Gaub 1E1 WS14/15

Gaub 2E1 WS14/15

Gaub 3E1 WS14/15

E1 WS14/15 4Gaub

Gaub 5E1 WS14/15

E1 WS14/15 6

Wer misst misst Mist!

xj

nj

∆xjx

Systematisch Fehler

Statistische Fehler

€

⇒dS

dx = 2 x − xi( )

i=1

n

∑ = 0

€

S = x − x i( )2

i=1

n

∑ = MinimumMittelwert x definiert durch

Arithmetisches Mittel

€

⇒ x =1

nxi

i=1

n

∑

Thermische FluktuationenSchrotrauschen1/f Rauschen

KalibrierfehlerHintergrundsignale

Gaub

f(x)dx gibt die Wahrscheinlichkeit, den Messwert bei x im Interwall dx zu finden

€

mit Δni

i=1

k

∑ = n

€

f x( ) = 1 n( ) lim Δni Δxi( )

€

= 1 n( ) ⋅dn dx

VerteilungsfunktionÜbergang zu normierten Verteilungen der Messwerte

xj

nj/n

∆xjx

F = ∆ni/n

Übergang zu infinitessimalen Intervallen, k–>oo

€

x =1

nΔni

i=1

k

∑ ⋅ x i

für ∆xi 0 geht ∆ni 0, aber ni = ∆ni/∆xi bleibt endlich!

Verteilungsfunktionf(x)

€

f x( ) =1

2πσ 2e− x−xw( )

2 2σ 2

Normalverteilung(Gausssche Glockenkurve)

Wenn nur statistische Fehler auftreten

Gaub 7E1 WS14/15

log-NormalverteilungBeispiel: Herzschlagfrequenzen ruhender Fledermäuse aufgezeichnet in Panama (Quelle: Uni Konstanz)

ln (heart rate)

Nicht die Zeitmessung unterliegt hier statistischen Schwankungen sondern eine Größe von der die Frequenz exponentiell abhängt!

Gaub 8E1 WS14/15

§2.1 Kinematik des Massenpunktes1. Koordinatensysteme:

€

rr =

x

y

z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Z

x

y

MP

Kartesische Koordinaten

€

rr =

r

θ

ϕ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

MP

Kugel (Polar) Koordinaten

€

θ

€

ϕ

r

€

rr =

ρ

ϕ

z

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

MP

Zylinder Koordinaten

€

ϕ

€

ρ

z

€

rr =

x0

y

z0

+ vy ⋅t

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

?

?

?

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

?

?

?

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

ρ ⋅sin(ω ⋅t)

ρ ⋅cos(ω ⋅t)

z0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

r0

θ0

ω ⋅t

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

ρ 0

ω ⋅t

z0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Bsp:

Geradlinige Bewegung|| Y-Achse:

Kreis um z-Achse:

Schraube:

€

rr =

ρ ⋅sin(ω ⋅t)

ρ ⋅cos(ω ⋅t)

z0 + vz ⋅t

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

?

?

?

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr =

ρ 0

ω ⋅t

z0 + vz ⋅t

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

rr

Gaub 9E1 WS14/15

Newton‘s Mechanics

Stellar Orbits

Gravity

Leibniz

Galilei

Gaub 10E1 WS14/15

E1 WS14/15 11

Kräfte: Beschreibung von Wechselwirkungen

€

vF Ist ein Vektor zerlegbar; superponierbar

I. Newtonsches Axiom

Jeder Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen geradlinigen Bewegung, solange keine Kraft auf ihn wirkt.

II. Newtonsche Axiom

Die Ursache einer Impulsänderung ist eine Kraft

€

vF =

dv p

dt

€

vF = m ⋅

dv v

dt+

dm

dt⋅v v

III. Newtonsches Axiom Actio = Reactio

Wenn ein Körper A auf einen Körper B ausübt, so wirkt eine gleichgroße, aber entgegengesetzte Kraft von Körper B auf Körper A

€

vF a = −

v F b

E1 WS14/15 12

§2.7 Energiesatz der Mechanik

Arbeit + Leistung

€

dv r =

v v ⋅dt

€

vF

€

vr (t)

€

P1

€

P2

y

x

z

€

W1→2 =v F ⋅d

v r

p1

p2

∫

€

dW =v F ⋅d

v r

Linienintegral

€

vF ⋅d

v r

p1

p2

∫ =v F x ⋅d

x1

x2

∫ v x +

v F y ⋅d

y1

y2

∫ v y +

v F z ⋅d

z1

z2

∫ v z

Anmerkung:

Leistung:

€

P =dW

dt=

v F ⋅

r v

„Arbeit“[W]= Nm = Joule

[P]=

€

Js

=Watt=W

Bsp. Gleichförmige Kreisbewegung:

€

vv = v ⋅

v e t ;

€

vF = F ⋅

v e r

€

⇒ v

F ⋅dv r = 0⇒ W = 0

Bsp.: Dehnarbeit einer Feder von :

€

0→ x

€

W = Fx ⋅ dx∫

Bahnkurve

€

= D⋅ ′ x ⋅ d ′ x 0

x

∫

€

=12

⋅D⋅ x2

€

vF ⊥d

v r W = 0 für

Gaub

E1 WS14/15 13

Energiesatz der Mechanik

€

vF = m ⋅

dv v

dt⇒

€

vF ⋅

v v

t0

t

∫ ⋅d ′ t =v F ⋅d

v r

P0

P

∫konservatives Kraftfeld

€

m ⋅d

v v

d ′ t ⋅v v

t0

t

∫ ⋅d ′ t = m ⋅v v

v0

v1

∫ ⋅dv v

Def.:

€

Ekin =m2

⋅v2

€

⇒ ΔEkin =W Die Zunahme der kinetischen Energie eines Körpers ist gleich der an ihm geleisteten Arbeit

Im konservativen Kraftfeld ist die Summe aus potentieller Energie und kinetischer Energie konstant

€

E =E p(P0)+Ekin(P0)

€

vF ⋅

v v

t0

t

∫ ⋅d ′ t = m ⋅d

v v

d ′ t ⋅v v

t0

t

∫ ⋅d ′ t

€

=E p(P0)−E p(P)

€

=W

€

=m2

⋅v12−

m2

⋅v02

€

=Ep(P)+ Ekin(P)

Gaub

E1 WS14/15 14

Drehimpuls

€

vL

Ebene beliebig gekrümmte Bahn

m

€

vp = m ⋅

v v

O

€

vr (t)

€

vϕ

€

vr

€

vr (t),

v v (t)

Def.: Drehimpuls

€

vL = (

v r ×

v p ) = m ⋅(

v r ×

v v )

€

vL =⊥

v r ,⊥

v v

Ebene von und

€

vr

€

vv

In Polarkoordinaten:

€

vL = m(

v r ×(

v v r +

v v ϕ )) =

€

vr (t2 )

€

ϕ

0 weil

€

vr

v v r

€

vr ×

v v ϕ = r2 ⋅ ˙ ϕ ⇒

€

vL = m ⋅r2 ⋅ ˙ ϕ

Kreisbewegung:

€

˙ ϕ =ω

€

vL = m ⋅r2 ⋅

v ω

€

m(v r ×

v v r )+ m(

v r ×

v v ϕ )

;

€

v=vϕ ⇒

weil

€

vω

Gaub

E1 WS14/15 15

Tycho BraheJohannes Keppler

Gaub

E1 WS14/15 16

Drehmoment:

0 weil

€

vv

v p

€

(v r ×

v F )

Newton

Def: Drehmoment

€

dv L

dt=

v D = (

v r ×

v F )

Für zentrale Kraftfelder

€

vF = f (r) ⋅ ˆ e r ist

€

vD =

v 0

= const. bzgl. Kraftzentrum Drehimpulserhaltung

€

⇒ v

L

Zeitliche Veränderung des Drehimpulses ist gleich dem wirkenden Drehmoment

€

(v v ×

v p )+ (

v r ×

v ˙ p ) =

€

dv L

dt=

dv r

dt×

v p

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥+

v r ×

dv p

dt

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥=

€

vF

€

vr

€

rD

..

