Ferienkurs Experimentalphysik 2

Vorlesung 3

Elektrostatik

Andreas Brenneis, Marcus Jung, Ann-Kathrin Straub

15.09.2010

Inhaltsverzeichnis

1 Elektrostatik 11.1 Grundlegende Konzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Der elektrische Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Leiter im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Kapaziät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 Dielektrika im elektrischen Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Der elektrische Strom 82.1 Ohmsches Gesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Stromleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Stromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.4 Wheatstonesche Brückenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1 Elektrostatik

1.1 Grundlegende Konzepte

• Gleichartige Ladungen stoÿen sich ab

• Ladung kann nicht vernichtet werden

• Kleinste Ladung: Elementarladung e = 1, 6 · 10−19 C (Coulomb)

Die Kraft F mit der zwei elektrische Ladung wechselwirken gehorcht dem Coulombschen Kraftgesetz:

F =q Q

4πε0

1

r2r̂ (1)

• Dielektrizitätskonstante ε0 = 8, 854 · 10−12 A sV−1m−1

• q, Q sind Ladungen [Coulomb]

Über diese Kraft wird das elektrische Feld E de�niert. Dazu nimmt man an, dass q eine kleineProbeladung sei und man die Kraft F misst, die auf diese Probeladung wirkt.

E =F

q= [Vm−1] (2)

Daraus folgt de�nitionsgemäÿ für die Kraft auf eine Ladung q im elektrischen Feld E:

F = qE (3)

Das elektrische Feld, das von einer Ansammlung von Ladungen erzeugt wird, lässt sich mit demCoulombschen Kraftgesetz ausrechnen:

E =1

4πε0

∑i

Qi

r2ir̂i (4)

Mit der Ladungsträgerdichte ρ (Q =∑

iQi =∫d3r ρ) lässt sich die Summe in ein Integral

umschreiben:

E(R) =1

4πε0

∫d3r ρ(r)

R− r

|R− r|3(5)

Hierbei drückt der Term das elektrische Feld an jedem Ort R im Raum aus.

Ein weiteres wichtiges Konzept ist der elektrische Fluss φel. Sein Di�erential ist das Produkt auseiner kleinen Fläche dA und dem dort herrschenden elektrischen Feld:

dφel = E · dA → φel =

∫E · dA (6)

1

Der elektrische Fluss ist ein Maÿ für die Zahl der elektrischen Feldlinien, die durch die Fläche dAlaufen. Die Feldlinien des elektrischen Feldes gehen von Plus nach Minus.

Mit Hilfe des Gauÿschen Satzes lässt sich der elektrische Fluss auch durch ein Volumenintegralbestimmen:

φel =

∫S

E · dA =

∫V (S)

d3r divE (7)

Man �ndetdivE =

ρ

ε0(8)

als erste Maxwell Gleichung.

Oder in anderen Worten:

! Elektrische Ladung ist die Quelle/ Senke des Elektrischen Feldes.

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Ober�äche hängt nur

• von der (Anzahl der) eingeschlossenen Ladungen ab

nicht

• von der Form der Ober�äche oder

• von der Ladungsverteilung im Inneren.

Das elektrische Feld ist ein konservatives Feld. Damit existiert ein Potential, das sogenannte elek-trostatische Potential φ, das bis auf eine Konstante für jedes System eindeutig de�niert ist. Oftsetzt man diese Konstante so, dass es im Unendlichen Null ist: φ(∞) = 0. Folgich ist q · φ(R)die Arbeit, die man aufwenden muss (bzw. die frei wird), um eine Ladung q vom Unendlichen zumOrt R zu bringen.

Das elektrostatische Potential einer Punktladung q folgt aus der Integration von Gleichung 4 undlautet:

φ(R) =q

4πε0

1

|R− r|(9)

In diesem Zusammenhang redet man von der elektrischen Spannung U zwischen zwei PunktenR1 und R2:

U = φ(R1)− φ(R2) =

∫ R1

R1

E dr = [V] (10)

Durchläuft eine Ladung q eine Potentialdi�erenz U dann ändert sich dessen potentielle Energie um−qU . Im Fall eines freien Elektrons wird diese Energie komplett in kinetische Energie umgewandelt.Wird ein Elektron zum Beispiel in einem Plattenkondensator an dem 1V anliegt beschleunigt, dannhat das (vorher ruhende) Elektron eine kinetische Energie von einem Elektronen-Volt hat (1 eV).

