H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 1

Elektrophysiologie der Nervenleitung

• Elektrostatik der Nervenleitung (Nernst-Potential, Goldman-Gleichung• Elektrodynamik (Aktionspotentiale, Hodgkin-Huxley Gleichung)• Fortpflanzung der Aktionspotentiale entlang des Axons (Kabelgleichung)• Vereinfachte Modelle (Fitzhugh-Modell)

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 2

Tintenfisch (Squid) Axon Muskel

Ion Zytoplasma Blut Seewasser Zellplasma Extrazellulärer

Raum des

Axons

K+ 400 mM 20 mM 10 mM 155 mM 4 mM

Na+ 50 mM 440 mM 460 mM 10.4 mM 109 mM

Cl- 40-150 mM 560 mM 540 mM 1.5 mM 77.5 mM

Ca2+ 3 * 10-4 mM 10 mM 10 mM 10-7 M 10-7 M

Tabelle 12.1: Beispiele der Ionenverteilung in typischen biologischen "Elektrolyten". Der angegebeneWert für Calzium im Inneren der Zelle berücksichtigt nur freie Ionen, neben denen noch gebundene

unberücksichtigt bleiben, da sie zum Membranpotential (siehe unten) nicht beitragen. Da freie Calzium-Ionen in der Zelle auch Aufgaben als "second messenger" erfüllen, wäre eine ähnlich

hohe Ionenkonzentration, wie sie die anderen Ionen zeigen, für die Funktion der Zelle fatal.

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 3

c (1)i

c (2)i

Membran

(2)(1)

iel (1) i

0 kBT ln ci(1) zie(1)

iel (2) i

0 kBT lnc i(2) zie(2)

Das Nernst-Potential

i0 kBT ln ci(1) zie(1) i

0 kBT ln ci(2) zie(2)

zie 2 1 kBT ln ci 2 ln ci 1

2 1 kBT

zieln

ci 2 ci 1

, permeabel für Spezies i

Vergl. BPE§4

iel (2) i

el(1)Im Gleichgewicht:!

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 4

Gradient des Chemischen Potentials treibt diffusiven Transport!

F Ch 1

NL

„Chemische Kraft“

Kompensiert durch Reibung

R v kBT

Dv

Einstein

kBTD

v 1

NL

0

mit

j j cj

v .

j j

D jcj

RT j .Diffusionsstrom

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 5

j i Dici

RT i .

i i

0 RTlnciVerd. Lösung

ji Di

RTci RT1

ci

ci

x1 dim

ji Di

ci

x1. Fick‘sche Gesetz

Gradient des Chemischen Potentials treibt diffusiven Transport!

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 6

Das Elektrochemische Potential

Ion i habe chemisches Potential und elektrisches Potential

i

i

el i zi F Elektrochemisches Potential

j i Dici

NLkBT i zi F

j i 1

NL

uici i zi F

Allgemein

Planck-Nernst Gleichung

ji 1NL

uici RTlnci

xzi F

x

01d verd.Lsg:

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 7

Das Nernst-Potential (Gleichgewichtspotential)Thermodyn GG => ji= 0

ji 1NL

uici RTlnci

xzi F

x

0

x

RTzi F

lnci

x

N 2 1 RTz

iF

lnc

i2

ci1

xx x x

x

1x

RTz

iF

lnci xx lnci x

Potentialabfall über Membran der Dicke ∆x

N 61.5z

i

log10

ci2

ci1

T=310K:

Nernst-Potential [mV]

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 8

Planck Potential (Diffusionspotential)

