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An initiative seeded by

English Beginner

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�यािमतीय तक�

गिणत

िव�याथी� काय�पुि�तका

An initiative seeded by

CLIx (2018)

The Connected Learning Initiative (CLIx) is a technology enabled initiative at scale for high school students. The initiative was seeded by Tata Trusts, Mumbai and is led by Tata Institute of Social Sciences, Mumbai and Massachusetts Institute of Technology, Cambridge, MA USA. CLIx offers a scalable and sustainable model of open education, to meet the educational needs of students and teachers. The initiative has won UNESCO’s prestigious 2017 King Hamad Bin Isa Al-Khalifa Prize, for the Use of Information and Communication Technology (ICT) in the �ield of Education.

CLIx incorporates thoughtful pedagogical design and leverages contemporary technology and online capabilities. Resources for students are in the areas of Mathematics, Sciences, Communicative English and Digital Literacy, designed to be interactive, foster collaboration and integrate values and 21st century skills. These are being offered to students of government secondary schools in Chhattisgarh, Mizoram, Rajasthan and Telangana in their regional languages and also released as Open Educational Resources (OERs).

Teacher Professional Development is available through professional communities of practice and the blended Post Graduate Certi�icate in Re�lective Teaching with ICT. Through research and collaborations, CLIx seeks to nurture a vibrant ecosystem of partnerships and innovation to improve schooling for underserved communities.

Collaborators:Centre for Education Research & Practice – Jaipur, Department of Education, Mizoram University – Aizawl, Eklavya – Bhopal, Homi Bhabha Centre for Science Education, TIFR – Mumbai, National Institute of Advanced Studies – Bengaluru, State Council of Educational Research and Training (SCERT) of Telangana – Hyderabad, Tata Class Edge – Mumbai, Inter-University Centre for Astronomy and Astrophysics – Pune, Govt. of Chhattisgarh, Govt. of Mizoram, Govt. of Rajasthan and Govt. of Telangana.

Any questions, suggestions or queries may be sent to us at:[email protected]

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TISS/CEI&AR/CLIx/SHb/M/GR/h/06Apr'18/03

गणित

ज्यामितीय तर्क

विध्यार्थी रयाय्कपुस्तिरया

यह पुस्तिरया संबंधित ह:ै

नयाि:...................................................................................................................

रक्या :................................................................................................................

अनुभयाग :...........................................................................................................

सूची

* इस रयायप्क�ितिरया िें रेिल �िहयािरर गमतविधि (ह�ैस-्ऑन) ियाले पयाठों (छयाययांरत) रो शयाििल वरयया गयया है

माॅड्ूल: ज्ािमतीय तर्क

Attributions

इराई 1: आरृित री अवधारणा पयाठ 1.1: आरृित क्या होती ह?ै. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

इराई 2: आरृितयों रा िवश्लेषण और वण्कन पयाठ 2.1: आरृितयों रया ििश्ेषि . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2* पयाठ 2.2: आरृितयों रया िि्कन

इराई 2: प्रमाणों री जरूरत रो समझना पयाठ 2.1: िध्मबंदु - पड़तयाल . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 पयाठ 2.2: रोिों रे योग रया गुििि्क . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 पयाठ 2.3: प्रियाि री आिश्यरतया . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 पयाठ 2.4: प्रियाि रया लेखन . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 पयाठ 2.5: सही और गलत िसद्ध ररनया . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

इराई 1: गुण-आधािरत तर्क -क्षमता पयाठ 1.1: विशशष्ट चतुभु्कजों रे बीच सम्बन्ध . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 पयाठ 1.2: सम्बन्धों रया िनरूपि . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14* पयाठ 1.3: पररभयाषयाओ ंपर चचया्क

इराई 3: आरृितयों रो पररभाषषत और वगगीरृत ररना* पयाठ 3.1: आरृितयों रया िगथीररि पयाठ 3.2: आरृितयों रो पररभयामषत ररनया . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 पयाठ 3.3: विशशष्ट चतुभु्कजों रो पररभयामषत ररनया . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 पयाठ 3.4: ििशशष्ट चतुभु्कजों री पररभयाषया . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

मौड्ूल षववरण

ज्ािमतीय तर्क भाग I

ज्ािमतीय तर्क भाग II

CLIx subject teamAmit DhakulkarArati BapatArindam BoseBindu ThirumalaiJayashree SubramanianJeenath RahamanRuchi S. KumarSaurabh KhannaSaurabh ThakurSayali ChougaleSuchismita SrinivasSumegh PaltiwaleVijay WaniShweta Naik (Consultant)

Academic mentorAaloka Kanhare K. Subramaniam

Academic supportArchana CorreaArnab Kumar RayJaya MahaleJayashree AnandSamir Dhurde Shikha TakkerTuba Khan

Copy editorsAparna Tulpule Venkatnarayanan Ganapathi

EditorsArindam BoseBindu ThirumalaiRuchi S. KumarSuchismita Srinivas

TranslatorsAmrit UpadhyayDilip TanwarDr. K. SharmaDr. Srinivas ChennuriHari MishraJitender KumarPramod PathakPraveen Allamsetti Ravi Kant

Production teamDhammaratna Jawale Jaya MahaleJayashree AnandSheetal Suresh

Video development supportGitanjali Somanathan Manoj BhandareShiva Thorat

Voice overArindam BoseRuchi S. KumarSaurabh ThakurSuchismita Srinivas

Platform developmentBrandon MuramatsuCole ShawHarshit AgarwalJeff MerrimanKathleen McMahonKedar AitawdekarKeerthi K.R.DKirky DeLongMrunal NachankarNagarjuna G.Padmini SampathPrachi BhatiaRachana KatkamRamjee SwaminathanSadaqat MullaSatej ShendeSumegh Paltiwale Saurabh Bharswadkar

Tool developmentAshwin NagappaKedar AitawdekarMrunal NachankarPrachi BhatiaRachana KatkamSadaqat MullaSaurabh BharswadkarTanvi DomadiaTejas Shah

Platform content authoring Ashirwad WakadeRajiv SambariRoshan GajbhiyeSaurabh ThakurSumegh PaltiwaleVijay Wani

