Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil IV: Dynamik der Atmosphäre

2

IV Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3

IV.2 Die Bewegungsgleichung

• Die Newtonschen Axiome• Die wirksamen Kräfte

– Druckgradient– Schwerkraft– Reibungskraft– Scheinkräfte (Zentrifugal-, Corioliskraft)

• Die Navier-Stokes-Gleichung• Skalenanalyse

– geostrophische Approximation– hydrostatische Approximation– geostrophischer Wind im p-Koordinatensystem

4

IV.2.1 Bewegungsgleichung im Inertialsystem

constv K a

0

Axiom1.

Kdt

vdm a

Axiom2.

2112 KK

Axiom3.

i

iKK

) Axiom"("4. Korrolar

Im kräftefreien Raum bewegt sich ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit fort.

Auf angreifende Kräfte reagiert ein Körper mit einer Beschleunigung (auch Definition der Masse).

Greift eine Kraft an einem Körper an, so wirkt eine gleiche Kraft mit umgekehrtem Vorzeichen (actio = reactio).

Unterschiedliche Kräfte addieren sich vektoriell zur Gesamtkraft.

Die Newtonschen Axiome, die nur in einem Inertialsystem gelten, sind der Ausgangspunkt für die Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde.

5

IV.2.2 Auf die Atmosphäre wirksame Kräftea) in einem Inertialsystem gilt nach Axiom 2 und dem Korrolar

ngschleuniguReibungsbe

gchleunigunSchwerebes

unigungentbeschleDruckgradi mit

gungBeschleuni oder

Kraft ifischemassenspez mit ,

3

2

1

3

1

f

f

fff

ffm

K

dt

vdK

dt

vdm

ii

aa

6

Druckgradientbeschleunigung

BA

x0, y0, z0

Δx

Δz

Δy

x

z

y

• An allen Wänden des Volumens (ΔxΔyΔz) wirkt der Luftdruck als Impulsflussdichte p=Kraft/Fläche =Impuls/(Zeit x Fläche)

• Fläche A: p(x0+ Δx/2)=p(x0)+(∂p/∂x)(Δx/2)

• Fläche B: p(x0 - Δx/2)=p(x0) -(∂p/∂x)(Δx/2)

Nettoimpulsflussdichte in x-Richtung p(x0+ Δx/2)-p(x0 - Δx/2)=- (∂p/∂x)Δx

Nettokraft (Druck x Fläche) Kx= (∂p/∂x)ΔxΔyΔz= (∂p/∂x)V

massenspezifische Kraft (Beschleunigung) fx=Kx/m= (∂p/∂x)V/m (1/ρ)(∂p/∂x)

pz

pf

y

pf

x

pf zpypxp

1111

p,,, f oder , ,

7

Schwerebeschleunigung

zN

yNNg

g

ggf

,

,

0

Ng zg

gsein cheErdoberflä der auf senkrecht muss

igunglbeschleunZentrifuga

on)(Gravitati AnziehungNewtonsche

mit

:bereits kennen Wir

g

g

g

ggg

Z

N

ZN

Im Inertialsystem dürfen wir aber die Zentrifugalbeschleunigung der Erde nicht einbeziehen.

Also gilt

8

Reibungskraft (1)

x, y, z

Austausch von Molekülen zwischen

den Schichten unterschiedlicher

Geschwindigkeit durch thermische Bewegung

=molekulare Reibung

Austausch von Luftpaketen zwischen

den Schichten unterschiedlicher

Geschwindigkeit durch Turbulenz

=turbulente Reibung

«

Prinzip der Reibung: Analog zum Druck ist Reibung als Impulsaustausch zu sehen, allerdings nun parallel zu den Grenzflächen

9

Reibungskraft (2)

Grundlegender Ansatz: Schubspannung, intuitiv zunächst nur für Reibung in der Horizontalen Zähigkeit , mit

ms

kgz

u

Druck der wiesdichteImpulsflus m

/ /2s

smkg

m

sm

ms

kg

)/( 20 zzxz

)/( 20 zzxz

Δx

Δy

Δzx0, y0,

z0

• τxz: Schub in Richtung x durch Impulsaustausch in Richtung ±z

• wirkt oben und unten am Volumen

• Differenz bewirkt Nettoschub

10

Reibungskraft (3)τxz(z0+Δz/2) = 0τxz(z0-Δz/2) > 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)<0 Abbremsung

τxz(z0+Δz/2) > 0τxz(z0-Δz/2) < 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)»0 starke Beschleunigung

