Höhere Experimentalphysik 1 -...

Höhere Experimentalphysik 1

Institut für Angewandte Physik

Goethe-Universität Frankfurt am Main

10. Vorlesung

27.01.2017

Höhere Experimentalphysik 1 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main

Was bisher geschah…

• Makroskopische Behandlung des idealen Gases1. Boyle-Mariotte: p~1/V (T=const)

isotherme Zustandsänderung

2. Gay-Lussac: V~T (p=const) isobare Zustandsänderung

3. Amontons: p~T (V=const) isochore Zustandsänderung

• Reale Gase

• Zustandsänderungen

• Joule-Thomson-Experiment, Carnot-Prozess


Brownsche Bewegung

Bereits im Jahr 1827 war dem schottischen Botaniker R. Brownaufgefallen, dass Blütenpollen in einem Glas mit WasserZickzackbewegungen ausführen.Nahezu zeitgleich fanden A. Einstein und M. Smoluchowski eineErklärung für diese, Brownsche Bewegung genannte,Erscheinung. Die Bewegung der Teilchen wird durch Stöße vonMolekülen der Flüssigkeit bzw. der Luft gegen die Pollenhervorgerufen.


Kinetische Gastheorie

• Die kinetische Gastheorie ist vorwiegend den Arbeiten vonKrönig, Clausius und Maxwell in der zweiten Hälfte des 19.Jahrhunderts zu verdanken, ihre fundamentale BegründungLudwig Boltzmann.

• Bis dato war die Existenz von Atomen und Partikeln nochdurch kein direktes Experiment bewiesen, sondern nur eineHypothese.

• Die Zustandsgrößen der Thermodynamik wurden durch ihremikroskopischen Eigenschaften definiert.

• Eine erste moderne Stütze für die Atomhypothese bildetendie Erfolge der kinetischen Gastheorie (Einstein).

L. Boltzmann1844-1906


Kinetische Gastheorie

Axiome der kinetischen Gastheorie:

1. Ein chemisch einheitliches Gas besteht aus lauter gleichen Partikeln.

2. Die Partikel bewegen sich dauernd und die Energie ihrer Bewegung hängt direkt mit der Temperatur des Gases zusammen.

3. Atome im Grundzustand besitzen nur Translationsenergie, Partikel zudem noch Rotations- und Schwingungsenergie.

4. Partikel übertragen ihre Energie und Impulse bei Stößen auf die Wände.

5. Bei Stößen im Gasraum treten nur Nahwirkungskräfte auf.


Mikroskopische Analyse des Gasdrucks und innere EnergieDer Druck, den das Gas auf die Wand ausübt wird durch denImpulsübertrag der Atome bei Stößen mit der Wand bewirkt. Da die aufdie Fläche A der Wand ausgeübte Kraft F gleich dem pro Zeitintervallauf A übertragenen Impuls ist, wird der Druck

p = F/A.

also p=(übertragener Impuls/ Fläche A x t)


Grundgleichung der kinetischen GastheorieJedes Molekül überträgt den Impuls Δpx = 2mvx . Also wirkt auf die Fläche A die Kraft F = ZΔpx/Δt, wobei Z die Anzahl der Moleküle ist, die auf das Wandelement A in der Zeit Δt treffen.

Hier ist zu beachten, dass aber nur nx Teilchen eine x-Komponente der Geschwindigkeit vx und wiederum nur die Hälfte davon ist auf die Wand gerichtet.Der Druck auf die Wand ist

Berücksichtigt man, dass die Geschwindigkeiten, der Gasmoleküle nicht alle gleich sind muss man das Mittel der Quadrate aller Geschwindigkeit einsetzen. Wegen und gilt auch und wir erhalten:


Grundgleichung der kinetischen Gastheorie

Man kann auch schreiben

wobei ja n=N/V gegeben ist. Somit folgt

Experimente ergeben, dass das Produkt p · V bei konstanterMolekülzahl N nur von der Temperatur abhängt. Dies bedeutet, dassdie mittlere kinetische Energie von der Temperatur abhängt:

𝑝 =1

3𝑚𝑛𝑣2 =

2

3𝑛𝑚𝑣2

2

𝑝𝑉 =2

3𝑁𝑚𝑣2

2

𝑚𝑣2

2=3

2𝑘𝑇


Geschwindigkeitsverteilung

Gesucht ist die Geschwindigkeitsverteilung der Gaspartikel, d. h. esinteressiert die Anzahl der Teilchen in einem bestimmten Geschwindig-keitsintervall. Diese Zahl hängt von der Gesamtanzahl n der Teilchen,einer Verteilungsfunktion f(v) und der Größe des Geschwindigkeits-intervalls dv ab.

Hierbei ist dn die Anzahl der Gaspartikel, die eine Geschwindigkeit imIntervall zwischen v und v + dv haben.

Im ersten Schritt wird nun die Verteilungsfunktion der mittlerenGeschwindigkeit eines Gaspartikels berechnet und die Abhängigkeitder mittleren kinetischen Energie eines Gasteilchens von derTemperatur gefunden.


GeschwindigkeitsverteilungDa keine Achse im Raum ausgezeichnet ist, nehmen wir zunächst an,dass sich die Teilchen entlang einer Ortskoordinate mitunterschiedlicher Geschwindigkeit in unterschiedliche Richtungenbewegen:

Bei einer gegebenen Temperatur nimmt die Anzahl der Partikel beiwachsender Energie exponentiell ab. Da die Gaspartikel beiBewegungen längs der x-Achse eine kinetische Energie Ekin,x = ½ mv2

haben, folgt:

Um aus der Proportion eine Gleichung zu machen, wird die Größe Aeingeführt.



Durch Vergleich mit folgt

Die Größe A folgt aus der Normierungsbedingung d.h. die betrachteten Bewegungskomponenten der Teilchen im Gasraum haben eine Geschwindigkeit zwischen −∞ und ∞ und es folgt:

b ergibt sich aus dem Zusammenhang zwischen der Temperatur eines Gases und der mittleren kinetischen Energie der Gaspartikel in einer Bewegungsrichtung:

Beschreibung in welchem Maße der Mittelwert der Geschwindigkeit von Gaspartikeln längs einer Koordinatenachse von 0 abweicht.


GeschwindigkeitsverteilungErweiterung auf die drei Raumrichtungen

mit .

Diese Funktion wird Verteilungsdichte genannt und beschreibt, inwelchem Maße die resultierende Geschwindigkeit in allen Raum-richtungen von 0 abweicht.



Im zweiten Schritt wird berechnet mit welcher Wahrscheinlich-keit sich ein Teilchen in einem bestimmten Geschwindig-keitsintervall befindet.

Betrachtet wird nun die Bahngeschwindigkeit der frei im Raum bewegendenGasteilchen und nicht deren Bewegung längs einer ausgesuchten Achse.

Deshalb lautet die Normierungsbedingung:

Jetzt wird mit den Geschwindigkeitsvektoren der einzelnen Partikel einGeschwindigkeitsraum aufgespannt. Die Kugeloberfläche beträgt 4πv2 undbegrenzt die untere Geschwindigkeit im Geschwindigkeitsraum. Die Dickeder Schicht beträgt dv. Somit ergibt sich das Volumen, Fläche × Höhe, in demsich die Pfeilspitzen der Vektoren befinden zu 4πv2 × dv.



Somit erhält man:

Durch den Term 4πv2 ändert sich der Wertder Konstante vor dem Exponentialausdruck.

Nach einiger Rechnung ergibt sich C zu .

Die Funktion

ist die gesuchte Verteilungsfunktion, die dem relativen Anteil derPartikel im Geschwindigkeitsintervall entspricht.