Publication teamRachna Ramesh KumarSunita Badrinarayan Usha Iyengar

Cover design and formattingRamesh Khade

Special ThanksTo the students and teachers of all the schools where we piloted our modules.To all the teachers, copyeditors and Rajasthan and Telangana team for their time and effort in the revalidation of content

Platform designAditya Dipankar

ज्ाममतीय तर्क मौड्ूल

ज्यामितीय तर्क िौड्यूल (भयाग I और II) रो रक्या 8 और 9 रे छयात्ों िें तर्क ररने री क्ितया रे विरयास रे शलये बनयायया गयया ह।ै इन िौड्यूलों िें रुल 5 इरयाइययां हैं जो वर आरृमतयों रे गुिििमों रे आियार पर द्विवििीय आरृमतयों री सिझ, विश्ेषि ररने री क्ितया, आत्मविश्यास रे सयार् चचया्क, तर्क - वितर्क ररने िें छयात्ों री सहयायतया ररगेया। यह िौड्यूल विमभन्न चतुभु्कजों रे गुिों रे आियार पर उनरी पररभयाषयाएं बनयाने िें भी छयात्ों री िदद ररगेया। ज्यामितीय तर्क भयाग I से आगे बढ़ते हुए भयाग II िें छयात्, विशशष्ट चतुभु्कजों रे िध् सम्बन्धों रो और गणित िें ससद्ध ररने री आिश्यरतया रो सिझ पयाएंगे। िौड्यूल िें पुशलसक्याड नयािर वडशजटल खेल रो इस प्ररयार बनयायया गयया ह ैवर खेलते हुए छयात् आरृमतयों रे गुिििमों रे बयार ेिें गहरयाई से सोच सरें गे। लोगो टट्कल और शजयोजेब्या िुफ्त, िुक्त श्ोत सॉफ्टिेयर हैं जो छयात्ों रो रई अिियारियाओ,ं गुिों और प्रिेयों री जयाँच रे शलये विजुअल (दृश्य) अनुभि प्रदयान ररते हैं।

िौड्यूल िें वडशजटल और हैंड्स- ऑन (प्रयायोमगर) दोनों प्ररयार री गमतविधिययाँ हैं और द्निया्कियात्मर ियूलयांरन इस रोस्क रया अमभन्न अंग ह।ै वडशजटल प्ेटफयाि्क पर हर िौड्यूल री शुरुआत और अन्त िें पयूि्क ियूलयांरन और पयाठोपरयान्त ियूलयांरन हैं। इस रोस्क रो ित्कियान रयाज् और एन.सी.ई.आर.टी. पयाठ्यक्रिों रे अनुरूप तैययार वरयया गयया ह ैऔर गमतविधिययाँ छयात्ों री सोच और तर्क क्ितयाओ ंरे विरयास पर रें द्रित हैं। गणित िॉड्यूल सि्कर आियाररत िॉडल रया उपयोग ररते हुए विद्यालयों रे रंप्यूटर प्रयोगशयालयाओ ंिें स्यामपत वरयया जयाएगया।

इस पुस्तिरा रा उपयोग रैसले रर?े

इस पुस्तिरया िें िॉड्यूल री रुछ गमतविधिययां हैं जो हैंड्स-ऑन (रक्या चचया्कओ ंपर आियाररत) हैं और इनरया उपयोग क्लिक्स प्ेटफयाि्क पर उपस्स्त अन्य सयािमरियों रे सयार् ररें। इन हैंड्स-ऑन गमतविधियों और रयाय्कपत्रों री िदद से ज्यामितीय आरृमतयों री सिझ रो सिेवरत ररने िें िदद मिलेगी और इनरया प्रयोग वडशजटल गमतविधियों रे सयार् एर उधचत अनुक्रि िें वरयया जयानया चयावहए। छयात् इस रयाय्कपुस्तिरया िें द्दए गए स्यान िें यया उनरे नोटबुर िें सिस्याएं हल रर सरते हैं और अपने शशक्रों और सयाधर्यों रे सयार् उस पर चचया्क रर सरते हैं।

क्लिक्स प्ेटफॉि्क एर वडशजटल प्ेटफॉि्क ह ैजो वडशजटल और रयाय्कपुस्तिरया दोनों िें िौजयूद विषयितिु रया उपयोग ररतया ह।ै प्ेटफयाि्क िें नोटबुर, चचया्क और गैलरी जैसी सुविियाएं हैं, जहयां छयात् क्रिशः प्रमतवक्रययाएं, टटप्पणिययां दे सरते हैं और अपनया रयाि अपलोड रर सरते हैं।

मौड्ूल षववरण

ज्यािितीय तर्क भयाग I

1

इराई 1: आरृित री अवधारणा

अपने सियूह िें रयाि ररें। आपरो रुछ (इतिेियाल री जया चुरी) ियािचस री तीिलयों और सयािइरल िॉल्व ट्यूबों री जरूरत पडे़गी।

पाठ 1.1: आरृित क्ा है

गषतषवधध 1 – मािचस री तीिलयों सले आरृितयाँ बनाना

राय्क 1: ियािचस री तीिलयों और िॉल्व ट्यूबों रया उपयोग रररे एर मत्भुज, एर िग्क और एर पंचभुज बनयाएँ।

राय्क 2: िग्क रे सयार् (तयािलरया िें उल्लिखखत) ये वक्रययाएं ररें। अपने सियूह िें चचया्क ररें और देखें िर ऐसया ररने से आरृित बदलती ह ैयया नहीं।

क्रिया क्ा इससले आरृित बदलती है?

आपरो ऐसा क्ों लगता है?

1 आरृित रो फश्क/डेस्क पर सररयानया

2 आरृित रो फश्क/डेस्क पर घुियानया

3 आरृित रो फश्क/डेस्क पर पलटनया

4 आरृित रे आिने-सयािने रे शीषमों रो दबयानया

राय्क 3: पंचरोि रे आिने-सयािने रे शीषमों रो दबयारर देखें। क्या उसरी आरृित बदलती ह?ै अब यही वक्रयया मत्भुज रे सयार् ररें। क्या उसरी आरृित बदलती ह?ै

िवतिािरत राय्क 1: पंचभुज रो ििरृत रररे/िरोड़रर, िजतनी हो सरे अलग-अलग आरृितययाँ बनयाने रया प्रययास ररें (जोड़ों रो तोडे़ यया खोले िबनया)। खयासतौर पर, ये बनयाने रया प्रययास ररें• एर मत्भुज, िजसरी िसफ्क दो भुजयाएँ बरयाबर हों• चयार भुजयाओ ंियालया बहुभुज• िसतयार ेरी आरृित

िवतिािरत राय्क 2: एर ऐसया मत्भुज बनयाने रया प्रययास ररें, िजसरी तीनों भुजयाओ ंरी लंबयाई अलग-अलग हो। इस रयाय्क रे िलए रि-से-रि िरतनी ियािचस री तीिलयों री जरूरत पडे़गी?

