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Begleitmaterial mit durchgerechneten Beispielen

Grundlagen zur Elektrotechnik Vorlesung ET4 (1992)

Wolf-Rainer Novender∗

Bensheim, im Frühjahr 2019

Aus dem Inhalt:Rund um die SinusfunktionKomplexe RechnungZeitverhalten bei R,L,C-ElementenMittelwerteFourieranalyseDifferentialgleichungenFrequenzgang, OrtskurvenMaxwellsche Gleichungen

∗© 2019, alle Rechte vorbehalten

Inhaltsverzeichnis

1 Die Sinusfunktion 21.1 Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Die Zeit 𝒕 als unabhängige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Der Winkel 𝝎 𝒕 als unabhängige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Entstehung einer Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Addition zweier Sinusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Gleiche Frequenz 𝝎𝟏 = 𝝎𝟐 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Ungleiche Frequenz 𝝎𝟏 ≠ 𝝎𝟐 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Darstellung als Summe einer Sinus- und Cosinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . 61.6 Produkt zweier Sinusfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.7 Das Integral einer Sinusfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.7.1 Die Zeit 𝒕 als unabhängige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.7.2 Der Winkel 𝝎𝒕 als unabhängige Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Komplexe Berechnung 122.1 Definitionen und Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2 Schaltungen mit komplexen Widerständen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.2.1 Reihenschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.2.2 Parallelschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.3 Allgemeine Schaltungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2.4 Beispiel zur Schaltungsberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

3 Zeitverhalten bei RLC-Elementen 183.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4 Mittelwerte 244.1 Der arithmetische Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.2 Der quadratische Mittelwert — Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.3 Die mittlere Leistung — Wirkleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.4 Der Gleichrichtwert (elektrolytischer Mittelwert) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5 Abgeleitete Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.5.1 Der Scheitelfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.5.2 Der Formfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.6 Technische Bedeutung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Fourier-Analyse (Harmonische Analyse) 285.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Amplituden- und Phasenspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335.5 Symmetrie von Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Kenngrößen periodischer, nichtsinusförmiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 36

5.6.1 Mischfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.6.2 Arithmetischer Mittelwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6.3 Effektivwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

ii

5.6.4 Mittlere Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6.5 Gleichrichtwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.6 Scheitelfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.7 Formfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.8 Klirrfaktor (Oberschwingungsgehalt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.9 Grundschwingungsgehalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.10 Scheinleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.11 Blindleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6.12 Verzerrungsleistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.6.13 Welligkeit (Gleichrichterschaltungen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

5.7 Verzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.8 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Differentialgleichungen 496.1 Überblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496.2 Lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . 50

6.2.1 Lösung der homogenen Dgl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.2.2 Lösung der inhomogenen Dgl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6.3 Die Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.4 Beispiele zur homogenen Dgl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.4.1 Charakteristische Gleichungen mit verschiedenen, reellen Nullstellen . . . 546.4.2 Charakteristische Gleichungen mit konjugiert komplexen Nullstellen . . . 576.4.3 Charakteristische Gleichungen mit doppelten Nullstellen . . . . . . . . . . 596.4.4 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 616.4.5 Beispiele zu Schaltvorgängen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.5 Beispiele zu inhomogenen Dgl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5.1 Vorgegebene Dgl. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5.2 RL-Kreis 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 686.5.3 RL-Kreis 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 696.5.4 RC-Kreis 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 706.5.5 RC-Kreis 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 716.5.6 Dreieckspannung an L und C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726.5.7 Dreieckspannung an RL und RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746.5.8 Einschwingvorgang beim Reihenschwingkreis 1 . . . . . . . . . . . . . . . 766.5.9 Einschwingvorgang beim Reihenschwingkreis 2 . . . . . . . . . . . . . . . 786.5.10 Einschalten RL-Kreis mit sinusförmiger Anregung . . . . . . . . . . . . . 796.5.11 Einschaltstrom eines leerlaufenden Transformators — Rush-Effekt . . . . 816.5.12 Einschalten RC-Kreis mit sinusförmiger Anregung . . . . . . . . . . . . . 846.5.13 Ausschaltvorgang an einer Induktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856.5.14 RL-Kreis mit Freilaufdiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 876.5.15 Aufmagnetisierungsvorrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906.5.16 Gekoppelte Dgl: zweimaschiges Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 916.5.17 Gekoppelte Dgl.: Stoßspannungsgenerator . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

7 Frequenzgang, Ortskurven 977.1 Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.2 Zwei- und Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 977.3 Frequenzabhängige Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 987.4 Ortskurvendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

iii

7.5 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1047.6 Vergleich Ortskurve – Komponentendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1087.7 Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.8 Demonstrationsbeispiel zur Ortskurve, Frequenzgang . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.9 Übungsaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

7.9.1 Fourierkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.9.2 Stromkreis mit mehrwelliger Erregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1157.9.3 Ausgleichsvorgang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.9.4 Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

A Grundzüge der Maxwellschen Gleichungen 119A.1 Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120A.2 Relativitätstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121A.3 Bedeutung für den Elektromaschinenbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

Abbildungsverzeichnis

1 Allgemeine Darstellung einer sinusförmigen Größe als Liniendiagramm . . . . . . 22 Entstehung einer Wechselspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Zeigerdiagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = 0.5 sin 𝑡 + 1.5 sin(𝑡 + 𝜋/3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = 0.5 sin 𝑡 + 0.55 sin(1.1𝑡 + 𝜋/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = sin 𝑡 + 0.5 sin 3𝑡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

75

∑𝑖=1

1𝑖 sin 𝑖 ⋅ 𝑡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

8 𝑝(𝑡) = 1.2 sin 𝑡 ⋅ 0.7 sin 𝑡 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 𝑝(𝑡) = 1.2 sin 𝑡 ⋅ 0.7 sin(𝑡 − 𝜋/3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1010 𝑝(𝑡) = 1.2 sin 𝑡 ⋅ 0.7 sin(𝑡 − 𝜋/2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111 Gauß’sche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1212 Spannung, Strom, Leistung und Energie an einem Widerstand . . . . . . . . . . . 1813 Spannung, Strom, Leistung und Energie an einer idealen Induktivität . . . . . . 1914 Spannung, Strom, Leistung und Energie an einer idealen Kapazität . . . . . . . . 2015 Strom- und Spannungsverlauf zur Aufgabe 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2116 Schaltung, Strom und Spannungsverläufe zur Aufgabe 5 . . . . . . . . . . . . . . 2317 Übersicht zur Analyse linearer und nichtlinearer Netzwerke . . . . . . . . . . . . 2818 Darstellung der Funktion 𝑓(𝑡) = 𝑉0𝑡/𝑇 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3019 Darstellung einer Rechteckfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3120 Darstellung einer Sägezahnfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3221 Vertikale Verschiebung der Kippspannung, Darstellung bis zur 7. Oberschwingung 3622 Horizontale Verschiebung der Kippspannung, Darstellung bis zur 7. Oberschwingung 3723 Ideales und verzerrungsfreies Netzwerk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3924 Lineare und nichtlineare Verzerrung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4025 Dreieckspannung und die resultierenden Ströme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4426 Einweggleichrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4427 Fourier-Analyse der Einweg-Gleichrichtung bis zur 6. Oberschwingung . . . . . . 4528 Fourier-Analyse der Zweiweg-Gleichrichtung bis zur 6. Oberschwingung . . . . . 4629 Übersicht zur Analyse linearer elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . . 4930 Definition des Ausgleichsvorgangs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

iv

31 Funktion 𝑓(𝑡) = e−0.25𝑡 (𝜏 = 4) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5332 Anzugsverzögerung bei verschiedenen Innenwiderständen . . . . . . . . . . . . . . 5433 Funktion 4

5e3𝑥 + 6

5e−2𝑥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

34 Funktion 0.2 ( e𝑥 − e−4𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

35 Funktion 16

(11 e−𝑥 + e5𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5736 Funktion e0.75𝜋−0.5𝑥 (0.5 cos 𝑥 − sin 𝑥) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5837 Funktion 0.5 e−𝑥 sin 2𝑥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5938 Funktionen (0.5 − 𝑥) e2𝑥 und 1

2𝑒(3 − 𝑥) e𝑥 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

39 Reihenschwingkreis mit unterschiedlichem Dämpfungsgrad . . . . . . . . . . . . . 6340 Lösung zum RL Kreis 1 und 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6941 Lösung zum RC-Kreis 1 und 2: 𝑖(𝑡) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7142 Lösung zum RC-Kreis 1 und 2: 𝑈1, 𝑈2, 𝑢𝑅(𝑡), 𝑢𝐶(𝑡) . . . . . . . . . . . . . . . . . 7243 Analytische Berechnung von 𝑖𝐿(𝑡). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7344 Numerische Lösung (Simulation) von 𝑖𝐿(𝑡) und 𝑖𝐶(𝑡) . . . . . . . . . . . . . . . . 7445 Analytische Berechnung von 𝑖𝐿(𝑡). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7746 Numerische Lösung (Simulation) von 𝑖𝐿(𝑡) und 𝑖𝐶(𝑡) . . . . . . . . . . . . . . . . 7847 Maximum der Funktion 𝑖(𝑡) = 0.166( e−1.7𝑡 − e−298.3𝑡) . . . . . . . . . . . . . . . 7948 Einschwingvorgang 𝑖(𝑡) = e−250𝑡 (2.7 sin 370.8𝑡) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8049 Einschwingvorgang 𝑖(𝑡) = 0.424 e−250𝑡 + 1.34 sin(500𝑡 − 0.322) . . . . . . . . . . 8150 Einschaltstrom bei einer eisenlosen Spule in Abhängigkeit vom Einschaltzeitpunkt 8351 Stromverlauf beim Einschaltvorgang an einer Kapazität . . . . . . . . . . . . . . 8652 Spannungsverlauf 𝑢𝑅𝐿(𝑡) an der Spule für verschiedene 𝑅𝑉 . . . . . . . . . . . . . 8753 Stromverläufe 𝑖(𝑡) beim Auschalten eines RL-Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . 8954 Magnetisierungsstrom 𝑖(𝑡) und Kondensatorspannung 𝑢𝐶(𝑡) ohne Freilaufdiode . 9155 Magnetisierungsstrom 𝑖(𝑡) und Kondensatorspannung 𝑢𝐶(𝑡) mit Freilaufdiode . . 9256 Schaltung des Marx’schen Stoßspannungsgenerators und Ersatzschaltbild . . . . 9357 Numerisch berechnete Stoßwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9658 Wechselstrom-/Frequenzverhalten elektrischer Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . 9759 Zeigerdarstellung für die Zweipole 𝑅, 𝐿 und 𝐶 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9860 Komponentendarstellung der Zweipole 𝑅, 𝐿 und 𝐶 . . . . . . . . . . . . . . . . . 9861 Komponentendarstellung in absoluten Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9962 Normierte Komponentendarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10063 Beispiel zur Invertierung einer Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10464 Grafische Lösung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10865 Kathetensatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10966 Darstellung Imaginärteil über Realteil (Nyquist-Plot) . . . . . . . . . . . . . . . . 10967 Amplitudendiagramm halb logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11068 Amplitudendiagramm doppelt logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11069 Phasenwinkeldiagramm halb logarithmisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11170 Umwandlung in Vierpole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11171 Hochpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11272 Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11273 Kopplungsfreier Dämpfungsentzerrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11274 Real- und Imaginärteil der Eingangsimpedanz WZE . . . . . . . . . . . . . . . . . 11375 Grafische Lösung der Inversion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

v

Tabellenverzeichnis

1 Einige Störfunktionen mit Lösungsansätzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522 Impedanzen und Admittanzen bei Zwei- und Vierpolen . . . . . . . . . . . . . . . 97

vi

Vorbemerkung

Das vorliegende Vorlesungsskript entstand während meiner Vorlesung ET4 im Jahre 1992 ander THM. Es enthält in den ersten Kapiteln Grundlagenstoff, der für die anschließenden Kapitelhilfreich ist.

Zur Erstellung des Skriptes

Das Skript wurde vollständig mit kostenlosen Open-Source-Programmen erstellt. Die Diagrammewurden mit dem Programm Gnuplot1 gezeichnet und viele Beispiele damit auch nachgerechnet.Die Zeichnungen wurden mit dem Programm Xfig2 angefertigt. Gesetzt wurde das ganze Skriptmit dem Textsatzsystem LuaLATEX, Version 1.07.0 (TeX Live 2018)3.

Da Dokumente mittlerweile vorwiegend interaktiv gelesen werden, wurde als Unterscheidungs-merkmal bei den Diagrammen die Farbe gewählt. Der Index enthält nur besondere Begriffe, dieim Zusammenhang mit der jeweiligen Thematik auftauchen. Schlagwörter lassen sich mit denSuchfunktionen des Dokumentenlesers finden. Als weitere Lesehilfe sind Querverweise farblichhervorgehoben und können durch Anklicken direkt aufgesucht werden (Hypertext).

Bei den Zahlenbeispielen wird statt des Dezimalkommas der Dezimalpunkt verwendet.

1www.gnuplot.info, https://sourceforge.net/projects/gnuplot/2https://sourceforge.net/projects/mcj/3https://www.dante.de/

1

www.gnuplot.info

https://sourceforge.net/projects/gnuplot/

https://sourceforge.net/projects/mcj/

https://www.dante.de/

1 Die Sinusfunktion

1 Die Sinusfunktion

1.1 Darstellung

Allgemeine Form:

𝑖(𝑡) = 𝑖 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)

Charakteristische Größen:𝑖 Amplitude, Scheitelwert

𝜔 Kreisfrequenz (= 2𝜋𝑓 = 2𝜋/𝑇), Einheit: s−1, nicht Hz𝜑 Phasenverschiebung, Nullphasenwinkel

ϕ π π π2

in st

T

t t t t1 2 3 4

π/2 3 /2

in radω t

Scheitelwert

sinus−1

Abb. 1: Allgemeine Darstellung einer sinusförmigen Größe als Liniendiagramm

Die Schreibweise 𝑖(𝑡) = 𝑖 cos(𝜔𝑡 + 𝜑′) ist gleichwertig. Sie unterscheidet sich nur um eine Pha-senverschiebung von (𝜑 − 𝜑′) = 𝜋/2 = 90°. Durch Verschiebung des Koordinatenursprungs um𝜋/2 kann die eine Funktion in die andere überführt werden. Bei vielen globalen Untersuchungender Sinusfunktion über eine Periode, z. B. Integration, spielt die Phasenlage keine Rolle. Die Co-sinusschreibweise wird oft gewählt, da die Integration eine positive Sinusfunktion liefert (Gefahreines Vorzeichenfehlers geringer).4

Als Abszisse (unabhängige Variable) kann man entweder die Zeit 𝑡 oder den Winkel 𝜔𝑡 in einemLiniendiagramm auftragen (siehe Abb. 1).

1.1.1 Die Zeit 𝒕 als unabhängige Variable

Die Achsenwerte sind direkt in „s“ anzugeben. Die Periodendauer ist eine Zeitdifferenz. Das Dia-gramm ist frequenzabhängig und wird vorwiegend bei Messungen und praktischen Auswertungenbenutzt.

4Wie in Kapitel 1.3 ff gezeigt wird, kommt die Cosinusdarstellung durch die im allg. übliche Projektion desRaumzeigers auf die Horizontale zustande. Raumzeiger verwendet man auch zur Berechnung anderer elektro-magnetischer Größen. Ihre Lage im Raum zeigt in Richtung des Maximums einer Größe. Das entspricht dermathematischen Definition des Cosinus für den Winkel Null.

2

1 Die Sinusfunktion

1.1.2 Der Winkel 𝝎 𝒕 als unabhängige Variable

Als Einheiten wird „rad“ (Radiant) benutzt, allgemein in Teilen bzw. Vielfachen von 2𝜋 ≡ 360°.Das Diagramm ist frequenzunabhängig und wird bevorzugt zur allgemeinen Darstellung undUntersuchung periodischer Verläufe verwendet.

1.2 Entstehung einer Wechselspannung

An den Anschlüssen einer in einem homogenen Magnetfeld mit der Winkelgeschwindigkeit 𝜔rotierenden Leiterschleife wird eine Spannung mit wechselndem Vorzeichen induziert (Abb. 2):

𝑢(𝑡) = d 𝛷d 𝑡

= d 𝐴d 𝑡

= 𝐵 dd 𝑡

(𝐴 cos 𝜔𝑡) = −𝜔 ⋅ 𝐴 ⋅ 𝐵 sin 𝜔 𝑡 mit

𝜔: Winkelgeschwindigkeit in „rad/s“𝜔𝑡: Winkellage der Leiterschleife in „rad“𝛷: magn. Fluss: Flussdichte

𝐴: Flächenvektor der Leiterschleife (steht senkrecht auf der Fläche 𝐴)

A cos tω

B

t

ws1−4

A

ω

Abb. 2: Entstehung einer Wechselspannung

1.3 Zeigerdiagramm

Um bei periodischen Vorgängen das Liniendiagramm rechnerisch besser auswerten zu können,vor allem wenn mehrere Größen dargestellt werden, verwendet man vorteilhafter das Zeigerdia-gramm (Abb. 3). Durch Projektion der zeitlichen Momentanwerte aus dem Liniendiagramm aufden Kreisbogen entstehen Zeiger, die mit der Winkelgeschwindigkeit 𝜔 rotieren. „Friert“ mandie Rotation der Zeiger „ein“ (Momentanwerte), erhält man das Zeigerdiagramm. Die relativeLage der Zeiger zueinander bleibt dabei unverändert. Im Zeigerdiagramm lassen sich mehreresinusförmige Größen mit unterschiedlicher Phasenlage und Amplitude sehr einfach bewerten.Wählt man man

𝑖1(𝑡) = 𝚤 sin 𝜔𝑡

3

1 Die Sinusfunktion

2

i2

i1

3

i3

i3

i1

i2

3 2

T

t2

tω

tω

tω

ϕ

ϕ

ϕ ϕ

0

π/2

π

3π/2

2π

t1

t3

t4

Re

Im

ϕ

1

24

ω

3

4

3

2

1

t

sinus−8

Abb. 3: Zeigerdiagramm

als Bezugsgröße, dann bezeichnet man den Verlauf von

𝑖2(𝑡) = 𝚤 sin(𝜔𝑡 + 𝜑2)

als voreilend und

𝑖3(𝑡) = 𝚤 sin(𝜔𝑡 − 𝜑3)

als nacheilend.

Der Winkel 𝜔𝑡 = 0 im Zeigerdiagramm entspricht dem mathematischen Winkel 0 (Position 2in Abb. 3) und wächst im Gegenuhrzeigersinn. Dies entspricht im Liniendiagramm der Cosinus-funktion.

Die Zeigergrößen werden wie Vektoren geometrisch addiert und subtrahiert.

1.4 Addition zweier Sinusfunktionen

Allgemeine Form:

𝑢1(𝑡) = 1 sin(𝜔1𝑡 + 𝜑1)𝑢2(𝑡) = 2 sin(𝜔2𝑡 + 𝜑2)

4

1 Die Sinusfunktion

1.4.1 Gleiche Frequenz 𝝎𝟏 = 𝝎𝟐

1 sin(𝜔𝑡 + 𝜑1) + 2 sin(𝜔𝑡 + 𝜑2) = 𝑐 sin(𝜔𝑡 + 𝜓)

mit

𝑐 = √21 + 2

2 + 212 cos(𝜑1 − 𝜑2)

𝜓 = arctan 1 sin 𝜑1 + 2 sin 𝜑21 cos 𝜑1 + 2 cos 𝜑2

Durch Überlagerung (Addition) zweier Sinusfunktionen gleicher Frequenz ergibt sich eine Si-nusfunktion der gleichen Frequenz mit unterschiedlicher Amplitude und Phase (siehe Abb. 4).

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

t

u1(t)u2(t)

u1(t)+u2(t)

Abb. 4: 𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = 0.5 sin 𝑡 + 1.5 sin(𝑡 + 𝜋/3)

Beispiel:

𝑢1(𝑡) = 0.5 sin(𝜔𝑡)𝑢2(𝑡) = 1.5 sin(𝜔𝑡 + 𝜋/3)

Lösung (einfach einsetzen):

𝑐 = √0.52 + 1.52 + 2 ⋅ 1.5 ⋅ 0.5 cos(0 − 𝜋/3) = 1.802 …

𝜓 = arctan 0.5 sin(0) + 1.5 sin(𝜋/3)0.5 cos(0) + 1.5 cos(𝜋/3)

= 0.8046 …

𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = 1.802 sin(𝜔𝑡 + 0.8046)

5

1 Die Sinusfunktion

1.4.2 Ungleiche Frequenz 𝝎𝟏 ≠ 𝝎𝟐

Die resultierende Funktion ist nicht mehr sinusförmig. Liegen die beiden Frequenzen dicht bei-einander, ändert sich die Amplitude der resultierenden Funktion mit der Differenz der beidenFrequenzen (Schwebung, siehe Abb. 5). Ist die eine Frequenz ein ganzzahliges Vielfaches der

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 5 10 15 20

t

u1(t)u2(t)

u1(t)+u2(t)

Abb. 5: 𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = 0.5 sin 𝑡 + 0.55 sin(1.1𝑡 + 𝜋/2)

anderen, ergibt sich eine periodische Funktion mit der niedrigeren Frequenz als Grundfrequenz(Grundschwingung, siehe Abb. 6). Durch Addition mehrerer Sinusfunktionen mit ganzzahligemFrequenzverhältnis zueinander lassen sich im Prinzip alle periodischen Funktionen erzeugen(harmonische Synthese, siehe Abb. 7).

1.5 Darstellung als Summe einer Sinus- und Cosinusfunktion

Statt der allgemeinen Darstellung

𝑢(𝑡) = sin(𝜔𝑡 + 𝜑) (1)

kann man die gleiche Funktion auch als eine Summe von Sinus- und Cosinusfunktionen mitgleicher Frequenz schreiben:

𝑢(𝑡) = 𝑎 cos(𝜔𝑡) + 𝑏 sin(𝜔𝑡)

mit5

𝑎 = sin 𝜑𝑏 = cos 𝜑

5folgt aus der Summe zweier Winkel: sin(𝛼 + 𝛽) = sin 𝛼 cos 𝛽 + cos 𝛼 sin 𝛽

6

1 Die Sinusfunktion

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2

t

u1(t)u2(t)

u1(t)+u2(t)

Abb. 6: 𝑢1(𝑡) + 𝑢2(𝑡) = sin 𝑡 + 0.5 sin 3𝑡

Beispiel:

𝑖(𝑡) = 𝑖 cos(𝜔𝑡 − 𝜋/3)

Lösung:

cos 𝛼 = sin(𝛼 + 𝜋/2) (2)𝑖(𝑡) = 𝑖 sin(𝜔𝑡 − 𝜋/3 + 𝜋/2) = 𝑖 sin(𝜔𝑡 + 𝜋/6)

𝑎 = 𝑖 sin(𝜋/6)𝑏 = 𝑖 cos(𝜋/6)

𝑖(𝑡) = 𝑖/2 (√

3 sin(𝜔𝑡) + cos(𝜔𝑡))

Umgekehrt ergibt sich

= √𝑎2 + 𝑏2

𝜑 = arctan 𝑎𝑏

Mittels Reduktion (Addition bzw. Subtraktion von 𝜋/2 ≡ 90°) lässt sich jede Sinus- und Cosinus-funktion auf die Form entsprechend der Gleichung 1 bringen (siehe Reduktionsgleichung 2).

7

1 Die Sinusfunktion

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.5 1 1.5 2

t

u1(t)u1(t)+u2(t)

u1(t)+u2(t)+u3(t)u1(t)+u2(t)+u3(t)+u4(t)

u1(t)+u2(t)+u3(t)+u4(t)+u5(t)

Abb. 7:5

∑𝑖=1

1𝑖 sin 𝑖 ⋅ 𝑡

1.6 Produkt zweier Sinusfunktionen

Herleitung des zeitlichen Verlaufs der Leistung 𝑝(𝑡) unter der Voraussetzung gleicher Frequenzen(Beispiel, siehe auch Abbildungen 8, 9 und 10):

𝑢(𝑡) = sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢)𝑖(𝑡) = 𝑖 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)𝑝(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑖(𝑡) = 𝑖 sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢) sin(𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)

Laut Formelsammlung gilt:

sin 𝛼 sin 𝛽 = 12

[cos(𝛼 − 𝛽) − cos(𝛼 + 𝛽)]

Setzt man 𝛼 = 𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 und 𝛽 = 𝜔𝑡 + 𝜑𝑖 ergibt sich

𝑝(𝑡) = 𝑖2

[cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 − 𝜔𝑡 − 𝜑𝑖) − cos(𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 + 𝜔𝑡 + 𝜑𝑖)]

= 𝑖2

[cos(𝜑𝑢 − 𝜑𝑖) − cos(2𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 + 𝜑𝑖)] (3)

Beim Produkt entsteht ein zeitunabhängiges Glied (Gleichglied), das nur von der Phasendiffe-renz 𝜑𝑢 − 𝜑𝑖 abhängt, und ein Glied mit doppelter Frequenz. Die Amplitude des Produktes istunabhängig von der Phasendifferenz.

Die Größe des Gleichgliedes entspricht der schraffierten Fläche in den Abbildungen 8 bis 10unter Beachtung des Vorzeichens und stellt die Wirkleistung dar, die negativen Flächenanteilebilden die Blindleistung, weil sie negativ ist und wieder „zurückgegeben“ wird.

8

1 Die Sinusfunktion

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t

u(t)i(t)

p(t)

Abb. 8: 𝑝(𝑡) = 1.2 sin 𝑡 ⋅ 0.7 sin 𝑡

Abb. 8 zeigt eine reine Wirkleistung (es gibt keine negativen Flächenanteile), die Phasendifferenzzwischen Strom und Spannung ist Null. In Abb. 9 eilt der Strom der Spannung um 60° nach, derWirkleistungsanteil nimmt ab, ist aber noch vorhanden, da die Summe der schraffierten Flächengrößer Null ist, die Blindleistung nimmt zu. In Abb. 10 beträgt die Phasendifferenz zwischen𝑢(𝑡) und 𝑖(𝑡) genau 90°, die positiven und negativen Flächen heben sich auf, die Wirkleistungist Null, die Blindleistung maximal.

1.7 Das Integral einer Sinusfunktion

1.7.1 Die Zeit 𝒕 als unabhängige Variable

Für das Integral

𝑎 = ∫𝑡2

𝑡1

sin(𝜔𝑡 + 𝜑) d 𝑡

lautet die Lösung (Formelsammlung6)

𝑎 = 1𝜔

[− cos(𝜔𝑡 + 𝜑)]𝑡2

𝑡1

= 1𝜔

[cos(𝜔𝑡1 + 𝜑) − cos(𝜔𝑡2 + 𝜑)]

Für die Integrationsgrenzen 𝑡1 und 𝑡2 müssen absolute Zeitwerte eingesetzt werden.

Beispiel: gesucht ist die Fläche unter einer Sinushalbwelle mit der Frequenz 50 Hz und derAmplitude 1.

𝑎 = ∫𝑡2

𝑡1

1 sin(𝜔𝑡) d 𝑡 (4)

6∫ sin 𝑎 𝑥 d 𝑥 = − 1𝑎 cos 𝑎 𝑥

9

1 Die Sinusfunktion

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t

u(t)i(t)

p(t)

Abb. 9: 𝑝(𝑡) = 1.2 sin 𝑡 ⋅ 0.7 sin(𝑡 − 𝜋/3)

Die Integrationsgrenzen erhält man aus:

𝜔𝑡1 = 0 ⟹ 𝑡1 = 0𝜔𝑡2 = 𝜋 ⟹ 𝑡2 = 𝜋/𝜔 = 0.01𝑠

Eingesetzt ergibt

𝑎 = 1𝜔

[− cos(𝜔𝑡)]0.01𝑠

0

= 1𝜔

[cos(0) − cos(2𝜋 ⋅ 50 ⋅ 0.01)]

= 1𝜔

[1 − 𝑐𝑜𝑠(𝜋)] = 2𝜔

= 6.36610−3𝑠

Die Maßeinheit des Ergebnisses muss mit der Zeiteinheit multipliziert werden. Stellt z. B. dieAmplitude einen Strom dar, hat das Ergebnis die Maßeinheit „As“. Die Fläche unter der Sinus-halbwelle entspricht dann der elektrischen Ladung.

1.7.2 Der Winkel 𝝎𝒕 als unabhängige Variable

Mit der Substitution 𝜔𝑡 = 𝑥 ergibt sich für d 𝑡 = 1𝜔

d 𝑥. Eingesetzt in Gleichung 4 erhält man

𝑎 = 1𝜔

∫𝑥2

𝑥1

1 sin 𝑥 d 𝑥

mit den neuen Integrationsgrenzen 𝑥1 = 𝜔𝑡1 = 0 und 𝑥2 = 𝜔𝑡2 = 𝜔𝑇 /2 = 𝜋 und damit

𝑎 = 1𝜔

∫𝜋

0sin 𝑥 d 𝑥 = 1

𝜔[− cos 𝑥]

𝜋

0= 2

𝜔.

10

1 Die Sinusfunktion

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

t

u(t)i(t)

p(t)

Abb. 10: 𝑝(𝑡) = 1.2 sin 𝑡 ⋅ 0.7 sin(𝑡 − 𝜋/2)

11

2 Komplexe Berechnung


2.1 Definitionen und Begriffe

Es bietet sich an, um den Nullpunkt rotierende Zeiger (siehe Zeigerdiagramm) in Polarkoordi-naten als Funktion des Radius 𝑟 und des Winkels 𝜑 zu beschreiben und/oder im kartesischenKoordinatensystem z. B. als Funktion von 𝑥 und 𝑦.

Für periodische Vorgänge verwendet man die sog. Gauß’sche Zahlenebene — ein kartesischesKoordinatensystem — und zerlegt den Zeiger in zwei Anteile: einen Real- und einen Imagi-närteil (siehe Abb. 11). Die Absizzenwerte werden dem Realteil (ℜ, Re), die Ordinatenwerte

ws1−6

Θ

Re

Im

X

YZ

Abb. 11: Gauß’sche Zahlenebene

dem Imaginärteil (ℑ, Im) zugeordnet. Eine komplexe Zahl 𝑍 beschreibt einen Punkt in derkomplexen Zahlenebene und besteht somit aus einem Real- und Imaginärteil, letzterer wird inder Elektrotechnik durch den mathematischen Operator j =

√−1 gekennzeichnet (statt i, um

Verwechselungen mit dem Strom zu vermeiden).

Zur Kennzeichnung komplexer Variablen unterstreicht man den Variablennamen und ordnetihnen zwei Zahlenwerte zu. Es gelten folgende Zusammenhänge:

𝑍 = 𝑋 + j 𝑌 , 𝑋 = ℜ𝑍, 𝑌 = ℑ𝑍

Die Umwandlung in die trigonometrische Form (Polarkoordinaten) geschieht mit

𝑍 = 𝑟 (cos 𝜃 + j sin 𝜃), 𝑋 = 𝑟 cos 𝜃, 𝑌 = 𝑟 sin 𝜃

𝑟 = |𝑍| = √𝑋2 + 𝑌 2, 𝜃 = arctan 𝑌𝑋

.

