Hybride Zeitbereichsmethoden zur feldorientierten ...€¦ · Hybride Zeitbereichsmethoden zur...

HybrideZeitbereichsmethodenzur feldorientiertenBerechnungzeitinvarianterModellevonFunkkanalen

in Gebauden

VomFachbereichElektrotechnikderGerhard–Mercator–Universitat– GesamthochschuleDuisburg

zurErlangungdesakademischenGradeseines

Doktor–Ingenieurs

genehmigteDissertation

von

Dipl. – Ing. AndreasLauer

aus

Duisburg

Referent: Prof.Dr. – Ing. IngoWolffKorreferent:Prof.Dr. – Ing. HeinrichBrakelmann

TagdermundlichenPrufung: 09.07.1998

Inhaltsverzeichnis

1 Vorbetrachtungenzu Inhaus–Kanalmodellen 1

1.1 EinleitendeBemerkungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 SubstanzundNutzenlinearerFunkkanalmodelle. . . . . . . . . 1

1.3 LineareKanalmodellein derPraxis . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 ZeitinvarianteKanalmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.2 SkalareKanalmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.3 Kanalmodelleim Basisband . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3.4 DiskreteKanalmodelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 VerfahrenzurGewinnungvonKanalmodellen . . . . . . . . . . 6

1.4.1 Messungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4.2 EinfacheBerechnungsverfahren . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.3 StrahlenoptischeVerfahren(GO),UTD, GTD . . . . . . . 7

1.4.4 FeldorientierteBerechnungsverfahren . . . . . . . . . . . 8

1.5 ZielsetzungundUbersichtuberdievorliegendeArbeit . . . . . . 9

2 Vereinfachungund ZergliederungdesInhaus–Feldproblems 11

2.1 DefinitiondesInhaus–Feldproblems. . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Zergliederungdes Feldproblemsin Antennen–und Ausbrei-tungsproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.3 Vereinfachungdes Ausbreitungsproblemszur BehandlungmiteinemzweieinhalbdimensionalenLosungsverfahren . . . . . . . 14

2.4 EntkopplungvonAntennen–undAusbreitungsproblem. . . . . 16

2.4.1 ErmittlungeinesaquivalentenStromfadensfur dieSende-antenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4.2 AbkopplungderEmpfangsantenne. . . . . . . . . . . . . 20

2.5 Gesamtkonzeptder feldorientiertenBerechnungder Kanalim-pulsantwort im unendlichhohenStockwerk. . . . . . . . . . . . 21

2.6 Ein Interpolationsverfahrenfur diemodaleUbertragungsfunktion 22

iii

iv INHALTSVERZEICHNIS

3 FDTD–Verfahrenzur Ausbreitungssimulation 243.1 DiskreteFelder, Feldoperatoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.2 SeparationdesdreidimensionalenYee–Verfahrens . . . . . . . . 27

3.2.1 DasYee-Schemafur lineareisotropeMedienmit elektri-schenundmagnetischenVerlusten. . . . . . . . . . . . . 27

3.2.2 Separation zur Herleitung des Multi–Mode FDTD–Verfahrens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.3 Die DiskreteWellengleichungzurvereinfachtenBehandlungho-mogenerGebiete. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.3.1 Untersuchungder Effektivitat von Zeitbereichsverfahren

aufBasisderDiskretenWellengleichungen. . . . . . . . 373.3.2 VerbindungdesMulti–Mode FDTD–Verfahrensmit der

DiskretenWellengleichungzueinemHybrid . . . . . . . 383.4 AbsorbierendeRandbedingungen:DerperfekteAbsorber . . . . 42

3.4.1 DerperfekteAbsorberim kontinuierlichenRaum . . . . . 423.4.2 ReflexionsfreiheiteinerebenenGrenzschichtbeimperfek-

tenAbsorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.4.3 DiskretisierungdesperfektenAbsorbers. . . . . . . . . . 463.4.4 GenauigkeitsuntersuchungdesdiskretenperfektenAbsor-

bers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.5 Stabilitat,DispersionundGenauigkeit . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.1 Stabilitat und zeitliche Genauigkeit desAusbreitungssi-mulationsverfahrensin homogenenquellenfreienverlust-behaftetenGebieten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5.2 Dispersionin homogenenquellenfreienverlustbehaftetenGebieten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.3 Untersuchungder Genauigkeit des simuliertenReflexi-onsfaktorspraxisnaherDiskontinuitaten . . . . . . . . . . 60

