Einführung in die Methoden der Empirischen...
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Einfuhrung in die Methodender Empirischen Wirtschaftsforschung
Prof. Dr. Dieter Nautz Einfuhrung in die Methoden der Emp. WF 1 / 37
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Ubersicht
1 Einfuhrung in die Okonometrie1.1 Was ist Okonometrie?1.2 Okonomisches und Okonometrisches Modell1.3 Datentypen aus der Okonomie
2 Das einfache Regressionsmodell2.1 Ein okonomisches Modell2.2 Schatzen der Regressionsparameter
3 Statistische Tests3.1 Hypothesentests3.2 p-Werte
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Ubersicht
1 Einfuhrung in die Okonometrie1.1 Was ist Okonometrie?1.2 Okonomisches und Okonometrisches Modell1.3 Datentypen aus der Okonomie
2 Das einfache Regressionsmodell2.1 Ein okonomisches Modell2.2 Schatzen der Regressionsparameter
3 Statistische Tests3.1 Hypothesentests3.2 p-Werte
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Ubersicht
1 Einfuhrung in die Okonometrie1.1 Was ist Okonometrie?1.2 Okonomisches und Okonometrisches Modell1.3 Datentypen aus der Okonomie
2 Das einfache Regressionsmodell2.1 Ein okonomisches Modell2.2 Schatzen der Regressionsparameter
3 Statistische Tests3.1 Hypothesentests3.2 p-Werte
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.1 Was ist Okonometrie?
1.1 Was ist Okonometrie?
Econometrics aims to give empirical content to economic relationsfor testing economic theories, forecasting, decision making, and forex post policy evaluation. It is the unification of statistics, economictheory and mathematics that constitutes econometrics. Each view point,by itself is necessary but not sufficient for a real understanding ofquantitative relations in modern economic life.
(Source: Badi H. Baltagi, Econometrics, Springer, 4th Ed)
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.1 Was ist Okonometrie?
1.1 Was ist Okonometrie?
Okonometrie liefert Methoden der Empirischen Wirtschaftsforschung
Die Methoden der Okonometrie ermoglichen z.B:
die Verkaufszahlen eines Produktes vorherzusagen
Umsatzanderungen aufgrund von Preisanderungen zu bestimmen
die Effektivitat einer neuen Werbekampagne zu uberprufen
den Einfluss von Steuererhohungen auf das Wirtschaftswachstum zuuntersuchen
...
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.2 Okonomisches und Okonometrisches Modell
Das okonomische Modell
Grundlage einer empirischen Untersuchung ist ein okonomischesModell
Beispiel 1: makrookonomische Konsumfunktion
Konsum = f (Einkommen)
Beispiel 2: mikrookonomische Nachfragefunktion
Qd = f (P,Ps ,Pc , INC)
P: Preis der Ware Ps : Preis eines Substituts Pc : Preis eines Komplementargutes
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.2 Okonomisches und Okonometrisches Modell
1.2 Das okonometrische Modell
Ein okonometrisches Modell besteht aus einem systematischen Teil undeinem zufalligen Fehler e
Qd = f (P,Ps ,Pc , INC) + e
Der systematische Teil ist z.B. linear:
f (P,Ps ,Pc , INC) = β1 + β2P + β3Ps + β4Pc + β5INCso dass
Qd = β1 + β2P + β3Ps + β4Pc + β5INC + e
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.3 Datentypen aus der Okonomie
1.3 Datentypen aus der Okonomie
Zeitreihendaten:Daten, die uber diskrete Zeitintervalle erhoben wurdenBsp: der jahrliche Weizenpreis in den USA von 1880 bis 2007
Querschnittsdaten:Daten von bestimmten Stichprobeneinheiten, die uber einen speziellenZeitraum erhoben wurdenBsp: Einkommen pro Bezirk in einem Bundesland
Paneldaten:Daten, die individuelle Untereinheiten uber die Zeit abbildenBsp: das Sozio-oekonomische Panel (SOEP) des DIW
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.3 Datentypen aus der Okonomie
Verschiedene Aggregationsniveaus
Mikro Daten:Daten uber einzelne okonomische Akteure: Personen, Haushalte oderUnternehmen
Makro Daten:aggregierte Daten: bspw. die Inflationsrate in Europa, dieArbeitslosenrate in Berlin
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Einfuhrung in die Okonometrie 1.3 Datentypen aus der Okonomie
Quantitative und Qualitative Daten
Quantitative Daten:Daten, die in Zahlen gemessen werdenBsp: Preise, Zinssatze, Verkaufszahlen, Pro-Kopf-Einkommen etc.
