Grundlagen der Extended Finite Element Method...

Grundlagen der

Extended Finite Element Method (X-FEM)

STUDIENARBEIT

am

Institut fur Strukturmechanik

Fakultat Bauingenieurwesen

Bauhaus-Universitat Weimar

von

cand.-Ing. Andrea Fuhlrott

Betreuer:

Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. C. Konke,

Dipl.-Ing. Stefan Eckardt,

Dipl.-Ing. Thomas Most

Bearbeitungszeitraum: 16.02.04 bis 29.03.04

AUFGABENSTELLUNG i

Institut fur Strukturmechanik, Professur Baustatik

Bauhaus-Universitat Weimar

Aufgabenstellung zur Studienarbeit

Kandidat: cand.-Ing. Andrea Fuhlrott, Mat.-Nr. 980315

Bearbeitungszeitraum: 16.02.04 bis 29.03.04; 6 Wochen

Betreuer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. habil. C. Konke

Dipl.-Ing. Stefan Eckardt

Dipl.-Ing. Thomas Most

Aufgabenstellung:

Implementierung der Extended Finite Element Method (X-FEM) in SLang

Problemstellung:

Die numerische Simulation diskreter Risse mit Hilfe der Finiten Elemente Methode

(FEM) ist, aufgrund der sich mit jedem Rissinkrement andernden Geometrie, mit ei-

nem hohen Aufwand verbunden. Damit muss auch die Diskretisierung fur jedes Inkre-

ment an die aktuelle Risskonfiguration angepasst werden, d.h. finite Elemente werden

im Bereich des Risses geloscht, die Geometrie wird verandert und eine teilweise Neuver-

netzung wird durchgefuhrt. Im Rahmen der linear-elastischen Bruchmechanik ist fur die

Beschreibung der Singularitat an der Rissspitze die Anordnung von speziellen Rissspit-

zenelementen erforderlich. Die vollautomatische Simulation von Risswachstumsprozessen

mittels FE-Methoden war bisher aufgrund des hohen Vernetzungsaufwandes in der Regel

auf 2D-Probleme beschrankt.

In den letzten Jahren wurde die FEM so erweitert, dass die Diskontinuitat im Ver-

schiebungsfeld ohne die Einfuhrung diskreter Trennflachen berucksichtigt werden kann,

und damit eine adaptive Vernetzung wahrend der Risssimulation nicht mehr notig ist.

Die finiten Elemente werden je nach Lage zum Riss um weitere Ansatzfunktionen, z.B.

Sprungfunktionen oder Rissspitzenfunktionen, angereichert. Die zusatzlichen Knotenfrei-

heitsgrade, die sich mit den Erweiterungen der Ansatzfunktionen ergeben, mussen in der

globalen Steifigkeitsmatrix berucksichtigt werden. Mit der X-FEM ist es moglich vollau-

tomatisierte Risssimulationen ohne Neuvernetzung auch in 3D durchzufuhren.

Im Rahmen der Studienarbeit soll die Kandidatin zunachst eine umfangreiche Literatur-

recherche zu den Grundlagen der X-FEM durchfuhren. Weiterhin soll die Methode fur

ein vollstandig gerissenes Element in das Programm SLang implementiert werden. Als

Grundlage dient das bereits vorhandene 4-knotige Scheibenelement PLANE4N.

AUFGABENSTELLUNG ii

Im Einzelnen sind von der Kandidatin die folgenden Aufgaben zu bearbeiten:

1. Durchfuhrung einer Literaturrecherche zu den Grundlagen der X-FEM, zur Imple-

mentierung der Methode in ein FE-System und zur Abbildung von Rissen mittels

erweiterter Ansatzfunktionen.

2. Basierend auf der Literaturrecherche ist ein Konzept fur die Implementierung der

Methode in SLang aufzustellen.

3. Implementierung der Methode fur das 4-knotige Scheibenelement PLANE4N in

SLang.

4. Schriftliche Dokumentation der Ergebnisse.

Literatur:

[ 1] J. Dolbow. An Extended Finite Element Method with Discontinous Enrichement

for Applied Mechanics. PhD thesis, Northwester University, Evanston, IL, 1999.

[ 2] N. Sukumar and J.-H. Prevost. Modeling quasistatic crack growth with the exten-

ded finite element method. Part I: Computer implementation. International Journal

of Solids and Structures, August 2003.

[ 3] http://www.tam.nwu.edu/X-FEM - Internetseite von Ted Belytschko zur X-FEM

[ 4] http://dilbert.engr.ucdavis.edu/ suku/xfem/index.html - Internetseite von N. Su-

kumar

[ 5] verschiedene Zeitschriftenartikel J. Oliver et al.

[ 6] verschiedene Zeitschriftenartikel M. Jirasek et al.

Weimar, den 13.02.2004

INHALTSVERZEICHNIS iii

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Methoden der Modellierung von Diskontinuitaten 3

2.1 Arten der Diskontinuitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2 Finite Elemente mit Embedded Discontinuities . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Extended Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.4 Vergleich der EED und der X-FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Vorteile der Extended Finite Element Method . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Rissmodellierung mittels X-FEM 12

3.1 Die erweiterte Verschiebungsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Die Anreicherungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Das Flachenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Der Algorithmus der Element-Partitionierung . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.5 Diskrete Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Implementierung der X-FEM 22

4.1 Rissabspeicherung am Element und am Knoten . . . . . . . . . . . . . . 22

4.2 Triangulierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.3 Steifigkeitsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.4 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

5 Erweiterungen der X-FEM 29

5.1 Verschiedene Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Kopplung der X-FEM mit der Level Set Method . . . . . . . . . . . . . . 32

5.3 Schwache und starke Diskontinuitaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

6 Zusammenfassung 34

INHALTSVERZEICHNIS iv

A ANHANG 38

A.1 Dateien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

A.2 CD-ROM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

A.3 Selbststandigkeitserklarung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1 EINLEITUNG 1

1 Einleitung

Die Modellierung von Bruch- und Versagensproblemen ist ein wichtiger Bestandteil der

aktuellen Forschung. Um das Verhalten von gerissenen Strukturen zu bewerten und vor-

herzusagen, sind sehr genaue Losungen von vielfaltigen Rissproblemen erforderlich. Dazu

gehoren z.B. Dehnungslokalisierungen und Versagen in sproden Materialien wie Beton

und Fels, Schubbander in Metallen (ca. 10 Mikrometer Breite) und Boden (Sand, einigen

Millimeter Breite) sowie Risse in duktilen Werkstoffen. Ahnliche mechanische Probleme

sind Materialgrenzflachen, Grenzflachen zwischen fluiden und soliden Material und Pha-

senwechsel.

Risse werden wie auch Einschlusse von Luft oder Materialgrenzflachen durch Diskonti-

nuitaten abgebildet. Die Modellierung von Diskontinuitaten erfolgte in der Vergangenheit

mit der Finiten Elemente Methode (FEM) z.B. durch Interface-Elemente zwischen den

finiten Elementen und adaptive Netzgenerierung des Finiten-Elemente-Netzes. Die FEM

kann Diskontinuitaten nur explizit (an den Elementrandern) modellieren. Die Netzgene-

rierung muss konform zu der Unstetigkeits- und Strukturgeometrie erfolgen. Besonders

bei Problemen wie Rissfortschritt und sich bewegenden Grenzflachen verursacht die Be-

rechnung einen hohen numerischen Aufwand, obwohl in den meisten FE-Programmen

gute Vernetzungsalgorithmen vorhanden sind. Fur jeden Iterationsschritt ist eine erneu-

te Netzgenerierung erforderlich, um die Diskontinuitat an den Elementkanten abbilden

zu konnen und die Geschichtsvariablen mussen transformiert werden.

Um flexiblere und netzunabhangige Losungsverfahren fur Diskontinuitatsprobleme zu

erhalten, wurden in den letzten Jahrzehnten verschiedene numerische Methoden entwi-

ckelt. Zu diesen gehoren z.B. Boundary Element -, Boundary Collocation -, Body Force -,

Integral Equation -, Dislocation -, Generalized Finite Element Method und Netzfreie Ver-

fahren wie z.B. die elementfreie Galerkin-Methode (Daux et al., 2000). Eine der vielver-

sprechendsten Methoden ist die Berechnung von Rissproblemen durch diskontinuierliche

Verschiebungs- bzw. Dehnungsfelder. Die Diskontinuitat wird unabhangig von der Ver-

netzung abgebildet und eine erneute Netzgenerierung im Verlauf der Berechnung ist nicht

erforderlich.

Es konnen zwei Methoden unterschieden werden, die Methode der finiten Elemente mit

Embedded Discontinuities (EED) und die Extended Finite Element Method (X-FEM).

Der wesentliche Unterschied liegt in der Art der Anreicherung des Verschiebungsfeldes.

Bei den EED wird dieses mit einem nicht-konformen Ansatz erweitert, dadurch entste-

hen an den Elementkanten zusatzliche Sprunge. Im Gegensatz dazu wird in der X-FEM

das Verschiebungsfeld durch auf Partition of Unity basierenden Anreicherungsfunktionen

konform erweitert und zusatzliche globale Freiheitsgrade bilden die Diskontinuitat ab.

1 EINLEITUNG 2

Die Studienarbeit ist folgendermaßen gegliedert:

In Kapitel 2 werden zuerst die verschiedenen Arten der Modellierung von Diskonti-

nuitaten und danach die Methode der EED und die X-FEM beschrieben. Die beiden

Methoden werden verglichen und die Vorteile der X-FEM werden aufgezeigt. In Kapi-

tel 3 wird die Modellierung der Extended Finite Element Method fur zweidimensionale

spannungsfreie Risse erlautert und die Implementierung der Extended Finite Element

Method in die Programm SLang wird in Kapitel 4 beschrieben. Kapitel 5 gibt einen Uber-

blick uber die weitere Entwicklung der X-FEM in der Literatur und Kapitel 6 enthalt

ein kurzes Resumee. Nach dem Literaturverzeichnis folgt eine Aufstellung der in SLang

implementierten Dateien (A.1).