Zeigergrößen in der komplexen Zahlenebene werden addiert/subtrahiert, indem die jeweiligenReal- und Imaginärteile addiert/subtrahiert werden.

Bei der Multiplikation und Division muss man die Regeln der komplexen Rechnung beachten:j 2 = −1, 1

j= − j , d. h. Multiplikation einer komplexen Zahl mit j bedeutet eine Drehung

des Zeigers um +90° in positiver Richtung (im Gegenuhrzeigersinn), eine Division durch j eine90°-Drehung im Uhzeigersinn.

12


Man beachte, dass die Zeigerlänge normalerweise der Amplitude der Wechselgröße entsprechen.Wie in Abschnitt 1.6, Seite 8 mit Gleichung (3) gezeigt wird, ergibt sich für die Wirkleistungbei Wechselstrom die Beziehung

𝑃 = 𝑈 𝐼 cos 𝜑

mit den Effektivwerten 𝐼 =𝑖√2

, 𝑈 = √2

und der Phasenverschiebung 𝜑 zwischen 𝐼 und 𝑈

(siehe auch Abschnitt Der quadratische Mittelwert — Effektivwert). Mit den komplexen Ampli-tuden bzw. Effektivwerten kann man fast genauso rechnen wie bei Gleichstrom, jedoch komplex.In der Praxis misst und steuert man im allg. mit Effektivwerten. Um sich das Umwandeln vonAmplitudenwerten zu Effektivwerten und zurück zu sparen, kann man statt mit den komplexenAmplituden auch immer mit den Effektivwerten rechnen.

Das Ohmsche Gesetz für Wechselstrom lautet

𝑈 = 𝐼 𝑍 . (5)

Die Größe 𝑍 bezeichnet man als Scheinwiderstand oder Impedanz. Sie setzt sich aus zwei Anteilenzusammen:

𝑍 = 𝑅 + j 𝑋 .

Man bezeichnet den Realteil 𝑅 als Wirkwiderstand oder Resistanz, den Imaginärteil 𝑋 als Blind-widerstand oder Reaktanz.

Wirkleistung wird nur in Wirkwiderständen 𝑅 umgesetzt, im allg. als Wärme. Als Blindwi-derstände bezeichnet man die Energiespeicher Induktivität 𝐿 (magnetischer Energiespeicher)und Kapazität 𝐶 (elektrischer Ladungsspeicher). Sie erzeugen idealer Weise keine Wärme, kön-nen Energie speichern und wieder abgeben in Form von sog. Blindströmen (Ladungstransport𝐼 = d 𝑞

d 𝑡 ), die zusammen mit der anliegenden Spannung die sog. Blindleistung darstellen.

Blindleistung kann nur auftreten, wenn beide Energiespeicher in einem Netz vorhanden sind.Befindet sich in einem Stromkreis nur eine Art von Energiespeicher, z. B. Induktivitäten — dasist der Normalfall — muss die Quelle in der Lage sein, den entsprechenden Blindstrom zurVerfügung zu stellen. In der Regel ist das der übererregte Kraftwerksgenerator, der ausreichendekapazitive Blindleistung liefern muss. Um die Netze und Zuleitungen von den dazu benötigtenBlindströmen freizuhalten oder zu reduzieren, versucht man, durch kapazitive Maßnahmen lokaldie Blindleistung zu kompensieren.

Für die Blindwiderstände 𝑋 gelten folgende Gesetzmäßigkeiten:

Kapazität

𝑈 = 𝐼 1j 𝜔 𝐶

= − j 𝐼 1𝜔 𝐶

, 𝑍 = 1j 𝜔 𝐶

= − j 1𝜔 𝐶

, 𝑋𝐶 = − 1𝜔𝐶

Der Lage des Spannungszeigers 𝑈 ergibt sich durch eine –90°-Drehung des Stromzeiger 𝐼 (wegen− j ), d. h. der Strom eilt der Spannung um 90° voraus.

Induktivität

𝑈 = 𝐼 j 𝜔 𝐿, 𝑍 = j 𝜔 𝐿, 𝑋𝐿 = 𝜔 𝐿

Die Lage des Spannungszeiger 𝑈 ergibt sich durch eine +90°-Drehung des Stromzeiger 𝐼, derStrom eilt der Spannung um 90° nach.

13


2.2 Schaltungen mit komplexen Widerständen

Zur Berechnung von (Ersatz-)Schaltungen gilt das Ohmsche Gesetz (5). Es wird genauso an-gewandt wie bei Gleichstromkreisen. Statt der Vorzeichen muss die Phasenlage berücksichtigtwerden7.

Alle Zeigergrößen sind Effektivwerte.

2.2.1 Reihenschaltung

Da bei der Reihenschaltung der Strom zu jedem Zeitpunkt in jeder Impedanz die gleiche Größehat, wählt man ihn als Bezugsgröße. Die Spannungsabfälle an den Impedanzen sind unter-schiedlich groß und haben unterschiedliche Phasenlagen zueinander. Die vektorielle Additionder Teilspannungen ergibt die angelegte Spannung:

𝑈 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐶 + 𝑈𝐿

𝑈𝑅 = 𝐼 𝑅

𝑈𝐿 = 𝐼 j 𝑋𝐿 = j 𝐼 𝜔𝐿

𝑈𝐶 = 𝐼 j 𝑋𝐶 = j 𝐼 (− 1𝜔𝐶

)

𝑈 = 𝐼 [𝑅 + j (𝜔𝐿 − 1𝜔𝐶

)]

UL

CU

UR

CU

UL

UR

ws1−2

ϕU

L

C

R

IIm

Re

I

U

Mit Hilfe der komplexen Rechnung lassen sich daraus der Effektivwert 𝐼 und die Phasenverschie-bung 𝜑 zwischen Strom und Spannung ausrechnen:

𝐼 = 𝑈𝑅 + j (𝜔𝐿 − 1

𝜔𝐶)

𝐼 = |𝐼| = |𝑈||𝑍|

= 𝑈|𝑅 + j 𝑋|

= 𝑈√𝑅2 + (𝑋𝐿 + 𝑋𝐶)2

= 𝑈

√𝑅2 + (𝜔𝐿 − 1𝜔𝐶)2

.

Da bei der Reihenschaltung der Strom die Bezugsgröße darstellt und im Zeigerdiagramm will-kürlich in die reelle Achse gelegt werden kann, erhält man die Phasenverschiebung aus demVerhältnis Imaginärteil zu Realteil der Gesamtspannung:

tan 𝜑 = ℑ𝑈ℜ𝑈

= 𝑋𝑅

=𝜔𝐿 − 1

𝜔𝐶𝑅

Der arctan ist in 4 Quadranten definiert (Vorzeichen von Zähler und Nenner beachten).

Falls 𝜔𝐿 = 1𝜔𝐶 ist, wirkt nur noch der ohmsche Anteil der Schaltung, es liegt Resonanz vor.

7Bei Gleichstromschaltungen gibt es nur die „Phasenlagen“ 0° und 180°.

14


2.2.2 Parallelschaltung

Bei der Parallelschaltung wird die Spannung als Bezugsgröße gewählt. An allen Impedanzen liegtdieselbe Spannung, durch die Impedanzen fließen unterschiedliche Ströme mit unterschiedlichenPhasenlagen. Die vektorielle Summe aller Teilströme bildet den Gesamtstrom:

𝐼 = 𝐼𝑅 + 𝐼𝐶 + 𝐼𝐿

𝐼𝑅 = 𝑈 1𝑅

𝐼𝐿 = 𝑈 1j 𝜔𝐿

= − j 𝑈 ( 1𝜔𝐿

)

𝐼𝐶 = 𝑈 11

j 𝜔𝐶= j 𝑈 (𝜔𝐶)

𝐼 = 𝑈 [ 1𝑅

+ j (𝜔𝐶 − 1𝜔𝐿

)]

RI

CI

LI

RI

LI

CI

ws1−3

ϕ

I

URC

L

Im

Re

U

I

Für die Gesamtspannung erhält man

𝑈 = 𝐼

√( 1𝑅)2 + (− 1

𝑋𝐶− 1

𝑋𝐿)

2= 𝐼

√( 1𝑅)2 + (𝜔𝐶 − 1

𝜔𝐿)2.

Die Phasenlage beträgt

tan 𝜑 = ℑ𝐼ℜ𝐼

=𝜔𝐶 − 1

𝜔𝐿1𝑅

.

2.2.3 Allgemeine Schaltungsberechnung

Das Rechenverfahren für eine Wechselstromschaltung entspricht dem eines Gleichstromkreises.Statt mit Gleichstromgrößen wird mit komplexen Zahlen gerechnet, die die Phasenlagen be-rücksichtigen. Die Bestimmungsgleichungen werden komplex ausgerechnet, die Ergebnisse sindebenfalls komplex und können mit den Regeln der komplexen Rechnung (siehe Abschnitt 2.1)in Zeitgrößen umgewandelt werden. Dabei ist es wichtig, die Ergebnisse als separate Real- undImaginärteile zu schreiben. Enthält eine Bestimmungsgleichung einen rationalen Ausdruck mitkomplexem Nenner, gelingt diese Trennung, wenn man den Bruch mit dem konjugiert komplexenNenner erweitert. Dies kann unter Umständen zu umfangreichen Ausdrücken führen.

Die grafische Auswertung stellt eine anschaulichere Alternative dar. Da alle WechselstromgrößenZeigergrößen sind, lassen sie sich bequem addieren und subtrahieren, die Phasenwinkel sind sofortablesbar.

15


2.2.4 Beispiel zur Schaltungsberechnung

Das folgende Beispiel zeigt, wie manbeide Verfahren zur Berechnung einergemischten Schaltung verwenden kann.Gesucht sind die Ströme in den einzel-nen Zweigen, also 𝐼𝑅, 𝐼𝐶 und 𝐼 = 𝐼𝐿.

I=IL

ws1−5

U

I R I C

U

f

Ω

= 50 Hz

= 220 V = 6.36 mH

= 3

= 800 Fµ

L

R

C

Zuerst berechnet man die Impedanz der Parallelschaltung von 𝑅 und 𝐶 :

𝑍𝑅𝐶 =𝑍𝑅 ⋅ 𝑍𝐶𝑍𝑅 + 𝑍𝐶

=𝑅 1

j 𝜔𝐶

𝑅 + 1j 𝜔𝐶

=− j 𝑅 1

𝜔𝐶𝑅 − j 1

𝜔𝐶= − j 12 Ω2

(3 − j 4) Ω

Durch Erweiterung des Bruches mit dem konjugiert komplexen Nenner ergibt sich:

𝑍𝑅𝐶 = − j 12 Ω2

(3 − j 4) Ω⋅ (3 + j 4) Ω

(3 + j 4) Ω= 48 Ω − j 36 Ω

25= (1.92 − j 1.44) Ω

Die Reihenschaltung von 𝐿 und 𝑍𝑅𝐶 liefert die Gesamtimpedanz der Schaltung:

𝑍 = 𝑍𝐿 + 𝑍𝑅𝐶 = j 2 Ω + (1.92 − j 1.44) Ω = (1.92 + j 0.56) Ω

Daraus erhält man den Gesamtstrom

𝐼 = 𝑈𝑍

= 220 V(1.92 + j 0.56) Ω

= (105.7 − j 30.9) A Zeichnen!

Die Spannungsabfälle an 𝐿 und 𝑍𝑅𝐶 bestimmt man aus

𝑈𝑅𝐶 = 𝐼 ⋅ 𝑍𝑅𝐶 = (105.7 − j 30.9) A ⋅ (1.92 − j 1.44) Ω = (158.2 − j 211.6) V

𝑈𝐿 = 𝑈 − 𝑈𝑅𝐶 = 220 V − (158.2 − j 211.6) V = (61.8 + j 211.6) V Zeichnen!

Ebenso lassen sich die Teilströme berechnen:

𝐼𝑅 =𝑈𝑅𝐶

𝑅= (158.2 − j 211.6) V

3 Ω= (52.8 − j 70.5) A

𝐼𝐶 =𝑈𝑅𝐶

− j 1𝜔𝐶

= (158.2 − j 211.6) V− j 4 Ω

= (52.9 + j 39.6) A Zeichnen!

16


Wenn die errechneten Zeiger richtig eingetragenwurden, müssten die Vektoren 𝑈𝐿 und 𝐼 = 𝐼𝐿sowie 𝐼𝐶 und 𝑈𝑅𝐶 senkrecht aufeinander stehen.Die Phasenlage zwischen 𝑈 und 𝐼 kann ebenfallsabgelesen werden, die Rechnung bestätigt:

𝜑 = arctan ℑ𝐼ℜ𝐼

= arctan −30.9105.7

= −16.3 °

Der Winkel liegt im 4. Quadranten.

Maßstäbe:

50V/div

25A/dvi

ws1−8

UL

URC

U

Im

Re

I

RI

CI

Die komplexen Berechnungen vereinfachen sich, wenn man Zwischenergebnisse ausrechnet unddann weiter benutzt. Komplexe Bestimmungsgleichungen werden sehr schnell unhandlich.

17

3 Zeitverhalten bei RLC-Elementen


3.1 Grundlagen

Zwischen den Strömen, Spannungen sowie Leistungen an passiven, linearen Elementen bestehenfolgende Zusammenhänge:

• Widerstand (siehe Abb. 12)

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2

u(t

), i(t

), p

(t),

w(t

)

t

i(t)u(t)w(t)p(t)

Abb. 12: Spannung, Strom, Leistung und Energie an einem Widerstand

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑖𝑅(𝑡)𝑅

𝑖𝑅(𝑡) = 𝑢𝑅(𝑡)𝑅

𝑝𝑅(𝑡) = 𝑢𝑅(𝑡) 𝑖𝑅(𝑡) = 𝑖2𝑅(𝑡)𝑅 = 𝑢2

𝑅(𝑡)𝑅

• Induktivität (siehe Abb. 13)

𝑢𝐿(𝑡) = 𝐿 d 𝑖d 𝑡

𝑖𝐿(𝑡) = 1𝐿

∫ 𝑢𝐿(𝑡) d 𝑡 + 𝑖𝐿0

𝑝𝐿(𝑡) = 𝑢𝐿(𝑡) 𝑖𝐿(𝑡) = 𝐿𝑖𝐿(𝑡) d 𝑖d 𝑡

• Kapazität (siehe Abb. 14)

18


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2

Induktivitätu

(t),

i(t

), p

(t),

w(t

)

t

i(t)u(t)w(t)p(t)

Abb. 13: Spannung, Strom, Leistung und Energie an einer idealen Induktivität

𝑢𝐶(𝑡) = 1𝐶

∫ 𝑖𝐶(𝑡) d 𝑡 + 𝑢𝐶0

𝑖𝐶(𝑡) = 𝐶 d 𝑢d 𝑡

𝑝𝐶(𝑡) = 𝑢𝐶(𝑡) 𝑖𝐶(𝑡) = 𝐶𝑢𝐶(𝑡) d 𝑢d 𝑡

Die Strom-/Spannungsbeziehung ergibt eine neue sinusförmige Größe gleicher Frequenz mit un-terschiedlicher Amplitude und Phasenlage.

Für die Energie gilt:

𝑤(𝑡) =𝑡2∫𝑡1

𝑝(𝑡)𝑑𝑡 + 𝑤0 .

Die Spannung an einer Kapazität und der Strom durch eine Induktivität sind integrale Größen.Sie müssen immer stetig sein.

Für nichtlineare Zweipole gilt z. B.:

𝐶 = 𝑓(𝑡) , 𝑖𝐶 = dd 𝑡

(𝐶 ⋅ 𝑈) = 𝐶 d 𝑈d 𝑡

+ 𝑈 d 𝐶d 𝑡

3.2 Beispiele

Aufgabe 1

𝑅 = 4 Ω, 𝑖𝑅(𝑡) = 2.5 A sin 500 𝜋 𝑡

19


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2

Kapazitätu

(t),

i(t

), p

(t),

w(t

)

t

i(t)u(t)w(t)p(t)

Abb. 14: Spannung, Strom, Leistung und Energie an einer idealen Kapazität

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑅 𝑖𝑅(𝑡) = 10 V sin 500 𝜋 𝑡

𝑝𝑅(𝑡) = 𝑢2𝑅

𝑅= 10 ⋅ 10 W

4sin2 500 𝜋 𝑡

𝑤𝑅(𝑡) = 25 W𝑡

∫0

sin2 500 𝜋 𝑡 d 𝑡 + 𝑤(0) = 25 W ( 𝑡2

− sin 1000 𝜋2000 𝜋

𝑡) mit 𝑤(0) = 0

Aufgabe 2

𝐿 = 30 mH, 𝑖𝐿(𝑡) = 10 A sin 50 𝑡

nur im Bereich 0 < 𝑡 < 𝜋50

(halbe Periode), sonst = 0.

𝑢𝐿 = 𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 30 ⋅ 10−3 ⋅ 10 ⋅ 50 cos 50 𝑡 Vs AA s

= 15 V cos 50 𝑡

𝑝𝐿 = 𝐿 ⋅ 𝑖𝐿d 𝑖d 𝑡

= (30 ⋅ 10−3 ⋅ 10 sin 50 𝑡 ⋅ 50 ⋅ 10 cos 50 𝑡) VA

= 75 VA sin 100 𝑡 wegen sin 𝛼 cos 𝛼 = 12

sin 2 𝛼

𝑤𝐿 = 75 W𝑡

∫0

sin 100 𝑡 d 𝑡 + 𝑤(0) = 75100

Ws [− cos 100 𝑡]𝑡0

= 0.75 Ws (cos(0) − cos 100 𝑡) = 0.75 Ws (1 − cos 100 𝑡) mit 𝑤(0) = 0

Aufgabe 3

𝐶 = 20 µF, 𝑢𝑐(𝑡) = 50 V sin 200 𝑡

20


t in ms t in ms

iL

2 4 6

10 A L

2

4 6

15 V

−30 V

u

schalt−1

Abb. 15: Strom- und Spannungsverlauf zur Aufgabe 4

𝑖𝐶 = 𝐶 d 𝑢𝐶d 𝑡

= d 𝑄d 𝑡

𝑄(𝑡) = 𝐶 ⋅ 𝑢𝑐(𝑡) = 20 ⋅ 10−6 ⋅ 50 As sin 200 𝑡 = 10−3 As sin 200 𝑡𝑖𝐶 = 20 ⋅ 10−6 ⋅ 50 ⋅ 200 A cos 200 𝑡 = 0.2 A cos 200 𝑡𝑝𝐶 = 𝑢𝐶 ⋅ 𝑖𝐶 = 50 V sin 200 𝑡 ⋅ 0.2 A cos 200 𝑡 = 5 VA sin 400 𝑡

𝑤𝐶 =𝑡

∫0

𝑝 d 𝑡 = 5400

Ws (1 − cos 400 𝑡) mit 𝑤(0) = 0

Aufgabe 4

Vorgegeben ist der Stromverlauf durch eine Induktivität 𝐿 = 3 mH entsprechend Abbildung 15links. Gesucht ist der Spannungsverlauf 𝑢𝐿 an der Indiktivität.

0 < 𝑡 < 2 ms: 𝑢𝐿1 = 𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 3 ⋅ 10−3 VsA

⋅ (10 − 0) A(2 − 0) ms

= 15 V

2 ms < 𝑡 < 4 ms: 𝑢𝐿2 = 0 V

4 ms < 𝑡 < 6 ms: 𝑢𝐿3 = 3 ⋅ 10−3 VsA

⋅ (−20) A(2) ms

= −30 V

6 ms < 𝑡 < 8 ms: 𝑢𝐿4 = 0 V

Spannungsverlauf siehe Abb. 15 rechts.

Aufgabe 5

gegeben: 𝑅 = 2 Ω, 𝐿 = 2 mH, 𝐶 = 500 µFuR

uL uC

i(t)

rlc−1

R L C

Die Indizes 1,2 und 3 beziehen sich auf die Zeitabschnitte 0 < 𝑡 < 1 ms, 1 ms < 𝑡 < 2 ms und2 ms < 𝑡 < 3 ms.

21


𝑖1(𝑡) = 10 A1 ms

𝑡 = 104𝑡 A

𝑖2(𝑡) = 10 A𝑖3(𝑡) = (−104𝑡 + 30) A

𝑢𝑅 = 𝑅 ⋅ 𝑖(𝑡)

𝑢𝐿 = 𝐿 d 𝑖d 𝑡

𝑢𝐿1 = 2 ⋅ 10−3 101 ⋅ 10−3 V = 20 V

𝑢𝐿2 = 0 V𝑢𝐿3 = −20 V

𝑢𝐶 = 1𝐶

∫ 𝑖(𝑡) d 𝑡 + 𝑈𝐶0

𝑈𝐶0 = 0 V

𝑢𝐶1 = 1500

⋅ 106 VAs

𝑡

∫0

104 A ⋅ 𝑡 d 𝑡 = 107 V ⋅ 𝑡2

𝑢𝐶1(1 ms) = 107 ⋅ 10−6 V = 10 V = 𝑈𝐶1

𝑢𝐶2 = 1500

⋅ 106 VAs

𝑡

∫1 ms

10 A d 𝑡 + 𝑈𝐶1 = 2 ⋅ 104 (𝑡 − 1 ms) Vs

+ 10 V

𝑢𝐶2(2 ms) = 2 ⋅ 104 V (2 ⋅ 10−3 − 10−3) + 10 V = 30 V = 𝑈𝐶2

𝑢𝐶3 = 1500

⋅ 106 VAs

𝑡

∫2 ms

(−104𝑡 + 30) A d 𝑡 + 𝑈𝐶2

= 106

500[−1

2104 (𝑡2 − 4 ⋅ 10−6) + 30 (𝑡 − 2 ⋅ 10−3)] V

s+ 𝑈𝐶2

= 106

500[−104

2𝑡2 + 30𝑡 − 4 ⋅ 10−2] V

s+ 30 V

𝑢𝐶3(3 ms) = 106

500[−104

2⋅ 9 ⋅ 10−6 + 30 ⋅ 3 ⋅ 10−3 − 4 ⋅ 10−2] V + 𝑈𝐶2

= 10 V + 30 V = 40 V

Verlauf der Spannungen und des Stromes siehe Abbildung 16.

22


-20

-10

0

10

20

30

40

50

0×100 5×10-4 1×10-3 2×10-3 2×10-3 2×10-3 3×10-3

i in

A,

uC,

uR,

uL

in V

t in s

i(t)uR(t)uL(t)uC(t)

Abb. 16: Schaltung, Strom und Spannungsverläufe zur Aufgabe 5

23

4 Mittelwerte

4 Mittelwerte

4.1 Der arithmetische Mittelwert

Entspricht der vorzeichenrichtigen Addition der Funktion, dividiert durch das betrachtete Zeit-interval. Allgemein:

𝑖 = 1𝑇

𝑡0+𝑇∫𝑡0

𝑓(𝑡) d 𝑡

Beispiel: gesucht ist der arithmetische Mittelwert 𝑖 der Funktion

𝑓(𝑡) = sin(𝜔𝑡) für 0 < 𝑡 < 𝑇 /20 für 𝑇 /2 < 𝑡 < 𝑇

Das Ergebnis ist die Summe zweier Integrale

𝑖 = 1𝑇

⎡⎢⎣

𝑇 /2

∫0

sin(𝜔𝑡) d 𝑡 +𝑇

∫𝑇 /2

0 d 𝑡⎤⎥⎦

= 1𝑇

1𝜔

[− cos(𝜔𝑡)]𝑇 /2

0

= 1𝜔𝑇

[cos(0) − cos ( 𝜔𝑇 /2

)]

= 2𝜔𝑇

= 1𝜋

Das Ergebnis muss mit der Maßeinheit der Amplitude multipliziert werden.

4.2 Der quadratische Mittelwert — Effektivwert

Vorzeichenunabhängiger Mittelwert durch vorheriges Quadrieren der Funktion. Allgemein:

𝑖eff = 𝐼 = √ 1𝑇

𝑡0+𝑇∫𝑡0

𝑖2(𝑡) d 𝑡

Beispiel: gesucht ist der Effektivwert 𝐼 der Funktion 𝑖(𝑡) = 𝑖 sin(𝜔𝑡).

𝐼 =√√√√

1𝑇

𝑇

∫0

𝑖2 sin2(𝜔𝑡) d 𝑡

24

4 Mittelwerte

Laut Formelsammlung gilt: sin2 𝑥 = 12 (1 − cos 2𝑥).

𝐼 =√√√√

𝑖2

2𝑇⎡⎢⎣

𝑇

∫0

1 d 𝑡 −𝑇

∫0

cos(2𝜔𝑡) d 𝑡⎤⎥⎦

= √ 𝑖2

2𝑇[𝑇 − 1

2𝜔[sin(2𝜔𝑡)]

𝑇

0]

= √ 𝑖2

2𝑇[𝑇 − 1

2𝜔[sin(2𝜔𝑇 )]]

=𝑖√2

4.3 Die mittlere Leistung — Wirkleistung

Die zeitliche Leistung entsprechend Gleichung 3 pulsiert. Der äquivalenten Gleichstromleistungentspricht der Flächeninhalt zwischen 𝑝(𝑡) und der Zeitachse und heißt die mittlere Leistung 𝑝.

𝑝 =∫ 𝑝(𝑡) d 𝑡

𝑇

= 1𝑇

𝑇

∫0

𝑖2

[cos(𝜑𝑢 − 𝜑𝑖) − cos(2𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 + 𝜑𝑖)] d 𝑡

= 1𝑇

𝑖2

⎡⎢⎣

𝑇 [cos(𝜑𝑢 − 𝜑𝑖)] −𝑇

∫0

cos(2𝜔𝑡 + 𝜑𝑢 + 𝜑𝑖) d 𝑡⎤⎥⎦

Das Integral über eine Periode ist Null. Damit ergibt sich für die mittlere Leistung

𝑝 = 𝑖2

cos(𝜑𝑢 − 𝜑𝑖) .

Für die mittlere Leistung ist es unerheblich, ob der Strom vor- oder nacheilt, wesentlich ist diePhasendifferenz zwischen Strom und Spannung.

4.4 Der Gleichrichtwert (elektrolytischer Mittelwert)

Entspricht dem vorzeichenunabhängigen, arithmetischen Mittelwert, da der Betrag der Funktionbetrachtet wird.

| 𝑖| = 1𝑇

𝑡0+𝑇∫𝑡0

|𝑖(𝑡)| d 𝑡

4.5 Abgeleitete Größen

4.5.1 Der Scheitelfaktor

Scheitelfaktor = ScheitelwertEffektivwert

=𝑖

𝑖eff

25

4 Mittelwerte

4.5.2 Der Formfaktor

Formfaktor = EffektivwertGleichrichtwert

= 𝑖eff| 𝑖|

4.6 Technische Bedeutung

Bei Messgeräten ist der Ausschlag des Zeigers das Ergebnis des arithmetischen Mittelwertes derFunktion des Drehmomentes (siehe auch [1, Aufgabe 2.2]).

Drehspulmessgerät: 𝑚(𝑡) ∼ 𝑖(𝑡), zeigt direkt den arithmetischen Mittelwert an

Dreheisenmessgerät: 𝑚(𝑡) ∼ 𝐹(𝑡) ∼ 𝐵2(𝑡) ∼ 𝑖2(𝑡), zeigt den Effektivwert an

Hitzdrahtmessgerät: Ausdehnung ∼ 𝑖2(𝑡), Effektivwert

Beispiel 1

Sinusförmige Funktion: 𝑖(𝑡) = 𝑖 ⋅ sin(𝜔 𝑡 + 𝜑)

• arithmetischer Mittelwert:

𝑖 = 1𝑇

𝑇 +𝑡0

∫𝑡0

𝑖 ⋅ sin(𝜔 𝑡 + 𝜑) d 𝑡 = 0

• Effektivwert:

𝑖eff = 𝐼 =

√√√√

1𝑇

𝑇 +𝑡0

∫𝑡0

𝑖2 ⋅ sin2(𝜔 𝑡 + 𝜑) d 𝑡 =𝑖√2

• Gleichrichtwert:

| 𝑖| = 1𝑇

⎛⎜⎜⎝

𝑇 /2

∫0

𝑖(𝑡) d 𝑡 +𝑇

∫𝑇 /2

𝑖(𝑡) d 𝑡⎞⎟⎟⎠

= 2 𝑖𝑇

𝑇 /2+𝑡0

∫𝑡0

sin(𝜔 𝑡 + 𝜑) d 𝑡 = 2 ⋅ 22 𝜋

𝑖 = 2𝜋

𝑖

• Scheitelfaktor:

=𝑖

𝑖/√

2=

√2

• Formfaktor:

=𝑖eff

| 𝑖|=

𝑖 𝜋√2 ⋅ 2 𝑖

= 1.11

26

4 Mittelwerte

Beispiel 2

Periodische, nichtsinusförmige Funktion:

𝑖(𝑡) = 𝐼0𝑇

𝑡 für 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑇

mittel−1T

I0

t

• Effektivwert:

𝐼eff =√√√√

1𝑇

𝑇

∫0

𝑖2(𝑡) d 𝑡 =√√√√

1𝑇

𝑇

∫0

(𝐼0𝑇

𝑡)2

d 𝑡 = √ 1𝑇

𝐼20

𝑇 2 ⋅ 13

𝑇 3 = √𝐼203

= 1√3

𝐼0

• arithmetischer Mittelwert:

𝑖 = 1𝑇

𝑇

∫0

𝑖(𝑡) d 𝑡 = 1𝑇

𝑇

∫0

𝐼0𝑇

𝑡 d 𝑡 = 1𝑇

⋅ 𝐼0𝑇

⋅ 12

𝑇 2 = 𝐼02


| 𝑖| = 1𝑇

𝑇

∫0

|𝑖(𝑡)| d 𝑡 = 𝐼02

• Scheitelfaktor:

𝐼0𝐼0

√3 =

√3

• Formfaktor:

𝐼0 ⋅ 2√3 ⋅ 𝐼0

= 2√3

27

5 Fourier-Analyse (Harmonische Analyse)


5.1 Übersicht

et4−01

GleichstromverhaltenWechselstromverhaltenZeitverhalten

linear

nichtlinear

StrömeSpannungenLeistungen

Abb. 17: Übersicht zur Analyse linearer und nichtlinearer Netzwerke

Übersicht der Analysearten: siehe Abb. 17. Sinusförmige Größen: siehe Kapitel 1. Grundbezie-hungen zwischen Strom, Spannung, Leistung und Energie an linearen, passiven Elementen: sieheKapitel 3. Bei der Wechselstromanalyse geht man im allg. von einer Frequenz und sinusförmigerErregung (im linearen Netz) aus.

