PHYSIK

MECHANIK

I

F. HERRMANN SKRIPTEN ZUR EXPERIMENTALPHYSIK ABTEILUNG FR DIDAKTIK DER PHYSIK UNIVERSITT KARLSRUHE AUFLAGE 1997

Hergestellt mit RagTime Druck: Universittsdruckerei Karlsruhe Vertrieb: Studentendienst der Universitt Karlsruhe Mrz 1997 Alle Rechte vorbehalten

Inhaltsverzeichnis1. Mengenartige Gren 2. Impuls und Impulskapazitt 2.1 2.2 Definition des Impulses Die Impulskapazitt 7 9 9 10 11 11 12 13 14 15 17 17 17 18 19 20 22 24

3. Die Kraft 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 Impulsstrme Die Stromrichtung Die Impulsstromstrke Geschlossene Impulsstromkreise Die Kontinuittsgleichung

4. Impuls und Kraft als Vektoren 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Der Impuls als Vektor Die Kraft als Vektor Die Newtonschen Gesetze Die Gravitationskraft Impulsbilanz bei Drehbewegungen Verzweigte Impulsstromkreise

5. Impulsstrom und Energiestrom 5.1 5.2 5.3 Der Zusammenhang zwischen Energiestromstrke, Impulsstromstrke und Geschwindigkeit Die Analogie zur Elekrizittslehre Verallgemeinerung auf drei Dimensionen

24 26 27 28 28 29 29 30 31 33

6. Energiespeicher 6.1 6.2 6.3 6.4 Der bewegte Krper als Energiespeicher - die kinetische Energie Die Feder als Energiespeicher Das elektrische Feld als Energiespeicher Das Gravitationsfeld als Energiespeicher

7. Stoprozesse 8. Dissipative Impulsstrme: Reibung und Viskositt

4 9. Die Analogie zwischen Mechanik und Elektrodynamik - der Dualismus innerhalb von Mechanik und Elektrodynamik 9.1 9.2 9.3 9.4 Die Analogie Der Dualismus Beispiel Mechanische Materialkonstanten 35 35 36 37 39 41 41 41 44 46 48 50 50 53 55 55 57 60 60 61 64 65 66 69 70 72 73 74 75 76 77 77 78 78 80 81

10. Schwingungen 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9 10.10 Kinematik und Dynamik Qualitative Diskussion einiger Beispiele von Schwingungen Das ungedmpfte Federpendel Das gedmpfte Federpendel Erzwungene Schwingungen Elektrische Analoga und duale Anordnungen Zwei gekoppelte Federpendel Erzwungene Schwingungen von zwei gekoppelten Pendeln Freiheitsgrade Zwlf gekoppelte Pendel

11. Chaotische Vorgnge 12. Drehimpuls und Drehmoment 12.1 12.2 Der Drehimpuls als mengenartige Gre Der Zusammenhang zwischen dem Drehimpuls eines Systems von Massenpunkten und den Impulsen der Massenpunkte 12.3 Das Drehmoment und die Kontinuittsgleichung 12.4 Der Zusammenhang zwischen Drehmoment und Krften 12.5 Das Trgheitsmoment 12.6 Die Zerlegung des Drehimpulses - Spin und Bahndrehimpuls 12.7 Drehimpuls und Energie 12.8 Der Steinersche Satz 12.9. Die Analogie zwischen Elektrizittslehre, Translationsmechanik und Rotationsmechanik 12.10 Zweckmige Zerlegungen in Teilsysteme; die Gezeiten; die SpinBahn-Kopplung 12.11 Drehmomentgleichgewichte 13. Mechanische Spannung - Impulsstromdichte 14. Statische Felder 14.1 14.2 14.3. 14.4. 14.5 Physikalische und mathematische Felder Die physikalische Gre Feldstrke Das Newtonsche Gravitationsgesetz - das Coulombsche Gesetz Feldlinienbilder - die Divergenzfreiheit von Feldern Die berlagerung von Feldstrkeverteilungen

5 14.6 14.7 14.8 14.9 14.10 14.11 14.12 14.13 14.14 Massen und Ladungen als Quellen von (mathematischen) Feldern Beispiele von Feldstrkeverteilungen Mechanische Spannungen in statischen Feldern Die Energieverteilung im statischen elektrischen und im statischen Gravitationsfeld Das Gravitationspotential Das Zweikrperproblem Die Planetenbewegung Schwerelosigkeit Gezeitenkrfte 82 83 85 88 89 90 92 94 95 97 97 97 98 98 100 101 101 106 106 107 107 108

15. Relativistische Dynamik 15.1 15.2 15.3 15.4 15.5 15.6. 15.7 Vorbemerkungen Die quivalenz von Masse und Energie Die Beziehung P = vF Der E-p-Zusammenhang Der E-v-Zusammenhang Der v-p-Zusammenhang Beispiele

16. Bezugssysteme - relativistische Kinematik 16.1 16.2 16.3 16.4 Bezugssysteme Die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit Relativistische Transformationsgleichungen Konsequenzen der Transformationsgleichungen

1. Mengenartige GrenEs gibt eine Klasse physikalischer Gren mit denen der Umgang besonders leicht ist: die mengenartigen Gren. Zu ihnen gehren: - die Masse m - die Energie E - die elektrische Ladung Q - der Impuls p - die Entropie S - die Stoffmenge n und andere. Man darf sich jede dieser Gren wie eine Art Substanz vorstellen, und man darf ber sie sprechen, wie man ber eine Substanz spricht. Der physikalische Grund hierfr ist, da es zu jeder solchen Gre eine Dichte (Massendichte, Energiedichte, Ladungsdichte . . . ) und einen Strom (Massenstrom, Energiestrom, elektrischer Strom . . . ) gibt. Aus dieser Tatsache folgen weitere Eigenschaften der mengenartigen Gren: Sie verhalten sich bei Systemzusammensetzung additiv, Abb. 1.1. Hat die Gre x in System S1 den Wert x1 und in System S2 den Wert x2 , so hat sie in dem zusammengesetzten System S den Wert x1 + x2. Fr nichtmengenartige Gren, z. B. die Temperatur, gilt diese Regel nicht. Die Frage nach der Erhaltung ist nur fr mengenartige Gren eine sinnvolle Frage. So sind Energie und elektrische Ladung Erhaltungsgren, Entropie und Stoffmenge dagegen sind es nicht, denn man kann Entropie erzeugen und Stoffmenge sowohl erzeugen als auch vernichten. Die Frage nach der Erhaltung nichtmengenartiger Gren dagegen ist sinnlos, etwa die Frage: "Ist der Druck eine Erhaltungsgre?" Die Strken einiger Strme haben aus historischen Grnden eigene Namen: Die Energiestromstrke nennt man auch Leistung, und die Impulsstromstrke nennt man fast ausschlielich Kraft. In Tabelle 1.1 sind die wichtigsten mengenartigen Gren zusammen mit den entsprechenden Stromstrken zusammengestellt.

Abb. 1.1. Zur Additivitt mengenartiger Gren

8Tabelle 1.1. Einige mengenartige Gren und ihre Stromstrken Mengenartige Gre Name Masse Energie elektrische Ladung Impuls Entropie Stoffmenge Symbol (Maeinheit) m (kg) E (Joule, J) Q (Coulomb, C) p (Huygens, Hy) S (Carnot, Ct) n (mol) Stromstrke Name Massenstromstrke Leistung elektrische Stromstrke Kraft Entropiestromstrke Stoffmengenstromstrke Symbol (Maeinheit) - (kg/s) P (Watt, W = J/s) I (Ampere, A = C/s) F (Newton, N = Hy/s) - (Ct/s) - (mol/s)

Zwischen einigen Bereichen der Physik existieren Analogien: Aus einer Beziehung, die in einem Gebiet der Physik gilt, erhlt man durch rein formales bersetzen eine Beziehung, die in einem anderen gilt. Bei diesen Analogien entsprechen sich mengenartige Gren. Wir werden in diesem Skriptum oft die Analogie zwischen Mechanik und Elektrizittslehre ansprechen. Bei ihr entsprechen sich Impuls und elektrische Ladung, sowie Kraft (= Impulsstromstrke) und elektrische Stromstrke.

2. Impuls und Impulskapazitt2.1 Definition des Impulses Ein rollender Wagen hat Schwung. Je schneller er rollt, und je schwerer er ist, desto mehr Schwung hat er. Die Bedeutung von dem, was man umgangssprachlich Schwung nennt, deckt sich sehr gut mit der Bedeutung der mengenartigen physikalischen Gre Impuls. Huygens nannte den Impuls "quantitas motus", sinngem bersetzt "Bewegungsmenge". Ein sich bewegender Krper enthlt eine bestimmte Menge Impuls, genauso wie ein elektrisch geladener Krper eine bestimmte Menge Elektrizitt enthlt. Wir beschrnken uns zunchst auf die Betrachtung eindimensionaler, geradliniger Bewegungen in x-Richtung, und wir legen fest: Bewegt sich ein Krper in die positive x-Richtung, so ist sein Impuls positiv. Bewegt sich der Krper in die negative x-Richtung, so ist sein Impuls negativ. Ruht der Krper, so ist sein Impuls Null. Wir legen als nchstes die Impulseinheit fest: Ein Krper der Masse 1 kg, der sich mit einer Geschwindigkeit von 1 m/s in die positive x-Richtung bewegt, hat einen Impuls von einem Huygens: p = 1 Hy. Wir berzeugen uns spter davon, da man zur Festlegung der Impulseinheit keine weiteren Angaben ber den Einheitskrper zu machen braucht. Man braucht z. B. nichts ber seine geometrische Gestalt und ber seine chemische Zusammensetzung zu sagen. Abb. 2.1 zeigt, wie man den Impuls eines Krpers K messen kann. Man lt Einheitskrper E, d. h. Krper, von denen jeder eine (negative) Impulseinheit trgt, mit K so zusammenstoen, da sie nach dem Sto mit K verbunden bleiben ("inelastischer Sto"). Dabei geht von K auf E Impuls ber. Man lt nun so lange Einheitskrper gegen K stoen, bis K und alle bereits an ihm hngenden Einheitskrper zum Stillstand gekommen sind. Wenn dazu z Einheitskrper erforderlich sind, wei man, da K am Anfang z Impulseinheiten hatte.