2 METHODEN DER MODELLIERUNG VON DISKONTINUITATEN 3

2 Methoden der Modellierung von Diskontinuitaten

2.1 Arten der Diskontinuitaten

Sprodes Material reagiert auf Belastungen mit diffusen Mikrorissen, die spater zu schma-

len Bandern, der Bruchzone, lokalisieren und zu schrittweise entstehenden makrosko-

pischen spannungsfreien Rissen fuhren konnen. Bei nicht-kohasiven Materialien werden

unmittelbar spannungsfreie Risse abgebildet. (Jirasek and Patzak, 2001) gibt einen Uber-

blick uber die Modellierung von Dehnungslokalisierungen und Versagen.

Im eindimensionalen Fall wird bei einem spannungsfreien Riss die Bruchzone durch einen

Punkt reprasentiert, an dem das Verschiebungsfeld einen Sprung hat (Abb. 1a) (Jirasek

and Patzak, 2001). Die Dehnungen werden an diesem Punkt unendlich, das Material

bleibt linear elastisch. Das Spannungsfeld an den Rissspitzen ist singular. Diese Uns-

tetigkeitsmodellierung wird starke Diskontinuitat genannt. Schwache Diskontinuitaten

stellen einen Zustand mit kontinuierlichen Verschiebungen und diskontinuierlichen Deh-

nungen, die sich in einem Band finiter Breite (Bruchzone) konzentrieren, dar (Abb. 1b).

Das Modell mit variabler Bandbreite liefert den Ubergang zwischen schwacher und star-

ker Diskontinuitat. Nahert sich die Bandbreite der schwachen Diskontinuitat gegen null,

steigen die Dehnungen ins Unendliche und der Zustand der starken Diskontinuitaten wird

erreicht (Oliver and Manzoli, 1999).

Abbildung 1: Darstellung der Bruchzone fur a) eine Verschiebungsdiskontinuitat und b) ein

Dehnungsband mit zwei schwachen Diskontinuitaten; linke Spalte - Verschiebungsprofil, rechte

Spalte - Dehnungsprofil


Diskontinuitaten im Verschiebungsfeld

Bei den starken Diskontinuitaten wird die kohasive Kraft mit der Verformung (Offnen

und Gleiten) des Verschiebungssprunges am Riss durch ein Rissgesetz verbunden und

dadurch ein kohasiver Riss bzw. eine Gleitlinie modelliert. Wenn die Rissoffnung einen

bestimmten Grenzwert erreicht, wird der Riss spannungsfrei.

Nicht-kohasive Materialien konnen mittels spannungsfreien starken Diskontinuitaten gut

abgebildet werden. Fur sprodes Material sind sie jedoch nur fur sehr große Skalen an-

wendbar, bei denen die Bruchzone vernachlassigbar klein ist im Vergleich zu den charak-

teristischen Abmessungen der Struktur. Fur kleinere Skalen wird das Modell durch ein

Rissgesetz verbessert. Dadurch verschwindet die Spannungssingularitat an der Rissspitze

und die Bruchzone erhalt eine finite Lange, wahrend die Breite weiterhin null bleibt.

Diskontinuitaten im Dehnungsfeld

Bei schwachen Diskontinuitaten bilden sich an den internen Grenzen, die ein Band

von Softening-Material (lokalisierte Dehnungen) von dem umgrenzenden Material tren-

nen, Sprunge im Dehnungsfeld. Die Breite der Dehnungslokalisierung wird entweder

als unabhangige Materialeigenschaft (spezifische Materiallange) oder als Maß des mi-

nimal moglichen Lokalisierungsmusters (physikalischer Materialparameter) betrachtet.

Beim erstgenannten ist das Softening-Spannungs-Dehnungs-Gesetz eindeutig definiert,

wahrend beim zweitgenannten der Softening-Modul von der raumlichen Diskretisierung

des Netzes und dessen Orientierung abhangig ist. Dieser kann als regulierte Form des

kohasiven Risses interpretiert werden mit der starken Diskontinuitat als Limit bei Netz-

verfeinerung.

2.2 Finite Elemente mit Embedded Discontinuities

Eine Methode, Diskontinuitaten flexibler und unabhangig von der Vernetzung zu be-

schreiben, ist die Einbettung von Unstetigkeiten in die Finiten Elemente, ausfuhrlich

erlautert in (Jirasek and Patzak, 2001) und (Jirasek and Belytschko, 2002).

Die Finite-Elemente-Interpolation wird durch nicht-konforme Funktionen, die den Sprung

im Verschiebungsfeld abbilden konnen, erweitert. Explizit ist dies durch zusatzliche dis-

kontinuierliche Formfunktionen im Verschiebungsansatz (Elemente mit Embedded Dis-

continuities - EED) und implizit durch zusatzliche Dehnungsmodi, die einer Verschie-

bungsunstetigkeit entsprechen, bzw. durch Materialgesetze (z.B. Smeared Crack Models)


moglich. Bei Elementen mit Embedded Discontinuities als explizite Abbildung der Un-

stetigkeit verlauft der Riss unabhangig vom Finiten-Elemente-Netz und das Verschie-

bungsfeld wird um einen Teil, der das Offnen und Gleiten des Risses beschreibt, er-

weitert. Anders als bei den Smeared Crack Models, die den Verschiebungssprung uber

eine finite Flache verschmieren und durch nicht elastische Dehnungen ersetzen, wird bei

den Elementen mit Embedded Discontinuities die Unstetigkeit durch zusatzliche loka-

le Freiheitsgrade reprasentiert. Die Dehnungen des Materials ergeben sich durch eine

zusatzliche interne Gleichgewichtsbedingung, das Rissgesetz. Die Anreicherung mit der

speziellen Sprungfunktion ψ (Addition zu den Formfunktionen) fuhrt zu inkompatibeln

Verschiebungsmodi Das heißt die Anreicherung wird durch eine Linearkombination mit

den Formfunktionen N erreicht, die in allen Knoten null wird. Die Anreicherungsfunktion

ergibt damit zu:

ΨEED(x) = ψ(x) −NI(x) (1)

Durch die nicht-konforme Formulierung an den Elementkanten konnen die zusatzlichen

Freiheitsgrade als interne Freiheitsgrade behandelt und somit auf Elementlevel elimi-

niert werden. Damit bleiben die globalen Gleichungen unverandert. Um die Eindeutig-

keit der Elementantwort eines lokal angereicherten Elementes zu garantieren, mussen

Einschrankungen zu Elementgroße und -form eingehalten werden. Noch strengere Bedin-

gungen sind in 3D und fur mehrere Unstetigkeiten in einem Element zu erfullen. Werden

diese nicht beachtet, ist die numerische Losung nicht robust und konvergiert nicht fur

alle moglichen Belastungen. Divergenz auf dem Elementlevel tritt dann schon bei einer

ungunstigen Position einer Diskontinuitat auf. Durch die Sensibilitat der Elemente mit

Embedded Discontinuities gegenuber der Lage der Unstetigkeiten kann ohne numeri-

sche Tricks die Methode praktisch nicht auf drei Dimensionen erweitert werden, womit

die Einfachheit der Originalidee verloren geht (Jirasek and Patzak, 2001). Zusatzlich ist

die tangentiale Steifigkeitsmatrix eines Elementes mit eingebetteten Unstetigkeiten im

allgemeinen nicht symmetrisch, auch bei symmetrischer Materialsteifigkeitsmatrix des

kontinuierlichen Materials und der kohasiven Diskontinuitat.

Bei der Anreicherung von Kontinuummodellen durch kohasive Diskontinuitaten wird ein

Materialgesetz benotigt, dass zusatzlich zu dem Spannungs-Dehnungs-Gesetz die von der

Diskontinuitat ubermittelten Zugkrafte mit dem Verschiebungssprung verknupft. Ver-

schiedene Rissgesetze werden in (Jirasek and Belytschko, 2002) vorgestellt.

Finite Elemente mit Embedded Discontinuities sind mit einer besseren kinematischen Be-

schreibung des Diskontinuitatsfeldes ausgestattet als reine Kontinuummodelle, die den

Verschiebungssprung uber das gesamte Element verschmieren (Abb. 3b), weisen aber

weiterhin gewisse Grenzen auf (Jirasek and Belytschko, 2002).


2.3 Extended Finite Element Method

Die Extended Finite Element Method (X-FEM) ist eine numerische Methode um sowohl

starke als auch schwache Diskontinuitaten im Rahmen der finiten Elemente zu model-

lieren. Sie basiert auf der konformen - auf dem Prinzip der Partition of Unity (Babuska

and Melenk, 1997) beruhenden - Erweiterung des Verschiebungsfeldes durch eine dis-

kontinuierliche Anreicherungsfunktion. Das Prinzip der Partition of Unity sagt aus, dass

die Summe aller Formfunktionen eines Knotens gleich eins ist (∑

I NI(x) = 1). Dies

entspricht der bekannten Fahigkeit der Formfunktionen, einen konstanten Verzerrungs-

zustand exakt abzubilden.

In (Belytschko and Black, 1999) werden spannungsfreie Risse in der zweidimensionalen

linear elastischen Bruchmechanik betrachtet. Durch Diskontinuitatsfunktionen, die das

exakte asymptotische Rissspitzen-Verschiebungsfeld abbilden konnen, wird die Finite-

Elemente-Approximation angereichert. Dadurch wird die Diskontinuitat innerhalb der

finiten Elemente ohne explizite Abbildung der Geometrie dargestellt und a priori Kennt-

nisse uber das Verhalten von Verschiebungsfeldern werden eingearbeitet.

Die Anreicherungsfunktion wird durch das Produkt der speziellen Unstetigkeitsfunktion

ψ mit der entsprechenden Formfunktion N beschrieben.

ΨX−FEM(x) = NI(x)ψ(x) (2)

Durch die Multiplikation mit den lokalen Einflussfunktionen wird die globale Diskonti-

nuitatsfunktion auf ein lokales Gebiet beschrankt und so das Prinzip der Partition of

Unity angewendet. In (Belytschko and Black, 1999) werden vier Rissspitzenfunktionen

ψ(x) = [Φα(x), α = 1–4], die auf zweidimensionsnalen Verschiebungsfeldern fur kombi-

nierte Modi I und II in Rissspitzennahe basieren, als Erweiterungsfunktionen eingefuhrt.

