Clemens Simmer

Einführung in die Meteorologie (met210)

- Teil VI: Dynamik der Atmosphäre

2

VI Dynamik der Atmosphäre

1. Kinematik– Divergenz und Rotation– Massenerhaltung– Stromlinien und Trajektorien

2. Die Bewegungsgleichung– Newtonsche Axiome und wirksame Kräfte– Navier-Stokes-Gleichung– Skalenanalyse

3. Zweidimensionale Windsysteme– natürliches Koordinatensystem– Gradientwind und andere– Reibungseinfluss auf das Vertikalprofil des Windes

Dynamische Meteorologie ist die Lehre von der Natur und den Ursachen der Bewegung in der Atmosphäre. Sie teilt sich auf in Kinematik und Dynamik im engeren Sinne

3

VI.3 Zweidimensionale Windsysteme

1. Vereinfachte 2-dimensionale Bewegungsgleichung2. Gradientwind (Druck-Coriolis-Zentrifugal)3. Weitere 2-dimensionale Windsysteme

– Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal)– Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal)– Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)

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VI.3.3 Weitere 2D-Windsysteme Zyklostrophischer Wind (Druck-Zentrifugal) Trägkeitskreis (Coriolis-Zentrifugal) Antitriptischer Wind (Druck-Reibung)

Welche Luftdruckdifferenz herrscht in einem typischen Staubteufel (Außenrand zu Zentrum) mit 1 m Durchmesser und einer Windgeschwindigkeit am Rand von 20 m/s? 5

Zyklostrophischer Wind Zusätzliche Annahmen: - keine Reibung- keine Coriolisbeschleunigung (z. B. Äquatornähe,

kleiner Krümmungsradius, z.B. Staubteufel)

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1: 0 Stromlinien || Isobaren

1: und entgegengesetzte

Vorzeichen

h

pss

v p pn RR n n

TTF Z F ZP P

vH

vH

Isobare und S trom lin ie

nn

p/ n > 0 , d.h . T ie fantizyklona l R < 0 zyklonal R > 0

p/ n < 0 , d .h . T ie f

hh

R,s

fvnp

Rvn

fsps

:

:

1

10

2

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Trägheitskreis (1) Zusätzliche Annahmen- keine Reibung- kein Druckgradient

2

0 0:

: hh

svn v v fRR

v fR

h

h

f , also R 0 antizyklonal

also breitenabhängige Winkelgeschwindigkeit,gleich der doppelten "Erdrotationsgeschwindigkeit"

F Z

vH

n

C

S trom lin ie

0° 20° 43,3 60° 90°

f in 10-4s-10 0,5 1 1,26 1,46

Umlaufzeit, T=2π|R|/vh =2π/f, in Stunden ∞ 35 17,5 13,8 12

|R| bei vh=10 m/s ∞ 200 100 79 69

Als solche in der Atmosphäre kaum direkt beobachtet. Im Ozean dagegen sind diese Trägheitsschwingungen durchaus häufig.

hh

R,s

fvnp

Rvn

fsps

:

:

1

10

2

Trägheitskreise in der Ostsee

7

8

Trägheitskreis (2)- GrenzschichtstrahlstromDer Trägheitskreis taucht aber in der Form des sogenannten Grenzschichtstrahlstroms auf:

- Ausgangspunkt ist der subgeostrophische Wind in der Grenzschicht bedingt durch Reibung an der Erdoberfläche. Stabilisiert sich die Luft durch Ausbleiben der Heizung vom Boden in der Nacht, so reduziert sich die Reibung.

- Nehmen wir an, dass die Reibung plötzlich entfällt. Bei gegebenem Druck-gradient wird dieser dann nicht durch die Coriolisbeschleunigung ausgeglichen – der Wind beschleunigt zum Druckgefälle hin, wodurch die Coriolisbeschleunigung zunimmt.

- Der Wind beschleunigt, und zwar solange die Windrichtung eine Komponente zum tiefen Druck hat, da die Resultierende von Coriolis- und Druckgradient-beschleunigung eine Komponente in Richtung der Windrichtung hat.

- Ist der Wind parallel zu den Isobaren, so ist er stärker als der geostrophische Wind, er ist supergeostrophisch.

- Die Coriolisbeschleunigung ist nun aber stärker als der Druckgradient, er dreht den Windvektor zum hohen Druck. Die Resultierende „bremst“ dann den Wind. Dies geht so lange bis die Coriolisbeschleunigung kleiner als der Druckgradient ist und wieder eine Linksbeschleunigung wirkt….

Um dies quantitativ zu beschreiben müssen wir wieder zur Bewegungsgleichung im x,y,z-System zurück.

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Trägheitskreis (3)

1 da k

da 0 (da stationäres Druckfeld)

1

,

g g h

ag

gh

hh h

fk v v pf

v

h g agh g ag

dvdvdt dt

dv p fk vdt

d v v dvfk v v fk v

dt dt

• Ausgangspunkt: stationäres Druckfeld, ageostrophische Windkomponente, ohne Reibung.

• Die Zentrifugalbeschleunigung ist jetzt wieder im ersten Term enthalten!

• Wir erhalten eine prognostische Gleichung für den ageostro-phischen Wind.