Das Überlagern sinusförmiger Größen (Superposition) ist nur in linearen Netzen möglich. So wieeinzelne sinusförmige Größen zu einer neuen Größe durch Addition überlagert werden können —und damit neue Verläufe erzeugen, die nicht unbedingt sinusförmig sind — kann man umgekehrtauch jeden beliebigen, periodischen Kurvenverlauf in eine Summe einzelner Sinusschwingungenzerlegen [1, Kap. 3.1] (Fourierzerlegung).

Im technischen Alltag treten vorwiegend keine reinen Sinusgrößen auf. Beispiele: Netzspannung,Magnetisierungströme von Transformatoren und elektr. Maschinen, an Gleichrichtern, in derImpulstechnik und Leistungselektronik.

Die Berechnung dieser periodischen, nicht sinusförmigen Vorgänge lässt sich mit Hilfe der Fourier-Analyse lösen.

Analog zur Synthese von periodischen Funktionen lässt sich im Prinzip jede periodische Funktionin eine Reihe von Sinusschwingungen zerlegen8 (Analyse). Durch Überlagerung kann man dieReaktion der nicht sinusförmigen Schwingungen auf lineare Netze bestimmen.

Referenzen: [1, 2]

5.2 Definitionen

Ist 𝑓(𝑡) periodisch, also gilt 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇 ), lässt sich die Funktion zerlegen in

𝑓(𝑡) = 12

𝑎0

+ 𝑎1 cos(𝜔𝑡) + 𝑎2 cos(2𝜔𝑡) + … + 𝑎𝑛 cos(𝑛𝜔𝑡)+ 𝑏1 sin(𝜔𝑡) + 𝑏2 sin(2𝜔𝑡) + … + 𝑏𝑛 sin(𝑛𝜔𝑡)

(6)

8Es müssen die sog. Dirichlet-Bedingungen erfüllt werden: endliche Anzahl von Unstetigkeiten, endlicher Mittel-wert, endliche Anzahl von Extremwerten über eine Periode.

28


Die Grundschwingung hat die Frequenz 𝜔 = 2𝜋𝑇 (1. Teilschwingung, 1. Harmonische). Ober-

schwingungen sind die höheren Teilschwingungen bzw. Harmonischen und ganzzahligen Viel-fachen der Grundschwingung. Das Verhältnis 𝜈𝜔

𝜔 = 𝜈 bezeichnet man als Ordnungszahl. DieFourier-Koeffizienten ergeben sich aus

𝑎0 = 2𝑇

𝑇

∫0

𝑓(𝑡) d 𝑡

𝑎𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

𝑓(𝑡) cos(𝜈𝜔𝑡) d 𝑡

𝑏𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

𝑓(𝑡) sin(𝜈𝜔𝑡) d 𝑡

Achtung: Der Koeffizient 𝑎0 stellt den doppelten arithmetischen Mittelwert dar!

5.3 Beispiele

Beispiel „Kippspannung“

𝑓(𝑡) = 𝑉0𝑇

𝑡 für 0 < 𝑡 < 𝑇

ω

V0

2π 4π tfourier−01

𝑎02

= 𝑉02

aus der Betrachtung

𝑎𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

𝑉0𝑇

𝑡 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 = 2𝑉0𝑇 2

𝑇

∫0

𝑡 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡

Wegen ∫ 𝑥 cos 𝑎𝑥 d 𝑥 = cos 𝑎𝑥𝑎2 + 𝑥 sin 𝑎𝑥

𝑎und 𝜔 𝑇 = 2 𝜋 folgt

𝑎𝜈 = 2𝑉0𝑇2

[ 1𝜈2𝜔2 (

=+1⏞cos 𝜈𝜔𝑇 −

=+1⏞cos 0) + 𝑇

𝜈𝜔(

=0⏞sin 𝜈𝜔𝑇 −

=0⏞sin 0)] = 0

𝑏𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

𝑉0𝑇

𝑡 sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡

Wegen ∫ 𝑥 sin 𝑎𝑥 d 𝑥 = sin 𝑎𝑥𝑎2 − 𝑥 cos 𝑎𝑥

𝑎folgt

𝑏𝜈 = 2𝑉0𝑇 2

⎡⎢⎣

1𝜈2𝜔2

⎛⎜⎜⎝

=0⏞⏞⏞⏞⏞sin 𝜈𝜔 2𝜋

𝜔−

=0⏞sin 0

⎞⎟⎟⎠

− 1𝜈𝜔

(2𝜋𝜔

cos 𝜈𝜔2𝜋𝜔

− 0 ⋅ …)⎤⎥⎦

= 2𝑉0𝑇 2 (− 1

𝜈𝜔⋅ 2𝜋

𝜔) = − 4𝜋

𝜔2𝑇 2 ⋅ 𝑉0𝜈

= −𝑉0𝜋𝜈

29


-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

1234567

Abb. 18: Darstellung der Funktion 𝑓(𝑡) = 𝑉0𝑡/𝑇 durch Oberschwingungen der Ordnungszahlen 1 bis 7

𝑓(𝑡) = 𝑉02

− 𝑉0𝜋

sin 𝜔𝑡 − 𝑉02𝜋

sin 2𝜔𝑡 − 𝑉03𝜋

sin 3𝜔𝑡 − … = 𝑉0 (12

− 1𝜋

∞∑

1

sin 𝜈𝜔𝑡𝜈

)

Ergebnis siehe Abbildung 18

Beispiel „Rechteck“

𝑓(𝑡) = 𝑉0 für 0 < 𝜔𝑡 < 𝜋

−𝑉0 für 𝜋 < 𝜔𝑡 < 2𝜋 ω

V0

2ππ t

fourier−02

𝑎0 = 0

𝑎𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

𝑓(𝑡) cos 𝜈𝜔 d 𝑡 = 2𝑇

⎡⎢⎣

𝑇 /2

∫0

𝑉0 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 −𝑇

∫𝑇 /2

𝑉0 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡⎤⎥⎦

= 2𝑇

𝑉0 [[ 1𝜈𝜔

sin 𝜈𝜔𝑡]𝑇 /2

0− [ 1

𝜈𝜔sin 𝜈𝜔𝑡]

𝑇

𝑇 /2] = 2𝑉0

𝜈𝜔𝑇[

=0⏞sin 𝜈𝜋 −(

=0⏞sin 𝜈2𝜋 −

=0⏞sin 𝜈𝜋)] = 0

30


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 0.5 1 1.5 2

13579

1113

Abb. 19: Darstellung einer Rechteckfunktion durch Oberschwingungen der ungeraden Ordnungszahlen 1bis 13

𝑏𝜈 = 2𝑇

𝑉0⎡⎢⎣

𝑇 /2

∫0

sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 −𝑇

∫𝑇 /2

sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡⎤⎥⎦

= 2𝑉0𝜈𝜔𝑇

[− cos 𝜈𝜋 + cos 0 + cos 𝜈2𝜋 − cos 𝜈𝜋]

=⎧⎨⎩

4𝑉0𝜈𝜋

für 𝜈 = 1, 3, …

0 für 𝜈 = 2, 4, …

𝑓(𝑡) = 4𝑉0𝜋

(sin 𝜔𝑡 + 13

sin 3𝜔𝑡 + 15

sin 5𝜔𝑡 + …) = 4𝑉0𝜋

∞∑

𝜈=1,3,…

1𝜈

sin 𝜈𝜔𝑡


Beispiel „Sägezahn“

𝑓(𝑡) = 𝑉0𝜋 𝜔𝑡 für 0 < 𝜔𝑡 < 𝜋

0 für 𝜋 < 𝜔𝑡 < 2𝜋ω

V0

π 2π tfourier−03

𝑎02

= 𝑉04

31


-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 0.5 1 1.5 2

1234567

Abb. 20: Darstellung einer Sägezahnfunktion durch Oberschwingungen der Ordnungszahlen 1 bis 7

𝑎𝜈 = 1𝜋

𝜋

∫0

𝑉0𝜋

𝜔𝑡 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 = 𝑉0𝜋2 [cos 𝜈𝜔𝑡

𝜈2 + 𝜔𝑡 sin 𝜈𝜔𝑡𝜈

]𝜋

0

= 𝑉0𝜋2 [ 1

𝜈2 (cos 𝜈𝜋 − 1)] +

=0⏞𝜋𝜈

sin 𝜈𝜋 =⎧⎨⎩

𝑉0𝜈2𝜋2 ⋅ (−2) für 𝜈 = 1, 3, …𝑉0

𝜈2𝜋2 ⋅ (1 − 1) = 0 für 𝜈 = 2, 4, …

𝑏𝜈 = 1𝜋

𝜋

∫0

𝑉0𝜋

𝜔𝑡 sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 = 𝑉0𝜋2 [sin 𝜈𝜔𝑡

𝜈2 − 𝜔𝑡 cos 𝜈𝜔𝑡𝜈

]𝜋

0= 𝑉0

𝜋2⎡⎢⎣

=0⏞sin 𝜈𝜋

𝜈2 −𝜋 cos 𝜈𝜋𝜈

⎤⎥⎦

= (−1)𝜈+1 𝑉0𝜈𝜋

𝑓(𝑡) = 𝑉04

− 2𝑉0𝜋2 cos 𝜔𝑡 − 2𝑉0

(3𝜋)2 cos 3𝜔𝑡 − 2𝑉0(5𝜋)2 cos 5𝜔𝑡 − …

+ 𝑉0𝜋

sin 𝜔𝑡 − 𝑉02𝜋

sin 2𝜔𝑡 + 𝑉03𝜋

sin 3𝜔𝑡 − …


32


5.4 Amplituden- und Phasenspektrum

Die Sinus- und Cosinusterme in Gleichung 6 kann man zu einem einzigen Sinus- oder Cosinustermmit Nullphasenwinkel zusammenfassen:

𝑓(𝑡) = 12

𝑎0 + 𝑐1 cos(𝜔𝑡 − 𝜓1) + 𝑐2 cos(2𝜔𝑡 − 𝜓2) + … + 𝑐𝑛 cos(𝑛𝜔𝑡 − 𝜓𝑛)

oder

𝑓(𝑡) = 12

𝑎0 + 𝑐1 sin(𝜔𝑡 + 𝜑1) + 𝑐2 sin(2𝜔𝑡 + 𝜑2) + … + 𝑐𝑛 sin(𝑛𝜔𝑡 + 𝜑𝑛)

mit

𝑐𝜈 = √𝑎2𝜈 + 𝑏2

𝜈

𝜓𝜈 = arctan 𝑏𝜈𝑎𝜈

𝜑𝜈 = arctan 𝑎𝜈𝑏𝜈

Man beachte, dass die arctan-Funktion je nach Vorzeichen von Zähler und Nenner in 4 Qua-dranten definiert ist, also von −𝜋 bis +𝜋 (Betrachtung am Einheitskreis).

Trägt man die einzelnen Amplituden 𝑐𝜈 und Nullphasenwinkel 𝜓𝜈 bzw. 𝜑𝜈 über die dazugehörigeOrdnungszahl auf, erhält man das Amplituden- und Phasenspektrum der untersuchten Funktion.Da die Werte nur zu diskreten Ordnungszahlen berechnet werden, dürfen in dem Spektrum dieWerte nicht miteinander verbunden werden, sondern müssen durch Linien zur Abszissenachsedargestellt werden (Linienspektrum). Der Koeffizient 𝑐0 wird zu der Ordnungszahl 0 mit 𝑐0 =|12𝑎0| eingezeichnet.

Das Amplitudenspektrum einer Funktion ist unabhängig von der Lage der Funktion zum Koor-dinatenursprung.

Beispiele

• „Kippspannung“ (Abb. 18):

𝑐0 = 𝑎02

= 𝑉02

𝑐𝜈 = √𝑎2𝜈 + 𝑏2

𝜈 = 𝑉0𝜈𝜋

𝜑𝜈 = arctan 𝑎𝜈𝑏𝜈

= 0− 𝑉0

𝜈𝜋

= 𝜋

𝑓(𝑡) = 𝑉02

+ 𝑉0𝜋

sin(𝜔𝑡 + 𝜋) + 𝑉02𝜋

sin(2𝜔𝑡 + 𝜋) + 𝑉03𝜋

sin(3𝜔𝑡 + 𝜋) + …

• Rechteckspannung (Abb. 19):

𝑐0 = 0

𝑐𝜈 = 4𝑉0𝜈𝜋

𝜑𝜈 = arctan 04𝑉0𝜈𝜋

= 0

33


• „Sägezahn“ (Abb. 20):

𝑐0 = 𝑉04

𝑐1 = √ 4𝜋4 + 1

𝜋2 = 1𝜋2

√4 + 𝜋2

𝑐2 = √( 12𝜋

)2

= 12𝜋

𝑐3 = √ 492𝜋4 + 1

32𝜋2 = 132𝜋2

√4 + 9𝜋2

𝑐4 = 14𝜋

𝑐𝜈 =⎧⎨⎩

12𝜈𝜋

für 𝜈 = 2, 4, …1

𝜋2(2𝜈 + 1)2 √4 + (2𝜈 + 1)2𝜋2 für 𝜈 = 1, 3, …

𝜑1 = arctan− 2

𝜋2

1𝜋

= − 2𝜋

𝜑2 = arctan 0− 1

2𝜋= 𝜋

𝜑3 = arctan− 2

32𝜋2

13𝜋

= − 23𝜋

𝜑4 = arctan 0− …

= 𝜋

𝜑𝜈 =⎧⎨⎩

𝜋 für 𝜈 = 2, 4, …

− 2𝜈𝜋

für 𝜈 = 1, 3, …

5.5 Symmetrie von Funktionen

Das Vorhandensein von Sinus- und Cosinustermen in Gleichung 6 sowie von geraden und unge-raden Oberschwingungen hängt von der Art der Symmetrie ab. Die Kenntnis der Symmetrieei-genschaften kann den Rechenaufwand erheblich reduzieren.

• gerade Funktion 𝑓(𝑡) = 𝑓(−𝑡): 𝑏𝜈 = 0symmetrisch bezüglich der y-Achse; Beispiel: Cosinusfunktion;

• ungerade Funktion 𝑓(𝑡) = −𝑓(−𝑡): 𝑎𝜈 = 0symmetrisch bezüglich des Ursprunges; Beispiel: Sinusfunktion;

• Halbwellen-Symmetrie 𝑓(𝑡) = −𝑓(𝑡 + 𝜋/2): 𝑎2𝜈, 𝑏2𝜈 = 0

Durch Verschieben der Zeit- und/oder y-Achse sollte versucht werden, möglichst Symmetrien zuerzeugen. Bei Verschiebung der y-Achse verändert sich der arithmetische Mittelwert. Bei Ver-schiebung der Zeitachse verändern sich die Nullphasenwinkel. Das Amplitudenspektrum bleibtgleich.

34


Beispiele

• vertikale Verschiebung der Kippspannung um 𝑉02

:


𝑡 − 𝑉02

für 0 < 𝑡 < 𝑇ω

0V

2

0V

2

2π 4π

t

fourier−04

𝑎02

= 0

𝑎𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

(𝑉0𝑇

𝑡 − 𝑉02

) cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 = 2𝑇

⎡⎢⎣

𝑇

∫0

=0⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞𝑉0𝑇

𝑡 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 −𝑇

∫0

𝑉02

cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡⎤⎥⎦

= − 2𝑇

𝑉02

1𝜈𝜔

[=0

⏞sin 𝜈𝜔𝑇 − sin 0] = 0

𝑏𝜈 = 2𝑇

𝑇

∫0

(𝑉0𝑇

𝑡 − 𝑉02

) sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 = 2𝑇

⎡⎢⎣

𝑇

∫0

𝑉0𝑇

𝑡 sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 −𝑇

∫0

𝑉02

sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡⎤⎥⎦

= … − 𝑉02

[=−1

⏞⏞⏞⏞⏞− cos 𝜈𝜔𝑇 +=+1⏞cos 0]

⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟=0

= − 𝑉0𝜈𝜋

𝑓(𝑡) = −𝑉0𝜋

(sin 𝜔𝑡 + 12

sin 2𝜔𝑡 + 13

sin 3𝜔𝑡 + …)

Ergebnis siehe Abbildung 21. Die Amplitude beträgt nur 𝑉0/2, entsprechend fehlt derFaktor 2 bei den Koeffizienten.

• horizontale Verschiebung um 𝑇2 :


𝑡 für − 𝜋 < 𝜔𝑡 < 𝜋ω

0V

2

0V

2

2π 3ππ−π

t

fourier−05

𝑎02

= 0

𝑎𝜈 = 2𝑇

𝑇 /2

∫0

𝑉0𝑇

𝑡 cos 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡 = 0 wegen ungerader Symmetrie

35


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2

1234567

Abb. 21: Vertikale Verschiebung der Kippspannung, Darstellung bis zur 7. Oberschwingung

𝑏𝜈 = 2𝑇

𝑇 /2

∫−𝑇 /2

𝑉0𝑇

𝑡 sin 𝜈𝜔𝑡 d 𝑡

= 2𝑉0𝑇 2

⎡⎢⎣

1𝜈2𝜔2 (

=0⏞sin 𝜈𝜋 −

=0⏞⏞⏞⏞⏞sin(−𝜈𝜋))

⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟=0

− 1𝜈𝜔

(𝑇2

cos 𝜈𝜋 + 𝑇2

cos 𝜈𝜋)⎤⎥⎦

= −2𝑉0𝑇 2

𝑇𝜈𝜔

cos 𝜈𝜋 = − 𝑉0𝜈𝜋

𝑐𝑜𝑠𝜈𝜋

𝑓(𝑡) = 𝑉0𝜋

(sin 𝜔𝑡 − 12

𝑠𝑖𝑛2𝜔𝑡 + 13

𝑠𝑖𝑛3𝜔𝑡 − …)

Ergebnis siehe Abbildung 22. Die Amplitude beträgt nur 𝑉0/2, entsprechend fehlt derFaktor 2 bei den Koeffizienten.

5.6 Kenngrößen periodischer, nichtsinusförmiger Funktionen

5.6.1 Mischfunktionen

Jede periodische Funktion kann sich aus einem Gleichanteil (Koeffizient 𝑎0/2) und Wechselanteil(Koeffizienten 𝑎𝜈, 𝑏𝜈) zusammensetzen.

Beispiel: Reihenschaltung einer Gleich- und Wechselspannung ergibt eine Mischspannung, alsoeine mit einer Gleichspannung überlagerten Wechselspannung.

36


-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0 0.5 1 1.5 2

1234567

Abb. 22: Horizontale Verschiebung der Kippspannung, Darstellung bis zur 7. Oberschwingung

5.6.2 Arithmetischer Mittelwert

𝑎02

= 1𝑇

𝑇

∫0

𝑓(𝑡) d 𝑡

5.6.3 Effektivwert

Effektivwert = √(12

𝑎0)2

+ 12

𝑎21 + 1

2𝑎2

2 + … + 12

𝑏21 + 1

2𝑏2

2 + … = √𝑐20 + 1

2𝑐2

1 + 12

𝑐22 + …

5.6.4 Mittlere Leistung

𝑃 = 1𝑇

𝑡0+𝑇

∫𝑡0

𝑢(𝑡) 𝑖(𝑡) d 𝑡

= 1𝑇

𝑡0+𝑇

∫𝑡0

[𝑈0 + 1 sin(𝜔𝑡 + 𝛷1) + 2 sin(2𝜔𝑡 + 𝛷2) + …]

⋅ [𝐼0 + 𝑖1 sin(𝜔𝑡 + 𝛩1) + 𝑖2 sin(2𝜔𝑡 + 𝛩2) + …] d 𝑡

= 𝑈0𝐼0 + 12

1 𝑖1 cos(𝛷1 − 𝛩1) + 12

2 𝑖2 cos(𝛷2 − 𝛩2) + … = 𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃2 + …

(7)

𝑃0: Gleichstromleistung, 𝑃1: Grundschwingungsleistung,∞∑𝜈=2

𝑃𝜈: Oberschwingungsleistung

37


5.6.5 Gleichrichtwert

| 𝑓 | = 1𝑇

𝑡0+𝑇

∫𝑡0

|𝑓(𝑡)| d 𝑡

5.6.6 Scheitelfaktor

Scheitelfaktor = ScheitelwertEffektivwert

5.6.7 Formfaktor

Formfaktor = EffektivwertGleichrichtwert

5.6.8 Klirrfaktor (Oberschwingungsgehalt)

𝑘 = Summe der OberschwingungseffektivwerteSumme aller harmonischen Effektivwerte

=√1

2𝑐22 + 1

2𝑐23 + …

√12𝑐2

1 + 12𝑐2

2 + 12𝑐2

3 + …

Der Klirrfaktor kennzeichnet den Anteil der Oberschwingungen und somit die Abweichung vonder reinen Sinusform. Der Klirrfaktor einer bestimmten Oberschwingung 𝜈 beträgt

𝑘𝜈 =√1

2𝑐2𝜈

√12𝑐2

1 + 12𝑐2

2 + 12𝑐2

3 + …

5.6.9 Grundschwingungsgehalt

𝑔 = 𝑘1 =√

1 − 𝑘2 =√1

2𝑐21

√12𝑐2

1 + 12𝑐2

2 + 12𝑐2

3 + …

5.6.10 Scheinleistung

𝑆 = 𝑈𝐼

Die Scheinleistung wird aus dem Produkt der Effektivwerte von 𝑈 und 𝐼 (siehe 5.6.3) berech-net.

5.6.11 Blindleistung

𝑄 =√

𝑆2 − 𝑃 2

Wirkleistung 𝑃 siehe Gleichung (7)

38


5.6.12 Verzerrungsleistung

𝐷 = √𝑄2 − 𝑄21

𝑄1 stellt die Grundschwingungs-Blindleistung 𝑈1𝐼1 sin 𝜑1 dar.

5.6.13 Welligkeit (Gleichrichterschaltungen)

𝑤 =√

∞∑𝜈=1

𝑈2𝜈

𝑈di

𝑈d: Effektivwert der gleichgerichteten Spannung

𝑈di: ideelle, gleichgerichtete Spannung (≡ linearer Mittelwert bzw. Gleichrichtwert)

5.7 Verzerrung

Spielt eine große Rolle in der Übertragungstechnik. Übertragung von Signalen über ein Netz-werk.

fourier−14

Eingang Ausgang

Abb. 23: Ideales und verzerrungsfreies Netzwerk

Ein ideales Übertragungsnetzwerk liegt dann vor, wenn die Spektren des Ausgangssignals iden-tisch sind mit denen des Eingangssignals (Abb. 23, links). Wegen der unvermeidbaren Laufzeitenist ein solches Netzwerk nicht realisierbar.

Ein verzerrungsfreies Netzwerk liegt dann vor, wenn im Spektrum des Ausgangssignal die glei-chen Teilschwingungen vorhanden sind und sich sämtliche Amplituden und Nullphasenwinkelum einen konstanten Faktor von denen des Einganssignals unterscheiden (Abb. 23, rechts).

Von linearer Verzerrung spricht man, wenn die Spektren von Eingangs- und Ausgangssignalausschließlich gleichfrequente Teilschwingungen enthalten, d. h. das Ausgangssignal enthält diegleichen Ordnungszahlen (evtl. mit unterschiedlichen Amplituden bzw. Phasenwinkeln) wie dasEingangssignal.

Amplitudenverzerrung: Verhältnis von Ein-/Ausgangsamplituden ist frequenzabhängig

Phasenverzerrung

39


f1(t)F(t) G(t)

f (t)2

fourier−15

Abb. 24: Lineare und nichtlineare Verzerrung

Für einen linearen Zweipol gilt (Anwendung der Superposition, siehe Abb. 24):

𝑓1(𝑡) + 𝑓2(𝑡) = 𝑔1(𝑡) + 𝑔2(𝑡)𝛼 𝑓(𝑡) = 𝛼 𝑔(𝑡)

Sind diese Bedinguneg nicht erfüllt, liegt eine nichtlineare Verzerrung vor. Sie wird durch nicht-lineare Zweipole erzeugt.

Beispiele: Dioden, Induktivitäten mit gesättigtem Eisenkern (Motoren,Transfortmatoren), Gleich-richterschaltungen, spannungsabhängige Widerstände (Varistoren, Glühlampen).

Ein- und Ausgangssignal enthalten Teilschwingungen mit unterschiedlichen Frequenzen (Ord-nungszahlen).

5.8 Beispiele

Aufgabe 1

gegeben: 𝑢(𝑡) = (50 + 141.4 sin 𝜔𝑡 + 35.5 sin 3𝜔𝑡) V

1. arithmetischer Mittelwert: 50 V

2. Effektivwert:

𝑈 = √502 + 141.42

2+ 35.52

2V = 114.57 V

3. Klirrfaktor:

𝑘 =√35.52

2

√141.42

2 + 35.52

2

= 25.1103

= 24 %

4. Grundschwingungsgehalt:

𝑘1 =√141.42

2

√141.42

2 + 35.52

2

= 100103

= 97 %

40


Aufgabe 2

𝑈0 = 4 V, 𝑈1 = 4𝑉 , 50 Hz, 𝑅 = 10 Ω

Was zeigen ein Hitzdrahtamperemeter und einDrehspulmessgerät an?

U0

U1

fourier−06

R

A

1. Hitzdrahtamperemeter (= Effektivwertmesser):

𝐼 = √𝐼20 + 𝐼2

1

𝐼0 = 𝑈0𝑅

= 4 V10 Ω

= 0.4 A

𝐼1 = 𝑈1𝑅

= 4 V10 Ω

= 0.4 A

𝐼 = √0.42 + 0.42 A = 0.4 ⋅√

2 A

2. Drehspulmessgerät (=arithmetischer Mittelwert):

𝐼 = 𝐼0 = 0.4 A

Aufgabe 3𝑢(𝑡) = 1 sin 𝜔𝑡 + 3 sin(3𝜔𝑡 + 𝜓)mit 3 = 1

31 für

1. 𝜓 = 0

2. 𝜓 = 𝜋

ψ = 0ψ = π

• Effektivwert:

𝑈1 = 1√2

𝑈3 = 1

3√

2

𝑈 = √𝑈21 + 𝑈2

3 = √12

𝑢12 + 1

2⋅ 𝑢1

2

9= 𝑢1√

2√1 + 1

9= 1√

2

√103

=√

53

1

• Klirrfaktor:

𝑘 = 𝑈3

√𝑈21 + 𝑈2

3= 𝑈3

𝑈= 1√

10= 31.7 %

𝑔 = 𝑘1 = 𝑈1𝑈

= 3√10

= 0.948 =√

1 − 𝑘2

Effektivwert und Klirrfaktor sind unabhängig von der Phasenlage.


41


1. 𝜓 = 0

|| = 1𝑇

𝑇

∫0

|𝑢(𝑡)| d 𝑡

= 1𝜋

𝜋

∫0

[sin 𝜔𝑡 + 13

sin 3𝜔𝑡] d (𝜔𝑡) = 1𝜋

[− cos 𝜔𝑡 − 19

cos 3𝜔𝑡]𝜋

0

= 1𝜋

[cos 0 − cos 𝜋 + 19

(cos 0 − cos 3𝜋)] = 209

1𝜋

2. 𝜓 = 𝜋

|| = 1𝜋

𝜋

∫0

[sin 𝜔𝑡 + 13

sin(3𝜔𝑡 + 𝜋)] d (𝜔𝑡) = 1𝜋

[− cos 𝜔𝑡 − 19

cos(3𝜔𝑡 + 𝜋)]𝜋

0

= 1𝜋

[cos 0 − cos 𝜋 + 19

(cos 𝜋 − cos 4𝜋)] = 169

1𝜋

• Scheitelfaktor:

1. 𝜓 = 0: Scheitelwert 𝑈max etwa bei 𝜋6 :

𝑈max𝑈

=sin 𝜋

6 + 13 sin 𝜋

21√2

13√

10= 5√

20= 1.118

2. 𝜓 = 𝜋: 𝑈max bei 𝜋2 :

𝑈max𝑈

=sin 𝜋

2 + 13 sin 5

2𝜋1√2

13√

10= 4√

5= 1.7888

• Formfaktor:

1. 𝜓 = 0:

𝑈||

=√

10 ⋅ 9 ⋅ 𝜋√2 ⋅ 3 ⋅ 20

= 3𝜋√

520

= 1.053

2. 𝜓 = 𝜋:

𝑈||

=√

10 ⋅ 9 ⋅ 𝜋√2 ⋅ 3 ⋅ 16

= 3𝜋√

516

= 1.317

42


Aufgabe 4: Dreieckspannung

𝑢(𝑡) = Dreickspannung = 300 V𝑇 = 20 ms → 𝜔 = 314 s−1

𝐿 = 0.1 H𝐶 = 102 µF

u(t) R C

fourier−08

u

tω

2ππ

Fourierkoeffizienten aus Formelsammlung:

𝑎02

= 0 𝑎𝜈 = 0 𝑏𝜈 = 8𝜋2

(−1)𝜈+1

𝜈2 𝜈 = 2𝑛 + 1, 𝑛 = 1, 2, 3, …

𝑢(𝑡) = 8𝜋2 (sin 𝜔𝑡 − 1

9sin 3𝜔𝑡 + 1

25sin 5𝜔𝑡 …)

= 243.1 V sin 𝜔𝑡 − 27 V sin 3𝜔𝑡 + 9.7 V sin 5𝜔𝑡 …

𝑘 =√𝑈2

3 + 𝑈25 + …

√𝑈21 + 𝑈2

3 + 𝑈25 + …

= 11.6 %

Strom durch Induktivität:

𝑖𝜈𝐿(𝑡) = 𝜈𝜈𝜔𝐿

sin(𝜈𝜔𝑡 − 𝜋2

)

𝑖𝐿(𝑡) = 𝑖1(𝑡) + 𝑖3(𝑡) + 𝑖5(𝑡)

= 243.1314 ⋅ 0.1

A sin(𝜔𝑡 − 𝜋2

)

− 273 ⋅ 314 ⋅ 0.1

A sin(3𝜔𝑡 − 𝜋2

)

+ 9.75 ⋅ 314 ⋅ 0.1

A sin(5𝜔𝑡 − 𝜋2

)

sin(𝑛𝑥 − 𝜋2

) = − cos 𝑛𝑥

𝑖𝐿(𝑡) = −7.74 A cos 𝜔𝑡 + 0.286 A cos 3𝜔𝑡 − 0.06 A cos 5𝜔𝑡

𝑘 =√

0.2862 + 0.062√

7.742 + 0.2862 + 0.062= 3 %

Strom durch Kapazität:

𝑖𝜈𝐶(𝑡) = 𝜈𝜔𝐶 ⋅ 𝜈 sin(𝜈𝜔𝑡 + 𝜋2

)

𝑖𝐶(𝑡) = 243.1 ⋅ 102 ⋅ 10−6 ⋅ 314 A sin(𝜔𝑡 + 𝜋2

)

− 27 ⋅ 102 ⋅ 10−6 ⋅ 3 ⋅ 314 A sin(3𝜔𝑡 + 𝜋2

)

+ 9.7 ⋅ 102 ⋅ 10−6 ⋅ 5 ⋅ 314 A sin(5𝜔𝑡 + 𝜋2

)

43


sin(𝑛𝑥 + 𝜋2

) = cos 𝑛𝑥

𝑖𝐶(𝑡) = 7.786 A cos 𝜔𝑡 − 2.59 A cos 3𝜔𝑡 + 1.55 A cos 5𝜔𝑡

𝑘 =√

2.592 + 1.552√

7.7862 + 2.592 + 1.552= 36 %

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 0.5 1 1.5 2-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

u(t

)

i(t)

u(t) il(t) ic(t)

Abb. 25: Dreieckspannung 𝑢(𝑡) und die resultierenden Ströme durch eine Kapazität und Induktivität

Ergebnisse siehe Abbildung 25.