In (Fleming et al., 1997) werden dieselben Rissspitzenfunktionen in die elementfreie

Galerkin-Methode eingebunden.1 Die erste Rissspitzenfunktion ist entlang des Risses un-

stetig, die anderen sind stetig.

Der gesamte Riss wird in (Belytschko and Black, 1999) mit den Rissspitzenfunktionen

abgebildet und ein Verfahren zur Berechnung von geknickten Rissen wird vorgestellt.

In diesem wird das auf die Rissspitze folgende Risssegment virtuell in das Rissspitzen-

koordinatensystem gedreht, wobei die Segmentlange nicht verandert wird. Mit diesen

Anreicherungsfunktionen muss eine minimale Netzgenerierung fernab der Rissspitze er-

folgen.

Fur die Risswachstumsrichtung wird in (Belytschko and Black, 1999) das Umfangsspan-

nungskriterium verwendet, damit wachst der Riss in Richtung des Winkels, fur den die

1Der Unterschied zwischen der Erweiterung der netzfreien Verfahren und der FEM liegt in den ver-

schiedenen zugrundeliegenden Funktionen, auf die Partition of Unity angewendet wird.


Umfangsspannung maximal und die Schubspannung null wird (Hauptspannungszustand).

Die Spannungsintensitatsfaktoren werden mit der Bereichsform des Interaktionsintegral

berechnet und durch eine Wichtungsfunktion begrenzt.

(Moes et al., 1999) hat die Methode mit einer zusatzlichen Diskontinuitatsfunktion, der

Generalisierten Heaviside-Funktion H(x), erweitert. Die Rissspitzenfunktionen werden

nur auf die Rissspitzenelemente angewendet und der restliche Riss durch eine entlang

des Risses unstetige Sprungfunktion abgebildet. Damit entfallt die von (Belytschko and

Black, 1999) benotigte minimale Netzgenerierung und der Riss kann - mit Ausnahme

einer geknickten Rissspitze innerhalb eines Elementes - ohne die Drehung in das Risss-

pitzenkoordinatensystem dargestellt werden.

Der Unterschied zwischen einer einfachen Rissgeometrie-Darstellung in der FEM und der

X-FEM wird in (Moes et al., 1999) ausfuhrlich erlautert. Fur die modellierten Risse er-

reicht (Moes et al., 1999) sehr gute Genauigkeiten der Ergebnisse nahezu unabhangig von

der Netzdichte bei hinreichend feiner Vernetzung. Die berechneten Spannungsintensitats-

faktoren (SIF) bleiben konstant, dadurch zeigt sich die hohe Qualitat der numerischen

Losung. Die Herleitung des Interaktionsintegrals wird in (Moes et al., 1999) kurz be-

schrieben. Die Risswachstumsrichtung definieren (Moes et al., 1999) ebenfalls uber das

Kriterium der maximalen Umkreisspannung.

In (Sukumar and Prevost, 2003) erfolgt eine umfangreiche Beschreibung der Methode.

Diese wird fur Bimaterial-Probleme erweitert und im besonderen wird eine Moglichkeit

der Implementierung der X-FEM in FORTRAN behandelt.

Ein wichtiges Kriterium fur die Selektion der anzureichernden Knoten ist das Flachen-

kriterium, dass in (Moes et al., 1999), (Dolbow et al., 1999) und (Sukumar and Prevost,

2003) beschrieben wird. Es verhindert, dass Knoten dessen Einflussgebiet nur minimal

von dem Riss geschnitten wird, angereichert werden. Dadurch wird eine konstante An-

reicherung, die zu einer linearen Abhangigkeit der Freiheitsgrade fuhrt, vermieden.

Der Riss wird als vollstandig unabhangige geometrische Komponente behandelt und die

einzige Wechselwirkung mit dem Netz besteht durch die Auswahl der anzureichernden

Knoten und der veranderten Integration des Elementes.

In (Belytschko and Black, 1999) und (Sukumar and Prevost, 2003) wird der Nachweis

erbracht, dass die schwache Form des Gleichgewichts inklusive der Bedingung fur span-

nungsfreie Rissrander dem starken Gleichgewicht entspricht. Die durch einen Riss geteil-

ten Elemente werden in Dreiecke unterteilt um eine korrekte numerische Integrierbarkeit

zu gewahrleisten. Die schwache Form des Gleichgewichts erfordert, dass die Rissgeome-

trie einer Dreieckskante (2D) bzw. Flache (3D) entspricht. Nur so wird nicht uber eine

Unstetigkeitsfunktion integriert und die Aquivalenz des starken und schwachen Gleichge-

wichts beibehalten. Diese Unterteilung verursacht keine neuen Unbekannten, da sie nur


numerischen Zwecken dient. Auch andere Verfahren der Integration sind moglich, wurden

aber bisher nicht verwendet.

2.4 Vergleich der EED und der X-FEM

Ψ = H −NI

(a) EED

+1

NI

I

+

0+

+1

H

+- -

+

Ψ = NIH

-1

-

+

+1

H

+

+1

(b) X-FEM

NI

IRiss Riss

Abbildung 2: Diskontinuierliche Approximation in 1D:

a) Elemente mit Embedded Discontinuities und b) Extended Finite Elements

Die Formulierungen der EED und der X-FEM reichern die Finite-Elemente-Approximation

durch diskontinuierliche Formfunktionen an, die aber nicht gleichwertig sind.

Die EED wird durch eine Funktion erweitert, die die Standard-Formfunktionen N der

finiten Elemente von einer Sprungfunktion (z.B. Heaviside-Sprungfunktion H(x)) subtra-

hiert. Dadurch entstehen auch Diskontinuitaten an den Elementkanten (nicht-konforme

Anreicherung). Die zusatzlichen lokalen Freiheitsgrade reprasentieren den Verschiebungs-

sprung, wahrend die Standard-Freiheitsgrade ihre ursprungliche Bedeutung der Knoten-

verschiebungen beibehalten. Außerhalb des betroffenen Elementes wird die Funktion null

gesetzt.

Im Unterschied dazu wird in der X-FEM der Verschiebungsvektor durch das Produkt der

Formfunktionen mit den Anreicherungsfunktionen, z.B. der Generalisierten Heaviside-

Funktion, erweitert. Dabei werden nur Knoten, deren Einflussbereich einen Riss enthalt,

angereichert. Das Verschiebungsfeld wird nun durch einen kontinuierlichen und einen

diskontinuierlichen Anteil abgebildet und die Anreicherungsfunktionen sind nur an der


Rissgeometrie unstetig und somit konform. Die Erweiterung der Interpolation basierend

auf dem Konzept der Partition of Unity verbessert wesentlich die Robustheit und Flexi-

bilitat im Vergleich zur EED.

Die Abb. 3 verdeutlicht die unterschiedliche Darstellung eines Risses in der Finiten Ele-

mente Methode, bei Elementen mit Embedded Discontinuities und in der Extended Finite

Element Method (Jirasek and Belytschko, 2002).

Abbildung 3: Separationsvergleich: (a) reeller Korper in zwei Teile geteilt, (b) Finites Standard-

Element mit verschmierter Rissabbildung, (c) Element mit Embedded Discontinuities, (d-e)

Extended Finite Element

Physikalisch kann die EED beliebige Verschiebungssprunge an einer Unstetigkeitsstelle

abbilden, aber die Dehnungen in dem gerissenen Element bleiben beiderseits des Ris-

ses die gleichen. Somit sind auch fur einen spannungsfreien Riss die Dehnungen in den

beiden Elementhalften voneinander abhangig und das Verhalten der zwei komplett ge-

trennten Sturkuren kann nicht korrekt abgebildet werden (Abb. 3c). Anders bei der

X-FEM, die einer Abbildung von zwei vollstandig unabhangigen Netzen ohne kinemati-

sche Einschrankungen entspricht (Abb. 3d-e). (Die durchgangigen Linien in Abb. 3e re-

prasentieren die beiden entkoppelten Elementhalften.) Eine Verbindung ist fur kohasives

Material nur durch ein Rissgesetz vorhanden. Fur Grenzflachen zwischen verschiedenen

Materialien kann dieses Gesetz durch ein Kontaktgesetz ersetzt werden.

Vom rechnerischen Gesichtspunkt ist der interne Charakter der auf Elementebene eli-

minierten zusatzlichen Freiheitsgrade bei den EED ein Vorteil, da die Anzahl und die

Bedeutung der globalen Freiheitsgrade sich im Vergleich zum finiten Standard-Element

nicht andert. Die Losung des inkrementellen Problems muss eindeutig sein, weil sonst

numerische Schwierigkeiten auftreten. In (Jirasek and Belytschko, 2002) wird auf die Be-


dingungen fur die Eindeutigkeit der Elementlosung eingegangen.

Trotz der aufwandigeren Implementierung und der ansteigenden Anzahl der globalen

Freiheitsgrade, ist die X-FEM den Elementen mit Embedded Discontinuities durch ihre

uberragenden kinematischen Eigenschaften und die numerische Robustheit vorzuziehen.

Die folgende Tab. 1 gibt einen Uberblick uber die wichtigsten Merkmale der beiden Me-

thoden.

EED X-FEM

zusatzliche Freiheitsgrade interne globale

verbunden mit Elementen Knoten

Verschiebungsapproximation nicht-konform konform

Steifigkeitsmatrix immer nicht symmetrisch symmetrisch

Dehnungen in den getrennten Teilen teilweise verbunden unabhangig

Implementierungsaufwand kleiner großer

numerischer Robustheit begrenzt gut

Tabelle 1: Vergleich der EED und X-FEM

2.5 Vorteile der Extended Finite Element Method

Mit der X-FEM wurde ein einfaches numerisches Mittel der Modellierung von Diskonti-

nuitaten geschaffen. Die Standard-Finite-Elemente-Approximation wird durch spezielle

Funktionen auf der Basis der Partition of Unity erweitert.