τxz(z0+Δz/2) >0τxz(z0-Δz/2) > 0Δτxz= τxz(z0+Δz/2)- τxz(z0-Δz/2)~0 weder Abbremsung noch

Beschleunigung

Entscheidend für Abbremsung oder Beschneunigung ist also nicht der Impulstransport

selbst, sondern dessen räumliche Änderung: Konvergenz beschleunigt, Divergenz bremst.

z

u

11

Reibungskraft (5)Berechnung der Nettokraft in x-Richtung (Impulsflussdivergenz):

xnach ngschleuniguReibungsbe

/)()/( über

)/()/(

,,

,

zm

V

zm

Kf

zzzzzzyxz

yxzzyxzzK

xzxzxRxR

xzxzxz

xz

xzxzxR

1

22

22

00

00

Laminare und turbulente Strömungen

tkoeffizienDiffusionser turbulentK

Zähigkeitmolekulare bzw. he,kinematisc ,mit

)(

)(1

11

ulent turb laminar

11

2

2

,

z

uzK

zz

u

z

uzK

zz

u

zz

u

z

z

u

zzf xz

xR

12

Reibungskraft (6)

zyzx

yzyx

xzxy

yzxz

zyxy

zxyx

yx

zx

zy

1

f und R

1

0

0

0

Problem: Neben τxz existieren noch τxy und τxx,und analog für die anderen Richtungen τyx, τyy und τyz, und τzx, τzy und τzz.

Die τii sind schon durch die Druckgradientkraft erledigt!

Lösung: Schubspannungstensor

13

Bewegungsgleichung für die Atmosphäre im Inertialsystem

11N

a gpdt

vd

In der Bewegungsgleichung für das Inertialsystem treten die bekannten Coriolis- und Zentrifugalbeschleunigungen nicht auf!Als brauchbares Inertialsystem kann dabei ein in der Sonne verankertes Koordinatensystem sein, das seine Achsen starr am Fixsternhimmels ausrichtet.

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b) im erdfesten Bezugssystem

• Das erdfeste System ist kein Inertialsystem, da jeder feste Punkt (bis auf die Pole) durch die Erddrehung ständig seine Bewegungsrichtung ändern muss.

• Massen auf der Erde reagieren auf diese Beschleunigungen mit Trägheit, d.h. sie versuchen ihre momentane Bewegung im Inertialsystem beizubehalten.

• Im erdfesten System erscheinen diese Trägheitsbewegungen als Beschleunigungen, die dann als Reaktion auf Scheinkräfte interpretiert werden

IV.2.2 Bewegungsgleichung im Erdsystem

15

Coriolisbeschleunigung- qualitativ (1) - • Ein von P (fest auf der Scheibe)

nach Q geworfener Körper hat auch eine x-Komponente der Geschwindigkeit; sie entspricht etwa der u-Bewegung von P.

• Nach der Zeit Δt ist P bei P‘ und auch der Körper muss etwa die gleiche Strecke in x-Richtung nach Q‘ zurück gelegt haben.

• Der Punkt Q hat sich aber nur nach Q‘‘ verlagert, durch die kleinere Entfernung von der Drehachse.

• Der Körper hat sich also relativ zur Scheibenoberfläche nach rechts bewegt.

• Analoges ergibt sich für die umgekehrte Richtung.

t0

t+Δt

P P‘

Q

Q‘‘

Q‘

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Coriolisbeschleunigung- qualitativ (2) -

• Die Vektoren seien Wege nach einer festen Zeit Δt.

• P wirft nach Q (blauer Vektor).

• Doch gleichzeitig ist die Drehung der Scheibe zu berücksichtigen (roter Vektor).

• Die Summe ist der grüne Vektor, der die Position des Balls im Intertialsystem anzeigt.

• Beachte nun die Position des Balls Q‘‘ relativ zu der Geraden P‘ Q‘.

Rechtsablenkung

P

P‘

P

P‘

QQ‘

Q

Q‘

Q‘‘

Q‘‘

17

Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (1) -

A

t1

+

2

3

v

s

C

B

Δs= ΔuΩ Δt=(uΩ(A)- uΩ(B))Δt =(Rcos(φ)Δλ/Δt - Rcos(φ +Δφ)Δλ/Δt) Δt =(R(cos(φ) - cos(φ +Δφ))Ω) Δt mit λ Länge und φ Breite

Mit bC= 2Δs/(Δt)² (Annahme einer konstanten Beschleunigung nach Ost: →s=1/2bct²) und Δφ/Δt=v/R → Δt= Δφ R/v folgtbC= 2R(cos(φ)-cos(φ +Δφ))Ω / (Δφ R/v ) = - 2Ωv (cos(φ+Δφ)-cos(φ)) / (Δφ) = - 2Ωv (Δcos(φ)) / (Δφ) ≈ -2Ωvd(cosφ)/dφ = 2Ωvsinφ

• Ein Körper startet bei A mit konstanter Geschwindigkeit v nach B (nach Norden) und hält v aufrecht über ein Zeitintervall Δt.