Gaub

E1 WS14/15 17

Planetenbewegung:

Kepplergesetze (Basierend auf Beobachtung Tycho Brahes))

I. Planeten bewegen sich auf Ellipsen mit Sonne im Brennpunkt

II. Fahrstrahl von Sonne zu Planet überschreitet in gleichen Zeiten gleiche Flächen

€

S

€

A1

€

P(t1)

€

P(t1 +Δt)

€

A2

€

P(t2)

€

P(t2 +Δt)

III. Die Quadrate der Umlaufzeiten der Planeten verhalten sich wie die 3. Potenzen ihrer großen Halbachsen

€

T12

T22 =

a12

a22 oder

€

Ti2

ai2 =const für alle Planeten

Gaub

E1 WS14/15 18

Newtons Analyse:

!! !!Planetenbahnen

Fallender Apfel

Selbe AxiomatikGravitation !

aus

€

vL = const.⇒

aus Actio = Reactio

€

vF G (r) = f (r) ⋅ ˆ e r (Zentralkraft)

€

FG ~m1 ⋅m2

€

vF G (r) = G ⋅m1 ⋅m2 ⋅ f (r) ⋅ ˆ e r

Mit Ellipse ~ Kreis =>

€

−mp ⋅wp2⋅rp =G ⋅mp ⋅ms ⋅ f(ri)

3. Keppler

€

w2 ~ T −2 ~ r−3

⇒ f (r) ~ r−2

⎫ ⎬ ⎭⇒ F = −G ⋅

mp ⋅M S

r2⋅ ˆ e r

Newtonsches Gravitationsgesetz

G= 6,67384 10⋅ −11m3/kg s⋅ 2

Gaub

€

′ y €

z

€

€

ru ⋅ t

€

x

€

y

€

z′

€

€

′ x

€

A

€

rv =

dr r

dt

€

r′ v =d

r ′ r

dt

€

′ rv =r v −

r u

€

′ ra =d ′

r v

dt=

dr v

dt=

r a

€

r = x, y,z{ }

€

′ r = ′ x , ′ y , ′ z { }

€

′ rr =r r −

r u ⋅ t

€

′ x (t) = x(t) − ux ⋅ t

′ y (t) = y(t) − uy ⋅ t

′ z (t) = z(t) − uz ⋅ t

′ t = t

⎧

⎨ ⎪ ⎪

⎩ ⎪ ⎪

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

€

rr = ′

r r +

r u t

r v = ′

r v +

r u ⇒

r a = ′

r a und

r F = ′

r F

t = ′ t

§3.2 Inertialsysteme

O

O‘

O‘ bewege sich mit konstanter Geschindigkeit u bezüglich O

u << c

u=const

Zwischen den in den beiden Inertial-systemen O und O‘ gemessenen Grössen für die Bewegung des Massenpunktes A gelten die Galilei-Transformationen

Gaub 19E1 WS14/15

E1 WS14/15 20

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y

€

rr

€

z′ = z

€

rω

€

′ x

€

A

€

rv

€

vC

€

v⊥

€

ra zf

€

ra c

€

a ′ y c

€

a ′ x c

€

rF c = 2m

r ′ v ×

r ω ( )

€

rF zf = m ⋅

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Gaub

E1 WS14/15 21

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

€

rF c = 2m

r ′ v ×

r ω ( )

€

rF zf = m ⋅

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y €

z′ = z

€

′ x

€

rω

€

r′ v

€

rr

€

A

€

⋅

€

⋅

€

⋅

€

⋅

€

rr ×

r ω ( )

Gaub

E1 WS14/15 22

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y €

z′ = z

€

′ x

€

rr

€

A

€

ra zf

€

rω

€

r′ v ×

r ω ()

€

⋅

€

⋅

€

r′ v Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w

€

rF c = 2m

r ′ v ×

r ω ( )

€

rF zf = m ⋅

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Gaub

E1 WS14/15 23

€

ra c = 2

r ′ v ×

r ω ( )

€

ra zf =

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Aus den Beschleunigungen folgern Scheinkräfte auf dieMasse m in A

Scheinkräfte treten auf, wenn die Bewegung im rotieren Koordinatensystem beschrieben wird, und die Roation des Koordinaten-systems nicht berücksichtigt wird. Bei der Beschreibung in einem Inertialsystem treten diese Kräfte nicht auf!

€

′ y €

z′ = z

€

′ x

€

rr

€

A

€

ra zf

Corioliskraft steht ebenfalls senkrecht auf , w tritt aber nur auf, wenn v‘ eine Komponente senkrecht zu w hat.

€

rω

€

r′ v

€

ra c

Zentrifugalkraft steht senkrecht auf w

€

rF c = 2m

r ′ v ×

r ω ( )

€

rF zf = m ⋅

r ω ×

r r ×

r ω ( )

Gaub

E1 WS14/15 24Gaub

25

Corioliskraft bestimmt den Drehsinn der Tiefdruckgebiete und Stürme

Hurricane Floyd

Typhoon Yasi

3.6 Spezielle Relativitätstheorie

Einsteins Postulate: (1905, Annalen der Physik)

Alle Inertialsysteme sind gleichberechtigt für alle physikalischen Gesetze

Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in allen Inetrtialsystemen den gleichen Wert c, unabhängig von der Bewegung des Beobachters

PoincareLorentz

Gaub 26E1 WS14/15

E1 WS14/15 27

Ergebnis: Gleichzeitige Detektion beider -g Quanten, obwohl sich deren Quelle mit

nahezu Lichtgeschwindigkeit bewegt!

Gaub

E1 WS14/15 28

€

mit γ = 1− v2 c2( )

−1 2

€

y = ′ y

€

′ y = y

€

z = ′ z

€

′ z = z

€

′ x = γ x − vt( )

€

x = γ ′ x + v ′ t ( )

€

′ t = γ t − vx c 2( )

€

t = γ ′ t + v ′ x c2( )

€

r′ u =d ′ x

d ′ t ,d ′ y

d ′ t ,d ′ z

d ′ t

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

€

r′ u x =d ′ x

d ′ t =

d ′ x

dt⋅

dt

d ′ t

€

=γ dx

dt− v

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟γ 1+

v ′ u xc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Lorentz-Transformation

€

ru =

dx

dt,dy

dt,dz

dt

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭

Geschwindigkeit des Körpers A in S und S‘

Invariant für

€

s2 = ct( )2

− x2 = c ′ t ( )2

− ′ x 2

Gaub

E1 WS14/15 29

€

′ u y =uy

γ 1−uxv

c 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

uy =′ u y

γ 1+v ′ u xc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

′ u z =uz

γ 1−vux

c2

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

€

uz =′ u z

γ 1+v ′ u xc 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

dito

€

ux =′ u x + v

1+′ u xv

c2

€

′ u x =ux − v

1−uxvc2

Lorentz-Transformation der Geschwindigkeitenfür v II x

Gaub

E1 WS14/15 30

Zum Problem der Gleichzeitigkeit bei endlicher Lichtgeschwindigkeit

Gaub

€

P2

€

P1

€

t1Gleichzeitigkeit

€

c ′ t

€

′ x

€

x2′

€

x1′

€

ct

€

x

€

x1

€

x2

€

L

€

x1′ = γ x1 − vt1( )

€

x2′ = γ x2 − vt2( )

€

⇒ x2′ − x1

′ = γ x2 − x1( )

€

für t1 = t2

€

⇒ L′ = γ ⋅L

€

⇒ L < ′ L

€

weil γ >1

Zur Lorentz-Kontraktion der Längen

€

′ L = P1′P2

′ = x2′ − x1

′

€

L = P1P2 = x2 − x1

Längenmessung durch gleichzeitiges festlegen der beiden Koordinaten!