Die lokalen Anreicherungsfunktionen haben aufgrund der Partition of Unity einen be-

grenzten Einflussbereich und konnen exakt wiedergegeben werden. Die Interpolation der

Verschiebung bleibt konform, die Elemente kompatibel zueinander und die Dehnungen

auf beiden Seiten des spannungsfreien Risses sind vollstandig voneinander entkoppelt.

Die zusatzlichen Freiheitsgrade sind global und werden den existierenden Knoten des

Finiten-Elemente-Netzes zugewiesen. Dabei behalt die Steifigkeitsmatrix ihre Symmetrie

und ihre Bandstruktur. Die Eigenschaften des originalen Finiten-Elemente-Netzes blei-

ben aufgrund der Partition of Unity erhalten. Die Genauigkeit der Losung kann durch

Anreicherungsfunktionen, die a priori Kenntnisse des Verschiebungsfeldes berucksichti-

gen, verbessert werden.

Die X-FEM kann auf umfangreiche Technologie und Software der FE zuruckgreifen. Um

eine Anreicherung der FE-Knoten zu erreichen, sind nur minimale rechnerische Hilfsmit-

tel notwendig. Durch die Flexibilitat der X-FEM kann ein großer Bereich von mechani-

schen Problemen gelost werden. Interne Strukturen konnen ohne explizite Modellierung

der inneren Grenzen unkompliziert modelliert werden. Schwierigkeiten wie bei der EED


aufgrund der nicht-konformen Interpolation konnen mit Hilfe der X-FEM uberwunden

werden.

Die X-FEM liefert z.B. fur Risswachstumsberechnungen in komplexen Geometrien mit

relativ grobmaschigem Netz prazise Ergebnisse. Sie kann auf drei Dimensionen, nicht-

lineare Probleme und anisotrope inhomogene Materialien verallgemeinert werden. Auch

auf Finite Elemente hoherer Ordnung (p-Methode) ist die X-FEM ubertragbar. Belie-

big verlaufende sich schneidende und verastelte und kohasive Risse konnen modelliert

werden. Die Resultate sind in einem weiten Rahmen nahezu unabhangig von der Ele-

mentgroße (Moes et al., 1999).

Mit der X-FEM wurde eine elegante Methode der Rissmodellierung entwickelt, deren ein-

zigstes Manko die Notwendigkeit einer variablen Anzahl von Freiheitsgraden pro Knoten

ist.

3 RISSMODELLIERUNG MITTELS X-FEM 12

3 Rissmodellierung mittels X-FEM

3.1 Die erweiterte Verschiebungsfunktion

Ω

Γt

Γu

t

Γc

Abbildung 4: Struktur mit Riss

Die Extended Finite Element Method wird im folgenden fur die Modellierung von Ris-

sen im zweidimensionalen linear elastischen Raum erlautert. Die X-FEM erweitert die

Finite-Elemente-Formulierung durch Anreicherungsfunktionen des Verschiebungsfeldes,

die durch zusatzliche Freiheitsgrade an den Knoten der finiten Elemente definiert sind.

Die Anreicherung erfolgt nach dem Prinzip der Partition of Unity (∑

I NI(x) = 1), dazu

werden die speziellen Funktionen ψ mit den Standard-Formfunktionen N multipliziert.

Alle Knoten, deren Einflussgebiet von einem Riss geteilt ist, werden mit einer Sprungfunk-

tion angereichert. Das Einflussgebiet ω eines Knoten I ist als die Menge aller Elemente,

die den Knoten I enthalten, definiert.

ωI = x : NI(x) > 0 (3)

Die Formfunktion NI(x) ist dem Knoten I zugehorig.

Ω ⊂ <2 sei ein Bereich, der im Inneren einen spannungsfreien Riss enthalt mit

Γc - Rissoberflache (innerer Rissbereich),

Λc - Rissspitzenflache und

Γc = Γc ∪ Λc - gesamte Rissoberflache.

Der erweiterte Verschiebungsvektor u hat allgemein folgende Form:

uh(x) =N∑

I=1

NI(x)

(M∑

α=1

ψα(x)dαI

)

(4)

Wie in Gleichung 4 ersichtlich wird, sind die finiten Elementen ein Teilbereich der erwei-

terten Approximation (fur ψ(x) = 1).


Fur die Modellierung von zweidimensionalen spannungsfreien Rissen wird das Verschie-

bungsfeld mit der Generalisierten Heaviside- H(x) und den Rissspitzenfunktionen Φα(x)

beschrieben.

uh(x) =∑

I∈N

NI(x)

uI +H(x)aI︸︷︷︸

I∈NΓ

+

4∑

α=1

Φα(x)bαI

︸︷︷︸

I∈NΛ

(5)

mit

uI - Vektor der Knotenverschiebungen des kontinuierlichen Teiles,

aI - Vektor der erweiterten Knotenfreiheitsgrade, die mit der Heaviside-Funktion ver-

knupft sind und

bαI - Vektor der erweiterten Knotenfreiheitsgrade, die mit den Rissspitzenfunktionen ver-

knupft sind.

Die Mengen NΛ und NΓ enthalten die mit den zusatzlichen Freiheitsgraden angerei-

cherten Knoten. Die Menge NΛ beinhaltet die Knoten, in deren Einflussbereich eine der

beiden Rissspitzen liegt. Den zwei Rissspitzen entsprechend wird diese Menge nochmals

in NΛ1und NΛ2

fur die jeweilige Rissspitze 1 und 2 aufgeteilt. NΓ besteht aus Knoten,

deren Einflussbereich von einem Riss geschnitten wird, aber nicht zu NΛ gehoren.

NΛ = nK : nK ∈ N , ωK ∩ Λc 6= ∅NΓ = nJ : nJ ∈ N , ωJ ∩ Γc 6= ∅, nJ /∈ NΛ

(6)

Wie bei den Standard-Freiheitsgraden gibt es einen erweiterten Freiheitsgrad fur jede

raumliche (lokale) Richtung, das heißt fur den zweidimensionalen Fall zwei Freiheitsgrade

pro Anreicherung des Knotens. Der Riss kann sich somit sowohl senkrecht als auch parallel

zum Rissverlauf bewegen bzw. in Kombination von beiden.

3.2 Die Anreicherungsfunktionen

Die gewahlte Sprungfunktion zur Abbildung der gerissenen Elemente ist die Generali-

sierte Heaviside-Funktion H, deren Diskontinuitat entlang der Rissgeometrie verlauft.

Sie nimmt den Wert 1 oberhalb und den Wert -1 unterhalb des Risses an. Die Funktion

ist unstetig fur alle x ∈ Γc (Moes et al., 1999):

H(x) =

1 fur (x − x∗) · n ≥ 0

−1 anderenfalls(7)

Der Punkt x ist z.B. ein Integrationspunkt und x∗ ist der Punkt auf dem Riss mit dem

kurzesten Abstand zu x.


Riss

x

x*

−→e n

−→e s

Abbildung 5: Darstellung der normalen und tangentialen Koordinaten eines Risses, in diesem

Fall ist die Sprungfunktion H(x) = −1.

Der Verlauf der Unstetigkeit kann auch mit Hilfe der Determinante ∆ beschrieben werden

(Sukumar and Prevost, 2003). Die Gleichung fur ∆ ist gegeben durch

∆ = (x1 − x)(y2 − y) − (x2 − x)(y1 − y) (8)

mit den jeweiligen Koordinaten der Rissspitzen x1 und x2. Fur die Implementierung in

−→x 1

−→y 1

Rissspitze 1

Rissspitze 2

−→y 2 −→x 2

Abbildung 6: Rissspitzenkoordinaten

SLang werden die lokalen Koordinaten der Schnittpunkte des Risses mit den Elementkan-

ten in die Gleichung 8 eingesetzt. Die Determinante ∆ entspricht der zweifachen Flache

des Dreiecks 4(x1x2x). Mit Hilfe dieser Funktion ergibt sich die Heaviside-Funktion fol-

gendermaßen:

H(x) =

1 fur ∆ > 0

−1 fur ∆ < 0(9)

Es ist moglich, eine weitere Bedingung fur Integrationspunkte auf dem Riss (H(x) = 0)

fur kohasives Material hinzu zu fugen. Bei spannungsfreien Rissen liegen keine Integrati-

onspunkte auf dem Riss, deshalb ist diese Erweiterung nicht notwendig.

Fur die Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix (B-Matrix) muss auch die Heaviside-Funktion

abgeleitet werden, es ergibt sich die Dirac-Delta-Funktion.


Die allgemeine Dirac-Delta-Funktion lautet:

δ(t) = 0 fur t 6= 0∫ +∞

−∞δ(t)dt = 1

(10)

Fur die Rissgeometrie ergibt sich:

δ(x) =

∞ fur x = x∗ bzw. ∆ = 0

0 fur x 6= x∗ bzw. ∆ 6= 0(11)

Die Ableitung des erweiterten Teils der Verschiebung:

(NIH),x = (NI,xH) + (NI H,x︸︷︷︸

δ(x)

)

reduziert sich fur spannungsfreie Risse auf den ersten Summand, da der zweite fur alle

Punkte, die nicht auf dem Riss liegen, also fur alle Integrationspunkte, zu null wird. 2

Die vier Rissspitzenfunktionen (Belytschko and Black, 1999) beinhalten das linear elas-

tische zweidimensionale asymptotische Rissspitzen-Verschiebungsfeld, dass das Verschie-

bungsverhalten in der Umgebung einer Rissspitze abbildet.

[Φα(x), α = 1–4] =

[√r sin

θ

2,√r cos

θ

2,√r sin θ sin

θ

2,√r sin θ cos

θ

2

]

(12)

r und θ sind die polaren Koordinaten des lokalen Rissspitzen-Koordinatensystems. Die

Transformation erfolgt nach den Formeln:

r =√

x2 + y2

θ = tan−1(y

x

) (13)

Die erste der vier Rissspitzenfunktionen ist entlang des Risses unstetig (Abb. 7). Die

anderen drei sind stetig (Abb. 8-10). Im Bereich der Rissspitze ist der Riss nur in der

normalen Richtung unstetig, da der Riss in Mode I wachst. Von der Rissspitze entfernt ist

das Verschiebungsfeld normal und tangential zum Riss unstetig (Jirasek and Belytschko,

2002).