Aufgabe 5: Einweggleichrichtung

Definitionen:

𝑈𝑑: Effektivwert der gleichgerichteten Spannung

𝑈𝑑𝑖: ideelle Gleichspannung = linearer Mittelwert = Gleichrichtwert

u

tωπ

2π

fourier−10

Udi

U

Abb. 26: Einweggleichrichtung

44


Schaltung und Kurvenverlauf der Spannung am Belastungswiderstand siehe Abbildung 26. Fou-rierkoeffizienten aus Formelsammlung:

𝑎02

= 𝜋

𝑎1 = 0 𝑎𝜈 = 𝜋

cos 𝜈𝜋 + 11 − 𝜈2 𝑎2𝜈 = 2

𝜋(1 − 𝜈2)𝑏1 =

2𝑏𝜈 = 0

𝑓(𝑡) = 𝜋

[1 + 𝜋2

sin 𝜔𝑡 − 23

cos 2𝜔𝑡 − 215

cos 4𝜔𝑡 …]

Den Verlauf von 𝑓(𝑡) zeigt Abb. 27.

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

a0/2+b1+a2+a4+a6

Abb. 27: Fourier-Analyse der Einweg-Gleichrichtung bis zur 6. Oberschwingung

𝑈𝑑 aus Fourier-Analyse:

𝑈𝑑 = √𝑎20

22 + 𝑐212

+ 𝑐222

+ … = 𝜋

√1 + 𝜋2

8+ 4

18+ 4

450+ … = 0.49973 …

𝑈𝑑 analytisch:

𝑈𝑑 =

√√√√

1𝑇

𝑇 /2

∫0

2 sin2 𝜔𝑡 d 𝑡 =

√√√√

2

𝑇

𝑇 /2

∫0

12

(1 − cos 2𝜔𝑡) d 𝑡

=

√√√√

2

2𝑇⎡⎢⎣

𝑇 /2

∫0

d 𝑡 −

𝑇 /2

∫0

cos 2𝜔𝑡 d 𝑡⎤⎥⎦

=

√√√√√

2

2𝑇⎡⎢⎣

𝑇2

− 12

=0⏞sin 2𝜔𝑇

2⎤⎥⎦

= √2

2𝑇[𝑇

2] =

2

Gleichrichtwert: 𝑈di = 𝑎02

= 𝜋

45


Scheitelfaktor: 𝑈d

= 2

Formfaktor: 𝑈d𝑈di

= ⋅ 𝜋2 ⋅

= 𝜋2

Welligkeit:√𝑈2

1 + 𝑈22 + …

𝑈𝑑𝑖=

√𝜋2

8 + 418 + 4

450 + … ⋅ 𝜋𝜋 ⋅

= 1.21

Aufgabe 6: Zweiweg-Gleichrichtung

Fourier-Analyse (Koeffizienten aus Formelsammlung):

𝑎02

= 2𝜋

𝑎1 = 0 𝑎2 = −23

2𝜋

𝑎3 = 0 𝑎4 = − 215

2𝜋

𝑎6 = − 235

2𝜋

𝑏𝜈 = 0

𝑢(𝑡) = 2𝜋

(1 − 23

cos 2𝜔𝑡 − 215

cos 4𝜔𝑡 − 235

cos 6𝜔𝑡)

𝑈d = √𝑎20

4+ 𝑎2

22

+ 𝑎24

2+

𝑎26

2= 2

𝜋√1 + 4

18+ 4

450+ 4

2450

= 2𝜋

⋅ 1.11 ≈ 0.7 (theoretischer Wert: √2

= 0.707)

Siehe Abb. 28.

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.5 1 1.5 2

FKanalytisch

Abb. 28: Fourier-Analyse der Zweiweg-Gleichrichtung bis zur 6. Oberschwingung

Gleichrichtwert: 𝑈di = 𝑎02

= 2𝜋

46


Scheitelfaktor: 𝑈d

=√

2

=√

2

Formfaktor: 𝑈d𝑈di

= ⋅ 𝜋√2 ⋅ 2 ⋅

= 𝜋2√

2

Welligkeit:√𝑈2

2 + 𝑈24 + …

𝑈di= 0.482

Zusatzaufgabe: Wie groß ist die 2. Stromoberschwingung, wenn die Spannung 𝑢(𝑡) mit =100

√2 V an einem Widerstand von 𝑅 = 100 Ω anliegt?

𝐼2 = 𝑈2𝑅

= 4 ⋅ 3 ⋅ 𝜋 ⋅

√2 ⋅ 𝑅

= 4 ⋅ 100 ⋅√

23 ⋅ 𝜋 ⋅

√2 ⋅ 100

= 43𝜋

Aufgabe 7

𝑢(𝑡) = 100 V + 50 V sin 𝜔𝑡 + 25 V sin 3𝜔𝑡𝜔 = 500 rad s−1

𝐿 = 20 mH𝑅 = 5 Ω

fourier−13

u(t)

R

L

i(t)

𝑖𝜈(𝑡) = 𝜈

√𝑅2 + (𝜈𝜔𝐿)2sin(𝜈𝜔𝑡 − 𝜃) mit 𝜃 = arctan 𝜈𝜔𝐿

𝑅

𝑖0 = 0𝑅

= 1005

A = 20 A

𝑖1(𝑡) = 50 A√52 + (500 ⋅ 20 ⋅ 10−3)2

sin (𝜔𝑡 − arctan 500 ⋅ 20 ⋅ 10−3

5)

= 50 A√25 + 100

sin (𝜔𝑡 − arctan 105

) = 4.47 A sin(𝜔𝑡 − 63.4°)

𝑖3(𝑡) = 25 A√52 + (3 ⋅ 10)2

sin (3𝜔𝑡 − arctan 305

) = 0.82 A sin(3𝜔𝑡 − 80.5°)

𝑖(𝑡) = [20 + 4.47 sin(𝜔𝑡 − 63.4°) + 0.82 sin(3𝜔𝑡 − 80.5°)] A

𝐼0 = 20 A 𝐼1 = 4.47√2

A 𝐼3 = 0.82√2

A

𝐼 = √𝐼20 + 𝐼2

1 + 𝐼23 = √202 + 4.472

2+ 0.822

2A = 20.25 A

Berechnung der Koeffizienten (Amplituden) 𝑎1, 𝑎3, 𝑏1, 𝑏3 :

4.47 (sin 𝜔𝑡 − 63.4°) = 4.47 sin 𝜔𝑡 ⋅ cos 63.4° − 4.47 cos 𝜔𝑡 ⋅ sin 63.4°= 𝟐 sin 𝜔𝑡 − 𝟒 cos 𝜔𝑡

0.82 (sin 3𝜔𝑡 − 80.5°) = 0.82 sin 3𝜔𝑡 ⋅ cos 80.5° − 0.82 cos 3𝜔𝑡 ⋅ sin 80.5°= 𝟎.𝟏𝟑𝟓𝟑𝟑 sin 3𝜔𝑡 − 𝟎.𝟖𝟎𝟖 cos 3𝜔𝑡

47


Wirkleistung:

𝑃0 = 𝑈0 ⋅ 𝐼0 = 100 V ⋅ 20 A = 2000 W

𝑃1 = 𝑈1 ⋅ 𝐼1 ⋅ cos 𝜑1 = 50 ⋅ 4.47 W2

cos(63.4°) = 50.03 W

𝑃3 = 𝑈3 ⋅ 𝐼3 ⋅ cos 𝜑3 = 25 ⋅ 0.82 W2

cos(80.5°) = 1.69 W

𝑃 = 𝑃0 + 𝑃1 + 𝑃3 = 2051.72 W oder

𝑃 = 𝐼2 ⋅ 𝑅 = 2051.63 W oder

𝑃 = 𝑈2𝑅

𝑅= (𝑖(𝑡) ⋅ 𝑅)2

𝑅=

1002 + 22.352

2 + 4.12

25

W = 102585

W = 2051.63 W

Scheinleistung:

𝑆 = 𝑈 ⋅ 𝐼

𝑈 = √𝑈20 + 𝑈2

1 + 𝑈23 = √1002 + 502

2+ 252

2V = 107.529 V

𝑆 = 107.529 V ⋅ 20.25 A = 2177 VA

Blindleistung:

𝑄 =√

𝑆2 − 𝑃 2 =√

21772 − 20512 var = 729.8 var

Verzerrungsleistung:

𝐷 = √𝑄2 − 𝑄21

𝑄1 = 𝑈1 ⋅ 𝐼1 ⋅ sin 𝜑1 = 50 ⋅ 4.47 var2

sin 63.4° = 99.92 var

𝐷 =√

729.82 − 99.922 var = 722.92 var

48

6 Differentialgleichungen


6.1 Überblick

Bei elektrischen Netzwerken mit Energiespeichern (Kapazitäten, Induktivitäten) und/oder zeit-lich veränderlichen Quellen interessiert das Zeitverhalten des Netzwerkes (Transientenanalyse).Dazu beschreibt man das Netzwerk mittels Differentialgleichungen (Dgl). Grundlagen sind dieelementaren Beziehungen zwischen den elektrischen Größen an passiven, linearen Netzwerkele-menten (siehe Kapitel 3 und Abb. 29).

et4−02

GleichstromverhaltenWechselstromverhalten

linearesNetzwerk

StrömeSpannungenLeistungenZeitverhalten

Abb. 29: Übersicht zur Analyse linearer elektrischer Netzwerke

Den Übergang eines Netzwerkes von einem eingeschwungenen (stationären) Zustand in einenneuen eingeschwungenen Zustand bezeichnet man als Ausgleichsvorgang oder transienten Vor-gang (Abb. 30). Dieser Vorgang kann z. B. durch einen Schaltvorgang hervorgerufen werden undwird in linearen Netzwerken durch eine lineare Dgl mit konstanten Koeffizienten beschrieben.Die stationären Zustände liefern im allgemeinen die Anfangsbedingungen (partikuläre Lösun-

schalt−2t

Zustand

"1"

Einschwing− Zustand

"2"Vorgang

Abb. 30: Als Ausgleichsvorgang bezeichnet man die Differenz zwischen dem stationärem Zustand 2 unddem Übergangsvorgang (markierte Fläche)

gen). Bei Energiespeichern (C,L) ist darauf zu achten, dass während des Schaltvorganges derStrom durch Induktivitäten und die Spannung an Kapazitäten stetig sein müssen.

Betrachtet man das Beispiel in Abbildung 16, Seite 23, ergibt sich für die Gesamtspannung

𝑢(𝑡) = 𝑢𝐶 + 𝑢𝐿 + 𝑢𝑅 = 1𝐶

∫ 𝑖 d 𝑡 + 𝑢𝐶0 + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅 ⋅ 𝑖

49


Mit der Substitution

𝑖 = d 𝑥d 𝑡

erhält man

𝑔(𝑡) = 1𝐶

𝑥 + 𝐿 d2𝑥d 𝑡2 + 𝑅 d 𝑥

d 𝑡= 𝐿 𝑥 + 𝑅 𝑥 + 1

𝐶𝑥 . (8)

Gleichung (8) stellt eine Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten dar.

Als Differentialgleichung (Dgl) bezeichnet man eine Gleichung, die eine oder mehrere Ableitun-gen der gesuchten Funktion enthält. Die höchste Ableitung bestimmt die Ordnung der Dgl. EineDgl wird durch Integration gelöst. Bei der Integration tritt jeweils eine Integrationskonstanteauf. Die allgemeine Lösung einer Dgl 𝑛-ter Ordnung enthält genau 𝑛 unbestimmte Integrations-konstanten. Eine partikuläre Lösung ergibt sich aus der allgemeinen Lösung, indem eine odermehrere Integrationskonstanten durch bestimmte Werte ersetzt werden. Gewöhnliche Dgls habennur eine, partielle Dgls mehrere Veränderliche.

Referenzen: [1, 3]

6.2 Lineare Dgl 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten

Sie ist die am häufigsten benötigte Dgl. Allgemeine Form:

𝑦″(𝑥) + 𝑎1𝑦′(𝑥) + 𝑎0𝑦(𝑥) = 𝑆(𝑥) . (9)

Die Funktion 𝑆(𝑥) auf der rechten Seite von Gleichung 9 bezeichnet man als Anregungs- oderStörfunktion .

Regel: Wenn 𝑦1(𝑥) und 𝑦2(𝑥) zwei verschiedene Lösungen sind, ist die Linearkombination 𝑐1𝑦1(𝑥)+𝑐2𝑦2(𝑥) ebenfalls eine Lösung.

Regel (Umkehrung): Wenn 𝑢(𝑥) + i 𝑣(𝑥) eine Lösung ist, dann sind 𝑢(𝑥) und 𝑣(𝑥) Einzellösun-gen.

Die Umkehrung spielt eine wichtige Rolle, denn es gilt

e i 𝑥 = cos 𝑥 + i sin 𝑥

Beispiel zur Regel

Die Funktionen 𝑦1(𝑥) und 𝑦2(𝑥)

𝑦1(𝑥) = e0.5𝑥 𝑦′1 = 0.5 e0.5𝑥 𝑦″

1 = 0.25 e0.5𝑥

𝑦2(𝑥) = e−2𝑥 𝑦′2 = −2 e−2𝑥 𝑦″

2 = 4 e−2𝑥

sind für sich Lösung der Dgl.

𝑦″ + 1.5𝑦′ − 𝑦 = 0 .

Überprüfung:

0.25 e0.5𝑥 + 1.5 ⋅ 0.5 e0.5𝑥 − e0.5𝑥 = 0 3

50


4 e−2𝑥 − 1.5 ⋅ 2 e−2𝑥 − e−2𝑥 = 0 3 .

Die Linearkombination der Einzellösungen

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e0.5𝑥 + 𝑐2 e−2𝑥

ist ebenfalls eine Lösung:

𝑦′ = 0.5𝑐1 e0.5𝑥 − 2𝑐2 e−2𝑥

𝑦″ = 0.25𝑐1 e0.5𝑥 + 4𝑐2 e−2𝑥

0.25𝑐1 e0.5𝑥 + 4𝑐2 e−2𝑥 + 0.75𝑐1 e0.5𝑥 − 3𝑐2 e−2𝑥 − 𝑐1 e0.5𝑥 − 𝑐2 e−2𝑥 = 0 3

Beispiel zur Umkehrung

Die Dgl 𝑦″ + 𝑦 = 0 hat die Lösung 𝑦 = e i 𝑥, denn es gilt:

𝑦′ = i e i 𝑥, 𝑦″ = − e i 𝑥 ⟹ − e i 𝑥 + e i 𝑥 = 0 3

Wegen e i 𝑥 = cos 𝑥 + i sin 𝑥 sind 𝑦1 = cos 𝑥 und 𝑦2 = sin 𝑥 ebenfalls Lösungen:

𝑦1 = cos 𝑥 𝑦″1 = − cos 𝑥 − cos 𝑥 + cos 𝑥 = 0 3

𝑦2 = sin 𝑥 𝑦″1 = − sin 𝑥 − sin 𝑥 + sin 𝑥 = 0 3

6.2.1 Lösung der homogenen Dgl

Ist keine Störfunktion vorhanden (𝑆(𝑥) = 0), spricht man von einer homogenen Dgl (andernfallsinhomogene Dgl). Diese Dgl beschreibt ein dynamisches System ohne Anregung, z. B. ein Pendel.Das Verhalten des Systems wird nur durch die Anfangsbedingungen bestimmt. Als Ausgangs-punkt benutzt man den Ansatz:

𝑦(𝑥) = e𝜆𝑥 .

Durch Einsetzen in Gleichung 9 erhält man die charakteristische Gleichung

𝜆2 + 𝑎1𝜆 + 𝑎0 = 0

mit den Lösungen

𝜆1,2 = −𝑎12

± √𝑎21

4− 𝑎0 .

Die allgemeine Lösung von Gleichung 9 wird durch eine Linearkombination der Lösungen dercharakteristischen Gleichung beschrieben:

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e𝜆1𝑥 + 𝑐2 e𝜆2𝑥

Je nach Lösungen der charakteristischen Gleichung unterscheidet man folgende Fälle:

𝝀𝟏, 𝝀𝟐 sind verschieden und reell: Überlagerung zweier e-Funktionen, Kriechfall, stark gedämpft,es treten keine Schwingungen auf, die Amplitude nimmt ab (oder zu);

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e𝜆1𝑥 + 𝑐2 e𝜆2𝑥

51


𝝀𝟏, 𝝀𝟐 sind konjugiert komplex: e-Funktion mit überlagerter sin, cos-Funktion, Schwingfall mitschwacher Dämpfung, Amplitudenverhältnis zweier aufeinanderfolgender Schwingungen istkonstant;

𝑦(𝑥) = e−𝜚𝑥(𝐴 cos 𝜔𝑥 + 𝐵 sin 𝜔𝑥) mit

𝜆1,2 = −𝜚 ± i 𝜔

𝜚 = 𝑎12

𝜔 = 12

√4𝑎0 − 𝑎21

𝝀𝟏 = 𝝀𝟐 = 𝝀 (doppelte Nullstelle): kritisch gedämpfte e-Funktion, sog. aperiodischer Grenz-fall, es treten eben gerade keine Schwingungen auf;

𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2𝑥) e𝜆𝑥 .

6.2.2 Lösung der inhomogenen Dgl

Regel: Wenn 𝑦ℎ(𝑥) die allgemeine Lösung der homogenen Dgl ist und 𝑦𝑝(𝑥) eine partikuläreLösung der inhomogenen Dgl, dann lautet die allgemeine Lösung der inhomogenen Dgl

𝑦(𝑥) = 𝑦ℎ(𝑥) + 𝑦𝑝(𝑥) .

Der Lösungsansatz 𝑦𝑝(𝑥) muß der Störfunktion 𝑆(𝑥) angepaßt sein. Beispiele siehe Tabelle 1.

Tabelle 1: Einige Störfunktionen mit Lösungsansätzen

Störfunktion Lösungsansatz

𝑆(𝑥) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥2 + … 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥2 + …𝑆(𝑥) = 𝑎 e𝑐𝑥 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑏 e𝑐𝑥

𝑆(𝑥) = 𝑎1 cos 𝜔𝑥 + 𝑎2 sin 𝜔𝑥 𝑦𝑝(𝑥) = 𝑏1 cos 𝜔𝑥 + 𝑏2 sin 𝜔𝑥

Der Lösungsansatz muß beide Funktionen (sin, cos) enthalten, auch wenn die Störfunktion nureinen der beiden Terme enthält.

6.3 Die Exponentialfunktion

Bei der Lösung der Dgl treten Zeitfunktionen der Form

𝑓(𝑡) = 𝐴 e−𝑡/𝜏

auf. Man bezeichnet 𝜏 als Zeitkonstante. Bei einer einfachen RC-Schaltung ist 𝜏 = 𝑅𝐶, bei einerRL-Schaltung (z. B. reale Induktivität) gilt 𝜏 = 𝐿/𝑅.

Bestimmung von 𝜏 aus zwei Zeitmessungen:

𝜏 = 𝑡2 − 𝑡1ln 𝑓(𝑡1) − ln 𝑓(𝑡2)

52


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 1 2 3 4 5

t

τ

e-t/τ

1/e-t/τ + 1

Abb. 31: Funktion 𝑓(𝑡) = e−0.25𝑡 (𝜏 = 4)

Die Tangente an die e-Funktion im Zeitpunkt 𝑡 = 0 hat die Steigung 𝑓 ′(+0) = −𝐴𝜏 und schneidet

die Abszissenachse bei 𝑡 = 𝜏. Die Funktionsänderung beträgt dort ungefähr 63 %, nach 5 𝜏 hat siepraktisch ihren Endwert 𝐴 erreicht (siehe Abb. 31). Nach jeweils einer Halbwertzeit von ≈ 0.7 𝜏verringert sich der Funktionswert um die Hälfte.

AufgabeGegeben ist ein Gleichspannungsschütz für 24 Vmit einem Innenwiderstand von 𝑅 = 100 Ω undeiner Induktivität von 𝐿 = 100 mH. Der Anzugs-strom beträgt ca. 0.1 A. Gesucht ist die Zeitver-zögerung bis der Anzugsstrom erreicht ist (An-zugszeit).

RV

exp−2

U

A1

−K

A2

24V L

R

𝑖(𝑡) = 𝑖0 (1 − e− 𝑅𝐿 𝑡)

𝑖(∞) = 𝑖0 = 24 V100 Ω

= 0.24 A

𝑖(𝑡) = 0.24 A (1 − e−1000𝑡) = 0.1 A

1 − e−1000𝑡 = 0.10.24

= 0.5833 …

e−1000𝑡 = 1 − 0.10.24

= 0.140.24

𝑡 = − ln 0.5833 …1000

= 0.539 ms

53


Die gleiche Spule soll bei gleicher Belastung mit 240 V betrieben werden. Welcher Vorwiderstand𝑅𝑉 ist erforderlich? Wie ändert sich die Anzugszeit?

𝑅𝑉 = 𝑈𝑖0

− 𝑅 = 240 V0.24 A

− 100 Ω = 900 Ω

𝜏 = 𝐿𝑅 + 𝑅𝑉

= 100 mH1 kΩ

= 110000

s

𝑖(𝑡) = 𝑖0 (1 − e−10000𝑡) = 0.1 A

𝑡 = 0.0539 ms

Siehe Abb. 32. Man erkennt, dass durch Erhöhung der Betriebsspannung die Anzugszeit ver-

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0×100 2×10-4 4×10-4 6×10-4 8×10-4 1×10-3

i(t)

in

A

t in s

τ=1e-3τ=1e-4

0.1

Abb. 32: Anzugsverzögerung bei verschiedenen Innenwiderständen

ringert werden kann. Wichtig ist dabei, dass die Anpassung an die erhöhte Betriebsspannungdurch einen Vorwiderstand und nicht durch Erhöhung der Windungszahl gemacht werden muss,da sich die Induktivität quadratisch, der Wicklungswiderstand nur etwa proportional mit derWindungszahl erhöht und damit der gegenteilige Effekt einträte.

6.4 Beispiele zur homogenen Dgl.

6.4.1 Charakteristische Gleichungen mit verschiedenen, reellen Nullstellen

Aufgabe

𝑦″ + 3𝑦′ + 2𝑦 = 0 ⟹ 𝑘2 + 3𝑘 + 2 = 0

𝑘1 = −32

+ √94

− 84

= −32

+ 12

= −1

54


𝑘2 = −32

− 12

= −2

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e−𝑥 + 𝑐2 e−2𝑥

Aufgabe

𝑦″ − 𝑦′ − 6𝑦 = 0, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = 0 ⟹ 𝑘2 − 𝑘 − 6 = 0

𝑘1,2 = 12

± √14

+ 244

= 12

± 52

𝑘1 = 3

𝑘2 = −2

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e3𝑥 + 𝑐2 e−2𝑥

𝑦′(𝑥) = 3𝑐1 e3𝑥 − 2𝑐2 e−2𝑥

𝑦(0) = 2 = 𝑐1 + 𝑐2

𝑦′(0) = 0 = 3𝑐1 − 2𝑐2 ⟹ 𝑐1 = 45

, 𝑐2 = 65

𝑦(𝑥) = 45

e3𝑥 + 65

e−2𝑥

Lösung siehe Abbildung 33.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

-0.4 -0.2 0 0.2 0.4

0.8*exp(3*x)1.2*exp(-2*x)

0.8*exp(3*x)+1.2*exp(-2*x)

Abb. 33: Funktion 45

e3𝑥 + 65

e−2𝑥

55


Aufgabe

1.25𝑦″ + 3.75𝑦′ − 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1 ⟹ 𝜆2 + 3𝜆 − 4 = 0

𝜆1,2 = −32

± √94

+ 164

= −32

± 52

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e−4𝑥 + 𝑐2 e𝑥

𝑦(0) = 0 = 𝑐1 + 𝑐2

𝑦′(0) = 1 = −4𝑐1 + 𝑐2 ⟹ 𝑐1 = −15

, 𝑐2 = 15

𝑦(𝑥) = 0.2 ( e𝑥 − e−4𝑥)


-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0.2*exp(x)-0.2*exp(-4*x)

0.2*exp(x) + -0.2*exp(-4*x)

Abb. 34: Funktion 0.2 ( e𝑥 − e−4𝑥)

Aufgabe

𝑦″ − 4𝑦′ = 5𝑦, 𝑦(0) = 2, 𝑦′(0) = −1 ⟹ 𝜆2 − 4𝜆 − 5 = 0

𝜆1,2 = 2 ±√

4 + 5 = 2 ± 3

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e−𝑥 + 𝑐2 e5𝑥

𝑦(0) = 2 = 𝑐1 + 𝑐2

56


𝑦′(0) = −1 = −𝑐1 + 5𝑐2 ⟹ 𝑐1 = 116

, 𝑐2 = 16

𝑦(𝑥) = 16

(11 e−𝑥 + e5𝑥)


0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

-1.5 -1 -0.5 0 0.5

11./6.*exp(-x)1./6.*exp(5*x)

11./6.*exp(-x) + 1./6.*exp(5*x)

Abb. 35: Funktion 16

(11 e−𝑥 + e5𝑥)

6.4.2 Charakteristische Gleichungen mit konjugiert komplexen Nullstellen

Aufgabe

𝑦″ + 𝑎2𝑦 = 0 ⟹ 𝑘2 + 𝑎2 = 0

𝑘1,2 = ± i 𝑎

𝑦(𝑥) = 𝐴 cos 𝑎𝑥 + 𝐵 sin 𝑎𝑥

Aufgabe

𝑦″ + 4𝑦′ + 13𝑦 = 0 ⟹ 𝑘2 + 4𝑘 + 13 = 0

𝑘1,2 = −2 ±√

4 − 13 = −2 ± i 3

𝑦(𝑥) = e−2𝑥 (𝐴 cos 3𝑥 + 𝐵 sin 3𝑥)

57


Aufgabe

𝑦″ + 𝑦′ + 1.25𝑦 = 0, 𝑦(3𝜋/2) = 1, 𝑦′(3𝜋/2) = 0 ⟹ 𝜆2 + 𝜆 + 1.25 = 0

𝜆1,2 = −12

± √14

− 54

= −12

± i √44

= −12

± i

𝑦(𝑥) = e−0.5𝑥 (𝐴 cos 𝑥 + 𝐵 sin 𝑥)

𝑦(3𝜋/2) = e−0.75𝜋 (𝐴=0

⏞cos 3𝜋/2 +𝐵=−1

⏞sin 3𝜋/2) = e−0.75𝜋 (−𝐵) = 1

𝐵 = − e0.75𝜋

𝑦′(3𝜋/2) = e−0.75𝜋 (𝐴=−1

⏞sin 3𝜋/2 +𝐵=0

⏞cos 3𝜋/2)

− 0.5 e−0.75𝜋 (𝐴=0

⏞cos 3𝜋/2 +𝐵=−1

⏞sin 3𝜋/2) = e−0.75𝜋 (𝐴 + 0.5𝐵) = 0

𝐴 = −0.5𝐵 = 0.5 e0.75𝜋

𝑦(𝑥) = e−0.5𝑥 e0.75𝜋 (0.5 cos 𝑥 − sin 𝑥) = e0.75𝜋−0.5𝑥 (0.5 cos 𝑥 − sin 𝑥)


-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 2 4 6 8 10

exp(0.75*pi-0.5*x)(0.5*cos(x)-sin(x))

exp(0.75*pi-0.5*x)*(0.5*cos(x)-sin(x))

Abb. 36: Funktion e0.75𝜋−0.5𝑥 (0.5 cos 𝑥 − sin 𝑥)

58


Aufgabe

𝑦″ + 2𝑦′ + 5𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 1 ⟹ 𝜆2 + 2𝜆 + 5 = 0

𝜆1,2 = −1 ±√

1 − 5 = −1 ± i 2

𝑦(𝑥) = e−𝑥 (𝐴 cos 2𝑥 + 𝐵 sin 2𝑥)

𝑦(0) = 𝐴 ⋅ 1 = 0 ⟹ 𝐴 = 0

𝑦′(0) = e0(−2𝐴 sin 2 ⋅ 0 + 2𝐵 cos 2 ⋅ 0) − e0(𝐴 cos 2 ⋅ 0 + 𝐵 sin 2 ⋅ 0) = 2𝐵 = 1 ⟹ 𝐵 = 0.5

𝑦(𝑥) = 0.5 e−𝑥 sin 2𝑥

Lösung siehe Abbildung 37. Weitere Anwendungsbeispiele siehe Kapitel 6.4.4.