Abb. 2.1. Zur Messung des Impulses. K = Krper, dessen Impuls gemessen werden soll. E = Krper mit einer Impulseinheit

10 Dieses Meverfahren setzt voraus, da beim Zusammensto kein Impuls verloren geht, und kein neuer Impuls erzeugt wird. Da das der Fall ist, kann man in weiteren Experimenten leicht nachweisen.

2.2 Die Impulskapazitt Wir untersuchen nun, wovon der Impuls eines Krpers abhngt und stellen fest: Der Impuls eines Krpers hngt ab - von der Geschwindigkeit des Krpers; - von der Masse des Krpers. Er hngt nicht ab z. B. - von der chemischen Zusammensetzung des Krpers; - von der geometrischen Gestalt des Krpers. Die quantitative Untersuchung zeigt, da fr nicht zu groe Geschwindigkeiten (|v| c ) gilt: p ~ mv Die Maeinheit Huygens des Impulses ist nun gerade so eingerichtet, da aus der Proportionalittsbeziehung eine Gleichung wird: p = mv (2.1)

Selbstverstndlich gilt diese Beziehung nur fr die Klasse von Systemen, fr die sie experimentell verifiziert wurde: fr Krper nicht zu hoher Geschwindigkeit. Fr andere Systeme, z. B. elektromagnetische Felder, gelten andere Beziehungen. Man kann Gleichung (2.1) auch folgendermaen lesen: Bei gegebener Geschwindigkeit enthlt ein Krper um so mehr Impuls, je grer seine Masse ist. Die Masse stellt damit ein Ma fr die Impulskapazitt eines Krpers dar. In Tabelle 2.1 sind einige typische Impulswerte angegeben. Die zu Gleichung (2.1) analoge Beziehung der Elektrizittslehre ist Q = CU. Sie sagt, da die Platten eines Kondensators bei gegebener Spannung um so mehr elektrische Ladung Q tragen, je grer die Kapazitt C des Kondensators ist. Man stellt experimentell fest, da Impuls weder erzeugt noch vernichtet werden kann: Der Impuls ist eine Erhaltungsgre.Tabelle 2.1. Einige typische Impulswerte Fliegender Tennisball fliegender Fuball Fugnger fahrender Personenwagen Erde (auf ihrer Bahn um die Sonne) 2 Hy 12 Hy 100 Hy 40 000 Hy 1.8. 1028 Hy

3. Die Kraft3.1 Impulsstrme Wenn elektrische Ladung von einer Stelle A nach einer Stelle B bertragen wird, sagt man, es fliee ein elektrischer Strom von A nach B. Genauso kann man, wenn Impuls von einem Krper A auf einen Krper B bertragen wird, sagen, es fliee ein Impulsstrom von A nach B, Abb. 3.1 und Abb. 3.2.

Abb. 3.1. Von A nach B fliet ein Impulsstrom. Der Impuls von Krper A verteilt sich auf beide Krper.

Abb. 3.2. Von A nach B fliet ein Impulsstrom. Der ganze Impuls von A geht auf B ber.

Lt man den Impuls eines Krpers in die Erde abflieen, so verteilt er sich in der Erde; er "verdnnt" sich dabei so stark, da man ihn nicht mehr nachweisen kann, Abb. 3.3. Die analoge elektrische Situation zeigt Abb. 3.4.

Abb. 3.3. Der Impuls fliet vom Auto in die Erde und verdnnt sich dort so stark, da man ihn nicht mehr nachweisen kann.

Abb. 3.4. Die elektrische Ladung fliet von der Kugel in die Erde und verdnnt sich dort so stark, da man sie nicht mehr nachweisen kann.

Impuls fliet, wenn eine Verbindung existiert, von selbst in die Erde. Um einen Impulsstrom gegen seine natrliche Flurichtung flieen zu lassen, braucht man eine "Impulspumpe". In Abb. 3.5 wirkt die Person als Impulspumpe. Abb. 3.6 zeigt die analoge elektrische Situation. Ob ein Gegenstand oder ein anderes Gebilde den Impuls gut oder schlecht leitet, lt sich leicht feststellen, Abb. 3.7. Man findet:

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Abb. 3.5. Der Impuls des Wagens nimmt zu. Die Person "pumpt" ihn aus der Erde ber das Seil in den Wagen.

Abb. 3.6.Die elektrische Ladung der Kugel nimmt zu. Das Netzgert "pumpt" sie aus der Erde ber das Kabel auf die Kugel.

- Feste Gegenstnde leiten Impulsstrme; - Gase leiten Impulsstrme schlecht; - Seile leiten Impulsstrme nur in eine Richtung; - Rder werden oft zur Impulsisolation verwendet. Reiben zwei Gegenstnde aneinander, so fliet zwischen ihnen ein Impulsstrom. Je geringer die Reibung, desto besser ist die Impulsisolation. Auch nichtmaterielle physikalische Systeme, die sogenannten Felder, leiten den Impuls. Abb. 3.8 zeigt, wie Impuls durch ein Magnetfeld fliet.

Abb. 3.7. Der Wagen wird ber die Stange mit Impuls geladen. Die Stange leitet den Impuls.

Abb. 3.8. Der Wagen bekommt seinen Impuls ber das Magnetfeld, das sich zwischen den beiden Magneten befindet.

3.2 Die Stromrichtung Steht ein Gegenstand (oder anderes Gebilde) unter Zugspannung, so fliet in ihm ein Impulsstrom in die negative x-Richtung, Abb. 3.9. Steht ein Gegenstand unter Druckspannung, so fliet in ihm ein Impulsstrom in die positive x-Richtung, Abb. 3.10. Diesen Stzen liegt eine Konvention zu Grunde: Zhlte man den Impuls eines Krpers positiv, wenn sich der Krper in die negative x-Richtung bewegt, so kehrten sich auch die Stromrichtungen um. (Auch in der Elektrizittslehre hat man eine willkrliche Vorzeichenfestlegung getroffen: Elektronen bzw. geriebene Siegellackstbe werden als negativ geladen definiert.)

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Abb. 3.9. Der Impuls fliet in die negative x-Richtung.

Abb. 3.10. Der Impuls fliet in die positive x-Richtung.

3.3 Die Impulsstromstrke Ein Gegenstand, durch den ein Impulsstrom fliet, wird verformt. Nimmt der Gegenstand, nachdem der Impulsstrom aufgehrt hat zu flieen, seine alte Form wieder an, so nennt man ihn elastisch. Elastische Krper knnen zur Messung der Impulsstromstrke benutzt werden. Solche Stromstrkemegerte nennt man Kraftmesser. Man geht mit ihnen um, wie mit anderen Stromstrkemegerten auch, z. B. wie mit Amperemetern, Abb. 3.11: - Man trennt die Leitung, in der der zu messende Strom fliet durch;Abb. 3.11. Zur Messung der Impulsstromstrke

- man verbindet die beiden neu entstandenen Enden mit den beiden Anschlssen des Stromstrkemegerts. Die Maeinheit der Impulsstromstrke ist das Newton (N). Es gilt 1N=1 Hy s

Der in der Physik bliche Name der Impulsstromstrke ist Kraft. Der sprachliche Umgang mit dem Wort Kraft ist allerdings etwas anders als der mit dem Wort Stromstrke. In Tabelle 3.1 sind einige bersetzungsregeln aufgelistet.Tabelle 3.1. Zum sprachlichen Umgang mit den Wrtern "Kraft" und "Impulsstrom" Impulsstrom Kraft

In den Krper fliet ein Impulsstrom hinein. Von Krper A nach Krper B fliet ein Impulsstrom. Durch das Seil fliet ein Impulsstrom.

Auf den Krper wirkt eine Kraft. Krper A bt auf Krper B eine Kraft aus. In dem Seil wirkt eine Kraft.

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3.4 Geschlossene Impulsstromkreise In den Abbildungen 3.12 a bis c ist die Impulsnderung des Krpers K 10 Hy/s, denn es fliet ein Impulsstrom von 10 N in den jeweiligen Krper. Wegen der groen Masse des Krpers in Abb. 3.12 c ndert sich aber dessen Geschwindigkeit kaum noch. Trotzdem fliet durch den Kraftmesser ein Impulsstrom derselben Strke wie durch den Kraftmesser in Abb. 3.12 a. Man sieht daran, da das Flieen eines Impulsstroms nichts mit der Bewegung des Impulsleiters zu tun hat.

Abb. 3.12. Das Flieen eines Impulsstroms hat nichts mit der Bewegung des Impulsleiters zu tun.