Wie aus jedem Potential lässt sich auch hier das elektrische Feld aus dem elektrischen Potentialableiten:

E = −∇φ (11)

2

Mit divE = −∆φ lässt sich die erste Maxwell Gleichung (vgl. Gl. 8) zur Poisson Gleichungumschreiben:

∆φ = − ρε0

(12)

Diese Gleichung wir oft verwendet, um aus einer gegebenen Ladungsverteilung das Potential abzu-leiten. Das heiÿt, dass man aus einer bekannten Raumladung immer das elektrische Feld an jedemOrt berechnen kann.

Falls die Raumladung in einem Gebiet Null ist reduziert sich die Poisson Gleichung zur LaplaceGleichung:

∆φ = 0 (13)

Im Zusammenhang mit dem elektrostatischen Potential spricht man oft von Äquipotential�ächen1

auf denen das Potential konstant ist: φ = konst. Das impliziert, dass der Anteil des elektrischenFeldes in dieser Fläche verschwindet. Sonst würde auf eine elektrische Ladung eine Kraft in Bewe-gungsrichtung wirken, wenn diese auf einer Äquipotentialfäche verschoben wird. Damit würde Arbeitverrichtet werden. Die Ladung soll sich aber auf gleichem Potential be�nden. Deswegen steht daselektrische Feld immer senkrecht auf einer Äquipotential�äche.

Im Gleichgewicht stellt jeder elektrische Leiter eine Äquipotetntial�äche2 dar, sonst würden sichdie freien Ladungstäger im Leiter solang umverteilen bis keine Kraft mehr auf sie wirkt, dh. daselektrische Feld Null ist.

1.2 Der elektrische Dipol

Zwei entgegengesetzt, gleich groÿe elektrische Ladungen (Q1 = −Q2 = Q) im Abstand d zueinanderbilden einen elektrischen Dipol. Dessen Dipolmoment p ist de�niert als

p = Q · d. (14)

Hier zeigt das Dipolmoment von der negativen zur positiven Ladung.

1oder in 2 Dimensionen von Äquipotentiallinien2eigentlich sogar ein Äquipotentialvolumen

3

Das Potential einer Punktladung kann man mit Gleichung 9 berechnen:

φ(R) =Q

4πε0

(1

|R− d/2|− 1

|R + d/2|

)Oft ist man von einem Dipol soweit entfernt, dass nur noch das Fernfeld interessiert. In einerTaylorentwicklung bis zur Ordnung R−1 �ndet man in erster Näherung für das Potential einesDipols:

φD(R) =Q

4πε0

d ·RR3

=1

4πε0

p ·RR3

=p · cos θ

4πε0R2(15)

Das Potential eines elektrischen Dipols fällt also mit R−2 ab. Bei einer Punktladung ging es nur mitR−1. Im Allgemeinen fällt das Potential eines Multipols höher Ordnung schneller ab, als das Potentialeines Multipols niedriger Ordnung. Deswegen reicht es oft aus nur die ersten Multipolentwicklungeneiner Ladungsverteilung zu betrachten. Das elektrische Feld eines Dipols ED können wir aus demPotential ableiten in dem wir −∇ darauf anwenden:

ED(R) =1

4πε0R3

(3 · p · R̂ · cos θ − p

)(16)

In einem homogenen elektrischen Feld wirkt auf einen Dipol auf Grund seiner Ladungsneutralitätkeine e�ektive Kraft, sondern nur ein Drehmoment D:

D = p×E

Die potentielle Energie eines Dipols im homogenen elektrischen Feld lautet:

Wpot = −p ·E

Sie ist also für den Fall minimal, wenn Feld und Dipolmoment parallel sind.

In einem inhomogenen, elektrischen Feld sieht eine Ladung des Dipols ein gröÿeres Feld als dieandere. Folglich verschwindet die resultierende Kraft auf den Dipol nicht. Der Betrag der Kraft lässtsich mit dem Vektorgradienten des elektrischen Feldes ausdrücken: ∇E, dabei handelt es sich umeinen Tensor. Im eindimensionalen Fall ist es anschaulicher. Angenommen das elektrische Feld nimmtin die positive x-Richtung zu und Dipolmomoment und elektrisches Feld sind parallel, so dass keinDrehmoment wirkt.

E x

x

- +d

F - F +

Die Kraft F+ auf die positive Ladung rechts ist um den Betrag(

∂E∂x· pQ

)·Q gröÿer als die Kraft F−

auf die linke negative Ladung. Der Ausdruck in der Klammer berechnet gerade, wie sehr sich daselektrische Feld entlang des Dipolmoments der Länge d = p/Q ändert.