2Fur kohasive Risse gilt dies nicht, da Integrationspunkte auf dem Riss liegen.


-1

-1 -1

-0,5

-0,5 -0,5

000

0,50,5

0,5

11

1

Abbildung 7: Risssptizenfunktion Φ1(x) =√

r sin θ2

-1 -1

-0,5 -0,5

000

0,50,5

0,2

11

0,4

0,6

0,8

1


r cos θ2


11

-0,6

0,5

-0,4

0,5

-0,2

000

0,2

-0,5

0,4

-0,5

0,6

-1 -1


r sin θ sin θ2

-1

-1-0,5

-0,5

000

0,5

0,5 1

0,1

1

0,20,30,40,50,60,7


r sin θ cos θ2


3.3 Das Flachenkriterium

Fur jeden Knoten in NΓ wird dessen Einflussgebiet durch den Riss vollstandig in zwei

Bereiche geteilt. Wenn fur einen bestimmten Knoten I einer dieser Bereiche sehr klein ist,

so wird dieser aus der Menge der angereicherten Knoten in NΓ entfernt. Dadurch wird

eine nahezu konstante Anreicherung durch die Heaviside-Funktion verhindert.

Das Flachenkriterium wird wie folgt definiert: Die Flache oberhalb des Risses Aobenω ergibt

mit der Flache unterhalb Auntenω die Gesamtflache Aω des Einflussgebiets ω. Wenn eins

der beiden Verhaltnisse minAunten

ω , Aobenω

/Aω kleiner als ein Toleranzwert ε ist, dann

wird der entsprechende Knoten aus der Menge NΓ entfernt. In (Sukumar and Prevost,

2003) wird ein ε = 10−4 und in (Dolbow, 1999) ein Wert von 0.01 verwendet.

Riss

Einflussgebiet ω

Knoten I

Elemente

Aobenω

Auntenω

Abbildung 11: Das von einem Riss geteilte Einflussgebiet eines Knotens

3.4 Der Algorithmus der Element-Partitionierung

Ein Element, dass einen Riss enthalt, wird in zwei durch den Riss getrennte Gebiete ge-

teilt. Diese werden zu Integrationszwecken mit einem Triangulierungs-Algorithmus parti-

tioniert. Das Element wird in Dreiecke unterteilt, deren Kanten mit dem Rissverlauf uber-

einstimmen. Dies ist notwendig, um eine Integration uber eine unstetige Funktion und

die damit verbundenen numerischen Schwierigkeiten zu vermeiden. Die Aquivalenz zwi-

schen schwacher und starker Form des Gleichgewichts geht ohne Triangulierung verloren,

da die schwache Form eine Ubereinstimmung der Elementkanten mit der Rissgeometrie

verlangt und die Gauß-Quadratur ansonsten ungenaue Ergebnisse liefert (Sukumar and


Prevost, 2003). Die Partitionierung der Elemente verursacht keine zusatzlichen Freiheits-

grade und die Form der Dreiecke ist nicht beschrankt, da die Formfunktionen (klassische

und angereicherte) sich weiterhin auf die Knoten des Grundelementes beziehen.

3.5 Diskrete Gleichungen

Fur die linear elastische statische Modellierung wird die schwache Form des Gleichge-

wichts mit inneren Grenzen kurz hergeleitet. Der Bereich Ω wird durch Γ = Γu ∪ Γt ∪ Γc

begrenzt. Die Rissoberflache wird als spannungsfrei angenommen. Damit ergeben sich

diese Gleichgewichtsbedingungen:

∇ · σ + b = 0 in Ω

σ · n = t auf Γt

σ · n = 0 auf Γc+

σ · n = 0 auf Γc−

(14)

mit

n - dem nach außen gerichteten Normalenvektor,

σ - dem Spannungstensor und

b - der Kraft pro Flacheneinheit.

Kleine Dehnungen und Verschiebungen werden vorausgesetzt, damit ergibt sich die ki-

nematische Dehnungs-Verschiebungs-Beziehung mit dem symmetrischen Teil des Nabla-

Gradienten (Moes et al., 1999):

ε(u) = ∇su (15)

Das Hooksche Gesetz beschreibt das linear elastisches Materialgesetz

σ = C : ε (16)

mit der Elastizitatsmatrix C fur isotropes linear elastisches Material.

Durch die Variation des Weggroßenzustandes δu ergibt sich die schwache Form der Gleich-

gewichtsaussage (Prinzip der virtuellen Verschiebungen) (Konke, 2002). Das Gleichge-

wicht ist nur noch im gemittelten Sinne erfullt.∫

Ω

σ : δεdΩ =

∫

Ω

b · δudΩ +

∫

Γt

t · δudΓ (17)

Wird diese Gleichung auf ein Gebiet mit Riss angewendet, so ergibt sich:∫

Ωh

σ : δεhdΩ =

∫

Ωh

b · δuhdΩ +

∫

δΓht

t · δuhdΓ (18)


In (Belytschko and Black, 1999) wird die Aquivalenz des starken und des schwachen

Gleichgewichts mit der Bedingungen fur einen spannungsfreien Riss nachgewiesen.

Nach Ersetzen der Weggroßen durch diskrete Knotenfreiheitsgrade ergibt sich die diskrete

Form des Gleichgewichts ebenso wie bei der FEM:

kv = f (19)

mit:

v - Vektor der Knotenfreiheitsgrade,

k - globale Steifigkeitsmatrix und

f - Vektor der außeren Krafte.

Fur den linear elastischen Fall besteht dieses Gleichgewicht aus einem System von linear

unabhangigen Gleichungen. Im Unterschied zur FEM enthalt dieses Gleichungssystem

auch die zusatzlichen Unbekannten die aus den erweiterten Freiheitsgraden entstehen.

Die Steifigkeitsmatrix und der Kraftevektor werden elementweise berechnet und dann in

globale Koordinaten uberfuhrt.

Die Element-Steifigkeitsmatrix und der Vektor der außeren Krafte haben die folgende

Form:

keij =

kuuij kua

ij kubij

kauij kaa

ij kabij

kbuij kba

ij kbbij

(20)

fei =

fui fai fb1i fb2i fb3i fb4i

T

(21)

Die in Gleichung 20 aufgefuhrten Untermatrizen sind definiert als:

krsij =

∫

Ωe

(Bri )

TEBsjdΩ (r, s = u, a, b) (22)

und die Vektoren aus Gleichung 21:

fui =

∫

δΩht∩δΩe

NitdΓ +

∫

Ωe

NibdΩ (23)

fai =

∫

δΩht∩δΩe

NiHtdΓ +

∫

Ωe

NiHbdΩ (24)

f bαi =

∫

δΩht∩δΩe

NiΦαtdΓ +

∫

Ωe

NiΦαbdΩ (α = 1–4) (25)


Die Teilmatrizen der Verzerrungs-Verschiebungs-Matrix (B-Matrix), die Dehnungen mit

den Knotenfreiheitsgraden verknupfen, ergeben sich zu:

Bui =

Ni,x 0

0 Ni,y

Ni,y Ni,x

Bai =

(NiH),x 0

0 (NiH),y

(NiH),y (NiH),x

(26)

Bbi =

Bb1i Bb2

i Bb3i Bb4

i

Bbαi =

(NiΦα),x 0

0 (NiΦα),y

(NiΦα),y (NiΦα),x

(α = 1–4)

Damit konnen die Knotenfreiheitsgrade des Problems berechnet werden. Die Verschie-

bungen ergeben sich aus der Gleichung 5, die Dehnungen aus Gleichung 15 und die

Spannungen aus Gleichung 16.

4 IMPLEMENTIERUNG DER X-FEM 22

4 Implementierung der X-FEM

Im Rahmen dieser Arbeit wird die X-FEM fur spannungsfreie zweidimensionale Risse in

das Programm SLang implementiert.

Als zugrunde liegendes finites Element wird das Element plane4n verwendet. Dies ist

ein zweidimensionales vierknotiges Scheibenelement mit linearem Ansatz, dass auch in

ein dreidimensionales Koordinatensystem eingebunden werden kann. Je Knoten verfugt

es uber zwei lokale Verschiebungsfreiheitsgrade in der Ebene und uber drei globale Frei-

heitsgrade im Dreidimensionalen. Damit verfugt ein normales plane4n-Element uber 12

globale Freiheitsgrade.

Das Element besitzt eine Dicke h und kann nur mit linearen Materialgesetzen verwendet

werden. Die Elementkoordinatensysteme sind in Abbildung 12 dargestellt.

3

sz

y

x

r

2

1

4

Abbildung 12: Lokales und globales Elementkoordinatensystem

4.1 Rissabspeicherung am Element und am Knoten

Die Strukturen der Rissabspeicherung am Element und am Knoten bilden die Grundlage

fur alle weiteren Schritte. Aufgrund ihrer Bedeutung wird dieser Teil des Quellcodes der

Header node.h und element.h hier aufgefuhrt.


In der node.h wird die neue Struktur SL_enriched_dof erstellt

typedef struct /* nodal information depending on the enriched dofs*/

int enr_dof_num; /* global number of enriched dof */

int crack_num; /* number of the crack belonging to the enriched dof */

int shape_type; /* number of the cooresponding shape type

0 - H(x), 1 - Phi_1(x), 2 - Phi_2(x),.., 4 - PHi_4(x) */

SL_enriched_dof;

und in der Struktur SL node mit

int num_enriched_dof; /* number of enriched dofs */

SL_enriched_dof *enriched_dof; /* the definition of the enriched dofs */

aufgerufen. In der Struktur SL_enriched_dof werden fur jeden angereicherten Freiheits-

grad die Informationen uber die Nummer des globalen Freiheitsgrad, die Rissnummer und

der Typ der Anreicherungsfunktion abgespeichert und sind fur jeden Knoten abrufbereit.