2

इराई 2: आरृितयों रा िवश्लेषण और वण्कन

पाठ 2.1: आरृितयों रा िवश्लेषण

गषतषवधध 1 – आरृितयों रो छाँटना

द्नम्नशलखखत रयायमों रो अरेले पयूरया ररें और िफर इसरी चचया्क अपने सियूह रे सयार् ररें।

राय्क 2: नीचे िदए गए प्रत्ेर सेट िें िौजयूद दो आरृितयों रया अिलोरन ररें। उन दोनों िें नजर आने ियाली ज़यादया-से-ज़यादया सियानतयाएँ यया असयािनतयाएँ िलखें। पहले सेट रे िलए एर उदयाहरि िदयया गयया ह।ै

समूह समानता असमानता

1) दोनों िें िसफ्क 4 भुजयाएँ हैं2) दोनों िें दो जोड़ी सियानयांतर भुजयाएँ हैं

1) पहली आरृित िें 4 सि रोि हैं जमबर दयूसरीआरृित िें नहीं हैं।

राय्क 1: इनिें से प्रत्ेर आरृित रे बयार ेिें (यया उसरे गुिों रे बयार ेिें) 1 से 2 पंस्क्तयया िलखें।

इस पयाठ िें, छयात् प्ेटफयाि्क पर “पुललसक्ाड” – मिशन 1 वडशजटल खेल खेलते हैं। खेल रया यह मिशन गुििि्क आियाररत तर्क ियाले रयायमों री िदद से छयात्ों री आरृमतयों री सिझ रो विरससत ररतया ह|ै

3

राय्क 3: नीचे दी गई आरृितयों रे संरिह पर नजर डयालें। उनरे गुिों रे आियार पर, िजतने हो सरें , उतने अलग-अलग तरीरों से छयाँटरर दो-दो सियूहों िें रखें। तयािलरया िें एर उदयाहरि िदयया गयया ह।ै

गुण इन आरृितयों में हैं इन आरृितयों में नहीं हैं

इसिें ससफ्क 4 सरल भुजयाएँ हैं 2, 4, 5, 6, 7, 8, 1, 3, 9, 10

अषतररक्त राय्क 1: 3 ऐसी अलग-अलग आरृितययाँ बनयाएँ, िजनरे गुि इस प्ररयार हों ‘सभी भुजयाएँ बरयाबर’। आपने जो आरृितययाँ बनयाई हैं, उनिें सियानतया नजर आने रया एर रयारि यह भी ह ैिर उनरी ‘सभी भुजयाएँ बरयाबर’ हैं। उनरे बीच एर अंतर रौन-सया ह?ै

अषतररक्त राय्क 2: एर ऐसी आरृित बनयाएँ, िजसिें ये दोनों गुि हों: i) रेिल 5 भुजयाएँ ii) रेिल 2 सि रोि

अषतररक्त राय्क 3: एर ऐसी आरृित बनयाएँ, िजसिें ये सभी गुि हों: i) रेिल 4 भुजयाएँ ii) रेिल 2 सि रोि iii) रेिल 1 जोड़ी सियानयांतर भुजयाएँ

गषतषवधध 2: पुललसक्ाड ममशन 1

रृपयया CLIx प्लेटफाम्क पर इस गमतविधि रो देखे।

रृपयया CLIx प्लेटफाम्क पर इस पयाठ रो देखे।

इस पयाठ िें, छयात् “पुललसक्ाड” – मिशन 2 खेलते हैं शजसिें वििरि आियाररत रयायमों री सहयायतया से आरृमतयों री गुििि्क आियाररत सिझ रो पुख्या ररने िें छयात्ों रो िदद मिलती ह|ै यह मिशन रिनीमतर सोच रो भी विरससत ररतया ह|ै

पाठ 2.2: आरृितयों रा वण्कन

4

इराई 3: आरृितयों रा वगगीररण और पररभाषा

पाठ 3.2: आरृितयों री पररभाषा

गषतषवधध 1 – चतुभु्कज क्ा होता है?

द्नम्नशलखखत रयाय्क �स्क्तगत रूप से ररें और िफर अपने सियूह से इस पर चचया्क ररें।

राय्क 1: आरृितयों रे सियूह पर नजर डयालें और उन्ें उनरे गुिों रे आियार पर दो सियूहों िें छयाँटें– ‘चतुभु्कज ह’ै और ‘चतुभु्कज नहीं ह’ै।

अब, नीचे दी गई तयािलरया भरें।

यले चतुभु्कज हैं यले चतुभु्कज नहीं हैं

प्रत्ेर आरृित रे िलए, इस पर चचया्क ररें िर आपरे ििचयार से िह चतुभु्कज ह ैयया नहीं। अब द्नम्नशलखखत रो पयूरया ररें:िेर ेििचयार से एर चतुभु्कज

पाठ 3.1: आरृितयों रा वगगीररण


इस पयाठ िें, छयात् “पुललसक्ाड” – मिशन 3 खेलते हैं। यह मिशन छत्ों रो गुििि्क आियाररत िगथीररि, तर्क और अनौपचयाररर द्नगिन रयायमों रया अनुभि प्रदयान ररतया ह।ै

5

पाठ 3.3: षवशशष्ट चतुभु्कजों री पररभाषा

गषतषवधध 2 – षविशष्ट चतुभु्कजों रा अन्लेषण


राय्क 1: आरृितयों रे सियूह पर नजर डयालें और उन्ें ‘सियांतर चतुभु्कज ह’ै और ‘सियांतर चतुभु्कज नहीं’ रे रूप िें छयाँटें। तयािलरया भरें।

यले समांतर चतुभु्कज हैं यले समांतर चतुभु्कज नहीं हैं

जो आरृितययाँ सियांतर चतुभु्कज नहीं हैं, उनरे संबंि िें यह सिझयाएँ िर िे सियांतर चतुभु्कज क्ों नहीं हैं?

