Contents

1 Mathematische Grundlagen 31.1 Gauß und Stokes Integralsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Kartesisch Kugel Zylinder Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Nabla in Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Taylorentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.4 Fourier Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.5 Skalarprodukt mal anders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.6 Inverse einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.7 Wichtige Identitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Elektrodynamik Skript 62.1 Maxwellgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.2 Kraft, Feld, Potenzial, Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Energie des elektrischen und magnetischen Felds . . . . . . . . . . . 72.4 Eichfreiheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.5 Kovariante Formulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6 Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Mechanik 103.1 Lagrange Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.1.1 Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103.2 Hamilton Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Spezielle Relativität 124.1 Minkowski Metrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.2 Lorentztransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 elektromagnetischer Feldtensor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

5 Wissen aus Aufgaben 135.1 Blatt 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.2 Blatt2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.3 Blatt 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135.4 Blatt 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145.5 Blatt 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1

5.6 Blatt 8 und 9 erklären lassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.7 Blatt 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

6 Kurzfragen 156.1 Euler-Lagrange Herleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2

1 Mathematische Grundlagen

1.1 Gauß und Stokes Integralsätze

Gauß ∫V

∇ · ~χ d3V =∮∂V

~χ · ~n d2A (1.1.1)

Stokes ∫A

∇× ~χ d2A =∮∂A

~χ · ~n dS (1.1.2)

1.2 Kartesisch Kugel Zylinder Koordinaten

d~r =

dx ex + dy ey + dz ez Kartesisch

dr er + r dφ eφ + dz ez Zylinder

dr er + r dθ eθ + r sin θ dφ eφ Kugel

(1.2.1)

1.2.1 Nabla in Kugelkoordinaten

müssen nicht auswendig gekonnt werden!Gradient ∇f = Vektor, wobei f ein Skalar ist.

∇f = ∂rf er + 1r∂θf eθ + 1

r sin θ∂φf eφ (1.2.2)

Divergenz ∇ · ~A = Skalar

∇ · ~A = 1r2∂r

(r2Ar

)+ 1

r sin θ∂θ (Aθ sin θ) + 1r sin θ∂φAφ (1.2.3)

Rotation ∇× ~A = Vektor

∇× ~A = ∂θ (Aθ sin θ)− ∂φAθr sin θ er

+ 1r

( 1sin θ∂φAr − ∂r (rAφ)

)eθ

+ ∂r (rAθ)− ∂θArr

eφ

(1.2.4)

3

1.3 Taylorentwicklung

TNf(x; a) =N∑n=0

f (n)(a)n! (x− a)n (1.3.1)

Taylorreihe ist N =∞

1.4 Fourier Transformation

f(k) =∫dxe−ikxf(x) (1.4.1)

Rücktransformation mit

f(x) = 1(2π)d

∫ddk eikxf(k) (1.4.2)

Wichtige Eigenschaften der Fourier Transformation:

f(x)→ f(k) (1.4.3)

∂nxf(x)→ (ik)nf(k) (1.4.4)

∇f(x)→ i~kf(k) (1.4.5)

∇ · ~f(x)→ i~k · ~f(k) (1.4.6)

∇× ~f(x)→ i~k × ~f(k) (1.4.7)

∆f(x)→ −(~k · ~k)f(k) (1.4.8)

Produkte unter FT (convolution):

(f ∗ g)(x) =k∫

0

f(k − τ)g(τ) dτ = f(k)g(k) (1.4.9)

Definition der Deltafunktion∫ddk

(2π)d eik(x−x′) = δ(x− x′) (1.4.10)

δ(x− a) = d

dxΘ(x− a)→

∫dxδ(x− a) =

1 für x ∈ {a}

0 sonst(1.4.11)

4

1.5 Skalarprodukt mal anders

〈f, g〉 =∫f∗(x)g(x)dx (1.5.1)

1.6 Inverse einer Matrix

(1|M)→(M−1|1

)(1.6.1)

