Großübung Schnittgrößen

1. Motivation „Wozu braucht man Schnittgrößen?“

2. Definition der Schnittgrößen

3. Beziehungen zwischen den Schnittgrößen

4. Definition von Bereichen zur Berechnung

5. Beispiel Balken mit Dreieckslast

6. Extremwerte

7. Schnittgrößen am Kreisbogenträger

8. weitere Beispiele

Wozu Schnittgrößen? Schnittgrößen geben die Verteilung der Belastungen innerhalb des Bauteiles wider. Sie werden zum Beispiel benötigt, um die Beanspruchung des Bauteils (Spannungen) oder die Verformungen des Bauteils zu bestimmen. Sie geben dem Konstrukteur Anhaltspunkte zur optimalen Gestaltung der Konstruktion, z.B. bei der Auswahl notwendiger Bauteilabmessungen oder der Art der Lasteinleitung in Bauteile.

Zug/DruckZug/Druck

Typische Verformung: Längsdehnung (konst. über dieQuerschnittsfläche) ⇒ Verlängerung/Verkürzung

Ursache: Längskraft FL

Reine Biegung Reine Biegung

Ursache: Biegemomente Mby (vgl. Bild rechts) bzw.. Mbz

Typische Verformung: Längsdehnung (linear veränderlich über den Querschnitt⇒ Biegung der Längsachse

Torsion Torsion

Ursache: Torsionsmoment Mt

Typische Verformung: Gleitung in der Querschnittsebene⇒ Verdrehung der Querschnitte

um die Längsachse Stabilität (Knicken)Stabilität (Knicken)

Ursache: Kritische Druckkraft FK

Typische Verformung: Knicken beim Erreichen von FK⇒ Biegung der Längsachse

FL

FL

F<FK

FK

Mt

Mt

ϕϕ

••

yz

x

Mby

Mby

Querkraftschub bei BiegungQuerkraftschub bei Biegung

Ursache: Querkräfte FQy, FQz

Typische Verformung: Gleitungen in der Querschnittsebene⇒ Krümmung der Längsachse wie bei der Biegung

Hinweis: Eine reine Querkraftschubbeanspruchung kommt praktisch kaum vor. Sie ist in der Regel an eine Biegebeanspruchung gekoppelt. Die Spannungen und Verformungen infolge des Querkraftschubs können bei Balken mit großer Länge gegenüber den Querschnittsabmessungen in der Regel vernachlässigt werden, da sie im Vergleich zu den Biegebeanspruchungen klein sind.

ScherbeanspruchungScherbeanspruchung

Ursache: Dicht (theoretisch unendlich dicht) nebeneinanderliegende entgegengesetzt gerichtete parallele Kräfte

Typische Verformung: sehr große Gleitungen in der Querschnittsebene⇒ Gefahr der Zerstörung durch Abscheren

FlächenpressungFlächenpressung

Ursache: Druckbelastung einer ebenen odergekrümmten Fläche (z. B. zwischen Niet und Blech an der gemeinsamen Kontaktfläche)

klein!

Resultierende aus Flächen-pressung (Blech - Niet)

zusätzlicher Verformungsanteil aus Querkraftschub (meist gering!)

yz

x

Verformungsanteilaus der Biegung

⇒ Gefahr der Oberflächenschädigung (insbe-sonders bei einer Relativbewegung der Kontaktflächen

Flächenpressung im Blech infolge der Belastung durch den Niet

Definition der Schnittgrößen Alle (positiven) Schnittgrößen werden so definiert, daß sie am positiven Schnittufer in Richtung der positiven Koordinatenachsen weisen. Am negativen Schnittufer wirken wegen des Wechselwirkungsgesetzes actio = reactio die dazu korrespondierenden Größen. Das positive Schnittufer liegt, wie im Bild zu sehen, auf der Seite des geschnittenen Bauteils wo sich auch der Ursprung des verwendeten Koordinatensystems befindet. Hinweis: das hat nichts mit links oder rechts zu tun

Die Koordinate x folgt der Profilmittellinie. Neben der Darstellung mit dem Koordinatensystem x-y-z (Rechtssystem!) existiert die „gestrichelte-Faser-Konvention“, die ebenfalls der Festlegung der Koordinaten dient. Sie wird im wesentlichen für ebene Probleme verwendet und gibt in dem Fall die Richtung der z-Achse an. Merke: Ein positives Biegemoment führt zu einer Balkenkrümmung, die die gestrichelte Faser dehnt.