Qualitative Daten:Daten, die “entweder-oder” -Situationen entsprechenBsp: eine Person ist entweder verheiratet oder nicht
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Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein okonomisches Modell
2.1 Ein okonomisches Modell
E (y |x) = β1 + β2x (2.1)
Figure: Lineare Beziehung zwischen den durchschnittlichen Lebensmittelausgaben(y) einer Person und deren Einkommen (x)
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Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein okonomisches Modell
Annahmen des einfachen linearen Regressionsmodells
y = β1 + β2x + e (Linearitat des Zusammenhangs)
E (e) = 0 (Fehler sind im Mittel 0)
var(e) = σ2 (Varianz der Fehler ist konstant = homoskedastisch)
cov(ei , ej) = 0 (einzelne Fehler unabhangig voneinander)
Der Fehler e darf nicht von x abhangen.
e ∼ N(0, σ2) (Fehler normalverteilt)
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Das einfache Regressionsmodell 2.1 Ein okonomisches Modell
y , e und die wahre Regressionsgerade
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Scatterplot von Lebensmittelausgaben und Einkommen
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Die Methode der Kleinsten Quadrate (KQ)
Die KQ Schatzer fur β1 und β2 erhalt man durch Minimierung von:
S(β1, β2) =N∑
i=1(yi − β1 − β2xi )
2
Die Losungen dieser Minimierungsaufgabe sind die KQ-Schatzer:
b2 =
∑(xi − x)(yi − y)∑
(xi − x)2 (2.2)
b1 = y − b2x (2.3)
(2.3) zeigt, dass (x , y) immer auf der Regressionsgerade liegen.
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Die geschatze Regressionsgerade
Die geschatzte Regressionsgerade ist damit
yi = b1 + b2xi (2.4)
Die KQ Fehler sind
ei = yi − yi = yi − b1 − b2xi (2.5)
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
y , e und die geschatzte Regressionsgerade
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Schatzwerte fur die Lebensmittelausgabenfunktion
b2 =
∑(xi − x)(yi − y)∑
(xi − x)2 = 10.2096
b1 = y − b2x = 83.4160
Eine gangige Methode die geschatzte Regressionsgerade zu notieren:
yi = 83.42 + 10.21xi
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Die geschatzte Regressionsgerade
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Interpretation der Schatzergebnisse
b2 = 10.21 gibt an, um wieviel $ die geschatzten Ausgaben furLebensmittel steigen, wenn das Einkommen um $100 ansteigt.
Eine (naive) Interpretation von b1 = 83.42: die Lebensmittelausgabeneines Haushalts ohne Einkommen.
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Vorhersage
Wie kann man die wochentlichen Lebensmittelausgaben eines Haushaltsmit einem wochentlichen Einkommen von bspw. $2000 vorhersagen?Ersetze x = 20 in unserer geschatzten Gleichung:
yi = 83.42 + 10.21xi = 83.42 + 10.21× 20 = 287.61
Wir schatzen, dass ein Haushalt mit einem wochentlichen Einkommen von$2000 fur Lebenssmittel $287.61 pro Woche ausgeben wird.
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Regressionsergebnisse im Programmoutput
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Die Erwartungswerte und Varianz von b1 und b2
Wenn die Annahmen unseres Modells erfullt sind, dann gilt
E (b2) = β2 (2.6)E (b1) = β1 (2.7)
Man sagt, die KQ-Schatzer sind unverzerrt, denn es gibt keinensystematischen Schatzfehler.