िेर ेििचयार से एर सियांतर चतुभु्कज

गषतषवधध 1: आयतों रा क्नमा्कण


इस पयाठ िें, छयात् “टट्कल लोगो” रे इतिेियाल से विशशष्ट चतुभु्कजों री रचनया, उनरी पहचयान और पररभयामषत ररते हैं|

6

राय्क 2: आरृितयों रे सियूह पर नजर डयालें और उन्ें ‘आयत ह’ै और ‘आयत नहीं’ रे रूप िें छयाँटें। तयािलरया भरें।

यले आयत हैं यले आयत नहीं हैं

इसरे आियार पर आयत री पररभयाषया िलखें।

िेर ेििचयार से एर आयत

7

राय्क 3: आरृितयों रे सियूह पर नजर डयालें और उन्ें ‘सिचतुभु्कज ह’ै और ‘सिचतुभु्कज नहीं’रे रूप िें छयाँटें।

अब तयािलरया भरें।

यले समचतुभु्कज हैं यले समचतुभु्कज नहीं हैं

इसरे आियार पर सिचतुभु्कज री पररभयाषया िलखें।

िेर ेििचयार से एर सिचतुभु्कज

8

राय्क 4: आरृितयों रे सियूह पर नजर डयालें और उन्ें ‘िग्क ह’ै और ‘िग्क नहीं’ रे रूप िें छयाँटें।

यले वग्क हैं यले वग्क नहीं हैं

इसरे आियार पर, िग्क री पररभयाषया िलखें।

िेर ेििचयार से एर िग्क

पाठ 3.4 : षवशशष्ट चतुभु्कजों रले गुण

गषतषवधध 1– गुणों री सूिचयाँ बनाना


राय्क 1 a: यहयाँ सियांतर चतुभु्कज रे रुछ उदयाहरि िदए गए हैं।डॉट पेपर पर सियांतर चतुभु्कज रे दो और उदयाहरि बनयाईये। (ध्यान रह ेिर आपरे सियांतर चतुभु्कज पहले से िदए गए सियांतर चतुभु्कजों से अलग हों!)

9

b. यह बतयाईये िर ये सियांतर चतुभु्कज एर-दयूसर ेसे िरस तरह अलग हैं?

राय्क 2: रयाय्क 1 िें िदए सियांतर चतुभु्कजों पर नजर डयालें और उन सभी गुिों री एर सयूची बनयाईये, िजनरे बयार ेिें आप जयानते हैं।ध्यान रह ेिर ये गुि सभी उदयाहरिों रे िलए एर सियान होने चयािहए.

भुजा रले गुण रोण रले गुण षवरण्क रले गुण

समांतर चतुभु्कज रले गुण

राय्क 3 a: यहयाँ आयतों रे रुछ उदयाहरि िदए गए हैं।डॉट पेपर पर आयत रे दो और उदयाहरि बनयाईये। (ध्यान रह ेिर आपरे आयत पहले से िदए गए आयतों से अलग हो।)

b. यह बतयाएँ िर ये आयत एर-दयूसर ेसे िरस तरह अलग हैं।

10

राय्क 4: रयाय्क 3 िें िदए आयतों पर नजर डयालें और उन सभी गुिों री एर सयूची बनयाएँ, िजनरे बयार ेिें आप जयानते हैं।ध्यान रह ेिर ये गुि सभी उदयाहरिों रे िलए एर सियान होने चयािहए!


आयत रले गुण

राय्क 5 a: यहयाँ सिचतुभु्कजों रे रुछ उदयाहरि िदए गए हैं। डॉट पेपर पर सिचतुभु्कज रे दो और उदयाहरि बनयाइये। (ध्यान रह ेिर आपरे सिचतुभु्कज पहले से िदए गए सिचतुभु्कजों से अलग हों!)

b. यह बतयाएँ िर ये सिचतुभु्कज एर-दयूसर ेसे िरस तरह अलग हैं?

11

राय्क 6: रयाय्क 5 िें िदए सिचतुभु्कज पर नजर डयालें और उन सभी गुिों री एर सयूची बनयाएँ, िजनरे बयार ेिें आप जयानते हैं।ध्यान रह ेिर ये गुि सभी उदयाहरिों रे िलए एर सियान होने चयािहए!


समचतुभु्कज रले गुण

राय्क 7 a: यहयाँ िगमों रे रुछ उदयाहरि िदए गए हैं।डॉट पेपर पर िग्क रे दो और उदयाहरि बनयाइये (ध्यान रह ेिर आपरे िग्क पहले से िदए गए िगमों से अलग हों!)

b. यह बतयाएँ िर ये िग्क एर-दयूसर ेसे िरस तरह अलग हैं?

12

राय्क 8: रयाय्क 7 िें िदए िगमों पर नजर डयालें और उन सभी गुिों री एर सयूची बनयाएँ, िजनरे बयार ेिें आप जयानते हैं।ध्यान रह ेिर ये गुि सभी उदयाहरिों रे िलए एर सियान होने चयािहए!

भुजा रले गुण रोण रले गुण िवरण्क रले गुण

वग्क रले गुण

ज्यािितीय तर्क भयाग II

13

इराई 1: गुण-आधािरत तर्क -क्षमता

पाठ 1.1: षवशशष्ट चतुभु्कजों रा आपसी संबंध

गषतषवधध 2– गुणों री तािलरा बनाना

द्नम्नशलखखत रयाय्क �स्क्तगत रूप से ररें और िफर इस पर अपने सियूह रे सयार् चचया्क ररें।

राय्क 1: नीचे दी गई गुिों री तयािलरया पढ़ें। ययद िरसी आरृित िें द्दयया गयया गुि ह,ै तो खयाने िें सही ( ) रया िनशयान लगयाएँ। ययद िह गुि नहीं ह,ै तो खयानया खयाली छोड़ दें। पहली पंस्क्त आपरे िलए हल री गई ह।ै

