Geometrie Formelsammlung A4 Deutsch

GeometrieGeometrieGeometrieGeometrie

Formelsammlung

__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Lloyd Beeler


__________________________________________________________________________ 28.05.2007 Seite 1 Lloyd Beeler

Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis ................................................................................................................................. 1 Vorwort ................................................................................................................................................... 3 Winkel ..................................................................................................................................................... 4

Allgemein ............................................................................................................................................. 4 Einheiten .............................................................................................................................................. 4

Altgrad ............................................................................................................................................................. 4 Neugrad........................................................................................................................................................... 4 Bogenmass...................................................................................................................................................... 4

Dreieck.................................................................................................................................................... 5 Allgemeines Dreieck ............................................................................................................................ 5

Winkel.............................................................................................................................................................. 5 Seitenhalbierende............................................................................................................................................ 5 Mittelsenkrechte .............................................................................................................................................. 5 Winkelhalbierende ........................................................................................................................................... 5 Umkreis/Inkreis................................................................................................................................................ 5 Ähnlichkeit ....................................................................................................................................................... 6 Strecken- Umfang- Flächenverhältnisse.......................................................................................................... 6

Rechtwinkliges Dreieck........................................................................................................................ 6 Pythagoras ...................................................................................................................................................... 6 Euklid Kathetensatz......................................................................................................................................... 6 Euklid Höhensatz............................................................................................................................................. 6 Thaleskreis ...................................................................................................................................................... 6 Ähnlichkeit ....................................................................................................................................................... 6

Gleichschenkliges Dreieck................................................................................................................... 7 Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck............................................................................................... 7 Gleichseitiges Dreieck ......................................................................................................................... 7

Umkreis/Innkreis.............................................................................................................................................. 7 Viereck.................................................................................................................................................... 8

Quadrat ................................................................................................................................................ 8 Rechteck .............................................................................................................................................. 8 Rhombus.............................................................................................................................................. 8 Rhomboid............................................................................................................................................. 8 Trapez.................................................................................................................................................. 9 Sehnenviereck ..................................................................................................................................... 9 Tangentenviereck ................................................................................................................................ 9

Kreis...................................................................................................................................................... 10 Berechnung am Kreis ........................................................................................................................ 10 Winkel am Kreis ................................................................................................................................. 10 Ähnlichkeit am Kreis .......................................................................................................................... 10

Der Sehnensatz............................................................................................................................................. 10 Der Sekantensatz .......................................................................................................................................... 10 Der Sekanten-Tangentensatz........................................................................................................................ 11

Ähnlichkeit ........................................................................................................................................... 12 Streckenteilung .................................................................................................................................. 12

Innere Teilung................................................................................................................................................ 12 Äussere Teilung............................................................................................................................................. 12 Harmonische Teilung..................................................................................................................................... 12

Winkelhalbierende ............................................................................................................................. 12 Innenwinkelhalbierende................................................................................................................................. 12 Aussenwinkelhalbierende.............................................................................................................................. 12

Strahlensätze ..................................................................................................................................... 13 Erster Strahlensatz ........................................................................................................................................ 13 Zweiter Strahlensatz...................................................................................................................................... 13 Dritter Strahlensatz........................................................................................................................................ 13

Mittelwerte.......................................................................................................................................... 13 Arithmetisches Mittel ..................................................................................................................................... 13 Geometrisches Mittel ..................................................................................................................................... 13 Harmonisches Mittel ...................................................................................................................................... 13



Stereometrie......................................................................................................................................... 14 Prisma................................................................................................................................................ 14 Zylinder .............................................................................................................................................. 14 Pyramide............................................................................................................................................ 14 Kegel .................................................................................................................................................. 14 Kugel .................................................................................................................................................. 14 Rotationskörper.................................................................................................................................. 15

Grundsätzlich:................................................................................................................................................ 15 Kreisquerschnitt:............................................................................................................................................ 15 Dreieckquerschnitt:........................................................................................................................................ 15

Trigonometrie ...................................................................................................................................... 16 Sinus .................................................................................................................................................. 16 Cosinus .............................................................................................................................................. 16 Tangens ............................................................................................................................................. 16 Zusammenhänge ............................................................................................................................... 16 Sinussatz............................................................................................................................................ 16 Cosinussatz ....................................................................................................................................... 16