-10

-5

0

5

10

15

20

25

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1

exp(-0.5*x)(sin(2*x))

exp(-0.5*x)*(sin(2*x))

Abb. 37: Funktion 0.5 e−𝑥 sin 2𝑥

6.4.3 Charakteristische Gleichungen mit doppelten Nullstellen

Aufgabe

𝑦″ − 8𝑦′ + 16𝑦 = 0 ⟹ 𝑘2 − 8𝑘 + 16 = 0

𝑘1,2 = 4 ±√

16 − 16

𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2𝑥) e4𝑥

59


Aufgabe

𝑦″ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 0, 𝑦(0) = 0.5, 𝑦′(0) = 0 ⟹ 𝜆2 − 4𝜆 + 4 = 0

𝜆1,2 = 2

𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2𝑥) e2𝑥

𝑦′(𝑥) = 𝑐2 e2𝑥 + (𝑐1 + 𝑐2𝑥) 2 e2𝑥

𝑦(0) = 𝑐1 = 0.5

𝑦′(0) = 𝑐2 + 1 = 0 ⟹ 𝑐2 = −1

𝑦(𝑥) = (0.5 − 𝑥) e2𝑥


-10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

2000

0 2 4 6 8 10

(0.5-x)*exp(2*x)0.5*(3-x)*exp(x-1)

Abb. 38: Funktionen (0.5 − 𝑥) e2𝑥 und 12𝑒

(3 − 𝑥) e𝑥

Aufgabe

𝑦″ − 2𝑦′ + 𝑦 = 0, 𝑦(1) = 1, 𝑦′(1) = 0.5 ⟹ 𝜆2 − 2𝜆 + 1 = 0

𝜆1,2 = 1 ±√

1 − 1 = 1

𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2𝑥) e𝑥

𝑦(1) = (𝑐1 + 𝑐2 ⋅ 1) e1 = 1

60


𝑦′(1) = e1 𝑐2 + (𝑐1 + 𝑐2 ⋅ 1) e1 = 0.5

𝑐1 = 32𝑒

𝑐2 = − 12𝑒

𝑦(𝑥) = 12𝑒

(3 − 𝑥) e𝑥


6.4.4 Schwingkreis

Ein Schwingkreis ohne äußere Anregung wird durch einehomogene Dgl 2. Ordnung beschrieben. Die Nullstellensind abhängig von den Bauteilparametern (siehe unten:Dämpfungsgrad). Für einen Reihenschwingkreis gilt:

uLuCuR

dgl−7

i(t)

CR L

𝑢𝑅(𝑡) + 𝑢𝐿(𝑡) + 𝑢𝐶(𝑡) = 0

𝑅 𝑖(𝑡) + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐶

∫ 𝑖(𝑡) d 𝑡 = 0

d2𝑖d 𝑡2 + 𝑅

𝐿d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐿𝐶

𝑖(𝑡) = 0

𝜆1,2 = − 𝑅2𝐿

± √ 𝑅2

4𝐿2 − 1𝐿𝐶

= −𝜚 ± √𝜚2 − 𝜔20 mit

𝜚 = 𝑅2𝐿

Abklingkonstante

𝜔20 = 1

𝐿𝐶Resonanzfrequenz des ungedämpften Schwingkreises

Bezeichnet man

𝐷 = 𝜚𝜔0

als Dämpfungsgrad, lassen sich 4 Fälle unterscheiden:

𝐷 = 0: ungedämpfte Schwingungen mit 𝜔0, 𝜚 = 0

𝜆1,2 = ± j 𝜔0

𝑖(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔0𝑡 + 𝐵 sin 𝜔0𝑡

0 < 𝐷 < 1: gedämpfte Schwingungen mit 𝜔 als Eigenfrequenz des transienten Schwingungsvor-gangs, 𝜚2 < 𝜔2

0

𝜆1,2 = −𝜚 ± j 𝜔

𝜔 = √ 1𝐿𝐶

− 𝑅2

4𝐿2 = √𝜔20 − 𝜚2

𝑖(𝑡) = e−𝜚𝑡 (𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡)

61


𝐷 = 1: aperiodischer Grenzfall, 𝜚 = 𝜔0

𝜆1,2 = −𝜚

𝑖(𝑡) = e−𝜚𝑡 (𝑐1 + 𝑐2𝑡)

𝐷 > 1: starke Dämpfung, 𝜚2 > 𝜔20

𝑖(𝑡) = 𝑐1 e𝜆1𝑡 + 𝑐2 e𝜆2𝑡

Aufgabe Reihenschwingkreis

gegeben: 𝑅 = 200 Ω, 𝐿 = 0.1 H, 𝐶 = 13.33 µF, 𝑢𝐶(0) = 200 V

𝑢𝑅(𝑡) + 𝑢𝐿(𝑡) + 𝑢𝐶(𝑡) = 0 𝑢𝐶(0) = 𝑢𝐶0

𝑅 𝑖(𝑡) + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐶

∫ 𝑖(𝑡) d 𝑡 = 0


𝐿d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐿𝐶

𝑖 = 0

𝜚 = 𝑅2𝐿

= 200 V A0.2 A Vs

= 1000 s−1

𝜔20 = 1

𝐿𝐶= 1 ⋅ 106 V A

0.1 ⋅ 13.33 As Vs= 750 ⋅ 103 s−2 ⟶ 𝜚2 > 𝜔2

0

𝜆1,2 = −𝜚 ± √𝜚2 − 𝜔20 = −1000 s−1 ±

√106 s−2 − 750 ⋅ 103 s−2 = (−1000 ± 500) s−1

𝑖(𝑡) = 𝑐1 e−500𝑡 + 𝑐2 e−1500𝑡 = e−1000𝑡 (𝑐1 e500𝑡 + 𝑐2 e−500𝑡)

𝑖(0) = 𝑐1 + 𝑐2 = 0 ⟶ 𝑐1 = −𝑐2

d 𝑖d 𝑡

= −500𝑐1 e−500𝑡 − 1500𝑐2 e−1500𝑡

𝑖(0) 𝑅 + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

(0) + 𝑢𝐶(0) = 0

d 𝑖d 𝑡

(0) = −𝑢𝐶0𝐿

= −500𝑐1 − 1500𝑐2 = −2000 V AVs

𝑐1 = −2 𝑐2 = 2

𝑖(𝑡) = −2 e−500𝑡 + 2 e−1500𝑡 = 𝑖1(𝑡)

gegeben: Daten wie vorher außer 𝐶 = 10 µF

𝜔20 = 1

𝐿𝐶= 106

0.1 ⋅ 10 s2 = 106 s−2 ⟶ 𝜔0 = 𝜚

𝜆1,2 = (−1000 ± 0) s−1

𝑖(𝑡) = e−𝜚𝑡 (𝑐1 + 𝑐2𝑡)

𝑖(0) = 𝑐1 = 0d 𝑖d 𝑡

(0) = 𝑐2( e−𝜚𝑡 ⋅ 1 − 𝜚 ⋅ 𝑡 ⋅ e−𝜚𝑡) = 𝑐2 = −𝑢𝐶0𝐿

= −2000 As−1

62


𝑖(𝑡) = −2000 𝑡 e−1000𝑡 = 𝑖2(𝑡)

gegeben: Daten wie vorher jedoch 𝐶 = 1 µF

𝜔20 = 106

0.1 ⋅ 1s−2 = 107 s−2 ⟶ 𝜔2

0 > 𝜚2

𝜔 = √𝜔20 − 𝜚2 =

√107 − 106 s−1 = 3000 s−1

𝜆1,2 = −𝜚 ± j 𝜔 = (−1000 ± j 3000) s−1

𝑖(𝑡) = e−1000𝑡 (𝐴 cos 3000𝑡 + 𝐵 sin 3000𝑡)𝑖(0) = 𝐴 = 0d 𝑖d 𝑡

(0) = 3000𝐵 = −2000 ⟶ 𝐵 = −23

𝑖(𝑡) = −23

e−1000𝑡 sin 3000𝑡 = 𝑖3(𝑡)

Ergebnisse siehe Abbildung 39

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

i1(t)i2(t)i3(t)

Abb. 39: Reihenschwingkreis mit unterschiedlichem Dämpfungsgrad

6.4.5 Beispiele zu Schaltvorgängen

RL-Schaltung

Zur Zeit 𝑡 < 0 fließt ein konstanter Strom 𝑖0durch die Induktivität 𝐿. Zum Zeitpunkt 𝑡 = 0wird der Schalter 𝑆 unterbrechungsfrei umge-schaltet und die Induktivität parallel zum Wi-derstand 𝑅 geschaltet.

i0

schalt−3

LR

S

63


𝑢𝐿 + 𝑢𝑅 = 0

𝐿 d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅 𝑖 = 0

d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅𝐿

𝑖 = 0

𝑖(𝑡) = 𝑘 e𝜆𝑡

𝜆 + 𝑅𝐿

= 0 ⟶ 𝜆 = −𝑅𝐿

𝑖(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅𝐿 𝑡

𝑖(0) = 𝑖0 = 𝑘

𝑖(𝑡) = 𝑖0 e− 𝑅𝐿 𝑡 = 𝑖0 e− 𝑡

𝜏 mit 𝜏 = 𝐿𝑅

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑖(𝑡) 𝑅

𝑢𝐿(𝑡) = −𝑢𝑅(𝑡)

𝑝𝐿(𝑡) = 𝐿 ⋅ 𝑖(𝑡) ⋅ d 𝑖d 𝑡

= 𝐿 ⋅ 𝑖0 ⋅ e− 𝑅𝐿 𝑡 (−𝑅

𝐿) 𝑖0 ⋅ e− 𝑅

𝐿 𝑡 = −𝑖20 ⋅ 𝑅 ⋅ e− 2𝑅

𝐿 𝑡

RC-Schaltung

Zur Zeit 𝑡 < 0 liegt die Spannung 𝑈𝐶0 am Kon-densator 𝐶 an. Zum Zeitpunkt 𝑡 = 0 wird derSchalter 𝑆 geschlossen und der Kondensator par-allel zum Widerstand 𝑅 geschaltet.

UC0

schalt−4

RC

i(t)

S

𝑢𝑐 + 𝑢𝑅 = 0 = 1𝐶

∫ 𝑖 d 𝑡 + 𝑢𝐶0 + 𝑅 𝑖

𝑖 = d 𝑥d 𝑡

⟶ d 𝑥 = 𝑖 d 𝑡 ⟶ 𝑥 = ∫ 𝑖 d 𝑡 + Konstante

1𝐶

𝑥 + 𝑅 d 𝑥d 𝑡

= 0

1𝑅𝐶

𝑥 + 𝑥 = 0

𝑥 = 𝑘 e𝜆𝑡 ⟶ 1𝑅𝐶

+ 𝜆 = 0 ⟶ 𝜆 = − 1𝑅𝐶

𝑖(0) = 𝑈𝐶0𝑅

= 𝑥(0)

𝑥(𝑡) = 𝜆 ⋅ 𝑘 e−𝜆𝑡 = 𝑘−𝑅𝐶

e− 1𝑅𝐶 𝑡

𝑥(0) = − 𝑘𝑅𝐶

= 𝑈𝐶0𝑅

⟶ 𝑘 = −𝑈𝐶0 ⋅ 𝐶

64


𝑖(𝑡) = 𝑥(𝑡) = 𝑈𝐶0𝑅

e− 1𝑅𝐶 𝑡 = 𝑈𝐶0

𝑅 e− 𝑡𝜏 mit 𝜏 = 𝑅 𝐶

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑖(𝑡) 𝑅 = 𝑈𝐶0 e− 𝑡𝜏

𝑢𝐶(𝑡) = −𝑢𝑅(𝑡)

Andere Möglichkeit:

𝑢𝐶 + 𝑖 𝑅 = 0

𝑖(𝑡) = 𝑖𝐶 = 𝐶 d 𝑢𝐶d 𝑡

𝑢𝐶 + 𝑅 𝐶 d 𝑢𝐶d 𝑡

= 0

𝑢𝐶(𝑡) = 𝑘 e𝜆𝑡 ⟶ 1𝑅𝐶

+ 𝜆 = 0 ⟶ 𝜆 = − 1𝑅𝐶

𝑢𝐶(𝑡) = 𝑘 ⋅ e− 1𝑅𝐶 𝑡

𝑢𝐶(0) = 𝑈𝐶0 ⟶ 𝑘 = 𝑈𝐶0

𝑢𝐶(𝑡) = 𝑈𝐶0 e− 1𝑅𝐶 𝑡

Schaltung mit mehreren Elementen

gesucht: 𝑖1, 𝑖2, 𝑖3

Unter Umständen kann man mehrereWiderstände und Kapazitäten zu eineräquivalenten Ersatzschaltung reduzie-ren und für diese Schaltung eine Er-satzzeitkonstante bestimmen.

schalt−5

S

C2

R1

i1

C1

R3

i2

i3

R2

R’C’

𝐶′ = 𝐶1 ⋅ 𝐶2𝐶1 + 𝐶2

𝑅′ = 𝑅1 + 𝑅2 ⋅ 𝑅3𝑅2 + 𝑅3

𝜏 = 𝑅′ ⋅ 𝐶′

𝑖1(𝑡) = 𝐼0 e− 𝑡𝜏

𝑖2(𝑡) = 𝑅3𝑅2 + 𝑅3

𝐼0 e− 𝑡𝜏

𝑖3(𝑡) = 𝑅2𝑅2 + 𝑅3

𝐼0 e− 𝑡𝜏

65


Aufgabe

Gegeben:

𝑈𝐶0 = 100 V, 𝐶 = 40 µF, 𝑅 = 400 Ωdgl−16

C R

𝑖(𝑡) = 𝑈𝐶0𝑅

e− 1𝑅𝐶 𝑡 = 0.25 e−62.5𝑡 A

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑖 ⋅ 𝑅 = 𝑈𝐶0 e− 1𝑅𝐶 𝑡 = 100 e−62.5𝑡 V

𝑝(𝑡) = 𝑢𝑅(𝑡) ⋅ 𝑖(𝑡) = 100 e−62.5𝑡 ⋅ 0.25 e−62.5𝑡 = 25 e−125𝑡 W

𝑤(𝑡) =𝑡

∫0

𝑝(𝑡) d 𝑡 =𝑡

∫0

25 e−125𝑡 W d 𝑡 = − 25125

( e−125𝑡 − 1) Ws = 0.2 (1 − e−125𝑡) Ws

Aufgabe

Gegeben:

𝑅 = 100 Ω, 𝐿 = 4 H, 𝐼0 = 2 A

Gesucht:

𝑖(𝑡), 𝑝𝑅(𝑡), 𝑝𝐿(𝑡)dgl−17

L

R

(1) (2)

I0

𝑖(𝑡) = 𝐼0 e− 𝑅𝐿 𝑡 = 2 e−25𝑡 A

𝑢𝑅 = 200 e−25𝑡 V

𝑢𝐿 = −200 e−25𝑡 V

𝑝𝑅 = 𝑢 ⋅ 𝑖 = 2 e−25𝑡 200 e−25𝑡 W = 400 e−50𝑡 W

𝑝𝐿 = −400 e−50𝑡 W

6.5 Beispiele zu inhomogenen Dgl.

6.5.1 Vorgegebene Dgl.

Aufgabe

Gegeben:

𝑦″ − 6𝑦′ − 16𝑦 = 3 + 2𝑥

Homogene Lösung:

𝑦ℎ = 𝑐1 e8𝑥 + 𝑐2 e−2𝑥

66


Partikuläre Lösung:

𝑦𝑝 = 𝑠0 + 𝑠1𝑥

𝑦′𝑝 = 𝑠1

𝑦″𝑝 = 0

Einsetzen in die vollständige Dgl:

0 − 6𝑠1 − 16(𝑠0 + 𝑠1𝑥) = 3 + 2𝑥

−6𝑠1 − 16𝑠0 − 16𝑠1𝑥 = 3 + 2𝑥

Diese Gleichung ist für beliebige x-Werte nur dann richtig, wenn die absoluten Glieder undFaktoren der x-Glieder auf beiden Seiten der Gleichung identisch sind:

−6𝑠1 − 16𝑠0 = 3, −16𝑠1 = 2, ⟶ 𝑠1 = −18

, 𝑠0 = − 964

𝑦𝑝 = − 964

− 18

𝑥

Allgemeine Lösung:

𝑦(𝑥) = 𝑐1 e8𝑥 + 𝑐2 e−2𝑥 − 964

− 18

𝑥

Aufgabe

Gegeben:

𝑦″ − 15𝑦′ + 56.5𝑦 = 4 e3𝑥

Lösung:

𝑦ℎ = e7.5𝑥 (𝐴 cos 0.5𝑥 + 𝐵 sin 0.5𝑥)

𝑦𝑝 = 𝑐 e3𝑥, 𝑦′ = 3𝑐 e3𝑥, 𝑦″ = 9𝑐 e3𝑥

9𝑐 − 45𝑐 + 56.5𝑐 = 4

20.5𝑐 = 4 ⟶ 𝑐 = 0.195

𝑦𝑝 = 0.195 e3𝑥

𝑦(𝑥) = e7.5𝑥 (𝐴 cos 0.5𝑥 + 𝐵 sin 0.5𝑥) + 0.195 e3𝑥

67


Aufgabe

Gegeben:

𝑦″ − 4𝑦′ + 4𝑦 = 2 cos 3𝑥

Lösung:

𝑦ℎ = (𝑐1 + 𝑐2𝑥) e2𝑥

𝑦𝑝 = 𝐴 cos 3𝑥 + 𝐵 sin 3𝑥

𝑦′𝑝 = −3𝐴 sin 3𝑥 + 3𝐵 cos 3𝑥

𝑦″𝑝 = −9𝐴 cos 3𝑥 − 9𝐵 sin 3𝑥

−9𝐴 cos 3𝑥 − 9𝐵 sin 3𝑥 + 12𝐴 sin 3𝑥 − 12𝐵 cos 3𝑥 + 4𝐴 cos 3𝑥 + 4𝐵 sin 3𝑥 = 2 cos 3𝑥

−9𝐴 − 12𝐵 + 4𝐴 = −5𝐴 − 12𝐵 = 2−9𝐵 + 12𝐴 + 4𝐵 = −5𝐵 + 12𝐴 = 0

𝐴 = − 10169

, 𝐵 = − 24169

𝑦(𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2𝑥) e2𝑥 − 10169

cos 3𝑥 − 24169

sin 3𝑥

6.5.2 RL-Kreis 1

Gegeben:

𝑈1 = 50 V, 𝑅 = 40 Ω, 𝐿 = 20 mHdgl−9a

U1

i(t)R

L

𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 = 𝑈1

𝑖 𝑅 + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 𝑈1

d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅𝐿

𝑖 = 𝑈1𝐿

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘1 e− 𝑅𝐿 𝑡

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐴, 𝑖′𝑝 = 0

𝐴 𝑅𝐿

= 𝑈1𝐿

⟶ 𝐴 = 𝑈1𝑅

𝑖(𝑡) = 𝑖ℎ(𝑡) + 𝑖𝑝(𝑡) = 𝑘1 e− 𝑅𝐿 𝑡 + 𝑈1

𝑅Anfangsbedingung: 𝑖(0) = 0

𝑖(0) = 𝑘1 + 𝑈1𝑅

= 0 ⟶ 𝑘1 = −𝑈1𝑅

𝑖(𝑡) = 𝑈1𝑅

− 𝑈1𝑅

e− 𝑅𝐿 𝑡 = 𝑈1

𝑅(1 − e− 𝑅

𝐿 𝑡) = 1.25 (1 − e−2000𝑡) A

Lösung siehe Abbildung 40

68


0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

0×100 1×10-3 2×10-3 3×10-3 4×10-3 5×10-3 6×10-3 0

10

20

30

40

50

60

70

i(t)

in

A

u(t

) in

V

t in s

i(t)u(t)

Abb. 40: Lösung zum RL Kreis 1 und 2. Die Umschaltung auf die Spannungsquelle 𝑈2 erfolgt nach𝑡 = 3 ms.

6.5.3 RL-Kreis 2

Gegeben:

𝑈1 = 50 V, 𝑈2 = 10 V, 𝑅 = 40 Ω, 𝐿 = 20 mH

Die Schaltung (siehe vorherige Aufgabe) wird zum Zeit-punkt 𝑡 = 0 unterbrechungsfrei auf die Spannung 𝑈2 um-geschaltet. dgl−9b

R

L

U1

U2

(1)

(2)


= 𝑈2

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘2 e− 𝑅𝐿 𝑡

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐵, 𝑖′𝑝 = 0 ⟶ 𝐵 ⋅ 𝑅 = 𝑈2 ⟶ 𝐵 = 𝑈2

𝑅

𝑖(𝑡) = 𝑖ℎ + 𝑖𝑝 = 𝑘2 e− 𝑅𝐿 𝑡 + 𝑈2

𝑅

𝑖(0) = 𝑈1𝑅

⟶ 𝑘2 + 𝑈2𝑅

= 𝑈1𝑅

⟶ 𝑘2 = 𝑈1𝑅

− 𝑈2𝑅

𝑖(𝑡) = (𝑈1𝑅

− 𝑈2𝑅

) e− 𝑅𝐿 𝑡 + 𝑈2

𝑅𝑖(𝑡)A

= (5040

− 1040

) e−2000𝑡 + 1040

= e−2000𝑡 + 0.25

Lösung siehe Abbildung 40

69


6.5.4 RC-Kreis 1

Gegeben:

𝑈1 = 100 V, 𝑅 = 5 kΩ, 𝐶 = 1 µF, 𝑈𝐶0 = 0 V

Gesucht: 𝑖(𝑡), 𝑢𝑅(𝑡), 𝑢𝐶(𝑡)dgl−10a

U1

i(t)R

C

𝑈1 = 𝑢𝑅 + 𝑢𝐶 = 𝑖 𝑅 + 1𝐶

∫ 𝑖 d 𝑡 + 𝑈𝐶0

Differenzieren:

d 𝑖d 𝑡

+ 1𝑅𝐶

𝑖 = 0

Homogene Lösung:

𝑖(𝑡) = 𝑘1 e− 1𝑅𝐶 𝑡

Anfangsbedingungen:

𝑈1 = 𝑖(0) 𝑅 +

=0⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞1𝐶

∫ … + 𝑈𝐶0

𝑖(0) = 𝑈1𝑅

𝑈1𝑅

= 𝑘1 𝑒0 ⟶ 𝑘1 = 𝑈1𝑅

𝑖(𝑡) = 𝑈1𝑅

e− 1𝑅𝐶 𝑡 ⟶ 𝑖(𝑡)

A= 0.02 e−200𝑡

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑅 𝑖(𝑡) = 𝑈1 e− 1𝑅𝐶 𝑡 ⟶ 𝑢𝑅(𝑡)

V= 100 e−200𝑡

𝑢𝐶(𝑡) = 𝑈1 − 𝑢𝑅(𝑡) = 𝑈1 (1 − e− 1𝑅𝐶 𝑡) ⟶ 𝑢𝐶(𝑡)

V= 100 (1 − e−200𝑡)

oder

𝑢𝐶(𝑡) = 1𝐶

𝑡

∫0

𝑖 d 𝑡 = 1𝐶

𝑡

∫0

𝑈1𝑅

e− 1𝑅𝐶 𝑡 d 𝑡 = −𝑈1 ⋅ 𝑅 ⋅ 𝐶

𝐶 ⋅ 𝑅[ e 1

𝑅𝐶 𝑡]𝑡

0= −𝑈1 ( e− 1

𝑅𝐶 𝑡 − 1)

= 𝑈1 (1 − e− 1𝑅𝐶 𝑡)

Lösung siehe Abbildungen 41 und 42.

70


-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

i(t)

in

A

t in s

i(t)

Abb. 41: Lösung zum RC-Kreis 1 und 2: 𝑖(𝑡)

6.5.5 RC-Kreis 2

Gegeben:

𝑈1 = 100 V, 𝑈2 = −50 V, 𝑅 = 5 kΩ, 𝐶 = 1 µF

Gesucht: 𝑖(𝑡), 𝑢𝑅(𝑡), 𝑢𝐶(𝑡)dgl−10b

R

U1

U2

(1)

(2)

C

i(t)

Anfangsbedingungen aus vorheriger Aufgabe:

𝑖(∞) = 𝑈1𝑅

e− 1𝑅𝐶 ∞ = 0

𝑢𝐶(∞) = 𝑢1 (1 − e− 1𝑅𝐶 ∞) = 𝑈1

Schalter in Position (2):

𝑢2 = 𝑖 𝑅 + 1𝐶

∫ 𝑖 d 𝑡 + 𝑈𝐶0

d 𝑖d 𝑡

+ 1𝑅𝐶

𝑖 = 0

Lösung der Dgl:

𝑖(𝑡) = 𝑘2 e− 1𝑅𝐶 𝑡

Anfangsbedingungen der Phase 2:

𝑢2 = 𝑖(0) 𝑅 + 1𝐶

∫ … + 𝑈𝐶0

71


𝑖(0) = 𝑈2 − 𝑈𝐶0𝑅

= 𝑘2 𝑒0

𝑖(𝑡) = 𝑈2 − 𝑈𝐶0𝑅

e− 1𝑅𝐶 𝑡 ⟶ 𝑖(𝑡)

A= −0.03 e−200𝑡

𝑢𝑅(𝑡) = 𝑅 𝑖(𝑡) = (𝑈2 − 𝑈𝐶0) e− 1𝑅𝐶 𝑡 ⟶ 𝑢𝑅(𝑡)

V= −150 e−200𝑡

𝑢𝐶(𝑡) = 𝑈2 − 𝑢𝑅(𝑡) = 𝑈2 − (𝑈2 − 𝑈𝐶0) e− 1𝑅𝐶 𝑡 ⟶ 𝑢𝐶(𝑡)

V= −50 + 150 e−200𝑡

Lösung siehe Abbildungen 41 und 42.

-150

-100

-50

0

50

100

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06

U1,

U2,

uR(t

), u

C(t

) in

V

t in s

dgl-10

uR(t)uC(t)

U1,U2

Abb. 42: Lösung zum RC-Kreis 1 und 2: 𝑈1, 𝑈2, 𝑢𝑅(𝑡), 𝑢𝐶(𝑡)

6.5.6 Dreieckspannung an L und C

Gegeben:

𝑢(𝑡) = ±300 V, 𝑇 = 20 ms

𝐶 = 102 µF, 𝐿 = 0.1 H

Gesucht: 𝑖𝐶(𝑡), 𝑖𝐿(𝑡) dgl−11

U

t

300 V

u(t) C L

i(t)

π ω

2π

𝑎 = Δ𝑈Δ𝑡

= 300 V5 ms

𝑢(𝑡) = ±𝑎 (𝑡 − 𝑡0) mit 𝑡0 = 0, 10 ms, 20 ms, …

𝑖𝐶(𝑡) = 𝐶 d 𝑢d 𝑡

= ±102 ⋅ 10−6 ⋅ 𝑎 A = ±6.12 A

72


𝑖𝐿(𝑡) = 1𝐿

𝑡

∫𝑡1

𝑢(𝑡) d 𝑡 + 𝑖𝐿0(𝑡1) = ± 1𝐿

⋅ 𝑎 ⋅ 12

[(𝑡 − 𝑡0)2]𝑡𝑡1

+ 𝑖𝐿0(𝑡1)

= ± 𝑎2𝐿

(𝑡2 − 𝑡21 − 2 𝑡 𝑡0 + 2 𝑡1 𝑡0) + 𝑖𝐿0(𝑡1)

Fallunterscheidungen:

• 0 < 𝑡 < 5 ms, 𝑖𝐿(0) = 0, 𝑡0 = 0 ms, 𝑡1 = 0 ms

𝑖𝐿(𝑡) = 𝑎2𝐿

𝑡2

𝑖𝐿(5 ms) = 7.5 A

• 5 ms < 𝑡 < 15 ms, 𝑖𝐿(5 ms) = 7.5 A, 𝑡0 = 10 ms, 𝑡1 = 5 ms

𝑖𝐿(𝑡) = − 𝑎2𝐿

(𝑡2 − (5 ms)2 − 2𝑡 ⋅ 10 ms + 2 ⋅ 5 ms ⋅ 10 ms) + 7.5 A

𝑖𝐿(15 ms) = 7.5 A

• 15 ms < 𝑡 < 20 ms, 𝑖𝐿(15 ms) = 7.5 A, 𝑡0 = 20 ms, 𝑡1 = 15 ms

𝑖𝐿(𝑡) = 𝑎2𝐿

(𝑡2 − (15 ms)2 − 2𝑡 ⋅ 20 ms + 2 ⋅ 15 ms ⋅ 20 ms) + 7.5 A

𝑖𝐿(20 ms) = 0 A

Analytische Lösung für 𝑖𝐿(𝑡) siehe Abbildung 43, numerische Lösung (Simulation) der Schaltungsiehe Abbildung 44.

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

0 0.005 0.01 0.015 0.02

i(t)

in

A

t in s

i1(t)i2(t)i3(t)

Abb. 43: Analytische Berechnung von 𝑖𝐿(𝑡).

73


-10

-5

0

5

10

15

0 0.005 0.01 0.015 0.02-300

-200

-100

0

100

200

300

i L(t

), i

C(t

) in

A

u(t

) in

V

t in s

iC(t)iL(t)u(t)

Abb. 44: Numerische Lösung (Simulation) von 𝑖𝐿(𝑡) und 𝑖𝐶(𝑡)

6.5.7 Dreieckspannung an RL und RC

Gegeben:

𝑢(𝑡) = ±300 V, 𝑇 = 20 ms

𝐶 = 100 µF, 𝐿 = 0.1 H

𝑅1 = 100 Ω, 𝑅2 = 10 Ω dgl−13

U

u(t)

i(t)

C L ms

t

2 R1R

300 V

5 10

15 20

Berechnung von 𝑢(𝑡) siehe vorherige Aufgabe.