3.6 AnregungundFeldauswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.1 Anregung desAusbreitungsverfahrensdurch einenkon-

zentriertenStrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.6.2 Feldauswertungfur dasAusbreitungsverfahren . . . . . . 67

3.7 ErweiterungsmoglichkeitenderAusbreitungssimulation. . . . . 673.7.1 LokaleVerfahrensverfeinerungen . . . . . . . . . . . . . 673.7.2 VerbesserteBehandlung von Decke und Boden in

Stahlbeton–Bauweise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

INHALTSVERZEICHNIS v

3.7.3 AnbindungvonGO/UTDVerfahrenzurBerucksichtigungexternerStreuerundAntennen. . . . . . . . . . . . . . . 70

3.7.3.1 Auskopplung von Wellenanteilenzur Verwen-dungin strahlenoptischenSimulationsverfahren . 70

3.7.3.2 Einkopplungvonexternerzeugtenelektromagne-tischenFeldern. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

3.7.3.3 DiskreteRealisierungderEin–undAuskopplung 72

4 Zeitbereichsverfahren fur rotationssymmetrischeAntennen 74

4.1 Ein zweidimensionalesFDTD–VerfahrenzurBehandlungrotati-onssymmetrischerAntennen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.1 Das dreidimensionale rotationssymmetrischeFDTD–Schema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4.1.2 SeparationdesrotationssymmetrischenVerfahrens . . . . 77

4.2 Die DiskreteWellengleichungzurvereinfachtenBehandlungho-mogenerGebietein rotationssymmetrischenFeldproblemen. . . 81

4.2.1 HybrideVerbindungbeiderVerfahren . . . . . . . . . . . 82

4.3 DerperfekteAbsorberin rotationssymmetrischenFeldproblemen 82

4.3.1 Der kontinuierlicherotationssymmetrischeperfekteAb-sorber . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.3.2 Diskretisierung des rotationssymmetrischenperfektenAbsorbers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.3.3 Quantitative Untersuchungdes rotationssymmetrischenperfektenAbsorbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

4.4 StabilitatundDispersiondesrotationssymmetrischenVerfahrens 90

4.5 AnregungundAuskopplungim Sendebetrieb. . . . . . . . . . . 90

4.5.1 Anregungfur koaxialgespeisteAntennen . . . . . . . . . 91

4.5.2 AnregungbeidrahtgespeistenAntennen. . . . . . . . . . 93

4.5.3 Die Nahfeld–zu–Fernfeldtransformation. . . . . . . . . . 96

4.6 AnregungundAuskopplungim Empfangsbetrieb. . . . . . . . . 98

vi INHALTSVERZEICHNIS

5 Anwendungsaspekteund Simulationsergebnisse 1005.1 SimulationrotationssymmetrischerAntennen. . . . . . . . . . . 100

5.1.1 EineDisconeantennefur das1800MHz–Band . . . . . . 1005.1.2 Eine koaxial gespeisteMonopolantennefur Frequenzen

von800bis1200MHz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.1.3 DipolantennenzurVerifikationderEmpfangssimulation . 111

5.2 Simulationenzur beispielhaftenBerechnungvon Kanalimpuls-antwortenin verschiedenenTestszenarien. . . . . . . . . . . . . 1155.2.1 GebaudedesIMST in Kamp–Lintfort . . . . . . . . . . . 1155.2.2 KorridoreinesaltenLaborgebaudes . . . . . . . . . . . . 123

