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Höhere Experimentalphysik 1

Institut für Angewandte Physik

Goethe-Universität Frankfurt am Main

7. Vorlesung

16.12.2016

Höhere Experimentalphysik 1 IAP Goethe-Universität Frankfurt am Main

Was bisher geschah…

• Hertzscher Dipol

• Funktionsweise eines Senders

• Beschleunigte Ladung und ihre Abstrahlcharakteristik

• Wellenleitung


ImpedanzWirkwiderstand

Kapazitiver Blindwiderstand


ImpedanzInduktiver Blindwiderstand


Impedanz


TelegraphengleichungenEinsetzen von 2) in 3) führt zu:

Entsprechend führt Einsetzen von 1) in 4) zu:

Die hergeleiteten Telegraphengleichungen (gekoppelt und entkoppelt)beschreiben die Wellenausbreitung auf einer Zweidrahtleitung.


LeitungswellenwiderstandDie Größe ZL ist der Leitungswellenwiderstand:

Dieser Widerstand ist derjenige Widerstand, mit dem die Leitungabgeschlossen werden muss, damit nur eine fortlaufende Welle undsomit keine Reflexion auftritt.

Der Abschlusswiderstand bestimmt nur das Verhältnis Ur/Uf bzw Ir/If.


Reflexionsfaktor

Aufgelöst nach dem Reflexionsfaktor gilt dann:

Man kann jetzt verschiedene Fälle betrachten:

• Für W0∞ ist r1 d.h. offenes Kabelende hat eine unendlich hoheImpedanz und die Welle wird komplett reflektiert

• Für W0=0 ist r=-1 d.h Kurschluss bedeutet, dass die gesamteLeistung reflektiert wird

• Für W0=ZL ist r=0 d.h. es gibt keine Reflexion.

=

𝑊0𝑍𝐿

− 1

𝑊0𝑍𝐿

+ 1


Smithdiagramm

Im Jahr 1939 stellte P.H. SMITH ein Leitungsdiagramm 2. Art vor, dasheute von der Fachwelt vorwiegend SMITH-Diagramm genannt wird.Mit Hilfe dieses Diagramms kann man eine Reihe von sehranspruchsvollen Rechenoperationen grafisch bewerkstelligen, und zwaräußerst einfach.


SmithdiagrammMithilfe des Reflexionsfaktors

lässt sich nun auch die Impedanz der Leitung folgendermaßenausdrücken:

Für die effektive Arbeit mit dem Smith Diagramm ist es erforderlich sichauf ideale d.h. verlustlose Leitungen zu beschränken, welche eine reelle

Wellenimpedanz R0 (𝑍𝑙 =𝐿

𝐶∶= 𝑅0) haben.

Man definiert nun eine normierte Impedanz mitund .

Damit ist:


SmithdiagrammLinien konstanten Realteils der Impedanz

Betrachtet wird eine normierte Impedanz

deren Realteil einen festen nichtnegativen Wert RN

hat, während der Imaginärteil XN variabel ist undbeliebige positive oder negative Werte annehmenkann.

Annahme: Die zugehörigen Reflexionsfaktorenbilden in der komplexen r-Ebene einen Kreis durchden Punkt r = 1, dessen Mittelpunkt bei m zwischen0 und 1 auf der reellen Achse liegt.


SmithdiagrammLinien konstanten Realteils der Impedanz

Mithilfe der Kreisgleichung r-m=1-m lässt sich eine Beziehung zwischenRN und m unabhängig von XN herleiten. Damit wird derDefinitionsbereich 0 ≤ 𝑅𝑁 ≤ ∞ auf den Wertebereich 0 ≤ 𝑚 <1 abgebildet.

Kreise konstanten Realteils von ZN.


SmithdiagrammLinien konstanten Imaginärteils der Impedanz

Betrachtet wird eine normierte Impedanz

deren Realteil beliebige nichtnegativen Wert RN

annehmen kann, während der Imaginärteil XN

festgehalten wird.

