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Einfuhrung

Lineare Algebra I

Kapitel 1

9. April 2013

Lehrbuch.

Jorg Liesen, Volker Mehrmann, Lineare Algebra: Ein Lehrbuch uber dieTheorie mit Blick auf die Praxis (Bachelorkurs Mathematik)[Taschenbuch], ISBN : 978-3-8348-0081-7

Beispiel 1: Strassenbau.

Die Erde ist ≈ eine Kugel. Diese nichtlineare Oberflache (z.B.inNorddeutschland) can sehr gut naherungsweise durch die Kugelgleichungbeschrieben werden:

x2 + y2 + z2 = r2

Aber die ganze Technik behandelt den Bau von Schienen und Strassen,als ob sie auf einer Platte herumfahren. Dies ist im Rahmen derGenauigkeit die beim Strassenbau notwendig ist, vollauf berechtigt.

Beispiel 2: Wirtschaft.

Ein Produktionsbetrieb produziert zwei Produkte P1,P2. Produkt Pi

kostet ai EURO an Rohstoffen und bi EURO an Arbeitslohn. Damit kannein Gewinn von qi erzielt werden, fur i = 1, 2.

Es stehen a EURO an Kapital und b Arbeitslohneinheiten zur Verfugung.

Jedes Produktionsprogramm ist von der Form x1 Einheiten von P1 und x2

Einheiten von P2, was geometrisch als Zahlenpaar (x1, x2) dargestelltwird:

Es sind naturlich nur solche Produktionsprogramme erlaubt, die man mitden vorhandenen Ressourcen auch erzielen kann, d.h.,

a1x1 + a2x2 ≤ a,b1x1 + b2x2 ≤ b.

Ziel der Aufgabe ist die Gewinnmaximierung, d.h., man sucht einMaximum der Funktion

Φ(x1, x2) = q1x1 + q2x2.

Wie kann man dieses Maximum finden?

Es sind naturlich nur solche Produktionsprogramme erlaubt, die man mitden vorhandenen Ressourcen auch erzielen kann, d.h.,

a1x1 + a2x2 ≤ a,b1x1 + b2x2 ≤ b.

Ziel der Aufgabe ist die Gewinnmaximierung, d.h., man sucht einMaximum der Funktion

Φ(x1, x2) = q1x1 + q2x2.

Wie kann man dieses Maximum finden?

Beobachtung:

Wenn q1x1 + q2x2 = y ist, so hat man den Gewinn y . Fur feste yi sinddas parallele Geraden.

Verschiebt man also diese Parallelen, bis man an die Ecke mit demmaximalen y kommt, so hat man das Problem gelost.

Beobachtung:

Wenn q1x1 + q2x2 = y ist, so hat man den Gewinn y . Fur feste yi sinddas parallele Geraden.

Verschiebt man also diese Parallelen, bis man an die Ecke mit demmaximalen y kommt, so hat man das Problem gelost.

Beispiel 3: Stabilitat einer Gleichgewichtslage.

Eine Masse m sei mit Hilfe von Federn im dreidimensionalen Raumaufgehangt. Das Gleichgewicht sei im Punkt

(x , y , z) = (0, 0, 0).

Frage: ist das Gleichgewicht stabil?

Wir betrachten 4V , die Veranderung der potentiellen Energie, wenn mvon (0, 0, 0) aus in einen anderen Punkt (x , y , z) gebracht wird.Abhangig von den Großen der Federkonstanten ergibt sich

4V = a0x2 − a1xy + a2xz + a3y

2 − a4yz + a5z2,

z.B.4V = x2 − 4xy + 2xz + 3y2 − 2yz + 4z2.

Durch quadratische Erganzung bekommen wir

4V = (x − 2y + z)2 − y2 + 2yz + 3z2

= (x − 2y + z)2 − (y − z)2 + 4z2.

Wir erhalten lauter Quadrate, aber eines davon mit negativemVorzeichen. Damit kann 4V < 0 sein, z.B. fur (x , y , z) = (2, 1, 0).

Antwort: Das Gleichgewicht ist fur diese Federkonstanten instabil.

Wir betrachten 4V , die Veranderung der potentiellen Energie, wenn mvon (0, 0, 0) aus in einen anderen Punkt (x , y , z) gebracht wird.Abhangig von den Großen der Federkonstanten ergibt sich

4V = a0x2 − a1xy + a2xz + a3y

2 − a4yz + a5z2,

z.B.4V = x2 − 4xy + 2xz + 3y2 − 2yz + 4z2.

Durch quadratische Erganzung bekommen wir

4V = (x − 2y + z)2 − y2 + 2yz + 3z2

= (x − 2y + z)2 − (y − z)2 + 4z2.

