Entwurf von Ergebnisprüfern für parallel laufende Programme

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Entwurf von Ergebnisprüfern für parallel laufende Programme

René Nissing

parallele Ergebnisprüfer René Nissing 2

Gliederung

Einführung Grundlagen der Parallelrechnerarchitektur das parallele Ergebnisprüfer-Modell parallele Ergebnisprüfer Zusammenfassung


Gliederung



Einführung

Methoden zur Prüfung der Fehlerfreiheit eines Programms: formaler Beweis

mathematischer Beweis aufstellen Nachteil

schwer auffindbar Ergebnisprüfer

Korrektheit des Ergebnis Realtime Beurteilung Nachteil:

Aufblähung des Programmcodes Verlängerung Laufzeit

Komplexität von parallelen Programmen parallele Mittel ausschöpfen Uneffektivität eines sequentiellen Ergebnisprüfers für parallele

Programme


Gliederung



Grundlagen der Parallelrechnerarchitektur

Zielsetzungen und Einsatzbereiche der Parallelverarbeitung Rechnermodelle

RAM PRAM CRCW PRAM


Zielsetzungen der Parallelverarbeitung Rechenzeiten verringern höhere Zuverlässigkeit

Einsatzbereiche der Parallelverarbeitung Simulation komplexer Phänomene, wie z.B. im Bereich der

Bildverarbeitung, Halbleiterentwicklung oder Strömungssimulation.




Einsatzbereich: Beispiel Verarbeitung und Visualisierung von meteorologischen Daten

(z.B. Wettervorhersage)

Berücksichtigung von Temperatur, Luftdruck, Windgeschwindigkeit … große Menge an Daten verarbeiten, um gute Prognosen zu machen


Rechnermodelle RAM



Rechnermodelle PRAM

besteht aus mehreren RAM´s

n identische Prozessoren

Zugriff auf gemeinsamen Speicher

gemeinsamer Takt => gleichzeitige Ausführung von Operationen



Rechnermodelle PRAM

mögliche Konflikte Aufteilung des Befehlszyklus:

Speicher lesen, Operation ausführen und Speicher schreiben

Zugriffskonflikte Operation ausführen: unkritisch Konflikte beim gemeinsamen Lesen oder Schreiben verschiedene Optionen für PRAM´s




Rechnermodelle CRCW PRAM

vier Optionen für PRAM´s: Exclusive read (ER) Exclusive write (EW) Concurrent read (CR) Concurrent write (CW)

durch Kombination vier PRAM-Varianten: EREW-PRAM CREW-PRAM ERCW-PRAM CRCW-PRAM


Rechnermodelle CRCW PRAM

bei Schreibkonflikten vier Lösungsansätze: Common (C-CRCW) Arbitrary (A-CRCW) Minimum (M-CRCW) Priority (P-CRCW)

Alle Beispiele aus Techniken sind (A-) oder (P-) CRCW PRAM



Gliederung



Das parallele Ergebnisprüfer-Modell

Definition: probabilistischer Ergebnisprüfer Voraussetzungen:

P ein Programm (auch Orakel genannt), das eine Funktion f berechnen soll

x der betrachtete Eingabewert α der Konfidenzparameter


Definition: Ein probabilistischer Ergebnisprüfer für die Funktion f ist ein

probabilistisches Orakel-Programm RPf mit Orakel P, das

verifiziert, ob P das richtige Ergebnis bei einem gegebenen Eingabewert x ausgibt, wenn:

P(x) <> f(x), dann gibt RPf mit einer Wahrscheinlichkeit ≥

1- α "FAIL" aus P korrekt ist für jeden Eingabewert, dann gibt RP

f mit einer Wahrscheinlichkeit ≥ 1- α "PASS" aus

dabei darf der Ergebnisprüfer nur eine polynomielle Anzahl an Prozessoren benutzen




P so oft wie gewünscht aufrufen P ist Black-Box Mehrfachausführung des Programms P kein Argument Ergebnisprüfer <> Programm


Ergebnisprüfer muss sich vom zu prüfenden Programm unterscheiden

Definition: quantifiably different Annahmen:

d(n) ist die Laufzeit des parallelen Programms, das f berechnet bei einer Größe n des Eingabewerts

p(n) ist die Anzahl an genutzten Prozessoren bei einer Laufzeit d(n)

Der Ergebnisprüfer RPf ist quantifiably different , wenn:

die Prüfungslaufzeit o(d(n)) ist oder gleichzeitig die Prüfungslaufzeit O(d(n)) ist und die Anzahl der

Prozessoren zum Überprüfen o(p(n)) ist. alle behandelten Ergebnisprüfer sind quantifiably different