Die Varianz beschreibt die Unsicherheit oder Prazision einer Schatzung:
var(b1) = σ2[ ∑
x2i
N∑
(xi − x)2
](2.8)
var(b2) =σ2∑
(xi − x)2 (2.9)
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Die Varianz von b2
Die Varianz von b2 ist definiert als var(b2) = E [b2 − E (b2)]2
Figure: Zwei mogliche Dichtefunktionen fur b2
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Was beeinflusst die Prazision einer Schatzung?
var(b1) = σ2[ ∑
x2i
N∑
(xi − x)2
]
1 Je großer die Varianz des Termes σ2 ist, desto großer wird dieUnsicherheit im statistischen Modell und damit die Varianzen der KQSchatzer.
2 Je großer die Summe der Quadrate∑
(xi − x)2 ist, desto kleiner wirddie Varianz der KQ schatzer und umso praziser konnen wir dieParamter schatzen.
3 Je großer der Stichprobenumfang N ist, umso kleiner werden dieVarianzen der KQ Schatzer.
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Das einfache Regressionsmodell 2.2 Schatzen der Regressionsparameter
Der Einfluss der Varianz der erklarenden Variable x auf diePrazision der Schatzung
Figure: (a) geringe Varianz in x , geringe Prazision (b) große Varianz in x , hohePrazision
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Test einer okonomischen Hypothese
Auch wenn theoretisch β2 = 0 gilt, wird man praktisch b2 6= 0 finden.Sind die geschatzten Koeffizienten aber tatsachlich von Null verschiedenoder schwanken die Werte von b2 nur zufallig um die Null?Dafur fuhren wir statistische Tests durch:
1 Bestimme die Null- und die Alternativhypothese.2 Spezifiziere die Teststatistik und deren Verteilung unter der
Nullhypothese.3 Wahle α (Signifikanzniveau) und bestimme die Ablehnregion.4 Berechne die Teststatistik anhand der Stichprobenwerte.5 Ziehe die entsprechende Schlussfolgerung.
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Hypothesentest
Die Nullhypothese H0 spezifiziert einen Wert fur einenRegressionsparameter
H0 : β2 = c
Die Alternativhypothese H1 wird angenommen, falls dieNullhypothese abgelehnt wird. Fur H0 : βk = c ist eine moglicheAlternativhypothese: H1 : β2 6= cα bestimmt den Bereich fur die Werte der Teststatistik, die zurAblehnung der Nullhypothese fuhren. (α = 1%, 5%, 10%)Ist die Nullhypothese wahr, dann ist - ”die Wahrscheinlichkeit, dassdie Teststatistik Werte im Ablehnbereich annimmt, kleiner als α”
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Tests: Ein Anwendungsbeispiel
Jeder Test basiert auf der Verteilung der Teststatistik. Fur H0 : βk = c ist
t =bk − cse(b2)
∼ t(N−2) (3.10)
t-verteilt mit N − 2 Freiheitsgraden.Unsere Beispielschatzung lieferte b2 = 10.21 und se(b2) = 2.09. Damitfolgt fur H0 : b2 = 0 und H1 : b2 6= 0:
t =b2
se(b2)=
10.212.09 = 4.88 (3.11)
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Ablehnbereiche einer TeststatistikH0 : βk = c gegen H1 : βk 6= c
Lehne H0 : βk = c ab und nimm H1 : βk 6= c an, wenn|t| ≥ t(1−α/2,N−2)
Bemerkung : H0 wird in beiden Fallen, bk zu klein oder zu groß,abgelehnt.Prof. Dr. Dieter Nautz Einfuhrung in die Methoden der Emp. WF 29 / 37
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Interpretation der Teststatistik
Weil t = 4.88 > 2.204 konnen wir die Nullhypothese, dass β2 = 0ablehnen und schließen daraus, dass ein statistisch signifikanterZusammenhang zwischen Einkommen und Lebensmittelausgabenexistiert.t = b2
se(b2)wird oft als t-Statistik oder t-Wert von b2 bezeichnet
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Fehler bei Testentscheidungen
Wir treffen eine korrekte Entscheidung, wenn:die Nullhypothese falsch ist und wir sie verwerfen.die Nullhypothese wahr ist und wir sie nicht verwerfen.