Annahme: Die zugehörigen Reflexionsfaktorenliegen in der komplexen r-Ebene auf einem Kreisdurch den Punkt r = 1 , um den Mittelpunkt 1+jm ,wobei m beliebige positive oder negative Werteannehmen kann.


Smithdiagramm

Die Kreisgleichung lautet in diesem Fall r-(1+jm)=m. Durch Einsetzendes Reflexionsfaktors kann man zeigen, dass in dieser Gleichung derRealteil RN nicht mehr enthalten ist und sie damit für beliebige Wertevon RN gilt.

Für den Zusammenhang zwischen XN und m gilt somit:

Kreise konstanten Imaginärteils von ZN.


SmithdiagrammDer Trick besteht nun darin, Reflexionsfaktor undnormierte Impedanz in einem gemeinsamenDiagramm darzustellen. Für den Relexionsfaktorwählt man dabei eine gewöhnliche GaussscheZahlenebene, während die normierte Impedanznach Real- und Imaginärteil in einemkrummlinigen Koordinatensystem abzulesen ist.

Refelxionsfaktor:Reflexionsdämpfung:Stehwellenverhältnis:Anpassfaktor:


SmithdiagrammBeispiel: Gegeben ist ein Leitungsabschluss wie im Bilddargestellt.

Gesucht ist der zugehörige Reflexionsfaktor r . Die Frequenzist f = 3MHz, die Leitung hat einen Wellenwiderstand von 50W . Die Impedanz am Leitungsende lautet in normierter Form

Die Lösung lautet demnach

56°

0.35


Streuparameter SSie beschreiben Transmissions- undReflexionsverhalten in vor- und rücklaufenderRichtung in Abhängigkeit von der Frequenz:

Dabei ist b1 die reflektierte, b2 dietransmittierte und a1 die einlaufende Welle.


Experiment


HohlleiterBei der Übertragung mit der Koaxialleitung wird bei hohen Frequenzendie Dämpfung (und die damit verbundenen Verzerrungen des Signals)zu groß. Im Frequenzbereich zwischen 2GHz und 200 GHz werdenHohlleiter zur Übertragung elektromagnetischer Signale benutzt .Allerdings gibt es auch eine unter Grezfrequenz, die von denQuerschnittsabmessungen abhängt.

Bild entnommen ausPhysik der Teilchenbeschleuniger und Ionenoptik, F. Hinterberger


RechteckhohlleiterMithilfe der hergeleiteten Wellengleichung soll die

Wellenausbreitung in einem Rechteckhohlleiter untersucht werden.

Um die Wellengleichung zu lösen wird der Ansatz

verwendet.

Dabei müssen folgende Randbedingungen erfüllt sein:


Rechteckhohlleiter

Mit dem Wellenvektor erhält man die zeitunabhängigeWellengleichung:

Zunächst ist hier die z-Komponente des elektrischen Feldes interessant, gegeben durch (ohne weitere Herleitung):


Rechteckhohlleiter

Diese Gleichung wird gelöst durch:

Wenn die Wellenzahl kz dabei komplex ist, nimmt die Amplitude der durchden Hohlleiter laufenden Welle exponentiell ab. Verlustfreie Ausbreitung istnur möglich, wenn kz reell ist.

kz ist dabei die Grenzwellenzahl. Für die praktische Anwendung vonHohlleitern ist es daher wichtig, ob die Wellenzahl k der sich im freien Raumausbreitenden elektromagnetischen Welle größer oder kleiner als dieGrenzwellenzahl kz ist.


Rechteckhohlleiter Die Kenntnis der Grenzwellenlänge ist für dieDimensionierung des Hohlleiters vonentscheidender Bedeutung. Wir wissen, dassaufgrund der Randbedingungen, keinetransversales elektrisches Feld an denWänden entstehen darf.Diese Bedingung wird erfüllt durch

Die Grenzwellenzahl wird definiert zu

Damit lässt sich die Grenzwellenzahl schreiben als

und dementsprechend die Grenzwellen als


Hohlleiter

Wenn die Welle auf ein Medium trifft, setzt das elektrische Feld derWelle die freien Ladungsträger des Mediums in Bewegung. Manunterscheidet verschiedene Fälle, je nachdem ob die Frequenz derWelle und damit die Elektronenbewegung hoch oder niedrig ist imVergleich zu Plasmafrequenz des Elektronengases.

