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Grundlagen der Technischen Informatik

2. Übung

Christian Knell

Keine Garantie für Korrekt-/Vollständigkeit

Übung zu Grundlagen der Technischen Informatik

2. Übungsblatt – Themen

Aufgabe 1: Hamming-Distanz

Aufgabe 2: Fehlererkennung, Paritätsbit

Aufgabe 3: Blocksicherung

Aufgabe 4: Fehlerkorrektur, Hamming-Distanz,

Hamming-Code

Aufgabe 5: Huffman-Code, optimale Codierung


2. Übungsblatt – Aufgabe 1

Das Bild zeigt ein Diagramm, dass die

Nachbarschafsbeziehungen für

einen Code mit 3 Binärstellen darstellt.

a) Welche Hamming-Distanz müssen die

gültigen Codeworte aufweisen, damit

Einzelfehler erkannt werden können? Wie viele

Zeichen können so mit 3 Binärstellen maximal codiert

werden?




a) Welche Hamming-Distanz müssen die gültigen Codeworte

aufweisen, damit Einzelfehler erkannt werden können? Wie

viele Zeichen können so mit 3 Binärstellen maximal codiert

werden?

HDmin(x) = d

→ (d-1) Fehler erkennbar

→ e = ((d - 1) / 2) Fehler korrigierbar

→ HDmin(x) = 2

→ Maximal 4 codierbare Zeichen (z.B.: 000, 011, 110, 101)


b) Welche Hamming-Distanz müssen die gültigen Codeworte

aufweisen, damit die Korrektur von Einzelfehlern möglich ist?

Wie viele Zeichen können jetzt maximal codiert werden?

HDmin(x) = 3

→ maximal 2 codierbare Zeichen



c) Die beiden Zeichen A und B sollen so codiert werden, dass

Einzelfehler korrigierbar sind. Wie viele Lösungen sind für die

Codierung der beiden Zeichen mit 3 Binärstellen möglich?

Geben Sie eine Lösung an.

Es sind insgesamt 8 Lösungen möglich.

Lösungen:


A 000 001 010 011 100 101 110 111

B 111 110 101 100 011 010 001 000


d) Bei der Datenübertragung mit einer Codierung nach c) wurde

genau eine Binärstelle falsch übertragen. Die folgenden

Daten wurden empfangen: 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 0.

Korrigieren Sie den Fehler.

Anordnung ergibt: 011 110 001 110

Man sieht schnell, dass 011 falsch übertragen wurde

korrigierte Daten: 001 110 001 110



Am Ende einer längeren

Übertragungsstrecke wird

die folgende Nachricht

Im ASCII-Code empfangen:

Es ist bekannt, dass der

Sender die 7 Bits des

ASCII-Codes um ein

Paritätsbits (ganz links)

ergänzt hat.


Empfangener Code ASCII-Zeichen

0 100 0111 ‘G‘

1 101 0100 ‘T‘

1 100 1001 ‘I‘

1 010 0100 ‘$‘

0 110 1001 ‘I‘

1 111 0011 ‘S‘

1 101 0100 ‘T‘

1 010 0000 ‘ ‘

1 111 0110 ‘V‘

0 110 1111 ‘O‘

0 110 1100 ‘L‘

0 110 1100 ‘L‘


a) Welches Zeichen wurde offensichtlich falsch übertragen?

Das Zeichen ‘$‘ wurde falsch übertragen, da die Parität

ungerade ist



b) Das letzte Wort lautete vor der Übertragung „toll“ und nicht

„voll“. Warum ist der von der Übertragungsstrecke

verursachte Fehler nicht erkennbar?

‘T‘ = 0 111 0100 ‘V‘ = 1 111 0110

→ Es handelt sich um einen Zweifachfehler

→ Zweifachfehler sind mit einfacher Paritätssicherung nicht

erkennbar.



Bei der Übertragung

wichtiger Daten im

ASCII-Code wird eine

Blocksicherung durchgeführt.

Die Prüfbits werden so

erzeugt, dass eine gerade

Parität entsteht.

Die folgende Tabelle zeigt

Die empfangenen Daten.

Offensichtlich wurden nicht

alle Daten richtig übermittelt.


