GRUNDSTRUKTUR EINES FUZZY-REGLERS ........................................................................15

7. ARBEITSWEISE EINES FUZZY-REGLERS..............................................................................16

7.1 FUZZYFIZIEREN............................................................................................................................167.2 INFERENZ ....................................................................................................................................187.3 DEFUZZYFIZIEREN........................................................................................................................20

8. ZUSAMMENFASSUNG.................................................................................................................24

9. LITERATUR ..................................................................................................................................26

Einführung in die Fuzzy-Logik 1. Motivation

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1. Motivation

Zur Lösung eines regelungstechnischen Problems mit Hilfe klassischer Regler (z.B. PID-

Regler) wird im ersten Schritt des Reglerentwurfs ein mathematisches Modell der zu regelnden

Strecke benötigt. Dabei kann es vorkommen, daß die Anwendung so komplex ist, daß es nicht

möglich ist, ein mathematisches Modell abzuleiten, oder das Modell nur mit unzulässigen Ver-

einfachungen einer Regelung zugänglich wird. Ein Beispiel aus der Praxis hierfür ist die Auto-

matisierung der Regelung eines Hochofens zur Stahlherstellung.

Scheitert der Entwurf eines klassischen Reglers bereits an diesem Punkt oder zeigt sich später,

daß das Modell zu unpräzise war, und die Regelung nicht die gewünschten Ergebnisse bringt,

so kann es mit Hilfe eines Fuzzy-Reglers trotzdem gelingen, eine geeignete Regelung für die

Anwendung zu entwerfen, da die Fuzzy-Logik modellunabhängig arbeitet. Voraussetzung für

einen erfolgreichen Einsatz eines Fuzzy-Reglers ist jedoch, daß Expertenwissen für die Rege-

lung dieses Problems vorliegt und in fuzzygerechter Weise implementiert werden kann.

Um einen Einblick zu vermitteln, wie die Lösung eines regelungstechnischen Problems mit

einem Fuzzy-Regler aussehen kann, erfolgt zunächst eine kurze Einführung in die Grundlagen

der Fuzzy-Logik, mit der ein Fuzzy-Regler arbeitet. Dann wird an einem Beispiel erläutert, wie

ein Fuzzy-Regler arbeitet, und was zu seinem Entwurf nötig ist. Dabei sollen nur die notwen-

digen Voraussetzungen vermittelt werden, und diese nicht aus mengentheoretischen Überle-

gungen, sondern aus praktischen Anwendungsproblemen hergeleitet werden, um einen einfa-

cheren Zugang zu ermöglichen.

2. Was bedeutet Fuzzy-Logik?

Bevor die Grundlagen der Fuzzy-Logik erläutert werden, soll zunächst geklärt werden, was

der Begriff „Fuzzy-Logik“ eigentlich meint. „Fuzzy“ kommt aus dem Englischen und bedeutet

in etwa „unscharf“, „unsicher“ oder „verschwommen“.

Der Begriff „Fuzzy-Logik“ bezeichnet also eine „unscharfe Logik“. Auch dies ist sicherlich

noch nicht viel verständlicher, da im allgemeinen Verständnis Logik etwas scharfes ist, und die

Begriffe „unscharf“ und „Logik“ sich zunächst auszuschließen scheinen. Um dennoch eine ver-

nünftige Erklärung für den Begriff der Fuzzy-Logik zu geben, soll hier kurz geklärt werden,

um welche Form der Unschärfe es sich genau handelt.

Einführung in die Fuzzy-Logik 3. Warum Fuzzy-Logik

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Bei der Fuzzy-Logik liegt das Expertenwissen größtenteils in sprachlich formulierten Regeln

vor. Diese sprachlichen Formulierungen weisen fast immer Unschärfen auf, die im wesentlichen

auf die folgenden drei Formen der Unschärfe zurückgeführt werden können.

1. stochastische Unschärfe

Diese Unschärfe tritt auf, wenn das Eintreten eines Ereignisses nicht sicher vorhergesagt wer-

den kann, sondern nur mit einer gewissen Unsicherheit. Gemeint ist hier zum Beispiel das

Würfeln einer „6“ mit der Wahrscheinlichkeit 1/6.

2. lexikalische (sprachliche) Unschärfe

Die lexikalische Unschärfe beschreibt die Unsicherheit in der Interpretation einer Aussage. Als

„warm“ kann z.B. eine Person eine Temperatur von 18°C empfinden, eine anderen aber viel-

leicht eine Temperatur von 22°C. Menschen sind in der Lage, sprachliche Unschärfe im Kon-

text zu weniger unscharfen Begriffen zu verdichten. Ein Computer kann dies jedoch nicht.

Spricht z.B. ein Mensch in Sibirien von warmem Wetter, meint er wahrscheinlich 10°C; bei

einem Mensch in Italien wäre eher 30°C gemeint.

3. informale Unschärfe

Diese Art der Unschärfe bezeichnet die Tatsache, daß bestimmte Begriffe auf sehr subjektiven

Festlegungen beruhen, für die zum Teil keine objektiven Bewertungsgrößen vorliegen, oder

diese nicht beschafft werden können. Gemeint sind hier Begriffe wie „Vertrauenswürdigkeit“ ,

„Kreditwürdigkeit“ oder „Sympathie“ .

3. Warum Fuzzy-Logik?

Um zu erläutern, warum die Fuzzy-Logik ein geeignetes Mittel bei der Lösung spezieller Pro-

bleme ist, die mit herkömmlicher Logik nicht oder nur unbefriedigend gelöst werden können,

soll zunächst auf einige Eigenschaften der klassischen Logik eingegangen werden.

Unter klassischer Logik wird in der Regel die zweiwertige, boolesche Logik mit ihren Eigen-

schaften und Regeln zum logischen Schlußfolgern verstanden.

Einführung in die Fuzzy-Logik 3. Warum Fuzzy-Logik?

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Charakteristisch für die boolesche Logik ist, daß die Zugehörigkeit jedes Elements zu einer

Menge eindeutig durch 0 oder 1 definiert ist. Ein Beispiel soll dies verdeutlichen:

Bild 3.1 Beispiel einer herkömmlichen Menge

In Bild 3.1 ist die Zugehörigkeit einer Spannung im Bereich von 0V bis 6V zum Pegel „high“

eines fiktiven Logikbausteins dargestellt. Dabei gehört eine Spannung entweder eindeutig zum

Pegel „high“ [3V-6V] oder eindeutig nicht dazu [0V-3V).