Definition der Schnittgrößen für ebene Probleme (2D)

positives Schnittufer negatives Schnittufer

z

x

q(x)

SchnittstelleBalkenlänge a

z

x

q(x)

FAv

FAh

Qz(x)

Mby(x)

Nx(x)

q(x)

(a-x)FB

Mby(x)

Nx(x)Qz(x)

Definitionsbereich0 ≤ x ≤ a

Definition der Schnittgrößen am positiven Schnittufer im 3D-Raum

Schnittebene

Definition der Schnittgrößen am positiven Schnittufer im 3D-Raum

Schnittebene

Definition der Schnittgrößen am positiven Schnittufer im 3D-Raum

Schnittebene

Definition der Schnittgrößen am positiven Schnittufer im 3D-Raum

Schnittebene

x

y

z

QzQy

N

M x

Mz

My

Differentielle Beziehungen zwischen den Schnittgrößen

z

x

qz(x)

Balkenlänge a

dx

qx(x)

Herausschneiden eines differentiellen Elementes aus dem Bauteil

dx

qz(x)

Qz(x)+dQz

Mby(x)+dMby

Nx(x)+dNx

Mby(x)

Nx(x)

Qz(x)

s

qx(x)

Antragen der Schnittgrößen am differentiellen Element

Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen am differentiellen Element Querkraft:

)(

0)()(

xqdx

dQdxxqdQQQ

zz

zzzz

−=

=−+−↑

Normalkraft:

)(

0)()(

xqdx

dNdxxqdNNN

xx

xxxx

−=

=+++−→

Biegemoment (linksdrehend um S):

zby

zzby

zzzbybyby

Qdx

dM

dxdQdxQdM

dxdQQdxQMdMM

=

=−−

=+−−−+

≈

02

02

)(2

)(

0321

Regeln für die Festlegung von Bereichen für die Berechnung der Schnittgrößen Wegen der geltenden differentiellen Beziehungen zwischen den Schnittgrößen kann man diese Größen jeweils nur für Bereiche bestimmen, in denen sie stetig und differenzierbar sind. (keine Integration über Knicke und Sprungstellen im Funktionsverlauf!) Daraus folgt: Bereiche für die Berechnung von Schnittgrößen beginnen / enden

• an Lagerstellen / Gelenken

• an Angriffspunkten von Einzellasten / Momenten

• am Beginn / Ende von Linienlasten

• wenn sich die Funktion für die Linienlast ändert

• an Knick- / Verzweigungspunkten des Bauteil,

Abwinkelungen usw.

Definition und Berechnung der Schnittgrößen am ebenen Bauteil

0 ≤ x ≤ a

q(x) = q0 * x/a N (x) = -FAH

Qz (x) = FAV - FR(x) = FAV - 1/2 * q(x) * x = FAV - 1/2 * q0 *x2/aMy(x) = FAV * x - FR(x) * x/3 = FAV * x - 1/2 * q(x) * x * x/3 = FAV * x - 1/2 * q0 * x/a * x * x/3 = FAV * x - 1/6 * q0 * x3/a

FAH

FAV

xz

x/3

N

Qz

My

FR(x) =1/2 * q(x) * xq(x)

Beispiel Dreieckslast

y

Rechenablauf zur Bestimmung der Schnittgrößen

(diese Vorgehensweise hat sich allgemein als zweckmäßig erwiesen, in Abhängigkeit vom zu berechnenden System kann die Vorgehensweise jedoch variieren, evtl. können einige Schritte entfallen)

1. Freischneiden des Gesamtsystems, ggf. Zerlegung in Teilsysteme

2. Berechnung der Lagerreaktionen

3. Festlegen der Anzahl der Bereiche zur Bestimmung

der Schnittgrößen

4. Einführung der entsprechenden Koordinatensysteme

für jeden Schnittgrößenbereich:

1. Freischneiden im Geltungsbereich der laufenden Koordinate x, Antragen der Schnittgrößen gemäß der Definition für das entsprechende Schnittufer

2. Berechnung der Schnittgrößen in Abhängigkeit vom

verwendeten Koordinatensystem am positiven oder negativen Schnittufer

3. Auswertung und grafische Darstellung, d.h.

Berechnung der Werte an den Bereichsgrenzen und in Abhängigkeit vom Funktionsverlauf auch von Zwischenwerten

