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Geometrie max. Punkte: 36 Dauer: 60 Minuten

Geometria max. punti: 36 Durata: 60 minuti

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Einheitsprüfung / esame uniformato 2016 Fach / Materia: Geometrie – Geometria

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(erreichte Punkte / punti realizzati)

Der Lösungsweg ist vollständig anzugeben. Alle notwendigen Rechnungen und Konstruktionen sind auf dem Lösungsblatt durchzuführen. Probierlösungen und Lösungen ohne Herleitung ergeben keine Punkte. Die Konstruktionslinien müssen sichtbar sein. Konstruktionen können mit Bleistift durchgeführt werden. Die Lösungen sind mit Tinte oder Farbe hervorzuheben. Die Lösung ist hervorzuheben. Der Taschenrechner darf verwendet werden. Il procedimento di soluzione deve essere completo. Tutti i calcoli necessari e le costruzioni sono da eseguire sul foglio delle soluzioni. Tentativi di soluzione o soluzioni senza deduzioni non si valutano. Le linee di costruzione devono essere visibili. Le costruzioni possono essere eseguite a matita. Le soluzioni vanno evidenziate con la penna stilografica o con un colore. La soluzione va evidenziata. L’uso della calcolatrice tascabile è permesso.

Punkte punti

1) Konstruiere das Spiegelbild des Kreises k bei einer Achsenspiegelung. Konstruieren bedeutet, dass auf dem Lösungsweg nicht gemessen werden darf. Die Geraden g und g‘ sind parallel. Costruisci la figura immagine del cerchio k con una simmetria assiale. Costruire qui significa che il procedimento di soluzione non permette nessun tipo di misurazioni. Le rette g e g’ sono parallele.

3

g

g‘

k





Punkte punti

2) Ein Quader hat die Höhe 2 cm und die unten dargestellte Deckfläche. Un parallelepipedo ha un’altezza di 2 cm e la superficie base superiore (di copertura) qui sotto rappresentata. a) Vervollständige das Netz des Quaders in wahrer Grösse.

Disegna lo sviluppo del parallelepipedo in grandezza effettiva. .

b) Auf dem Quader ist ein Weg eingezeichnet. Zeichne diesen Weg in deinem Netz vollständig ein. Alle mit M bezeichneten Punkte sind Kantenmittelpunkte. Sul parallelepipedo è disegnato un percorso. Disegna in modo completo questo percorso nel tuo sviluppo. Ogni punto contrassegnato con M è un punto medio del rispettivo spigolo.

1

2

A B

C D

A B

C D

M

M

M





Punkte punti

3) Vierecke und ihre Achsensymmetrien Ergänze den “Stammbaum” der Vierecke mit den Namen der Vierecke (auf der gestrichelten Linie eintragen) und zeichne, wenn vorhanden, alle Symmetrieachsen ein. Quadrilateri e le loro simmetrie assiali Completa l’“albero genealogico“ dei quadrilateri scrivendo il nome dei quadrilateri (sulla linea tratteggiata) e disegna, qualora esistenti, ogni asse di simmetria assiale.

3





Punkte punti

4) Der abgebildete Würfelkörper besteht aus 11 Würfeln. Skizziere die drei Ansichten von vorne, von rechts und von oben und trage die fetten Strecken ein, die zeigen, dass zwei aneinanderstossende Flächen eine gemeinsame Kante bilden. Il solido formato da cubi qui raffigurato è composto da 11 cubi. Schizza le tre proiezioni, frontale, da destra e dall’alto e traccia in grassetto i segmenti che creano uno spigolo in comune tra due superfici.

Ansicht von vorne Ansicht von rechts Ansicht von oben proiezione frontale proiezione da destra proiezione dall‘alto

3





Punkte punti

5) Das Schwimmbecken eines Hallenbads hat einen rechteckigen Grundriss und ist 25 m lang. Die sechs Schwimmbahnen sind je 2.5 m breit. Insgesamt fasst das Becken 875‘000 Liter Wasser. La vasca di una piscina coperta ha una pianta rettangolare lunga 25 m. Le sei corsie sono larghe ognuna 2.5 m. Complessivamente la vasca contiene 875'000 litri di acqua. a) Wie hoch ist der durchschnittliche Wasserstand? Gib die Lösung exakt

an. Qual è l’altezza media del livello dell’acqua? Da’ la soluzione esatta. Fortsetzung auf der nächsten Seite! Continua sulla prossima pagina!

2





Punkte punti

b) Eine Schulklasse will wissen, um wieviel der Wasserstand ansteigen würde, wenn alle 22 Schüler der Klasse gleichzeitig vom Rand des Beckens vollständig ins Wasser eintauchen. Sie rechnen mit einem durchschnittlichen Volumen eines Schülers von 60 dm3. Um wieviel würde der Wasserstand ansteigen, wenn kein Wasser über den oberen Rand des Beckens schwappen würde? La classe di una scuola vorrebbe sapere di quanto si alzerebbe il livello dell’acqua, se tutti i 22 allievi si buttassero contemporaneamente in acqua. Essi calcolano con il volume medio di un allievo di 60 dm3. Di quanto si alzerebbe il livello dell’acqua, se non fuoriuscisse dal bordo superiore della vasca una sola goccia d’acqua?