Soll ein regelungstechnisches Problem mit Hilfe der Fuzzy-Logik gelöst werden, muß als

Grundlage dafür Expertenwissen in Form von „Wenn ..., dann ...“ Regeln vorliegen. Diese

sprachlich formulierten Regeln weisen aber sogenannte linguistische Variable auf, die für die

Verarbeitung in einem Rechner umgesetzt werden müssen. Ist z.B. für die Regelung einer Hei-

zung eine Regel: „Wenn es kalt ist, dann stark heizen“ gegeben, dann bilden „kalt“ und „stark

heizen“ linguistische Variable, die für einen Einsatz der Regeln in einem Regler geeignet inter-

pretiert werden müssen. In der klassischer Logik wäre nur eine Abbildung in folgender Form

möglich:

Bild 3.2 Modellierung linguistischer Variable in klassischer Logik

Einführung in die Fuzzy-Logik 3. Warum Fuzzy-Logik?

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In Bild 3.2 ist die Abbildung der Temperatur zur Menge „kalt“ und die der Leistung zur Menge

„stark heizen“ dargestellt. Wie in Bild 3.2 sofort zu erkennen ist, ist diese Art der Abbildung

sicherlich nicht sehr geeignet für der Einsatz, da hier eine Temperatur von 14.9°C noch voll zu

„kalt“ gezählt wird, eine Temperatur von 15,1°C jedoch gar nicht mehr. Dieselbe Schwäche

weist auch die Abbildung von „stark heizen“ auf.

Dem menschlichen Empfinden näher kommt eine Abbildung der folgenden Form, die jedoch

nicht mehr der klassischen Logik entspricht:

Bild 3.3 Modellierung linguistischer Variable in Fuzzy-Sets

In Bild 3.3 ist eine alternative Abbildung der beide linguistischen Variablen „kalt“ und „stark

heizen“ gezeigt. Bei dieser Art der Zuordnung ist jeder beliebige Wert im Intervall [0,1] als

Grad der Zugehörigkeit erlaubt. Eine Abbildung dieser Art ist folgendermaßen zu verstehen:

Eine Temperatur von 5°C gehört voll zur Menge kalt, während eine Temperatur von 12°C nur

noch zum Grad 0,3 zur Menge „kalt“ gehört. Dadurch soll das Empfinden ausgedrückt wer-

den, daß eine Temperatur von 12°C zwar als kalt empfunden wird, aber nicht so stark wie eine

Temperatur von 5°C.

Diese Art der Abbildung von Elementen zu einer Menge wird nach Zadeh als Fuzzy-Set be-

zeichnet.

Einführung in die Fuzzy-Logik 5. Mengenoperationen auf Fuzzy Sets

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4. Definition von Fuzzy-Sets

4.1 Allgemeines

1965 hat Prof. Lofti A. Zadeh von der Berkley Universität eine Veröffentlichung über Fuzzy-

Sets (Fuzzy Mengen) herausgebracht, welche die Grundlage der heutigen Fuzzy-Logik bildet.

Die Zugehörigkeit von Elementen zu einer Menge wird dabei nicht mehr nur durch „0“ für

nicht zugehörig und „1“ für zugehörig beschrieben, sondern es ist jede beliebige Zahl als Grad

der Zugehörigkeit möglich. In der Praxis kommen jedoch fast ausschließlich sogenannte nor-

malisierte Fuzzy-Sets zum Einsatz, bei denen der Zugehörigkeitsgrad zur Menge, nach Divisi-

on durch den Maximalwert der Zugehörigkeit, im Intervall [0,1] liegt.

4.2 Fuzzy-Sets auf diskreten Grundmengen

Allgemein läßt sich die Zugehörigkeit eines Elementes x zu einer Menge durch eine Zugehö-

rigkeitsfunktion µ(x) definieren. Handelt es sich um eine diskrete Grundmenge, so kann für

jedes Element die Zugehörigkeit z.B. in Form eine Tabelle angeben werden. Bild 4.1 zeigt ein

solches Beispiel für fünf Temperaturen zum Fuzzy-Set „warm“.

Bild 4.1 Darstellung eines Fuzzy-Sets in Tabellenform

In der Literatur zur Fuzzy-Logik ist häufig auch die Zuordnung der Zugehörigkeit zu einem

Element in Form von Paaren in der Schreibweise µ(x)/x angegeben, wobei „/“ keine Division

bezeichnet, sondern lediglich ein Trennungssymbol ist.

Das ist vielleicht zuerst verwirrend, aber da es eine in der Literatur gebräuchliche Darstellung

ist, soll sie auch hier beibehalten werden. In Bild 4.2 ist das Beispiel aus 4.1 diesmal in der

Aufzählung durch Paare µ(x)/x angegeben.

„warm“:={0.1/10, 0.5/15, 1.0/20, 0.5/25, 0.1/30}

Bild 4.2 Definition eines Fuzzy-Sets durch Paare µ(x)/x

Temperatur 10 15 20 25 30Zugehörigkeit zur Fuzzy Menge "warm" 0.1 0.5 1 0.5 0.1


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4.3 Fuzzy-Sets auf kontinuierlichen Grundmengen

Liegen keine diskreten sondern kontinuierliche Mengen mehr vor, so muß die Zugehörigkeit

durch eine Funktionendefinition über den gesamten Definitionsbereich der betrachteten Varia-

ble festgelegt werden. Für die Praxis besonders relevant sind dabei abschnittsweise definierte

Geraden, da sich diese besonders einfach handhaben lassen und in Rechnern oder Fuzzy-

Controllern eine schnelle Auswertung erlauben. Mit dem im nächsten Abschnitt definierten

Begriff der Fuzzyähnlichkeit kann außerdem gezeigt werden, daß sich viele Fuzzy-Sets auf

fuzzyähnliche Sets aus abschnittsweise definierten Geraden zurückführen lassen. In Bild 4.3 ist

die Darstellung eines Fuzzy-Sets „warm“ durch fünf „Geradengleichungen“ dargestellt

Bild 4.3 Definition eines Fuzzy-Sets durch Geradengleichungen

Die wesentlichen Eigenschaften von Fuzzy-Sets werden durch die zwei Parameter „Träger“

und „Toleranz“ beschrieben, die nun im folgenden definiert werden sollen.