! Ein elektrischer Dipol wird im inhomogenen Feld immer in den Bereich des gröÿeren Feldesgezogen

4

1.3 Leiter im elektrischen Feld

Wie bereits erwähnt, werden sich Ladungen in einem elektrischen Leiter solange umverteilen, bis dergesamte Leiter auf gleichem Potential ist. Bringt man also einen Leiter in ein elektrisches Feld, dannwird das komplette äuÿere Feld abgeschirmt, indem an der Ober�äche die Ladungsträgerkonzentra-tion steigt. Diesen Vorgang nennt man In�uenz.

! Das Innere eines Leiters ist feldfrei.

1.4 Kapaziät

Ein Kondensator ist eine Anordnung aus zwei (entgegengesetzt geladenen) Platten. Legt man aneinen Kondensator eine Spannung an, dann werden Ladungen getrennt. Dabei entstehen auf denOber�ächen Ladungen die dafür sorgen, dass das Innere der Platten feldfrei ist. Die Spannungfällt zwischene den beiden Platten ab: U =

∫E dx. Der Zusammenhang zwischen der getrennten

Ladungsmenge und der Potentialdi�erenz wird durch die Kapaziät C hergestellt:

C =Q

U= [F] (17)

Für eine einfache Plattengeometrie gilt C = ε0A/d. Dabei ist A die Fläche einer Platte und d derAbstand der Platten.

Schaltet man zwei Plattenkondensatoren gleichen Abstands parallel so addieren sich ihre Flächenund damit ihre Kapazitäten. Allgemein gilt für eine Parallelschaltung von Kondensatoren:

Cges =∑i

Ci (18)

Eine Seriellschaltung verkleinert die Gesamtkapazität, so dass gilt:

C−1ges =∑i

C−1i (19)

Eine geladene Kapazität speichert Energie, wenn die Kapazität konstant ist gilt

E =1

2CU2 (20)

Diese Energie ist im elektrischen Feld gespeichert, das zwischen den beiden Platten herrscht.

Die Energie, die in einem elektrischen Feld gespeichert ist, berechnet sich (im Vakuum) aus derFeldstärke:

ωel =1

2ε0E

2 (21)

1.5 Dielektrika im elektrischen Feld

Dielektrika sind Isolatoren, deshalb kann dort keine frei Ladungsverschiebung wie im Leiter statt�n-den. Infolgedessen ist ein Dielektrikum auch nicht in der Lage ein äuÿeres Feld in seinem Innerenkomplett abzuschirmen. Eine Ladungsverschiebung �ndet nur innerhalb eines Atoms oder Molekülsdes Dielektrikums statt.

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Der Polarisationsprozess der Materie ist auf induzierte Dipole zurückzuführen. Dabei werden dieLadungsschwerpunkte gegeneinander verschoben und es entstehen atomare bzw. molekulare Dipol-momente p:

p = Z · e · d = q · d (22)

Diese sind in Richtung des externen Feldes ausgerichtet, so dass ihre potentielle Energie minimal ist.Folglich wird das elektrische Feld durch diese Dipole abgeschwächt. Die Vektorsumme aller diesermikroskopischen Dipolmomente ist die Polarisation des Dielektrikas:

P =1

V

∑i

pi (23)

Im Allgemeinen ist die Verschiebung d klein gegen den Atomdurchmesser. Auf atomarer Ebene lässtsich der Zusammenhang zwischen den mikroskopischen Dipolmoment p und dem externen Feld Edurch die Polarisierbarkeit α ausrücken:

p = α ·E (24)

Für kleine Felder (E < 105 Vm−1) ist dieser lineare Zusammenhang eine gute Näherung.

Die Abschwächung des elektrischen Feldes im Inneren des Dielektrika lässt sich mit Hilfe von Po-larisationsladungen beschreiben, die als Ober�ächenladungen σpol in einer dünnen Schicht d amDielektrikum auftreten. Dabei ist d der Abstand der gegeneinander verschobenen Ladungen, der zurBerechnung des Dipolmomentes verwendet wurde.