Lorentz-Transformation:

Die Länge eines bewegten Maßstabs erscheint dem ruhenden Beobachter in Bewegungsrichtung verkürzt

€

L′

€

t1′

€

Weltlinien

€

P2′

€

=P1′

Man beachte, dass ein Beobachter im bewegten System einen Maßstab im ruhenden System ebenfalls verkürzt sieht, der Effekt also relativ ist !

E1 WS14/15 32

Bewegte Uhren laufen langsamer!

€

v ⋅ t

€

N

€

C€

B

€

AB + BC = 2 ⋅ L2 + vΔ ′ t

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟2 ⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

1 2

€

=c ⋅Δ ′ t

€

⇒ Δ ′ t =2L

c 2 − v 2( )

1 2

€

=>Δ ′ t =Δt

1− v2 c2( )

1 2

€

=γ⋅Δt

Einsteins Gedankenexperiment zur Lichtuhr

Zeitnormal in S: ∆to=2L/c

Uhr wird jetzt mit v bewegt

Für den Beobachter in S durchläuft das Licht den Weg ABC

mit AN = NC = v ∆t/2

€

Δt = 2L caber im ruhenden System:

€

L

€

A

€

Spiegel

€

Detektor€

Blitz −

lampe

Auch die Zeitdilatationist relativ !

Gaub

E1 WS14/15 33

€

=> N (h2 ) = a ⋅N(h1) ⋅e−Δt ′ τ

€

mit Δt = (h1 − h2) v€

μ− τ → e− + ν μ + ν e

Zum Myon-Zerfall

Lebensdauer ruhender Myonen t ≈ 5 10-6 s

Während der Flugzeit dt = dh/v zerfällt bei einer mittleren Lebensdauer ‘ t der Bruchteil

dN/N = -dt/ ‘ =t > N(t) = N0 e-t/ ‘ t

a<1 berücksichtigt den Verlust durch Streuung an Luftmolekülen

Ausgiebige Messungen ergaben ‘ t ≈ 45 10-6s

mit ‘ t = gt => g = 9 => v = 0.994 c

€

h2

€

D 2

€

D1

€

h1

€

μ−

€

Δh = h1 − h2

Berg

Gaub

34

Relativistische Energie

Man bedenke: Sowohl m als auch v ändern sich bei hohen Geschwindigkeiten!Einsteins Gedankenexperiment:

LLichtblitz bei t1=0

Aber: Schwerpunkt war immer an der selben Stelle!

=>Rückstossimpuls

p = -E/c

wird nach t2=L/c absorbiert

p = E/c

∆x

€

v =p

M= −

E

Mc

€

=−vt 2 = EL / Mc2

€

=>mL − MΔx = 0

€

=>E = mc2Jede Masse entspricht der Energie

=> Transport der Masse m während Energietransport€

v << c

€

=>E = mc2 =m0c

2

1− v2 /c2

€

=m0c2 +(m − m0 )c2

Gesamtenergie + Kinetische Energie = RuheenergieGaub

E1 WS14/15 35

€

ct

€

x

€

C

€

Vergangenheit

€

x = ct

€

−ct€

−x

€

x = −ct

€

Zukunft

€

anderswo

€

anderswo

€

A

€

B

Raumzeitereignise und Kausalität

Lichtgeschwindigkeit obere Grenze für Signalübertragung!

=> Wirkung nur innerhalb des Lichtkegels! A kann mit B aber nicht mit C kausal verknüpft sein

Im 4-dimensionalen Minkowsky-Raum stellt der Lichtkegel eine 3d-Hyperfläche dar

Gaub

Erhaltungssätze und SymmetrienEmmy Noether (1882 - 1935)

Isotropie des Raumes bezüglich

€

=>d

dt(∂

( L

∂r v i

)i

N

∑ =d

dt(∂

( L

∂r v i

)i

N

∑ = 0=> Impulserhaltung

=> Drehimpulserhaltung

€

δ rr i =δ

r ϕ ×

r r i

Ort

€

rr +δ

r r

Richtung

€

ϕ +δϕ

€

δ rv i =δ

r ϕ ×

r v i

€

∂( L

∂r r i

= 0i

N

∑!

€

=> r p i (δ

r ϕ ×

r r i )+

r p i(δ

r ϕ ×

r v i )

i

N

∑

€

=δ rϕ (r r i ×

r p i )+ (r v i ×

r p i )

i

N

∑

€

=> (r r i ×

r p i ) =

r L = const

i

N

∑

€

δ( L =

∂( L

∂r r i

δr r i +

∂( L

∂r v i

δr v i =

i

N

∑ 0i

N

∑!

€

=δ rϕ d

dt(r r i ×

r p i ) = 0

i

N

∑!

€

r p i

€

rp i

€

d

dt

( L =

∂( L

∂t+

∂( L

∂r r ii

N

∑ r r +i

∂( L

∂r v ii

N

∑ r v i

Isotropie der Zeit:

€

t +δt

€

=>d

dtr v i(

∂( L

∂r v i

)i

∑ −( L

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟= 0

=> Energieerhaltung

€

Weil (r a ×

r b )

r c =

r a (

r b ×

r c ) = (

r b ×

r c )

r a = −(

r c ×

r b )

r a

€

=d

dtr v i

∂( L

∂r v ii

N

∑

€

= r

v id

dt(∂

( L

∂r v i

)i

N

∑ +(∂

( L

∂r v i

)r v i

€

=>Ekin + Epot = Eges = const

€

∂( L

∂t= 0!

€

=> r

v ir p i

i

∑ −( L =

r v i

r p i

i

∑ −mi

r v i

2

2i

∑ + Epot = const

=> p= const

§4 Systeme von Massenpunkten Vielteilchensysteme (VTS)

Erinnerung: Inertialsysteme Galileitransformation

Physikalische Gesetze gleich !