Der Träger (engl. Support) eines Fuzzy-Sets beschreibt die Menge aller Elemente, deren Zu-

gehörigkeit zum Fuzzy-Set größer als Null ist. Gleichung 4.1 zeigt die mathematische Definiti-

on des Trägers.

Supp(µ):={x | x ε G, µ(x)>0} Gl. 4.1

Die Toleranz wird definiert als das Intervall, in welchem die Zugehörigkeit der Elemente Eins

ist. In Gleichung 4.2 ist die Toleranz mathematisch definiert.

Toleranz: [a,b]:={x | µ(x)=1} Gl. 4.2

µ =

<

− ≤ <

≤ <

− + ≤ <

≤

(x)

,

,

,

,

,

0 5

1012

0 15

1 15 25

1072

25 35

0 35

xx

x

xx

x

x


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In Bild 4.4 ist ein trapezförmiges Fuzzy-Set mit seinem Träger (supp) und seiner Toleranz dar-

gestellt.

Bild 4.4 Fuzzy-Set mit Träger und Toleranz

Mit den beiden Parametern Träger und Toleranz kann der Begriff der Fuzzyähnlichkeit von

Fuzzy-Sets definiert werden, welche das Äquivalent zur Gleichheit herkömmlicher Mengen

darstellt: Zwei Fuzzy-Sets mit gleichem Träger und gleicher Toleranz werden als fuzzyähnlich

bezeichnet.

Bild 4.5 Fuzzyähnliche Fuzzy-Sets

In Bild 4.5 sind drei fuzzyähnliche Fuzzy-Sets dargestellt. Hier ist jetzt zu erkennen, warum

abschnittsweise definierte Geraden ein so große Rolle bei der Definition von Fuzzy-Sets spie-

len. Denn diese drei Mengen sind fuzzyähnlich und produzieren bei einem korrekt ausgelegten

Regler gleiche Ergebnisse. Da jedoch das Fuzzy-Set mit den Geradengleichungen am einfach-


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sten zu definieren und am schnellsten auszuwerten ist, sollte dieses den alternativen Darstellun-

gen immer vorgezogen werden.

Werden die Fuzzy-Sets zusammen mit mehreren Experten für das zu lösende Problem ent-

worfen, so sollte darauf geachtet werden, daß die entstehenden Fuzzy-Sets wenigstens fuz-

zyähnlich sind, da sonst bei gleichen Eingangswerten am Regler unterschiedliche Ausgangs-

werte entstehen.

Bei der Definition von Fuzzy-Sets für Fuzzy-Regler ist es wichtig, daß im Fuzzy-Set keine

Definitionslücken auftreten, da diese in einem Regler später Fehler verursachen können. Kom-

men im späteren Betrieb Zustände vor, die genau in einer Definitionslücke liegen, so ist nicht

gewährleistet , daß der Regler ein sinnvolles Ergebnis liefert.

Bild 4.6 Alternative Modellierung von Fuzzy-Sets

Bild 4.6 zeigt zwei mögliche Modellierungen von Fuzzy-Sets auf der Grundmenge Tempera-

tur. Beim linken Fuzzy-Set überlappen sich die einzelnen Bereiche, so daß bei jeder Tempera-

tur des Eingangsbereichs mindestens eine Antwort eines Fuzzy-Sets vorliegt. Beim rechten

Fuzzy-Set sind dagegen Definitionslücken vorhanden, so daß bei bestimmten Temperaturen

keine von Null verschiedene Antwort von diesem Fuzzy-Set existiert. Wenn nicht ausgeschlos-

sen werden kann, daß solche Zustände im Betrieb vorkommen, so muß spätestens bei der De-

finition der Regeln für einen Fuzzy-Regler (siehe Kap. 7) darauf geachtet werden, daß eine

Regel diese Zustände abfängt.


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5. Mengenoperationen auf Fuzzy-Sets

5.1 Allgemeine Verknüpfungen

In der klassischen Logik werden häufig Kombinationen von mehreren Eingangsvariablen ver-

knüpft, um eine oder mehrere Ausgangsvariable zu erhalten (z.B. UND, ODER, NICHT). Um

mit der Fuzzy-Logik sinnvoll arbeiten zu können, müssen diese Verknüpfungen als Operatio-

nen auf den Fuzzy-Sets definiert werden. Da die Fuzzy-Logik aber keine zweiwertige Logik

ist, können dieser Operationen nicht in Form von Tabellen definiert werden, wie in der klassi-

sche Logik, sondern müssen als Mengenoperationen definiert werden. In der klassischen Logik

können alle Operationen auf die drei Grundverknüpfungen „UND“, „ODER“ und „NICHT“

zurückgeführt werden. Aus diesem Grund sollen im folgenden zunächst nur diese Operationen

für die Fuzzy-Logik dargestellt werden. In der zweiwertigen Logik ist die Anzahl der mögli-

chen Verknüpfungen, bei gegebener Anzahl der Eingangsgrößen, beschränkt. Dies ist bei der

Fuzzy-Logik nicht der Fall, da die Eingangsgrößen kontinuierlich sind, und somit prinzipiell

jede Funktion als Verknüpfung in Frage kommt. Die Schwierigkeit für den Entwickler besteht

darin, aus der Vielzahl der möglichen Verknüpfungen diejenigen herauszusuchen, die einfach

genug sind, um schnell ausgewertet werden zu können, und gleichzeitig sinnvolle Verknüpfun-

gen in Hinsicht auf die Umsetzung der gegebenen Regeln darstellen. Hier werden für die

NICHT-Verknüpfung ein Operator und für UND- und ODER-Verknüpfung je zwei gebräuch-

liche Operatoren dargestellt.

5.2 Der NICHT-Operator

Der NICHT-Operator wird analog zur zweiwertigen Logik als Einer-Komplement realisiert

(nur sinnvoll bei normalisierten Fuzzy-Sets).

Gl. 5.1

In der Fuzzy-Logik spielt der NICHT- allerdings keine so große Rollen, da ja bereits im Fuzzy-

Set definiert ist, daß eine Information mehr oder weniger zutrifft, so daß eine harte Verneinung

nicht sehr sinnvoll ist. Wird eine Information in „verneinter“ Form gebraucht z.B. „Wenn es

nicht kalt ist....“ dann wird in der Regel ohnehin direkt ein Fuzzy-Set „nicht kalt“ definiert und

dies nicht aus einem Fuzzy-Set „kalt“ durch eine NICHT-Operation abgeleitet.