Gliederung



parallele Ergebnisprüfer

Techniken 1. Berechnung durch zufällige Eingabewerte (random inputs) 2. Konsistenzbeweis



1. Technik: Berechnung durch zufällige Eingabewerte Programm P berechnet Funktion f bei Eingabewert x „kompatible“ Eingabewerte symmetrische Funktionen



Berechnung durch zufällige Eingabewerte Definition (symmetrische Funktionen):

Symmetrische Funktionen sind n-Bit Funktionen, deren Ausgabewert nur von der Anzahl 1´en aus der Eingabe abhängt

Wertetabelle t0,...,tn ti: Ausgabewert der symmetrischen Funktion, wenn genau i der

Eingabebits 1´en sind Beispiel: Majoritäts-Funktion



Permutationen des Eingabewerts Beispiel Berechnung durch zufällige Eingabewerte

symmetrische Funktion f Eingabewerte: Eine Liste von n Bits â = a1,a2,...,an und eine

Wertetabelle t0,...,tn

Ausgabewert: b = tl wobei



Berechnung durch zufällige Eingabewerte Partitionieren in n+1 Äquivalenzklassen Zuteilung Äquivalenzklasse Phase 1: Prüft, ob Ergebnis mit mehr als ½ der Elemente aus

Äquivalenzklasse konsistent Phase 2: Prüft, ob P bei mehr als ½ der Elemente aus jeder

Äquivalenzklasse das richtige Ergebnis liefert


Algorithmus

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Eingabe EProgramm

PAusgabe A

E1

E2

Ek

ProgrammP

ProgrammP

ProgrammP

A1

A2

Ak

Comparer

A <> A1, A2, …, Ak ?

Gib „PASS“ aus

Gib „FAIL“ ausja

nein

Phase 1

…… …

ParalleleBerechnung von

kPermutationen

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j=1100…00

Phase 2

……

…Parallele

Berechnung vonk

Permutationen

j=n-1111…10

j=2110…00

j=n111…11

Prozessor 1 von kπ1(100…00)

Prozessor 1 von kπ2(100…00)

Prozessor 1 von kπk(100…00)

P

P

P

A1 = t1

A2 = t2

Ak = tk

Gib „FAIL“ ausGib „PASS“ aus

ja nein

…

…



Berechnung durch zufällige Eingabewerte Beweis der Korrektheit des Ergebnisprüfers

P korrekt: „PASS“ zu prüfen: wenn P fehlerhaft: „FAIL“ Annahme: P liefert bei der Berechnung des Eingabewertes â

einen falschen Wert zu zeigen: Der Ergebnisprüfer gibt mit einer Wahrscheinlichkeit

≥ 1-α "FAIL" aus



Berechnung durch zufällige Eingabewerte Beweis der Korrektheit des Ergebnisprüfers

Sei r die Anzahl der 1én des Eingabewertes â 1. Annahme: P liefert bei mehr als ½ der Eingabewerte mit r 1

én die richtige Antwort Wahrscheinlichkeit ≥ 1-α: eine Inkonsistenz in Phase 1 2. Annahme: P gibt bei mehr als ½ der Eingabewerte mit r 1

én die falsche Antwort aus Wahrscheinlichkeit ≥ 1- α: die r-te Gruppe Prozessoren findet in

Phase 2 heraus, dass das Programm P fehlerhaft ist



Berechnung durch zufällige Eingabewerte Laufzeitanalyse Ergebnisprüfer

Prüflaufzeit ist O(log*n) Anzahl der Prozessoren ist O(n2).



2. Technik: Konsistenz gewährleisten dynamische Programmierung Aufteilen der Eingabemenge Ausgabewert zusammenbauen Wertetabelle füllen Konsistenz der Einträge



Konsistenz gewährleisten Longest Common Subsequence-Problem Eingabewert: Zwei Zeichenfolgen x = x1x2x3...xn und y = y1y2y3...yn Ausgabewert: Die Länge der längsten gemeinsamen

Zeichensequenz lcs(l,k) die längste gemeinsame Zeichensequenz von xlxl+1...xn und

ykyk+1...yn

Wertetabelle aufbauen


Algorithmus



Konsistenz gewährleisten Laufzeitanalyse:

die Prüflaufzeit ist O(1) die Anzahl der Prozessoren ist O(n3)


Gliederung



Grundlagen der Parallelrechnerarchitektur RAM PRAM CRCW PRAM

das parallele Ergebnisprüfer-Modell probabilistischer Ergebnisprüfer quantifiably different

parallele Ergebnisprüfer 1.Technik: Berechnung durch zufällige Eingabewerte 2.Technik: Konsistenz prüfen

Zusammenfassung

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