गुण वग्क आयत समांतर चतुभु्कज समचतुभु्कज

1 एर बंद आरृित, जो रेिल 4 रखेयाओ ंसे ििलरर बनी है

2 सम्ुख भुजयाओ ंरी लंबयाई बरयाबर है

3 सम्ुख भुझयाएँ सियानयांतर है

4 सम्ुख रोि सियान हैं

5 ििरि्क एर-दयूसर ेरो सिद्ििभयािजत ररते हैं

6 सभी रोि सिरोि हैं/बरयाबर हैं

7आसन्न रोि बरयाबर हैं

8ििरिमों री लंबयाई बरयाबर है

9आसन्न भुजयाओ ंरी लंबयाई बरयाबर है

10 सभी 4 भुजयाओ ंरी लंबयाई बरयाबर है

11 ििरि्क एर-दयूसर ेरे लम्बित हैं

गषतषवधध 1: पोलीस स्काड ममशन 4


इस पयाठ िें, छयात् “पुललसक्ाड” – मिशन 4 खेलते हैं| इस मिशन रया उदे्श्य सियान्तर चतुभु्कज, सिचतुभु्कज, आयत और िग्क सिुच्चयों िें पदयानुक्रमिर सम्बन्धों पर चचया्क री शुरुआत ररनया ह|ै

14

पाठ 1.2: संबंधों रा िनरूपण

गषतषवधध 1– संबंधों रा िनरूपण 1

द्नम्नशलखखत रयाय्क �स्क्तगत रूप से ररें और िफर इस पर अपने सियूह रे सयार् चचया्क ररें।

राय्क 1: नीचे दी गई प्रत्ेर आरृित से संबंिित संख्याओ ंरो िदए गए िेन आरखे िें उपयुक्त स्यान पर िलखे। रुछ रो आपरे िलए पयूरया रररे िदखयायया गयया ह

राय्क 2: नीचे दी गई प्रत्ेर आरृित से संबंिित संख्याओ ंरो िदए गए िेन आरखे िें उपयुक्त स्यान पर िलखें

ठीर चार भुजाएँ सभी रोण बराबर

रम सले रम एर वरि भुजा रम सले रम एर सीधी भुजा

15

राय्क 3: नीचे दी गई प्रत्ेर आरृित से संबंिित संख्याओ ंरो िदए गए िेन आरखे िें उपयुक्त स्यान पर िलखें

रम-सले-रम एर अधधर रोण रोई अधधर रोण नहीं

राय्क 4: नीचे दी गई प्रत्ेर आरृित से संबंिित संख्या रो िदए गए िेन आरखे िें उपयुक्त स्यान पर िलखें

रेिल चयार भुजयाएँ

रि से रि चयार भुजयाएँ

16

रयाय्क 5-8 रे िलए, तीन प्ररयार रे िेन आरखेों, ययानी प्ररयार 1, प्ररयार 2 यया प्ररयार 3 पर ििचयार ररें।

प्ररयार 3

राय्क 5: आरृितयों रे दो सियूहों पर ििचयार ररें:• सियूह 1: रि-से-रि 4 सीिी भुजयाएँ हैं• सियूह 2: 4 से रि सीिी भुजयाएँ

a. इनिें से िरस प्ररयार रया िेन (प्ररयार 1, 2 यया 3) आरृितयों रे िरसी सियूह रो इन दो गुिों रे आियार पर िगथीरृत ररने रे िलए सबसे उपयुक्त होगया? अपने चुनयाि रया रयारि स्पष्ट ररें। उसे नीचे िदए गए स्यान िें बनयाएँ।b. अब इन आरृितयों रो आपरे वियारया चयद्नत िेन आरखे िें िगथीरृत ररें (प्रत्ेर स्यान िें संख्याएँ िलखें। इनिें से रुछ रो आपरे िलए पयूरया रररे िदखयायया गयया ह।ै)

(यह रयाय्क आपरो उदयाहरि देने रे िलए पयूरया िरयया गयया ह)ै

2, 3, 5, 6 1, 4

रि-से-रि चयार सीिी भुजयाएँ सीिी भुजयाओ ंरी संख्या चयार से रि है

प्ररयार 1 प्ररयार 2

17

राय्क 2: आरृितयों रे दो सियूहों पर ििचयार ररें:

• सियूह 1: सभी भुजयाएँ बरयाबर हैं• सियूह 2: रि-से-रि 1 सिरोि है

a. इनिें से िरस प्ररयार रया िेन (प्ररयार 1, 2 यया 3) आरृितयों रे वरसी सियूह रो इन दो गुिों रे आियार पर िगथीरृत ररने रे िलए सबसे उपयुक्त होगया? अपने चुनयाि रया रयारि स्पष्ट ररें। उसे नीचे िदए गए स्यान िें बनयाएँb. अब इन आरृितयों रो आपरे वियारया चयद्नत िेन आरखे िें िगथीरृत ररें (प्रत्ेर स्यान िें संख्याएँ िलखें। इनिें से रुछ रो आपरे िलए पयूरया रररे िदखयायया गयया ह।ै)

राय्क 7: आरृितयों रे दो सियूहों पर ििचयार ररें:

• सियूह 1: सम्ुख भुजयाओ ंरया रि-से-रि एर जोड़या सियानयांतर है• सियूह 2: रोई भी दो भुजयाएँ सियानयान्तर नहीं है

a. इनिें से िरस प्ररयार रया िेन (प्ररयार 1, 2 यया 3) आरृितयों रे िरसी सियूह रो इन दो गुिों रे आियार पर िगथीरृत ररने रे िलए सबसे उपयुक्त होगया? अपने चुनयाि रया रयारि स्पष्ट ररें। उसे नीचे िदए गए स्यान िें बनयाएँ।b. अब इन आरृितयों रो आपरे वियारया चयद्नत िेन आरखे िें िगथीरृत ररें (प्रत्ेर स्यान िें संख्याएँ िलखें। इनिें से रुछ रो आपरे िलए पयूरया रररे िदखयायया गयया ह।ै)

राय्क 8: गुिों रे इस सियूह पर ििचयार ररें • रि-से-रि 3 सीिी भुजयाएँ• रेिल 4 सीिी भुजयाए