1.7 Wichtige Identitäten

Trigonometrische Identitäten:

sin2 θ + cos2 θ = 1 (1.7.1)

sinα± β = sinα cosβ ± cosα sin β (1.7.2)

cosα± β = cosα cosβ ∓ sinα sin β (1.7.3)

sin 2x = 2 sin x cosx (1.7.4)

cos 2x = cos2 x− sin2 x (1.7.5)

cosx = eix + e−ix

2 (1.7.6)

sin x = eix − e−ix

2i (1.7.7)∫sin2 xdx→ erst partiell integrieren, dann cos2 x+ sin2 x = 1 einsetzen (1.7.8)

Levi-Civita Symbol:

εijk =

1 für ijk ∈ {123, 231, 312}

−1 für ijk ∈ {321, 213, 132}

0 für min. 2 gleiche, wie ijk ∈ {112, 222, 131, ...}

(1.7.9)

damit gilt dann:

Vektoroperationen{(~a×~b

)i

=3∑

j,k=1εijka

jbk (1.7.10)

5

Delta Identität:∆(−1r

)≡ ∇

(err2

)≡ 4πδ (~r) (1.7.11)

Gauß Integral ∫ ∞−∞

e−ax2dx =

√π

a(1.7.12)

2 Elektrodynamik Skript

2.1 Maxwellgleichungen

homogene (ohne Quellen)∇ · ~B = 0 (2.1.1)

∇× ~E + 1c

∂

∂t~B = 0 (2.1.2)

inhomogene (mit Quellen)∇ · ~D = 4πρ (2.1.3)

∇× ~H − 1c

∂

∂t~D = 4π

c~j (2.1.4)

im Vakuum gilt E = D und B = H.

2.2 Kraft, Feld, Potenzial, Energie

Gravitationskraft~Fgrav = −Gm1m2

r2 er (2.2.1)

GravitationspotenzialVgrav = −Gm1m2

r(2.2.2)

Drehimpuls pφpφ = mr2φ (2.2.3)

Elektrisches Feld~E = 1

4πε0Q

r2 er (2.2.4)

Die Kraft ~F eines elektrischen Felds ~E auf ein geladenes Teilchen (mit Ladung q)ist

~F = q ~E (2.2.5)

6

Die eine Punktladung Q an der Stelle r0 hat die Ladungsdichte ρ:

ρ(~r) = Qδ(~r − ~r0) (2.2.6)

Die Stromdichte ~j ist definiert durch:

~j(~r) = ρ~v, und jµ = (cρ,~j) (2.2.7)

2.3 Energie des elektrischen und magnetischen Felds

Magnetfeld Energie Emag

Emag = 18π

∫~H · ~B d3x (2.3.1)

elektromagnetische Energiedichte ω

ω = 18π(~E · ~D∗ + ~B · ~H∗

)(2.3.2)

Energiestromdichte (Poyntingvektor) ~S (über eine Fläche integriert gibt die Energiedie hindurch fließt)

~S = c

4π~E × ~B∗ = c ωemek (2.3.3)

Impuls im el. mag. Feld:~p =

∫~s

c2d3r (2.3.4)

Balance equation∂tω +∇ · ~S +~j · ~E = 0 (2.3.5)

Kontinuitätsgleichung∂tρ+∇ ·~j = σ (2.3.6)

2.4 Eichfreiheit

Eichtransformation (Φ ist Potentialfunktion des el. Felds, ~A Vektorpotenzial desmag. Felds, f eine bel. skalare Funktion)

~A→ ~A′ = ~A+∇f, (2.4.1)

Φ→ Φ′ = Φ− 1c∂tf (2.4.2)

7

es gilt (mit rot(gradf) = 0):

~B = ∇× ~A′ = ∇× ~A (2.4.3)

~E = −∇Φ− 1c∂t ~A (2.4.4)

mit der Lorenz Eichung (mit d’Alembert � = ( 1c2∂

2t −∆))

∇ · ~A+ 1c∂tΦ = ∂µA

µ = 0 = �f (2.4.5)

Lorenz Eichung eingesetzt in inhom. Maxwell Gleichungen(2.1.3):

�Φ = 4πρ (2.4.6)

� ~A = 4πc~j (2.4.7)

Die Coulomb Eichung setzt:∇ · ~A = 0 (2.4.8)