• Diese Differentialgleichung lässt sich durch Transformation in den kom-plexen Raum einfach lösen.

agag

( ) |

Bezeichnung

ag

agag

agag

ag

ag ag ag ag

ag ag ag

dufvdv dtfk v

dvdtfu i

dtd u iv if u ivdt

u iv

dif

dt

v

vv

agv

x ,

y ,

10

Trägheitskreis (4)

ag ag 0

ag 0

0 0

0

Lösung von :

( ) exp

( ) cos sin

( ) ( )

( ) ( ) cos sin

Ausmultiplizieren und Zerlegen in Real und Imaginärteil:

cos

agag

g g

g g

g g

dif

dtt ift

t ft i ft

u u i v v

u u i v v ft i ft

u u u u ft v v

vv

v v

v

0

0 0

sin

sin cos

Beachte:

g

g g g

ag

ft

v v u u ft v v ft

constv

ag, ft = /2v

v

gvag ,t>0

t>0v t=0

v ag,t=0

P

F

F

P

C

P

F

F

P

Cfür v = vg

vg

v

v ft = /2

bafür v = vg

v

vv

v

ft = 3 /2

t = 0

ft = /2

ft =

P

c

• Weicht der ursprüngliche Wind vom geostrophischen ab, so führt der Windvektor eine Kreisbewegung mit der Winkelgeschwindigkeit f um letzteren aus (a, b).

• Ohne Druckgradient ergibt sich der Trägheitskreis (c).

allgemein v(t0)=0 vg=0→ →

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Einfluss der ReibungFallunterscheidung1. Sind Coriolisbeschleunigung und Zentrifugalbeschleunigung

vernachlässigbar, so sind im stationären Fall Druchgradientbeschleunigung und Reibung entgegengesetzt und gleich. Der dann resultierende antitripische Wind weht direkt vom hohen zum niedrigen Druck.

2. Erweitern wir um den Beitrag der Coriolisbeschleunigung bei Beschränkung auf gradlinige Isobaren (also keine Zentrifugalbeschleunigung), so muss der Windvektor eine Komponente zum tiefen Druck haben. Die Reibung selbst kann dabei nicht genau parallel zum Windvektor wirken.

3. Eine vereinfachte mathematische Analyse ergibt, dass der Wind vom Boden, wo er mit ca. 45° in das Tief weht, mit der Höhe zunehmend in den geostrophische Wind in der freien Atmosphäre in Form der Ekman-Spirale hineindreht (siehe Grenzschichtkapitel VII.

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Antitriptischer WindZusätzliche Annahmen:- Coriolisbeschleunigung = 0 (z. B. Äquatornähe)- Zentrifugalbeschleunigung =0 (gradlinie Isobaren)

,

,

1

||0

R s

h R h

p fs p fpn

H

Tpf

Rf

Der antitriptische Wind ist ein Ausgleichswind zwischen Druckgradientbeschleunigung und Reibungsbremsung: Die Luft wird gerade so stark beschleunigt, dass die mit dem Wind zunehmenden Reibung die Druckgradientbeschleunigung ausgleicht.

hh

R,s

fvnp

Rvn

fsps

:

:

1

10

2

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Richtung der Reibung unter Einfluss der Coriolisbeschleunigung

Annahmen:1. stationäre horizontale Strömung2. gradlinige Isobaren (keine Zentrifuglabeschleunigung)

1 0

also g

h h R

fk v

R h g R h g ag

p fk v f

f fk v v f v v v

Die Reibungsbeschleunigung steht senkrecht auf dem ageostrophischen Wind - also nicht parallel zum Windvektor.

T

H

pf

Rf

Cf

hv

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Konstruktion des Reibungsvektors

T

H

hv

gv

Pf

PRC fff

RC ff

ghagR vvvf

RichtungRf

hC vf

Richtung

RichtungCf

llelogrammKräftepara , RC ff

Cf

Rf

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Übungen zu VI.3.31. In einem horizontalen Windfeld ohne Bahnbeschleunigung herrsche

ein Druckgradient von 5 hPa/200km. Wie groß ist bei 0°, 20°, 50° und 90° geographischer Breite der zyklostrophische Wind bei R = 100 km, b) der antitriptische Wind, wenn für die Reibungsbeschleunigung als grobe über Land gültige Beziehung angenommen wird aR = - 1 x 10-4 s -1 vH. Bei allen Fällen sei angenommen, daß die Dichte 1 kg/m3 beträgt.

2. Skizziere den zeitlichen Verlauf von u und v-Komponente des Grenzschichtstrahlstroms, wenn der geostrophische Wind 10 m/s beträgt und zu Beginn die Windgeschwindigkeit Null ist (d.h. sehr starke und plötzlich ausfallende Reibung). Wann (nach Ausbleiben der Reibung) erreicht der Grenzschichtstrahlstrom an den Polen und bei 50° jeweils sein Maximum?

3. Konstruiere den Reibungsvektor für den Fall, dass der geostrophische Wind 10 m/s und der tatsächliche Wind 2 m/s ist, letzterer mit einer Linksabweichung vom geostrophischen Wind von 30°.