• Durch Erhaltung des Ost-Impulses nimmt er dabei eine Relativge-schwindigkeit in Ostrichtung ΔuΩ auf, und hat nach Δt die Strecke Δs nach Osten zurückgelegt.

sin, vb uC 2• Der Körper beschleunigt nach

rechts in Abhängigkeit von Geschwindigkeit und Breite

Δ

Δ

18

Coriolisbeschleunigung- halb quantitativ (2) -• Ein Körper bewege sich mit der

Relativgeschwindigkeit u nach Ost.• Er hat dann die

Absolutgeschwindigkeit ua=u+Ωr=u+ΩRcosφ.

• Da er einer Kreisbewegung folgt folgt eine Zentrifugalbeschleuni-gung von (ua)2/r.

r

uur

r

ru

r

ua2

222

2

• Der erste Term ist das bekannte gz.• Die beiden letzten Terme beschreiben

die zusätzliche Zentrifugalbeschleuni-gung durch die (relative) u-Bewegung.

• Der dabei meist dominierende mittlere Term (nur er hängt vom Vorzeichen von u ab!) lässt sich in eine z und eine y-Komponente aufteilen (Abbildung).

• Offensichtlich erfolgt in der Horizon-talen wieder eine Rechtsablenkung und zwar mit der Beschleunigung

sin, ub vC 2

19

Coriolisbeschleunigung- formal (1) -

• Betrachtung der Darstellung eines Vektors im Intertialsystem und im rotierenden Erdsystem

• Bildung der zeitlichen Ableitung unter Berücksichtigung der Änderung des rotierenden Koordinatensystems

• Anwendung auf den Vektor der absoluten Geschwindigkeit.

20

Coriolisbeschleunigung- formal (2) -

x

y

z

i

j

k

x‘z‘

y‘

i

j

k

adt

ad

kajaiadt

ad

kajaiadt

addt

kda

dt

jda

dt

ida

dt

ad

kdt

adj

dt

adi

dt

ad

kdt

daj

dt

dai

dt

da

dt

ad

kajaia

kajaia

a

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

zyx

System gtenbeschleuni im

Änderungebeobachtet

folgt daraus

Vektor

21

Coriolisbeschleunigung- formal (3) -

adt

ad

dt

ad

rv

dt

rdr

dt

d

dt

vd

rvrdt

d

dt

vd

vΩdt

vd

dt

vd

rvrdt

rd

dt

rd

v

aaa

v mit identisch a

22

Coriolisbeschleunigung- formal (4) -

VIVIIIIII

rvrdt

d

dt

vd

dt

vd a

2

I. Scheinbare Beschleunigung relativ zur ErdoberflächeII. Beschleunigung im Inertialsystem (= Summe der angreifenden Kräfte)III. Beschleunigung durch Änderung der Erdrotation (Herbsttag 0,05 s

kürzer als Sommertag, i.a. aber vernachlässigbar)IV. CoriolisbeschleunigungV. Zentrifugalbeschleunigung

23

Coriolisbeschleunigung- formal (5)

cos

sin

cossin

u

u

wv

wvu

kji

vf zyxC

2

2

2

22

Coriolisbeschleunigung

y

z

Äqu.

sin

cos

da

ΩΩ

ΩΩ

Ω

z

y

x

0

Mit dem Coriolisparameter f=2Ωsinφ gilt für die horizontale Komponente

h

hC

vkf

u,vwfu

fv

fu

wfvf

da , cos

,

2

Wo ist u²/r von Folie 18 geblieben?