Poissongleichung ∆Φx,t = 4πρx,t wird gelöst durch

Φx,t =∫

ρx,t|x− x′|

d3x′ (2.4.9)

Green Funktion G ist mit dem Differentialoperator L (also z.B. ∇, ∆ oder ∂t)definiert durch:

LG(r, r′) = δ(r − r′) (2.4.10)

Dann muss ein pasendes G gesucht werden (siehe dazu etwa 1.7.11) um die DGLLΨ(r, r′) = Φ(r, r′) zu lösen. In diesem Fall dann einfach:

Ψ =∫G · Φ (2.4.11)

einsetzen und eine passende Funktion Ψ ist gefunden. So wurde die Poissonglei-chung (2.4) gelöst.

8

2.5 Kovariante Formulierung

xµ ist kontravarianter Vektor, xµ kovarianter Vektor wobei µ = {0, 1, 2, 3} und dieKomponente µ = 0 ist die Zeitkomponente. Weiterhin gilt x0 = x0 mit xi = −xi

wobei i = {1, 2, 3}. Wir schreiben für die Raumzeit (t, ~r):

x ≡ {xµ} = (ct,−~r) und x ≡ {xµ} = (ct, ~r) (2.5.1)

für die Ableitung gilt:kovariant: ∂µ ≡ ∂

∂xµ = (1c∂t, ∂~r)

kontravariant: ∂µ ≡ ∂∂xµ

= (1c∂t,−∂~r)

d’Alembert: � ≡ ∂µ∂µ = 1c2∂

2t −∆

Analog zu (2.4.1) gilt:Aµ → Aµ′ = Aµ − ∂µf (2.5.2)

eingesetzt in die Maxwellgleichungen (2.1.4):

�Aµ − ∂µ(∂νAν) = 4πcjµ (2.5.3)

Kontinuitätsgleichung:∂µj

µ = ∂tρ+∇ ·~j = 0 (2.5.4)

Coulomb Eichung ∂µAµ = 0 ist kompatibel mit Lorentz Bedingung �f = 0

Skalarprodukt von Vierervektoren (damit lassen sich zB Abstände in 4 Dimen-sionen angeben):

aµbµ = gµνaµbν = gνµa

µbν = aνbν (2.5.5)

2.6 Wellen

Quellenfrei also für ρ = 0 und ~j = 0 gilt

~E(~r, t) = ~E0 · ei(~k~r−ωt) (2.6.1)

~B(~r, t) = ~B0 · ei(~k~r−ωt) (2.6.2)

setzt man diese unter Beachtung von ~j = 0 in Gleichung (2.1.4) ein, so erhält man:

~k × ~E0 = ω

c~B0 (2.6.3)

9

→ ~E0 ⊥ ~B0 ⊥ ~k

k2 = ω2

c2 (2.6.4)

3 Mechanik

potentielle Energie und Kraft hängen von einander ab durch

~F = −∇U(x) (3.0.1)

3.1 Lagrange Mechanik

der Lagrangian mit kinetischer Energie T und Potenzial V

L(x, x) = T (x)− V (x) (3.1.1)

wenn die ri die Koordinaten (xi, yi, zi...) der i Teilchen sind sind gilt für die kinetis-che Energie T :

T = 12∑i

mi r2i (3.1.2)

Euler Lagrange Gleichung (für jeden Freiheitsgrad qi gibt es eine eigene EulerLagrange Gleichung):

d

dt

∂L

∂qi− ∂L

∂qi= 0 (3.1.3)

der konjugiert Impuls:pi = ∂L

∂qi(3.1.4)

zyklische Koordinaten kommen nicht explizit als Koordinate im Lagrangian vor(aber durchaus deren Ableitungen). daher gilt

d

dtpzyklisch = 0 (3.1.5)

3.1.1 Symmetrie

Symmetrie liegt dann vor, wenn der Lagrangian sich unter einer Koordinatentrans-formation q′ = q → q + δ nicht ändert. Rotationssymmetrie ist nur bei Zen-tralpotenzial gegeben. Ist der Lagrangian in erster Näherung eines infinitesimalen

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Koordinatenwechsels unverändert (bzw die Änderung δL = ddt

∑i pi δqi = 0), so

ist die Transformation symmetrisch.