5.3 AbschließendeBewertungderSimulationsergebnisse . . . . . . 123

6 Zusammenfassungund Ausblick 127

A Ein Stromentwicklungsverfahren fur Drahtantennen 129

Literatur verzeichnis 133

Verzeichnisder verwendetenFormelzeichen 137

Seitca.1980findeteinrasanterFortschrittin derMiniaturisierungelektronischerSchaltungendurchmonolithischeundhybrideIntegrationstatt[1]. Somitwird esimmerinteressanter, kostengunstigeminiaturisierteFunkgeratefur verschiedeneKommunikationszweckeauchin Gebaudeneinzusetzen.Zu erwahnensindhiervor allemmoderneFunktelefone.Im D–Netzmit Trager-frequenzenbei 900MHz undE–Netzbei 1800MHz arbeitenGerate,die meistmit Basisstationenaußerhalbdes Gebaudeskommunizieren.Zudem gibt essogenannteSchnurlos–Telefone,zum Beispiel nachdem DECT–Standardbei1800MHz mit gebaudeinternenBasisstationen.ZunehmendwerdenauchFunkstreckenzurDatenubertragungin Gebaudenein-gesetzt.NebenmobilerindustriellerDatenerfassungundRobotersteuerungsindhier auchAnwendungenin privatenHaushaltenzu nennen,beispielsweisedieFernablesungvon Heizkostenzahlern.WegengeringerDatenratekannmanhierauf niedrige Frequenzen,z. B. um 400 MHz zuruckgreifen.Außerdement-wickelt man”wirelessLANs”, drahtloseComputernetzwerke,die aufgrunddererforderlichenBandbreitebeihohenFrequenzen,z. B. 17GHzarbeiten.Funkubertragungin Gebaudenist keineswegsunkritisch.Nebengewollten undunbeabsichtigtenelektromagnetischenEmissionenstort vor allem die Streu-ung des elektromagnetischenFeldesan verschiedenartigenObjekten,die inGebaudenundderenUmgebungin hoherDichtevorhandensind.

Aussage1.1 GuteAusnutzunggebaudeinternerFunkubertragungsstreckener-fordert aufgrund kritischer Ausbreitungsbedingungen infolge zeitvarianterStreuungderFunkwellenanverschiedenartigenObjektengenaueUntersuchun-gen.! "#%$&'()*+-,.)/ 01'/2435+'/'(76 Zur Beschreibung von Funkubertragungsstrecken benutztman Kanalmodelle.Esist zweckmaßig,die AntennendemFunkkanalzuzurechnenunddie Schnitt-stellendesKanalmodellsin Form von Eingangs–und Ausgangsgroßenanden

1

2 1. VORBETRACHTUNGEN ZU INHAUS–KANALMODELLEN

genauzudefinierendenAntennenanschlussenzuwahlen.Bild 1.1zeigtschema-tisch denFunkkanalmit n voneinanderunabhangigenFunkgeratenG1 bis Gn,die jeweilseineAntennebesitzen.Eswird zunachstnichtzwischenSendernundEmpfangernunterschieden.MathematischlaßtsichdieserFunkkanalsehrallge-

G1

Gn

G2

G3

G4

G5

G6

y18 t 9x18 t 9y58 t 9

x58 t 9

x38 t 9 y38 t 9x28 t 9

y28 t 9

xn8 t 9yn8 t 9y68 t 9

x68 t 9

x48 t 9 y4 8 t 9Funkkanal

Bild 1.1.DerFunkkanalmit Systemumgebung.

meindurcheinenOperator: : ;1<>= < n ? = ;1<>= < n ? beschreibenmit

y ; t ?%@ :A; x ; t ?B?DC(1.2.1)

DerEingangsvektorx ; t ? undderAusgangsvektory ; t ? sindzeitabhangigeSpal-tenvektorenmit denKomponentenx E bzw. y E , FHGJI 1 K 2 K 3 C!C n L .Da die auftretendenelektrischenundmagnetischenFeldstarkensehrklein sind,kannder Kanalals linearangesehenwerden.UnterVoraussetzungvon Kausa-

1.2. SUBSTANZ UND NUTZEN LINEARER FUNKKANALMODELLE 3

lit atwird soallgemein :M; x ; t ?B?N@ ∞O0

h ; t KBP ? x ; t QMP ? d P C(1.2.2)

Die Impulsantwort desnunmehrlinearenzeitvariantenvektorwertigenKanal-modellsstellth ; t KBP ? : < 2 = < n R n dar.

Aussage1.2 Unter einem idealen linearen zeitvariantenKanalmodell wirdeine vektorwertige lineare Abbildung eines zeitabhangigen Eingangsvektorsauf einen zeitabhangigen Ausgangsvektorverstanden,die den realen Funk-kanal genauund deterministisch beschreibt. Es ist durch seinematrixwertigezeitabhangigeImpulsantwortvollstandigdefiniert.