In dem Header element.h werden in der Struktur SL_element die Anzahl der Risse

im Element abgespeichert

int num_cracks; /* number of cracks in the element */

SL_element_crack *crack; /* a list of the cracks in the element */

und die Struktur SL_element_crack aufgerufen.

typedef struct /* structure for the definition of the crack */

int crack_type; /* type of the crack in the element:

0 - crack, 1 - crack-tip */

int crack_num; /* number of the crack */

int num_crack_points; /* number of crack-points in the element */

double *crack_coor; /* local coordinates of the crack-points,

storage: c1r, c1s, c2r, c2s */

SL_element_crack;


Die Struktur SL_element_crack enthalt fur jeden Riss im Element den Risstyp, die Riss-

nummer, die Anzahl der Risspunkte und deren Koordinaten.

Bei der Erweiterung der beiden Header wurde darauf geachtet, die Strukturen moglichst

allgemein zu erstellen. So konnen die Strukturen ohne Veranderung fur mehrere oder

geknickte Risse bzw. auch fur Grenzflachen (neuer shape_typ) verwendet werden.

Die jeweiligen Daten werden dem Element und den Knoten in der Prozedur

element_modify.c zugewiesen. Dazu wird ein neues Attribut crack eingefuhrt und die

entsprechenden Daten eingelesen. Der SLang -Befehl lautet:

element modify, crack, "element number" "crack number" "crack type"

"number of crack points" "local coordinates (r,s)"/

Zum Beispiel:

element modify, crack, 1 1 0 2 0 -1 0 1,/

In Element 1 verlauft der Riss 1 vom 1. Risspunkt (0,-1) zum 2. Risspunkt (0,1). Die

Koordinaten sind in dem lokalen Elementkoordinatensystem gegeben. Der Beispielriss

teilt das Element also vertikal in zwei gleiche Teile.

0,-1

0,1

Riss 1

s

r

Abbildung 13: Beispielriss am Element 1

Der Befehl ist in dieser Form fur Elemente mit Riss und Rissspitze anwendbar. Aktuell

kann einem Element nur ein durchgehender Riss zugewiesen werden.

Die in element_modify.c ausgefuhrten Prozesse sollen in Zukunft implizit ablaufen.

Es wird ein Initialisierungsprozess implementiert, der der Struktur den initialen Riss

zuweißt und bei Risswachstum werden nur die Elemente in Rissspitzennahe uberpruft

und aktualisiert.


4.2 Triangulierung

Die Triangulierung des vollstandig gerissenen Elementes erfolgt in der Prozedur

elem_plane4n_crack_triang.c, die in der Datei element_modify.c aufgerufen wird.

Bisher ist die nur fur einen geraden Riss implementiert, die Erweiterung fur einen ge-

knickten Riss bzw. fur mehrere Risse ist jedoch vorgesehen.

Riss

Teildreiecke

Abbildung 14: Triangulierung eines gerissenen Elements

Der Algorithmus der Triangulierung uberpruft zuerst wie ein Element von dem Riss ge-

schnitten wird (Abfrage auf welcher Elementkante ein Riss-Endpunkt liegt), demzufolge

werden dann die Punkte der zwei entstehenden Polygone gespeichert und ihre Mittel-

punkte berechnet. Daraufhin werden fur jedes Polygon Dreiecke mit jeweils dem Mit-

telpunkt und zwei nebeneinander liegenden Punkten des Polygons als Eckpunkte ge-

speichert. Die Flachen der Dreiecke werden mit der Gleichung 8 berechnet. Jedes dieser

Dreiecke bekommt drei gleichgewichtete Gauß-Integrationspunkte (Bathe, 1996) zuge-

wiesen. Die Koordinaten der Integrationspunkte werden in lokalen Koordinaten des Ori-

ginalelementes ubergeben. Die Wichtungen der Integrationspunkte mussen ebenfalls auf

das Basiselement bezogen werden, dazu wird die aus den Dreieck folgende Wichtung

mit dem Verhaltnis der berechneten Dreiecksflache zur Flache des Basiselement mul-

tipliziert. Die neuen Integrationspunkte und ihre Wichtungen werden in der Struktur

SL_element_ip_data am Element gespeichert. Diese ist fur die Losung von Problemen

mit einer sich andernden Anzahl von Integrationspunkten (auch wahrend des Berech-

nungsprozesses) entwickelt wurden.

In Zukunft soll der am Knoten abgespeicherte shape_typ fur die Heaviside-Funktion an-

statt mit 0 mit den Werten 1 und -1 belegt werden. Damit wird schon in den Knotendaten

unterschieden, ob der Knoten ober- oder unterhalb des Risses liegt. Damit kann neben

anderen Vorteilen auch die Abfrage zur Lage des Risses im komplett gerissenen Element


vereinfacht werden.

Die Partitionierung fur Rissspitzenelemente wird mit dem selben Algorithmus implemen-

tiert, die Rissspitze wird dazu virtuell tangential bis zur Elementkante verlangert.

Riss

Rissspitze

Teildreiecke

Verlangerung

Abbildung 15: Triangulierung eines Rissspitzenelements

Die einzelnen Teilschritte des in Abschnitt 4.2 erlauterten Algorithmus sind nur lokal

in der Prozedur elem_plane4n_crack_triang.c abgespeichert und werden nicht an an-

dere Strukturen ubergeben. Da die Flachen der vom Riss getrennten Teilbereiche des

Elementes wieder bei der Anwendung des Flachenkriteriums (noch nicht implementiert)

fur mehrere Elemente benotigt werden, ist diese Losung nochmals zu uberdenken.

4.3 Steifigkeitsmatrix

In der Prozedur elem_plane4n_crack_stiff.c wird die lokale Steifigkeitsmatrix fur

Elemente mit erweiterten Freiheitsgraden erstellt. Um die lokalen Ableitungen der er-

weiterten Formfunktionen an den Integrationspunkten fur gerissene Elemente berechnen

zu konnen, werden die Daten des Risses an die Prozedur ubergeben. Die Berechnung

erfolgt in der Prozedur elem_plane4n_crack_bmat_enr, die im aktuellen Stand nur die

Ableitungen der mit der Heaviside-Funktion erweiterten Formfunktionen berechnet. Die

Implementierung einer Prozedur fur die Berechnung der Ableitungen der mit den Risss-

pitzenfunktionen angereicherten Formfunktionen erfolgt noch.

Aus den berechneten Ableitungen werden die Teilmatrizen der B-Matrix gebildet und

dann in eine komplette B-Matrix fur alle Freiheitsgrade einsortiert. Damit erfolgt die

Berechnung der gesamten Steifigkeitsmatrix (anstatt der Untermatrizen) mit der Glei-

chung 22.


Die Bildung einer Elementsteifigkeit mit unterschiedlicher Erweiterung der Knoten (An-

zahl der Freiheitsgrade und Anreicherungsfunktion) ist noch nicht moglich. Eine Abfrage

nach mindestens einem erweiterten Freiheitsgrad an einem Knoten muss dazu schon in

elem_plane4n.c eingebaut werden, um auch Rissnachbarelemente (ohne eigenen Riss)

mit der Prozedur elem_plane4n_crack_stiff.c berechnen zu konnen. Zusatzlich erfolgt

dann in der Prozedur elem_plane4n_crack_stiff.c die prazise Abfrage der Anzahl und

des Typs der erweiterten Freiheitsgrade. Die automatische Berechnung der Matrix fur ein-

heitliche Erweiterung der Knoten wird komplett entfernt, da diese nur einen speziellen

Fall dargestellt. Unterschiedliche Anzahl und Art der Anreicherungen sind relativ haufig,

sie treten z.B. bei Rissnachbarelementen, bei Elementen mit einer Rissspitze an der Ele-

mentkante und bei gerissenen Elementen neben dem dazugehorigen Rissspitzenelement

auf.

Nach dem Hinzufugen der Abfrage der erweiterten Freiheitsgrade und der Prozedur fur

die Berechnung der Ableitungen von mit Rissspitzenfunktionen erweiterten Formfunk-

tionen kann die Elementsteifigkeit ohne weiteres fur beliebige Freiheitsgrade berechnet

werden. Die Freiheitsgrade werden knotenweise in die Steifigkeitsmatrix einsortiert, die

Bandstruktur bleibt somit erhalten. Die Berechnung der globalen Steifigkeitsmatrix er-

folgt allgemeingultig fur eine beliebige Anzahl von erweiterten Freiheitsgraden.

Die Berechnung der lokalen und globalen Steifigkeitsmatrix fur ein Element mit Riss

wie z.B. in Abb. 13 ist erfolgreich in das Programm SLang implementiert. 3

4.4 Ausblick

Um die Berechnung eines beliebigen Risses mit Hilfe der X-FEM in dem Programm SLang

durchfuhren zu konnen, sind noch weitere Implementierungen notwendig.

Wichtige Teilbereiche sind:

- Erweiterte Elementsteifigkeit mit variabler Anzahl von Knotenfreiheitsgraden.

- Fall crackneighbor in die Prozedur element modify.c.

- Prozedur zur Ableitungsberechnung der mit den Rissspitzenfunktionen erweiterten

Formfunktionen.

- Erweiterung der Triangulierung fur Rissspitzenelemente und fur geknickte Risse.

- Initialisierungsalgorithmus zur Abspeicherung der Rissdaten am Element und Kno-

ten, automatische Auswahl der zu erweiternden Knoten.

3Die Losung wurde mit einer analytischen Berechnung in dem Programm Maple verglichen.


- Riss-Datenstruktur fur die unabhangige Abbildung des Risses und als Grundlage

fur den Initialisierungsalgorithmus.

- Flachenkriterium

- Kopplung der entsprechenden Knotenfreiheitsgrade fur Verschiebungsrandbedingun-

gen an Elementen mit zusatzlichen Freiheitsgraden.

5 ERWEITERUNGEN DER X-FEM 29

5 Erweiterungen der X-FEM

5.1 Verschiedene Entwicklungen

Basierend auf der in (Belytschko and Black, 1999), (Moes et al., 1999) und (Dolbow et al.,

1999) ausfuhrlich erlauterten Extended Finite Element Method werden in der folgenden

Literatur zahlreiche Erweiterungen prasentiert.

(Dolbow et al., 1999) entwickelt aufbauend auf der grundlegenden X-FEM eine alternative

Rissspitzenfunktion, die keine Abbildung der geknickten Risssegmente in Rissspitzenko-

ordinaten erfordert. Das Rissspitzenfeld wird dadurch nur noch angenahert beschrieben.