Wir erhalten lauter Quadrate, aber eines davon mit negativemVorzeichen. Damit kann 4V < 0 sein, z.B. fur (x , y , z) = (2, 1, 0).

Antwort: Das Gleichgewicht ist fur diese Federkonstanten instabil.

Beispiel 4: Surfen im Internet.

Page Rank von Google.

Google verwendet einen sogenannten Page-Rank um Internetseiten zubewerten und damit die Reihenfolge festzulegen, wie die Hitlisteangezeigt wird. Die Hauptidee: die Reihenfolge danach zu bewerten,welche wichtigen Links auf diese Seite zeigen.

Baby-Beispiel: ein 4-Seiten-Internet.

Die Wichtigkeit der Internetseite kann als die Anzahl Ihrer Backlinksdefiniert, x.B.

x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2, x4 = 3.

In diesem Ansatz ist jedoch die Wichtigkeit der Backlinks selbst nichtberucksichtigt.

Page Rank von Google.

Google verwendet einen sogenannten Page-Rank um Internetseiten zubewerten und damit die Reihenfolge festzulegen, wie die Hitlisteangezeigt wird. Die Hauptidee: die Reihenfolge danach zu bewerten,welche wichtigen Links auf diese Seite zeigen.

Baby-Beispiel: ein 4-Seiten-Internet.

Die Wichtigkeit der Internetseite kann als die Anzahl Ihrer Backlinksdefiniert, x.B.

x1 = 1, x2 = 3, x3 = 2, x4 = 3.

In diesem Ansatz ist jedoch die Wichtigkeit der Backlinks selbst nichtberucksichtigt.

Etwas bessere Idee: Eine Seite wichtiger sein sollte, wenn wichtigeSeiten auf sie zeigen. Somit koennen wir die Wichtigkeit xk von Seite kals Summe der Wichtigkeiten aller Backlinks der Seite k definieren. Dasergibt das System

x1 = x3, x2 = x1 + x3 + x4, x3 = x1 + x4, x4 = x1 + x2 + x3

Noch bessere Idee: Noch die Anzahl der Links einer Seite selbst auchberucksichtigt werden muss. Sonst ware es moglich, durch Hinzufugenvon Links die eigene Wichtigkeit zu erhohen.Wir gewichten also die Backlinks mit der Anzahl ihrer Links.

Internet-Demokratie: Jede Seite kann andere Seiten wahlen und jedeSeite hat insgesamt eine “Stimme” zu vergeben. Das ergibt das System

x1 =x3

3, x2 =

2, x3 =

2, x4 =

3+ x2 +

Antwort: x1 = 0.14, x2 = 0.54, x3 = 0.41, x4 = 0.72.

x1 = x3, x2 = x1 + x3 + x4, x3 = x1 + x4, x4 = x1 + x2 + x3

x1 =x3

3, x2 =

2, x3 =

2, x4 =

3+ x2 +

Antwort: x1 = 0.14, x2 = 0.54, x3 = 0.41, x4 = 0.72.

x1 = x3, x2 = x1 + x3 + x4, x3 = x1 + x4, x4 = x1 + x2 + x3

x1 =x3

3, x2 =

2, x3 =

2, x4 =

3+ x2 +

Antwort: x1 = 0.14, x2 = 0.54, x3 = 0.41, x4 = 0.72.

Quantoren.

∀ = ‘fur alle’∃ = ‘gibt es’, ‘es existiert’ oder ‘es gibt’

Beispiele:∀ε > 0 ∃δ > 0 |x | < δ ⇒ |f (x)| < ε

∃ε > 0 ∀δ > 0 |x | < δ ⇒ |f (x)| < ε

Mengen.

∈ Element 1 ∈ N⊂ Teilmenge N ⊂ Z∩ Durchschnitt N ∩ Z+ = N∪ Vereinigung N ∪ Z+ = Z+

\ Mengendifferenz Z+ \ N = {0}× kartesisches Produkt R× R× R = R3 = {(a, b, c)|a, b, c ∈ R}

Quantoren.

∃ε > 0 ∀δ > 0 |x | < δ ⇒ |f (x)| < ε

Mengen.

Quantoren.

∃ε > 0 ∀δ > 0 |x | < δ ⇒ |f (x)| < ε

Mengen.

Abbildung.

Seien X ,Y zwei Mengen. Eine Abbildung f von X nach Y ,

f : X → Y ,

ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ X genau ein Element y = f (x) ∈ Yzuordnet.

Fur die Zuordnung einzelner Elemente schreiben wir x 7→ y .

NB. Zu einer Abbildung gehoren immer die Mengen, auf denen sieoperiert und die Zuordnungsvorschrift.