Def.: Massenschwerpunkt

x

y

z

€

m

€

2 ⋅m

€

vr 1

€

vr 2

€

3⋅m ⋅v r S

€

2 ⋅m ⋅v r 1

€

m ⋅v r 2

€

vr S =

mi ⋅r r i

i

∑

mii

∑=

€

1

M⋅ mi ⋅

r r i

i

∑

Gesamtmasse

Schwerpunktgeschwindigkeit

Gesamtimpuls

€

vP =

v p i

i

∑ = M ⋅v v S

€

vv S =

dv r S

dt=

€

1

M⋅ mi ⋅

i

∑ dv r i

dt=

€

1

M⋅ mi ⋅

v v i∑ =

€

1

Mv p i∑

€

vr S

S

Gaub 37E1 WS14/15

E1 WS14/15 38

Schwerpunkt-System

€

vr i Ortskoordinaten im Laborsystem

€

vr S Ortskoordinaten von S im Laborsystem

€

vr iS Ortskoordinaten von MPi im S - System

€

mi ⋅v v iS =

v p iS∑∑ = 0 Die Summe aller Impulse im

Spkt-System ist immer Null

€

L = Lso + L s

Drehimpuls der Gesamtmasse in S bezüglich 0

Drehimpuls bezüglich S

€

EKin = EKin (S)+1

2⋅M ⋅

r v S

2

€

EKin im S-System

€

EKinder Gesamtmasse vereinigt in S

Gaub

E1 WS14/15 39

Stösse zwischen Teilchen

′11

vm′

22vm

1θ

€

θ2

StreuwinkelW-W Gebiet ′

2P

€

m1

r v 1

€

m2

r v 2

€

′ m 2r ′ v 2

€

′ m 1r ′ v 1

€

rp 1

€

rp =

r p 1 +

r p 2

€

r′ p =r ′ p 1 +

r ′ p 2

€

rp 2

€

r′ p 2

€

r′ p 1

Impulsbilanz

Energiesatz

€

rp 1

2

2m1

+r p 2

2

2m2

=r ′ p 2

1

2 ′ m 1+

r ′ p 2

2

2 ′ m 2+Q

Impulssatz

€

rp 1 +

r p 2 =

r ′ p 1 +

r ′ p 2

Q = 0 Elastischer Stoss

Q >0 Inelastischer Stoss (innere Reibung)Q < 0 Superelastischer Stoss (z.B. chem. Reaktion)

Gaub

E1 WS14/15 40

Kraftstoss

Kraftstoss F

<F>

ta

tlDt

Typischer zeitlicher Verlauf der Kraft beim Stoss:

Wirkung: Dp

Newton:

€

F =d p

dt⇒ Δp = Fdt

−∞

+∞

∫

€

= Fdtta

tl

∫ =d p

dtta

tl

∫ dtal

pp −=

Weil ist F(r ) ein Mass für Streupotential

( ) ( )rVrF −∇=

b Stossparameter

A(t)A

P′

( )tr

B

A AP

θ AA PPP −′

=Δ

Streuer z.B. LadungGaub

E1 WS14/15 41

Elastische Stösse im S - System

0pot

ED δδ

€

rp is∑ = 0

€

⇒ r

p 1s = −r p 2s

€

⇒1

2

1

m1

+1

m2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟r

′ p 1s2 =

1

2

1

m1

+1

m2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟r

′ p 1s2 +Q

€

r′ p 1s2

2μ=

r p 1s

2

2μ+Q

Elastisch entspricht Q = 0

Im S – System behält jeder Partner seine kinetische Energie

€

⇒ ′ p 1s = p1s = ′ p 2s = p2s

€

⇒ r′ p 1s = −

r ′ p 2s

€

rp 1

€

rp 2s

€

rp 2

€

rp 1s

€

r′ p 2s

€

r′ p 1s

€

r′ p 2

€

r′ p 1

S

z

xy

z

x y

€

rv 1

€

rv 1s

€

rv 2s

€

rv 2

€

rv s

m1

m2

Beim elastischem Stoss drehen sich die Impulsvektoren um S

E1 WS14/15 42

Die Bewegung eines starren Körpers

SiiS rrr

€

d

dtv r iS =

v v iS =

v v i −

v v S

€

vr iS = const.Starrer Körper:

€

d(v r iS

2 )

dt= 2 r • viS = 0 iSiS vr

€

=> r

v iS =r ω ×

r r iS( )

€

=> r

v i =r v S +

r ω ×

r r iS( )

Bewegung des starren Körpers

Translation des Schwerpunkts

€

= Rotation um denSchwerpunkt

€

+

3 3+6 Freiheitsgrade:

Gaub

§5 Dynamik starrer ausgedehnter Körper

Kräfte und Kräftepaare

032 FF

Þ Beschleunigung durch

Drehmoment durch Kräftepaar

Trick: Addition von sich aufhebendem Kräftepaar.

neben Richtung und Betrag auch noch Angriffspunkt der Kraft wichtig

2F

31 FF

€

DS = riS × F1

Eine nicht im Schwerpunkt S angreifende Kraft bewirkt ein Drehmoment bezüglich S und eine Beschleunigung von S.

Gaub 43E1 WS14/15

Der Steiner‘sche Satz

€

IB = r⊥2 dm

V

∫

Trägheitsmoment eines Körpers ist achsenabhängig

€

= rS⊥+ a⊥( )2 dm

V

∫

Þ für Achse B||A (A geht durch S)

€

= r⊥S2 dm

V

∫ + 2a r⊥S dm V

∫ + a⊥2 dm

V

∫

€

IB = IS + a2M

Das Trägheitsmoment IBeines Körpers bei Rotation um eine beliebige Achse B ist gleich dem Trägheitsmoment IS um eine zu B parallele Achse durch den Schwerpunkt plus dem Trägheitsmoment der in S vereinigten Gesamtmasse M bezüglich B

= 0 Def. Spkt

Gaub 44E1 WS14/15

Trägheitsmoment und Rotationsenergie feste Achse

€

Ekin Δmi( ) =1

2Δmivi

2

kinetische Energie eines Massenelements

€

=1

2Δmiri⊥

2ω2

Þ Rotationsenergie:

€

Erot = limN→∞

Δmi →0

1

2 Δmiri⊥

2ω2

i=1

N

∑ ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

=1

2ω2 r⊥

2

V

∫ dm

mit dem Trägheitsmoment

€

I = r⊥2

V

∫ dm = r⊥2

V

∫ ρ dV

€

Erot =1

2 I ω2

€

=L2

2 I

€

Li = ri⊥× Δmi vi( )und dem Drehimpuls:

€

= ri⊥2 Δmi ω

€

L = Li∑ = I ω=>

Gaub 45E1 WS14/15

Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen

Drehimpuls eines Massenelements :imΔii rv ω

€

Li = Δmi ri × vi( ) = Δmi ri × ω × ri( )( )

€

A × B × C( ) = A ⋅ C( ) B - A ⋅ B( ) C

Þ

€

Li = Δmi ri2 ω( ) − ri ⋅ ω( ) ri( )

€

L = r2 ω( ) − r ⋅ ω( ) r( ) dmV

∫

mit :

Bei freier Rotation ist i. a. nicht ll zu

€

L

€

ω

Gaub 46E1 WS14/15

47

Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen

in Komponenten:

€

Lx = Ixxωx + Ixyωy + Ixzωz

Ly = Iyxωx + Iyyωy + Iyzωz

Lz = Izxωx +Izyωy +Izzωz

€

I xx = r2 - x2( ) dm

V

∫ = y2 + z2( ) dm

V

∫

I yy = r2 - y2( ) dm

V

∫ = x2 + z2( ) dm

V

∫

I zz = r2 - z2( ) dm

V

∫ = x2 + y2( ) dm

V

∫

€

I xy = I yx = - x y dmV

∫

I yz = I zy = - y z dmV

∫

I xz = I yz = - x z dmV

∫

ω L~

I

in Tensorschreibweise:

z

y

x

z

y

x

L

L

L

ωωω

III

III

III

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Trägheitstensor

€

mit I ij = r2δ ij - rirj( ) dmV

∫

€

Li = r2δ ij - rirj( ) dmV

∫ ω j

j=1

3

∑

€

= I i j ω j

j=1

3

∑

in Einstein-Summenkonvention:

(I verknüpft L mit w durch Drehstreckung)