Die Obe�ächenladungsdichte σpol der Obe�äche A folgt aus der Dipolkonzentration ndip:

σpol = q · (ndip · (A · d))1

A= P (25)

Die Ober�ächenladungsdichte entspricht also der Polarisation. Aus den Ober�ächenladungen kannman das zusätzliche Feld berechnen, welches im Inneren des Dielektrikum dem externen Feld ent-gegen wirkt. Alle anderen verschobenen Ladungen im Volumen heben sich gegenseitig auf. Aus der

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ersten Maxwell Gleichung 8 folgt das jede Seite der Obe�ächen(ladungen) einen Beitrag E = P/(2ε0)zum Polarisationsfeld leistet.3 Beide Ober�ächenladungen schwächen das Feld im Inneren um denBetrag P/ε0. Daraus folgt das tatsächliche Feld im Inneren des Dielektrikums Ediel:

Ediel = Evac −P

ε0(26)

! Ein Dielektrikum ist bestrebt das Feld in seinem Innern zu kompensieren, es wird also kleiner.

Der materialspezi�sche Parameter, der ein Dielektrikum beschreibt, ist die dielektrische Suszep-tibilität χ. Sie ist über die Polarisierbarkeit α de�niert:

P = N · α ·Ediel =: ε0 · χ ·Ediel (27)

Die Suszeptibilität stellt einen Zusammenhang zwischen dem Vakuum Feld Evac und dem Feld imDielektrikum Ediel her:

Ediel =Evac

1 + χ=

Evac

ε(28)

Im letzten Schritt wurde die relative Dielektrizitätskonstante ε = 1+χ = 1+N ·α/ε0 eingeführt.Füllt man also das Volumen zwischen einem Plattenkondensator, der die Ladungen Q von einandertrennt und isoliert ist, vollständig mit einem Dielektrika, dann sinkt die Feldstärke um den Faktor εund folglich auch die Spannung zwischen den beiden Platten.

Um die dielektrische Verschiebungsdichte D einzuführen wenden wir auf Gleichung 26 die Divergenzan:

∇ ·Ediel = ∇ ·Evac −1

ε 0∇ · P (29)

∇·Evac kennen wir, das entspricht nach der ersten Maxwell Gleichung der freien Ladungsträgerdichte:∇ ·Evac = ρ/ε0

∇ · P werden wir uns nun kurz überlegen:

Die Polarisationsladung haben wir durch Integration der Ober�ächenladung erhalten, die derPolarisation entsprach:

Qpol =

∫σpol dA =

∫ρpol d

3r =

∫P dA =

∫∇ · P d3r (30)

Dazu haben wir die Ober�ächenladung verallgemeinert und in eine Volumenladungsdichte um-geschrieben. Im letzten Schritt wurde der Gauÿsche Satz angewendet. Aus dieser Umwandlungfolgt, dass

ρpol = ∇ · P (31)

gilt.

Dieses Ergebnis setzten wir nun in Gleichung 29 ein und erhalten:

∇Ediel =ρ− ρpolε0

(32)

Wenn wir nun zum Feld im Dielektikum wieder die Polarisation dazu addieren erhalten wir wiederdas Vakuumfeld, welches wir als dielektrische Verschibungsdichte D de�nieren:

ε0 ·Ediel + P = ε · ε0 ·Ediel = ε0 ·Evac =: D (33)

3Hierzu nehmen wir jeweils eine Ladungsverteilung ρ der Form ρ = σpol · δ(z) an

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Damit können wir die erste Maxwell Gleichung allgemein (also auch in Anwesenheit von Materie)schreiben als:

∇ ·D = ρ (34)

Wobei wir zur Berechnung der dieelektrischen Verschiebungsdichte nur die freien Ladungsträger-dichte ρ betrachten.

In einem Plattenkondensator, in dem sich ein Dielektrikum be�nde steht das elektrische Feld immersenkrecht auf der Ober�äche. Dabei ist die Normalkomponente der dielektrische Verschiebung beimÜbergang vom Vakuum ins Dielektrikum erhalten. Das elektrische Feld sinkt nach Gleichung 28 umden Faktor ε.

Für die Komponenten parallel zur Grenz�äche gilt dies nicht. Hier muss das elektrische Feld imVakuum E||vac und das elektrische Feld im Dielektrikum E

||diel erhalten sein.

Wir hatten bereits einen Ausdruck für die Energiedichte des elektrischen Felds im Vakuum angegeben.Im Dielektrikum müssen wir die Polarisation beachten und man erhält:

ωel =1

2E ·D =

1

2ε0 · ε ·E2 (35)

2 Der elektrische Strom

Als Stromstärke I bezeichnet man den Ladungs�uss pro Zeiteinheit durch eine gegebene Quer-schnitts�äche. Die Einheit ist folglich Coulomb pro Sekunde bzw. Ampere.