µ = − µ( ) ( )x x1


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Bild 5.1 Darstellung des NICHT-Operators

In Bild 5.2 ist die Wirkung des NICHT-Operators anhand des Fuzzy-Sets „kalt“ graphisch

dargestellt. Wie an der Abbildung zu sehen ist, erfüllt die Fuzzy-Logik nicht die Gesetze der

booleschen Logik, für die gilt:

µ UND nicht µ => 0 (falsch)

µ ODER nicht µ => 1 (wahr).

5.3 Der ODER-Operator

Der ODER-Operator der klassischen Logik kann als Anwendung eines Maximum Operators

auf die Eingangsgrößen aufgefaßt werden. Für die Fuzzy-Logik läßt sich ein ODER-Operator

auch durch den Maximum-Operator

[ ]µ =oder x kalt x warm x( ) max ( ), ( ) Gl. 5.2

darstellen. Wie schon erwähnt existiert in der Fuzzy-Logik eine unendliche Vielzahl an mögli-

chen Realisierungen von Operatoren. Eine alternative Darstellung des ODER-Operators, die in

der Praxis häufig verwendet wird, ist die gewichtete Summe:

( )µ = +oder x kalt x warm x( ) ( ) ( )1α Gl. 5.3

Dabei ist α ein frei wählbarer Parameter, mit dem die Summe gewichtet werden kann.


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Bild 5.2 Darstellung der Fuzzy-Sets „kalt“, „warm“ und „heiß“

Bild 5.2 zeigt drei Fuzzy-Sets „kalt“, „warm“ und „heiß“ über dem Temperaturbereich von

0°C bis 40°C. In Bild 5.3 ist graphisch die Wirkung des Maximum-Operators als Verknüpfung

„kalt ODER warm“ gezeigt. In Bild 5.4 ist dieselbe Verknüpfung, als gewichtete Summe reali-

siert, dargestellt.

Bild 5.3 ODER-Verknüpfung mit Bild 5.4 ODER-Verknüpfung mit

Maximum-Operator gewichteter Summe

Aus den Abbildungen ist zu erkennen, daß unterschiedliche Realisierungen eines Operators zu

sehr unterschiedlichen Ergebnissen führen können, weshalb die geeignete Wahl eines Operators

auch wesentlich in die Übertragungseigenschaften eines Fuzzy-Reglers eingeht. Neben den

beiden dargestellten Realisierungen des ODER-Operators gibt es noch eine Reihe weiterer, in

der Praxis benutzter, Realisierungen, die jedoch hier nicht weiter aufgeführt werden sollen.


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5.4 Der UND-Operator

Während der ODER-Operator in der klassischen Logik durch den Maximum-Operator darge-

stellt werden kann, läßt sich der UND-Operator als Anwendung des Minimum-Operators auf

die Eingangsgrößen darstellen. Auch dieser Operator soll zunächst direkt auf die Fuzzy-Logik

übertragen werden.

[ ]µ =und x kalt x warm x( ) min ( ), ( ) Gl. 5.4

Wie auch beim ODER-Operator ist eine alternative Darstellung des UND-Operators in der

Praxis gebräuchlich, da sie schneller und einfacher auszuwerten ist. Beim UND-Operators ist

dies das gewichtete Produkt

( )µ =und x kalt x warm x( ) ( ) * ( )α Gl. 5.5

Der Parameter α kann auch in diesem Fall frei gewählt werden um das Produkt entsprechend

den Erfordernissen zu gewichten.

In Bild 5.5 ist die Verknüpfung „kalt UND warm“ unter Verwendung des Minimum-Operators

und in Bild 5.6 unter Verwendung der gewichteten Summe dargestellt.

Bild 5.5 UND-Verknüpfung durch Bild 5.6 UND-Verknüpfung durch

Minimum-Operator gewichtetes Produkt

Auch an diesen Beispielen wird noch einmal deutlich, wie sehr sich die Ergebnisse bei Verwen-

dung von unterschiedlichen Realisierungen eines Operatoren unterscheiden. Für den Entwick-

ler ist es daher sehr wichtig, die verschiedenen Operatoren und ihre Wirkungsweise auf Fuzzy-

Sets zu kennen, damit der für die Anwendung richtige Operator ausgewählt werden kann.

Wichtig bei der Auswahl der Operatoren ist auch, daß diese das Assoziativgesetz erfüllen, da

sonst die Reihenfolge der Verknüpfungen bei mehreren Operationen nicht mehr beliebig ist.


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5.5 Verknüpfungen auf verschiedenen Grundmengen

Bisher wurden nur Fuzzy-Sets, die auf der gleichen Grundmenge definiert waren, miteinander

Verknüpft (in den vorherigen Beispielen auf der Grundmenge Temperatur). In der Praxis viel

wichtiger ist die Verknüpfung von Fuzzy-Sets auf unterschiedlichen Grundmengen. Ist z.B.

eine Regel für eine Heizungsregelung in der Form: „Wenn es kalt ist UND die Änderung der

Temperatur negativ ist, dann ...“ gegeben, so müssen die Fuzzy-Sets „kalt“ und „Änderung

negativ“ miteinander Verknüpft werden, die zum einen den Grundbereich Temperatur und zum

anderen den Grundbereich zeitliche Änderung der Temperatur haben. Zur Verknüpfung von

Fuzzy-Sets unterschiedlicher Grundmengen können ebenfalls die in den vorherigen Kapiteln

vorgestellten Operatoren verwendet werden, wobei allerdings nicht die kompletten Fuzzy-Sets

miteinander verknüpft werden, sondern nur die Antworten der Fuzzy-Sets auf die konkreten

Eingangswerte. Ein Beispiel soll diese Verknüpfungsart verdeutlichen.