Das Modell ist allgemeiner, als es zunachsterscheint.So lassensich zur Be-handlungvon Geratenmit mehrals einerKoppelstellezum FunkfeldmehrereEingangsund/oderAusgangsgroßenzusammenfassen.

HaufigwerdenKanalmodelledefiniert,dieadditiveStorungenn ; t ? zulassen[2].Die Storungenkonnenhier als Funkgerat Gs aufgefaßt werden,welchesfurdie Kanaleingangsgroßexs ; t ? = n ; t ? sorgt, die ggf. eineRealisierungeinesZu-fallsprozessesseinkann.

ObigesKanalmodellfindet Verwendungbeispielhafterund konkreterArt. DasZiel konkreterVerwendungist es,dieFunkubertragungin wirklichenGebaudengenauzubeschreiben.Diesist vor allembeiderInstallationsplanungvonFunk-anlagenvon praktischemNutzen.Will mandasKanalmodelljedochim Zugeder Entwicklungvon Funkgeraten(Hochfrequenzteilund Software)heranzie-henoderallgemeinUbertragungsverfahrenentwickelnundtesten,sogenugtes,ein Kanalmodellfur ein hypothetischesGebaudezu verwenden,welchesbei-spielhaftausgewahltwird.

Aussage1.3 Konkrete Verwendungerfordert Kanalmodellefur wirkliche Ge-baude. Zur beispielhaftenVerwendunggenugen manuell oder zufallig aus-gewahlte, hypothetischeKanalmodelle.

BisherwurdenichtdieGewinnungdesKanalmodells,d. h. dieBestimmungderKanalimpulsantwort h ; t KBP ? beschrieben.

Aussage1.4 Die GewinnungvonidealenzeitvariantenkonkretenKanalmodell-enist einnichtkausalerVorgang.


Dies ist ein prinzipiellesProblembei der Vorhersagevon Kanaleigenschaften,dasvonderZeitvarianzdesFunkkanalsherruhrt.

Bei derBerechnungkonkreterKanalimpulsantwortentretenweitereprinzipielleSchwierigkeitenauf, da Geometrieund Materialzusammensetzungder Streueroft nicht genaugenugbekanntsind und sich fur verborgeneStrukturen(z. B.Stahlkonstruktionenin Betondecken,FeinstrukturvonMenschen)auchnichter-mitteln lassen,ohnedieStrukturzuzerstoren.SUT V51 '(2XWY'/'(76 0% 4Z&'\[]1$1.3.1 Zeitinvariante Kanalmodelle

Das Problemvon Aussage1.4 umgehtman in der Praxis, indem der Kanalzunachstals zeitinvariantangesehenwird. Ihm wird einezeitinvarianteKanal-impulsantwort h ;^P ? zugeordnet.WegendergeringenGeschwindigkeit, mit dersichdie Funkgerateunddie Streuerim Gebaudebewegen1, fallt die damitver-bundeneVernachlassigungdesDopplereffektsnur in SonderfalleninsGewicht.

Benotigt manein zeitvariantesKanalmodell,z. B. zum TesteinesHandover–Verfahrens,ermittelt man zunachstfur verschiedeneBeispielkonfigurationenendlichviele zeitinvarianteKanalimpulsantworten.Dieselassensich zu einerzeitvariantenKanalimpulsantwort uberlagern,die Gewichte werdenbeispiels-weisemit einemzeitabhangigenZufallsverfahrenbestimmt.

Aussage1.5 Fur einenGroßteil der praktischenVerwendungszwecke genugenzeitinvarianteKanalmodelle, die fur verschiedeneBeispielkonfigurationenvor-liegen.

Fernerwird manGeometrieundMaterialeigenschaftenbeiderBerechnungvonKanalmodellenausGrundendesDatenbeschaffungs–undRechenaufwandsnursehrstarkvereinfachtberucksichtigenkonnen.VielfachwerdenObjekte(z. B.Mobel, Personen,Heizkorper, StreueraußerhalbdesGebaudes)einfach weg-gelassen.Die meistenBerechnungsverfahrenbenutzenaußerdemnur pauschaleodersehrstarkvereinfachteModellederFunkwellenausbreitung.

1Mit AusnahmeamGebaudevorbeifahrenderAutomobileoderZuge.Ein sichmit 50 km/h be-wegenderReflektorkannaufgrunddesDopplereffektseinemaximaleFrequenzverschiebungvonca.100Hz beieinerTragerfrequenzvon 1 GHzbewirken.