𝑢(𝑡) =⎧⎨⎩

60 ⋅ 103𝑡 Vs−1 für 0 < 𝑡 < 5 ms−60 ⋅ 103𝑡 + 600 Vs−1 für 5 ms < 𝑡 < 15 ms60 ⋅ 103𝑡 − 1200 Vs−1 für 15 ms < 𝑡 < 25 ms

Induktiver Kreis 𝑅1 – 𝐿:

𝑎 = Δ𝑈Δ𝑡

= 300 V5 ms

= 60 ⋅ 103 Vs−1

• 0 ms < 𝑡 < 5 ms:

𝑖 𝑅1 + d 𝑖d 𝑡

𝐿 = 𝑎 ⋅ 𝑡

𝑖 𝑅1𝐿

+ d 𝑖d 𝑡

= 𝑎𝐿

𝑡

𝜆 = −𝑅1𝐿

74


𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘1 e− 𝑅1𝐿 𝑡

𝑖𝑝(𝑡) = 𝑐0 + 𝑐1 𝑡, 𝑖′𝑝 = 𝑐1

(𝑐0 + 𝑐1 𝑡) 𝑅1𝐿

+ 𝑐1 = 𝑎𝐿

𝑡

𝑐0𝑅1𝐿

+ 𝑐1𝑅1𝐿

𝑡 + 𝑐1 = 𝑎𝐿

𝑡

Koeffizientenvergleich:

𝑐0𝑅1𝐿

+ 𝑐1 = 0

𝑐1𝑅1𝐿

= 𝑎𝐿

𝑐1 = 𝑎𝑅1

, 𝑐0 = − 𝑐1𝑅1

𝐿 = −𝑎 ⋅ 𝐿𝑅2

1

𝑖𝑝(𝑡) = −𝑎 ⋅ 𝐿𝑅2

1+ 𝑎

𝑅1𝑡

𝑖(𝑡) = 𝑘1 e− 𝑅1𝐿 𝑡 + 𝑎

𝑅1𝑡 − 𝑎 ⋅ 𝐿

𝑅21

𝑖(0) = 𝑘1 − 𝑎 ⋅ 𝐿𝑅2

1= 0 ⟶ 𝑘1 = 𝑎 ⋅ 𝐿

𝑅21

𝑖(𝑡)A

= 0.6 e− 𝑅1𝐿 𝑡 + 600𝑡 − 0.6 = 0.6 ( e−1000𝑡 − 1) + 600𝑡

𝑖(5 ms) = 0.6 ( e−5 − 1) + 3 ≈ 2.4 A

• 5 ms < 𝑡 < 15 ms:


𝐿 = −𝑎𝑡 + 𝑈0

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘2 e− 𝑅1𝐿 𝑡

𝑖𝑝(𝑡) = 𝑑0 + 𝑑1𝑡, 𝑖′𝑝 = 𝑑1

(𝑑0 + 𝑑1𝑡) 𝑅1 + 𝑑1 𝐿 = −𝑎𝑡 + 𝑈0


𝑑0 𝑅1 + 𝑑1 𝐿 = 𝑈0

𝑑1 𝑅1 = −𝑎

𝑑1 = − 𝑎𝑅1

⟶ 𝑑0 = 𝑈0 − 𝑑1 𝐿𝑅1

=𝑈0 + 𝑎⋅𝐿

𝑅1

𝑅1

𝑖𝑝(𝑡) =𝑈0 + 𝑎⋅𝐿

𝑅1

𝑅1− 𝑎

𝑅1𝑡

𝑖(𝑡) = 𝑘2 e− 𝑅1𝐿 𝑡 +

𝑈0 + 𝑎⋅𝐿𝑅1

𝑅1− 𝑎

𝑅1𝑡

75


𝑈0V

= 𝑢(0) = −60 ⋅ 103 ⋅ 0 + 600 = 600

𝑖(5 ms)A

= 𝑘2 e−5 − 3 + 6.6 = 2.4 ⟶ 𝑘2 = 2.4 + 3 − 6.6e−5 = −178

𝑖(𝑡)A

= −178 e−1000𝑡 − 600𝑡 + 6.6

𝑖(15 ms) = −178 e−15 − 600 ⋅ 15 ⋅ 10−3 + 6.6 = −2.4 A

• 15 ms < 𝑡 < 25 ms:


𝐿 = 𝑎 ⋅ 𝑡 − 1200

𝑖ℎ = 𝑘3 e− 𝑅1𝐿 𝑡

𝑖𝑝 = 𝑒0 + 𝑒1𝑡, 𝑖′𝑝 = 𝑒1

(𝑒0 + 𝑒1𝑡) 𝑅1 + 𝑒1 𝐿 = 𝑎 𝑡 − 1200

𝑒0 𝑅1 + 𝑒1 𝑅1𝑡 + 𝑒1 𝐿 = 𝑎 𝑡 − 1200


𝑒0 𝑅1 + 𝑒1 𝐿 = −1200

𝑒1 𝑅1 = 𝑎

𝑒1 = 𝑎𝑅1

⟶ 𝑒0 =−1200 − 𝑎

𝑅1𝐿

𝑅1

𝑖(𝑡) = 𝑘3 e− 𝑅1𝐿 𝑡 +

−1200 − 𝑎𝑅1

𝐿𝑅1

+ 𝑎𝑅1

𝑡

𝑖(𝑡)A

= 𝑘3 e−1000𝑡 − 12.6 + 600𝑡

𝑖(15 ms)A

= 𝑘3 e−15 − 12.6 + 9 = −2.4 ⟶ 𝑘3 = −2.4 + 12.6 − 9e−15 = 3.922 ⋅ 106

𝑖(𝑡)A

= 3.922 ⋅ 106 e−1000𝑡 + 600𝑡 − 12.6

Analytische Lösung siehe Abbildung 45, numerische Lösung siehe Abbildung 46.

6.5.8 Einschwingvorgang beim Reihenschwingkreis 1

Gegeben:

𝑅 = 3 kΩ, 𝐿 = 10 H, 𝐶 = 200 µF

𝑈 = 50 V, 𝑈𝐶(0) = 0

Gesucht: Maximum von 𝑖(𝑡)

uLuCuR

dgl−18 U

i(t)

CR L

𝜆1,2 = − 𝑅2𝐿

± √ 𝑅2

4𝐿2 − 1𝐿𝐶

= −150 ±√

1502 − 500 = −150 ± 148.3 …

76


-4

-2

0

2

4

0 0.005 0.01 0.015 0.02

i(t)

in

A

t in s

i1(t)i2(t)i3(t)

Abb. 45: Analytische Berechnung von 𝑖𝐿(𝑡).

𝜆1 = −298.3, 𝜆2 = −1.7

𝜚 = 𝑅2𝐿

= 150

𝜔20 = 1

𝐿𝐶= 500

𝐷 = 𝜚𝜔0

= 150√500

= 6.7

𝜚2 > 𝜔2

𝑖(𝑡) = 𝐴1 e−1.7𝑡 + 𝐴2 e−298.3𝑡

Wegen der Induktivität muss gelten: 𝑖(0) = 0

𝑖(0) = 𝐴1 + 𝐴2 = 0

=0⏞𝑖(0) ⋅ 𝑅 +

=0⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞1𝐶

0

∫0

𝑖(0) d 𝑡 +𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 𝑈

𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 𝑈

d 𝑖d 𝑡

∣𝑡=0

= 𝑈𝐿

= 50 V10 H

= 5 As−1

d 𝑖d 𝑡

∣𝑡=0

= 1.7𝐴1 − 298.3𝐴2 = 5

𝐴1 = −𝐴2 = 0.0166

77


-6

-4

-2

0

2

4

6

0 0.005 0.01 0.015 0.02-300

-200

-100

0

100

200

300

i L(t

), i

C(t

) in

A

u(t

) in

V

t in s

iC(t)iL(t)u(t)

Abb. 46: Numerische Lösung (Simulation) von 𝑖𝐿(𝑡) und 𝑖𝐶(𝑡)

𝑖(𝑡) = 0.166 ( e−1.7𝑡 − e−298.3𝑡)d 𝑖d 𝑡

= 0 = −0.0283 e−1.7 + 4.969 e−298.3𝑡

4.9690.0283

= e−1.7𝑡+298.3𝑡

𝑡 =ln 4.969

0.0283296.6

= 17.4 ms

Abbildung 47 zeigt den Verlauf von 𝑖(𝑡) und d 𝑖d 𝑡 .

6.5.9 Einschwingvorgang beim Reihenschwingkreis 2

Gegeben:

𝑅 = 50 Ω, 𝐿 = 0.1 H, 𝐶 = 50 µF, 𝑈 = 100 V, 𝑈𝐶(0) = 0

d2𝑖d 𝑡

+ 𝑅𝐿

d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐿𝐶

𝑖 = 0

𝜆1,2 = − 𝑅2𝐿

± √ 𝑅2

4𝐿2 − 1𝐿𝐶

𝜚 = 𝑅2𝐿

= 500.2

= 250

𝜔20 = 1

𝐿𝐶= 1

0.1 ⋅ 50 ⋅ 10−6 = 2 ⋅ 105

78


-0.03

-0.025

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1

i(t)di(t)/dt

Abb. 47: Maximum der Funktion 𝑖(𝑡) = 0.166( e−1.7𝑡 − e−298.3𝑡)

𝜔 = √𝜔20 − 𝜚2 =

√2 ⋅ 105 − 2502 = 370.8

𝐷 = 𝜚𝜔0

= 250√2 ⋅ 105

= 0.559

𝑖(𝑡) = e−250𝑡 (𝐴 cos 370.8𝑡 + 𝐵 sin 370.8𝑡)

Anfangsbedingungen:

𝑖(0) = 0 ⟶ d 𝑖d 𝑡

∣𝑡=0

= 𝑈𝐿

= 1000 As−1

d 𝑖d 𝑡

= 1000 =

= e−250𝑡 (−370.8𝐴 sin 370.8𝑡 + 370.8𝐵 cos 370.8𝑡) − 250 e−250𝑡 (𝐴 cos 370.8𝑡 + 𝐵 sin 370.8𝑡)

𝐴 = 0 𝐵 = 2.7

𝑖(𝑡) = e−250𝑡 (2.7 sin 370.8𝑡) A

Stromverlauf 𝑖(𝑡) siehe Abbildung 48.

6.5.10 Einschalten RL-Kreis mit sinusförmiger Anregung

Beispiel:

𝑅 = 50 Ω, 𝐿 = 0.2 H, 𝑢(𝑡) = 150 sin(500𝑡 + 0.785) V

𝑢(𝑡) = 106 cos 500𝑡 + 106 sin 500𝑡

79


-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025

i(t)

Abb. 48: Einschwingvorgang 𝑖(𝑡) = e−250𝑡 (2.7 sin 370.8𝑡)

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅𝐿 𝑡

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐴 cos 500𝑡 + 𝐵 sin 500𝑡

𝑖′𝑝(𝑡) = −500𝐴 sin 500𝑡 + 500𝐵 cos 500𝑡

𝑖 𝑅𝐿

+ 𝑖′ = 𝑢(𝑡)𝐿

−500𝐴 sin 500𝑡 + 500𝐵 cos 500𝑡 + 250𝐴 cos 500𝑡 + 250𝐵 sin 500𝑡

= 10.2

(106 cos 500𝑡 + 106 sin 500𝑡)

−500𝐴 + 250𝐵 = 5 ⋅ 106

500𝐵 + 250𝐴 = 5 ⋅ 106

𝐴 = −0.424 𝐵 = 1.272

𝑖(𝑡) = 𝑘 e−250𝑡 + 1.272 sin 500𝑡 − 0.424 cos 500𝑡

𝑖(0) = 0 ⟶ 𝑘 − 0.424 = 0 ⟶ 𝑘 = 0.424

𝑖(𝑡) = 0.424 e−250𝑡 + 1.34 sin(500𝑡 − 0.322)

Stromverlauf siehe Abbildung 49

80


-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03

i(t)

Abb. 49: Einschwingvorgang 𝑖(𝑡) = 0.424 e−250𝑡 + 1.34 sin(500𝑡 − 0.322)

6.5.11 Einschaltstrom eines leerlaufenden Transformators — Rush-Effekt

Zum Zeitpunkt 𝑡 = −0 ist der RL-Kreis energielos. ZumZeitpunkt 𝑡 = 0 wird eine sinusförmige Spannung mitdem Nullphasenwinkel 𝛼 angelegt. Gesucht ist 𝑖(𝑡) in Ab-hängigkeit von 𝛼.

dgl−40

S R

Lu(t)

i(t)

Anregung:

𝑢(𝑡) = sin(𝜔𝑡 + 𝛼) = 𝑎 sin 𝜔𝑡 + 𝑏 cos 𝜔𝑡

mit

𝑎 = cos 𝛼𝑏 = sin 𝛼𝑏𝑎

= tan 𝛼 (10)

Aus einem Maschenumlauf ergibt sich die Differentialgleichung

𝑢𝑅 + 𝑢𝐿 = 𝑢(𝑡)

𝑖𝑅 + 𝐿𝑑𝑖𝑑𝑡

= 𝑢(𝑡)

𝑑𝑖𝑑𝑡

+ 𝑅𝐿

𝑖 = 𝑢(𝑡)𝐿

(11)

Lösung der homogenen Dgl. (𝜆 = −𝑅𝐿 ):

𝑖ℎ(𝑡) = 𝐾 e− 𝑅𝐿 𝑡

81


Ansatz für partikuläre Lösung:

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡𝑑𝑖𝑝

𝑑𝑡= −𝜔𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡

Einsetzen in (11):

−𝜔𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡 + 𝑅𝐿

𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝑅𝐿

𝐵 sin 𝜔𝑡 = 𝑎𝐿

sin 𝜔𝑡 + 𝑏𝐿

cos 𝜔𝑡


−𝜔𝐴 + 𝑅𝐿

𝐵 = 𝑎𝐿

𝜔𝐵 + 𝑅𝐿

𝐴 = 𝑏𝐿

Nach 𝐴 auflösen (𝐵 wird vorläufig nicht benötigt, s. u.):

𝐴 =𝑏𝐿 − 𝜔𝐿

𝑅𝑎𝐿

𝜔2𝐿𝑅 + 𝑅

𝐿(12)

Allgemeine Lösung:

𝑖(𝑡) = 𝑖ℎ(𝑡) + 𝑖𝑝(𝑡) = 𝐾 e− 𝑅𝐿 𝑡 + 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡

Zur Bestimmung von 𝐾 Anfangsbedingung 𝑖(0) = 0 einsetzen:

0 = 𝐾 ⋅ 1 + 𝐴 ⋅ 1 + 𝐵 ⋅ 0𝐾 = −𝐴

𝑖(𝑡) = −𝐴 e− 𝑅𝐿 𝑡 + 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡

Minimum

Der Gleichstromanteil wird durch die e-Funktion erzeugt. Er verschwindet, wenn 𝐴 = 0 ist.Gleichung (12) liefert dann

𝑏𝐿

= 𝜔 𝑎𝑅

⟶ 𝑏𝑎

= 𝜔 𝐿𝑅

Wegen (10) ergibt sich

tan 𝛼 = 𝜔 𝐿𝑅

= 𝑋𝑅

Der Gleichanteil verschwindet für den Nullphasenwinkel

𝛼min = arctan 𝑋𝑅

Maximum

𝛼max = 𝛼min ± 90°

82


Beispiel

Leerlauf eines 167 kVA Transformators mit 𝑅1 = 2.4 Ω, 𝑋ℎ = 5088 Ω:

𝛼min = arctan 50882.4

= 89.973°

𝛼max ≈ 0° oder 180°

𝜏 = 𝐿𝑅

= 16.22.4

s = 6.75 s

Abb. 50 zeigt das Ergebnis einer Simulation. Die Wechselspannungsquelle

𝑢(𝑡) = 𝑈 cos(𝜔 𝑡 − 𝜑)

wird zu unterschiedlichen Zeitpunkten (𝜑) an eine eisenlose Induktivität aufgeschaltet. Der

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3

i(t)

in

A

t in s

φ= 0°=30°=60°=90°

Abb. 50: Einschaltstrom bei einer eisenlosen Spule in Abhängigkeit vom Einschaltzeitpunkt

Stromverlauf ist sofort stationär, wenn der Nullphasenwinkel 𝜑 = 0 ist, d. h. wenn die Span-nung beim Einschalten ihren Maximalwert hat9. Der ungünstigste Fall tritt bei 𝜑 = 90° auf,also wenn die Spannung gerade Null ist. In diesem Fall ist der Einschaltstrom genau doppelt sogroß wie der stationäre Strom, klingt aber nach einer e-Funktion ab.

In der Praxis stellen Transformatorwicklungen durch den Eisenkern nichtlineare Induktivitätendar. Die Berechnung des Einschaltstroms gestaltet sich nicht mehr so einfach, die Einschaltströ-me können im ungünstigsten Fall ohne weiteres mehr als das 10- bis 20-fache des Nennwerteserreichen. Aus diesem Grund werden Transformatoren im Haushalt primärseitig immer mit trä-gen Sicherungen abgesichert.

9Die Simulation benutzt die Cosinusfunktion als Anregungsfunktion.

83


6.5.12 Einschalten RC-Kreis mit sinusförmiger Anregung

Zum Zeitpunkt 𝑡 = −0 ist der RC-Kreis energielos. ZumZeitpunkt 𝑡 = 0 wird eine sinusförmige Spannung mitNullphasenwinkel 𝜑 angelegt. Gesucht ist 𝑖(𝑡) in Ab-hängigkeit von 𝜑.

dgl−22

R

Cu(t)

i(t)

S

Anregung:

𝑢(𝑡) = sin(𝜔𝑡 + 𝜑)= (sin 𝜔𝑡 cos 𝜑 + cos 𝜔𝑡 sin 𝜑)= 𝑎 sin 𝜔𝑡 + 𝑏 cos 𝜔𝑡

Maschenumlauf:

𝑢𝑅 + 𝑢𝐶 = 𝑢(𝑡)

𝑖𝑅 + 1𝐶

∫ 𝑖 d 𝑡 + 𝑢𝐶0 = 𝑢(𝑡)

𝑅 d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐶

𝑖 = d 𝑢d 𝑡

d 𝑖d 𝑡

+ 1𝑅𝐶

𝑖 = 1𝑅

d 𝑢d 𝑡

(13)

Lösung der homogenen Dgl (𝜆 = − 1𝑅𝐶 , 𝜏 = 𝑅𝐶):

𝑖ℎ(𝑡) = 𝐾 e− 1𝑅𝐶 𝑡

Ansatz für partikuläre Lösung:

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡

d 𝑖𝑝

d 𝑡= −𝜔𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡

Ableitung der Störfunktion:

d 𝑢d 𝑡

= 𝜔𝑎 cos 𝜔𝑡 − 𝜔𝑏 sin 𝜔𝑡

Einsetzen in 13:

−𝜔𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡 + 1𝑅𝐶

𝐴 cos 𝜔𝑡 + 1𝑅𝐶

𝐵 sin 𝜔𝑡 = 𝑎𝑅

𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝑏𝑅

𝜔 sin 𝜔𝑡


−𝜔𝐴 + 1𝑅𝐶

𝐵 = − 𝑏𝑅

𝜔

𝜔𝐵 + 1𝑅𝐶

𝐴 = 𝑎𝑅

𝜔

84


Nach 𝐴 und 𝐵 auflösen:

𝐴 =𝑏𝑅𝜔 + 𝑎

𝑅2𝐶𝜔 + 1

𝜔𝑅2𝐶2

𝐵 =𝑎𝑅𝜔 − 𝑏

𝑅2𝐶𝜔 + 1

𝜔𝑅2𝐶2

Allgemeine Lösung:

𝑖(𝑡) = 𝑖ℎ(𝑡) + 𝑖𝑝(𝑡)

= 𝐾 e− 1𝑅𝐶 𝑡 + 𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡

= 𝐾 e− 𝑡𝜏 + 𝐶 sin(𝜔𝑡 + 𝜙)

mit

𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2

𝜙 = arctan 𝐴𝐵

Anfangsbedingung 𝑢(0) = 𝑖(0)𝑅 = sin 𝜑 einsetzen:

𝐾 ⋅ 1 + 𝐴 ⋅ 1 + 𝐵 ⋅ 0 = 𝑖(0) = sin 𝜑𝑅

𝐾 = sin 𝜑𝑅

− 𝐴

Das nach einer e-Funktion abklingende Gleichglied verschwindet für 𝐾 = 0:

sin 𝜑𝑅

− 𝐴 = 0

und tritt bei dem Nullphasenwinkel 𝜑 = arcsin (𝐴 𝑅

) auf.

Abb. 51 zeigt den Einschaltstrom beim Aufschalten auf eine Kapazität zum ungünstigsten Zeit-punkt (hier 𝜑 = −84.3°). Bei einem Nullphasenwinkel von 𝜑 = −84.3° + 𝜋

2= 5.7° fließt sofort

der stationäre Strom. Der Verlauf des Einschaltstromes hängt neben dem Nullphasenwinkel auchsehr stark von dem Produkt 𝜔 𝜏 ab.

6.5.13 Ausschaltvorgang an einer Induktivität

𝑖(−0) = 𝐼0 = 𝑈1𝑅

gesucht: 𝑖(𝑡) für 𝑡 > 0U

1U

1

dgl−31

URL

RS

L

RS

RV

L

Wird der Schalter S geöffnet, ist ein Maschenumlauf nicht mehr möglich, da das Netzwerk keinegeschlossene Masche bildet. Abhilfe: Ersatzwiderstand 𝑅𝑉 parallel zum Schalter oder parallel zu𝑅 + 𝐿.

85


-10

-8

-6

-4

-2

0

2

0 0.005 0.01 0.015 0.02

I(t)U(t)

Abb. 51: Stromverlauf beim Einschaltvorgang an einer Kapazität

𝑈1 = 𝑈𝑉 + 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿

𝑈1 = 𝑖 (𝑅𝑉 + 𝑅) + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅𝑉 + 𝑅𝐿

𝑖 = 𝑈1𝐿

homogene Lösung:

d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅𝑉 + 𝑅𝐿

𝑖 = 0

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅𝑉+𝑅𝐿 𝑡

partikuläre Lösung:

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐴 ⟶ 𝐴 𝑅𝑉 + 𝑅𝐿

= 𝑈1𝐿

⟶ 𝐴 = 𝑈1𝑅𝑉 + 𝑅

Allgemeine Lösung:

𝑖(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅𝑉+𝑅𝐿 𝑡 + 𝑈1

𝑅𝑉 + 𝑅

𝑖(0) = 𝐼0 = 𝑈1𝑅

= 𝑘 + 𝑈1𝑅𝑉 + 𝑅

𝑘 = 𝑈1𝑅

− 𝑈1𝑅 + 𝑅𝑉

= 𝑈1 ⋅ 𝑅𝑉𝑅 (𝑅 + 𝑅𝑉)

86


𝑖(𝑡) = 𝑈1 ⋅ 𝑅𝑉𝑅 (𝑅 + 𝑅𝑉)

e− 𝑅𝑉+𝑅𝐿 𝑡 + 𝑈1

𝑅𝑉 + 𝑅= 𝑈1

𝑅𝑉 + 𝑅(𝑅𝑉

𝑅e− 𝑅𝑉+𝑅

𝐿 𝑡 + 1)

Spannung an der Spule (R+L):

𝑢𝑅𝐿(𝑡) = 𝑈1 − 𝑅𝑉 ⋅ 𝑖(𝑡)

Zahlenbeispiel:

𝑈1 = 50 V, 𝑅𝑉 = 15, 20, 50 Ω, 𝑅 = 5 Ω, 𝐿 = 30 mH

Lösungen siehe Abbildung 52.

-450

-400

-350

-300

-250

-200

-150

-100

-50

0

50

0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005

uR

L(t

) in

V

t in s

RV=15 Ω20 Ω50 Ω

Abb. 52: Spannungsverlauf 𝑢𝑅𝐿(𝑡) an der Spule für verschiedene 𝑅𝑉

6.5.14 RL-Kreis mit Freilaufdiode

𝑅1 = 𝑅2 = 100 Ω, 𝑈1 = 150 V, 𝑖(0) = 0

Die Diode 𝐷 ist ideal, d. h. der Sperrwiderstandist unendlich, der Durchlasswiderstand Null.Die Induktivität 𝐿 soll aus dem Einschaltstrom(Schließen von 𝑆1) berechnet werden.

dgl−32

R1

R2

L

DU1

S1

S2

i(t)

iD

87


• 𝑆1 wird geschlossen, gesucht 𝑖(𝑡) = 𝑖1(𝑡):

𝑖 (𝑅1 + 𝑅2) + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 𝑈1

𝑖′ + 𝑅1 + 𝑅2𝐿

𝑖 = 𝑈1𝐿

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘 e𝜆𝑡

𝑘 𝜆 e𝜆𝑡 + 𝑅1 + 𝑅2𝐿

𝑘 e𝜆𝑡 = 0 ⟶ 𝜆 = −𝑅1 + 𝑅2𝐿

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅1+𝑅2𝐿 𝑡

𝑖𝑝(𝑡) = 𝐴 ⟶ 𝑖′𝑝 = 0

𝐴 𝑅1 + 𝑅2𝐿

= 𝑈1𝐿

⟶ 𝐴 = 𝑈1𝑅1 + 𝑅2

𝑖(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅1+𝑅2𝐿 𝑡 + 𝑈1

𝑅1 + 𝑅2

𝑖(0) = 𝑘 ⋅ 1 + 𝑈1𝑅1 + 𝑅2

= 0 ⟶ 𝑘 = − 𝑈1𝑅1 + 𝑅2

𝑖(𝑡) = 𝑖1(𝑡) = 𝑈1𝑅1 + 𝑅2

(1 − e− 𝑅1+𝑅2𝐿 𝑡)

𝑖(0) = 0, 𝑖(∞) = 𝑈1𝑅1 + 𝑅2

= 150 V200 Ω

= 0.75 A

• Es wurden gemessen: 𝑖1(0.1 ms) = 0.5 A. Gesucht: 𝜏, 𝐿

𝜏 = 𝐿𝑅1 + 𝑅2

𝑖1(𝑡1) = 𝑈1𝑅1 + 𝑅2

(1 − e− 𝑡1𝜏 ) = 𝑖(∞) (1 − e− 𝑡1

𝜏 )

𝑖1(𝑡1)𝑖(∞)

= 1 − e−𝑡1

𝜏 ⟶ e− 𝑡1𝜏 = 1 − 𝑖1(𝑡1)

𝑖(∞)

−𝑡1𝜏

= ln (1 − 𝑖1(𝑡1)𝑖(∞)

) = −𝑅1 + 𝑅2𝐿

𝑡1

𝐿 = − (𝑅1 + 𝑅2) 𝑡1

ln (1 − 𝑖1(𝑡1)𝑖(∞) )

= −200 ⋅ 0.1 ⋅ 10−3

ln(1 − 0.50.75)

H = 0.0182 H

𝜏 = 0.0182 H200 Ω

= 91 µs

• Schalter 𝑆2 wird geschlossen. Gesucht: 𝑖(𝑡) = 𝑖2(𝑡)

𝑖 𝑅2 + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

= 𝑈1 ⟶ 𝑖 𝑅2𝐿

+ d 𝑖d 𝑡

= 𝑈1𝐿

𝑖ℎ(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅2𝐿 𝑡, 𝑖𝑝(𝑡) = 𝑈1

𝑅2

88


𝑖(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅2𝐿 𝑡 + 𝑈1

𝑅2

𝑖(0) = 𝑘 ⋅ 1 + 𝑈1𝑅2

= 𝑖(∞) = 0.75 A aus dem vorherigen Teil der Aufgabe

𝑘 = 𝑖(∞) − 𝑈1𝑅2

𝑖(𝑡) = 𝑖2(𝑡) = (𝑖(∞) − 𝑈1𝑅2

) e− 𝑅2𝐿 𝑡 + 𝑈1

𝑅2

𝑖(𝑡 → ∞) = 𝑈1𝑅2

= 1.5 A

• 𝑆1 geöffnet, Freilaufdiode, gesucht: 𝐼𝐷(𝑡) = 𝑖3(𝑡)

𝑖𝐷 𝑅2 + 𝐿 d 𝑖𝑑d 𝑡

= 0

d 𝑖𝐷d 𝑡

+ 𝑅2𝐿

𝑖𝐷 = 0 ⟶ 𝜆 = −𝑅2𝐿

⟶ 𝜏 = 𝐿𝑅2

𝑖𝐷(𝑡) = 𝑘 e− 𝐿𝑅2

𝑡

𝑖𝐷(0) = 𝑘 ⋅ 1 = 𝑖∞ = 𝑖(𝑡 → ∞) von der vorherigen Aufgabe

𝑖(𝑡) = 𝑖3(𝑡) = 𝑖∞ e− 𝐿𝑅2

𝑡

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

0×100 2×10-4 4×10-4 6×10-4 8×10-4 1×10-3

i(t)

in

A

t in s

i1(t)i2(t)i3(t)

Abb. 53: Stromverläufe 𝑖(𝑡) beim Auschalten eines RL-Kreises

89


6.5.15 Aufmagnetisierungsvorrichtung

𝑈𝐶0 = 770 V, 𝐶 = 1.52 mF

𝑅 = 44 mΩ, 𝐿 = 5.5 µHU

C0

dgl−34

C

R

L


+ 1𝐶

∫ 𝑖 d 𝑡 + 𝑈𝐶0 = 0

𝑅 d 𝑖d 𝑡

+ 𝐿 d2𝑖d 𝑡2 + 1

𝐶𝑖 = 0


𝐿d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐿𝐶

𝑖 = 0

𝜆1,2 = − 𝑅2𝐿

± √ 𝑅2

4𝐿2 − 1𝐿𝐶

𝜆1,2 = −4000 ±√

40002 − 119617224.9 = −4000 ± j 10179

𝜚 = 𝑅2𝐿

= 4000 𝜔0 = 1√𝐿𝐶

= 10937 𝜔 = 10179 𝐷 = 𝜚𝜔0

= 0.365

𝑖(𝑡) = e−𝜚𝑡 (𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡)

𝑖(0) = 0 ⟶ 0 ⋅ 𝑅 + 𝐿 d 𝑖d 𝑡

+ 1𝐶

0

∫0

𝑖 d 𝑡 + 𝑈𝐶0 = 0

𝐿 d 𝑖d 𝑡

∣𝑡=0

= −𝑈𝐶0

d 𝑖d 𝑡

= e−𝜚𝑡 (−𝜔𝐴 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡) − 𝜚 (𝐴 cos 𝜔𝑡 + 𝐵 sin 𝜔𝑡)∣𝑡=0

𝜔𝐵 − 𝜚𝐴 = −𝑈𝐶0𝐿

𝑖(0) = 𝑒0 (𝐴 ⋅ 1 + 𝐵 ⋅ 0) = 0 ⟶ 𝐴 = 0

⟶ 𝜔𝐵 = −𝑈𝐶0𝐿

⟶ 𝐵 = −𝑈𝐶0𝜔𝐿

= − 770 V A10179 ⋅ 5.5 ⋅ 10−6 V s s−1 = 13753.8 A

𝑖(𝑡)A

= e−4000𝑡 13753.8 sin 10179𝑡

𝑇 = 2𝜋𝜔

= 0.617 ms

Maximalwert von 𝑖(𝑡): es muss gelten

d 𝑖d 𝑡

= 0 = −𝜚 e−𝜚𝑡 𝐵 sin 𝜔𝑡 + e−𝜚𝑡𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡 = 𝐵 e−𝜚𝑡 (−𝜚 sin 𝜔𝑡 + 𝜔 cos 𝜔𝑡)

90


−𝜚 𝐵 sin 𝜔𝑡 + 𝜔𝐵 cos 𝜔𝑡 = 0

𝜔 cos 𝜔𝑡 − 𝜚 sin 𝜔𝑡 = 0 = 𝐴 sin(𝜔𝑡 + 𝜑)

mit

𝜑 = arctan 𝜔−𝜚

= arctan 10179−4000

= −68.5 ° = −1.196 rad

Maximale Amplitude:

sin(𝜔𝑡 − 1.196) = 0 ⟶ 𝜔𝑡 − 1.196 = 0 ⟶ 𝑡 = 1.196𝜔

= 117.5 µs

𝑖(𝑡) = e 4000⋅1.19610179 13753.8 sin(1.196) = 7999.53 A

Verlauf von 𝑖(𝑡) und 𝑢𝐶(𝑡) mit und ohne Freilaufdiode siehe Abbildungen 54 und 55.