E1 WS14/15 48

tensoriell:

€

Erot =1

2 ω

TI~

ω€

Erot = 1

2 ωx ωy ωz( )

I xx I xy I xz

I yx I yy I yz

I zx I zy I zz

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

ωx

ωy

ωz

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

=1

2ωiI i jω j

i, j=1

3

∑

Bei beliebiger Drehachse tragen alle Momente des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei

Gaub

Berechnung der über das charakteristische Polynom:

€

Iabc

0

III

III

III

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

I

I

I

Konvention: cba III

Trägheitsmoment um beliebige Achse:

cba IIII cos cos cos 222 γω

€

L =

La

Lb

Lc

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ =

ωa Ia

ωb Ia

ωc Ia

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

Erot = 1

2 ωa

2 Ia + ωb2 Ib + ωc

2 Ic( )

€

= La

2

2Ia

+ Lb

2

2Ib

+ Lc

2

2IcGaub 49E1 WS14/15

Die Euler‘schen Gleichungen

€

dr L

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟R

=r D

R: Raumfestes System

€

=d

r L

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟K

+r ω ×

r L R=K( )K: Körperfestes Hauptachsen-

System (rotiert mit )w

siehe Kapitel 3ausgeschriebenfür Achse a:

€

Da =d

r L

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟a

+r ω ×

r L ( )

a

€

=d

dtIa ωa( ) + ωb Lc −ωc Lb( )

€

=Ia

dωa

dt+ ωb Ic ωc −ωc Ib ωb

Euler‘sche Gleichungen:

€

Da = Ia

dωa

dt+ Ic − Ib( ) ωc ωb

Db = Ib

dωb

dt+ Ia − Ic( ) ωa ωc

Dc = Ic

dωc

dt+ Ib − Ia( ) ωb ωa

Im Allgemeinen sind w und L nicht colinear => Bewegung komplex!

Gaub 50E1 WS14/15

51

Der kräftefreie symmetrische Kreisel

Drehimpulserhalt. =>

€

Lx2 + Ly

2 + Lz2 = const.

Die Gleichungen stellen eine Kugel und einen (um rotierenden) Ellipsoiden dar.

€

rL

€

La2

Ia

+Lb

2

Ib

+Lc

2

Ic

= const.Energieerhaltung =>

Beide Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein!

=> Die Spitze von L wandert auf der Schnittlinie beider Figuren

Da Trägheitsellipsoid körperfest und L raumfest wandert Figurenachse cim raumfesten System => Nutation

Sichtbarkeit der momentanen Drehachse =>

Präzession des symmetrischen Kreisels

€

rD =

r r × m

r g

Auf einen symmetrischen Kreisel, der sich um seine Figurenachse dreht ( ω||L||r ) und der außerhalb seines Schwerpunkts unterstützt wird, wirkt das Drehmoment:

€

D =dL

dt= L

dϕ

dt

€

=>ωP =dϕ

dt=

D

L=

D

I ωPräzessionsfrequenz:

Daraus resultiert:

€

r L =r D ⊥

r L

=> nur die Richtung von L ändert sich:

Ist die Kreiselachse um den Winkel α gegen die Vertikale geneigt, so ist:

€

D = r m g sinα

€

dr L = L sinα dϕ=> wp unabhängig von der

räumlichen Orientierung der Kreiselachse, nur bestimmt durch L und D

€

ωP =r m g sinα

I ω sinα=

r m g

I ω

E1 WS14/15 53

§6 Reale Feste und Flüssige Körper

€

rF =

r F i

r r i( )

i

∑

Kraft auf ein Atom:

Atomares Modell der Aggregatszustände

Þ potentielle Energie hängt von der Anordnung der Atome ab

€

rF = −grad E pot

Gaub

E1 WS14/15 54

Scherkraft: Angriff tangential an einer Fläche

Scherung und Torsionsmodul

€

τ =F

d2

Scherspannung:

Resultat der Scherspannung: Verkippen der Kanten um den Winkel α:

€

τ = G α mit dem Schub- / Scher- / Torsionsmodul G

Die behandelten Kräfte sind alle auf atomare Kräfte zurück zu führen und damit miteinander verknüpft. Für isotrope Körper kann folgende Beziehung hergeleitet werden:

€

E

2 G= 1 + μ

€

=>2 G

3 K=

1 − 2 μ

1 + μ

€

κ =1

K=

3

E1 − 2 μ( )mit

Gaub

55

Statischer Druck in einer Flüssigkeit

Beachtung des Gewichts jedes Volumenelements A dz:

€

ρ g dV

Es wirkt auf jede Fläche A am Boden des Gefäßes der Schweredruck

mit Flüssigkeitshöhe H

€

p 0( ) =ρ g A

Adz

0

H

∫ = ρ g H

Man bemerke: Druck unabhängig von Geometrie!

=> Hydrostatisches Paradoxon

p ist nur abhängig von der Füllhöhe eines Gefäßes.

Gaub

E1 WS14/15 56

§6.4 Phänomene an Flüssigkeitsgrenzflächen

Oberflächenspannung

Þ effektive Kräfte nur in Grenzschichten.

Kräfte von Nachbarmolekülen heben sich in der Flüssigkeit auf.

Energie nötig, um Molekül von innen nach außen zu bringen!

mit Energie ΔW zur Vergrößerung der Oberfläche um ΔA ist:

€

ε[ ] =J

m2

die spezifische Oberflächenenergie

€

ε =ΔW

ΔA

Gaub

E1 WS14/15 57

Statistical Mechanics

Steam Engine

Chemical Reactions

A + B AB

MayerJoule

HelmholtzClausius

KelvinBoltzmann

Gibbs

Gaub

Molecular Dynamics Calculations

Solving Newton‘s equationfor every atom in pico second intervals

Gaub 58E1 WS14/15

Luftdruck und barometrische Höhenformel

Herleitung der barometrischen Höhenformel

Abnahme des auf der Fläche A lastenden Gewichts mit der Höhe:

€

FG = m g = g h ρ A

€

=>dFG = g dm = g ρ h( ) dV = −g ρ h( ) A dh

€

dp = −g ρ h( ) dh

€

p0

ρ 0

= const. =p

ρmit

€

=>dp = −gρ 0

p0

p h( ) dh

€

dp'

p' h( )p 0( )

p h( )

∫ = − gρ 0

p0

dh '

0

h

∫

€

=>lnp h( )p0

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ = −g

ρ 0

p0

h

€

=>p h( ) = p0 e−g

ρ 0

p0

h

mit po= 1013hPa und r0= 1.24 kg/m3

€

=> p h( ) = 1013 hPa ⋅ e−

h

8,33 km

Gaub 59E1 WS14/15

E1 WS14/15 60

Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Bewegung in y- und z-Richtung bleibt beim Stoß unbeeinflußt.

€

vx2 =

1

NN vx( )∫ vx

2 dvx = vy2 = vz

2 =1

3v 2

Da der Druck eine isotrope Größe ist, gilt:

Im Mittel fliegen gleich viele Moleküle in +x- wie in –x-Richtung

€

=>p =1

2n 2 m vx

2 =1

3m n v2

€

=2

3n Ekin

€

=>p V =2

3N Ekin

Gaub

E1 WS14/15 61

Mittlere kinetische Energie und absolute Temperatur

Experimentell ergibt sich für konstantes N, dass p V nur von T abhängt.

