Evolution kollektiver Struktur in den seltenen Erden

auf der Basis des Nilsson Modells

- Christoph Hinke -

Gliederung

• Kernmodelle im Überblick

• Motivation und Ziel der Diplomarbeit

• Wie kann man kollektive Anregungszustände des Kerns auf der Basis des Einteilchenmodells verstehen?

• Diskussion der Ergebnisse für deformierte gg-Kerne der seltenen Erden

• Das Nilsson Modell

• Paarkorrelationen

Das Schalenmodell• phänomenologisches Einteilchenmodell

• Nukleonen bewegen sich unabhängig voneinander in einem mittleren Potential

• Besetzung der Einteilchenzustände nach dem Pauli Prinzip

• zusätzliche Annahme von Restwechselwirkungen VRest

• CLS und CLL sind die Stärkeparameter der Spin-Bahn und Bahn-Bahn Kopplung

• Spin-Bahn Kopplung liefert die magischen Zahlen 50, 82 und 126

• kugelsymmetrisches Potential V(r)

Woods-Saxon Potential oder H.O. Potential

2r

• deformiertes Schalenmodell Nilsson Modell

• Beschreibung von Einteilchenanregungen sowie kollektiven Anregungen

A

lkst

A

kkLLkkLSk

k lkVlCslCrVm

pH

1Re

1

22

),()(2

Geometric Collective Model (GCM)• Kern ist Tropfen einer inkompressiblen Flüssigkeit, dessen Oberfläche zu Schwingungen angeregt werden kann

• GCM beschreibt lediglich kollektive Anregungen des Kerns

• Entwicklung der Kernoberfläche nach Kugelflächenfunktionen – die Koeffizienten der Entwicklung dienen als kollektive Koordinaten

0

*0 ),()(1,,

YtRtR

• λ=2 Quadrupolmoden 3 Euler Winkel und 2 Deformationsparamter β, γ

0;0

0;0

0;0

• Vereinfachter GCM Hamilton Operator

3cos1 3

34

42

20

2

CCCB

VTH

• Anregungen des Kerns: Rotationen um Achsen senkrecht zur Symmetrieachse sowie Oszillationen in β und γ

Geometric Collective Model (GCM) (2)• Grenzfälle der durch das GCM beschriebenen Kernstruktur:

• Sphärischer Vibrator E = nħω ; R4/2= 2.0022

2 CCV

• Axialsymmetrischer Rotator

E =J(J+1) ; R4/2= 3.33

0,0,03cos 3423

34

42

2 CCCCCCV

V(

)

V(

)

• γ-instabiler Rotator 0,0 424

42

2 CCCCV R4/2= 2.5

Interacting Boson Model (IBA)

• Algebraisches Modell: Starke Vereinfachung des Schalenmodells – die relevanten Freiheitsgrade werden extrahiert und durch Elemente der Algebra der Gruppe U(6) ausgedrückt

Unabhängige Teilchen-bewegung im Zentralfeld

+ kurzreichweitige attraktive RestWW

• Das IBA basiert auf der Annahme, dass energetisch tiefliegende kollektive Zustände primär durch die Anregung von Paaren von identischen Fermionen, die zu L=0 (s-Boson) und L=2 (d-Boson) gekoppelt sind, beschrieben werden können

• Nur Valenznukleonen – Bosonenzahl für einen Kern ist festgelegt N = nS + nD = ½ # der Val. Protonen + ½ # der Val. Neutronen154Sm: 1014 2+ Zustände im Schalenmodell – IBA: N = 5 + 6 = 11 Bosonen 26 2+ Zustände

Hamilton Operator H = HS + HD + HInteraction

• für große Bosonenzahlen reduziert sich der IBA- zum GCM- Hamilton Operator

• 6 Bosonen Erzeuger-/Vernichteroperatoren s+, s, d+, d (=-2,-1,0,1,2)

Interacting Boson Model (IBA) (2)

• 3 Dynamische Symmetrien: Die Untergruppen U(5), SU(3) und O(6) der Gruppe U(6) sind von besonderem physikalischem Interesse

U(5) entspricht dem sphärischen Vibrator im GCM SU(3) entspricht dem deformierten axialsymmetrischen Rotator im GCM O(6) entspricht dem γ-instabilen Rotator im GCM

• Die meisten Kerne erfüllen nicht die strengen Kriterien von U(5), SU(3), O(6) Notwendigkeit numerischer Berechnungen, bei denen man den HIBA in der s-d Bosonen Basis diagonalisiert• Vereinfachter IBA Hamilton Operator im ECQF (Extended Consistent

Quadrupole Formalism)

QQ

NncH d

ˆˆ4

ˆ)1(

)2()()(ˆ ddsddsQ ddndˆ

U(5) : = 0 beliebig

SU(3) : = 1 = -1.32

O(6) : = 1 = 0

QeET Bˆ)2(

32.12/702/710

Energien

Übergangswahrscheinlichkeiten

Motivation

• Im Jahr 2004: IBA Fits der Parameter und an tiefliegende kollektive Energiezustände (g.s.-, γ-, K=0-Bande) sowie an wichtige B(E2) Werte für Gd, Dy, Er, Yb, Hf Isotope im ECQF

Darstellung im Symmetrie Dreieck: und werden in Polarkoordinaten umgesetzt

(E.A. McCutchan, N.V. Zamfir, and R.F. Casten, Phys. Rev. C69, 064306 (2004))

Ist es möglich den Unterschied in der strukturellen Entwicklung zwischen den Gd, Dy, Er und den Yb, Hf Isotopen auf mikroskopischer Ebene zu verstehen?