Vektoren ............................................................................................................................................... 17 Komponentendarstellung................................................................................................................... 17

Zwei Dimensional: ......................................................................................................................................... 17 Drei Dimensional: .......................................................................................................................................... 17

Komponenten Addition:...................................................................................................................... 17 Komponenten Subtraktion: ................................................................................................................ 17 Komponenten Multiplikation:.............................................................................................................. 18 Komponenten Zerlegung ................................................................................................................... 18 Skalarprodukt..................................................................................................................................... 18



Vorwort



β

β α α

α’

β γ δ

γ’

α

δ’

β’

α

r

b

Winkel

Allgemein

Nebenwinkel α + β = 180° Scheitelwinkel α = α Stufenwinkel α = αl; β = βl; γ = γl; δ = δl Wechselwinkel α = γl; β = δl; γ = αl; δ = βl Supplementwinkel 2 Winkel ergänzen sich auf 180° Komplementwinkel 2 Winkel ergänzen sich auf 90°

Einheiten

Altgrad

Taschenrechner “DEG“ Vollwinkel: 360° 1° = 60l = 3600ll

Neugrad

Taschenrechner “GRAD“ Vollwinkel: 400°

Bogenmass

Taschenrechner “RAD“ Vollwinkel: 2π

°

⋅⋅=

360

απ2rb

°

⋅==

360

απ2

r

bBogenmass



β α α’

γ γ’

β’

α

α’

Dreieck

Allgemeines Dreieck

2

hc

2

hb

2

haA cba ⋅

=⋅

=⋅

= A Fläche [m2]

2

)α(Sincb

2

)γ(Sinba

2

)β(SincaA

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

sρA ⋅= ρ Inkreisradius [m]

)cs)(bs)(as(sA −−−=

2cba

s++

= s halber Umfang [m]

Winkel

Innenwinkelsumme α + β + γ = 180° Aussenwinkelsumme α’ + β’ + γ’ = 360° Beziehungen Innen – α + β = γ’ und Aussenwinkel α + γ = β’ β + γ = α’

Seitenhalbierende

Seitenhalbierende = Schwerlinie sa verläuft vom Punkt A zur Mitte der Seite a Der Schnittpunkt aller Schwerlinien teilt sie im Verhältnis 1:2 Die Schwerlinie halbiert die Fläche des Dreiecks

Mittelsenkrechte

Der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten ist das Zentrum des Umkreises ρ

Winkelhalbierende

wa verläuft vom Punkt A aus und halbiert den Winkel α Der Schnittpunkt aller Winkelhalbierenden ist das Zentrum des Inkreises ρ

Umkreis/Inkreis

A4cba

r⋅⋅

= r Umkreisradius [m]

γSin

c

βSin

b

αSin

ar2 === ρ Inkreisradius [m]

s

Aρ = s halber Umfang [m]



c a

b

hc

A

B

C

p

q

al

a cl

c

b

bl

Al

A

Ähnlichkeit

Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis der drei Seiten übereinstimmen. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel übereinstimmen. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis zweier Seiten und dem der grösseren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen. Dreiecke sind ähnlich, wenn sie in zwei Winkel übereinstimmen.

Strecken- Umfang- Flächenverhältnisse

c

c

b

b

a

ak

lll

===

UU

kl

=

A

Ak

l

=

Rechtwinkliges Dreieck

Pythagoras

222 bac += a Kathete [m]

b Kathete [m] c Hypotenuse [m]

Euklid Kathetensatz

cpa 2

⋅= p Hypotenusenabschnitt [m]

cqb 2⋅= q Hypotenusenabschnitt [m]

h Höhe [m]

Euklid Höhensatz

qph 2

c ⋅=

Thaleskreis

2

crsC == s Seitenhalbierende [m]

r Umkreisradius [m]

Ähnlichkeit

Die Hypotenusenhöhe des rechtwinkligen Dreiecks teilt dieses in zwei Dreiecke, die untereinander und zum Ausgangsdreieck ähnlich sind.