In Abb. 3.12 d schlielich fliet immer noch ein Impulsstrom von 10 N. Diesmal ndert sich aber der Impuls keines Krpers. Der Impuls fliet hier in einem geschlossenen "Stromkreis". Dieselbe Situation liegt vor bei der Anordnung von Abb. 3.13: Die obere Feder steht unter Zugspannung, d. h. der Impulsstrom fliet von rechts nach links, die untere steht unter Druckspannung, d. h. der Impulsstrom fliet von links nach rechts. Anordnungen, in denen Impulsstrme flieen, ohne da sich etwas bewegt, nennt man statische Anordnungen. Der Impulsstromkreis von Abb. 3.13 bringt eine triviale Erfahrung zum Ausdruck: Wenn an irgendeiner Stelle in einer statischen Anordnung eine Druckspannung herrscht, so mu es eine andere Stelle geben, die unter Zugspannung steht.Abb. 3.13. Geschlossener Impulsstromkreis

Es mag aus zwei Grnden merkwrdig erscheinen, im Zusammenhang mit statischen Anordnungen von Strmen zu sprechen:

15 1. Kann es sein, da ein Strom stndig fliet, - ohne Antrieb, ohne Energiequelle? Offenbar ja. Schlielich gibt es auch elektrische "reibungsfreie" Strme, die Suprastrme. 2. Die Anordnung von Abb. 3.13 ist vllig symmetrisch. Wie kommt aber der Strom dazu, eine Richtung auszuzeichnen? Die Antwort lautet: Die Richtung hat nicht der Strom ausgezeichnet, sondern wir, indem wir festgelegt haben, da nach rechts bewegte Krper positiven Impuls haben. Es liegt also einfach daran, da unser Koordinatensystem unsymmetrisch ist.

3.5 Die Kontinuittsgleichung Da der Impuls eine Erhaltungsgre ist, kann sich sein Wert innerhalb eines Raumbereichs nur dadurch ndern, da ein Impulsstrom in den Bereich hinein- oder aus ihm herausfliet. Das Hinein- und Herausflieen kann aber auf zweierlei Art geschehen: Entweder, wie in Abb. 3.14 a, durch Zug oder Druck, oder, wie in Abb. 3.14 b, dadurch, da sich Impuls "konvektiv" in den Bereich hinein oder aus ihm herausbewegt. Die gesamte Impulsstromstrke Ip setzt sich also aus zwei Summanden zusammen. Nur den Abb. 3.14. Zwei Typen von Impulsstrmen ersten, den Druck- bzw. Zugterm, nennt man Kraft. Den zweiten, konvektiven Strom wollen wir mit Fkonv bezeichnen. Es ist also Ip = F + Fkonv (3.1) Der konvektive Impulsstrom Fkonv , etwa in einem Wasserstrahl, lt sich durch die Massenstromstrke Im und die Strahlgeschwindigkeit vS ausdrcken. Fr die Impulsnderung dp in dem gestrichelt markierten Raumbereich in Abb. 3.14 b gilt nmlich dp = vS dm. Also ist dp konv = F konv = v Sdm = v SI m dt dt Die Gesamtstromstrke ist damit: Ip = F + vS Im, und fr die Impulsnderung im Raumbereich knnen wir schreiben dp = Ip dt (3.3) (3.2)

Gleichung (3.3) ist die Kontinuittsgleichung fr den Impuls. Man beachte, da diese Beziehung keine Definition der Gre Ip darstellt. Sie bringt vielmehr eine Erfahrung zum Ausdruck: die Erfahrung, da der Impuls eine Erhaltungsgre ist. Die Gren auf der linken und der rechten Seite sind nmlich unabhngig voneinander mebar.

16 Die zu (3.3) analoge elektrische Beziehung lautet dQ =I dt und die Kontinuittsgleichung fr die Masse dm = I m dt

4. Impuls und Kraft als Vektoren4.1 Der Impuls als Vektor Wir lassen jetzt die Einschrnkung fallen, da sich Krper nur in die positive oder negative xRichtung bewegen drfen. Um den Wert des Impulses eines Krpers beliebiger Bewegungsrichtung festzulegen, mu man den Betrag des Impulses und die Bewegungsrichtung, die "Richtung des Impulses", angeben. Der Impuls ist also ein Vektor. Da der Impuls mengenartig ist, mu eine Addition erklrt werden: Der Impuls wird nach der gewhnlichen Vektoradditionsregel (Parallelogrammregel) addiert. Die Impulse der rumlich getrennten Systeme A und B seien pA und pB. Dann ist der Impuls des aus A und B zusammengesetzten Systems p = pA + pB. (Die Geschwindigkeit ist nicht mengenartig. Die Addition von Geschwindigkeiten hat eine andere physikalische Bedeutung: Sie entspricht stets einem Wechsel des Bezugssystems. Die Addition von Geschwindigkeiten geschieht nur im Grenzfall kleiner Geschwindigkeiten |v | c nach den Regeln der Vektoraddition.) Oft ist es zweckmig, den Impuls eines Krpers in die x-, y- und z-Komponente zu zerlegen: p = px ex + py ey + pz ez Impuls, der in die x-Richtung weist, nennen wir kurz x-Impuls. Entsprechend gibt es y- und zImpuls.

4.2 Die Kraft als Vektor Die elektrische Ladung ist ein Skalar. Folglich ist auch die elektrische Stromstrke ein Skalar. Der Impuls ist ein Vektor. Folglich mu auch die Kraft, d. h. die Impulsstromstrke, ein Vektor sein. Um eine Impulsstromstrke (oder Kraft) anzugeben, gengt es nicht zu sagen, in dem entsprechenden Leiter flieen z. B. 10 Hy/s, man mu auch noch sagen, was fr Impuls fliet: x-Impuls, y-Impuls, z-Impuls oder irgendeine Kombination aus diesen drei Impulssorten. Man mu daher auch die Stromstrke des Impulses durch einen Vektor beschreiben.

Abb. 4.1. (a) x-Impuls fliet von rechts nach links. (b) x-Impuls fliet von links nach rechts. (c) x-Impuls fliet von unten nach oben.

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Abb. 4.2. (a) y -Impuls fliet von rechts nach links. (b) y - Impuls fliet von rechts durch die Schleife nach links.

Der Betrag dieses Vektors gibt den Betrag des pro Zeit an einer gegebenen Stelle vorbeiflieenden Impulses an. Seine Richtung gibt die Richtung des Impulses an, der in der Leitung fliet. Achtung: Die Impulsstromstrkerichtung (= Kraftrichtung) stimmt im Allgemeinen nicht mit der Richtung der Leitung, durch die der Impuls fliet (z. B. eine Stange), berein. Abb. 4.1 zeigt drei Beispiele dafr, da x-Impuls in einen Krper hineinfliet. Man sagt in allen drei Fllen, auf den Krper wirke eine Kraft in x-Richtung. Man beachte, da die Flurichtung des x-Impulses in jedem Teilbild anders ist. In Abb. 4.1 a kommt der x-Impuls von rechts in den Krper hinein, in Abb. 4.1 b von links und in Abb. 4.1 c von unten. Abb. 4.2 zeigt einen Krper, der mit y-Impuls geladen wird. Man sagt, auf den Krper wirke eine Kraft in y-Richtung. In Abb. 4.2 a kommt der Impuls von rechts; in Abb. 4.2 b auch, allerdings mu er noch durch die Schleife hindurchflieen.

4.3 Die Newtonschen Gesetze Wir knnen jetzt auch die Kontinuittsgleichung in vektorieller Form schreiben: d p = Ip dt mi t I p = F + F ko nv (4.1)

Schliet man konvektive Impulsstrme aus, so bleibt d p =F dt Wir formulieren die drei Newtonschen Gesetze. 1. Newtonsches Gesetz Ein krftefreier Krper bewegt sich geradlinig gleichfrmig. (Der Impuls eines Krpers, in den kein Impulsstrom hineinfliet, ndert sich nicht.) 2. Newtonsches Gesetz Wenn eine Kraft F auf einen Krper mit der Masse m wirkt, ndert sich sein Impuls so, da d (mv ) = F dt (4.2)

19 (Wenn ein Impulsstrom F in einen Krper fliet, ndert sich dessen Impuls so, da d p =F dt ist.) 3. Newtonsches Gesetz Wenn die Kraft F, die auf einen Krper A wirkt, ihren Ursprung in einem anderen Krper B hat, so wirkt auf B die entgegengesetzte gleiche Kraft -F. (Wenn ein Impulsstrom der Strke F, der in einen Krper A hineinfliet, seinen Ursprung in einem anderen Krper B hat, so fliet aus B ein Impulsstrom derselben Strke F heraus.) Man sieht, da alle drei Gesetze die Impulserhaltung ausdrcken.