IBA Symmetrie Dreieck

= 0 beliebig

= 1 = -1.32

= 1 = 0

= 60°

= 0°

Motivation (2)

• Der IBA Winkel ist mit der „Form“ des GCM Potentials in γ verknüpft

γ-flach

γ-steif

γ-instabiler Rotator

deformierter axialsymmetrischer Rotator

GCM Potential

Untersuchung der Zusammensetzung der Wellenfunktion des Zustandes 2+ γ

der γ-Vibration im Einteilchenmodell, um Anhaltspunkte dafür zu finden, ob sich überhaupt und falls ja, wodurch sich mikroskopisch die Veränderung der „Steifheit“ des Potentials in diesem Freiheitsgrad äußert.

= 60°

= 0°

C´3 = 0

C´3 > 0

Das Nilsson Modell

• Sphärischer Kern: Im Schalenmodell wird ein kugelsymmetrisches Potential angenommen Ein Nukleon sieht das gleiche Potential unabhängig von der Orientierung seiner Bahnebene

β = 0

• Quantenzahlen n l j mj

• Jeder Zustand n l j im Schalenmodell ist 2j+1-fach entartet

Das Nilsson Modell (2)

• Deformierter Kern: Im Nilsson Modell wird ein deformiertes Potential ange- nommen. Die Kernkraft ist von kurzer Reichweite und anziehend.

Prolate Deformation

Ene

rgie

Nilsson Diagramm:

β > 0

= sin-1 (K/j)

22222

2

1)( zyxmrV zxy

zxy

Das Nilsson Modell (3)

• Anisotropes H.O. Potential im Hamilton Operator für den deformierten Kern

• Nilsson Wellenfunktionen zur Berechnung von WW-Matrixelementen

• Quantenzahlen

Jeder Zustand im Nilsson Modell ist 2-fach entartet. Ein Nukleon kann den Kern im Uhrzeigersinn oder gegen den Uhrzeigersinn in der gleichen Bahnebene umrunden ( ± K ).

K [ N nz ]

Exakte QZ: K Projektion des Gesamtdrehimpulses auf die Symmetrieachse die Parität des Zustandes = (-1)N

N Gesamtzahl der Oszillatorquanten

Gute QZ im stark deformierten Kern – „asymptotische QZ“:nz Zahl der Oszillatorquanten in z-Richtung (Symmetrieachse), Projektion des Bahndrehimpulses, Spins (± ½) auf die z-Achse K = ±

Linearkombinationen der analytischen Lösungenim nicht deformierten oder stark deformierten Fall

Paarkorrelationen in gg-Kernen

• Paarkraft ist attraktive Wechselwirkung zwischen identischen Teilchen

• Zustand, in dem zwei Nukleonen zu J = 0 koppeln, ist energetisch stark abgesenkt In den Nilsson Orbitalen im Grundzustand sind jeweils die Nukleonen mit ± K gepaart

• Paarstreuung verursacht verschmierte Besetzungswahrscheinlichkeit der Nukleonenpaare in den Nilsson Zuständen um die ursprüngliche Fermikante

V(i)2 BesetzungswahrscheinlichkeitU(i)2 Nichtbesetzungswahrscheinlichkeit

• „BCS Grundzustand“ ist energetisch am Günstigsten

i Einteilchenenergien der Nilsson Orbitale

50 MeV 1 MeV

V(i)2 + U(i)2 =1

Paarkorrelationen in gg-Kernen (2)

• Ohne Paarkraft: Teilchen-Loch Anregungen zwischen Nilsson Orbitalen, die durch den Operator einer Wechselwirkung verbunden sind

Angeregte Zustände

• Mit Paarkraft: Teilchen-Loch Anregungen 2 Quasiteilchen Anregungen

22)( iQTE 2212 QTQTQT EEE

• Aufbrechen von Nukleonenpaaren kostet Energie – keine Anregungen unterhalb der Paarungslücke

• Modifikation der Wechselwirkungsmatrixelemente

iOmM im |ˆ|

iOmUVVUM mimiBCS

im |ˆ|

typischer Wert von 2 1.5-2.0 MeV

Random Phase Approximation*

* Der Name RPA stammt von Näherungen, die bei der ersten theoretischen Herleitung dieser Methode gemacht wurden