EnergieverteilungDie gerade erhaltene Geschwindigkeitsverteilung wird jetzt auf die kinetische Energie umgerechnet. Mit folgt:

Verteilungsfunktion f(E) für eine Temperatur von 300K


Wahrscheinlichste und mittlere Energie eines einatomigen GasesWahrscheinlichste Energie

Extremwertberechnung:

Mittlere kinetische Energie

Äquipartitionsprinzip:Auf jeden Freiheitsgrad eines Partikels entfällt bei der Temperatur T im zeitlichen und räumlichen Mittel die Energie


Maxwell-Boltzmann-VerteilungOtto-Stern Versuch:

Otto Stern gelang 1920 die direkte Messung von Atomgeschwindigkeiten. In einem

hochevakuierten Gefäß befindet sich ein mit Silber überzogener Platindraht (D), der

elektrisch beheizt wird, so dass das Silber verdampft.

Die Silberatome treten radial nach allen Seiten mit der Geschwindigkeit v aus.

Durch einen engen Spalt wird ein feiner Strahl von Silberatomen ausgeblendet, der

bei ruhender Apparatur den Schirm in der Mitte schwärzt..

Zur Messung der Atomgeschwindigkeit lässt man die ganze Apparatur um die Achse D

mit der Frequenz f rotieren. Auch dann ist die Bahn eines Atoms - vom äußeren

Betrachter aus gesehen - geradlinig. Rotiert die Anordnung z.B. im

Gegenuhrzeigersinn, so treffen die Atome nun bei der Stelle S1 auf. Die Entfernung

der Auftrefforte So und S1werde mit DS bezeichnet.

S0

S1


Maxwell-Boltzmann-VerteilungGravitationsablenkung:

Von Estermann, Simpson und Stern wurde eineMethode zur Geschwindigkeitsmessung von Atomenbzw. Molekülen durchgeführt, welche die Ablenkungder Teilchen im Gravitationsfeld der Erde ausnützt.

In einem Ofen befinden sich z.B. Cäsiumatome beieiner bestimmten Temperatur. Durch ein kleines Lochim Ofen können einige Atome in horizontalerRichtung in den evakuierten Raum zwischen Ofenund Detektorebene gelangen.

Zum Durchfliegen der Horizontalstrecke a brauchendie langsameren Atome länger als die schnellenAtome. Die langsameren Atome sind somit sind auchlängere Zeit der Gravitationswirkung ausgesetzt undlanden daher weiter unten am Auffangschirm.

http://www.leifiphysik.de/sites/default/files/medien/styles/thumb-304-208/public/geschwindigkeitsmessung_durch_gravitation_animationbild.png?itok=1KTHXrma


Maxwell-Boltzmann-VerteilungChopper:

Bei der Chopper Methode sitzen zwei rotierende Scheiben auf einer gemeinsamenAchse. Durch ein Loch in der ersten Scheibe können die aus dem Ofen kommendenMolekularstrahlen passieren. Auch die hintere Scheibe besitzt ein Loch, das gegenüberdem der ersten Scheibe um einen Winkel φ versetzt ist.

Bei einer festen Rotationsfrequenz schaffen es Teilchen mit einer bestimmtenGeschwindigkeit gerade beide Löcher zu passieren und im Detektor zu landen.

Die Anordnung stellt einen Geschwindigkeitsfilter dar, dessen Durchlässigkeit für einebestimmte Teilchengeschwindigkeit durch die Drehfrequenz gesteuert werden kann.


Mittlere freie Weglänge In ein ruhendes Gas werde eine Anzahl N0 mit gleicher Geschwindigkeit fliegenderPartikel eingeschossen. Nach einem Stoß wird ein Teilchen für gewöhnlich nichtmehr in seine ursprüngliche Richtung weiterfliegen.