4.4 Die Gravitationskraft Die z-Achse stehe senkrecht zur Erdoberflche, und die positive Seite weise nach unten. Fr einen fallenden Krper nehmen Impuls und Geschwindigkeit zu. Es fliet z-Impuls in den Krper hinein. Dieser Impuls kommt ber das Gravitationsfeld aus der Erde. Ist Luftreibung vorhanden, so fliet auerdem Impuls aus dem Krper heraus in die Luft. Die Strke des Impulsstroms von der Erde zum Krper ist, solange der Krper nicht zu weit von der Erdoberflche entfernt ist, nur von der Masse m des Krpers abhngig: F=mg F ist die Gravitationskraft oder Gewichtskraft. Der Betrag des Vektors g ist ortsabhngig. In Mitteleuropa ist sein Wert in der Nhe der Erdoberflche 9,81 N/kg, am Nord- und am Sdpol 9,83 N/kg und am quator 9,78 N/kg. Man nennt |g| daher auch den Ortsfaktor. Wir lernen spter eine allgemeinere Bedeutung von g kennen. Hindert man den Krper am Fallen, indem man ihn aufstellt oder aufhngt, Abb. 4.3, so erhlt man einen geschlossenen Impulsstromkreis: Der Impuls fliet aus der Erde ber das Gravitationsfeld in den Krper und von dort ber die Aufhngung zurck zur Erde. Traditionell unterscheidet man, allein um den Zustand des Krpers in Abb. 4.3 zu beschreiben, zwischen vier verschiedenen Krften. Obwohl alle vier vom selben Betrag sind, mu man sie be-

Abb. 4.3. Geschlossener Impulsstromkreis

20 grifflich sauber voneinander unterscheiden: 1. Die Kraft FSK, die das Seil auf den Krper ausbt; 2. die Kraft FKS, die der Krper auf das Seil ausbt; 3. die Kraft FEK, die die Erde auf den Krper ausbt; 4. die Kraft FKE, die der Krper auf die Erde ausbt. Zwischen diesen Krften gelten die folgenden Beziehungen: FSK = - FKS FEK = - FKE FSK = - FKE (4.3a) (4.3b) (4.3c)

Die Gleichungen (4.3a) und (4.3b) sind Ausdruck des 3. Newtonschen Gesetzes. Gleichung (4.3c) besagt, da die Summe der Krfte, die auf den Krper wirken, gleich Null ist. Diese Summe mu gleich Null sein, denn der Impuls des Krpers ndert sich nicht. Betrachtet man die Anordnung im Impulsstrombild, so erkennt man, da die vier Krfte nichts anderes darstellen, als die Stromstrke desselben Impulsstroms an vier verschiedenen Stellen: beim Verlassen des Seils, beim Eintritt in den Krper, beim Verlassen des Krpers und bei Eintritt in die Erde.

4.5 Impulsbilanz bei Drehbewegungen Die Zentrifugalkraft Ein Krper der Masse m soll sich reibungsfrei mit konstanter Winkelgeschwindigkeit

=d dtauf einer Kreisbahn bewegen. (d = Winkel im Bogenma. d ist ein Vektor. Weisen die gekrmmten Finger der rechten Hand in die Drehrichtung, so gibt der Daumen die Richtung des d -Vektors an. Es folgt, da auch die Winkelgeschwindigkeit ein Vektor ist, Abb. 4.4.) Damit sich der Krper auf einer Kresibahn bewegt, mu sich sein Impuls stndig ndern, Abb. 4.5. Es mu stndig eine Kraft auf ihn wirken. Diese Kraft heit Zentripetalkraft. Die Impulsnderung im Zeitintervall dt ist dp = p2 - p1 = d p Mit = d /dt folgt d p = p dt

Abb. 4.4. Zur Definition des Winkelgeschwindigkeitsvektors

Abb. 4.5. Zur Berechnung der Impulsnderung eines Krpers, der eine Kreisbewegung ausfhrt

21 und mit p = mv und v = r : d p = m [ ( r )] dt Mit F = dp/dt ergibt sich F = m [ ( r)] Diese Kraft kann man selbstverstndlich messen. Handelt es sich z. B. um einen Krper, der mit einer Schnur herumgeschleudert wird, so braucht man nur in die Schnur einen Kraftmesser einzubauen. Damit haben wir die Impulsbilanz fr den Krper erstellt. Schwieriger wird es, wenn wir uns auf den Krper draufsetzen und die Bilanz in diesem neuen Bezugssystem machen. Am Kraftmesser sehen wir, da nach wir vor ein Impulsstrom in den Krper hineinfliet. Allerdings ist nichts von einer Impulsnderung zu merken; in unserem neuen Bezugssystem ruht ja der Krper. Wir schlieen daher, da der Impuls durch einen unsichtbaren Leiter wieder abfliet. Es fliet also ein Strom der Strke FZ = - m [ ( r)] durch den leeren Raum weg. Wir sagen: Auf den Krper wirkt eine Kraft, die der Zentripetalkraft das Gleichgewicht hlt, die Zentrifugalkraft. Tatschlich fliet dieser Strom nicht durch den leeren Raum, sondern durch ein physikalisches Gebilde: das Gravitationsfeld.

Die Corioliskraft Wir betrachten ein Fahrzeug der Masse m, das sich auf einer mit der Winkelgeschwindigkeit rotierenden Scheibe bewegt, Abb. 4.6. Die Geschwindigkeit vR des Fahrzeugs relativ zur Scheibe sei konstant, ebenso die Winkelgeschwindigkeit . Es ist in diesem Fall mglich, die Impulsnderung des Fahrzeugs allein durch die Gren m, vR und auszudrcken. Es ist nmlich d p = m {[ ( r )] + 2( v R )} dt (4.4)

Der erste Summand auf der rechten Seite ist gleich der Zentripetalkraft. Hinzu kommt noch ein Beitrag zur Impulsnderung, der senkrecht zur Geschwindigkeit vR steht. Um uns eine Anschau-

Abb. 4.6. Neben der Zentrifugalkraft wirkt auf das Fahrzeug eine weitere Kraft quer zur Richtung der Schienen.

Abb. 4.7. Zerlegung der Impulsnderung im Zeitintervall dt in zwei Anteile. Der dritte Anteil ist hier Null.

22 ung von diesem zweiten Summanden zu bilden, betrachten wir einen Spezialfall: Das Fahrzeug bewege sich auf einer Schiene radial nach auen. Wir betrachten den Wagen, wenn er sich so nahe der Mitte der Scheibe befindet, da wir den ersten Term auf der rechten Seite von (4.4) vernachlssigen knnen. (Der zwiete Term ist vom Radius unabhngig.) Man kann sich nun die nderung des zweiten Terms aus zwei Anteilen zusammengesetzt denken, Abb. 4.7. Der erste Beitrag kommt daher, da der Vektor des Impulses m vR mit der Winkelgeschwindigkeit gedreht wird. Er betrgt dp1 = m (d vR) = m ( vR) dt Der zweite Beitrag kommt daher, da sich das Fahrzeug auf Grund der Radialbewegung nach Ablauf der Zeit dt auf einem anderen Kreisumfang befindet, d. h. an einer Stelle der Scheibe, die sich mit einer anderen Tangentialgeschwindigkeit bewegt: d p 2 = m d ( r ) = m ( d r )dt = m ( v R)dt dt Die Summe der beiden Beitrge ergibt 2 m( vR)} dt. Wenn sich nun der Wagen in grerem Abstand vom Zentrum bewegt, kommt noch der erste Term in (4.4) dp0 = m[ ( r)] dt hinzu, soda wir insgesamt erhalten dp = m {[ ( r)] + 2( vR)} dt Auch die Kraft, die zu dem Term 2m ( vR) gehrt, lt sich messen. Sie wrde sich bei einem Schienenfahrzeug durch einen Druck auf die Schienen quer zu deren Richtung uern. Wieder machen wir die Impulsbilanz im rotierenden Bezugssystem. In ihm ist die Impulsnderung Null, obwohl die aus Gleichung (4.4) folgenden Krfte auf den Krper wirken. Es mu also neben der Zentrifugalkraft FZ = - m [ ( r)] noch eine weitere Kraft FC = - 2m ( vR) auftreten, die dem zweiten Summanden auf der rechten Seite von Gleichung (4.4) das Gleichgewicht hlt. Diese Kraft heit Corioliskraft. Auch FC beschreibt einen Impulsstrom, der aus dem Krper ins Gravitationsfeld fliet, und auch dieser Strom tritt nur im rotierenden Bezugssystem auf.

4.6 Verzweigte Impulsstromkreise Wir haben festgestellt, da die Kraft ein Vektor ist. Welche physikalische Bedeutung hat die Vektoraddition von Krften? In der Anordnung von Abb. 4.8 treffen sich drei Seile in einem Punkt, einem Knoten. Wir wenden auf den gestrichelt eingerahmten Bereich die Kontinuittsgleichung (4.2) an:

23 d p = dt

Fii

i = 1, 2,3

Die Gesamtstromstrke F ist die Summe aus den drei Teilstromstrken F1, F2 und F3. Der Impuls in dem betrachteten Bereich ndert sich nicht, d. h. dp/dt = 0. Mit der Kontinuittsgleichung folgt daraus:

Fii

=0

i = 1,2, 3Abb. 4.8. Die Summe der Krfte, die auf den Knoten wirken, ist gleich Null.

Die Summe der Krfte, die auf den Knoten wirken, ist gleich Null. (Oder die Gesamtstromstrke der Strme, die zum Knoten flieen, ist gleich Null.) Das elektrische Analogon dieser Regel ist die Kirchhoffsche Knotenregel.

Abb.5.1. Der Impulsstromkreis ist ber die Erde geschlossen.

Abb.5.2. Der geschlossene Impulsstromkreis ist von der Erde isoliert.