€

Ekin =1

2m v 2 hängt nur von T ab.Þ

Es gibt eine Temperaturskala, für die gilt:

€

Ekin ~ T

Definition der absoluten Temperatur T:

€

1

2m v 2 =

3

2k T

€

k = 1,38054 ⋅10−23 J

Kmit der Bolzmann-Konstante

Þ

€

p V = N k T allgemeine Gasgleichung

Gaub

E1 WS14/15 62

€

f u( ) =m

2π k Te

−m u2

2 k TÞ Symmetrische Gaussverteilung

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung

Þ

€

fr v ( ) =

m

2π k T

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

32

e−

mr v 2

2 k T

Ist die mittlere kinetische Energie sehr groß gegen die Differenz der potentiellen innerhalb eines abgeschlos-senen Volumens V, ist keine Richtung ausgezeichnet.

Differentiation nach u liefert:

€

−u f u( ) = −m u

k TC1 T( ) e

−m u2

2 k T

mit:

€

C2 =m

k TC1 T( )

€

=> f u( ) = C2 e−

m u2

2 k T

weil

€

C2 =m

2π k T

€

f u( ) du−∞

+∞

∫ = 1

€

ex 2

dx−∞

+∞

∫ = πund

Gaub

Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung

Geschwindigkeitsvektoren mit der Länge v+dv enden in einer infinitesimalen Kugelschale mit dem Betrag der Geschwindigkeit als Radius. Ingegration über liefert den Faktor:

€

4π v 2 dv

€

n v( ) dv = nm

2π k T

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

3

2

4π v 2 e−

m v 2

2 k T dvZahl der Moleküle pro Volumen-einheit mit einer Geschwindigkeit im Betrag zwischen v und v+dv

Mittlere Geschwindigkeit

€

v = v f v( ) dv0

∞

∫

€

= 4πm

2π k T

⎛

⎝ ⎜ ⎜

⎞

⎠ ⎟ ⎟

3

2

v 3 e−

m v 2

2 k T dv0

∞

∫

€

=8 k T

π m

€

=2 vw

π

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit

€

dn

dv vw

= 0

€

=>vw =2 k T

m

Mittlere Geschwindigkeitsquadrat

€

v2 = v2 f v( ) dv0

∞

∫

€

=3 k T

m

€

=f k T

m

64

Diffusion

Die Netto-Teilchenstromdichte durch dA ist:

€

j =dN+ − dN−

dA dt

Beitrag der Teilchen mit v zur Stromdichte :

€

dj v( ) dv = −1

dA

dN+ v( )dt

−dN− v( )

dt

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ dv

€

=>djx v( ) dv = −2 Λ f v( ) v dvcos2 ϑ sinϑ dϑ dϕ

4π

dn

dx

€

=>jx = −2 Λ f v( ) v dv−∞

+∞

∫ 1

4πcos2 ϑ sinϑ dϑ dϕ

0

π /2

∫0

2π

∫ dn

dx

€

v 2π/3

Ficksches Gesetz:

€

jx = −Λ v

3

dn

dx= −D

dn

dx

oder vektoriell:

€

rj = −D grad n( )

mit der Diffusionskonstanten

€

D =Λ v

3=

1

n σ

8 k T

9 π m

E1 WS14/15 65

§8 Strömende Flüssigkeiten und Gase

Newtonsche Bewegungsgleichung für ein Massenelement ∆m = r ∆V

€

rF (

r r ) =

r F p +

r F g +

r F R = Δm d2r

r /dt 2 = ρ (r r ) ΔV d

r u (

r r ) /dt

Gleiche Physik für beide Phasen aber rfl >> rg, kfl << kg

-grad p∆V rg∆V

spannt ein zeitabhängiges Vektorfeld (Strömungsfeld) auf

€

ru (

r r , t)

Analytische Lösungen nur für besondere Fälle, numerische Lösungen oft aufwändig

Hängt nicht von t ab, nennt man die Strömung stationär und die Ortskurve eines Volumenelements folgt der Strömungslinie

€

ru (

r r )

€

rr (t)

€

ru (

r r )

Bei laminarer Strömung bleibt die Nachbarschaft von Stromfäden erhalten!

Bei idealen Flüssigkeiten ist die Reibung vernachlässigbar, bei zähen dominiert sie

66E1 WS14/15

67

=> Auch in stationären Strömungen kann sich die Geschwindigkeit z.B. durch Querschnittsreduktion ändern!

Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten

€

ru + d

r u =

r u (

r r +

r u dt, t + dt)Dort hat es die Geschwindigkeit

Im Strömungsfeld hat ein Volumenelement nach dt den Weg zurückgelegt und ist an den Ort gelangt.

€

ru (

r r , t)

€

dr r =

r u dt

€

rr +

r u dt

Die Beschleunigung eines Volumenelements hat zwei Beiträge: Zeitliche Änderung der Geschwindigkeit am selben Ort

€

∂ ru /∂t

Andere Geschwindigkeit am neuen Ort

€

∂ ru /∂

r r ⋅∂

r r /∂t

€

dux

dt=

∂ux

∂t+

∂ux

∂x

dx

dt+

∂ux

∂y

dy

dt+

∂ux

∂z

dz

dt=> In Komponentenschreibweise:

ux uy uz

€

dui

dt=

∂ui

∂t+

∂ui

∂rkk

∑ uk

dito für y und z

Gaub

E1 WS14/15 68

Euler Gleichung für ideale Flüssigkeiten

Bei idealen Flüssigkeiten Reibung Vernachlässigbar => Eulergleichung

€

dr u

dt=

∂r u

∂t+(

r u • ∇)

r u = g −

1

ρgrad p

€

+ηρ

∇2 r u

Navier-Stokes Gleichung

für stationäre Strömungen= 0

Konvektionsbeschleunigung

€

∇ r

u =

∂ux

∂x

∂ux

∂y

∂ux

∂z

∂uy

∂x

∂uy

∂y

∂uy

∂z

∂uz

∂x

∂uz

∂y

∂uz

∂z

⎡

⎣

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎤

⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

€

dr u

dt=

∂r u

∂t+(

r u • ∇)

r u mit

Gaub

Kontinuitätsgleichung

Def: Massenflussdichte

€

rj = ρ

r u

=> ux1 / ux2 = A2 / A1

Durch ein Rohr mit sich änderndem Querschnitt fliest die MassedM / dt = r A1 ux1 = r A2 ux2 = const

€

= r

j dr S

S

∫

€

−∂∂t

ρ dVV

∫ = −∂ρ

∂tdV

V

∫

€

= div(ρr u )dV

V

∫

€

M = ρ dVV

∫In V sei die Masse

€

−∂M

∂t= ρ

r u d

r S

S

∫

Sie ändert sich durch den Fluss durch die Oberfläche S

€

ρ ru d

r S = div(ρ

r u ) dV

V

∫S

∫ Gauss(Bronstein)

€

=>∂ρ∂t

+ div(ρr u ) = 0

€

div(r b ) =

r ∇r b =

dbx

dx+

dby

dy+

dbz

dz

Bernoulli-Gleichung

Unter Druck wird Gas oder Flüssigkeit durch ein Rohr getrieben. Verjüngt sich der Querschnitt muss das Medium beschleunigt werden

Um ∆V1 = A1 x1 gegen p1 zu bewegen benötigte Arbeit: ∆W1 = F1 ∆x1 = p1 A1 ∆x1 = p1 ∆V1

∆W2 = p2 A2 ∆x2 = p2 ∆V2

dito für den dünnen Teil: Die geleistete Arbeit erhöht die potentielle Energie des Systems!