Binärcode Prüfbit Hex ASCII

Block 1

101 0010 1 52 ‘R‘

100 1001 1 49 ‘I‘

101 0011 1 53 ‘S‘

010 1000 0 48 ‘H‘

111 0000 1 Prüfsumme


Block 2

101 0000 1 50 ‘P‘

100 1001 1 49 ‘I‘

100 0111 0 47 ‘G‘

010 0001 0 21 ‘!‘

111 1011 0 Prüfsumme


a) Welche Fehler (Anzahl, Einfach-/Mehrfachfehler) sind

korrigierbar?

Bei einer Blocksicherung mit Paritätsbit sind nur Einzelfehler

korrigierbar.

→ Voraussetzung: ein Fehler pro Block



a) Welche Fehler (Anzahl, Einfach-/Mehrfachfehler) sind

korrigierbar?

Voraussetzung: ein Fehler pro Block

b) Die aufgetretenen Fehler seien korrigierbar. Korrigieren Sie

die entsprechenden Binärstellen in der Tabelle. Bestimmen

Sie für die korrigierten Codewörter das zugehörige

ASCII-Zeichen.



Block 1, 3. Zeile 100 0011 1 43 ‘C‘

Block 2, 1. Zeile 101 0100 1 54 ‘T‘


Gegeben sei ein nicht fehlertolerantes Kommunikationssystem,

welches in der Lage ist, einstellige Codeworde in hexadezimaler

Darstellung zu übertragen. Es soll nun dahingehend erweitert

werden, dass es mittels eines Hamming-Codes Zweifachfehler

erkennen oder Einfachfehler korrigieren kann.

a) Welche Hamming-Distanz (HD) wird benötigt, um die

geforderte Fehlertoleranz zu erreichen?

HDmin(x) = 3



b) Wie viele Bits werden nun jeweils benötigt, um die

Informationen und die Paritätsbits nach Hamming zu

codieren? Wie lang wird das gesamte zu übertragende

Codewort?

Ein Hexwert ist mit 4 Bit darstellbar (24 = 16), also m = 4.

#Prüfbits:

→ Das Codewort ist m + k = 7 Bit lang

([x4, x3, x2, x1, y3, y2, y1])


3)(1 mldk


c) Erstellen Sie nun den Hamming-Code und ordnen Sie den

Codeworten die entsprechenden Hexadezimalwerte zu, die

der Wertigkeit der Informationsstellen entsprechen sollen.

Der Aufbau der Codeworte soll wie folgt aussehen:

xm, …, x1, yk, …, y1.



c) Erstellen Sie nun den Hamming-Code … Aufbau der

Codeworte soll wie folgt aussehen: xm, …, x1, yk, …, y1.

Vorgehensweise:

1. Aufstellen der Tabelle

(m + k + 1 Spalten, #Informationen + 1 Zeilen)

2. „Hochzählen“ der xm, …, x1

3. Aufstellen der Paritätsmatrix

4. „Hochzählen“ der Spalten

5. Beschriften der Spalten (y-Spalte für 2x)

6. XOR der beteiligten x-Spalten

7. Eintragen der y-Spalten






x4 x3 x2 x1 y3 y2 y1 Hex

0 0 0 0 ? ? ? 0

0 0 0 1 ? ? ? 1

0 0 1 0 ? ? ? 2

0 0 1 1 ? ? ? 3

0 1 0 0 ? ? ? 4

0 1 0 1 ? ? ? 5

0 1 1 0 ? ? ? 6

0 1 1 1 ? ? ? 7


1 0 0 0 ? ? ? 8

1 0 0 1 ? ? ? 9

1 0 1 0 ? ? ? A

1 0 1 1 ? ? ? B

1 1 0 0 ? ? ? C

1 1 0 1 ? ? ? D

1 1 1 0 ? ? ? E

1 1 1 1 ? ? ? F





xm, …, x1, yk, …, y1.

x4 x3 x2 y3 x1 y2 y1

y3 = x4 x3 x2

y2 = x4 x3 x1

y1 = x4 x2 x1

1010101

0110011

0001111

P



A B XOR

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0





xm, …, x1, yk, …, y1.

x4 x3 x2 y3 x1 y2 y1

y3 = x4 x3 x2

y2 = x4 x3 x1

y1 = x4 x2 x1

1010101

0110011

0001111

P



x1 is checked by [y1, y2]



x4 is checked by [y1, y2, y3]