5. Impulsstrom und Energiestrom5.1 Der Zusammenhang zwischen Energiestromstrke, Impulsstromstrke und Geschwindigkeit Eine Kiste wird mit konstanter Geschwindigkeit ber den Boden gezogen, Abb. 5.1. Das Seil steht unter Zugspannung, d. h. durch das Seil fliet ein Impulsstrom nach links. An der Tatsache, da sich weder der Impuls der Kiste noch der der Person ndert, erkennt man, da der Impuls durch die Erde zur Person zurckfliet: Wir haben einen geschlossenen Stromkreis vor uns. Man erkennt das Flieen des Impulsstroms noch besser, wenn man das Experiment so abndert wie es Abb. 5.2 zeigt. Durch die Rder ist der Impulsstromkreis gegen die Erde isoliert. Das Flieen des Impulsstroms erkennt man an den beiden Federn: Die obere Feder ist gedehnt, d. h. der Impulsstrom fliet in ihr nach links, die untere ist gestaucht, d. h. der Impulsstrom fliet in ihr nach rechts. Bei dem Vorgang mu sich die Person anstrengen, und die Unterseite der Kiste erwrmt sich. Daran erkennt man, da Energie von der Person zur Kiste fliet. Sie kommt aus den Muskeln der Person und fliet durch das Seil und die Kiste zur Unterseite der Kiste. Die Energie fliet nur dann, wenn sich die Kiste bewegt und wenn das Seil unter Spannung steht. Das heit, da die Energiestromstrke P abhngt von der Geschwindigkeit v der Kiste und der Kraft F, die auf die Kiste wirkt ( d. h. der Strke des Impulsstroms, der durch das Seil zur Kiste fliet). Wir wollen uns diesen Zusammenhang zwischen P, v und F beschaffen. Da bei konstanter Geschwindigkeit P ~F ist, sieht man leicht, wenn man die Person statt einer, zwei Kisten nebeneinander ziehen lt, Abb. 5.3. Wegen der Knotenregel (angewendet auf den Punkt P) gilt fr den Energiestrom: P1 + P2 + P3 = 0 und fr den Impulsstrom F1 + F2 + F3 = 0. Mit P2 = P3 und F2 = F3 wird P1 = 2 |P2 | und F1 = 2 |F2 |.Abb.5.3. In Seil 1 ist sowohl die Impulsstromstrke als auch die Energiestromstrke doppelt so gro wie in Seil 2 oder in Seil 3.

25

Abb. 5.4. Das Produkt aus Kraft und Geschwindigkeit hat fr Seil 1 denselben Wert wie fr Seil 2.

Bei konstanter Geschwindigkeit hat eine Verdopplung der Kraft eine Verdopplung der Energiestromstrke zur Folge. Da bei konstanter Energiestromstrke F ~1/v ist, sieht man an Hand von Abb. 5.4. Aus geometrischen Grnden ist v1 = 2 v2 . Da durch Seil 3 keine Energie fliet, ist P1 = P2 Durch Anwendung der Knotenregel auf die Rolle bekommt man F1 + F2 + F3 = 0, und wenn man die Symmetrie der Rolle bercksichtigt, F2 = 2 |F1|. Bei konstanter Energiestromstrke ist also die Kraft dem Kehrwert der Geschwindigkeit proportional. Aus P~F und F ~ 1/v bei P = const folgt P ~ v . F. Die Maeinheit der Energie ist nun gerade so eingerichtet, da gilt P = v . F. Setzt man v in m/s und F in N ein, so erhlt man P in Watt (W). Lt man die ganze Anordnung sich mit der Geschwindigkeit v' bewegen, Abb. 5.5 (was auf dasselbe herauskommt, als ob man sie in einem anderen Bezugssystem beschreibt), so fliet nicht nur im Seil der Energiestrom bei v = const

Abb.5.5. Auer im Seil fliet noch ein Energiestrom in der Unterlage.

26 PS = ( v' + v) F, wo v die Geschwindigkeit der Kiste relativ zur Unterlage ist. Es fliet auerdem ein Energiestrom in der "Rckleitung", also in der Unterlage: PR = - v' F. Der Nettoenergiestrom von der Person zur Kiste hat also die Strke P = PS + PR oder P = v .F

5.2 Die Analogie zur Elektrizittslehre Der Impulsstromkreis von Abb. 5.2 ist analog zu einem einfachen elektrischen Stromkreis, Abb. 5.6. Die Batterie entspricht der Person, der Glhfaden der Lampe entspricht der Unterseite der Kiste. Die Energiestromstrke ist hier . P = I. Wir sehen, da das elektrische Potential die zur Geschwindigkeit analoge Gre ist. Die beiden Gleichungen . P = v . F und P = I drcken eine allgemeingltige Regel aus: Jeder Energiestrom ist begleitet vom Strom einer weiteren mengenartigen Gre. Wir nennen die gleichzeitig mit der Energie flieende Gre den Energietrger. In dem Beispiel mit der bewegten Kiste ist der Impuls der Energietrger, in dem elektrischen Stromkreis ist es die elektrische Ladung. Abb. 5.7 zeigt noch zwei zueinander analoge technische Vorrichtungen: einen Flaschenzug und einen Transformator. Fr beide ist, sofern sie keine Verluste haben, die Strke des hineinflieenden Energiestroms gleich der des herausflieenden: P1 = P2 . Was sich ndert, ist in beiden Fllen die Strke des Trgerstroms.Abb.5.6. Ein elektrischer Stromkreis, der zu dem Impulsstromkreis von Abb. 5.2 analog ist

Abb. 5.7. Flaschenzug und Transformator

27 5.3 Verallgemeinerung auf drei Dimensionen Die Gleichung P = v .F ist nur fr den Fall gltig, da v und F dieselbe Richtung haben. v und F sind die Betrge dieser Vektoren. Die Beziehung lt sich leicht verallgemeinern. Es ist nmlich P = v .F Da hier das Innenprodukt stehen mu, erkennt man an Hand von Abb. 5.8. Man zerlegt die Kraft F in eine zur Bewegung parallele und eine dazu senkrechte Komponente. Man sieht, da mit der senkrechten Komponente kein Energiestrom verbunden ist. Der Energiestrom ist also derselbe als wre nur die Projektion Ft von F vorhanden.

Abb.5.8. Nur die Komponente Ft von F trgt zum Energiestrom bei.

6. EnergiespeicherWir untersuchen in diesem Abschnitt mechanische Energiespeicher. Einen mechanischen Speicher kann man mit Hilfe eines Impulsstroms mit Energie laden, und man kann die Energie mit Hilfe des Impulsstroms zu einem spteren Zeitpunkt wieder herausholen. Es ist fr mechanische Energiespeicherung charakteristisch, da der Lade- und der Entladevorgang durch die Beziehung P = v . F beschrieben werden. Es gibt viele verschiedene Systeme, fr die das zutrifft. Beim Laden ndern - auer der Energie stets noch irgendwelche anderen Variablen des Systems ihren Wert. Am Wert dieser Variablen kann man den Energieinhalt ablesen. Wir werden fr mehrere Beispiele den Zusammenhang zwischen dem Energieinhalt und solchen anderen Variablen berechnen.

6.1 Der bewegte Krper als Energiespeicher - die kinetische Energie Ein Wagen wird beschleunigt, Abb. 6.1. Durch das Seil fliet ein Energiestrom der Strke P = v . F zum Wagen. Nicht nur die Energie, sondern auch der Impuls huft sich im Wagen an. Mit P = dE dt und F = d p dt

wird der Zusamenhang zwischen den zeitlichen nderungen von E und p im Wagen: dE = v d p dt dt Wir verwenden p = m v und integrieren: 1 E =m

pd

p

p2 E (p ) = E 0 + 2m Hier ist E0 die Energie des Wagens bei p = 0. Mit p = m v erhlt man: m E ( ) = E 0 + 2v v2 Abb.6.1. Ein Krper wird mit Impuls geladen. Dabei nimmt sein Energieinhalt zu.

29 Diese Beziehungen gelten natrlich nur so lange, wie p = m v ist, d. h. so lange |v | c ist. Man nennt den Term p2/(2m) = m v2/2 die kinetische Energie des Krpers. Man beachte, da das nicht bedeutet, es gebe Energien verschiedener Natur. Man kennzeichnet mit dem Adjektiv "kinetisch" lediglich das System, in dem die Energie gespeichert ist.

6.2 Die Feder als Energiespeicher Eine Stahlfeder, Abb. 6.2, wird gedehnt. Durch das Seil fliet ein Energiestrom der Strke P = v . F zur Feder. Whrend die Energie in der Feder deponiert wird, fliet der Impuls durch die Feder hindurch. Da fr das linke Ende der Feder v = 0 ist, ist hier auch P = 0. Mit P = dE dt und v =dx dt erhlt man dE = F d x dt dt Fr Stahlfedern ist der Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung linear, d. h. es gilt F = Dx (Hookesches Gesetz, D heit Federkonstante). Damit wird: E = D x d x E (x ) = E 0 + D x 2 oder mit F = Dx E (F ) = E 0 + F 2D2 Abb.6.2. Eine Feder wird gedehnt. Dabei nimmt ihr Energieinhalt zu. 2

6.3 Das elektrische Feld als Energiespeicher Die Platten eines Kondensators werden mit Q = const auseinandergezogen, Abb. 6.3. Durch das Seil fliet ein Energiestrom der Strke P = v . F zum Kondensator. Die Energie wird im elektrischen Feld, das sich zwischen den Kondensatorplatten befindet, deponiert. Mit P = dE dt

30 v =dx dt und Q F = 2 0A (0 = elektrische Feldkonstante, A = Plattenflche) erhlt man durch Integration: E (Q ) = Q x 2 0A2 Abb.6.3. Die Platten eines geladenen Kondensators werden auseinandergezogen. Dabei nimmt der Energieinhalt des Feldes zwischen den Platten zu. 2

Daraus ergibt sich mit C = 0 A/x (C = Kapazitt, x = Plattenabstand): Q E (Q ) = E 0 + 2C oder mit Q = CU2 E (U ) = E 0 + C U 2 2

6.4 Das Gravitationsfeld als Energiespeicher Ein Krper wird nach oben gezogen, Abb. 6.4. Durch das Seil fliet ein Energiestrom der Strke P = v . F zum Krper und weiter in das Gravitationsfeld von Krper und Erde. Mit P = dE dt v = dz dt und F = mg erhlt man durch Integration: E(z) - E(z0) = mg(z - z0) Man nennt E(z) die potentielle Energie des Krpers. Man sagt, beim Heben des Krpers von z auf z0 nehme seine potentielle Energie um mg(z - z0) zu.

Abb.6.4. Eine Last wird gehoben. Dabei wird Energie im Gravitationsfeld gespeichert.