Salz cs dissoziiere gemäss

AAK K

A A zA KK

zK

z.B. Mg Cl2 <=> Mg2+ + 2 Cl-

cA AcS . mit

cK KcS ;und

jK 1N

L

uKcK RT lncK

x zKF

x

jA 1N

L

uAcA RT lncA

x zAF

x

cK zK cA zAElektroneutralität

jK zK jA zAKopplung der Ströme

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 9

Planck Potential (Diffusionspotential)

lncS

x

lncA

A

x

lncA

x

x

uK uA

uKz

Ku

Az

A

RTF

lncS

x

21 2 1 uK uA

uKz

Ku

Az

A

RTF

lnc

S2

cS1

Planck-Potential

jA 1N

L

uAcA RT lncA

x zAF

x

jK zK jA zAundweil

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 10

Das Donnan-Potential

1

2ln12

0

0

0 2

2

2

2H

H

H

osmoH c

c

v

RTpppImmobile Makroionen bauen

osmotischen Druck auf

H2O

pelch 2 H2O

pelch 1Wasser-Permeation

12 pelchi

pelchi Im GG gilt für

jede Ionensorte

21 RTz

iF

lnc

i2

ci1

vi posm

ziF

Donnan-Potential

i

pelch i

0 RTlnci zi F pvi

Beitrag durch osmotische Druck:

Partielles Molvolumen

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 11

e kBT lnc2

c1

0

e kBT lnc 2

c 1

0

Ladungsneutralität:

c1 c 1 c1

c2 z cp c 2

c2 2 z cp c2 c1 2

0

c2 z cp

2

zcp

2

2

c1 2

c 2 z cp

2

z cp

2

2

c1 2

kBT lnc2c2

c1c1

0

+

c2c 2 c1c 1

Das Donnan-PotentialMembran

+

+ +

++

+

++

+

- -

-

-

-

--

-

-

+++

+

- -

-

-

--

-

--

+

+

+-

-

-

1 2

c 2

c2

cp

c 1

c1

++

+

++

+

+

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 12

Beispiel: Proteine im Blutplasma

Salz dominiert durch NaCl: cNa=cCl=c1=155 mM

im Blutplasma Proteine mit cp=1 mM z = -18

kBT

eln

c2

c1

c2 z cp

2

zcp

2

2

c1 2

Das Donnanpotential ist für das Potential von Neuronen in 1. Näherung vernachlässigbar !

≈ -1.5mV

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 13

- offensichtlich befinden sich Nervenzellen nicht in einem thermodynamischen Gleichgewichtszustand.

- Da sich jedoch im Ruhezustand die Konzentrationen auf ein festes Niveau einstellen haben wir einen stationären Zustand

cKa

cKi

cNaa

cNai

cCli

cCla

Verhältnisse in realen Nervenzellen

Tatsächliches Ruhepotential: ca. -65 mV

- offensichtlich muß es permanent Ionenströme über die Membran geben, die sich in der Summe aufheben.

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 14

x Vm 1 xd

, Vm 0

Die Goldmann-GleichungZiel: Beschreibung der Strom-Spannungs-Kennlinie einer Membran mit aktiver Ionen-Pumpe und „passivem“ Diffusionsstrom

j DckBT

kBTlncx

ex

jD

ee x

kT x

cee x

kT

x

c ee x

kT

e

e x kT c

x

ce

kT

x

c

kTe

e x kT kBT

lnc

x e

x

weil

j j act j funct jdiff

für jede Ionensorte

x

0 d

V < 0m

innen aussen Menbran

Vm

0

c ci a

jact

jfunct

jdiff

innenci

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 15

AußenseiteInnenseite

a 0 , cca

i Vm , cci

Integrieren mit Randbedingung:

j kBTdDeVm

ee x

kT

0

d

cee x

kT

0

d

jkBTdDeVm

eeVm

kT 1

ci e

eVm

kT ca

j Dd

eVm

kBTca ci e

eVm

kT

1 eeVm

kT

vPci

ca

ci

ev

1 ev

vPci

ew ev

1 ev

P

{

Permeabilität

{

v red. Pot

wlnca

ci

eVN

kBTmit red.

Nernst.Pot.

jD

ee x

kT x

cee x

kT

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 16

j vPciew/2 ew/2 v/2 e w/2v /2

e v /2 ev /2

j P caci sinhv w

2

sinhv2

v

(v)

Nichtlineare Leitfähigkeit !

j vPci

ew ev

1 ev

-30

-20

-10

0

10

20

30

-10 -5 0 5 10

v

j(-5,v) j(-2,5,v) j(0,v) j(2,5,v) j(5,v)

j(w,v)/ P caci

v

Strom-Spannungs Charakteristik einer Ionenspezie für verschiedene Nernstpotentiale

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 17

I z j

!