4. Suche von Extremwerten (insbesondere von Mb ,

dazu Suche von Querkraft-Nullstellen)

grafische Darstellung des Schnittgrößen- verlaufs als Funktion der Koordinate x Die grafische Darstellung der Schnittgrößen dient dazu schnell einen Überblick über die Verteilung der Belastung im Bauteil zu erhalten. Dies ist später wichtig zur Beurteilung der Belastbarkeit von Bauteilen bzw. deren Dimensionierung. Die Darstellung erfolgt in getrennten Bildern für die 3 Schnittgrößen (2D) bzw. 6 Schnittgrößen (3D) entlang der Koordinate x. Senkrecht dazu werden die Ergebnisse abgetragen (Funktionsdarstellung). Es lassen sich dann schnell Zusammenhänge zwischen Belastungen, Lagerreaktionen und evtl. vorhandenen Sprungstellen, Nullstellen und Extremwerten der Schnittgrößenfunktionen ablesen.

Beispiel 1 Träger mit linear veränderlicher Linienlast Lagerreaktionen und Schnittgrößen sind nur eindeutig im Zusammenhang mit Schnittbildern. Diese sollten übersichtlich und nicht zu klein sein!

x

z

A B

q

l

Lagerreaktionen

FR = q l

FA FBV

FBH

l12 1

3

6

31:

3

32:

00

qlFlFlFB

qlFlFlFA

FFFF

AAR

BVBVR

RBVA

BH

=⇒=

=⇒=

=−+↑

=−→

Schnittgrößen

xFA

q(x)

Q(x)

N(x)

Mb(x)

x3

FR

kubisch Verlauf 61

61

31)(:

hquadratisc Verlauf 21

61

konstant Verlauf 0)(

3

2

lxqqlx

xFxFxMS

lxqqlFFQ(x)

xN

RAb

RA

−=

−=

−=−=

=

lxqxxqxF

lxqxq

lx

R

2

21)(

21)(

)(

0

==

=

≤≤

grafische Darstellung

dargestellt sind die normierten Größen 2)(:)(;)(:)(;)(:)(

qlxMxM

qlxQxQ

qlxNxN b

b ===

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.6

0.2

0.2

0.6

1

N x( )

x

l

0 0.2 0.4 0.6 0.8 11

0.6

0.2

0.2

0.6

1

Q x( )

Null

x

l

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

Mb x( )

x

l

Spezielle Werte

Q 0( ) 0.167= Q 1( ) 0.333−=

Mb 0( ) 0= Mb 1( ) 0=

Q13

l

0= Mb13

l

0.064=

Bestimmen der Querkraftnullstelle:

llx

lx

lxqqlxQ

E 577,031

31

21

610)(

2,1

2

==

±=

−==

(Die negative Lösung entfällt, da sie nicht im Definitionsbereich von x liegt.) Extremwert des Biegemomentes:

=

==

eBalkenmittin Wert 0625,0161

06415,0)577,0(

22

2

qlql

qllxM Eb

Dieser Wert ist also größer als der Wert in Balkenmitte.

Extremwerte von Schnittgrößen Schnittgrößen weisen absolute und relative Extremwerte auf. absolutes Maximum / Minimum

• Größtwert der Schnittgröße am Bauteil relatives Maximum / Minimum

• Wert im Kurvenverlauf, bestimmbar über die differentiellen Beziehungen zwischen den Schnittgrößen

• Kann u.U. auch gleichzeitig das absolute Extremum sein

Von großer Bedeutung sind die Extremwerte des Biegemomentes.

• Extremwertberechnung • Kurvendiskussion

Ist die 1. Ableitung einer Funktion an einer Stelle x gleich Null, so hat die Funktion an dieser Stelle einen Extremwert.

)()( xQdx

xdMb =

Schnittgrößen am Kreisbogenträger

• Koordinate x des geraden Trägers wird durch Bogenkoordinate s ersetzt

• beim Kreisbogen ist

• Schnittgrößen lassen sich in Abhängigkeit vom Winkel berechnen

N(ϕ)Mb(ϕ)

Q(ϕ)

F1

F2

ϕ

R

R sin(ϕ)

R - R cos(ϕ)

Kraftzerlegung

Zweckmäßig ist die Zerlegung der Kräfte in Richtung der Schnittgrößen.