Bei idealen Flüssigkeiten (reibungsfrei!) bleibt die Gesamtenergie konstant!

p1 ∆V1 + ½ r u12 ∆V1 = p2 ∆V2 + ½ r u2

2 ∆V2 da ∆V1 = ∆V2 = ∆V

=> p1 + ½ r u12

= p2 + ½ r u22 => p + ½ r u2

= p0 = const

Staudruck Gesamtdruck(bei u = 0)

StatischerDruck

Bernoulli-Gleichung

Gaub 70E1 WS14/15

Schwingungen

Schwingungen sind sich periodisch wiederholende Schwankungen einer physikalischen Größe um einen Mittelwert.

Beispiele:- Federpendel- Elektronische Oszillationen- Biologische Rhythmen-...

m

xx0

€

F = −k x − x0( )

Lösungsansatz:

€

x(t) = x0 + A ⋅cos ω0 ⋅ t( )

€

˙ x (t) = −ω0 ⋅A ⋅sin ω0 ⋅ t( )

€

˙ x (t) = −ω02 ⋅A ⋅cos ω0 ⋅ t( )

€

˙ x (t) = −ω02 ⋅ x t( ) − x0( )

„Kreisfrequenz“

€

ω02 =

k

m

€

ω0 =k

m

€

m ⋅ ˙ x = −k x − x0( )Bewegungsgl.:

Gaub 71E1 WS14/15

E1 WS14/15 72

Allgemeine Lösung des harm. Oszillators

€

d2

dt 2x t( ) + ω0

2 ⋅ x t( ) = 0

Lösungsansatz:

€

x t( ) = c ⋅eλ ⋅t

€

˙ x t( ) = c ⋅λ ⋅eλ ⋅t

€

˙ x t( ) = c ⋅λ2 ⋅eλ ⋅t

€

c ⋅λ2 ⋅eλ ⋅t + ω02 ⋅c ⋅eλ ⋅t =

!

0

€

λ2 = −ω02

€

λ =±iω0

allgem. Lösg. ist Linearkombination der Lösungen:

€

x t( ) = c1 ⋅eiω0 ⋅t + c2 ⋅e

−iω0 ⋅t

Gaub

E1 WS14/15 73

Harmonische Näherung in beliebigen Potentialen

Epot

xx0

x0: Mechanische Gleichgewichtslage (Potentialminimum)

Um x0 kann jedes beliebige Potential als Parabel genähert werden.

Taylorentwicklung um x0:

€

E pot x − x0( ) = E pot x0( ) +dE pot

dxx0

x − x0( ) +1

2

d2E pot

dx 2

x0

x − x0( )2

+ ...

€

F = −dE pot

dx

€

≈−d2E pot

dx 2

x0

x − x0( )

€

m ⋅ ˙ x (t)+d2Epot

dx2

x0

x(t) − x0( ) = 0

Bei kleinen Auslenkungen kann man harmonische Schwingungen beobachtenz. B. Molekülschwingungen

74

Allgemeine periodische Vorgänge/ Fourierzerlegung

Eine periodische Funktion f(t) mit f(t+T)=f(t) kann zerlegt werden in eine Summe aus sin und cos Funktionen:

€

ω =2π

T

€

f t( ) =a0

2+ an ⋅cos n ⋅ω ⋅ t( )

n=1

∞

∑ + bn ⋅sin n ⋅ω ⋅ t( )

„Fourier Reihe“

€

an =2

T⋅ f (t) ⋅cos n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

∫

€

bn =2

T⋅ f (t) ⋅sin n ⋅ω ⋅ t( ) dt

0

T

∫

€

TBeispiel: Rechteck-Funktion

€

an = 0 Nur bn tragen bei (ungerade Funktion f(x)=-f(-x)

1

http://www.falstad.com/fourier/

E1 WS14/15 75

Gedämpfte Schwingungen

i. A. sind Schwingungen gedämpft, d. h. ihre Amplitude nimmt über die Zeit ab. Dies wird durch Reibungskräfte bewirkt.

€

m ⋅ ˙ x = −m ⋅ω02 ⋅ x + FRBew.gl.:

Die Reibungskraft FR ist oft eine Funktion der Geschwindigkeit.z. B viskose Reibung ( z.B. Stokes):

€

FR = −β ⋅v

Neue Bew.gl.:

€

m ⋅ ˙ x + m ⋅ω02 ⋅x + β ⋅ ˙ x = 0

Ansatz:

€

x t( ) = c ⋅eλ ⋅t

€

m ⋅λ2 + m ⋅ω02 + 2mγ ⋅λ( ) ⋅x t( ) = 0

€

λ2 + 2γλ +ω02

( ) = 0

€

γ>ω0

€

mit γ =β

2m

Starke Dämpfung

Schwache Dämpfung

€

λ1,2 = −γ ± γ 2 −ω02

€

γ<ω0

Aperiodischer Grenzfall

€

γ=ω0

Gaub

E1 WS14/15

Erzwungene Schwingungen

€

F t( ) = F0 ⋅eiω⋅t

€

x t( ) = x0 ⋅eiω⋅t

€

−m ⋅ω2 ⋅x0 ⋅eiω⋅t + i ⋅ω ⋅2γm ⋅x0 ⋅e

iω⋅t + m ⋅ω02 ⋅x0 ⋅e

iω⋅t = F0 ⋅eiω⋅t

€

−m ⋅ω2 ⋅x0 + i ⋅ω ⋅2γm ⋅x0 + m ⋅ω02 ⋅x0 = F0

€

x0 =F0 m

ω02 −ω2 + i ⋅ω ⋅2γ

Re

Im

ϕ

€

x0 = x0 ⋅eiϕ€

=F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2ω0

2 −ω2 − i ⋅ω ⋅2γ( )

m

€

F = F0 ⋅cos ω ⋅ t( )

€

m ⋅ ˙ x + 2γm ⋅ ˙ x + m ⋅ω02 ⋅x = F t( )

€

F t( ) : Von außen angelegte Kraft

Gaub

77

€

x0 =F0 m

ω02 −ω2

( )2

+(2γω)2

€

F0

m ⋅ω02

€

tan ϕ( ) =−2γω

ω02 −ω2

( )

€

0

€

−π

€

−π2

€

ω0

- In der Resonanz liegt die Phase des Erregers um /p 2 vor dem Oszillatorz. B. Anregung mit cos (w0t) -> Resonanz cos(w0t- /p 2)=sin(w0t)

€

ω0

- Für w->0 gleichphasig, für w->∞ gegenphasig

Versuche Pohl‘sches Rad und Glas Film Tacoma BridgeGaub

78

Mathieu-Gleichung

Parametrischer Oszillator (Kinderschaukel):

Fadenpendel : w0 = (g/L)1/2

Periodisches verkürzen des Fadens:

€

=>ω2 (t) =ω02(1+ h cosΩt)

€

=>˙ x +ω02 (1+ h cosΩt) ⋅x = 0

optimaler Antrieb bei

€

Ω=2ω0 +ε ; ε <<ω0

Ansatz:

€

x = c1(t)cos(Ω

2t)+ c2 (t)sin(

Ω

2t)

€

=>c1(t) = Ae−iβt

€

=1

2ε 2 −(

hω0

2)2

Exponentielles aufschaukeln für

€

ε 2 < (hω0

2)2

mit:

€

˙ c 1 ≈ ˙ c 2 ≈ 0 und Winkelfunktionsmassage (siehe Demtröder)