I =dQdt

(36)

Für eine allgemeine Beschreibung bewegter Ladung ist die vektorielle Gröÿe der Stromdichte jbesser geeignet. Sie bezieht sich auf die durchströmte Querschnitts�äche. Durch die Integrationüber eine Fläche folgt aus ihr die Stromstärke:

I =

∫j dA (37)

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Um die Leitung eines Materials (Metall oder Halbleiter) zu beschreiben drückt man die Stromdichteüber die freien Ladungsträgerdichte n aus.

j = q · n︸︷︷︸Anzahl der Ladungen pro Volumen

v (38)

n v

Fläche A

Hier ist v die Driftgeschwindigkeit mit der sich die freien Ladungsträger e�ektiv im elektrischenFeld bewegen.

! Der technische Strom �ieÿt immer von Plus nach Minus.

Die Erhaltung der elektrischen Ladung wird durch die Kontinuitätsgleichung ausgedrückt:

∇j +∂ρ

∂t= 0 (39)

2.1 Ohmsches Gesetz

Die Gröÿe, die die Driftgeschwindigkeit mit dem angelegten elektrischen Feld verknüpft, ist dieBeweglichkeit µ:

µ =v

E(40)

Aus einem Relaxationszeitansatz folgt µ = eτ/m, dabei ist τ die Relaxationszeit, die auf Stöÿe mitdem Gitter zurückzuführen ist. m ist die Masse des bewegten Ladungsträgers.

Um damit die Stromdichte auszudrücken müssen wir die Beweglichkeit mit der Ladungsträgerkon-zentration und ihrer Ladung multiplizieren. Wir erhalten so die elektrische Leitfähigkeit σ:

j = q · n · µ ·E︸ ︷︷ ︸v

=: σE (41)

Für einen homogenen Leiter der Querschnitts�äche A und Länge L können wir daraus das ohmscheGesetz ableiten. Dazu integrieren wir die obige Gleichung über den Querschnitt:

I =

∫j dA =

σ · AL

U (42)

der Term vor der Spannung ist das Inverse des Widerstands R:

U =L

σ · AI =: R · I (43)

Als Inverses zur elektrischen Leitfähigkeit ist der spezi�sche Widerstand de�niert: E = ρsj Für denhomogenen, isotropen Fall, auf den wir uns hier beschränken, erhalten wir den einfachen Zusam-menhang:

σ = ρ−1s (44)

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Im allgemeinen sind σ und ρs Tensoren.

Man spricht von einem ohmschen Leiter, wenn ρs konstant ist. Dann sind Strom und Spannung nachGleichung 43 zueinander proportional.

Ein Beispiel in dem wir das Ohmsche Gesetz anwenden können ist das Laden einer Kapazität C übereinen Widerstand R. Man nennt dies auch ein RC-Glied, da Strom und Spannung sich exponentiell

mit der typischen Ladezeit τ = R · T ändern.

2.2 Stromleistung

Da sich das Elektronen in einem Leiter mit einer mittleren Dirftgeschwindigkeit bewegt bleibt seinemittlere kinetische Energie konstant, dh. die gesamte aufgenommene Energie wird durch Stöÿe andas Gitter abgegeben. Damit ist die elektrische Leistung P eines Leiters durch den der Strom I �ieÿtund an dem die Spannung U anliegt

P = U · I. (45)

Diese Leistung wird in Form von Wärme abgegeben.

2.3 Stromkreise

Mit Hilfe der Kirchho�schen Regeln kann man Stromkreise beschreiben. Die erste Kirchho�scheRegel besagt, dass die Summe aller Ströme an einem Knoten verschwindet:∑

i

Ii = 0 (46)

Dies spiegelt die Kontinuitätsgleichung wieder. Die zweite Kirchho�sche Regel beschreibt, dass dasIntegral des elektrischen Feldes entlang eines geschlossenen Weges Null ist:∮

E dr = 0 (47)

Seriell verschaltete Widerstände addieren sich, paralelle Widerstände werden reziprok addiert.

2.4 Wheatstonesche Brückenschaltung

Eine Wheatstonesche Brückenschaltung kann dazu genutzt werden, die Gröÿe eines Widerstandsgenau zu bestimmen. Dabei ist R2 und R3 ein Potentiometer, und ihr Verhältnis lässt sich durchdas Teilungsverhältnis des Potentiometers ausdrücken.

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