Geoinformation II

Institut für Kartographie und GeoinformationProf. Dr. Lutz Plümer

Geoinformation IIVorlesung 6

SS 2000

Konstruktion der Voronoi-Diagramme II

Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6 Lutz Plümer - Geoinformation - 6. Semester - SS 2001 - Vorlesung 6

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Übersicht I

• Divide and Conquer: Merge• Konstruktion des Voronoi-Diagramms• „Merge“

• Extrempunkte von CH(P1) CH(P2)

• Tangente von CH(P1) CH(P2)

• Nochmals zur konvexen Hülle CH• Tangente• Nachfolger - Bestimmung• Nachfolger• Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen

Hüllen


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Übersicht II

• Extrempunkte

• 2 vertikal monotone Kantenzüge

• Tangente

• Bestimmung des Nachfolgers




• Konvexe Hülle


• Konvexe Hülle


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Übersicht III

• Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

• Vereinigung

• Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

• Länge des Kantenzuges im Worst Case

• Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case

• O(n) * O(n) = O(n2) ?

• „Investitionen müssen sich amortisieren“


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Divide and Conquer: Merge


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Konstruktion des Voronoi-Diagramms

„Divide and Conquer“• Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten

• Split: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2

• Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von VD(P1) und VD(P2)

• Merge: Verknüpfe VD(P1) und VD(P2)


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„Merge“

• Die Voronoi-Diagramme VD(P1) und VD(P2) sind bereits berechnet.

• Die konvexen Hüllen CH(P1) und CH(P2) seien ebenfalls an dieser Stelle bekannt.

1. Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte und die beiden oberen und unteren Tangenten von CH(P1) CH(P2)

2. Konstruiere CH(P1 P2)

3. Bilde die Mittelsenkrechten zu den beiden neu eingeführten Kanten

4. Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

5. Entferne die überstehenden Kanten

6. Bilde die neu entstandenen Voronoi-Regionen (Maschen)


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max y

min ymin y

max y

Extrempunkte von CH(P1) CH(P2)


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Tangente von CH(P1) CH(P2)


10 10

Nochmals zur konvexen Hülle CH

Was wissen wir über die „konvexe Hülle“ CH(P) einer Punktmenge P?

Die Extrempunkte sind die Knoten auf der Grenze von CH.

• Zu je zwei Punkten P1 und P2 ist die verbindende Kante ganz in CH enthalten.

• Der obere und der untere Extrempunkt zerlegen die Grenze von CH in zwei vertikal monotone Kantenzüge.

• Die Verbindungskante k zweier Punkte P1 und P2 aus P definiert eine Randkante von CH genau dann, wenn alle übrigen Punkte von P auf der gleichen Seite von k liegen.

• P2 ist genau dann Nachfolger von P1 auf dem Rand von CH, wenn der zugehörige polare Winkel von P2 minimal ist.


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Tangente


12 12

Nachfolger - Bestimmung

Winkel minimal

P1

P2


13 13

Nachfolger

Winkel minimal

P2

P1


14 14

Bestimmung der (oberen) Tangenten der konvexen Hüllen

• Bestimme die oberen und unteren Extrempunkte von CH(P1), CH(P2) und CH(P1) CH(P2)

• Betrachte die oberen Extrempunkte P1 und Q1 und die Nachfolger P2 und Q2 im Uhrzeigersinn, und sei P1 höher als Q1

• Bestimme das Minimum der mit P1P2, P1Q1 und P1Q2 assoziierten Winkel

• Fälle:– P1 Q1 ist minimal: Tangente gefunden, fertig

– P1 P2 minimal: ersetze P1 durch P2 und P2 durch P3 (wandere auf der linken konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)

– P1 Q2 minimal: ersetze Q1 durch Q2 und Q2 durch Q3 (wandere auf der rechten konvexen Hülle im Uhrzeigersinn)

• Der Fall der unteren Tangente ist symmetrisch


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Extrempunkte


16 16

2 vertikal monotone Kantenzüge


17 17

Tangente


18 18

Bestimmung des Nachfolgers

Winkel nicht minimal


19 19


Winkel minimal


20 20



21 21



22 22

Konvexe Hülle


23 23



24 24

Konvexe Hülle


25 25

Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten


26 26

Vereinigung

Mittelsenkrechte bilden


27 27

Vereinigung


28 28

Vereinigung

Aktive Voronoi-Diagramme

Schnittpunkte mit Seg-menten suchen


29 29

Vereinigung



Neues aktives VD


30 30

Vereinigung



Neues aktives VD

Mittelsenkrechte zuwischenden aktiven VD


31 31

Vereinigung

Schnittpunkte suchen


32 32

Vereinigung


Neues aktives VD suchen


33 33

Vereinigung




34 34

Vereinigung



Mittelsenkrechte deraktiven VD


35 35

Vereinigung



36 36

Vereinigung




37 37

Vereinigung





38 38

Vereinigung

Nächsten relevanten Schnittpunkte suchen



39 39

Vereinigung





40 40

Vereinigung




41 41

Vereinigung





42 42

Vereinigung




43 43

Vereinigung





44 44

Vereinigung




45 45

Vereinigung





46 46

Vereinigung




47 47

Vereinigung



Verknüpfung mit der Mittel-senkrechten vom Anfang


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Konstruiere den trennenden Kantenzug als Verbindung der beiden Mittelsenkrechten

• gegeben: die beiden oberen und unteren Mittelsenkrechten g und g*• die zugehörigen oberen Voronoi-Regionen seien P und Q• Solange die untere Mittelsenkrechte noch nicht erreicht ist

– Bestimme für die aktuelle Mittelsenkrechte

• die Austrittspunkte p und q aus den aktuellen Voronoi-Regionen,

• die zugehörigen Kanten

• die zugehörigen Nachbarn P‘ und Q‘

– wenn p höher ist als q

• ersetze P durch P‘ und schneide g an der Stelle p ab

– wenn q höher als p

• ersetze Q durch Q‘ und schneide g an der Stelle q ab

– bestimme die aktuelle Mittelsenkrechte g des neuen Paares P, Q


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O(n)

Länge des Kantenzuges im Worst Case


50 50

Größenordnung des Kanten-Umrings im worst case

O(n)


51 51

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

war jetzt alles umsonst?


52 52

O(n) * O(n) = O(n2) ?

Voronoi-Regionen sind konvex

Kantenzug ist monoton

Keine Kante öfter als zwei mal anfassen!


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„Investitionen müssen sich amortisieren“

• Ziel: keine Kante mehr als zwei mal „anfassen“• Es gibt insgesamt höchstens 3* n – 6 Kanten O(n)• Konvexität der Voronoi-Regionen höchstens

zwei Schnittpunkte mit der aktiven Halbgeraden• Es genügt, die linken (grünen) Kantenumringe im

Uhrzeigersinn und die rechten (roten) Kantenumringe gegen den Uhrzeigersinn zu durchlaufen und den zuletzt gefundenen und verworfenen Schnittpunkt als Haltepunkt zu merken!

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