7. StoprozesseUnter einem Sto versteht man einen bergang von einem Anfangszustand a in einen Endzustand e, an dem mindestens zwei Krper oder Teilchen (z. B. auch Photonen) beteiligt sind. Beim Sto werden Impuls und Energie neu auf die Stopartner verteilt. Es knnen dabei auch Reaktionen stattfinden, d. h. Teilchen erzeugt oder vernichtet werden. Im Anfangs- und im Endzustand sind die Teilchen vollstndig entkoppelt: Es flieen weder Impuls- noch Energiestrme zwischen ihnen. Nur whrend der Zeit des bergangs findet Impuls- und Energiebertragung statt. Energie- und Impulssatz verlangen, da

E i ,a = E j ,ei j

und

p i , a = p j ,ei j

ist. Der Massenschwerpunkt rS eines Schwarms von n Krpern ist definiert durch r S m i =i =1 n i =1

r i m i r i m in

n

Die Ableitung dieser Gleichung nach der Zeit ergibt: . r S m i =i =1 n

.

i =1

Da der Gesamtimpuls des Teilchenschwarms (rechte Seite der Gleichung) beim Sto konstant bleibt, ist auch die Schwerpunktsgeschwindigkeit . vS = rS vor und nach dem Sto dieselbe: vS a = vS e Unter dem Schwerpunktsystem eines Schwarms von Krpern versteht man ein Bezugssystem, in dem der Schwerpunkt des Schwarms ruht. Die Energie eines Schwarms von n Krpern kann man schreiben E =

i =1

E i ,0 + E i , kini =1

n

n

Ei,0 ist die innere, Ei,kin die kinetische Energie des i-ten Krpers. Die zweite Summe lt sich noch einmal zerlegen:

E i ,kin = E S kin + E i , kin( S) i i

wo 1 E S kin = 2 ( m i ) v i2 S

32 die "kinetische Energie des Schwerpunkts" ist und Ei(S) ,kin

die kinetische Energie des i-ten Krpers im Schwerpunktsystem. Damit wird die Gesamtenergie: E = E i ,0 + E ii i (S) ,kin

+ E S kin

Betrachtet man den Schwarm als Ganzes, so erscheint die Summe

E i ,kin(S) i

als ein Anteil seiner inneren Energie. Wir fassen daher die beiden Summen zu E0, der inneren Energie des ganzen Schwarms zusammen: E = E0 + ES kin, mit E 0 = E i ,0 + E ii i (S) ,kin

und 1 E S kin = 2 ( m i ) v i2 S

Da die Schwerpunktsgeschwindigkeit vS beim Sto konstant bleibt, folgt E0 a = E0 e und ES kin a = ES kin e Wir nennen Gren, die beim Sto konstant bleiben, Stoinvarianten. E, p, vS, E0 und ES kin a sind also Stoinvarianten. Wenn auerdem noch

E i ,kin(S) i

Stoinvariante ist, nennt man den Sto elastisch, wenn nicht, heit er inelastisch. Die nach einem inelastischen Sto fehlende kinetische Energie kann entweder gespeichert, oder zur Wrmeproduktion verwendet werden. Im ersten Fall ist der Sto reversibel, im zweiten nicht, Abb. 7.1.

Abb. 7.1. Verschiedene Stotypen

8. Dissipative Impulsstrme: Reibung und ViskosittIn den drei in Abb. 8.1 dargestellten Situationen fliet ein Impulsstrom von einem sich mit konstanter Geschwindigkeit bewegenden Krper auf einen anderen ruhenden. Der Impulsstrom fliet ber ein Geschwindigkeitsgeflle, hnlich wie der elektrische Strom in einem elektrischen Widerstand ber ein Potentialgeflle fliet. Da in jedem Fall ein Energiestrom der Strke P = v . F dissipiert , d. h. zur Wrmeerzeugung verwendet wird, sprechen wir hier von dissipa-

Abb. 8.1. Bei einem Reibungsvorgang fliet Impuls vom Krper hherer zum Krper niedrigerer Geschwindigkeit.

tiven Impulsstrmen. Mechanische Energiedissipation nennt man Reibung. Man erkennt die Gltigkeit der folgenden Regel: Ein dissipativer Impulsstrom fliet stets vom Krper hherer zum Krper niedrigerer Geschwindigkeit. Das elektrische Analogon dieser Regel lautet: Ein dissipativer elektrischer Strom fliet stets vom Krper hheren zum Krper niedrigeren elektrischen Potentials. Der Zusammenhang zwischen F und v ist in jedem der drei Flle von Abb. 8.1 ein anderer, Abb. 8.2. Das elektrische Analogon der v - F -Kennlinie ist die - I -Kennlinie. Im ersten Fall von Abb. 8.2, wenn zwei feste Krper bereinandergleiten, ist die Kraft unabhngig von der Geschwindigkeitsdifferenz. Dieser Fall ist realisiert bei Bremse und Kupplung des Autos. Die zweite Kennlinie von Abb. 8.2 erhlt man, wenn die Grenzflchen von zwei bereinandergleitenden festen Krpern durch eine Flssigkeitsschicht (ein Schmiermittel) voneinander ge-

Abb. 8.2. Die zu den in Abb. 8.1 dargestellten Vorgngen gehrenden Kennlinien

34 trennt sind. Hier gilt eine Art Ohmsches Gesetz, und man kann in Analogie zum elektrischen Widerstand R = /I einen mechanischen Widerstand Rp definieren: Rp= v F

Dieser Fall ist realisiert beim Stodmpfer im Auto: Die Kraft auf den Stodmpfer ist proportional zur Geschwindigkeitsdifferenz zwischen den beiden Befestigungen des Stodmpfers. Der Widerstand Rp hngt auf einfache Art mit der Flche A der bereinandergleitenden Krper und ihrem Abstand l zusammen, Abb. 8.3: Rp= l

A

Diese Beziehung ist analog zu der bekannten Gleichung fr den elektrischen Widerstand: R = l

A

, die Viskositt, ist eine fr die den Impuls leitende Flssigkeit charakteristische Mate- Abb. 8.3 Zum mechanischen und elektrischen Widerstandsrialkonstante. Sie ist das Analogen zur elektri- gesetz schen Leitfhigkeit . Man kann daher auch als Impulsleitfhigkeit bezeichnen.Die dritte Kennlinie in Abb. 8.2, bei der die Kraft quadratisch von der Geschwindigkeit abhngt, erhlt man, wenn man einen Krper durch eine Flssigkeit oder ein Gas hindurchzieht. Sie beschreibt zum Beispiel den Luftwiderstand eines Autos: F = 1 2 c WA (v ) 2

Hier ist die Dichte des Fluids, A die Querschnittsflche des Krpers senkrecht zur Bewegungsrichtung und cW der sogenannte Widerstandsbeiwert. cW ist dimensionslos und von der Grenordnung 1.

9. Die Analogie zwischen Mechanik und Elektrodynamik - der Dualismus innerhalb von Mechanik und Elektrodynamik9.1 Die Analogie Zwischen zwei physikalischen Gebieten besteht eine Analogie, wenn sich Gren des einen Gebiets so auf Gren des anderen abbilden lassen, da die Beziehungen zwischen den Gren des einen Gebiets in richtige Beziehungen zwischen den Gren des anderen bergehen. Es gibt in der Physik mehrere solche Analogien. Wir beschftigen uns hier mit einer Analogie zwischen Mechanik und Elektrodynamik. Die Gren, die einander entsprechen, sind in Tabelle 9.1 aufgefhrt. Die Erhaltungsgre p wird auf die Erhaltungsgre Q, die Energie auf sich selbst abgebildet. Man sieht, da man aus P = v F durch rein formales bersetzen P=UI bekommt. Betrachtet man ein Objekt unter mechanischen Gesichtspunkten, so interessieren oft nur drei Eigenschaften: - seine Trgheit - seine Elastizitt - sein dissipatives Verhalten. Der Ingenieur realisiert diese drei Eigenschaften gern durch rumlich getrennte Bauelemente, oder er zerlegt ein gegebenes System in Gedanken in Bauelemente, nmlich in solche, die - trge, aber starr und reibungslos, - elastisch, aber masse- und reibungslos und - dissipativ, aber starr und masselos sind. Jedes dieser drei Bauelemente denkt er sich noch insofern idealisiert, als die das Bauelement beschreibenden Variablen auf sehr einfache Art miteinander zusammenhngen. Diese idealisierten Bauelemente sind der Massenpunkt, die Feder und der Stodmpfer. Die diese Bauelemente charakterisierenden Beziehungen sind: Massenpunkt: Feder: Stodmpfer: p =mv F = Dr v = Rp FImpuls p Kraft (Impulsstromstrke) F Geschwindigkeit v Geschwindigkeitsdifferenz v Verschiebung r Energie E Energiestromstrke P elektrische Ladung Q elektrische Stromstrke I elektrisches Potential elektrische Spannung =U magnetischer Flu N Energie E Energiestromstrke P Mechanik Elektrodynamik Tabelle 9.1. Zueinander analoge Gren aus Mechanik und Elektrodynamik

In der Elektrizittslehre ist die Situation analog. Auch hier zerlegt man ein Gebilde gern in Bau-

36 elemente, unter denen drei eine besondere Rolle spielen: der Kondensator, die Spule und der Widerstand. Auch diese Bauelemente werden nherungsweise durch drei sehr einfache Beziehungen charakterisiert: Kondensator: Spule: Widerstand: Q = CU I = (N/L) U = RI.Tabelle 9.2. Zueinander analoge Gren und Begriffe aus Mechanik und Elektrodynamik

Diese Bauelemente sind, wenn man die bersetzungstabelle zu Grunde legt, den drei vorher genannten mechanischen analog, und wir knnen damit unsere bersetzungstabelle erweitern, Tabelle 9.2. Die Liste der zueinander analogen Gren ist damit lngst nicht erschpft. Ein besonders interessantes Grenpaar stellen noch Drehimpuls (= Impulsmoment) und elektrisches Dipolmoment dar.