a

c a

a

a a h

60° 60°

hc

a a

c

Gleichschenkliges Dreieck

22 ca44c

A −⋅⋅=

22

c ca42

1h −⋅⋅=

Gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck

4c

2a

A22

==

2ac ⋅=

2

ca =

2

chC =

Gleichseitiges Dreieck

4

3a

2

haA

2⋅

=⋅

=

32

ah ⋅=

3

h2a ⋅=

Schwerlinien = Mittelsenkrechten = Höhen = Winkelhalbierenden

Umkreis/Innkreis

33

ar ⋅= r Umkreisradius [m]

36

aρ ⋅= ρ Inkreisradius [m]



a

a e f

A B

D C

a

b e f

C

B

D

A

a

a f

e h

B A

C D

a

a f

e

ha

A B

C D

Viereck

Quadrat

A = a2 A Fläche [m2]

A = 2

fe ⋅ U Umfang [m]

r Umkreisradius [m] U = 4 · a ρ Inkreisradius [m]

e = f = 2a ⋅

r = 2

e

ρ = 2

a

Rechteck

A = a · b U = 2 · (a + b)

e = f = 22 ba +

r = 2

e

Rhombus

A = a · h

A = 2

fe ⋅

U = 4 · a

ρ = 2

h

Rhomboid

A = a · ha A = b · hb U = 2 · (a + b)



a

b

c

d f

e h

m

A B

C D

α

β

γ

δ

ε ζ

A

C

D

a

b

B

c

d

ρ

ρ

ρ

ρ

Trapez

A = m · h A Fläche [m2] U Umfang [m] U = a + b + c + d

m = 2

ca +

Sehnenviereck

ε = 2 · β ζ = 2 · δ α + γ = 180° β + δ = 180°

( )( )( )( )dscsbsasA −−−−=

Tangentenviereck

a + c = b + d ρ Inkreisradius [m] A = ρ · (a + c) A = ρ · (b + d)

A = ρ · 2

U



r

AS

b

α

β

γ

M

A B

r

α

δ β

γ

C

M A

D B

P

r

α

δ

β

γ C

M

A

D

B r

P ε

Kreis

Berechnung am Kreis

πr2U ⋅= U Umfang [m] r Radius [m]

πrA 2⋅= A Fläche [m2]

b Kreisbogen [m]

°⋅⋅=360

απr2b α Sektorwinkel [°]

AS Kreissektor [m2]

°⋅⋅=360

απrA 2

S

2

rbA S

⋅=

Winkel am Kreis

21 ββ = β Peripheriewinkel [°]

γ Sehnentangentenwinkel [°]

21 ββγ == α Zentriwinkel [°]

21 β2β2α ⋅=⋅=

Ähnlichkeit am Kreis

Der Sehnensatz

δα = γβ =

PB

PD

PC

PA=

Dreieck ACP ~ Dreieck DBP

Der Sekantensatz

δα = γβ =

PB

PD

PC

PA=

Dreieck ACP ~ Dreieck DBP



α

β

γ M A

B

r

P

ε

C

Der Sekanten-Tangentensatz

γα =

PB

PC

PC

PA=

Dreieck ACP ~ Dreieck BCP



A B

m

C n

A B D

m n

A B D

m n

C n

A B

C

a b

u v

γ/2

γ/2

A B

C

a b

u v

γ/2

γ/2

Ähnlichkeit

Streckenteilung

Innere Teilung

x:)xAB(n:m −=

Äussere Teilung

x:)xAB(n:m +=

Harmonische Teilung

Innere- und Äussereteilung Im gleichen Verhältnis

Winkelhalbierende

Innenwinkelhalbierende

a : b = u : v

Aussenwinkelhalbierende

a : b = (u + v) : v



S

s2

s1

a

c d

b

S

s2

s1

a

c d

b

q p

S

s2

s1

a

c

d

b e

f

s3

s3

Strahlensätze

Erster Strahlensatz

a : b = c : d a : c = b : d

Zweiter Strahlensatz

a : p = (a + b) : q c : p = (c + d) : q

Dritter Strahlensatz

a : d = b : e = c : f a : b = d : e

Mittelwerte

Arithmetisches Mittel

2

bama

+=

Geometrisches Mittel

bamg ⋅=

Harmonisches Mittel

ba

ab2mh

+=



h

G

D

UG

UG

G s

k

S

h

UG

G

h

S

r

s

r M

G

D

h

UG

r

Stereometrie

Prisma

G = je nach Fläche G Grundfläche [m2] UG = je nach Fläche UG Umfang der Grundfläche [m] M = UG · h M Mantelfläche [m2] O = 2 · G + M O Oberfläche [m2] V = G · h V Volumen [m3] h Höhe [m] G = D D Deckfläche [m2]