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0×100 1×10-4 2×10-4 3×10-4 4×10-4 5×10-4 6×10-4 7×10-4-400

-200

0

200

400

600

800

i L(t

) in

A

uC(t

) in

V

t in s

iL(t)uC(t)

Abb. 54: Magnetisierungsstrom 𝑖(𝑡) und Kondensatorspannung 𝑢𝐶(𝑡) ohne Freilaufdiode

6.5.16 Gekoppelte Dgl: zweimaschiges Netzwerk

gesucht:

𝑖1(𝑡), 𝑖2(𝑡)

Die Induktivitäten sind nicht magnetisch gekoppelt.

i1

dgl−36

u

i2

R1

R2

L2

L1

91


0

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

0×100 1×10-4 2×10-4 3×10-4 4×10-4 5×10-4 6×10-4 7×10-4

0

100

200

300

400

500

600

700

800

i L(t

) in

A

uC(t

) in

V

t in s

iL(t)uC(t)

Abb. 55: Magnetisierungsstrom 𝑖(𝑡) und Kondensatorspannung 𝑢𝐶(𝑡) mit Freilaufdiode

Maschenumlauf:

𝑅1 (𝑖1 + 𝑖2) + 𝐿1d 𝑖1d 𝑡

= 𝑢 ⟶ 𝑖1 𝑅1 + 𝐿1d 𝑖1d 𝑡

+ 𝑅1 𝑖2 = 𝑢 (14)

𝑅1 (𝑖1 + 𝑖2) + 𝑖2 𝑅2 + 𝐿2d 𝑖2d 𝑡

= 𝑢 ⟶ 𝑖1 𝑅1 + 𝐿2d 𝑖2d 𝑡

+ (𝑅1 + 𝑅2) 𝑖2 = 𝑢 (15)

Gleichung (14) differenzieren:

𝑅1d 𝑖1d 𝑡

+ 𝐿1d2𝑖1d 𝑡2 + 𝑅1

d 𝑖2d 𝑡

= 0 ⟶ d 𝑖2d 𝑡

= − d 𝑖1d 𝑡

− 𝐿1𝑅1

d2𝑖1d 𝑡2 (16)

Gleichung (14) nach 𝑖2 auflösen:

𝑅1 𝑖2 = 𝑢 − 𝑖1 𝑅1 − 𝐿1d 𝑖1d 𝑡

⟶ 𝑖2 = 𝑢𝑅1

− 𝑖1 − 𝐿1𝑅1

d 𝑖1d 𝑡

(17)

Gleichungen (16) und (17) in Gleichung (15) einsetzen:

𝑖1 𝑅1 + 𝐿2 (− d 𝑖1d 𝑡

− 𝐿1𝑅1

d2𝑖1d 𝑡2 ) + (𝑅1 + 𝑅2) ( 𝑢

𝑅1− 𝑖1 − 𝐿1

𝑅1

d 𝑖1d 𝑡

) = 𝑢

𝑖1 𝑅1 − 𝐿2d 𝑖1d 𝑡

− 𝐿1𝐿2𝑅1

d2𝑖1d 𝑡2 + 𝑢 + 𝑅2

𝑅1𝑢 − 𝑖1 𝑅1 − 𝑖1 𝑅2 − 𝐿1

d 𝑖1d 𝑡

− 𝐿1𝑅2𝑅1

d 𝑖1d 𝑡

= 𝑢

−𝐿1𝐿2𝑅1

d2𝑖1d 𝑡2 − 𝐿2

d 𝑖1d 𝑡

− 𝐿1d 𝑖1d 𝑡

− 𝐿1𝑅2𝑅1

d 𝑖1d 𝑡

+ 𝑖1 (𝑅1 − 𝑅1 − 𝑅2) = 𝑢 − 𝑢 − 𝑅2𝑅1

𝑢

92


−𝐿1𝐿2𝑅1

d2𝑖1d 𝑡2 − (𝐿2 + 𝐿1 + 𝐿1𝑅2

𝑅1) d 𝑖

d 𝑡− 𝑅2 𝑖1 = −𝑅2

𝑅1𝑢

d2𝑖1d 𝑡2 +

𝐿2 + 𝐿1 + 𝐿1𝑅2𝑅1

𝐿1𝐿2𝑅1

d 𝑖1d 𝑡

+ 𝑅1𝑅1𝐿1𝐿2

𝑖1 = 𝑅2𝑅1𝑅1𝐿1𝐿2

𝑢

d2𝑖1d 𝑡2 + 𝑅1 (𝐿2 + 𝐿1) + 𝐿1𝑅2

𝐿1𝐿2+ 𝑅1𝑅2

𝐿1𝐿2𝑖1 = 𝑅2

𝐿1𝐿2𝑢

Anfangsbedingungen:

𝑖1(0) = 0, 𝑖2(0) = 0

In Gleichung (14) einsetzen:

𝑅1 (0 + 0) + 𝐿1d 𝑖1d 𝑡

= 𝑢 ⟶ d 𝑖1d 𝑡

∣𝑡=0

= 𝑢𝐿1

6.5.17 Gekoppelte Dgl.: Stoßspannungsgenerator

RL

RL

RE

RD

RF

CS

i3

i2

i1

dgl−37

U C1

C2

R2

R3

CB

Abb. 56: Schaltung des Marx’schen Stoßspannungsgenerators und Ersatzschaltbild einer Stufe

Zur Erzeugung hoher Impulsspannungen verwendet man u. a. das Verfahren von E. Marx. Dabeiwerden die parallelgeschalteten Stoßkondensatoren 𝐶𝑆 über die Ladewiderstände 𝑅𝐿 auf einehohe Gleichspannung aufgeladen. Durch Zünden der Funkenstrecken 𝑅𝐹 werden die Stoßkapa-zitäten in Reihe geschaltet. Die resultierende Gesamtspannung liegt an der Belastungskapazität𝐶𝐵 an, die parallel zum Prüfobjekt geschaltet ist und die Aufgabe hat, den Spannungsanstiegunabhängig von der Kapazität des Prüfobjektes festzulegen. Mit den Entladewiderständen 𝑅𝐸und den Dämpfungswiderständen 𝑅𝐷 lässt sich zusammen mit den Werten von 𝐶𝑆 und 𝐶𝐵die für die Prüfung geforderte Spannungsform einstellen. Schaltung des Generators und Ersatz-schaltbild einer Stufe zeigt Abbildung 56.

Das Verhalten einer Funkenstrecke ist nichtlinear, ein Ersatzschaltbild ist sehr kompliziert. Indiesem Beispiel wird angenommen, dass beim Ansprechen der Funkenstrecke der Widerstand𝑅𝐹 zwischen den Elektroden Null wird.

Spannungsumlauf 𝐶1 𝑅2 𝐶2:

1𝐶1

∫ 𝑖1 d 𝑡 + 𝑈𝐶1 + 𝑖2 𝑅2 + 1𝐶2

∫ 𝑖2 d 𝑡 +=0⏞𝑈𝐶2 = 0

93


Differenzieren:

1𝐶1

𝑖1 + d 𝑖2d 𝑡

𝑅2 + 1𝐶2

𝑖2 = 0 ⟶ 𝑖1 = −𝐶1𝐶2

𝑖2 − 𝑅2𝐶1d 𝑖2d 𝑡

(18)

Nochmals differenzieren:

1𝐶1

d 𝑖1d 𝑡

+ d2𝑖2d 𝑡2 𝑅2 + 1

𝐶2

d 𝑖2d 𝑡

= 0 ⟶ d 𝑖1d 𝑡

= −𝐶1𝐶2

d 𝑖2d 𝑡

− 𝑅2𝐶1d2𝑖2d 𝑡2 (19)

Spannungsumlauf 𝐶1 𝑅3 mit 𝑖3 = 𝑖1 − 𝑖2:

1𝐶1

∫ 𝑖1 d 𝑡 + 𝑈𝐶1 + (𝑖1 − 𝑖2) 𝑅3 = 0

Differenziert und aufgelöst:

1𝐶1

𝑖1 + 𝑅3d 𝑖1d 𝑡

− 𝑅3d 𝑖2d 𝑡

= 0 (20)

Gleichungen (18) und (19) in Gleichung (20) einsetzen:

1𝐶1

(−𝐶1𝐶2

𝑖2 − 𝑅2𝐶1d 𝑖2d 𝑡

) + 𝑅3 (−𝐶1𝐶2

d 𝑖2d 𝑡

− 𝑅2𝐶1d2𝑖2d 𝑡2 ) − 𝑅3

d 𝑖2d 𝑡

= 0

− 1𝐶2

𝑖2 − 𝑅2d 𝑖2d 𝑡

− 𝑅3𝐶1𝐶2

d 𝑖2d 𝑡

− 𝑅2𝑅3𝐶1d2𝑖2d 𝑡2 − 𝑅3

d 𝑖2d 𝑡

= 0

𝑅2𝑅3𝐶1d2𝑖2d 𝑡2 + d 𝑖2

d 𝑡(𝑅2 + 𝑅3𝐶1

𝐶2+ 𝑅3) + 1

𝐶2𝑖2 = 0

d2𝑖2d 𝑡2 +

𝑅2 + 𝑅3 + 𝑅3𝐶1𝐶2

𝑅2𝑅3𝐶1

d 𝑖2d 𝑡

+ 1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

𝑖2 = 0

d2𝑖2d 𝑡2 + 𝑅2𝐶2 + 𝑅3𝐶2 + 𝑅3𝐶1

𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

d 𝑖2d 𝑡

+ 1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

𝑖2 = 0

Eigenwerte:

𝜆1,2 = −𝑅2𝐶2 + 𝑅3𝐶2 + 𝑅3𝐶12 𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

± √(𝑅2𝐶2 + 𝑅3𝐶2 + 𝑅3𝐶1)2

4 (𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2)2 − 1𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

= … ± √(𝑅2𝐶2 + 𝑅3𝐶2 + 𝑅3𝐶1)2 − 4 𝑅2𝑅3𝐶1𝐶24 (𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2)2

Zähler ausmultiplizieren:

Zähler = 𝑅22𝐶2

2 + 𝑅2𝐶22 𝑅3 + 𝑅2𝐶2𝑅3𝐶1 + 𝑅2𝐶2

2 𝑅3 + 𝑅23𝐶2

2

+ 𝑅23𝐶1𝐶2 + 𝑅2𝐶2𝑅3𝐶1 + 𝑅2

3𝐶1𝐶2 + 𝑅23𝐶2

1 − 4 𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

= 𝑅22𝐶2

2 + 2 𝑅2𝐶22 𝑅3 + 2 𝑅2

3𝐶1𝐶2 + 𝑅23𝐶2

1 − 2 𝑅2𝑅3𝐶1𝐶2

=>0

⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞(𝑅2𝐶2 − 𝑅3𝐶1)2 +>0

⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞⏞2 𝑅2𝐶22 𝑅3 + 2 𝑅2

3𝐶1𝐶2

94


Die Wurzel ist immer positiv. Daraus folgen: zwei reelle Eigenwerte, keine Schwingung. Allge-meine Lösung:

𝑖2(𝑡) = 𝑘1 e𝜆1𝑡 + 𝑘2 e𝜆2𝑡

Anfangsbedingungen (𝑡 = 0):

Rechte Masche 𝑅3 𝑅2 𝐶2:

𝑖2 𝑅2 + 1𝐶2

0

∫0

𝑖2 d 𝑡 + 𝑈𝐶2 − (𝑖1 − 𝑖2) 𝑅3 = 0

𝑖2 𝑅2 − 𝑖1 𝑅3 + 𝑖2 𝑅3 = 0 ⟶ (𝑅2 + 𝑅3) 𝑖2 − 𝑅3 𝑖1 = 0

Linke Masche 𝑅3 𝐶1:

𝑈𝐶1 + 1𝐶1

0

∫0

𝑖1 d 𝑡 + (𝑖1 − 𝑖2) 𝑅3 = 0

𝑈𝐶1 + 𝑅3 𝑖1 − 𝑅3 𝑖2 = 0 ⟶ 𝑅3 𝑖1 = 𝑅3 𝑖2 − 𝑈𝐶1

In vorige Gleichung einsetzen:

(𝑅2 + 𝑅3) 𝑖2 − 𝑅3 𝑖2 + 𝑈𝐶1 = 0 ⟶ 𝑅2 𝑖2 + 𝑈𝐶1 = 0 ⟶ 𝑖2(0) = −𝑈𝐶1𝑅2

= 𝑘1 + 𝑘2

Für die Masche 𝐶1 𝑅3 gilt:

𝑧𝑈𝐶1 + 𝑖3 𝑅3 = 0 ⟶ 𝑖3(0) = −𝑈𝐶1𝑅3

𝑖1(0) = 𝑖2(0) + 𝑖3(0) = −𝑈𝐶1𝑅2

− 𝑈𝐶1𝑅3

= −𝑈𝐶1 ( 1𝑅2

+ 1𝑅3

) = −𝑈𝐶1𝑅3 + 𝑅2

𝑅2𝑅3

Einsetzen in Gleichung (18) ergibt die zweite Gleichung zur Berechnung der Konstanten 𝑘1 und𝑘2.

Referenz: [4]

Berechnung einer StoßwelleDie Stoßwelle wird nach VDE 0433 Teil 3 durchden Scheitelwert, der Stirn- und der Rückenzeitcharakterisiert.Das Ersatzschaltbild in Abbildung 56 wurde mitfolgenden Werten numerisch berechnet:

𝑅𝐸 = 𝑅3 = 12.6 kΩ, 𝑅𝐷 = 𝑅2 = 880 Ω

𝐶𝑆 = 𝐶1 = 5 nF, 𝐶𝐵 = 𝐶2 = 0.5 nF

Zu Beginn der Simulation wird der Kondensator𝐶1 auf die Spannung 𝑈𝐶1 = 100 kV aufgeladen.Die Ergebnisse sind in Abbildung 57 wiederge-geben.

TS

TR

dgl−39

30%

50%

90%

100%

t

U

95


0

20

40

60

80

100

0 20 40 60 80 100

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

Stirn

RückenUC

B

in k

V

t in µs (Rückenstoßwelle)

t in µs (Stirnstoßwelle)

Abb. 57: Numerisch berechnete Stoßwelle

96

7 Frequenzgang, Ortskurven


7.1 Übersicht

Frequenzgang: Verhalten eines Netzwerks in Abhängigkeit der treibenden Frequenz (Strom-/Spannungsquellen), siehe Abbildung 58. Die Ergebnisgröße wird entweder als Winkel und Be-

fo−01

( j )ω

Gleichstromverhalten

Wechselstromverhalten

Zeitverhalten

I, U, Z, ... f

Abb. 58: Wechselstrom-/Frequenzverhalten elektrischer Netzwerke

trag über die Frequenz aufgetragen (z. B. Bode-Diagramm), Komponentendarstellung oder Real-und Imaginärteil (Nyquist-Diagramm). Bei Division durch eine konstante Bezugsgröße werdendann nur noch dimensionslose normierte Größen dargestellt. Auch die unabhängige Variable 𝜔kann normiert werden (normierte Frequenz).

Parametrisierte Darstellung (z. B. Frequenz oder andere Netzwerkgröße als Parameter) in kom-plexer Zahlenebene, im allg. Realteil auf der Abszisse, Imaginärteil auf Ordinate, sog. Ortskur-ve.

Referenz: u. a. [5]

7.2 Zwei- und Vierpole

Tabelle 2: Impedanzen und Admittanzen bei Zwei- und Vierpolen

Impedanz Admittanz

Zweipol (Eintor)fo−02

U1

I1

𝑍1 =𝑈1𝐼1

𝑌1 =𝐼1𝑈1

Vierpol (Zweitor) U1

I1

fo−03

U2

I2

Eingang: 𝑍1 =𝑈1𝐼1

Ausgang: 𝑍2 =𝑈2𝐼2

𝑌1 =𝐼1𝑈1

𝑌2 =𝐼2𝑈2

Übertragungsfunktion = AusgangsgrößeEingangsgröße

97


𝑍 = 𝑈𝐼

= 𝑅 [𝑅] = 1 Ω

𝑌 = 𝐼𝑈

= 𝐺 [𝐺] = 1 Sfo−04

I

U

RU ω

I

𝑍 = j 𝜔𝐿

I

fo−05

U

ω

LU

I

𝑍 = 1j 𝜔𝐶

I

fo−06

U

ωU C

I

Abb. 59: Zeigerdarstellung für die Zweipole 𝑅, 𝐿 und 𝐶

Wird hauptsächlich in der Regelungstechnik verwendet. Zusätzliche Parameter: Art der Aus-gangsbelastung (z. B. Kurzschluss,Leerlauf, Nennimpedanz).

7.3 Frequenzabhängige Zweipole

Zeigerdarstellung der Zweipole 𝑅, 𝐿 und 𝐶 siehe Abbildung 59. Operator j =√

−1 entsprichtDrehung um 90 ° (j voreilend, 1

j= − j nacheilend).

Gegeninduktivität 𝑀 beschreibt die Wirkung hervorgerufen durch die Kopplung zweier Indukti-vitäten 𝑀 = 𝑘√𝐿1𝐿2 und ist eine Induktivität (siehe Transformator).

Zur Komponentendarstellung der passiven Zweipole siehe Abbildung 60.

Z

ϕ

fo−07

0ω

π/2

0

−π/2

0

Z=1

ωCZ= Lω

ω

Z=R

Abb. 60: Komponentendarstellung der Zweipole 𝑅, 𝐿 und 𝐶

98


Netzwerkfunktion 𝐹( j 𝜔) beschreibt den Einfluss der Frequenz auf das Netzwerk und ist im allg.komplex.

Betrag: |𝐹 ( j 𝜔)| = √ℜ𝐹( j 𝜔)2 + ℑ𝐹( j 𝜔)2, Phase: tan 𝜑( j 𝜔) = ℑ𝐹( j 𝜔)ℜ𝐹( j 𝜔)

Beispiel

𝑅1 = 1 kΩ, 𝐿 = 120 mH, 𝐺2 = 0.8 mS, 𝐶 = 0.18 µF

gesucht: 𝑍( j 𝜔)2

G

fo−08

R1

L

C

𝑍( j 𝜔) = 𝑅1 + j 𝜔𝐿 + 1𝐺2 + j 𝜔𝐶

= 𝑅(𝜔) + j 𝑋(𝜔)

Zerlegung in Real- und Imaginärteil:

𝑍( j 𝜔) = 𝑅1 + j 𝜔𝐿 + 𝐺2 − j 𝜔𝐶𝐺2

2 + (𝜔𝐶)2 = 𝑅1 + 𝐺2𝐺2

2 + (𝜔𝐶)2⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟ℜ𝑍( j 𝜔)=𝑅(𝜔)

+ j [𝜔𝐿 − 𝜔𝐶𝐺2

2 + (𝜔𝐶)2 ]⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

ℑ𝑍( j 𝜔)=𝑋(𝜔)

Darstellung von Real- und Imaginärteil siehe Abbildung 61.

-500

0

500

1000

1500

2000

2500

0 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000

Z

in Ω

ω in s-1

Re(Z)Im(Z)

Abb. 61: Komponentendarstellung in absoluten Einheiten

Untersuchung für 𝜔 = 0 ∶ ℜ𝑍(0) = 𝑅1 + 1𝐺2

ℑ𝑍(0) = 0

99


𝜔 → ∞ ∶ ℜ𝑍(∞) = 𝑅1 ℑ𝑍(∞) → ∞

Ersetzen von 𝐿 und 𝐶 durch ihre Ersatzschaltung, und zwar

• als Kurzschluss für 𝐶(𝜔 → ∞) und 𝐿(𝜔 = 0)

• als Unterbrechung für 𝐶(𝜔 = 0) und 𝐿(𝜔 → ∞).

Normierte Darstellung 𝑟(𝛺), 𝑥(𝛺), als Bezug wird 𝑅1 gewählt:

𝜔bez = 1𝐶

√𝐺2𝑅1

, 𝛺 = 𝜔𝜔bez

𝑟(𝛺) = ℜ𝑍(𝛺)𝑅1

1𝑅1

(𝑅1 + 𝐺2𝐺2

2 + (𝛺 𝜔bez 𝐶)2 ) = 1 + 1𝑅1𝐺2 + 𝛺2 𝜔2

bez 𝐶2 𝑅1𝐺2

= 1 + 1𝑅1𝐺2 + 𝛺2

𝑥(𝛺) = ℑ𝑍(𝛺)𝑅1

= 1𝑅1

𝛺 𝜔bez [𝐿 − 𝐶𝐺2

2 + (𝛺 𝜔bez𝐶)2 ]

= 𝛺 [𝜔bez 𝐿𝑅1

− 𝜔bez 𝐶/𝐺2𝑅1𝐺2 + 𝛺2 ]

Normierte Darstellung siehe Abbildung 62

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

r,x

Ο

rx

Abb. 62: Normierte Komponentendarstellung

7.4 Ortskurvendarstellung

Geht aus der Zeigerdarstellung komplexer Größen in der Gaußschen Zahlenebene hervor.

100


Beispiel 1

𝑍 = 𝑅 + j 𝑋 = 250 Ω + j 150 Ω

Maßstab 1 cm ≡ 100 Ωfo−10

1.5

cm

2.5 cm

Im

Re

Z

Beispiel 2

Impedanz eines Reihenschwingkreises

𝑍 = 𝑅 + j 𝜔𝐿 + 1j 𝜔𝐶

fo−11

R L C

Im

ReZ

j Lω

R

−j1

Cω

Statt Impedanzen können auch komplexe Ströme bzw. Spannungsamplituden aufgetragen wer-den.

Beispiel 3

𝑈 = 𝑈𝑅 + 𝑈𝐿 + 𝑈𝐶

𝑈𝑅 = 𝑅 𝐼, 𝑈𝐿 = j 𝜔𝐿 𝐼

𝑈𝐶 = 1j 𝜔𝐶

𝐼fo−12

Im

ReU

UR

UL

UC

I

UR

UC

UL

I

Uϕ

Man erhält das Zeigerdiagramm, wenn man den Strom 𝐼 in die reelle Achse legt und als Bezugs-größe verwendet.

𝐼 ist gegenüber 𝑈 phasenverschoben, aus dem Zeigerdiagramm ergibt sich unmittelbar für 𝜑:

𝜑 = arctan𝜔𝐿 − 1

𝜔𝐶𝑅

und für den Betrag von 𝑈:

|𝑈| = |𝐼| √𝑅2 + (𝜔𝐿 − 1𝜔𝐶

)2

.

Hinweis: die Reihenfolge der Summanden ist beliebig. Anordnung der Zeiger zweckmäßig wählen(z. B. zum Darstellen bestimmter Eigenschaften einer Schaltung).

Nachteil der Zeigerdarstellung: nur für eine Frequenz oder festen Schaltungswert. Für die Ener-gietechnik ausreichend.

Lässt man einen Schaltungswert oder die Frequenz 𝜔 einen Wertebereich z. B. −∞ < 𝜔 < +∞durchlaufen, beschreibt die Spitze der Zeiger eine Kurve in der komplexen Zahlenebene, die sog.Ortskurve in Bezug auf eine bestimmte Veränderliche.

101


Besonders häufig interessiert man sich für die Ortskurve der Impedanz oder Admittanz einesZweipols in Abhängigkeit von der Frequenz, z. B.

𝑍(𝜔) = 𝑅(𝜔) + j 𝑋(𝜔)

Die Impedanz setzt sich aus der Resistanz und der Reaktanz zusammen.

𝑌(𝜔) = 𝐺(𝜔) + j 𝐵(𝜔)

Die Admittanz setzt sich aus der Konduktanz und der Suszeptanz zusammen.

Beispiele zu Ortskurven von Impedanzen

Imaginärteil j 𝜔𝐿 ist proportional zu 𝜔, lineargeteilte Frequenzskala, Ortskurve (OK) parallelzur ℑ-Achse im Abstand 𝑅.

fo−13

Im

Re

ϕ ω=0

R

R

Z

L

ω

Imaginärteil − j 1𝜔𝐶 ist negativ für 𝜔 > 0, keine

lineare Skala, OK parallel zur ℑ-Achse im Ab-stand 𝑅

fo−14

Im Re

= ∞R ϕ

R

ZC

ω

ω

Reihenschwingkreis;Kombination von 𝑅, 𝐿 und 𝐶

fo−15

Im

Re

ω=ω0

ϕ

Z

L

R

C

ω

R

Beispiele zu Ortskurven von Admittanzen

𝑌(𝜔) = 1𝑅 + j 𝜔𝐿

|𝑌| = 1√𝑅2 + (𝜔𝐿)2

𝜑 = arctan (−𝜔𝐿𝑅

) fo−16

Im

Reω=0ω=∞

2R

1 1

R

ϕ

Yω

L

R

Einige Punkte:

𝜔 = 0 ∶ |𝑌| = 1𝑅

⇒ 𝜑 = 0, 𝜔 → ∞ ∶ |𝑌| → 0 ⇒ 𝜑 → −90 °

𝜔𝐿 = 𝑅 ∶ |𝑌| = 1√2 𝑅

⇒ 𝜑 = −45 °

Aufnahme weiterer Punkte ergibt Halbkreis.

102


𝑌(𝜔) = 1𝑅 + 1

j 𝜔𝐶= j 𝜔𝐶

j 𝜔𝑅𝐶 + 1

|𝑌| = 𝜔𝐶√1 + 𝜔2𝑅2𝐶2

𝜑 = arctan ( 1𝜔𝑅𝐶

) fo−17

Im

Re

ω=0

ω=∞

2R

1 1

R

RY

ϕC

ω

𝜔 = 0 ∶ |𝑌| = 0 ⇒ 𝜑 = 90 °, 𝜔 → ∞ ∶ |𝑌| → 1𝑅

⇒ 𝜑 → 0 °

𝜔𝐶 = 1𝑅

∶ |𝑌| = 1√2 𝑅

⇒ 𝜑 = 45 °

Aus der Überlagerung der beiden Ortskurvenkann man schließen, dass die OK für die Ad-mittanz eines Reihenschwingkreises ein Vollkreisist.

fo−18

Im

Reω=0

ω=∞

2R

1

ω0

1

R

Y

ϕ

ω

Zusammenfassung

Für die OK passiver Zweipole gilt:

• 𝑅 und 𝐺: Punkt auf der ℜ-Achse

• 𝐿 und 𝐶: Halbgeraden auf der ℑ-Achse

Die Verfahren zur Berechnung linearer Netzwerke lassen sich auch auf OK übertragen.

Man kann die OK solcher Schaltungen aus denOK-Kenntnissen einfacher Schaltungen geome-trisch zusammensetzen, z. B. ergibt sich die OKeiner Reihenschaltung zweier frequenzabhängi-ger, komplexer Widerstände aus der grafischenAddition der Einzelortskurven bei gleichen 𝜔-Werte.

j Lω j Lω

fo−19

R L

R+

R Re

Im

Merkmale

• Ist der Realteil immer positiv, befindet sich die OK in der rechten Halbebene.

• Kommen nur gleichartige Energiespeicher im Netzwerk vor, verläuft die OK entweder inder oberen oder unteren Halbebene.

• Bei verschiedenartigen Energiespeichern kann die OK in beiden Halbebenen liegen.

• Die Ortskurven von Schaltungen mit mehreren frequenzabhängigen Zweipolen ist im allg.kein Kreis.

103


7.5 Inversion

Die Umwandlung von Admittanzen in Impedanzen geschieht durch sog. lineare Abbildung ent-sprechend des Abbildungsgesetzes

𝑌 = 1𝑍

mit

𝑍 = |𝑍| e j 𝜙, 𝑌 = 1|𝑍|

e− j 𝜙fo−20

φ

−φ

Y

ZIm

Re

Beispiel siehe Abbildung 63.

fo−21

ω2

ω3

ω2

ω3

ω1

ω1

ωb( )ωx( )

ω=0

ω=0

Re

r( )g( )

1

1

ω

ω

Im

1

Z(j )

Y(j )

ω

ω

ω

ω

Abb. 63: Beispiel zur Invertierung einer Ortskurve

Regeln

• Durch Inversion werden Punkte der oberen Halbebene auf Punkte der unteren Halbebeneabgebildet und umgekehrt.

• Der ursprungnächste Punkt wird in den ursprungfernsten Punkt abgebildet und umge-kehrt.

• Der Abstand eines Punktes der einen OK vom Ursprung ist gleich dem Kehrwert desAbstandes des entsprechenden Punktes der inversen OK.

• Inversion einer Geraden durch den Ursprung ergibt wieder eine Gerade durch den Ur-sprung.

• Inversion einer Geraden, die nicht durch den Ursprung geht, ergibt einen Kreis durch denUrsprung und umgekehrt.

• Inversion eines Kreises, der nicht durch den Ursprung geht, ergibt wieder einen Kreis, dernicht durch den Ursprung geht.

Mit diesen Regeln lassen sich u. U. neue OK recht einfach zeichnen.

104


Beispiel

gegeben: 𝑍(𝑅) = 𝑅 + j 𝑋 mit 𝑋 = 2 Ωgesucht: OK 𝑍(𝑅) und 𝑌(𝑅)Eckwerte: 𝑅0 = 0, 𝑅1 = 2 Ω, 𝑅2 = 6 ΩSpiegelung der Zeiger 𝑍. Kehrwertbildung:

𝑌0 = 0.5 S

𝑌1 = 1√8

= 0.35 S

𝑌2 = 1√40

= 0.16 S

0Z Z

1Z

2

Y2

0Y

Y1

fo−22

2 6

42 6Re

−j 0.5

−j 0.4

−j 0.3

−j 0.2

−j 0.1

0

j 2

ImR

R

R

j B

j X

G

𝑌 = 1𝑍

= 𝐺 + j 𝐵 = 𝑅𝑅2 + 𝑋2 − j 𝑋

𝑅2 + 𝑋2

Beispiel

gesucht: OK von 𝑌( j 𝜔)

𝜔𝑟 = 1√𝐿𝐶

G2

fo−23

R1

CL

OK von 𝑌𝑝( j 𝜔)2

G

fo−24

ω=ωr

B

G

ω

OK von 𝑍𝑝( j 𝜔)Inversion einer Geraden

2G

1

2G2

1

fo−25

ω=ωrX

R

ω

OK von 𝑍𝑝( j 𝜔) + 𝑅1

2G

1+R

1

fo−26

ω=ωrX

RR1

ω

Inversion von 𝑍𝑝( j 𝜔) + 𝑅1 er-gibt wieder einen Kreis mit Mit-telpunkt auf der reellen Achse.