0)sin())cos(1()(0)cos()sin()(0)sin()cos()(

12

12

12

=−−+=−+=++

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

RFRFMFFQFFN

b

Die differentiellen Beziehungen zwischen den Schnittgrößen gelten weiterhin.

ϕRs =

Beispiel 2 Träger mit Einzelkraft und Einzelmoment Lagerreaktionen und Schnittgrößen sind nur eindeutig im Zusammenhang mit Schnittbildern. Diese sollten übersichtlich und nicht zu klein sein!

x1

z

A B

a

x2

a2

MF

Lagerreaktionen Aus den Gleichgewichtsbedingungen ergibt sich in den angegebenen Richtungen:

( )

FF

FF

FaMAnnahme

FaMa

F

FaMa

F

F

B

AV

B

AV

AH

3235

2:32

21

320

−=

=

=

+−=↑

+=↑

=→

Schnittgrößen 1. Abschnitt ax ≤≤ 10

FAV Q1(x1)

N1(x1)

Mb1(x1)

x1FAH

1111

11

11

35)(

35)(

0)(

xFxFxM

FFxQ

FxN

AVb

AV

AH

==

==

=−=

2. Abschnitt 2

0 2ax ≤≤ (negatives Schnittufer)

FBQ2(x2)

N2(x2)

Mb2(x2)

(a/2 - x2)z2

x2

−−=

−=

=−=

=

2222

22

22

232

2)(

32)(

0)(

xaFxaFxM

FFxQ

xN

Bb

B

grafische Darstellung Die Normalkraft ist in allen Bereichen Null.

x1

z

A B

a

x2

a2

MF

F

F23Q(x)

M

Mb(x)

F53

Fa53

Fa13

FAV

FB

Die Rechnung ergab FFB 32

−=↑ , in der Darstellung sieht man FFB 32

+=↓ .

Der Sprung im Momentenverlauf beträgt MFaFaFa ==−+ 231

35 .

Beispiel 3 Träger mit konstanter Linienlast auf einem Teilbereich Lagerreaktionen und Schnittgrößen sind nur eindeutig im Zusammenhang mit Schnittbildern. Diese sollten übersichtlich und nicht zu klein sein! Lagerreaktionen

x1

z

A B

a

x2

a2

a2

x3

q

FB

a a2

a2

q

qa2

a4FAV

FAH

Die Lagerkräfte ergeben sich zu:

qaF

qaF

F

B

AV

AH

1651630

=

=

=

Schnittgrößen Es sind in diesem Fall 3 Abschnitte zur Bestimmung der Schnittgrößen erforderlich. 1. Abschnitt ax ≤≤ 10

FAV Q1(x1)

N1(x1)

Mb1(x1)

x1FAH

1111

11

11

163)(

163)(

0)(

xqaxFxM

qaFxQ

FxN

AVb

AV

AH

==

==

=−=

2. Abschnitt 2

0 2ax ≤≤

FAV Q2(x2)

N2(x2)

Mb2(x2)

x2FAH az2

qFR

xR

( ) ( )

222

222

22222

222

22

21

163

163

2

163

0

qxqaxqa)x(M

xFxaFxFxaF)x(M

qxqaFF)x(Q

F)x(N

b

RAVRRAVb

RAV

AH

−+=

−+=−+=

−=−=

=−=

3. Abschnitt 2

0 3ax ≤≤ (negatives Schnittufer)

Q3(x3)

N3(x3)

Mb3(x3)

(a/2 - x3)z3

x3FB

32

33

3333

33

33

165

325)(

2165

2)(

165)(

0)(

qaxqaxM

xaqaxaFxM

qaFxQ

xN

b

Bb

B

−=

−=

−=

−=−=

=

grafische Darstellung aus dem Funktionsverlauf folgt eine Querkraftnullstelle im Bereich 2

ax

qxqaxQ

E 163

1630)(

2

222

=

−==

Extremwert des Biegemomentes an dieser Stelle

2

)(

2

22

xx

xqxF

R

R

=

=

22

222

22

22

512105

51291896

5129

2569

163

163

21

163

163

163)

163(

qaqa

qaqaqa

aqaqaqaaxM Eb

=−+

=

−+=

−+==

Die Querkraft ist in allen 3 Abschnitten Null.

FB

a a2

a2

q

FAV

FAH

FAV

FB

316

532

316

x2E

105512

-516

Qqa

Mb

qa2

Anmerkung:

==

51280

325;

51296

163

Maximalwert des Momentes = 2

512105 qa .