24

Navier-Stokes-Gleichung (1)

rvrdt

d

dt

vd

dt

vd a

2

11kgp

dt

vd a+

Rfvkgpvvt

v

dt

vd

21

)(

Dabei wurden• totale Ableitung in partielle Ableitungen gesplittet • Rotationsvektor als konstant angenommen• Zentrifugalbeschleunigung in der Schwerebeschleunigung integriert• d‘/dt=d/dt gesetzt• Reibung verallgemeinert

25

Navier-Stokes-Gleichung (2)

Rfvkgpvvt

v

dt

vd

21

)(

komponentenweise

zR

yR

xR

f -g uz

p

z

ww

y

wv

x

wu

t

w

dt

dw

fvy

p

z

vw

y

vv

x

vu

t

v

dt

dv

fwvx

p

z

uw

y

uv

x

uu

t

u

dt

du

,

,

,

cos

sin

cossin

21

21

21

gekoppelte nichtlinear Diff‘gleichungen 2. Ordnung

26

IV.2.3 Skalenanalyse- für synoptische Systeme der mittleren Breiten -

• Synoptische Skalenanalyse der z-Komponente (Vertikalwind)

-> statische Grundgleichung• Synoptische Skalenanalyse der x/y- Komponente

(Horizonalwind)

-> der geostrophische Wind

27

Skalenanalyse (2)- charakteristische synoptische Größen -

• Horizontalgeschw. U ~ 10 m/s• Vertikalgeschw. W ~ 10-2 m/s• Länge L ~ 106 m (1000 km)• Höhe H ~ 104 m (10 km)• Luftdruckvariat. P ~ 103 Pa (10 hPa)• Zeit L/U = T ~ 105 s (ca. 1 Tag)• Coriolisparam. f = 2sin ~ 10-4 s-1

• Luftdichte ~ 1 kg/m3

• Luftdruck am Boden po ~ 105 Pa (1000 hPa)

28

Skalenanalyse (3) – horizontale Bewegungsgleichung -

xFrFwvx

p

dt

du,)cossin(

21

yFrFuy

p

dt

dv, sin

21

U/T 1/ p/L fU fW -

10-4 10-3 10-3 10-6 - m/s2

...Coriolisbeschleunigung undDruckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

y

pfu

x

pfv

1

1

29

synoptische Skalenanalyse (4) – geostrophischer Wind -

pkf

pvk, fy

pfu

x

pfv

h

hh

1

111

hv

oder

,

p

p 3 p

p 2 p

p 1 p

F

F P,H

C ,H

vg

T

H

x

p

ρf , v

y

p

ρ u

pkρf

v

gg

hg

11

1

geostrophischer Wind:

30

synoptische Skalenanalyse (5)- 3. Bewegungsgleichung -

zFfugz

p

dt

dw,cos

21

W/T 1/ po/H g fU -

10-7 10 10 10-3 - m/s2

gz

p ...Schwerebeschleunigung und

Druckgradientbeschleunigungheben sich gegenseitig auf!

31

Synoptische Skalenanalyse (6)- Berücksichtigung der Beschleunigung -

agag u

g

v

g uufdt

dvvvf

dt

du

y

pfu

dt

dv

x

pfv

dt

du

)( , )(

,

11

Offensichtlich bestimmt der ageostrophische Wind die Änderung des Windes.

Wann ist das wichtig?

ist. groß Zahl,-Rossby ,²

,

, Wenn o

UL

RfL

U

fUL

U

fU

U

fUT

U

fvfudtdv

dtdu

Mit gegebenen Zahlen gilt Ro=0,1, also 10% Fehler bei Anname des geostrophischen Windes. Bei L=100 km und sonst unveränderten Skalen gilt Ro=1, also 100% Fehler (z.B. für Mesoszyklonen, oder mit U größer bei Hurrikanen)

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Übungen zu IV.2

1. Berechne den Vektor der Druckgradientbeschleunigung, wenn bei p=1000 hPa und einer Temperatur von 20°C der Luftdruck von Westen nach Osten um 5 hPa auf 100 km abnimmt.

2. Wie groß sind die Komponenten der Coriolisbeschleunigung bei einem Windvektor (u,v,w) = (15 m/s, 5 m/s, 0.002 m/s) am Pol, in 45°N und am Äquator.

3. Schätze die Größe der Terme der Gleichung für die Zentrifugalbeschleunigung auf Seite 18 ab.

4. Erläutere die Ableitung der Bewegungsgleichung auf der rotierenden Erde in ca. 20 Zeilen.

5. Welche Beschleunigungen würden Änderungen des Betrags des Rotationsvektors der Erde um 1%/Tag auslösen? Vergleiche den Betrag mit dem der Coriolisbeschleunigung.

6. Versuche eine Skalenanalyse der horizontalen Bewegungsgleichung für einen Badewannenwirbel.