Mechanik

Elektrodynamik

Massenpunkt Masse (Impulskapazitt) m Feder reziproke Federkonstante 1/D Stodmpfer mechanischer Widerstand Rp Viskositt (Impulsleitfhigkeit)

Kondensator Kapazitt C Spule Induktivitt L Widerstand elektrischer Widerstand R elektrische Leitfhigkeit

9.2 Der Dualismus Auerdem existiert innerhalb der Mechanik eine Struktur, die wir Dualismus nennen wollen. Wegen der Analogie zwischen Mechanik und Elektrodynamik hat auch die Elektrodynamik diese duale Struktur. Worum handelt es sich dabei? Man verwandelt eine beliebige Anordnung aus den vorher beschriebenen Bauelementen nach bestimmten Regeln in eine andere Anordnung. Auerdem bildet man Gren nach bestimmten Regeln auf andere Gren ab. Die mathematische Struktur des alten Problems in den alten Gren ist dann dieselbe wie die des neuen Problems in den neuen Gren. Wendet man dieselben bersetzungsregeln zweimal nacheinander an, so kommt man zum alten Problem zurck. In Tabelle 9.3 sind die sich entsprechenden Bauelemente, physikalischen Gren und "topologischen Regeln" aufgefhrt.

Auch bei dem Dualismus spielt die Energie eine besondere Role: Sie ist selbstdual. Obwohl zuTabelle 9.3. Zum Dualismus in Mechanik und Elektrodynamik Mechanik Bauelemente Massenpunkt Feder Stodmpfer Stodmpfer Gren p r F v m 1/D Rp 1/Rp EE PP topologische Regeln Elektrodynamik Kondensator Spule Widerstand Widerstand Q N I =U CL R 1/R = G EE PP Parallelschaltung Reihenschaltung Knoten Masche

37 dem Bauelement Widerstand das Bauelement Widerstand dual ist, entspricht der Gre Widerstand deren Kehrwert, der Leitwert G.

9.3 Beispiel Wir lsen ein mechanisches Problem, zusammen mit seinem elektrischen Analogon, Abb. 9.1. Die mechanische Version steht links, die elektrische rechts. Danach lsen wir die zu beiden Problemen dualen Versionen.

Abb. 9.1. Zwei zueinander analoge Systeme

Geschwindigkeitsdifferenzen bzw. elektrische Spannungen werden im Uhrzeigersinn gezhlt (z. B. vR = v2 - v3 oder UR = 2 - 3 ). Der Index p am mechanischen Widerstand wird der bersichtlichkeit wegen weggelassen. Wir wenden auf den Stromkreis die Maschenregel an:

v 0 + v m + v R = 0Mit

U 0 + UC + U R = 0

v R = R F . v . R = m v m p = m v m F = m v m Rwird daraus . v 0 + v m + Rm v m = 0 Die Lsungen dieser Differentialgleichung sind:

. U . R = CUC Q = C UC I = CUC R . U 0 + UC + RCUC = 0

UR = R I

v m (t ) = v 0 (1 e

t Rm

)

UC (t ) = U 0 (1 e

t RC

)

Daraus kann die Zeitabhngigkeit anderer Gren der Stromkreise berechnet werden.

v R (t ) = v 0 v m (t ) = v 0 e t v 0 Rm F (t ) = e R

t Rm

)

U R (t ) = U 0 UC (t ) = U 0 e I (t ) = U0 e Rt RC

t RC

)

38 Wir nennen Ptotal Pm und PC PR Man erhlt P total = ( v m + v R )F (t ) = v 0F (t )t v 02 Rm e = R 2 t t v 0 Rm P m = v m (t )F (t ) = e (1 e Rm ) R 2 t v 0 Rm 2 P R = v R (t )F (t ) = R (e )

= Gesamtstrke des Energiestroms von der Energiequelle (Motor bzw. Batterie) zu Massepunkt bzw. Kondensator und Stdmpfer bzw. Widerstand = Strke des Energiestroms zum Massepunkt bzw. zum Kondensator = Strke des Energiestroms zum Stodmpfer bzw. zum Widerstand.

P total = (UC + U R )I (t ) = U 0I (t ) U t = 0 e RC R PC = UC (t )I (t ) = U02 2

R 2 U0 t 2 P R = U R (t )I (t ) = R (e RC )

e

t RC

(1 e

t RC

)

In Abb. 9.2 sind Ptotal, PR und Pm (bzw. PC ) als Funktion der Zeit dargestellt. Der Vergleich der linken Seite unserer Rechnung mit der rechten zeigt, da man sich die eine der beiden Rechnungen htte sparen knnen: Man erhlt sie durch rein formales bersetzen aus der anderen Seite.Abb. 9.2. Energiestromstrken als Funktion der Zeit

Mit Hilfe der bersetzungsregeln des Dualismus verwandeln wir das Problem nun in ein neues, Abb. 9.3. Stromstrken (auch Impulsstromstrken) werden zum Knoten K hin positiv gezhlt. Wir wenden auf K die Knotenregel an:

Abb. 9.3. Die Systeme sind zueinander analog, und zu denen in Abb. 9.1 dual.

39 F0 + FD + FR = 0 Mit . v = F R R = 1 F D D wird daraus F0 + FD + 1 . F =0 RD D I 0 + IL + L . I =0 R L . U = IR R = L IL I 0 + IL + IR = 0

Die Lsungen dieser Differentialgleichungen sind: F D (t ) = F 0 (1 e RDt

)

I L (t ) = I 0 (1 e

R t L

)

Daraus folgt wieder die Zeitabhngigkeit anderer Gren. Wir fhren die Rechnung nicht weiter, denn man sieht schon, wie die Sache luft: Man erhlt die Gleichungen in diesem Beispiel Zeile fr Zeile aus denen des vorigen Beispiels durch Anwendung der bersetzungsregeln des Dualismus. Abb. 9.4 zeigt schlielich noch ein Problem einschlielich seines elektrischen Analogons und seiner beiden dualen Versionen, das dem vorigen sehr hnlich ist. Wir berlassen die entsprechende Rechnung dem Leser.

Abb. 9.4. Ein mechanisches System mit seinem elektrischen Analogon, sowie die beiden dualen Systeme

9.4 Mechanische Materialkonstanten Wir hatten drei verschiedene mechanische Eigenschaften von Krpern ausgemacht: die Trgheit, beschrieben durch die physikalische Gre Masse m, die Elastizitt, beschrieben durch die Federkonstante D und die Zhigkeit, beschrieben durch einen Reibungswiderstand Rp. Die drei Gren m, D und Rp beziehen sich auf ein ausgedehntes Gebilde. Jede dieser Gren bringt aber eine Materialeigenschaft zum Ausdruck. Und diese drei Materialeigenschaften lassen

40 sich auch durch lokale Gren beschreiben, durch sogenannte Materialkonstanten. In die globalen Gren m, D, und Rp gehen auer den lokalen Materialgren nur noch geometrische Gren ein.

Die Massendichte Die die Trgheit beschreibende lokale Gre ist die Massendichte . Man dividiert die in einem Raumbereich enthaltene Masse m durch das Volumen V des Raumbereichs und erhlt die mittlere Dichte. Wenn das Volumen des Raumbereichs klein ist gegen das Gesamtvolumen des betrachteten Systems, so lt man das Adjektiv "mittlere" weg und spricht einfach von der Dichte "an der Stelle" des gewhlten Raumbereichs. Es ist also m =V Der Elastizittsmodul Durch einen elastischen Stab der Lnge l und der Querschnittsflche A fliee ein Impulsstrom der Strke F. Solange der Impulsstrom fliet, ist der Stab um l gegenber seiner Normallnge l verkrzt oder verlngert. Den Zusammenhang zwischen F und l beschreibt das Hookesche Gesetz: F = Dl Der Wert der globalen Gre D, der "Federkonstante", ist von den Abmessungen des Stabes abhngig. D ist proportional zur Querschnittsflche und umgekehrt proportional zur Lnge l: D =E A l Der Proportionalittsfaktor E heit Elastizittsmodul des Materials. Er hngt nur vom Material des Stabes ab. Es ist also E = l D A

Die Viskositt Die das dissipative Verhalten von Materie beschreibende lokale Gre hatten wir schon kennengelernt: Es ist die Viskositt . Mit der globalen Gre Rp hngt sie zusammen ber

=

l AR p

Die hier gegebene Beschreibung des elastischen und dissipativen Verhaltens der Materie ist stark vereinfacht. Tatschlich kann weder das eine noch das andere durch eine einzige Zahl beschrieben werden. Eine vollstndige Darstellung wrde zeigen, da sowohl Elastizittsmodul als auch Viskositt sogenannte Tensoren sind. Tensoren sind mathematische Gebilde, zu deren Festlegung mehr als nur eine Zahl gebraucht wird. So ist der Elastizittstensor durch 21 voneinander unabhngige Zahlen bestimmt. Falls das Material isotrop ist, reduziert sich diese Zahl allerdings auf 2. Eine davon ist der gerade diskutierte Elastizittsmodul, die andere bringt zum Ausdruck, wie stark sich das Material in der Richtung quer zur angelegten Kraft verformt.