3.2 Hamilton Mechanik

Der Hamiltonian ist die Gesamtenergie eines Systems. Wichtig hier: in einemHamiltonian müssen alle Geschwindigkeiten q bzw v durch den Funktionen des Im-pulses p ersetzt werden. Der Hamiltonian H ist definiert durch die Legendretrans-formation:

H =∑i

(piqi)− L (3.2.1)

Die Poissongleichung gibt die Zeitableitungen an:

{A,B} =∑i

(∂A

∂qi

∂B

∂pi− ∂A

∂pi

∂B

∂qi

)(3.2.2)

für eine beliebige Funktion ddtF = F (q, p), insbesondere aber für q und p, gilt

F = {F,H}+ ∂F

∂talso auch q = {q,H}+ ∂tq und p = {p,H}+ ∂tp (3.2.3)

ein paar wichtige Rechenregeln für Poissonklammern:

{A,B} = −{B,A} (3.2.4)

{αA+ βB,C} = α{A,C}+ β{B,C} (3.2.5)

{A,BC} = B{A,C}+ C{A,B} (3.2.6)

{A, {B,C}}+ {B, {C,A}}+ {C, {A,B}} = 0 (3.2.7)

Für die Komponenten des Drehimpuls ~l gilt zudem:

{li, lj} =∑k

εijklk (3.2.8)

kanonisch heißen zwei Koordinaten pi, qi, wenn gilt:

{pi, qj} = δi,j (3.2.9)

{qi, qj} = {pi, pj} = 0 (3.2.10)

11

4 Spezielle Relativität

4.1 Minkowski Metrik

LängenkontraktionL′ = L

γ(4.1.1)

ZeitdilatationT ′ = Tγ (4.1.2)

relativistische Metrikds2 = c2dt2 − dx2 − dy2 − dz2 (4.1.3)

Eigenzeitdτ = ds

c(4.1.4)

4.2 Lorentztransformation

mit dem vierer-Vektor xx′ = Λx (4.2.1)

x′µ = Λµν xν (4.2.2)

Lorentz Faktor in ~v in x, y und z Richtung:

Λx =

γ −βγ 0 0−βγ γ 0 0

0 0 1 00 0 0 1

, Λy =

γ 0 −βγ 00 1 0 0−βγ 0 γ 0

0 0 0 1

(4.2.3)

Λz =

γ 0 0 −βγ0 1 0 00 0 1 0−βγ 0 0 γ

(4.2.4)

ein paar Definitionen

γ = 1√1− v2

c2

, β = |v|c

→ γ = 1√1− β2 (4.2.5)

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4.3 elektromagnetischer Feldtensor

Feldstärketensor F und dualer Feldstärketensor F :

(Fµν) =

0 −Ex −Ey −EzEx 0 −Bz By

Ey Bz 0 −BxEz −By Bx 0

,(Fµν

)=

0 −Bx −By −BzBx 0 Ez −EyBy −Ez 0 Ex

Bz Ey −Ex 0

(4.3.1)

außerdem gilt:Fµν = ∂µAν − ∂νAµ (4.3.2)

Maxwell mit jν = (cρ,~j)

inhomogene: ∂µFµν = 4π

cjν , homogene: ∂µF

µν = 0 (4.3.3)

Elektromagnetische Felder transformieren:

F′µν = ΛµαΛνβFαβ bzw. F ′ = ΛF Λ> (4.3.4)

5 Wissen aus Aufgaben

vielleicht sinnvoll sich zu merken:

5.1 Blatt 1

Aufgabe 1: zu lösen mit Gleichung (1.4.4)Aufgabe 2: Zylinderkoordinaten (1.2.1)

5.2 Blatt2 2

Aufgabe 4: Lorentz Eichung benutzen!!! siehe (2.4.5 und 2.5)

5.3 Blatt 3

Aufgabe 1: a) Welle im Vakuum (2.6.3)Aufgabe 3: Delta Identität merken! 1.7.11

~j = ρ~v (5.3.1)13

ρ = δ(r)q (5.3.2)