Bild 5.7 Fuzzy-Antwort auf: Temperatur 16°C Bild 5.8 Fuzzy-Antwort auf:

zeitl. Änderung 0.4°C/min

Gegeben seien die Eingangsgrößen: Temperatur 16°C und Änderung der Temperatur

-0,4°C/min. In Bild 5.7 ist die Antwort des Fuzzy-Sets „kalt“ auf die Eingangsgröße 16°C ge-

zeigt und in Bild 5.8 die Antwort des Fuzzy-Sets „Änderung_negativ“ auf die Eingangsgröße

-0,4°C/min. Eine Temperatur von 16°C gehört in diesem Beispiel zum Grad 0,4 zum Fuzzy-

Set „kalt“ und die Änderung von -0,4°C/min zum Grad 0,8 zum Fuzzy-Set „Änderung nega-

tiv“. Für die gewünschte Verknüpfung „kalt UND Änderung negativ“ ergibt sich dann mit dem

Minimum-Operator aus der vorherigen Definition das Ergebnis:

kalt UND Änderung negativ = min (0,4; 0,8) = 0,4.

Einführung in die Fuzzy-Logik 6. Grundstruktur eins Fuzzy-Reglers

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Ebenso läßt sich auch eine „ODER“ Verknüpfung mit den definierten Operatoren realisieren.

Mit dem Maximum-Operator lautet das Ergebnis der „ODER“ Verknüpfung also:

kalt ODER Änderung negativ = max (0,4; 0,8) = 0,8.

6. Grundstruktur eines Fuzzy-Reglers

Nachdem bisher die Grundlagen der Fuzzy-Logik dargestellt worden sind, soll nun gezeigt

werden, wie die Fuzzy-Logik eingesetzt werden kann, um einen Fuzzy-Regler zu realisieren. In

Bild 6.1 ist die Grundstruktur eines Fuzzy-Reglers dargestellt.

Bild 6.1 Grundstruktur eines Fuzzy-Reglers

In der Abbildung sind die wesentlichen Schritte zu erkennen, die in einem Fuzzy-Regler aus-

geführt werden müssen. Diese werden nun im folgenden einzeln erläutert.

1. Der erste Schritt ist das Fuzzyfizieren der Eingangsgrößen. Für den Entwickler bedeutet

dies das Definieren der Fuzzy-Sets. Für den Regler bedeutet es, die Antworten der imple-

mentierten Fuzzy-Sets auf die jeweilige Eingangsgröße zu finden.

2. Liegen die Eingangsgrößen dann in fuzzyfizerter Form im Regler vor, erfolgt im nächsten

Schritt die sogenannte Inferenz, die Auswertung der implementierten Regeln, die der Ent-

Einführung in die Fuzzy-Logik 7. Arbeitsweise eines Fuzzy-Reglers

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wickler aus einer Wissensbasis gewonnen oder zusammen mit einem Experten entwickelt

hat. Diese Regeln sollten für ein einfaches Umsetzen idealerweise in der Form von „Wenn

..., dann“ Regeln vorliegen, oder in solche umgewandelt werden können. Genauer wird die

Inferenz im folgenden Kapitel besprochen.

3. Ist die Inferenz abgeschlossen, d.h. die Regeln sind ausgewertet, so liegt das Ergebnis des

Fuzzy-Reglers als Fuzzy -Größe vor. Da jedoch mit einem Fuzzy-Regler wieder herkömmli-

che Stellglieder angesteuert werden müssen, die nicht in der Lage sind, eine Fuzzy-Größe

geeignet zu interpretieren, muß diese Fuzzy-Größe wieder in eine „normale“ Stellgröße

umgewandelt werden. Dieser Schritt wird als Defuzzyfizieren bezeichnet. Am folgenden

Beispiel wird dann genauer darauf eingegangen, mit welchen Verfahren aus der Fuzzy-Grö-

ße wieder eine „normale“ Stellgröße gewonnen wird.

7. Arbeitsweise eines Fuzzy-Reglers

Die Arbeitsweise eines Fuzzy-Reglers soll im folgenden an einem einfachen Beispiel einer Hei-

zungsregelung erläutert werden. Als Eingangsgrößen werden die Abweichung der momentanen

Temperatur von der Solltemperatur, sowie die zeitliche Änderung der Temperatur betrachtet.

Als Ausgangsgröße soll die einzustellende Heizleistung betrachtet werden.

7.1 Fuzzyfizieren

Für den Entwickler bedeutet das Fuzzyfizieren das Definieren der Fuzzy-Sets mit einem Ex-

perten. Der Fuzzy-Regler muß dann mit den definierten Fuzzy-Sets die Fuzzy-Antworten zu

einer aktuellen Eingangsgröße aus den Definitionen der Fuzzy-Sets berechnen oder aus einer

Tabelle entnehmen, je nachdem, in welcher Form die Fuzzy-Sets im Regler implementiert wur-

den. Die Definition der Fuzzy-Sets ist besonders wichtig, da die Form der Fuzzy-Sets einen

wesentlichen Einfluß auf die Eigenschaften des Reglers hat. Im folgenden Beispiel sind die

Fuzzy-Sets willkürlich gewählt, da hier nicht das Ergebnis des Reglers im Vordergrund steht,

sondern das Verständnis der prinzipiellen Arbeitsweise eines Fuzzy-Reglers. Bei der Definition

der Fuzzy-Sets wurde lediglich darauf geachtet, daß die einzelnen Bereiche sich teilweise

überlappen, um Definitionslücken zu vermeiden, und der gesamte Definitionsbereich sinnvoll

abgedeckt ist. Auch das Überlappen der einzelnen Fuzzy-Sets spielt eine große Rolle für das

Übertragungsverhalten des Fuzzy-Reglers. Als Ausgangswert sollte eine Überlappung von ca.


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20%-50% gewählt werden [1]. Je weiter die einzelnen Fuzzy-Sets überlappen, um so stabiler

wird in der Regel das Ergebnis. Wenn aber eine zu große Überlappung besteht, steigt die Re-

dundanz, und die Verarbeitungsgeschwindigkeit sinkt. Das Fuzzy-Set für die Eingangsgröße

„Abweichung der Temperatur“ ist in Bild 7.1 dargestellt.