ँa. इनिें से िरस प्ररयार रया िेन (प्ररयार 1, 2 यया 3) आरृितयों रे िरसी सियूह रो इन दो गुिों रे आियार पर िगथीरृत ररने रे िलए सबसे उपयुक्त होगया? अपने चुनयाि रया रयारि स्पष्ट ररें। उसे नीचे िदए गए स्यान िें बनयाएँ।b. अब इन आरृमतयों रो आपरे वियारया चयद्नत िेन आरखे िें िगथीरृत ररें (प्रत्ेर स्यान िें संख्याएँ िलखें। इनिें से रुछ रो आपरे िलए पयूरया रररे िदखयायया गयया ह।ै)

18

गषतषवधध 2- संबंधों रा िनरूपण 2

राय्क 1: िदए गये िेन आरखेों िें से रौन सियांतर चतुभु्कजों और चतुभु्कजों रया सही िनरूपि ह ैऔर क्ों? (िे आपस िें रैसे संबंिित हैं इसरया पतया लगयाने रे िलए हो सरतया ह ैआप चतुभु्कजों और सियांतर चतुभु्कजों री पररभयाषया और उनरे गुिों रया उपयोग रर सरते हैं।)

राय्क 2: िदए गए िेन आरखेों िें से रौन सियांतर चतुभु्कजों और आयतों रया सही िनरूपि ह ैऔर क्ों? (िे आपस िें रैसे संबंिित हैं इसरया पतया लगयाने रे िलए हो सरतया ह ैआप सियांतर चतुभु्कजों और आयतों री पररभयाषया और उनरे गुिों रया उपयोग रर सरते हैं।)

सियांतर चतुभु्कज


चतुभु्कज

A

सियांतर चतुभु्कज चतुभु्कज

B

सियांतर चतुभु्कज चतुभु्कज

C D

चतुभु्कज

19

A

सियांतर चतुभु्कज आयत

B

सियांतर चतुभु्कज आयत

C D


आयतसियांतर चतुभु्कज

आयत

राय्क 3: रयाय्क 2 रे आियार पर बतयाएँ िर इनिें से रौन-सया रर्न सही ह ैऔर क्ों?a) सभी सियांतर चतुभु्कज आयत होते हैंb) सभी आयत सियांतर चतुभु्कज होते हैंc) रुछ आयत सियांतर चतुभु्कज होते हैं (और रुछ नहीं)।d) रोई भी सियांतर चतुभु्कज आयत नहीं होतया

राय्क 4: िदए गए िेन आरखेों िें से रौन आयतों और िगमों रया सही िनरूपि ह ैऔर क्ों? (िे आपस िें रैसे संबंधित हैं इसरया पतया लगयाने रे िलए हो सरतया ह ैआप चतुभु्कजों और सियांतर चतुभु्कजों री पररभयाषया और उनरे गुिों रया उपयोग रर सरते हैं।)

A

आयत िग्क

B

आयत िग्क

C D

आयत

िग्कआयत

िग्क

20

राय्क 5: द्दए गए िेन आरखेों िें से रौन सियांतर चतुभु्कजों और सिचतुभु्कजों रया सही द्नरूपि ह ैऔर क्ों? (िे आपस िें रैसे संबंधित हैं इसरया पतया लगयाने रे शलए हो सरतया ह ैआप सियांतर चतुभु्कजों और सिचतुभु्कजों री पररभयाषया और उनरे गुिों रया उपयोग रर सरते हैं।)

A B

C D

राय्क 6: रयाय्क 4 रे आियार पर, इनिें से रौन-सया रर्न सही ह?ैa. सभी सियांतर चतुभु्कज सिचतुभु्कज होते हैंb. सभी सिचतुभु्कज सियांतर चतुभु्कज होते हैंc. रुछ सिचतुभु्कज सियांतर चतुभु्कज होते हैं (और रुछ नहीं) ।d. रोई भी सियांतर चतुभु्कज सिचतुभु्कज नहीं होतया।

सियांतर चतुभु्कज सिचतुभु्कज सियांतर चतुभु्कज



सिचतुभु्कज



21

राय्क 7: िदए गए िेन आरखेों िें से रौन सिचतुभु्कजों और िगमों रया सही िनरूपि ह ैऔर क्ों? (िे आपस िें रैसे संबंधित हैं इसरया पतया लगयाने रे िलए हो सरतया ह ैआप सिचतुभु्कजों और िगमों री पररभयाषया और उनरे गुिों रया उपयोग रर सरते हैं।)

A

सिचतुभु्कज िग्क

B

सिचतुभु्कज िग्क

C D

िग्क

सिचतुभु्कजिग्क


इसरे आियार पर ियाक् रो पयूरया ररने ियालया सही शब्द चुनें। i) ____________ सिचतुभु्कज िग्क होते हैं. (सभी/ रुछ/ रोई भी नहीं) ii) _____________ िग्क सिचतुभु्कज होते हैं (सभी/ रुछ/ रोई भी नहीं)

राय्क 8: िदए गए िेन आरखेों िें से रौन आयतों और सिचतुभु्कजों रया सही िनरूपि ह ैऔर क्ों? (िे आपस िें रैसे संबंिित हैं इसरया पतया लगयाने रे िलए हो सरतया ह ैआप सियांतर चतुभु्कजों और सिचतुभु्कजों री पररभयाषया और उनरे गुिों रया उपयोग रर सरते हैं।)

A B

C D




सिचतुभु्कज आयत आयत

आयत

आयत

22

राय्क 9: उपयु्कक्त रयायमों िें चुने गए िेन आरखेों रया उपयोग ररते हुए, चतुभु्कजों, सियांतर चतुभु्कजों, सिचतुभु्कजों, आयतों और िगमों रो एर ही आरखे िें द्नरूमपत ररें। आयत रया उपयोग रररे चतुभु्कजों रो दशया्कयें ररें और शेष चतुभु्कजों रो दशया्कने ररने रे िलए उपयुक्त िृत्ों रया उपयोग ररें।

पाठ 1.3: पररभाषाओ ंपर चचा्क


इस पयाठ िें, छयात् विमभन्न चतुभु्कजों री पररभयाषयाओ ंपर चचया्क ररेंगे और िेन आरखे रे उपयोग से विमभन्न चतुभु्कजों रे बीच रे संबंिों रो दशया्कयेंगे।