Dementsprechend gibt es zwei Fehlertypen:Typ I (α) Fehler: Die Nullhypothese ist wahr, aber wir verwerfen sieTyp II Fehler: Die Nullhypothese ist falsch, aber wir verwerfen sienicht
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Verallgemeinerte Hypothesentests
1 Angenommen die ’okonomische Theorie’ behauptet H0 : β2 = 7.5: Istdieser Wert mit unseren Schatzergebnissen vereinbar oder giltH1 : β2 6= 7.5?
2 Losung: t = (b2 − 7.5)/se(b2) ∼ t(N−2)
3 Mit α = .05 wird die H0 abgelehnt, wenn |t| ≥ 2.0244 Schatzung liefert: b2 = 10.21 und se(b2) = 2.09:
t =b2 − 7.5se(b2)
=10.21− 7.5
2.09 = 1.29
5 Weil t = 1.29 < 2.204 konnen wir zum Signifikanzniveau 5% dieNullhypothese nicht ablehnen, dass β2 = 7.5.
6 Obgleich wir b2 = 10.21 schatzen, ist unsere Schatzung doch sounsicher, dass wir nicht ausschließen konnen, dass Haushaltetatsachlich nur $7.50 mehr fur Nahrungsmittel ausgeben werden beieinem Einkommenszuwachs von $100.Prof. Dr. Dieter Nautz Einfuhrung in die Methoden der Emp. WF 32 / 37
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Statistische Tests 3.1 Hypothesentests
Schatzergebnisse fur Nahrungsmittelausgaben
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 83.41600 43.41016 1.921578 0.0622INCOME 10.20964 2.093264 4.877381 0.0000
Als nachstes erklaren wir ’Prob’, das heißt den p-Wert einer Teststatistik.
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Statistische Tests 3.2 p-Werte
Der p-Wert
Statistiksoftware gibt Testergebnisse oft in Form von p-Werten aus.
H1 : βk 6= c: p = Prob(|t| ≥ t)p-Wert Regel:Lehne die Nullhypothese ab ⇐⇒ p ≤ α.Der p-Wert ist das marginale Signifikanzniveau eines Tests.
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Statistische Tests 3.2 p-Werte
p-Werte im Beispiel
fur H0 : β2 = 7.5 und H1 : β2 6= 7.5, t = 1.29 mit p-Wert 0.20Prof. Dr. Dieter Nautz Einfuhrung in die Methoden der Emp. WF 35 / 37
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Statistische Tests 3.2 p-Werte
Interpretation von p-Werten
Im Schatzoutput,
Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.
C 83.41600 43.41016 1.921578 0.0622INCOME 10.20964 2.093264 4.877381 0.0000
beziehen sich p-Werte auf den Signifikanztest H0 : βk = 0 and H1 : βk 6= 0
Die Konstante (β1) ist signifikant zum 10% aber nicht zum 5%Niveau.Angenommen nur positive Werte der Konstante sind plausibel, dannfuhrt ein einseitiger Signifikanztest H1 : β1 > 0 zu einem p-Wertvon 0.0311!
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Statistische Tests 3.2 p-Werte
Zusammenfassung
Okonometrie ist das Teilgebiet der Wirtschaftswissenschaften, das dieMethoden der Empirischen Wirtschaftsforschung behandeltSie bildet die Brucke zwischen theoretischen Uberlegungen und DatenEmpirische Schatzungen sind stets mit Unsicherheit behaftetStatistische Tests konnen verwendet werden, um die Signifikanz vonempirischen Zusammenhangen zu diskutieren
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