Bild 7.1 Fuzzy-Set für die Eingangsgröße Temperaturabweichung

Für die Definition ist eine in der Fuzzy-Technik oft benutze Art der Fuzzyfizierung verwendet

worden, welche den Definitionsbereich in eine ungerade Anzahl von Fuzzy-Sets einteilt. In

diesem Beispiel wurde ein Fuzzy-Set für negative Abweichung, ein Fuzzy-Set für Abweichun-

gen von ungefähr Null und eins für positive Abweichungen definiert. Von einer solchen Ein-

teilung ausgehend, können dann eventuell noch Verfeinerungen vorgenommen werden, wenn

das Ergebnis der Fuzzy-Regelung nicht zufriedenstellend ist. Ist eine Einteilung in drei Berei-

che zu grob, so können auch fünf oder sieben Bereiche verwendet werden. Die Einteilungen in

fünf Fuzzy-Sets werden in der Literatur häufig beschrieben durch: NB (negative big), NS (ne-

gative small), ZE (Zero), PS (positive small) und PB (positive big). Diese Einteilungen sind

natürlich nur dann sinnvoll, wenn der Definitionsbereich symmetrisch um Null verteilt ist. Da

jedoch in der Regelungstechnik häufig Regelabweichungen betrachtet werden und diese so-

wohl positiv als auch negativ sein können, ist dies in der Praxis oft der Fall.

Für die Eingangsgröße „zeitliche Änderung der Temperatur“ ist eine Definition analog zu der

vorhergehenden in Bild 7.2 dargestellt. Die Ausgangsgröße „Heizleistung“ ist ebenfalls in drei

Bereiche eingeteilt, allerdings nicht symmetrisch um den Nullpunkt, da hier nur positive Heiz-

leistungen betrachtet werden. In Bild 7.3 ist dieses Fuzzy-Set dargestellt.


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Bild 7.2 Fuzzy-Set für Eingangsgröße Bild 7.3 Fuzzy-Set für Ausgangsgröße

„zeitliche Änderung der Temperatur“ „Heizleistung“

7.2 Inferenz

Der nächste Schritt für den Entwickler ist das Entwickeln der Regeln mit einem Experten oder

aus einer Wissensbasis. Die Regeln werden dabei in einer „Wenn ...., dann ...“ -Form formu-

liert, da sich diese am einfachsten implementieren und auswerten lassen. Die Bedingung im

„Wenn-Teil“ wird auch als Prämisse bezeichnet, und besteht in der Regel aus einer UND-

Verknüpfung von Eingangsvariablen. Die Schlußfolgerung einer Regel im „Dann-Teil“ wird

auch als Konklusion bezeichnet. Die einzelnen Regeln werden meist durch eine ODER-

Verknüpfung verbunden, da sie quasi alle parallel gelten.

Bei den hier betrachteten zwei Eingangsgrößen mit je drei Fuzzy-Sets können prinzipiell neun

mögliche Eingangskombinationen betrachtet werden. Diese sind in Tabelle 7.1 dargestellt.

Tabelle 7.1 Tabelle der vollständigen Regelbasis

Die drei möglichen Fuzzy-Sets für die Abweichung der Temperatur vom Sollwert sind in der

ersten Spalte eingetragen und die Fuzzy-Sets der zeitlichen Änderungen der Temperatur in der

ersten Zeile. Daraus ergibt sich eine 3x3 Matrix, in welche die entsprechenden Konklusionen

eingetragen werden können. Für das Beispiel bedeutet dies, daß bei einer negativen Tempera-

turabweichung und einer negativen zeitlichen Änderung der Temperatur z.B. stark geheizt

ÄnderungAbweichung negativ null positiv

negativ stark stark mittelnull mittel wenig wenig

positiv wenig wenig wenig


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werden soll. Für Temperaturabweichung Null und Änderung Null ergibt sich z.B. eine mittlere

Heizleistung.

Im folgenden sollen jedoch nicht alle Regeln berücksichtigt werden, sondern nur noch drei Re-

geln, damit die Inferenz, also die Überlagerung der Regeln, nicht zu unübersichtlich wird. Im

weiteren sollen nur noch die Regeln:

I. Wenn die Abweichung negativ ist UND die Änderung negativ, dann stark heizen

ODER

II. Wenn die Abweichung negativ ist UND die Änderung positiv, dann mittel heizen.

ODER

III. Wenn die Abweichung Null ist UND die Änderung negativ, dann mittel heizen.

betrachtet werden, die stellvertretend aus der Menge der möglichen Regeln ausgewählt worden

sind. Sind die Regeln definiert und im Fuzzy-Regler implementiert, so geschieht die eigentliche

Inferenz in drei Schritten:

1. Auswertung der Prämissen aller Regeln (Aggregation)

In diesem Schritt werden die in den Regeln benutzten Verknüpfungen der Eingangsgrößen

entsprechend den in Kapitel 5 definierten Operatoren ausgewertet, so daß ein Fuzzy-Wert für

das Zutreffen der Prämisse errechnet wird. Meistens werden die Eingangsgrößen über eine

UND Verknüpfung verbunden, so daß in diesem Schritt gewöhnlich der Minimum-Operator

oder die gewichtete Summe zum Einsatz kommt.

2. Auswertung der Konklusionen (Implikation)

In der klassischen Logik ist das logische Schließen sehr einfach. Trifft die Bedingung einer

Regel zu, so trifft ihre Schlußfolgerung zu; trifft die Bedingung nicht zu, dann trifft auch die

Schlußfolgerung nicht zu. In der Fuzzy-Logik kann eine Bedingung jedoch auch zum Teil zu-

treffen, so daß definiert werden muß, in welchem Umfang dann die entsprechende Konklusion

zutrifft. Ein mögliches Verfahren hierfür ist das Minimum-Verfahren, welches als Erfüllungs-

grad der Schlußfolgerung das Minimum aus der Erfüllung der Prämisse und der Konklusion

annimmt. Graphisch bedeutet dies, daß das Fuzzy-Set zum entsprechenden Ausgangswert in

der Höhe der Erfüllung der Prämisse abgeschnitten wird, wie in Bild 7.6 dargestellt wird. Das

Ergebnis dieser Operation ist dann eine Fläche im Ausgangs-Fuzzy-Set. Ein anderes häufig

benutztes Verfahren ist das Produkt-Verfahren, bei dem jeder Abszissenwert des Ausgangs-

Fuzzy-Sets mit dem Erfüllungsgrad der Prämisse multipliziert wird, wodurch sich eine etwas

andere Fläche als beim Maximum-Verfahren ergibt.

3. Zusammenfassung aller Regeln (Akkumulation)


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Im letzten Schritt müssen dann die Konklusionen aller Regeln zusammengefaßt werden, da

meist mehr als eine Regel zumindest zum Teil zutrifft. Da die Regeln in den meisten Fällen

über eine ODER-Verknüpfung verbunden sind, wird hier in der Regel der Maximum-Operator

zur Überlagerung aller Konklusionen benutzt. Die einzelnen Regeln können dabei noch mit

einem Gewichtungsfaktor versehen werden, wenn der Experte der Meinung ist, daß nicht alle

Regeln gleich wichtig sind. Im vorliegen Beispiel wären z.B. die drei ausgewählten Regeln mit

1 gewichtet und die restlichen Regeln mit 0.