Stößt eines der Teilchen auf ein Gasmolekül so wird es aus der Menge N0 entfernt.Die Teilchenverluste –dN auf einer Wegstrecke dx ist proportional der Anzahl N(x)der bei x ankommenden Teilchen ist:

Mit N(0)=N0 erhalten wir nach Integration

die Anzahl der Teilchen die die Strecke stoßfrei durchflogen haben. Die Strecke diestoßfrei durchflogen wird, d.h. die mittlere freie Weglänge, ist demnach:


Stoßzeiten oder mittlere freie Flugzeit

Die mittlere Zeit zwischen zwei Stößen lässt sich definieren als

wobei die mittlere Geschwindigkeit ist.


Transportprozesse in Gasen

Wenn es im Gas aufgrund äußerer Einflüsse zu Inhomogenitäten derDichte, der Temperatur oder der Geschwindigkeit kommt, dann ist dieungeordnete Bewegung durch eine geordnete Bewegung überlagert.Sie wirkt so, dass die äußeren Einflüsse, beispielsweise ein Temperatur-unterschied durch lokale Erwärmung, ausgeglichen werden. DieseAusgleichsvorgänge werden Transporterscheinungen genannt.

Diese teilen sich auf in

1. Innere Reibung

2. Wärmeleitung

3. Diffusion


Innere ReibungDie innere Reibung versucht die Relativgeschwindigkeit von einanderangrenzenden Gasschichten auszugleichen.Sie ist die Kraft F, welche die langsamere Schicht zu beschleunigen und dieschnellere zu verzögern versucht. Sie wird durch den Austausch vonMolekülen bzw. Atomen zwischen benachbarten, unterschiedlich schnellenGasschichten hervorgerufen (Diffusion).Dabei nimmt die schnellere Schicht Teilchen aus der langsameren auf undwird dadurch langsamer. Umgekehrt wird die langsamere durch dieAufnahme von schnelleren Teilchen beschleunigt.Es gilt das Newtonsche Reibungsgesetz

mit A als der Berührungsfläche der Gasschichten, und v der Geschwindigkeit von Teilchen längs der x-Ortskoordinate senkrecht zur eigentlichen Fließrichtung. Der Proportionalitätsfaktor η ist die Viskosität:


WärmeleitungHat ein Gas in dem ihm zur Verfügung stehenden Volumen an einer Stelleeine andere Temperatur als im übrigen Raum, so erfolgt ein Energietransportvon der wärmeren zur kälteren Stelle. Diese Erscheinung wird Wärmeleitunggenannt.

Es sei ein Temperaturgradient dT/dx längs der Achse gegeben. Unter diesenBedingungen wird Energie von Stellen höherer Temperatur zu Stellenniedrigerer übertragen. Diese Energieübertragung der Wärmeenergie EWwird durch die Fourier-Gleichung beschrieben:

Die Wärmeleitfähigkeit K berechnet sich zu:

Die übertragene Energiemenge hängt also vom Temperaturunterschied pro Wegelement, dem Querschnitt des Gaskanals dA und der Zeit dt ab.


DiffusionUnter Diffusion versteht man den Ausgleich von Konzentrations-unterschieden durch Massenströme.

Man nehme eine unterschiedliche Massenverteilung zweier Gase längseines im Vergleich zur Querausdehnung langen Gaskanals vor. Wirbezeichnen das als eindimensionalen Fall. Die Dichte der ersten sichausbreitenden Komponente ist eine Funktion des Ortes längs desGaskanals: ρ = ρ(x).

In diesem Fall wird der Diffusionsvorgang durch das Ficksche Gesetzbeschrieben

Dabei ist dM ein Masseelement der ersten Komponente, das in der Zeitdt die Fläche dA durchdringt. Der Term dρ/dx ist der Dichtegradiententlang des Gaskanals. D ist der Diffusionskoeffizient: D=1/3 𝑣l