Bild entnommen ausPhysik II, K. Dransfeld, Oldenbourg Verlag, 7. Auflage


Normaler Skin-Effekt (w < 1/t)In einem leitenden Medium wird durch ein Wechselfeld und der damitverbundenen Änderung des Magnetfeldes ein Wirbelstrom induziert. DieserWirbelstrom ist dem Erzeugerstrom entgegengerichtet, so dass dieser in derLeitermitte abgeschwächt wird. Es findet also eine Stromverdrängung ausder Leitermitte zum Leiterrand statt, entsprechenden Verlauf nimmt dieStromdichte an:

mit

d ist die sogenannte Skintiefe oder auch Eindringtiefe. Sie variiert mit derFrequenz zwischen einigen cm bei 100 Hz und 0,1 mm bei 1012 Hz. DieKonsequenz der geringen Eindringtiefe von Wechselfeldern ist ein hoherWiderstand. Bild entnommen aus

Physik II, K. Dransfeld, Oldenbourg Verlag, 7. Auflage


Anomale Skin-Effekt (1/t < w < wpe)

Für Frequenzen oberhalb der Stoßfrequenz ist das Ohmsche Gesetz nicht mehr gültig. Die Metallelektronen führen dann im Feld einer elektromagnetischen Welle erzwungene Schwingungen ohne Reibung aus. Die Dielektrizitätskonstante ist hier gegeben durch

Unter Berücksichtigung dieser Dielektrizitätskonstante folgt aus der Wellengleichung eine Eindringtiefe von

und beträgt etwa 5.10-8 m für Frequenzen w >> 1/t.

Da diese Eindringtiefe in einer anderen Art und Weise von der Frequenz abhängt als die normale Skintiefe, nennt man sie anomale Skintiefe.


HohlraumresonatorenEinen Hohlraumresonator erhält man wenn man nun leitende Wändein den Hohlleiter einbringt, so dass eine stehende Welle entsteht.

Es gibt dann zwei spezielle Lösungen der Wellengleichung, die jeweilseiner hin- und rücklaufenden Welle entsprechen. Die allgemeineLösung für den Fall vollständiger Reflexion an den Abschlusswändenlautet dann:

Die Lösung entspricht einer stehenden Welle, deren Amplitude beikr=qlz/2 verschwindet. In dem Hohlraum können sich aber keineWellen mit beliebiger Wellenlänge ausbreiten. Die Resonanzbedingunglautet

mit folgt


Beispiel: zylindrischer Hohlraumresonator


Nullstellen der Besselfunktion Jm:


BesselfunktionenDargestellt sind die BesselfunktionenJ0 (rot) und J1 (blau) bis zur erstenNullstelle von J0 bei x0 =2.405.In radialer Richtung folgt daselektrische Feld dem Verlauf von J0

und das magnetische Feld demVerlauf von J1.


Beispiel: zylindrischer Hohlraumresonator


LINACsIn der Mitte des Zylinders ist die elektrische Feldstarke maximal. SolcheHohlraumresonatoren sind bei geeigneter Phasenlage des elektrischenLongitudinalfeldes im Stande, geladene Teilchen zu beschleunigen. Allerdings mussman dazu zusätzliche zentrale Metallröhren einfügen, damit das beschleunigendeelektrische Längsfeld auf der Zylinderachse auf den freien Raum zwischen diesenDriftröhren beschränkt wird. Das innere dieser sogenannten Driftröhre ist dannfeldfrei.

Man erhalt dann einen Einzelresonator


BeschleunigungsprinzipBeispiele:

Alverez-Struktur

Wideroe-Struktur


ErsatzschaltbilderLRC-Schwingkreis Einkopplung von Hochfrequenz

Kopplung ans magnetische Feld (Schleife)

Kopplung ans elektrische Feld (Stift)


Resonatorentypen

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