Zylinder

G = r2 · π r Radius [m] UG = 2r · π M = 2r · π · h O = 2r2 · π + 2r · π · h V = r2 · π · h G = D

Pyramide

G = je nach Fläche UG = je nach Fläche M = ∑ aller Seitenflächen O = G + alle Seitenflächen

V = 3

1· G · h

Kegel

G = r2 · π UG = 2r · π M = r · π · s O = r2 · π + r · π · s

V = 3

1· r2 · π · h

Kugel

O = 4r2 · π

V = 3

4· r3 · π



R ML SL

QA

R r SL ML

QA

R

a

c b

d

Rotationskörper

Grundsätzlich:

M = ML · SL M Mantelfläche [m2] ML Mantellinie [m] V = QA · SL V Volumen [m3] SL Schwerpunktlinie [m] QA Querschnittfläche [m2]

Kreisquerschnitt:

M = 2r · π · 2(R + r) · π V = r2 · π · 2(R + r) · π

Dreieckquerschnitt:

M = a · 2(2

a+ r) · π + b · 2r · π + c · 2(

2

a+ r) · π

V = 2

ba ⋅· 2(r + d) · π



α

Gegenkathete

Ankathete

Hypotenuse

90°

a

β

α c

b

γ

a

β

α c

b

γ

a

β

α c

b

γ

Trigonometrie

Sinus

Sin (α) = Hypotenuse

teGegenkathe

Cosinus

Cos (α) = Hypotenuse

Ankathete

Tangens

Tan (α) = Ankathete

teGegenkathe

Zusammenhänge

Sin2 (α) + Cos2 (α) = 1

Tan (α) = )α(Cos

)α(Sin

Sinussatz

)α(Sin

a =

)β(Sin

b =

)γ(Sin

c = 2r r Umkreisradius [m]

A Dreiecksfläche [m2]

A = )α(Sin2

)γ(Sin)β(Sina 2

⋅

⋅⋅

Cosinussatz

Cos (α) = bc2

acb 222−+

a = )αcos(bc2cb 22⋅−+



A

B

∆x

∆y

s1

s2

s3

s2l

s1l

s1

s2

s3

s2l

s1l

x 1s+

2s+ 3s+

Vektoren

Komponentendarstellung

Zwei Dimensional:

=

−

−=

y∆

x∆

yy

xxAB

AB

AB

Drei Dimensional:

=

−=

z∆

y∆

x∆

Z

y

x

z

y

x

AB

A

A

A

B

B

B

Komponenten Addition:

Summe zweier Vektoren ist der Vektor vom Anfang des ersten bis zum Ende des zweiten.

+

+=+=

2S1S

2S1S

213 yy

xxsss

Alle Vektoren in gleicher Richtung wie der gesuchte Vektor sind positiv.

321 sssx ++=

Komponenten Subtraktion:

Die Differenz zweier Vektoren ist der Vektor vom Ende des ersten bis zum Ende des zweiten.

−

−=−=

2S1S

2S1S

213 yy

xxsss



k+ k-

s2 s1 s1

x 1s−

2s− 3s−

3s

1s

1sx ⋅2s

2sy ⋅

α

b

a

Alle Vektoren in entgegengesetzter Richtung wie der gesuchte Vektor sind negativ.

321 sssx −−−=

Komponenten Multiplikation:

1s und 2s sind kollineare (parallele) Vektoren

⋅

⋅=⋅=

ky

kxkss

1

1

12 k Faktor [ ]

==

1

2

1

2

1

2

y

yx

x

s

sk

Komponenten Zerlegung

1s und 2s sind nicht kollineare (parallele) Vektoren

213 sysxs ⋅+⋅= 3s Linearkombination

Skalarprodukt

( )αosCbaba ⋅⋅=⋅

zzyyxx babababa ⋅+⋅+⋅=⋅

( ) zzyyxx bababaαosCba ⋅+⋅+⋅=⋅⋅

2

z

2

y

2

x

2

z

2

y

2

x

zzyyxx

bbbaaa

bababaaCosα

++⋅++

⋅+⋅+⋅=

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