10. Schwingungen10.1 Kinematik und Dynamik Die Kinematik befat sich mit der Form der Bahn eines Krpers oder Teilchens, und sie befat sich damit, wie diese Bahn zeitlich durchlaufen wird. Sie befat sich also mit der Funktion r( t). Mechanische Vorgnge werden gern nach kinematischen Kriterien klassifiziert. So spricht man von - geradlinig gleichfrmigen Bewegungen; - gleichmig beschleunigten Bewegungen; - gleichfrmigen Kreisbewegungen; - harmonischen Bewegungen; - exponentiell abklingenden Bewegungen; - chaotische Bewegungen; - etc. Eine solche Klassifizierung legt aber die Dynamik eines Vorgangs keineswegs fest. Ein und derselbe kinematische Bewegungstypus kann auf ganz unterschiedliche Arten zustande kommen. So liegt eine geradlinig gleichfrmige Bewegung vor bei einem Auto, das mit konstanter Geschwindigkeit auf einem geraden Stck der Autobahn fhrt, aber auch bei dem berhmten krftefreien Krper des ersten Newtonschen Gesetzes. Die beiden Vorgnge haben dieselbe Kinematik, aber eine unterschiedliche Dynamik.

10.2 Qualitative Diskussion einiger Beispiele von Schwingungen Eine Schwingung liegt vor, wenn sich der Wert einer physikalischen Gre periodisch ndert, z. B. der Impuls eines Pendels, die elektrische Stromstrke in einem Schwingkreis oder das Reflexionsvermgen eines Laubwaldes bei = 500 nm. Wir beschrnken uns hier natrlich auf mechanische Schwingungen, d. h. Schwingungen von Gren, die in der Mechanik eine Rolle spielen. Wir fassen aber den Begriff der Schwingung nicht sehr eng. Wir sprechen z. B. auch dann noch von einer Schwingung, wenn die periodische Variation mit einer Exponentialfunktion moduliert ist. Man nennt eine solche Schwingung "gedmpft". Man kann Schwingungen oder schwingende Systeme nach verschiedenen Kriterien beurteilen: - Wie ist die Schwingungsform? (harmonisch, sgezahnfrmig etc.) - Wieviele Energiespeicher sind am Zustandekommen der Schwingung beteiligt? - Welcher Anteil der Energie wird pro Periode dissipiert? - Welche Energie- und Impulsstrme flieen in das System hinein und aus ihm heraus? - Hat das System charakteristische Frequenzen? Wir werden zunchst einige Beispiele unter diesen Gesichtpunkten qualitativ diskutieren. Wir

42 werden dabei sehen, da kinematisch gleiche Schwingungen auf ganz verschiedene Art zustande kommen, d. h. eine ganz unterschiedliche Dynamik haben. Eindimensionales Federpendel, Abb. 10.1 Schwingungsform: harmonisch Die Energie fliet periodisch aus den Krpern in die Feder und wieder zurck. Der Impuls fliet zwischen den beiden Krpern hin und her. Im Idealfall wird keine Energie dissipiert. Das System hat eine einzige Eigenfrequenz.Abb. 10.1. Eindimensionales Federpendel

Elastischer Ball zwischen zwei harten Wnden, Abb. 10.2 Schwingungsform: rechteckig Die Energie bleibt stndig im Ball. Der Impuls ist die meiste Zeit konstant; nur whrend des Umkehrens fliet Impuls vom Ball in die Wand, bzw. von der Wand in den Ball. Im Idealfall wird keine Energie dissipiert. Das System hat keine ausgezeichnete Schwingungszeit.

Abb. 10.2. Ein elastischer Ball wird zwischen zwei harten Wnden hin- und herreflektiert.

Motor + schwingender Krper, Abb. 10.3 Schwingungsform: harmonisch Zwischen Krper und Motor fliet Energie hin und her. Impuls fliet periodisch aus dem Krper in die Erde und wieder zurck. Im Idealfall wird keine Energie dissipiert. Das System hat keine ausgezeichnete Schwingungszeit.Abb. 10.3. Der Krper K wird von einem Motor M hin- und herbewegt.

Kippschwingung Abb. 10.4

(Relaxationsschwingung),

Schwingungsform (der Wassermasse im oberen Behlter): sgezahnfrmig Ein einziger Energiespeicher wird periodisch gefllt und entleert. Eine schwache Energiedissipation ist fr das Funktionieren notwendig. Die Schwingungszeit hngt von der Strke des Wasserstroms ab.

Abb. 10.4. Das Wasserbecken mit dreieckigem Profil kippt um, sobald sein Schwerpunkt ber den Drehpunkt D nach rechts hinausgewandert ist.

43 Harmonische Relaxationsschwingung, Abb. 10.5 Schwingungsform: harmonisch Ein einziger Energiespeicher wird periodisch gefllt und entleert. Eine starke Energiedissipation ist fr das Funktionieren notwendig. Das System hat eine einzige Eigenfrequenz.Abb. 10.5. Der Stab liegt lose auf den Rollen. Er rutscht harmonisch hin und her.

Gedmpfte Schwingung, Abb. 10.6 Schwingungsform: harmonisch mit exponentiell abklingender Amplitude Die Energie fliet zum grten Teil zwischen Feder und Kugel hin und her. Pro Schwingung wird ein kleiner Anteil im Stodmpfer dissipiert. Das System hat eine Eigenfrequenz.Abb. 10.6. Gedmpfte Schwingung

Rckgekoppelte Schwingungen Sie finden in den meisten Uhren statt (Ausnahmen: Sonnenuhr, Sanduhr, Wasseruhr). Man geht aus von einem System, das mglichst schwach gedmpfte Schwingungen ausfhrt. Die durch Dissipation verlorene Energie wird durch einen Energiestrom von auen ersetzt. Die Strke dieses Energiestroms wird durch den Schwinger selbst gesteuert. Wenn die Dmpfung zunimmt, geht dieser Schwingungstyp stetig in eine Relaxationsschwingung ber. (Beispiele fr Schwingungen, die zwischen diesen beiden Typen liegen: Streich- und Blasinstrumente, quietschende Tr).

Erzwungene Schwingung, Abb. 10.7 Kombination aus dem ersten (Federpendel) und dem dritten (Motor + Krper) Beispiel Schwingungsform: harmonisch Die Energie fliet je nach Frequenz andere Wege. Das System schwingt mit beliebiger Frequenz.Abb. 10.7. Erzwungene Schwingung

44 10.3 Das ungedmpfte Federpendel Das System, Abb. 10.8, besteht aus - einer Feder (Federkonstante D); - einem Krper (Masse m); - der Erde (Masse unendlich). Wir wenden das zweite Newtonsche Gesetz (die Kontinuittsgleichung fr den Impuls) auf den gestrichelt umrandeten Bereich an,Abb. 10.8. Federpendel

dp =F dt setzen .. p = mx und F = Dx

ein und erhalten .. m x + Dx = 0 Die Lsung dieser Differentialgleichung ist x (t ) = x 0 sin (t + ) mit

=

D m

x0 und legen die Anfangsbedingungen fest. x0 ist die Amplitude, bestimmt die Lage der Sinuskurve auf der Zeitachse. Wir whlen = 0, soda x (t = 0) = 0 ist. Aus der Lsung x (t ) lassen sich die Werte der anderen Variablen als Funktion der Zeit berechnen. Mit . p (t ) = m x (t ) wird p (t ) = m x0 cos t oder p (t ) = p0 cos t F (t ) = -Dx0 sin t oder F (t ) = F0 sin t mit F0 = - Dx0 mit p0 = m x0

Die Kraft erhlt man aus F (t ) = - Dx (t ):

Man sieht, da der Impulsstromstrkebetrag maximal ist, wenn der Impuls selbst den Wert Null hat. Der Impuls fliet periodisch zwischen Krper und Erde hin und her. Die Energie des Krpers ist:

452 p0 p2 E K = E K 0 + 2m = E K 0 + 2m cos 2 t

oder2 p0 1 E K = E K 0 + 2m 2 (1 + cos 2t )

Die Energie der Feder ist2 E F = E F 0 + D x 2 = E F 0 + D x 0 sin 2 t 2 2

oder2 Dx 0 1 E F = E F 0 + 2 2 (1 cos 2 t )

Die Amplituden p02/(4m) und Dx02/4 sind untereinander gleich. Die Summe EK + EF ist daher zeitlich konstant, d. h. es fliet Energie zwischen Krper und Feder hin und her, und zwar mit der Frequenz 2. Wir berechnen noch die Strke des Energiestroms zwischen Krper und Feder: P = vF = (x 0 cos t )( Dx 0 sin t ) = D x 02 sin 2 t 2

oder P = P 0 sin 2t mit D x 02 P0 = 2 Abb. 10.9 zeigt verschiedene Gren des Federpendels als Funktion der Zeit.

Abb. 10.9. Verschiedene Gren des Federpendels als Funktion der Zeit

46 10.4 Das gedmpfte Federpendel Abbildung 10.10 zeigt schematisch ein Federpendel mit Dmpfung. Die Reibung wird reprsentiert durch einen Stodmpfer mit . . F R = x / R = kx Wir wenden das zweite Newtonsche Gesetz an auf den gestrichelt umrandeten Bereich: dp = FD + FR dt Mit . . p = mx , F D = Dx und F R = kxAbb. 10.10. Federpendel mit Dmpfung

erhlt man die Differentialgleichung .. . mx + kx + Dx = 0 Einsetzen des Lsungsansatzes x (t ) = e t (x 1 cos t + x 2 sin t ) liefert

= k 2mFalls

und

=

D k m 4m 2

2

D k >0 m 4m 2 ist, stellt diese Lsung eine harmonische Schwingung mit exponentiell abfallender Amplitude dar. Fr D k