1.3. LINEARE KANALMODELLE IN DER PRAXIS 5

1.3.2 SkalareKanalmodelle

In derLiteraturwird selteneinmatrixwertigesKanalmodellbenutzt.MeistwirdeineskalarwertigeImpulsantwort h ; t KBP ? betrachtet[2, 3], die die Komponenteh_]` E ; t KBP ? der matrixwertigesKanalimpulsantwort h ; t KBP ? darstellt.DabeiwirdderEinflußallerFunkgerate(außerG_ undG E ) alsStreuervernachlassigt.

Aussage1.6 In der PraxiswerdenmeistFunkkanale mit zweiFunkgeraten,ei-nemSenderG E und einemEmpfanger G_ , und der skalaren Kanalimpulsant-wort h ; t KBP ? untersucht. DiesebildetnaherungsweisedasElementh_]` E ; t KBP ? dermatrixwertigenKanalimpulsantworth ; t KBP ? fur n Funkgerate.

Die Kanalimpulsantwort reagiertsehrempfindlichauf Anderungender Anten-nenstandorte(Fast Fading).Daherwird oft eine uber benachbarteAntennen-standortegemittelteKanalimpulsantwort angegeben.

1.3.3 Kanalmodelle im Basisband

Vielfachwird demKanaleinidealisierterHochfrequenzteildesSendersundEm-pfangers,bestehendauszwei idealenModulatorenund einemidealenTiefpaßnachBild 1.2 zugerechnet.Dann spricht man von einer Kanalimpulsantwort

ej a 0t

TP

e b j a 0t

hcedgf 8 t hi29 yc 8 t 9x f 8 t 9Bild 1.2.DerBasisbandkanal.

h ; t KBP ? im Basisbandmit demVektor der Eingangsgroßenx ; t ? und demAus-gangsvektory ; t ? . Mit derTiefpaßgrenzkreisfrequenzj g undderTragerkreisfre-quenzj 0 ist

h ; t KBP ?@ j gk ∞lm ∞si ;nj g ;oPpQrq ?B? h ; t QMPtsuqvKwq ? e m j x 0 y d q C(1.3.1)

Aussage1.7 Die Basisbandimpulsantworth ; t KBP ? ist komplexwertigundwegendesidealenTiefpassesnichtkausal.Ist die Impulsantwortzeitinvariant, so istauch dieBasisbandimpulsantwortzeitinvariant.


Fur Abschatzungenwird oft auchnurderBetragderFouriertransformiertenderzeitinvariantenBasisbandkanalimpulsantwort h ;nj ? fur j = 0 ermittelt [4, 5].Dies entsprichteinermonofrequentenBetrachtungund wird im folgendenalsEmpfangsstarkebezeichnet.

1.3.4 DiskreteKanalmodelle

Fur einfacheAnwendungszweckekannein diskretesKanalmodellVerwendungfinden[2, 6]. Hier bestehtdie Basisbandimpulsantwort auseinerAbfolge ge-wichteterDiracfunktionen.Der TiefpaßausBild 1.2besitztsomiteineunendli-cheGrenzfrequenz.Die diskreteKanalimpulsantwort ist

hd ; t KBP ?@ N

∑k z 0

αk ; t ? ej k | t \~ ;^P.QMP k ; t ?B? K(1.3.2)

wobeidie TeilfunktionenmeistalsdiskreteEchosinfolge einerMehrwegeaus-breitunginterpretiertwerden.SU &'(2 )/4X165Wp'('(65% 1 Im folgendenwerdenstetslinearezeitinvarianteskalareKanalmodellezugrundegelegt.