ω=∞

ω=0

R1

1

2G

1+R

1

1

rω

fo−27

B

G

ω

105


Aufgabe: Ortskurve 𝑓(𝐶)gegeben:

𝑢(𝑡) = sin 𝜔𝑡 = cos(𝜔𝑡 − 𝜋2

)

gesucht:

𝑈2 = 𝑓(𝐶), OK von 𝑈2

u2

fo−28

R

u(t) RC

𝑈2𝑈

=

𝑅 1j 𝜔𝐶

𝑅 + 1j 𝜔𝐶

𝑅 +𝑅 1

j 𝜔𝐶

𝑅 + 1j 𝜔𝐶

=

𝑅j 𝜔𝑅𝐶 + 1

𝑅 + 𝑅j 𝜔𝑅𝐶 + 1

= 1j 𝜔𝑅𝐶 + 2

Definitionsgleichung der komplexen Amplitude:

𝑈 = 𝑒 j 𝜑 ⟹ 𝑢(𝑡) = cos(𝜔𝑡 + 𝜑)

𝑈 = 𝑒 j − 𝜋2 = − j

𝑈2

= − jj 𝜔𝑅𝐶 + 2

= 1j 2 − 𝜔𝑅𝐶

C= ∞

(Halbkreis)Inversion

fo−29

Nenner: j 2 − ω RC

abgebildetwird im NullpunktUnendlich ferner Punkt

Re

j 21

=− j 0.5

C=0

C

Im

Re

Im

j 2

C=0

C

Aufgabe: Ortskurve 𝑍( j 𝜔)

gesucht: 𝑍( j 𝜔)Bei welcher Frequenz kann der Zweipol durcheinen ohmschen Widerstand ersetzt werden? R

1

fo−30

R2

L C

𝑍 =(𝑅1 + j 𝜔𝐿 + 1

j 𝜔𝐶) 𝑅2

𝑅2 + 𝑅1 + j 𝜔𝐿 + 1j 𝜔𝐶

=𝑅1𝑅2 + j 𝑅2 (𝜔𝐿 − 1

𝜔𝐶)𝑅1 + 𝑅2 + j (𝜔𝐿 − 1

𝜔𝐶)= 𝜔𝐶𝑅1𝑅2 + j 𝑅2 (𝜔2𝐿𝐶 − 1)

𝜔𝐶 (𝑅1 + 𝑅2) + j (𝜔2𝐿𝐶 − 1)

= 𝜔2𝐶2𝑅1𝑅2 (𝑅1 + 𝑅2) + j 𝜔𝐶 (𝑅1 + 𝑅2) 𝑅2 (𝜔2𝐿𝐶 − 1) − …[𝜔𝐶 (𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔2𝐿𝐶 − 1)2

− … − j (𝜔2𝐿𝐶 − 1) 𝜔𝐶𝑅1𝑅2 + (𝜔2𝐿𝐶 − 1) 𝑅2 (𝜔2𝐿𝐶 − 1)…

= 𝜔2𝐶2𝑅1𝑅2 (𝑅1 + 𝑅2) + (𝜔2𝐿𝐶 − 1)2𝑅2 + j 𝜔𝐶𝑅22(𝜔2𝐿𝐶 − 1)

[𝜔𝐶(𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔2𝐿𝐶 − 1)2

106


Aus ℑ𝑍 = 0 folgt

𝜔𝐶𝑅22 (𝜔2𝐿𝐶 − 1)

[𝜔𝐶 (𝑅1 + 𝑅2)]2 + (𝜔2𝐿𝐶 − 1)2 = 0

1. Nullstelle: 𝜔 = 0

2. Nullstelle: 𝜔 → ∞ weil 𝜔3

𝜔4

3. Nullstelle: 𝜔2𝐿𝐶 − 1 = 0 ⟶ 𝜔0 = 1√𝐿𝐶

Ortskurve:

𝑌( j 𝜔) = 1𝑅2

+ 1𝑅1 + j (𝜔𝐿 − 1

𝜔𝐶)

Reihenschaltung 𝑅𝐶𝐿 als Admittanz: Kreis mit Mittelpunkt 12𝑅1

und Durchmesser 1𝑅1

ω=ω0

R1 R2

1R +R2

R2

ω=ω0

R2

1R1

1R2

1+

fo−31

ReZ

ImZ

ω=∞

ω=0ReY

ImY

ω=0

ω=∞

ω

ω

𝑍( j 𝜔) = 1𝑌( j 𝜔)

Inversion eines Kreises, der nicht durch den Nullpunkt geht, ergibt wieder einen Kreis, der nichtdurch den Nullpunkt geht.

Aufgabe

𝑅1 = 𝑅2 = 100 Ω, 𝜔𝐿 = 200 Ω

Maßstab: 50 Ω ≡ 1 cmR

2

R1

fo−32

L

A B

Daraus folgt der Maßstab für die Admittanz:

1200 Ω

≡ 4 cm ⟶ 1 cm ≡ 1800

S

Inversionskreis: 𝑟 = 200 Ω

1. 𝑅1 + j 𝜔𝐿 = 𝑍1 vektoriell addieren

2. 𝑍1 invertieren

𝑌1 = 1𝑍1

, |𝑌1| = 1√50000

, Länge ≡ |𝑌1|/ 1800

S ≡ 3.57 cm

107


3. Kehrwert von 𝑅2 und zu 𝑌1 addieren

𝑌2 = 1100 Ω

, Länge ≡ |𝑌2|/ 1800

S ≡ 8 cm

4. 𝑌𝐴𝐵 invertieren, 𝑍𝐴𝐵 ablesen

𝑍𝐴𝐵 = (75 + j 25) Ω

Zeichnerische Invertierung (Kathetensatz) siehe unten.

Rechnerische Lösung: 𝑍𝐴𝐵 = 25 (3 + j ) Ω

Grafische Lösung siehe Abbildung 64.

1R

ZAB

YAB

Z1

Z1

YAB

fo−33

XL

Y1

Y2

Re

Im

R

G

200 Ω

*

*

Abb. 64: Grafische Lösung

Kathetensatz

Es gilt: 12 = 1𝑍1

⋅ 𝑍1

Siehe Abbildung 65.

7.6 Vergleich Ortskurve – Komponentendarstellung

hier: Amplituden – Phasenwinkeldiagramm

𝑈 = 100 V, 𝑅1 = 50 Ω, 𝑅1 = 20 Ω

𝐿 = 0.2 H, 𝐶 = 30 µF

gesucht: Stromortskurven 𝐼(𝜔), 𝐼1(𝜔), 𝐼2(𝜔)

R1

fo−36

L R2

C

I

I2

I1

108


Z1

Z1

1

Z1

1

Z1

1

fo−34

1

Abb. 65: Kathetensatz

Bei Abhängigkeit von der Frequenz: Frequenzgang.

Lösung Imaginärteil über Realteil (Nyquist-Plot) siehe Abbildung 66.

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

Imag

inärt

eil

von

I

in

A

Realteil von I in A

I1(ω)I2(ω)I(ω)

Abb. 66: Darstellung Imaginärteil über Realteil (Nyquist-Plot)

Verwendung logarithmischer Maßstäbe:Bode-Diagramm: Amplitudengang doppelt logarithmisch, Phasengang einfach logarithmisch (sie-he Abbildungen 67, 68 und 69).

7.7 Vierpole

Aus den Strömen 𝐼1 + 𝐼2 Rückschlüsse auf die Spannung 𝑈1𝐴 bzw. 𝑈1𝐵 und weiter auf dieOrtskurven von 𝑈𝐴0 und 𝑈𝐵0 (siehe Abbildung 70).

109


0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

10 100 1000 10000

I in

A

f in Hz

|I1(ω)||I2(ω)||I(ω)|

Abb. 67: Amplitudendiagramm halb logarithmisch

0.01

0.1

1

10

10 100 1000 10000

I in

A

f in Hz

|I1||I2||I|

Abb. 68: Amplitudendiagramm doppelt logarithmisch

Bei Vierpolen interessiert z. B. der Frequenzgang von 𝑈1/𝑈2 (Spannungsverhältnis), Eingangs-impedanz 𝑈1/𝐼1, etc. …

Übertragungsfunktion: beschreibt das Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsgröße.

Anwendung des Logarithmus:

• grafische Darstellung unterschiedlicher Größenverhältnisse

• Frequenzabhängigkeiten werden zu Geradenabschnitte

110


-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

10 100 1000 10000

φin

G

rad

f in Hz

φ1φ1φ

Abb. 69: Phasenwinkeldiagramm halb logarithmisch

fo−37

U2

U1

U1

U2

0

A B

1

Abb. 70: Umwandlung in Vierpole

• Multiplikationen der Originalgrößen werden als Additionen ausgeführt

Anwendung: logarithmieren zur Basis 10 ergibt Größenverhältnis in Dezibel (dB).

Frequenzgänge von Vierpolen

Hochpass: Netzwerk, welches hohe Frequen-zen durchlässt und niedrige Frequenzen sperrt.Darstellung im Bode-Diagramm: siehe Abbil-dung 71.

fo−38

Tiefpass: Netzwerk, welches tiefe Frequenzendurchlässt und hohe Frequenzen sperrt. Darstel-lung im Bode-Diagramm: siehe Abbildung 72.

fo−40

111


AusEin

fo−39

log(E

in/A

us)

ϕ

−90

−45

f

f

Abb. 71: Hochpass

AusEin

fo−41

log(E

in/A

us)

f

45

90ϕ

f

Abb. 72: Tiefpass

7.8 Demonstrationsbeispiel zur Ortskurve, Frequenzgang

Bei der Übertragung elektrischer Signale treten im allgemeinen Verzerrungen auf, die u. a. da-durch entstehen, dass die einzelnen Spektralanteile der Signale verschieden stark gedämpft wer-den. Zur Kompensation dieser Dämpfungsverzerrung wird ein sogenannter Dämpfungsentzerrerzwischen das Übertragungssystem und den Abschlusswiderstand geschaltet, dessen Dämpfungs-verlauf komplementär zu dem des Übertragungssystems sein soll, damit die Gesamtdämpfungfrequenzunabhängig ist. Der Dämpfungsentzerrer muss u. a. folgende Eigenschaften aufweisen:

• konstanter Eingangswiderstand

• durchgehende Erdverbindung

• geringe Grunddämpfung

• keine Übertrager

• nur R-,L- und C-Elemente.

Die Schaltung nach Abbildung 73 zeigt das Ergebnis einer solchen Synthese [6]. Angeregt wird

q qqqqq qq

q

qqqb b

bb q q

b

b

qqqq qq qqq

q ?

b

b

qq

qqqqq qqq b

b

q qqqq

q-- - -

E1

5.15R R

Cma

Rma

Rk1a

Lka

Rk2a Lka

Cka

Rk2a

Cra

Rra

Lra

R2b C1b

L1b

R1b

C1b

R

R2b

R

L2bR3b

R4b

L2b

C2b

R4b

R R

L1c

R2c

R1c

C1c

R R

L2c

C2c

R3c

R4c

Ld

R2d

R R

R1d

Cd

R

Abb. 73: Kopplungsfreier Dämpfungsentzerrer

112


der Entzerrer durch die komplexe Wechselspannungsquelle E1. Untersucht werden soll das Über-tragungsverhalten der entwickelten Schaltung im Frequenzbereich von 4 bis 70 MHz. Die Be-

-2x10-5

-1.5x10-5

-1x10-5

-5x10-6

0

5x10-6

1x10-5

1.5x10-5

2x10-5

5.08 5.1 5.12 5.14 5.16 5.18 5.2 5.22

Imag

inärt

eil

Realteil der Eingangsimpedanz ZE=E1/I1

ZE=E1/I1

Abb. 74: Real- und Imaginärteil der Eingangsimpedanz WZE

rechnung wurde mit einem Netzwerkanalyseprogramm durchgeführt, dessen Ergebnis in Abb. 74dargestellt ist. Es zeigt sich, dass die Eingangsimpedanz im untersuchten Frequenzbereich mitℜ(𝑍𝐸) = 5.1511 und |ℑ(𝑍𝐸)| < 2 ⋅ 10−5 den Erfordernissen entspricht.

113


7.9 Übungsaufgaben

7.9.1 Fourierkoeffizienten

Berechnen Sie die Fourierkoeffizienten

𝑎0 = 2𝑇

∫𝑇

0𝑓(𝑡) d 𝑡

𝑎𝜈 = 2𝑇

∫𝑇

0𝑓(𝑡) cos(𝜈𝜔𝑡) d 𝑡

𝑏𝜈 = 2𝑇

∫𝑇

0𝑓(𝑡) sin(𝜈𝜔𝑡) d 𝑡

• für die spezielle Pausenbreite 2𝜋3 ,

• für eine allgemeine Pausenbreite 2𝛼.

0V

−V0

3

4π

3

5π

fk−1

π 2ππ

3 3

2πα

ω t

Lösung

1.Abschnitt: 0 < 𝜔𝑡 < 𝜋/3 𝑓(𝑡) = 0

2.Abschnitt: 𝜋/3 < 𝜔𝑡 < 2𝜋/3 𝑓(𝑡) = 𝑉0

3.Abschnitt: 2𝜋/3 < 𝜔𝑡 < 4𝜋/3 𝑓(𝑡) = 0

4.Abschnitt: 4𝜋/3 < 𝜔𝑡 < 5𝜋/3 𝑓(𝑡) = −𝑉0

5.Abschnitt: 5𝜋/3 < 𝜔𝑡 < 2𝜋 𝑓(𝑡) = 0

Ungerade Funktion: ⟶ 𝑎𝜈 = 0

𝑏𝜈 = 1𝜋

⎡⎢⎣

2𝜋/3

∫𝜋/3

𝑉0 sin(𝜈𝜔𝑡) d 𝑡 −

5𝜋/3

∫4𝜋/3

𝑉0 sin(𝜈𝜔𝑡) d 𝑡⎤⎥⎦

= 𝑉0𝜋

1𝜈

[[− cos 𝜈𝜔𝑡]2𝜋/3𝜋/3 − [− cos 𝜈𝜔𝑡]5𝜋/3

4𝜋/3]

= 𝑉0𝜈𝜋

⎡⎢⎢⎣

cos 𝜈𝜋3

− cos 𝜈2𝜋3⏟⏟⏟⏟⏟⏟⏟

2 cos 𝜋3

− cos 𝜈4𝜋3

+ cos 𝜈5𝜋3

⎤⎥⎥⎦

= 𝑉0𝜈𝜋

[0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5] = 2𝑉0𝜈𝜋

Allgemein: 4𝑉0𝜈𝜋

cos 𝛼

𝜈 = 2 ∶ −0.5 − (−0.5) − (−0.5) + (−0.5) = 0

114


7.9.2 Stromkreis mit mehrwelliger Erregung

An der RC-Schaltung mit 𝑅 = 10 Ω und 𝐶 = 200 µF liegteine Spannung

𝑢(𝑡) = (100 + 50 sin 𝜔𝑡 + 25 sin 3𝜔𝑡) V

mit 𝜔 = 500 s−1. Berechnen Sie

• 𝑖(𝑡) (formal und mit Zahlenwerten),

• den Effektivwert 𝐼 = √𝐼20 + 𝐼2

1 + 𝐼23 .

me−1

u(t)

R

C

i(t)

Lösung

𝑖𝜈(𝑡) = 𝜈

√𝑅2 + ( 1𝜈𝜔𝐶)2

sin(𝜈𝜔𝑡 − 𝜃)

𝜃 = arctan − 1𝜈𝜔𝑅𝐶

𝜈 = 0 (Gleichstrom):

𝑖0(𝑡) = 10 𝑒− 𝑡2 ms Einschwingvorgang

stationär: 𝑖0(∞) = 0 A

𝜈 = 1:

𝑖1(𝑡) = 1

√𝑅2 + ( 1𝜔𝐶)2

= 50

√102 + ( 1500⋅200⋅10−6 )2

A = 3.53 A

𝜃1 = arctan (− 1500 ⋅ 10 ⋅ 200 ⋅ 10−6 ) = −45°

𝑍1 = 14.14 Ω

𝜈 = 3:

𝑖3(𝑡) = 3

√𝑅2 + ( 13𝜔𝐶)2

= 25

√102 + ( 13⋅500⋅200⋅10−6 )2

A = 2.37 A

𝜃3 = arctan (− 13 ⋅ 500 ⋅ 10 ⋅ 200 ⋅ 10−6 ) = −18.43°

𝑍3 = 10.541 Ω

Allgemein:

𝑖(𝑡) = 3.53 sin(𝜔𝑡 + 45°) + 2.37 sin(3𝜔𝑡 + 18.43°) A

𝐼 = √𝐼20 + 𝑖2

12

+𝑖232

= 3.00 A

115


7.9.3 Ausgleichsvorgang

Der Schalter 𝑆 wird zur Zeit 𝑡 = 0 unterbre-chungsfrei in die Position 2 gebracht. L1

av−1

1 2

i0

S

L2 L3

R i(t)

• Leiten Sie die Differentialgleichung für 𝑖(𝑡) formal her.

• Bestimmen Sie den Zeitpunkt 𝑡2, zu dem gilt 𝑖(𝑡2) = 2 A.

Zahlenwerte:

𝑖0 = 6 A, 𝑅 = 200 Ω, 𝐿1 = 10/6 H, 𝐿2 = 5 H, 𝐿3 = 10 H

Hinweis: Die Induktivitäten sind magnetisch entkoppelt.

Lösung

𝐿 = 𝐿1 + 𝐿2𝐿3𝐿2 + 𝐿3

= (106

+ 5 ⋅ 1015

) H = 5 HL

1L

3

et4−04

L2

R

L

R

Dgl:


= 0

d 𝑖d 𝑡

+ 𝑅𝐿

𝑖 = 0

𝑖(𝑡) = e𝜆𝑡, d 𝑖d 𝑡

= 𝜆 e𝜆𝑡

𝜆 + 𝑅𝐿

= 0 ⟶ 𝜆 = −𝑅𝐿

𝑖(𝑡) = 𝑘 e− 𝑅𝐿 𝑡

𝑘 aus Anfangsbedingungen:

𝑖(0) = 𝑖0 = 𝑘 e− 𝑅𝐿 𝑡 = 𝑘

𝑖(𝑡) = 𝑖0 e− 𝑅𝐿 𝑡

𝑅𝐿

= 200 V A5 A Vs

= 40 s−1

2 A = 6 A e−40𝑡 ⟶ 𝑒−40𝑡 = 13

⟶ −40𝑡 = ln(1) − ln(3)

𝑡 = ln 340

≈ 27 ms

116


7.9.4 Inversion

Ermitteln Sie grafisch die Impedanz 𝑍𝐴𝐵 für folgende Zahlenwerte:

𝑅1 = 100 Ω, 𝑅2 = 200 Ω

𝜔𝐿 = 200 Ω, 1𝜔𝐶

= 100 Ωk4

R1

R2

L CA B

Beschreiben Sie Ihren Lösungsweg Schritt für Schritt. Alle Zwischenadmittanzen und -impedanzenmüssen aus der Grafik ersichtlich sein. Benutzen Sie den abgebildeten Inversionskreis, dessen Ra-dius 100 Ω bzw. 1/100 S entsprechen soll.

Lösung

1. 𝑅1 zeichnen

2. 𝐺1 zeichnen (identisch)

3. 𝑌1 = 𝐺1 + 1j 𝜔𝐿 = 𝐺1 − j 1

𝜔𝐿 zeichnen

4. 𝑌1 nach 𝑌′1 spiegeln und nach 𝑍1 invertieren

5. 𝑅2 zeichnen

6. nach 𝐺2 invertieren

7. 𝑌2 = 𝐺2 + j 𝜔𝐶

8. 𝑌2 nach 𝑌′2 spiegeln und nach 𝑍2 invertieren

9. 𝑍1 und 𝑍2 nach 𝑍 addieren

Lösung: 𝑍 = (120 − j 40) Ω

Grafische Lösung siehe Abbildung 75.

117


et4−03

Im

XB

R

G

ω

ω

Re

R2

G2G1

Y2

Z1

Y’1

R1

Y1

Y’2

Z2

Z2

Z=Z1+Z2

j C

−j1L

Abb. 75: Grafische Lösung. Der Übersicht wegen sind die Vektoren für 𝑅1, 𝐺1, 𝑅2 und 𝐺2 nebeneinanderstatt übereinander gezeichnet.

118

A Grundzüge der Maxwellschen Gleichungen


Referenz: [7, 8, 9]

Im Jahre 1862 veröffentlichte James Clerk Maxwell (1831 – 1879) die nach ihm benannten Glei-chungen, die eine Zusammenfassung der elektrischen und magnetischen Kräfte in eine einheitli-che Theorie darstellen. Die Einführung des Verschiebungsstromes erlaubt auch die Beschreibungelektromagnetischer Wellen.

Die Beschreibung basiert auf der Größe der Ladung — daraus abgeleitet die Ladungsdichte 𝜌und Stromdichte 𝑗 — und den Vektorfeldern 𝐸 und .

∇ ⋅ 𝐸 = 𝜌𝜀0

∇ × 𝐸 = −𝜅 ∂ ∂ 𝑡

∇ ⋅ = 0

∇ × = 𝜅 ⋅ 𝜇0 ( 𝑗 + 𝜀0∂ 𝐸∂ 𝑡

)

Es bedeuten: 𝜌 Ladungsdichte, 𝑗 Stromdichte, 𝜅 Leitfähigkeit, 𝜇0 Permeabilitätskonstante, 𝜀0Dielektrizitätskonstante, 𝐸 elektrische Feld, magnetisches Feld.

Für die Konstanten gilt

𝜅2 ⋅ 𝜀0 ⋅ 𝜇0 = 1𝑐2 (21)

mit 𝑐 als Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen im Vakuum (= Lichtgeschwin-digkeit).

Die Konstanten in Gleichung (21) sind, mit Ausnahme von 𝑐, frei wählbar und führen zu unter-schiedlichen Maßsystemen und Maßeinheiten für die Größen 𝐸, , 𝜌 und 𝑗. Das bei uns gebräuch-lichste SI-System (Système International) basiert auf einer eigenen elektrischen GrundeinheitAmpère. Aus der Definition der Basiseinheit 1 A ergibt sich

𝜀0 = 107

4𝜋⋅ 1

𝑐2A2

N, 𝜇0 = 4𝜋 ⋅ 10−7 N

A2

mit der Festlegung 𝜅 = 1 (asymmetrisches Maßsystem).

Der Nabla-Operator ∇

stellt einen symbolischen Vektor dar. Für ein kartesisches Koordinatensystem gilt:

∇ = ∂∂ 𝑥

𝑒𝑥 + ∂∂ 𝑦

𝑒𝑦 + ∂∂ 𝑧

𝑒𝑧 .

Der Gradient eines Skalarfeldes (z. B. Temperaturfeld) stellt ein Vektorfeld dar und lässt sichbeschreiben mit

∇𝑇 = ∂ 𝑇∂ 𝑥

𝑒𝑥 + ∂ 𝑇∂ 𝑦

𝑒𝑦 + ∂ 𝑇∂ 𝑧

𝑒𝑧 = grad 𝑇 .

119


Die Divergenz eines Vektorfeldes ergibt ein Skalarfeld:

∇ ⋅ = ∂ 𝐵𝑥∂ 𝑥

+∂ 𝐵𝑦

∂ 𝑦+ ∂ 𝐵𝑧

∂ 𝑧= div .

Die Rotation eines Vektorfeldes ergibt wieder ein Vektorfeld:

∇ × = ( ∂ 𝐻𝑧∂ 𝑦

−∂ 𝐻𝑦

∂ 𝑧) 𝑒𝑥 + ( ∂ 𝐻𝑥

∂ 𝑧− ∂ 𝐻𝑧

∂ 𝑥) 𝑒𝑦 + (

∂ 𝐻𝑦

∂ 𝑥− ∂ 𝐻𝑥

∂ 𝑦) 𝑒𝑧 = rot .

In der differentiellen Schreibweise auf der Basis von SI-Einheiten lauten die Maxwellschen Glei-chungen

rot = 𝐽 + ∂ ∂ 𝑡

(22)

rot 𝐸 = − ∂ ∂ 𝑡

(23)

div = 0 (24)div = 𝜌 (25)

= 𝜇 (26) = 𝜀 𝐸 (27)

𝐽 = 𝜅 𝐸 . (28)

A.1 Interpretation

Die Maxwellschen Gleichungen können auch als Integrale geschrieben werden.

Legt man SI-Einheiten zugrunde, erhält man aus Gleichung (22) die allgemeine Formulierungdes Durchflutungsgesetzes

∮ d 𝑠 = ∫ ( 𝑗 + d d 𝑡

) d 𝐴 .

Jedes zeitlich sich ändernde elektrische Feld erzeugt ein magnetisches Wirbelfeld. Ein Magnet-feld kann durch einen Ladungstransport (Stromdichte) bzw. durch eine elektrische Verschie-bung (Verschiebungsstrom) erzeugt werden. Das geschlossene Integral des Magnetfeldes, daseinen Strom umschließt, ist proportional zu diesem und durch die bewegten Ladungen erzeugtenVerschiebungsstrom10 (Ladungserhaltung). In der Energietechnik wird der Verschiebungsstromvernachlässigt.

Gleichung (23) wird als das Induktionsgesetz bezeichnet und lässt sich schreiben

∮ 𝐸 d 𝑠 = − ∫ d d 𝑡

d 𝐴 .

Das Gesetz besagt, daß jedes zeitlich sich ändernde magnetische Feld ein elektrisches Wirbelfelderzeugt.

10Der Verschiebungsstrom wurde von Maxwell vorausgesagt und erst später durch Experimente bestätigt.

120


Gleichung (24) beschreibt die Tatsache, dass es keine magnetischen Ladungen gibt, d. h. diemagnetischen Feldlinien sind stets geschlossen:

∮ d 𝐴 = 0 .

Analog beschreibt die Gleichung (25) den Fluss des elektrischen Feldes:

∮ d 𝐴 = 𝑄 .

Dieses Gesetz zeigt, dass das elektrische Feld an Quellen beginnt und an Senken endet. DieQuellen und Senken stellen dabei die positiven und negativen Ladungen 𝑄 dar.

Je nach Anwendung lassen sich die Maxwellschen Gleichungen vereinfachen.

A.2 Relativitätstheorie

Die Maxwellschen Gleichungen gelten auch — anders als die Newtonschen Axiome — uneinge-schränkt in bewegten Systemen. Die Relativitätstheorie verknüpft die elektrostatischen Kräfteauf ruhende Ladungen mit den magnetischen Kräften auf bewegte Ladungen. Man kann zeigen,dass ein sich bewegender Beobachter ein ruhendes elektrisches Feld als elektrisches und magneti-sches Feld sieht. Ebenso kann man beobachten, dass ein ruhendes rein magnetisches Feld durchBeschreibung eines bewegten Koordinatensystems zusätzlich ein elektrisches Feld erhält. Manbezeichnet dieses Phänomen als elektromagnetische Wechselwirkung.

A.3 Bedeutung für den Elektromaschinenbau

Zur Beschreibung der Vorgänge in elektrischen Maschinen geht man von instationären magne-tischen Feldern ( d / d 𝑡 ≠ 0) und quasistationären Leiterströmen11 aus. Das elektrostatischeFeld spielt eigentlich nur bei Isolationsfragen eine Rolle. Das magnetische Feld dient als „Medi-um“ bei der elektromechanischen Energieumwandlung. Es ist für die induzierte Spannung unddie mechanische Kraft (Drehmoment) verantwortlich.

Die Vektoren für die Feldstärken 𝐸 (elektrisches Feld) und (magnetisches Feld) erzeugen beiAnwendung auf ein Medium die Felddichten 𝐽 (Stromdichte), (Verschiebungsdichte) und (Flussdichte). Der Zusammenhang zwischen Feldstärken und Felddichten ist materialabhängig:

𝐽 = 𝜅 𝐸 (elektrische Leitfähigkeit) = 𝜀 𝐸 (Dielektrizitätskonstante) = 𝜇 (Permeabilitätskonstante) .

Für mikroskopische Betrachtungen stellen 𝜅, 𝜀 und 𝜇 Tensoren12 dar, die eine räumliche Verschie-bung zwischen Feldstärke- und Felddichtevektoren bewirken. Für die Untersuchung elektrischerMaschinen werden sie als Skalare betrachtet.

11Der Verschiebungsstrom wird gegenüber dem Leiterstrom vernachlässigt, d 𝐷/ d 𝑡 ≈ 0.12Zuordnung dreier vektorieller Feldgrößen zu einem Feldvektor, Beispiel: mechanische Flächenspannung, Per-

meabilität in anisotropen Stoffen

121


Die Felddichtevektoren beziehen sich auf Flächen. Die Skalarprodukte aus Felddichten undFlächenvektoren liefern die skalaren Feldgrößen

𝛷 = ∫𝐴

d 𝐴 (magnetischer Fluss)

𝛹 = ∫𝐴

d 𝐴 (elektrischer Fluss)

𝐼 = ∫𝐴

𝐽 d 𝐴 (elektrischer Strom) .

122

Literatur

Literatur

[1] Klaus Lunze. Berechnung elektrischer Stromkreise. 5. Aufl. Berlin: VEB Verlag Technik,1960.

[2] Manfred Albach. Grundlagen der Elektrotechnik 2. Periodische und nichtperiodische Signal-formen. München ; Boston [u.a.]: Pearson Studium, 2005. isbn: 3-8273-7108-2.

[3] Joseph A. Edminister. Elektrische Netzwerke. Überblicke, Aufgaben. Schaum’s Outline. Lon-don, New York: McGraw-Hill Book Company, 1991.

[4] Hochspannungspraktikum. Institut für Hochspannungs- und Messtechnik. TH Darmstadt,Germany, 1970.

[5] “Ortskurven”. In: Unterrichtsblätter der Deutschen Bundespost Telekom 4 (1992).[6] W. Popp. “Verfahren für den Entwurf kopplungsfreier Dämpfungsentzerrer”. Dissertation.

TH Darmstadt, Fachbereich 19, 1978.[7] Wilhelm Müller, Werner Fritz und Wolf-Rainer Novender. Numerische Feldberechnung.

Hrsg. von Wolf-Rainer Novender. Download: www.thm.de/iem/images/user/novender-978/profi_ebook.pdf. Hamburg: Verlag Deutsches Elektronen-Synchrotron, 2016. isbn:978-3-945931-05-9.

[8] Hartmut Römer und Michael Forger. Elementare Feldtheorie. VCH, Weinheim, 1993. isbn:3-527-29065-6.

[9] Gerhard Wunsch. Feldtheorie. 2. Aufl. 2 Bde. VEB Verlag Technik, Berlin, 1975.

123

www.thm.de/iem/images/user/novender-978/profi_ebook.pdf

www.thm.de/iem/images/user/novender-978/profi_ebook.pdf

IndexAbklingkonstante, 61Admittanz, 102Amplitudengang, 109Amplitudenspektrum, 33Anregungsfunktion, 50Ansatz, 51Anzugszeit, 53aperiodischer Grenzfall, 52Ausgleichsvorgang, 49

Bestimmung von 𝜏, 52Blindleistung, 8, 13Blindstrom, 13Bode-Diagramm, 109

charakteristische Gleichung, 51

Dglgewöhnliche, 50homogen, 51inhomogen, 51partielle, 50

Dämpfungsentzerrer, 112Dämpfungsgrad, 61

Energie, 19

Fourier, 28Frequenzgang, 97, 109Funkenstrecke, 93

Gaus’sche Zahlenebene, 12Gegeninduktivität, 98Grundschwingung, 29Grundschwingungsleistung, 37

Halbwertzeit, 53

Impedanz, 13, 102

Kathetensatz, 108Kompensation, 13Komponentendarstellung, 98Konduktanz, 102konjugiert komplex, 15Kriechfall, 51

Liniendiagramm, 2Linienspektrum, 33

Lösungallgemeine, 51partikuläre, 50

Netzwerkfunktion, 99Nyquist-Plot, 109

Oberschwingung, 29Oberschwingungsleistung, 37Ordnungszahl, 29Ortskurve, 97, 101

Phasengang, 109Phasenspektrum, 33

Reaktanz, 13, 102Resistanz, 13, 102Resonanz, 14Rush-Effekt, 81

Stoßkondensatoren, 93Stoßwelle, 95Störfunktion, 50Superposition, 28Suszeptanz, 102Symmetrieeigenschaft, 34

Transiente, 49Transientenanalyse, 49

Wirkleistung, 8

Zeigerdarstellung, 98Zeigerdiagramm, 3Zeitkonstante, 52Zeitverhalten, 49

124

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