Wird für die Implikation das Minimum-Verfahren angewandt und für die Akkumulation der

Maximum-Operator, so wird dies als MAX/MIN-Inferenz bezeichnet. Wird statt des Maxi-

mum-Operators für die Implikation der Produkt-Operator verwendet, so wird dies als

MAX/PROD- Inferenz bezeichnet.

7.3 Defuzzyfizieren

Das Ergebnis der Inferenz ist eine Fläche im Ausgangs-Fuzzy-Set, welche sich über alle Berei-

che erstrecken kann, und deren Höhe von den Erfüllungen der einzelnen Regeln abhängt. Dies

stellt die Antwort des Fuzzy-Reglers als Fuzzy-Größe dar. Da jedoch ein Stellglied eine kon-

krete Stellgröße benötigt, um eine korrekte Einstellung vornehmen zu können, muß aus dieser

Fuzzy-Größe wieder ein eindeutiger Wert gewonnen werden. Ein häufig benutztes Verfahren

hierfür ist die Schwerpunktmethode, welche als Ausgangswert den Flächenschwerpunkt der in

der Inferenz bestimmten Fläche ausgibt.

Anhand von konkreten Eingangswerten sollen nun alle Schritte des Fuzzy-Reglers dargestellt

werden.

Gegeben sei eine Abweichung der Temperatur vom Sollwert von -4°C und eine zeitliche Ände-

rung der Temperatur von -0,2°C/min.

Gelangen diese Werte in den Fuzzy-Regler, so wird dieser zunächst die Eingangswerte fuzzyfi-

zieren, also die Zugehörigkeit dieser Werte zu den entsprechenden Fuzzy-Sets bestimmen. In

Bild 7.4 und 7.5 ist dieser Schritt graphisch dargestellt.


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Bild 7.4 Fuzzy-Antwort auf die Bild 7.5 Fuzzy-Antwort auf die

Eingangsgröße Abweichung -4°C Eingangsgröße zeitliche Änderung -0,2°C/min

Für die Eingangsgröße Abweichung=-4°C ergibt sich eine Zugehörigkeit zum Fuzzy-Set Ab-

weichung_negativ von 0,8 und zum Fuzzy-Set Abweichung_null von 0,2. Die Zugehörigkeit

zum Fuzzy-Set Abweichung positiv ist erwartungsgemäß 0. Für die Eingangsgröße zeitl. Ände-

rung der Temperatur =-0,2°C/min ergibt sich für das Fuzzy-Set Änderung_negativ eine Zuge-

hörigkeit von 0,4 und für das Fuzzy-Set Änderung_null eine von 0,6. Die Zugehörigkeit zum

Fuzzy-Set Änderung_positiv ist wie erwartet 0.

Mit den hier gefundenen Werten erfolgt im Fuzzy-Regler nun der erste Schritt der Inferenz,

d.h. das Auswerten der Prämissen. Da die Eingangsgrößen UND verknüpft sind erfolgt die

Auswertung mit Hilfe des Minimum-Operators. Für die Prämisse von Regel I wird ermittelt:

Abweichung negativ UND Änderung negativ = min (0,8 ; 0,4) = 0,4.

Für die Regel II lautet der Erfüllungsgrad der Prämisse:

Abweichung negativ UND Änderung positiv = min (0,8 ; 0,0) = 0,0.

Für Regel III ergibt sich als Erfüllungsgrad der Prämisse:

Abweichung Null UND Änderung negativ = min (0,2 ; 0,4) = 0,2.

In diesem Beispiel soll für den nächsten Schritt - die Implikation - der Minimum-Operator ver-

wendet werden. In Bild 7.6 ist dargestellt, wie der Minimum-Operator das Fuzzy-Set der Kon-

klusion in Höhe der Erfüllung der Prämisse abschneidet.


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Bild 7.6 Darstellung der Implikation

Für die Regel I bedeutet dies, da die Prämisse (Wenn die Abweichung negativ ist UND die

Änderung negativ) einen Erfüllungsgrad von 0,4 hat, daß das Fuzzy-Set der zugehörigen Kon-

klusion (viel_heizen) in der Höhe 0,4 abgeschnitten wird. Die Prämisse der Regel II (Wenn die

Abweichung negativ ist UND die Änderung positiv) hat einen Erfüllungsgrad von Null. Daher

ist auch die entsprechende Konklusion (mittel_heizen) für diese Regel zum Grad Null erfüllt.

Regel III hat einen Erfüllungsgrad der Prämisse (Wenn die Abweichung Null ist UND die Än-

derung negativ) von 0,2, so daß das Fuzzy-Sets mittel_heizen in der Höhe 0,2 abgeschnitten

wird. Als Ergebnis der Implikation ergeben sich also zwei Flächen unter den Ausgangs-Fuzzy-

Sets, die nun in der Aggregation mittels des Maximum-Operators zusammengefaßt werden.

Das Ergebnis dieser Operation ist in Bild 7.7 dargestellt.

Bild 7.7 Darstellung der Aggregation und Schwerpunktbildung


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Der letzte Schritt des Fuzzy-Reglers ist nun die Bestimmung der Ordinate des Flächenschwer-

punktes, damit dieser dann als defuzzyfizierter Ausgangswert an das Stellglied gegeben werden

kann. In diesem Beispiel errechnet der Fuzzy-Regler einen Schwerpunkt, der bei ca. 700 Watt

liegt, so daß eine Ausgangsleistung von 700 Watt vom Stellglied als Reaktion auf die momen-

tane Situation eingestellt wird. Dieses Ergebnis ist zumindest plausibel, da bei relativ großer

Abweichung von der Solltemperatur und leicht fallender Temperatur eine relativ große Heizlei-

stung erwartet werden kann. Ob dieses Ergebnis ausreichend ist, muß der Experte für diese

Regelung beurteilen, und gegebenenfalls müssen die Fuzzy-Sets oder die Regeln noch einmal

überarbeitet werden.