23

इराई 2 : प्रमाणों री जरूरत रो समझना

पाठ 2.1: मध्य िबनु्ओ ंरी पड़ताल

गषतषवधध 1– मध्य िबनु्ओ ंरी पड़ताल

नीचे िदए गए रयाय्क पर पहले �स्क्तगत रूप से रयाि ररें और िफर अपने सियूह रे सयार् उस पर चचया्क ररें।

राय्क 1: नीचे िदए गए डॉट पेपर (िबनु्ओ ंियालया रयागज) पर, अलग-अलग िग्क बनयाएं। इनिें से प्रत्ेर िग्क री भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाएं (क्रि िें) और नए चतुभु्कज बनयाएं। यहयाँ पहलया िग्क और चतुभु्कज उदयाहरि स्वरूप िदखयायया गयया ह।ै

बनयाए गए हर एर चतुभु्कज रया अिलोरन ररें, और नीचे िदए गए रर्नों रो पयूरया ररें :िरसी िग्क री भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाने से बनने ियालया चतुभु्कज ___________________________ होतया ह।ै

राय्क 2: अगर आप इसी तरीरे से िरसी आयत री भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाते हैं तो आपरो क्या लगतया ह ैिर आपरो रौन सी आरृित प्रयाप्त होगी? इस बयार ेिें सोचें, और अपने अनुियान रो यहयाँ िलखें : िरसी ___________________________ री भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाने से बनने ियालया चतुभु्कज एर ___________________________ होतया ह।ै

24

राय्क 3: अब नीचे िदए गए डॉट पेपर पर अलग-अलग आयत बनयारर, और उनरी भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयारर अपने अनुियान री जयाँच ररें।

राय्क 4: रयाय्क 3 रे आियार पर क्या आपरया अनुियान सही सयािबत होतया ह?ै ययद नहीं, तो िफर आप उसिें क्या सुियार ररेंगे?

राय्क 5: अब अन्य ििशेष चतुभु्कजों – सि चतुभु्कज और सियानयान्तर चतुभु्कज – रे बयार ेिें इसी प्ररयार रे अनुियान लगयाएं और िफर उनरी जयाँच ररें। अपने अनुियानों रो नीचे िदए गए स्यान िें िलखें, और िफर डॉट मरिड (िबनु्ओ ंरे जयाल) रया प्रयोग ररते हुए उनरी जयाँच ररें।

अनुियान 1

अनुियान 2

25

राय्क 6: िपछले 5 रयायमों रे अपने अनुभिों से सीखते-सिझते हुए अनुियान लगयाएं िर िरसी भी चतुभु्कज री भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाने से बनने ियाली आवरृत रैसी होगी।

विचयार ररने री बयातें : क्या यह अनुियान सभी चतुभु्कजों रे शलए सही होगया? आपरो रैसे पतया? अपने तर्क रो यहयाँ सिझयाएं। अगर जरूरत हो तो नीचे दी गई डॉट मरिड रया प्रयोग ररें।

26

अषतररक्त राय्क 1: यिद संभि हो, तो ऐसया चतुभु्कज बनयाएं िजसरी भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो क्रि िें ििलयाने से बनने ियाली आरृित सियानयान्तर चतुभु्कज नहीं हो। अगर ऐसया ररनया संभि नहीं ह,ै तो सिझयाएं िर क्ों संभि नहीं ह।ै

पाठ 2.2: रोणों रले योग रा गुणधम्क

गषतषवधध 1– चतुभु्कजों रले रोणों रले योग रा गुणधम्क

नीचे िदए गए रयाय्क पर पहले �स्क्तगत रूप से रयाय्क ररें और िफर अपने सियूह रे सयार् उस पर चचया्क ररें।

राय्क 1: एर चतुभु्कज ABCD बनयाएं और उसरे अंततः रोिों रो ियापें। उन्ें नीचे दी गई तयािलरया िें भरें।

सभी (अंततः) रोणों रा योग

राय्क 2: अपने चतुभु्कज री तुलनया आपरी रक्या रे अन्य ििद्यार्िर्यों रे चतुभु्कजों रे सयार् ररें। i) क्या िे सभी एर से िदखयाई देते हैं? ii) क्या आप सभी चतुभु्कजों िें रोई खयास पैटन्क/ िनययिततया देखते हैं? अपने अिलोरन रो अनुियान रे रूप िें िलखें :

राय्क 3: रयाय्क 2 िें देखी गई �िस्या (पैटन्क) रो ध्यान िें रखें। i) क्या आप सिझते हैं िर यह पैटन्क सभी चतुभु्कजों िें ह?ै ii) क्ों अर्िया क्ों नहीं?

इस पयाठ िें, “शजयोजेब्या” ऐप्ीरेशन रे इतिेियाल से छयात् चतुभु्कजों और अन्य बहुभुजों रे अन्तः रोिों रे योग री खोज और जयाँच रर सरें गे|

27

राय्क 4: एर चतुभु्कज बनयाएं और उसरया एर ििरि्क खींचें। िबनया ियापे, क्या आप बतया सरते हैं िर इस चतुभु्कज रे अंतः रोिों रया योग िरतनया होगया? अपने रयारि बतयाएं।

िअषतरक्त राय्क 1: क्या आप सिझते हैं िर यह गुििि्क (आंमतरर रोिों रया योग) सभी सियानयान्तर चतुभु्कजों िें पयायया जयाएगया? क्ों अर्िया क्ों नहीं?