Beispiele. Sei X = Y = R.

a) f : X → Yx 7→ x3

b) f : X → Y

x 7→{

0, x ≤ 01, x > 0

Abbildung.

f : X → Y ,

ist eine Vorschrift, die jedem x ∈ X genau ein Element y = f (x) ∈ Yzuordnet. Fur die Zuordnung einzelner Elemente schreiben wir x 7→ y .

a) f : X → Yx 7→ x3

b) f : X → Y

x 7→{

0, x ≤ 01, x > 0

Abbildung.

f : X → Y ,

a) f : X → Yx 7→ x3

b) f : X → Y

x 7→{

0, x ≤ 01, x > 0

Abbildung.

f : X → Y ,

a) f : X → Yx 7→ x3

b) f : X → Y

x 7→{

0, x ≤ 01, x > 0

Euklidische Norm.

Der bekannte Abstandsbegriff im dreidimensionalen Raum (dieEuklidische Norm oder Lange) kann mittels einer Abbildung beschriebenwerden. Setze

X = R× R× R = R3, Y = R

‖ · ‖2 : X → Y

(x , y , z) 7→√

x2 + y2 + z2.

Diese Abbildung beschreibt den Abstand eines Punktes vom Nullpunkt.

Bildmenge, Urbild.

(a) Sei A eine Menge. Dann ist

IdA : A → Aa 7→ a

die Identitatsabbildung.

(b) Seien X ,Y Mengen und A ⊂ X , B ⊂ Y . Sei f : X → Y eineAbbildung. Dann heißt

f (A) = Bild(A) := {f (x) | x ∈ A}

die Bildmenge von A und

f −1(B) := {x | f (x) ∈ B}

das Urbild von B.

Beispiel.Wir betrachten einmal fur c ∈ R die Abbildung

f : R → Rx 7→ x + c

Beispiel.Wir betrachten einmal fur c ∈ R die Abbildung

f : R → Rx 7→ x + c

Injektivitat, Surjektivitat.

Abbildung f : X → Y heißt injektiv, wenn keine zwei Elemente von X aufdasselbe Element in Y abgebildet werden.

Sie heißt surjektiv oder Abbildung auf Y , wenn jedes y ∈ Y von derForm f (x) ist.

Sie heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist.

a) Sei X = Y = R.Ist f (x) = x2 injektiv, surjektiv?

Ist f (x) = 2x + 3 injektiv, surjektiv?

b) Sei X = Y = R+ = {x ∈ R | x ≥ 0}.Ist f (x) = x2 injektiv, surjektiv?

Zusammensetzung.

Sind f : X → Y und g : Y → Z Abbildungen, so ist diezusammengesetzte Abbildung g ◦ f definiert durch

g ◦ f : X → Z

x 7→ g(f (x)).

Ist f bijektiv, so heißt die Abbildung f −1 : Y → X , fur die f −1 ◦ f = IdX ,die Umkehrabbildung von f .

BetrachteX =

], Y = [0, 1], Z = [−1, 0],

und Abbildungen

f : X → Yx 7→ sin x ,

g : Y → Zy 7→ −y .

Dann ist

g ◦ f : X → Zx 7→ − sin x ,

f −1 : Y → Xy 7→ arcsin y ,

g−1 : Z → Yz 7→ −z .

Zusammensetzung.

g ◦ f : X → Z

x 7→ g(f (x)).

Ist f bijektiv, so heißt die Abbildung f −1 : Y → X , fur die f −1 ◦ f = IdX ,die Umkehrabbildung von f .Betrachte

X =[0,

], Y = [0, 1], Z = [−1, 0],

und Abbildungen

f : X → Yx 7→ sin x ,

g : Y → Zy 7→ −y .

Dann ist

g ◦ f : X → Zx 7→ − sin x ,

g−1 : Z → Yz 7→ −z .

Zusammensetzung.

g ◦ f : X → Z

x 7→ g(f (x)).

Ist f bijektiv, so heißt die Abbildung f −1 : Y → X , fur die f −1 ◦ f = IdX ,die Umkehrabbildung von f .Betrachte

X =[0,

], Y = [0, 1], Z = [−1, 0],

und Abbildungen

f : X → Yx 7→ sin x ,

g : Y → Zy 7→ −y .

Dann ist

g ◦ f : X → Zx 7→ − sin x ,

g−1 : Z → Yz 7→ −z .

Einschrankungen.

Seien X ,Y Mengen, A ⊂ X , f : X → Y . Dann heißt

f |A : A → Ya 7→ f (a)

die Einschrankung von f auf A.

Y = X = R, A =[0,

], f : X → Y

x 7→ sin x .

f ist nicht injektiv, aber f |A ist injektiv.

Einschrankungen.

f |A : A → Ya 7→ f (a)

Y = X = R, A =[0,

], f : X → Y

x 7→ sin x .

Einschrankungen.

f |A : A → Ya 7→ f (a)

Y = X = R, A =[0,

], f : X → Y

x 7→ sin x .

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