Übersicht der Transportprozesse in Gasen

𝑣 = 𝑣𝑑


Wärmestrahlung

• Wärmetransport dh. Übertrag von Wärmeenergie

• Jeder Körper emittiert Wärmestrahlung aufgrund thermischer Schwingungen

• Abhängig von der absoluten Temperatur

• Auch im Vakuum


Hohlraumstrahlung

Emission und Absorption

Emissionsvermögen: L=F/A

Spektrales Emissionsvermögen: L(T) = 0∞𝐿𝜆 𝜆, 𝑇 𝑑𝜆

Absorbtionsvermögen: a=𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔

𝑎𝑢𝑓𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔

bzw. al=𝑎𝑏𝑠𝑜𝑟𝑏𝑖𝑒𝑟𝑡𝑒 𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑖𝑚 𝐵𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ 𝜆…𝜆+𝑑𝜆

𝑎𝑢𝑓𝑓𝑎𝑙𝑙𝑒𝑛𝑑𝑒 𝐿𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔𝑖𝑚 𝐵𝑒𝑟𝑒𝑖𝑐ℎ 𝜆…𝜆+𝑑𝜆

Reflexionsvermögen: R=1-a bzw. Rl =1- al


Kirchhoffscher SatzMan betrachten einen evakuierten Hohlraum, dessenWände auf der konstanten Temperatur T gehalten werden.Das Material der Wände und die Beschaffenheit derOberflächen sind beliebig. Die Wände emittieren undabsorbieren Wärmestrahlung. Es muss sich einStrahlungsgleichgewicht einstellen.

Der Hohlraum ist im Strahlungsgleichgewicht mit einer isotropen, d. h. nach allenRichtungen hin sich gleichmäßig ausbreitenden elektromagnetischen Strahlung erfüllt,deren Energiedichte im Wellenlängenbereich zwischen λ und λ+dλ gegeben ist durcheine universelle Funktion

𝑢𝜆 𝜆, 𝑇 𝑑𝜆die unabhängig von der Form des Hohlraums und der Beschaffenheit der Wände ist.


Kirchhoffsches StrahlungsgesetzWir betrachten ein Flächenelement dA auf der Innenwand des Hohlraums. DasAbsorptionsvermögen des Wandmaterials für Strahlung der Wellenlänge λ sei aλ .Das Flächenelement dA entzieht dem Strahlungsgleichgewicht pro Sekunde dieEnergie aλLλs (λ, T) dAdλ ,

denn Lλ (λ, T) dAdλ ist gerade die auf dA auffallende Strahlungsleistung im Intervallλ . . . λ + dλ. Die gleiche Energie muss durch die Emission desselbenFlächenelements dem Strahlungsgleichgewicht wieder zugeführt werden. DieEmission ist gegeben durch

Lλ (λ, T) dAdλ

wobei Lλ das spektrale Emissionsvermögen des Wandmaterials ist.

Es gilt also:

bzw.Lλ (λ, T)= aλLλs (λ, T) eλ= Lλ /Lλs =aλ


Planck

T=1363 K

Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt die spektrale Energiestromdichte eines Schwarzen Körper in Abhängigkeit von der Wellenlänge.


Stefan-Boltzmann und WienschesVerschiebungsgesetzDurch Integration des Planckschen Strahlungsgesetzes über denWellenlängenbereich von λ = 0 bis λ = ∞ erhält man die spezifischeStrahlungsleistung Lλ eines Schwarzen Körpers (Stefan-Boltzmann-Gesetz):

Lλ (T)= s T4

mit der Stefan-Boltzmann-Konstanten s = 5,67 · 10−8 W/m2K4 .

Das Maximum der Strahlungsspektren verschiebt sich mit steigender Temperatur zukürzeren Wellen hin.

Diese Verschiebung lässt das Wiensche Verschiebungsgesetz beschreiben:

𝜆𝑚𝑎𝑥 =2,898 ∙ 10−3𝑚𝐾

𝑇


WärmebildkameraFunktionsweise eines Bolometers:


Pirani

Marcello Stefano Pirani1880-1968

Messbereich der Pirani-Röhre

Abhängigkeit der Messung von der Gasart

Wärmestrahlung

druckabhängigeWärmeleitung

Konvektion

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