1





Punkte punti

6) a) Vom Dreieck ABC wurde der Punkt A und die Richtung der Seite c

schon vorgegeben. Konstruiere beide Lösungen des Dreiecks ABC mit der Seite c = 7.1 cm, der Höhe hc = 3.4 cm und der Schwerlinie sc = 6 cm. Del triangolo ABC è dato il punto A e la direzione del lato c (vedi schizzo). Costruisci le due soluzioni del triangolo ABC con il lato c = 7.1 cm, l’altezza hc = 3.4 cm e la mediana sc = 6 cm.

b) Berechne den Flächeninhalt eines der beiden konstruierten Dreiecke. Calcola l’area di uno dei due triangoli appena costruiti.

c) Von einem Quadrat weiss man, dass es denselben Flächeninhalt wie eines der konstruierten Dreiecke hat. Berechne den Umfang des Quadrates. Gib die Lösung auf mm genau an. Di un quadrato si sa che ha la stessa area di uno dei due triangoli costruiti. Calcola il perimetro del quadrato. Dà la soluzione esatta in mm.

2

1

1

A c





Punkte punti

7) Von verschiedenen Vierecken kennt man einige Winkel. Berechne den fehlenden Winkel und trage eine passende Vierecksart ein, um die es sich bei diesem Viereck handeln kann. Di diversi quadrilateri si conoscono alcuni angoli. Calcola l’angolo mancante e scrivi di quale tipo di quadrilatero potrebbe trattarsi. a) = 73°, = = 107°, = …………….

Mögliche Art des Vierecks / Possibile tipo di quadrilatero: …………………………………………………………………

b) = 110°, = = 80°, = ……………… Mögliche Art des Vierecks / Possibile tipo di quadrilatero: ………………………………………………………………..

c) = 70°, = = 110°, = ………………. Mögliche Art des Vierecks / Possibile tipo di quadrilatero: ………………………………………………………………..

1

1

1





Punkte punti

8)

a) Eine Ameise krabbelt entlang der Wände einer quaderförmigen Schachtel mit den Massen a = 12 cm, b = 9 cm und c = 7 cm. Die einzelnen Strecken legt sie geradlinig zurück. Sie krabbelt von A nach M1 (Mittelpunkt der Kante), von dort nach G und schliesslich nach M0 (Schnittpunkt der Diagonalen). Berechne die Länge des Weges, den die Ameise zurücklegt. Una formica cammina lungo le pareti di una scatola rettangolare dalle seguenti misure a = 12 cm, b = 9 cm e c = 7 cm. La formica percorre i singoli tratti in modo diritto (senza andare a zig zag). La formica cammina da A a M1 (punto medio dello spigolo), da lì fino a G e infine verso M0 (punto d’intersezione delle diagonali). Calcola la lunghezza del percorso che fa la formica.

b) In einer anderen Schachtel (a = 10 cm, b = 12 cm) fliegt eine Fliege geradlinig von A nach M0. Dabei legt sie einen Weg von 12 cm zurück. Wie hoch ist die Schachtel? In un’altra scatola (a = 10 cm, b = 12 cm) una mosca vola diritta da A verso M0 facendo un volo di 12 cm. Quanto è alta la scatola?

2

2

a

b

c

A

M1

G

M0





Punkte punti

9) Gegeben sind die drei Ansichten einer Pyramide. Skizziere das Raumbild. Zeichne die sichtbaren Kanten mit einer durchgezogenen Linie und die unsichtbaren Kanten mit einer gestrichelten Linie. Date sono le tre facce di una piramide. Schizzane l’immagine tridimensionale. Disegna gli spigoli visibili con una linea continua e gli spigoli invisibili con una linea tratteggiata. von vorne / da davanti von rechts / da destra von oben / dall‘alto Zum Probieren / per provare

Definitive Lösung / soluzione definitiva

2





Punkte punti

10) Die Firma V-Mjölk hat Milchpackungen in Form eines Tetraeders. (Siehe Bild: Dabei sind alle Dreiecke der Figur gleichseitig und gleich gross). Die Milch wird dabei in einer speziellen Kunststoffverpackung abgefüllt. Wie gross ist die Oberfläche einer solchen Milchpackung? La ditta V-Mjölk ha delle confezioni da latte di forma tetraedrica. (Vedi foto: ogni triangolo della figura è equilatero e grande uguale). Il latte viene travasato in una speciale confezione di plastica. A quanto ammonta la superficie di una simile confezione da latte?

2

12 cm





Punkte punti

11) Bestimme die Winkel und . Die Winkel im Bild sind nicht in der wahren Grösse dargestellt.

Determina gli angoli e . Gli angoli sulla figura non sono rappresentati nella grandezza effettiva.

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M 70°





Punkte punti

12) Gegeben ist ein senkrechtes Prisma, dessen Grundfläche ein gleichschenkliges Trapez ist. Dato è un prisma verticale, la cui base inferiore è un trapezio. a) Berechne das Volumen des Prismas.

Calcola il volume del prisma.

b) Aus diesem Prisma wird ein Quader herausgeschnitten, dessen Volumen ein Drittel des Volumens des Prismas beträgt. Berechne die Höhe hQ des herausgeschnittenen Quaders. Da questo prisma viene ritagliato un parallelepipedo, il cui volume è di un terzo del volume del prisma. Calcola l’altezza hQ del parallelepipedo ritagliato. Fortsetzung auf der nächsten Seite! Continua sulla prossima pagina!

1

1

hQ

30 cm

50 cm

20 cm

12 cm





Punkte punti

c) Bestimme den Mantel des verbleibenden Körpers. Determina la superficie del mantello del solido rimanente.

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