1 0 0 0 1 1 1 8

1 0 0 1 1 0 0 9

1 0 1 0 0 1 0 A

1 0 1 1 0 0 1 B

1 1 0 0 0 0 1 C

1 1 0 1 0 1 0 D

1 1 1 0 1 0 0 E

1 1 1 1 1 1 1 F


0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 1 1 1

0 0 1 0 1 0 1 2

0 0 1 1 1 1 0 3

0 1 0 0 1 1 0 4

0 1 0 1 1 0 1 5

0 1 1 0 0 1 1 6

0 1 1 1 0 0 0 7






d) Bei einer Übertragung mit dem Kommunikationssystem aus

c) wurde folgende Binärfolge empfangen:

01010000100100100110011101111110100

Überprüfen Sie anhand Ihrer Code-Tabelle, ob der Empfang

der Codeworde fehlerfrei erfolgt ist und führen Sie falls

notwendig eine Korrektur durch.



d) … 01010000100100100110011101111110100 …

Anmerkung:

1. 1 Prüfbit falsch => Prüfbit falsch

2. Mehrere Prüfbit falsch => xi falsch

Anordnung ergibt:

0101 000 => 0101 101 => 0111 000 (7)

0100 100 => 0100 110 => 0100 110 (4)

1001 100 => OK (9)

1110 111 => 1110 100 => 1111 111 (F)

1110 100 => OK (E)



a) Erstellen Sie den Huffman-Codierungsbaum für die folgende

Zeichenkette: ABRAKADABRASIMSALABIM

Vorgehensweise:

1. Tabelle mit Häufigkeiten der Buchstaben erstellen

2. while (noch nicht zusammengefasste Elemente)

do Fasse kleinste Elemente zu neuem zusammen


Buchstabe K D L R S I M B A

Anzahl 1 1 1 2 2 2 2 3 7





K und D zusammenfassen => neues Element der Größe 2





L und KD zusammenfassen => neues Element der Größe 3





R und S & I und M zusammenfassen

=> 2 neue Elemente der Größe 4





LKD und B zusammenfassen => neues Element der Größe 6





RS und IM zusammenfassen => neues Element der Größe 8


b) Wie viel Bits werden durch diese Codierung im Vergleich zu

einer Codierung mit einer festen Codewort-Länge

eingespart?

Bei Codierung mit fester Codewort-Länge:

Es gibt 9 verschiedene Zeichen deren Codierung mindestens

je 4 Bit erfordern. Bei 21 Zeichen sind das 84 Bit.





eingespart?

Rechts sieht

man das Ergebnis der

Huffman-Codierung.


Zeichen Code Länge * Anzahl

A 11 14

B 101 9

R 000 6

K 10010 5

D 10011 5

S 001 6

I 010 6

M 011 6

L 1000 4

Summe: 61




eingespart?

Ergebnis: Man spart

84 Bit - 61 Bit = 23 Bit.


Zeichen Code Länge * Anzahl

A 11 14

B 101 9

R 000 6

K 10010 5

D 10011 5

S 001 6

I 010 6

M 011 6

L 1000 4

Summe: 61



Anzahl rel. Anteil Bitlänge

7 0,333 1,59

3 0,143 2,81

2 0,095 3,39

1 0,048 4,39

c) Wie viel Bits sind minimal nötig?

Die minimale Bitlänge ist: )#

(henzahlGesamtzeic

sdesZeichenld

Zeichen Anzahl Bitlänge

A 7 1,59

B 3 2,81

S 2 3,39

R 2 3,39

M 2 3,39

I 2 3,39

L 1 4,39

D 1 4,39

K 1 4,39

c) Wie viel Bits sind minimal nötig?

Die minimale Bitlänge ist:

Multipliziert man die Bitlänge mit der

Summe der Zeichen gleicher Anzahl,

so erhält man die jeweiligen

Summenbitlängen. Die Summe

davon ist die minimale Anzahl Bits

die zur Codierung benötigt werden.

1,59 * 7 + 2,81 * 3 + 3,39 * 8 + 4,39 * 3 = 59,83



Anzahl Bitlänge

7 1,59

3 2,81

2 3,39

1 4,39

)#

(henzahlGesamtzeic

sdesZeichenld


c) Wie viel Prozent schlechter ist der Huffman-Code?

→ Der Huffman-Code ist 2,041% schlechter als die

Optimale Codierung


02041,061

78,591

2. Übungsblatt

Danke für die

Aufmerksamkeit


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