0

PK eVm

kBT

(cKa cK

i eeVm

kB T )

(1 eeVm

kB T )

PNa eVm

kBT

(cNaa cNa

i eeVm

kB T )

(1 eeVm

kB T )

PCl eVm

kBT

(cCla cCl

i e eVm

kB T )

(1 eeV m

kB T )

0

PK eVm

kBT

(cKa cK

i eeVm

kB T )

(1 eeVm

kB T )

PNa eVm

kBT

(cNaa cNa

i eeVm

kB T )

(1 eeVm

kB T )

PCl eVm

kBT

(cCli cCl

a eeVm

kB T )

(1 eeVm

kB T )

0

PK (cKa cK

i eeVm

kB T ) PNa(cNaa cNa

i eeVm

kB T ) PCl(cCli cCl

a eeVm

kB T )0

PK cKa PNacNa

a PClcCli (PK cK

i PNacNai PClcCl

a )eeV m

kB T

Im Fliessgleichgewicht muss der Gesamtstrom 0 sein:

jK jNa jCl !

0

kB Te

lnPK cK

a PNacNaa PClcCl

i

PK cKi PNacNa

i PClcCla

Vm

Goldmann-Gleichung

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 18

Ion Konzentration

im Axon

c i (mMol/l)

Konzentration

im Blut

ca (mMol/l)

Nernst-Potential

V0 (mV)

K+ 400 20 -75

Na+ 50 440 +102

Cl- 40....150 560 -68....-33

Welches Ion bestimmt das Membranpotential? Ruhewert ≈ - 65 mV

Kalium dominiert das Ruhe-Potential

Squid-Axon Potential bei Variation der äusseren Kaliumkonzentration

PK

PNa

15

/ Dekade

mM

0

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 19

Bestimmung der Permeabilitäten

0.4

0.3

0.2

0.1

10 20 30 40 50ca

K

e

F Vss

R T

/ mM

ci =130 mol / cm3K

p =PK

NaP

=0.007

kB Te

lnPK cK

a PNacNaa PClcCl

i

PK cKi PNacNa

i PClcCla

Vm

Messung des Membranpotentials als Funktion der Konzentration einer Spezies bei fehlenden Konzentrationsgradienten der anderen Spezies

Im Ruhezustand:

PK/PNa≈ PK/PCl ≈ 15

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 20

The resting potential, generated mainly by open “resting” K+ channels, is close to the Nernst-Potential of K

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 21

Opening and closing of ion channels cause predictable changes in the membrane potential

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 22

Die Natrium-Kalium ATPase

In Nervenzellen muß Na++ von einer Konzentration von 14 mM (im Zytosol) auf 143

mM und K+ von 4 auf 157 mM gebracht werden.

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 23

Wie groß ist das stöchiometrische Pumpverhältnis des Na/K-Atpase?

Antwort: 2 Kalium Ionen pro 3 Natrium Ionen

AT

Pas

e-A

ktiv

ität

H.Gaub / SS 2007 BPZ§4.2 24

Welchen Wirkungsgrad hat die Na/K-ATPase?

- Ruhepotential: ´-60 mV

- Nernstpotential K+: -75 mV

- Nernstpotential Na+: 55 mV

Benötigte Energie zur Verschiebung von 3 Na+ und 2 K+ Ionen über die Membran:

3e55mV ( 60mV ) 2e 60mV ( 75mV ) 3e115 mV 2e15 mV 0,375 eV 15 kT

Energie, die aus der Hydrolyse eines ATP-Moleküls gewonnen werden kann:

20 kT

Extrem hoher Wirkungsgrad!

2/3 des Energiehaushalts einer Nervenzelle wird für die Aufrechterhaltung der Konzentrationsgradienten aufgebracht