Multipliziert mit der Heaviside-Sprungfunktion ist die Funktion in der Lage den gesamten

Riss und das Risswachstum ohne erneute Netzgenerierung zu modellieren und ist somit

das wahrscheinlich einfachste Mittel der Rissmodellierung. Die Anreicherungsfunktion

bietet sich fur nicht-lineare Probleme, bei denen die exakte Rissspitzenfunktion nicht be-

kannt ist, an und kann ebenfalls fur 3D erweitert werden. Um den Naherungsfehler durch

die neue Funktion zu minimieren, kann diese die erste Funktion des Rissspitzenfeldes

ersetzen, wahrend die anderen unverandert bleiben. So ist der Fehler im Vergleich zur

exakten Funktion kleiner als 2%. Jedoch ist fur linear elastische Bruchmechanik weiterhin

die exakte asymptotische Rissspitzenfunktion zu empfehlen.

(Dolbow et al., 1999) behandelt weiterhin Riss und Risswachstum fur Mindlin-Reissner-

Platten. Der grundlegende Unterschied zu den Scheibenproblemen sind die unterschied-

lichen Rissspitzenfunktionen fur das Verschiebungsfeld.

In (Dolbow, 1999) werden zusatzlich zu den in (Dolbow et al., 1999) beschriebenen The-

men auch nicht-lineare Materialgesetze an Materialgrenzflachen und Risskreuzungen in

Elementen betrachtet. Die Nutzung der Extended Finite Element Method fur die Ab-

bildung von Materialgrenzflachen innerhalb einer Struktur macht eine den Materialien

entsprechende aufwandige Netzgenerierung in der FEM unnotig. Die Losung des nicht-

linearen Problems an der Grenzflache ist ein iterativer Prozess, der mit Hilfe der Latin

Methode, die in einen globalen linear und lokalen nicht-linearen Zustand unterteilt, be-

rechnet wird.

(Daux et al., 2000) erweitert die X-FEM fur beliebig sich verastelte und sich kreuzen-

de Risse, Locher und daran entstehenden Rissen mit jeweils spannungsfreien Randern.

Dafur werden neue diskontinuierliche Anreicherungsfunktionen entwickelt. Eine Verbin-

dungsfunktion fur Risskreuzungen/-verastelungen wird eingefuhrt und berucksichtigt den

Einfluss der Risse aufeinander. Prinzipiell wird ein Hauptriss modelliert, von dem an den

Verbindungsstellen sekundare Risse abgehen. Die Freiheitsgrade eines Knotens setzen

sich aus den klassischen, den fur den Hauptriss und jeweils weitere fur jeden sekundaren


Riss zusammen. Damit entspricht die Anzahl der Freiheitsgrade der doppelten Anzahl

(zwei Richtungsfreiheitsgrade) der durch die Risse entstehenden Teilstucke des Einfluss-

gebietes. Das Flachenkriterium wird fur Risskreuzungen angepasst. Die Modellierung von

Lochern erfolgt in (Daux et al., 2000) durch eine weitere Anreicherungsfunktion, die den

Einflussbereich der Formfunktionen auf den Materialteil begrenzt. Die Erweiterungen fur

sich verzweigende Risse und Locher werden zusammen mit der zugrunde liegenden X-

FEM anschaulich erlautert.

Im Unterschied zu den bisher erlauterten Anwendungen modelliert (Wells and Sluys,

2001) kohasive Risse mittels X-FEM, die z.B. bei sproden heterogenen Material ihre

Anwendung finden. Das Verschiebungsfeld wird mit der unstetigen Heaviside-Funktion

erweitert. Um die Rissspitzen in sproden Material zu modellieren, wird ein kohasives

Rissmodell verwendet, d. h. ein nicht-lineares Materialgesetz, dass Zugkrafte am Riss in

Funktion der Rissoffnung abbildet. Eine Bedingung, die dem erweiterten Teil des Ver-

schiebungsfeldes in (Wells and Sluys, 2001) auferlegt wird, ist das dieser Teil null ist,

wenn naturliche Randbedingungen aufgebracht werden. Dadurch wird die Methode ver-

einfacht und Prozeduren zur Aufbringung der komplexen Randbedingungen vermieden.

Inwieweit dies das Ergebnis beeinflusst, wird nicht beschrieben.

(Wells and Sluys, 2001) implementieren ein Dreieckselement mit sechs Knoten als grund-

legendes finites Element mit einem konstanten Ansatz der Dehnungen. Die Unstetigkei-

ten wachsen von Element zu Element und Rissspitzen konnen nicht im Element abbildet

werden. Auftretende Spannungssprunge haben keinen Einfluss auf die Robustheit des Al-

gorithmus und tendieren fur Netzverfeinerung gegen null. Die Anreicherung erfolgt nur

fur Knoten deren Einflussgebiet von einem Riss geteilt, nicht aber nur von der Rissspit-

ze beruhrt wird. Damit ist die Bedingung erfullt, dass der Verschiebungssprung an der

Rissspitze null ist. Wie in den bisherigen Quellen zur X-FEM wird das gerissene Ele-

ment mit dem Riss als Dreieckskante trianguliert. Zu den Integrationspunkten in jedem

Teildreieck werden im Unterschied zu den spannungsfreien Rissen zwei Punkte auf der

Diskontinuitat eingefuhrt, die der Integration der Zugkrafte dienen.

Eine weitere Variante der kohasiven Rissmodellierung mittels X-FEM wird in (Zi and

Belytschko, 2003) beschrieben. Die Methode wird auf das lineare 3-knotige und auf das

quadratische 6-knotige Dreieckselement angewendet. Eine auf dem Constant Strain Tri-

angle basierende Technik wird prasentiert, die gekrummte Risse durch Erweiterungen

hoherer Ordnung zulasst. Der Riss wird mit der Generalisierten Heaviside-Funktion ab-

gebildet und eine neue Funktion zur Abbildung der Rissspitzen wird entwickelt.

An der Rissspitze werden die Spannungen normal zu dem Riss und gleich der Materi-

alfestigkeit angenommen um einen kontinuierlichen Ubergang zum ungerissenen Mate-

rial zu gewahrleisten. Die Spannung ist abhangig von der Rissoffnung und nimmt mit


wachsender Rissoffnung ab. Zur Losung der Gleichgewichtsgleichungen wird der Newton-

Raphson-Algorithmus verwendet.

Die als Anreicherung benutzte Heaviside-Funktion genugt um Risswachstum von Element

zu Element abzubilden. Wird kontinuierliches Risswachstum als verbesserte Abbildung

der Realitat vorausgesetzt, dann sind spezielle Rissspitzenelemente notig, die nicht kom-

plett von dem Riss durchtrennt sind. Dies wurde bisher durch Rissspitzenfunktionen ab-

gebildet, womit sich die Anzahl der zusatzlichen Freiheitsgrade auf vier pro Richtung und

Knoten erhohte. In (Zi and Belytschko, 2003) wird verallgemeinert fur Elemente hoherer

Ordnung eine neue Methode der Erweiterung von Rissspitzenelemente beschrieben. Da-

bei wird der Riss implizit durch ein Zero Level Set gegeben. Die Heaviside-Funktion ist

um den Vorzeichenwert der Level Set Funktion an dem betrachteten Knoten verschoben,

damit die erweiterten Freiheitsgrade außerhalb des erweiterten Elementes verschwinden.

Fur die Dreieckselemente werden die naturlichen Dreieckskoordinaten verwendet. Die

Ordnung der Rissgeometrie wird durch die Hohe der Elementsordnung festgelegt, ein li-

neares Dreieckselement kann einen linearen Riss abbilden.

(Belytschko et al., 2001) stellen eine Technik der Modellierung von beliebigen (sich schnei-

denden und verastelnden) Diskontinuitaten in finiten Elementen vor. Die Position der

Unstetigkeiten wird durch die Level Set Funktion aktualisiert. Es werden eine Sprung-

funktion (mit einem Sprung von 0 auf 1) und die Rissspitzenfunktionen verwendet um

eine Unstetigkeit zu beschreiben. Fur mehrere Diskontinuitaten im Einflussbereich eines

Knotens mussen zusatzliche Funktionen, die die Wirkung der Diskontinuitaten aufeinan-

der berucksichtigen, eingefuhrt werden. Die in (Belytschko et al., 2001) benutzte Form

ist geringfugig anders als in (Daux et al., 2000), aber schwerer verstandlich beschrieben.

Anreicherungsfunktionen fur das Verschiebungsfeld, die Diskontinuitaten in den Ablei-

tungen reprasentieren, werden ebenfalls vorgestellt.

(Sukumar et al., 2000) beschreibt Risswachstum im dreidimensionalen Raum durch ei-

ne Diskontinuitatsfunktion und zweidimensionale Rissspitzen-Verschiebungsfelder. Riss-

wachstum mit Reibungskontakt erlautern (Dolbow et al., 2001) und (Sukumar et al.,

2003b) setzt sich mit Rissen in polykristallinen Mikrostrukturen auseinander. (Chessa

and Belytschko, 2003) benutzen die X-FEM fur Berechnungen in der Fluidmechanik.

(Stazi et al., 2003) entwickelten ein Element mit quadratischen Ansatz und linearer Er-

weiterung fur den linear elastischen Bruch, (Wells et al., 2002) ein 6-knotiges Dreiecks-

element fur kohasive Risse, die an den Elementkanten enden. Eine Technik die mit Hilfe

anderer Anreicherungsfunktionen gekrummte kohasive Risse und beliebig angeordnete

Rissspitzen in Dreieckselementen abbildet, wird in (Zi and Belytschko, 2003) prasentiert.

Erweiterte netzfreie Methoden und die X-FEM werden in (Sukumar, 2003) kurz zusam-

mengefasst und erlautert.


5.2 Kopplung der X-FEM mit der Level Set Method

Die Kombination der Extended Finite Element Method und der Level Set Method (LSM)

bietet enorme Moglichkeiten fur einen großen Bereich von Anwendungen durch ihre sich

erganzenden Fahigkeiten.