Bild 7.8 Pseudo-Fuzzy-Set zur Erweiterung des Ausgangsbereiches

An Bild 7.7 ist zu erkennen, daß durch die Schwerpunktmethode der Ausgangswert des Fuzzy-

Reglers immer nur innerhalb des Wertebereiches der Ausgangsvariablen liegen kann, aber nie-

mals auf den Rändern. Für das Beispiel bedeutet dies, daß bei positiver Temperaturabweichung

und steigender Temperatur die Heizleistung nicht wie erwartet Null ist, sonder sich als Flä-

chenschwerpunkt des Fuzzy-Sets wenig_heizen ergibt, und somit bei ca. 150 Watt liegt. Um

dieses Problem zu beheben, können sogenannte Pseudo-Fuzzy-Sets zur Schwerpunktbestim-

mung verwendet werden. Dabei wird das Fuzzy-Set, welches am Rand des Definitionsberei-

ches liegt, symmetrisch über diesen hinaus fortgesetzt, und die gesamte Fläche für die Schwer-

punktberechnung verwendet. Daraus folgt, daß nun auch die Randwerte als Ausgangswerte

möglich sind. Für das Beispiel bedeutet dies, daß die Heizleistung tatsächlich Null wird, wenn

die Abweichung und die Änderung positiv sind.

Einführung in die Fuzzy-Logik 8. Zusammenfassung

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8. Zusammenfassung

Die Fuzzy-Logik bietet ein Hilfsmittel, um Regler entwerfen zu können, wenn herkömmliche

Verfahren zum Reglerentwurf nicht weiterkommen, da ihnen das Grundmodell der Regelstrek-

ke fehlt oder zu kompliziert für einen geeigneten Reglerentwurf ist. Da die Fuzzy-Logik mo-

dellfrei arbeitet, kann sie in einem solchen Fall zu einer Lösung des Problems kommen, voraus-

gesetzt es existiert ein Experte für diese Regelung, dessen Wissen über die Eigenschaften des

Systems und dessen Regelung in einem Fuzzy-Regler implementiert werden kann. Dadurch

sind eine große Anzahl von Regelungen oder Automatisierungen denkbar, die mit den her-

kömmlichen Mitteln der Regelungstechnik nicht zugänglich wären. Allerdings bedeutet die

Tatsache, daß kein Modell der Regelstrecke mehr benötigt wird nicht, daß auch der Entwurf

des Regler damit einfacher wird. Es gibt beim Fuzzy-Regler eine große Anzahl von Freiheits-

graden, die auf das Ergebnis eine große Wirkung haben, und die daher vom Entwickler geeig-

net berücksichtigt werden müssen. Dazu zählt besonders die Festlegung der Fuzzy-Sets, die

ganz wesentlich die Antwort eines Fuzzy-Regler bestimmen, und für die es eine enorme Anzahl

möglicher Realisierungen gibt. Auch die Festlegung der Operatoren für die Verknüpfungen der

Größen ist ein wichtiger Faktor beim Entwurf des Reglers, da auch hier - nicht wie in der klas-

sischen Logik nur eine einzige Realisierung - nahezu beliebig viele Möglichkeiten existieren,

von denen eine geeignete ausgewählt werden muß. Aber auch für die Methode der Überlage-

rung der Regeln (hier vorgestellt MAX/MIN Inferenz und MAX/PROD Inferenz) und die De-

fuzzyfizierung (hier Schwerpunktmethode) gibt es eine Reihe oft benutzter Verfahren, die je-

weils passend ausgewählt werden müssen. Auch die Fuzzy-Regelung stellt also an den Ent-

wickler große Ansprüche, so daß nicht verallgemeinert werden kann, daß die Fuzzy-Regelung

leichter zu realisieren wäre, als eine herkömmliche Regelung.

Kann ein Problem jedoch nicht anders als mit Hilfe der Fuzzy-Logik gelöst werden, so steht

dem Entwickler heute eine große Anzahl an Fuzzy- Hard- und -Software zur Verfügung, die

eine konkrete Umsetzung der Fuzzy-Entwicklung für die Praxis erlauben.

Die Fuzzy-Logik ist somit kein Ersatz für den herkömmlichen Reglerentwurf, oder etwa ein

Verfahren zum trivialen Entwurf von Reglern, sondern sie bietet Werkzeuge für den Fall an,

daß mit den herkömmlichen Mitteln kein befriedigendes Ergebnis erzielt werden kann. Es gibt

sogar Verfahren, die mit Hilfe von Fuzzy-Logik herkömmliche PID-Regler für eine Anwen-

dung optimieren. Ein Grund, warum die Fuzzy-Logik besonders in der westlichen Industrie

Einführung in die Fuzzy-Logik 8. Zusammenfassung

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noch keinen rechten Einzug gehalten hat, ist vielleicht die Tatsache, daß die Idee einer un-

scharfen Logik für die meisten nicht mit herkömmlichen Vorstellungen von Logik und Präzisi-

on zu vereinbaren ist, und so eine solche Lösung von vornherein abgelehnt wird. Im asiatischen

Raum, wo es viel natürlicher ist, mit abgestuften Wahrheiten statt mit Wahr und Falsch zu

denken, wird die Fuzzy-Logik schon sehr viel intensiver in kommerziellen Produkten einge-

setzt.

Sicherlich wird die Fuzzy-Logik, aufgrund ihrer Potentiale, in der Zukunft auch in der westli-

chen Industrie immer mehr Einzug halten, so daß sich eine Beschäftigung mit diesem Thema

durchaus lohnt.

Einführung in die Fuzzy-Logik 9. Literatur

Seite 26

9. Literatur

[1] Einführung in die Fuzzy-Logik

Fortschritt durch Unschärfe

Ulrich Schulte Franzis’ Verlag

[2] Fuzzy-Theorie oder

Faszination des Vagen

Bernd Demand vieweg Verlag

[3] Fuzzy Technologie

Prinzipien Werkzeuge Potentiale

Hans Jürgen Zimmermann VDI Verlag

[4] Fuzzy-Logik

Grundlagen, Anwendungen, Hard- und Software

Thomas Tilli Franzis’ Verlag

[5] Automatisierung mit Fuzzy-Logik

Thomas Tilli Franzis’ Verlag

[6] Einführung in Fuzzy Methoden

Hans Bandemer,

Sigfried Gottwald Akadmie Verlag

[7] Fuzzy-Logik und Fuzzy-Control

Jörg Kahlert,

Hubert Frank vieweg Verlag

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