1.4.1 Messungen

Kanalimpulsantwortenkann man messen[6, 7]. Oft kommt ein relativ breit-bandigesMeßgerat zur Verwendung,dasuberHochfrequenzleitungenmit zweiMeßantennenverbundenist. Auch Anordnungenmit getrenntemSenderundEmpfangersindublichundbeigroßeremAntennenabstandnotwendig,dieSyn-chronisationist jedochaufwendig[6]. Bei Messungenwird oft mit homodynen,bandbegrenztenEmpfangernoperiert.Die Kanalimpulsantwortwird danndirektim Basisbandgemessenundangegeben.Zu beachtenist, daßdie Meßergebnissesehrstarkvom Meßaufbauabhangen,speziellvonArt, AufstellungundelektrischerAnbindungderverwendetenMeß-antennen.Auch die Antennenzuleitungenund die Aufstellung der Meßgeratesindhierzuberucksichtigen.Vom Meßkanalauf denFunkkanalzwischenz. B. HandtelefonundBasisstati-onzuschließenist problematisch.Fur großeprinzipielleGenauigkeit scheintestrotzhohemAufwandangemessen,denHochfrequenzteildesMeßgeratesin den

1.4. VERFAHREN ZUR GEWINNUNG VON KANALMODELLEN 7

Originalgeratenunterzubringenund mit demeigentlichenMeßgerat uberelek-tromagnetischunproblematischeLeitungen,beispielsweisedielektrischeLicht-wellenleiter, zukommunizieren.

1.4.2 EinfacheBerechnungsverfahren

Es gibt viele heuristischeBerechnungsverfahrenfur Funkkanale in Gebauden.Oft wird nurdieEmpfangsstarkeermittelt,entwederpauschal[8, Tabelle1] oderin Abhangigkeit derGebaudegeometrie[7], wobeieinfacheNaherungsformelnzugrundeliegen.

WandezwischenSenderund Empfangerwerdenin Pauschalmodellenz. B.durcheinenmaterialabhangigenEmpfangsstarkeverlustberucksichtigt,ebensoFreistreckendurcheinenlangenabhangigen.Prinzipiell wird hier zwischendersogenanntenLOS(Line of Sight)Situation,beiderdiedirekteVerbindungsliniezwischenSenderund Empfangerhindernisfreiist und der NLOS (non Line ofSight)Situationunterschieden,beiderdiesnichtderFall ist.

GenauereModelle berucksichtigendie GebaudegeometrieauchaußerhalbderdirektenVerbindungzwischenSenderund Empfanger, um beispielsweiseimNLOS–Fall bedeutsameBeugungseffekteanWandeckenmit zuerfassen[5].

1.4.3 StrahlenoptischeVerfahren (GO), UTD, GTD

GernwerdenzurBestimmungvonKanalimpulsantwortenstrahlenoptischeVer-fahren(GeometricalOptics)in Formder”Ray Launching”,”Ray Tracing”oderderverbesserten”Ray Splitting” Methode[3] verwendet.

Hier wird die elektromagnetischeWellenausbreitungmit Hilfe einer Fern-feldnaherungvereinfacht,sodaßeinStrahlalsReprasentanteinesWellenpaketesangesehenwerdenkann.DieseStrahlenkonnenuberverschiedeneMechanis-menmiteinanderin Wechselwirkungtreten.Berucksichtigungin FormderFres-nelschenFormel[9] findenzunachstReflexion undTransmissionderStrahlenanendlichdicken,ebenendielektrischenHindernissen.Meist werdendie Reflexi-onseigenschaftenderStreuerbei Bandmittenfrequenzberechnet,wasalsgrobeNaherungangesehenwerdenmuß,wennKanalimpulsantwortenim Zeitbereichzuermittelnsind.

Sollenfur aufwendigereSimulationenBeugungseffektemitberucksichtigtwer-den,bedientmansich der in der UTD (UniversalTheoryof Dif fraction) bzw.GTD (GeometricalTheory of Dif fraction) ausgearbeitetenAnsatze fur dieWechselwirkung optischerStrahlenin speziellenAnordnungen(dielektrische


Keile, Offnungenetc.) [10]. Auch rauheOberflachenkonnenmit einbezogenwerden[3].BerechnungendieserArt liefernentwederEmpfangsstarken[11] oderaberkom-pletteKanalmodelle[3], meistzeitdiskreteModellenach(1.3.2).Um denSimulationsaufwandin Grenzenzuhalten,werdenbeiderStrahlverfol-gungdie StreuermeistalsunendlichdunneBlecheangesehen.Da Beugungsef-fekteviele zusatzlicheStrahlenerzeugen,fließensieoft nur bei wenigenStreu-ernin dieBerechnungenein [3].DieMoblierungderGebaudewird meistvernachlassigt,ebensodieinnereStruk-tur von Stahlbetonkonstruktionen.Mit diesenVereinfachungenlassensich mitheutigenComputerndreidimensionaleSimulationenderFunkwellenausbreitungin Gebaudendurchfuhren[11].