In (Sukumar et al., 2001) wird die Level Set Method mit der X-FEM zur vereinfachten

Modellierung von Lochern und anderen Heterogenitaten im Material verknupft. Die Level

Set Method reprasentiert die Lage von Lochern und Materialgrenzflachen und entwickelt

die lokale Anreicherungsfunktion fur die Materialgrenzflachen. Die entstehende Grenz-

flache wird als das Zero-Level-Set-Kurve einer Funktion einer um eins hoheren Dimen-

sion betrachtet. Die Bewegung der Grenzflache wird in eine hyperbolische Gleichung in

die Funktion des Level Sets eingebettet. Fur die Betrachtungen in der zweidimensionalen

elastischen Statik ist die Grenzflache statisch und die Level Set Funktion eindimensional.

Ein Beispiel fur eine solche Funktion ist eine Sprungfunktion wie die Heaviside-Funktion.

Topologische Anderungen der Grenzflache werden automatisch beschrieben und die Funk-

tionen konnen einfach fur hohere Dimensionen formuliert werden. Die Level Set Funktion

ist von einer um eins hoheren Dimension, was zu hoherem rechnerischen Aufwand fuhren

kann. Da nur die Bewegung der Region um den Riss von Interesse ist, braucht die Level

Set Funktion jedoch nur fur ein kleines Gebiet um die Grenzflache angewendet werden.

Die physikalische Beschreibung der Grenzflache erfolgt durch eine diskretisierte Zero Le-

vel Set Funktion, das Produkt der auf die Knoten fixierten geometrischen Zero Level Set

Werte mit den Formfunktionen. Die Level Set Method vereinfacht und beschleunigt die

geometrische Berechnung in der X-FEM. Die Grenzflachen werden unabhangig vom FE

Netz diskretisiert.

Unterschiedliche Materialeigenschaften konnen durch die Nutzung der Level Set Funktion

eingearbeitet werden. Das Material kann auf zwei verschiedene Weisen den Integrations-

punkten zugewiesen werden, entweder durch das Vorzeichen der Level Set Funktion oder

durch die Zuweisung des Materials zu den geteilten Elementen im Zweidimensionalen.

Die Erweiterung dieser zweiten Variante auf 3D ist nicht trivial.

Auch (Stolarska et al., 2001) verbindet die Level Set Method mit der Extended Finite

Element Method um so Risswachstum zu modellieren. Die Level Set Method definiert die

Risslage inklusive der Rissspitzen und die Extended Finite Element Method berechnet

die Spannungs- und Verschiebungsfelder und damit die Risswachstumsrate. Durch die

Beschreibung der Risses mittels Level Set vereinfacht sich die Auswahl der zu erweitern-

den Knoten und die Definition der Anreicherungsfunktionen.

In fruherer Literatur beschriebene Level Sets bildeten geschlossene oder an den Gebiets-

grenzen endende Risse ab. Durch die in (Stolarska et al., 2001) prasentierte Erweiterung


konnen mittels der Level Set Method auch offene Kurvensegmente (Rissspitzen innerhalb

der Struktur) abgebildet werden. Die Rissspitzen werden dabei durch den Schnittpunkt

zweier orthogonal zueinander stehender Zero Level Set Funktionen abgebildet. Zur Be-

schreibung jeder Rissspitze ist eine Zero Level Set Funktion notwendig.

(Belytschko et al., 2003) entwickeln eine Methode um Structured Finite Element Models

mit impliziten Oberflachen zu generieren, die sich bewegende Diskontinuitaten ohne neue

Netzgenerierung modellieren konnen. Diskontinuitaten konnen in der Funktion und de-

ren Ableitungen abgebildet werden und vollstandig in Abhangigkeit von Knotenvariablen

dargestellt werden. Die X-FEM bildet zusammen mit der Level Set Method die Entwick-

lungsgrundlage der Methode.

(Sukumar et al., 2003a) entwickeln eine neue numerische Technik fur ebenes dreidimen-

sionales Risswachstum. Dazu wird die X-FEM mit der Fast Marching Method verbunden,

die mit dem Paris-Risswachstums-Gesetz den Fortschritt des Risses modelliert. Die in-

itiale Rissgeometrie wird durch Level Set Funktionen abgebildet.

5.3 Schwache und starke Diskontinuitaten

In den folgenden Quellen werden die verschiedenen Arten von Diskontinuitaten und de-

ren Modellierung sowie die Einbindung der Diskontinuitaten in verschiedene Modelle und

deren Verknupfungen fur sprode Materialien erlautert. Sie werden der Vollstandigkeit hal-

ber hier kurz genannt.

Einen Uberblick uber die Modellierung von Dehnungslokalisierungen gibt (Jirasek and

Patzak, 2001). In (Jirasek and Belytschko, 2002) werden die Vor- und Nachteile der im-

pliziten und expliziten Darstellung von starken Diskontinuitaten betrachtet. Die Metho-

den der finiten Elemente mit Embedded Discontinuities (EED) und der Extended Finite

Elements (X-FEM) werden verglichen. In (Oliver and Manzoli, 1999) werden Diskonti-

nuitaten im Verschiebungsfeld mit plastischen Kontinuummodellen simuliert. Die Kine-

matik der schwachen und starken Diskontinuitaten wird betrachtet und ein regulierter

kinematischer Zustand wird entwickelt, um die Unstetigkeit des Verschiebungsfeldes als

Versagenszustand der Unstetigkeit des Verzerrungsfeldes zu modellieren. In (Oliver, 2000)

und (Oliver et al., 2002) wird die Verbindung der klassischen Kontinuum-Materialmodelle

mit der nicht-linearen, nicht-kohasiven Bruchmechanik erlautert.

6 ZUSAMMENFASSUNG 34

6 Zusammenfassung

Eine Methode zur Erweitung der Finiten-Elemente-Approximation, die Extended Finite

Element Method, wurde in dieser Arbeit vorgestellt. Eine ausfuhrliche Literaturrecher-

che bildet das Fundament fur die Beschreibung der Grundlagen der X-FEM. In der

Literatur wird sie als eine unkomplizierte, numerisch robuste Methode zur Berechnung

von Diskontinuitaten beschrieben, die Diskontinuitaten durch Anreicherung des Verschie-

bungsfeldes abbildet. Zusatzlich wurde ein Vergleich mit den Embeddded Discontinuities

durchgefuhrt, bei der die Erweiterung im Gegensatz zur X-FEM lokal vorgenommen wird.

Probleme, die bei dieser Methode auftreten, konnen mit der X-FEM durch den konfor-

men Ansatz uberwunden werden.

Im speziellen wird die Modellierung der X-FEM am Beispiel von Rissen im Zweidimensio-

nalen erlautert und im Rahmen dieser Arbeit in das Programm SLang implementiert. Im

aktuellen Stand der Implementierung kann die Steifigkeitsmatrix eines komplett gerisse-

nen Elementes berechnet werden. Es wurde eine allgemeine Erweiterung der Strukturen

auf mehrere variable Freiheitsgrade geschaffen, die in ihrer Anwendung nicht auf Riss-

probleme begrenzt ist. Die Nutzung der implementierten X-FEM fur andere mechanische

Probleme mit abzubildenden Diskontinuitaten, z.B. Abbildungen von Grenzflachen, sind

durch die bereits vorhandenen Strukturen mit nur geringem Aufwand moglich.

LITERATUR 35

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A ANHANG 38

A ANHANG

A.1 Dateien

In folgenden SLang -Dateien wurden Anderungen vorgenommen:

Header

node.h Neue Struktur zur Abspeicherung der zusatzlichen

Freiheitsgrade.

element.h Neue Struktur zur Abspeicherung der Risse.

elem_prototypes.h Initialisierung der neuen Prozeduren.

C-Prozeduren4

elem_plane4n.c Hinzufugen eines Falls der Steifigkeitsmatrix-

Berechnung fur gerissene Elemente.

element_modify.c Hinzufugen eines Falls crack (Abfrage der Parameter

und Abspeicherung in den entwickelten Strukturen)

und Anderungen fur den Fall material (Zugriff auch

auf neue Integrationspunkte)

element_build.c Bereitstellen des erweiterten Speicherplatzes fur die

Steifigkeitsmatrix.

global_build_1.c Schleife uber die zusatzlichen Freiheitsgrade beim Hin-

zufugen der Elementsteifigkeit zur globalen Steifig-

keitsmatrix.

global_build_4.c Hinzufugen der zusatzlichen Freiheitsgrade zu den

globalen und Zuweisung der globalen Freiheitsgrad-

Nummer.

global_build_5.c Setzen der restraints fur die zusatzlichen Freiheits-

grade.

A ANHANG 39

Diese Prozeduren wurden fur die Implementierung neu geschrieben:

C-Prozeduren

elem_plane4n_crack_blow.c Aufblasen einer Matrix mit 2D und zusatzlichen Frei-

heitsgraden auf 3D fur die Standardfreiheitsgrade.

elem_plane4n_crack_bmat_enr.c Berechnung der B-Matrix fur die zusatzlichen Frei-

heitsgrade.

elem_plane4n_crack_local_trans.c Transformation einer Matrix von lokalen zu globalen

Koordinaten.

elem_plane4n_crack_shape_der.c Berechnung der Ableitungen der mit der Heaviside-

Funktion erweiterten Formfunktionen.

elem_plane4n_crack_stiff.c Berechnung der Elementsteifigkeit von gerissenen Ele-

menten.

elem_plane4n_crack_triang.c Triangulierung eines Elementes mit einem linearen

Riss und Speicherung der neuen Integrationspunkte

und deren Wichtungen.

A.2 CD-ROM

Die CD-ROM enthalt alle in A.1 aufgefuhrten Dateien, sowie das vorliegende Schriftstuck

und ein Teil der verwendeten Literatur im PDF-Format.

A.3 Selbststandigkeitserklarung

Ich erklare, dass ich die vorliegende Arbeit selbststandig und nur unter Verwendung der

angegebenen Quellen und Hilfsmittel angefertigt habe.

Andrea Fuhlrott

Weimar, den 19.04.2004

Grundlagen der Extended Finite Element Method...

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