E1 WS14/15 79

B) Gekoppelte Federn, mehrere Massen

D1 D12 D2m1m2

0

x1

0

x2Kopplung der DGL

€

(1) m1˙ x 1 + D1x1 + D12 x1 − x2( ) = 0

€

(2) m2˙ x 2 + D2x2 + D12 x2 − x1( ) = 0

Vereinfachung:

€

D1 = D2 = D; m1 = m2 = m

€

(1) + (2) m ˙ x 1 + ˙ x 2( ) + D x1 + x2( ) = 0

€

(1) − (2) m ˙ x 1 − ˙ x 2( ) + D x1 − x2( ) + 2D12 x1 − x2( ) = 0

Normalkoordinaten

€

x− =1

2x1 − x2( )

€

x + =1

2x1 + x2( )

€

x + +D

mx + = 0

€

x − +D + 2D12

mx− = 0

€

:= ω12

€

:= ω22 €

x + t( ) = A1 ⋅cos ω1t + ϕ1( )

€

x− t( ) = A2 ⋅cos ω2t + ϕ 2( )

Eigenschwingungen, „Normalmoden“

€

x1 = x + + x−

€

x2 = x + − x−„Schwebungen“

Versuche Gekoppelte Pendel und Metronome

Gaub

Mechanische Wellen

Tritt eine Störung ξ zum Zeitpunkt t = 0 an der Stelle z = z0 auf und breitet sich ungedämpft mit der Geschwindigkeit v aus, dann befindet sie sich zum Zeitpunkt t1 an der Stelle z1 .

ξ ist konstant für alle WerteÞ

€

z − vt = z0

Þ

€

ξ z, t( ) = f z − vt( )

€

:= f u( )

€

∂ξ∂z

=df

du

du

dz=

df

du⋅ 1

€

∂ξ∂t

=df

du

du

dt=

df

du−v( )

€

∂2ξ

∂z2=

d2 f

d2u

€

∂2ξ

∂t 2=

d2 f

d2uv2

€

∂2ξ

∂z2=

1

v 2

∂ 2ξ

∂t 2

Wellen-Gleichung

€

ξ z1, t1( ) = ξ z0,0( ) = ξ z1 − vt1,0( )Þ

Gaub 80E1 WS14/15

Mechanische Wellen

Wellengleichung:

€

∂2ξ

∂z2 =1

v 2

∂ 2ξ

∂t 2

Alle Lösungen dieser Gleichung sind Wellen mit der Geschwindigkeit v,die Randbedingungen selektieren daraus spezielle.

Z. B. harmonische ebene Welle in z-Richtung:

Beschreibt ξ eine mechanische Auslenkung, kann diese senkrecht (Transversalwelle) oder parallel (Longitudinalwelle) zur Ausbreitungsrichtung sein.

€

∂2ξ

∂z2= −k 2 ξIn beiden Fällen gilt:

€

∂2ξ

∂t 2= −ω2 ξ

€

ξ(z, t) = A sin ωt − kz( )

€

ξ(z, t) = C ei ωt − kz( )oder

€

v = vPh =ω

k= fλPhasengeschwindigkeit

€

k =2π

λWellenvektor:

Gaub 81E1 WS14/15

E1 WS14/15 82

Mechanische Wellen

Transversalwelle (ξ = Δx):

€

Δx = A sin ωt − kz( )

Longitudinalwelle (ξ = Δx):

€

Δz = B sin ωt − kz( )

€

vPh =E

ρ

€

vPh =G

ρ

Gaub

E1 WS14/15 83

Überlagerung zweier kohärenter Kugelwellen

€

ξ r, t( ) =A

rsin ωt − kr( )

Phasendifferenz in P

€

Δϕ =ϕ 1 −ϕ 2 = k(r1 − r2 )

=> konstruktive Interferenz für

€

r1 − r2 = n2π

k=> Hyperbelschar

Interferenz in Ästen mit zunehmendem n weniger ausgeprägt, weil A mit 1/r abfällt

Gaub

§11.12 Stehende Wellen

Durch geeignete Überlagerung von Wellen lassen sich stationäre Schwingungsmuster erzeugen, bei denen bestimmte Punkte, Linien oder Flächen im Raum stets in Ruhe bleiben (Schwingungsknoten).

Eindimensionale stehende WellenÜberlagerung einer ebenen Welle

€

ξ1 = A cos ωt + kz( )

€

Für z > 0 ist die Gesamtwelle also:

€

ξ =ξ1 +ξ 2 = A cos ωt + kz( ) + cos ωt − kz +ϕ( )( )€

ξ2 = A cos ωt − kz + ϕ( )mit ihrer Reflexion an einer Ebene bei z = 0 mit Phasensprung φ

Þ

€

ξ = 2A cos kz −ϕ

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ cos ωt +

ϕ

2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Schwingung, deren Amplitude periodisch vom Ort abhängt, genannt stehende Welle.

€

z =λ

4π2n +1( ) π + ϕ( )

Þ Schwingungsknoten (Amplitude = 0)

€

z =λ

4π2n π + ϕ( )

Þ Schwingungsbäuche (Amplitude max)

E1 WS14/15 85

Eindimensionale stehende Wellen

Gaub

Die Ausbreitung einer Welle kann durch Reflexion an Flächen, Brechung in Medien und Beugung an Hindernissen verändert werden.Diese Veränderungen lassen sich mit Hilfe des Huygensschen Prinzips verstehen.

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Huygenssches Prinzip:Jeder Punkt einer Phasenfläche ist Ausgangspunkt einer neuen Kugelwelle.

Gaub 86E1 WS14/15

Phasenebene einer ebenen Welle in z-RichtungElementarwellen von N Quellpunkten im Abstand δ

Beispiel:

€

z = z0

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

€

Q1, Q2, ... QN

In Richtung α gegen die Wellennormale k ist die Wegdifferenz benachbarter Elementarwellen:

€

Δs = δ sinα

Þ

€

Δϕ =2π

λΔs = k δ sinα

Gaub 87E1 WS14/15

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

Intensität:

Þ

€

I α( ) ∝ A α( )2

€

I α( ) ∝ a2

sin2 N

2Δϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin2 1

2Δϕ

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

€

= a2

sin2 N2

k δ sinα ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

sin2 12

k δ sinα ⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

Gaub 88E1 WS14/15

E1 WS14/15 89

Falls λ < δ treten p Maxima für alle Winkel auf, für die gilt:

Beugung, Reflexion und Brechung von Wellen

€

n

€

sin α n( ) = nλ

δ

€

n = 0, 1, 2, ... p <δ

λ

Gaub

Nach Fourier lässt sich eine beliebige Störung ξ, die sich in z-Richtung ausbreitet, darstellen als Superposition unendlich vieler harmonischer Wellen:

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

€

A ω( ) =1

2πξ t,z( ) e

−i ωt − kz( )dt−∞

∞

∫

Die Amplituden A(ω) ergeben sich durch inverse Fourier-Transformation:€

ξ t,z( ) = A ω( ) ei ωt − kz( )dω

−∞

∞

∫

Variiert die Phasengeschwindigkeit einer Welle mit der Wellenlänge, kommt es zur Dispersion: das Wellenpaket zerfließt.

€

vPh =ω

k=

ω

k0n ω( )

Wasser-Oberflächenwellen

Die Einhüllende bewegt sich mit der Gruppengeschwindigkeit

€

vG =Δω

Δk≈

dω

dk

Gaub 90E1 WS14/15

E1 WS14/15 91

Dispersion, Phasen- und Gruppengeschwindigkeit

1/vph1/vG

Gaub

E1 WS14/15 92

Skills count !

Gaub