5.4 Blatt 5

Aufgabe 1: Delta Identität 1.7.11Aufgabe 2:a) elektrisches Dipolmoment (die Dipolachse ~d zeigt von - nach +):

~p =∑i

∫Vi

ρi~ri d3ri (5.4.1)

magnetisches Dipolmoment:~p =

∫~r ×~j d3r (5.4.2)

Poynting Vektor:~S = c

4π~E × ~B (5.4.3)

5.5 Blatt 6

Potential eines el. Dipols (mit del el. Dipolmoment ~p siehe (5.4.1)):

Φ(~r) = er · ~pr2 (5.5.1)

allgemeiner (mit x = |~r − ~r ′| und ~P = ~p

Vist Dipoldichte bzw. Polarisation):

Φ(~r) =∫V

er · ~P (~r ′)x2 d3r′ (5.5.2)

Identität:|~r − ~r ′| ≡

√(r1 − r′1)2 + (r2 − r′2)2 + (r3 − r′3)2 (5.5.3)

partielle integration mal anders∫(u′v) dx = [uv]−

∫uv′ =

∫(uv)′dx−

∫uv′dx (5.5.4)

Gesamtladung eines Dipols (über den gesamten Raum) ist Null genau wie bei einemladungsfreien Raum außerhalb einer Ladungsdichte

Q(V ) = 0 (5.5.5)14

Elektrisches Feld mit Polarisationsdichte ~P :

~D = ~E + 4π ~P (5.5.6)

magnetischer Dipol: (Dipolmoment?)

~m = χV

µ0~B =?~mi = 1

2c

∫d3r ~r ×~ji(~r) (5.5.7)

Dipoldichte:~M = ~m

V(5.5.8)

sieht komisch aus is aber so: ∫V

1V

d3r = 1 (5.5.9)

5.6 Blatt 8 und 9 erklären lassen

5.7 Blatt 10

Aufgabe 1:a)

EAer =∫

4πρ d3r (5.7.1)

6 Kurzfragen

Hamilton Prinzip: Die Wirkung ist minimal.holonom skleronom rheonom rheonom: Zeitabhängige Koordinate / skleronom:keine Zeitabhängige KoordinateNoether Theorem: Jede Symmetrie eines Systems bedingt eine Erhaltungsgröße.Beispiele: Zeitinvarianz → Energieerhaltung, Isotropie des Raums → Drehim-pulserhaltung, Homogenität des Raums → Impulserhaltung.Einsteinsche Postulate: 1. Physikalische Gesetze sind invariant gegen einen Wech-sel des Inertialsystems. 2. die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemengleich groß.Nahfeldzone / Strahlungszone eines Dipols: Nahfeld: r0 � r � λ, Strahlungszone:r0 � λ ∼ r, Fernfeldzone: r0 � λ� r

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6.1 Euler-Lagrange Herleitung

gegeben ist Wirkung:s =

∫ t2

t1L(q, q, t)dt (6.1.1)

sei q Funktion die s minimiert: s(q(t)) → min. s wächst also für q(t) + δq(t)︸ ︷︷ ︸Variation

.

Bedingung ist außerdem dass δq (t1) = δq (t2) = 0.

δs = δt2∫t1

L(q, q, t)dt (6.1.2)

=t2∫t1

∂L

∂qδq + ∂L

∂qδq dt

!= 0 (6.1.3)

partielle Integration des 2. Terms ∂L∂q δq = ∂L

∂q δdqdt :

=t2∫t1

(∂L

∂qδq

)dt+

(∂L

∂qδq(t)

)t2t1︸ ︷︷ ︸

0, da δq(t1)=δq(t2)=0

−∫ t2

t1

(δqd

dt

∂L

∂q

)dt (6.1.4)

=t2∫t1

(∂L

∂q− d

dt

∂L

∂q

)δq dt = 0 (6.1.5)

das Integral muss für δq bel. 0 sein, daher muss die Klammer 0 sein. Somit hatman die Euler Lagrange Gleichung.

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