पाठ 2.3: प्रमाण री आवश्यरता

गषतषवधध 1– प्रमाण री आवश्यरता

इस गमतविधि पर पहले �स्क्तगत रूप से रयाि ररें और िफर अपने सियूह रे सयार् इस पर चचया्क ररें।

राय्क 1: एर िृत् पर 2 अलग-अलग िबनु् बनयाएं, और उन्ें एर रखेया खींचरर ििलयाएं। देखें िर इससे िृत् िरतने क्ेत्ों िें ििभयािजत हो जयातया ह।ै

• िृत् पर िबनु्ओ ंरी संख्या : _____ • िृत् रे भीतर बने पृर्र क्ेत्ों री संख्या : _____

28

राय्क 2: अब एर और िृत् बनयाएं। इस पर 3 अलग-अलग िबनु् बनयाएं। इन िबनु्ओ ंरे सभी संभि जोड़ों रो ििलयाएं। िृत् िरतने पृर्र क्ेत्ों िें ििभयािजत हो जयातया ह?ै

• िृत् पर िबनु्ओ ंरी संख्या : _____• िृत् रे भीतर बने पृर्र क्ेत्ों री संख्या : _____

राय्क 3: एर िृत् पर 4 अलग-अलग िबनु् बनयाएं, इन िबनु्ओ ंरे सभी संभि जोडे़ मिलयाएं। देखें िर िृत् िरतने क्ेत्ों िें ििभयािजत हो जयातया ह।ै दयूसर ेिृत् िें 5 अलग-अलग िबनु्ओ ंरे सयार् यही प्रर्िरयया दोहरयाएं।

वृत्त पर चार षबनु् होनले पर• िृत् पर मबनु्ओ ंरी संख्या : _____ • िृत् रे भीतर बने क्ेत्ों री संख्या : _____

वृत्त पर पाँच षबनु् होनले पर • िृत् पर मबनु्ओ ंरी संख्या : _____• िृत् रे भीतर बने क्ेत्ों री संख्या : _____

राय्क 4: अब रयाय्क 1-3 तर रे अपने अिलोरनों रो नीचे दी गई तयािलरया िें दज्क ररें।

वृत्त पर िबनु्ओ ंरी संख्ा

वृत्त रले भीतर बनले क्षलेत्ों री संख्ा

29

राय्क 5: आप िबनु्ओ ंरी संख्या और द्नमिमि त होने ियाले क्ेत्ों री बीच क्या �िस्या (पैटन्क) देखते हैं? उसे िलखें। (आप इसे, िृत् पर बनयाए गए िबनु्ओ ंरी संख्या और िृत् रे भीतर बने पृर्र क्ेत्ों री संख्या रे बीच रे संबंि से जुडे़ ‘िनयि’ रे रूप िें भी िलख सरते हैं)

राय्क 6: क्या आपरो लगतया ह ैिर िृत् पर िरतने भी िबनु् बनयाए जयाने पर भी आपरया ‘िनयि’ सही िसद्ध होगया? क्ों अर्िया क्ों नहीं?

राय्क 7: अपने ‘िनयि’ री जयाँच ररने रे िलए :

i) िृत् पर 1 िबनु् लें िृत् रे भीतर पृर्र क्ेत्ों री संख्या :ii) िृत् पर 6 िबनु् लें िृत् रे भीतर पृर्र क्ेत्ों री संख्या :

राय्क 8: क्या आपरया िनयि सही िसद्ध हुआ? इस आियार पर, क्या आप रयाय्क 6 िें िदए गए अपने जियाब रो बदलनया चयाहेंगे? ययद हयाँ, तो नयया जियाब यहयाँ िलखें।

आपरे िहसयाब से िरसी अनुियान रो गलत िसद्ध ररने रे िलए िरतने उदयाहरि ‘पयया्कप्त’ होते हैं?

30

पाठ 2.4: प्रमाण रा ललेखन

गषतषवधध 1– चतुभु्कजों रले मध्य िबनु्ओ ंरले िनष्कष्क रो सही िसद्ध ररना

राय्क 1: इस िचत् िें, चतुभु्कज ABCD रे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाने से PQRS बनतया ह।ै इस बयात रो िसद्ध ररें िर PQRS एर सियानयान्तर चतुभु्कज ह।ै

(संरेत: िध् िबनु् प्रिेय रे िनष्कष्क – िरसी मत्भुज री दो भुजयाओ ंरे िध् िबनु्ओ ंरो ििलयाने ियाली रखेया, तीसरी भुजया रे सियानयान्तर और उसरी आिी होती ह ै– रया उपयोग ररें।)

पाठ 2.5: रथनों रो सही और गलत िसद्ध ररना

गषतषवधध 1– सही और गलत रथन

अपने सियूह िें इन रर्नों पर चचया्क रररे उत्र िनरयालें और िफर अपने उत्र रो रक्या रे सिक् प्रतिुत ररें। उत्र िनरयालने रे िलए दी गई जगह रया उपयोग ररें।

31

सही गलत

राय्क 1: प्रत्ेर रर्न री जयाँच ररें और बतयाएं िर िह सही ह ैयया गलत। प्रत्ेर ियािले िें, अपने उत्र रे रयारिों रो सयािने लयाएं। आप अपने उत्र रो आियार देने रे िलए दी गई जगह िें िलख सरते हैं, तर्या रखेयािचत्, तयािलरयाएं इत्यािद बनया सरते हैं।

1. अगर आप िरसी पयूि्क संख्या रो दोगुनया ररें तो आपरो एर सि संख्या ििलेगी।

सही गलत

2. अगर आप 2 ििषि संख्याओ ंरो जोड़ें तो आपरो एर सि संख्या ििलेगी।

सही गलत

3. अगर आप िरसी पयूि्क संख्या िें 1 जोड़ते हैं तो आपरो ऐसी संख्या ििलेगी जो 1,000,000,000,000,000,000,000 से रि होगी।

32

सही गलत

5. अगर िरसी सियानयान्तर चतुभु्कज री संलग्न भुजयाओ ंरया एर जोड़या सियान ह ैतो िह सियानयान्तर चतुभु्कज एर आयत होगया

सही गलत

4. अगर िरसी सियानयान्तर चतुभु्कज री संलग्न भुजयाओ ंरया एर जोड़या सियान ह ैतो िह सियानयान्तर चतुभु्कज एर आयत होगया

सही गलत

6. अगर िरसी सियानयान्तर चतुभु्कज िें रि से रि एर सिरोि ह,ै तो िह सियानयान्तर चतुभु्कज एर आयत होगया।

33

सही गलत

8. अगर िरसी चतुभु्कज िें आिने सयािने री भुजयाओ ंरया एर जोड़या सियान भी ह ैऔर सियानयान्तर भी, तो िह चतुभु्कज सियानयान्तर चतुभु्कज होगया।

सही गलत

7. अगर िरसी चतुभु्कज िें आिने सयािने री भुजयाओ ंरया एर जोड़या सियान ह,ै तो िह चतुभु्कज, सियानयान्तर चतुभु्कज होगया।

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