• Beschreibung kollektiver Zustände auf der Basis des Einteilchenmodells

• Annahme über die Zusammensetzung des Zustandes 2+ γ der γ-Vibration:

Superposition von verschiedenen 2 QT-Anregungen zwischen Nilsson Orbitalen (i,m), die durch den Operator r2Y2±2 der Quadrupolwechselwirkung verbunden sind

Auswahlregeln von r2Y2±2 : N = 0, nz = 0, = 0, K = ±2, = ±2, = +1

RPAOc c || cEcH c ||ˆ

immiimmiimc yxO

• Grundzustand |RPA> entspricht Grundzustand |BCS> + 2 QT Anregungen

• Die Amplituden yim sind deutlich kleiner als die Amplituden xim

ground state

Random Phase Approximation (2)

• Lösen der Schrödingergleichung für den kollektiven Zustand |c> mit Hilfe der Variationsrechnung liefert:

- Energie Ec von |c> wobei Ec deutlich unterhalb der Mindestenergie für 2 QT Anregungen liegt

- Amplituden xim und yim und die Amplitudenquadrate Cim, die ein Maß für die Bedeutung der Nilsson Orbitalkombinationen (i,m) in der Gesamtwellenfunktion sind

im im

imimim yxC 1)|||(| 22

2__

2__

2

))((

1

))((

1||

iQTmQTciQTmQTc

BCSimmi EEEEEE

MC

Ec = E 1 MeV E2QT > 1.5 MeV

Die Orbitalkombinationen (m,i) sind bedeutend für die γ-Vibration, falls sie

- möglichst nahe an der Fermikante liegen

- das Quadrupol-Wechselwirkungsmatrixelement MBCSim groß ist

_

γ-Vibration in deformierten gg-Kernen

• Berechnung der Wellenfunktion für wohl-deformierte Sm, Gd, Dy, Er, Yb, Hf Isotope (SU(3) „ähnliche“ Kerne) und für Pt Isotope (O(6) „ähnlich“)

• Bei den Protonen und Neutronen tragen jeweils etwa 10 Orbitalkombinationen insgesamt 90% der Gesamt- wellenfunktion, von denen jede mehr als 0.5% Anteil an der Gesamtwellenfunktion hat Quantitative Beschreibung der Art der Verteilung der WF auf diese Zustände Verteilungsfunktion S

S = 1 : Eine Orbitalkombination trägt die gesamte Wellenfunktion S = 0 : Die Wellenfunktion verteilt sich gleichmäßig auf alle Orbitalkombinationen

-S ohne Index betrifft Gesamtwellenfunktion-SN/P Verteilung der Wellenfunktion innerhalb der Neutronen/Protonen-fN/P Anteil der Neutronen/Protonen an der Gesamtwellenfunktion fN + fP = 1

GammakorrelationsfunktionPPNN SfSf

4

110

Sm Isotope

• Rechnungen von Scholten et al. liefern für die Sm Isotope IBA Winkel = 0° Sm Kerne sind gamma-steif

• Qualitative Korrelation zwischen und im IBA Dreieck

• Die kleinen Werte von sind auf die extreme Dominanz der Neutronen (fN > 0.9 für N > 92) zurückzuführen

• Anschauliche Vorstellung: Starke N-P Kopplung, Protonen nehmen kaum an der Vibration teil, Protonen dämpfen die Schwingung der Neutronen Kern ist gamma-steif

Gd, Dy und Er Isotope

Gd, Dy und Er Isotope (2)

• Gd, Dy zunehmend gamma-weicher aufgrund steigendem SN

• SP konstant auf hohem Niveau

Yb und Hf Isotope

• SP(Yb) > SP(Hf)

Korrelation zwischen und

• Bisher qualitative Korrelation zwischen dem IBA Winkel und

• Quantitative Korrelation möglich unter Einbeziehung von R22 = E(2+) / E(2+

1)

)),62(),(())6(()),62(),(( 122

12222 NRNZRORNNZ

Nullpunktskorrektur

2.5

Zusammenfassung

• Es besteht eine Korrelation zwischen der Beschreibung von wohl deformierten Kernen der seltenen Erden im IBA (Algebraisches Modell) und deren Beschreibung im deformierten Einteilchenmodell.

• Die Eigenschaft eines Kernes, ein „gamma-flaches“ Potential zu besitzen, kann mikroskopisch folgendermaßen definiert werden:

- Kerne tendieren zu gamma-flachem Potential, falls die Wellenfunktion der γ-Vibration sowohl bei Neutronen als auch bei Protonen von wenigen stark beitragenden 2 QT Anregungen getragen wird und die Wellenfunktion auf Neutronen und Protonen gleichverteilt ist

- Kerne mit relativ tief liegender Energie des angeregten Zustandes der γ-Vibration 2+

γ im Vergleich zum 2+ Zustand der Grundzustandsrotationsbande neigen ebenfalls zu gamma-weichem Verhalten

)),62(),(())6(()),62(),(( 122

12222 NRNZRORNNZ