Aussage1.8 StrahlenoptischeVerfahrenfur dieFunkkanalsimulationin Gebau-densindweitverbreitet.AufgrunddervereinfachtenBehandlungdeselektroma-gnetischenFeldes,sindsieangebracht,wenndieAbmessungenderStreuergroßgegenuberderFreiraumwellenlangebeiTragerfrequenzsind.Siesinddahernurfur hoheFrequenzengeeignet.

SollenauchStreuermit kleinstenAbmessungenvonz.B. einemMeter(Fenster,Turenusw.) ohneaufwendigeBerucksichtigungvon Beugungseffektenbehan-deltwerden,soist diesabeinerTragerfrequenzvonca.5 GHzohnegroßeFeh-ler moglich.Fur dieseUberschlagsrechnungwurdegefordert,daßeineinMeterlanger, homogenerStromfaden90% derStrahlungsleistungin einemWinkelbe-reichvon5 konzentriert.

1.4.4 Feldorientierte Berechnungsverfahren

FeldorientierteBerechnungsverfahrenfur die Kanalimpulsantwort gehenvonderMaxwellschenTheorieaus[12,13, 14]. ZursimulationstechnischenBehand-lung werdendie MaxwellschenGleichungenim Zeit– oder Frequenzbereichaufgestellt,diskretisiertund dannnumerischausgewertet.Hierfur gibt esver-schiedeneStandardverfahren(Stromentwicklungsmethodenwie dasRandinte-gralverfahren[15], Reihenentwicklungsverfahren,etc.),diejedochbisherfur dieSimulationvon Funkkanalenin GebaudenkaumzumTragenkommen.Haupt-grundist,daßdieSimulationelektrischgroßerStrukturenmit einerMaximalaus-dehnungvon beispielsweise100 Freiraumwellenlangenoft mit einemdie Lei-stungsfahigkeit verfugbarerComputerum GroßenordnungenuberschreitendenRechenaufwandverbundenist.

1.5. ZIELSETZUNG UND UBERSICHT UBER DIE VORLIEGENDE ARBEIT 9

Einzig Zeitbereichsmethoden,speziell dasVerfahrender Finiten Differenzenim Zeitbereich(FDTD), habensich bereits in begrenztemUmfang etabliert[16, 17,18, 19].DasVerfahrenist erstmals1966in [20] beschriebenwordenundhataufgrundderexplosionsartigenEntwicklungderComputerleistungin letzterZeit immermehrVerwendunggefunden.Diesvor allemdort,wo esumdieBe-rechnungelektrischkleinerHochfrequenzbauelementeim Mikro– undMillime-terwellenbereichgeht[21, 22]. Auch im Mobilfunkbereichfindet esInteresse,speziellfur Antennenanalysen[23].

Im Gegensatzzu denobenangefuhrtenstrahlenoptischenMethoden,ist die er-reichbareGenauigkeitbeifeldorientiertenVerfahrenzunachstfrequenzunabhan-gig. Da derBerechnungsaufwandjedochmit derTragerfrequenzstarkansteigt,bei denin dieserArbeit untersuchtenVerfahrenmit j 3

0 bis j 40, sinddieseMe-

thodenzurZeit nur fur niedrigeFrequenzenanwendbar.! 1$ 1)/+ #% &$\ +# 4%61 / %Y&#% Der Aufbereitungund AnwendungdesVerfahrensder Finiten DifferenzenimZeitbereichzum Zweck der BerechnunglinearerzeitinvarianterFunkkanalim-pulsantwortenin Gebaudenist die vorliegendeArbeit gewidmet.Hauptintenti-on ist dabei,denweit verbreitetenstrahlenoptischenBerechnungsverfahreneineweitereErkenntnisquellegegenuberzustellen.

In Kapitel2.5wird zunachstdasProblemderBerechnungzeitinvarianterKanal-impulsantwortenauf derEbenederelektromagnetischenWellenfelderbetrach-tetunddort zergliedert,wobeidieAntennenberechnungvonderWellenausbrei-tungssimulationabgespaltenwird.

Dasso entstandeneWellenausbreitungsproblemwird in Kapitel 3 diskretisiert,dernumerischenBerechnungderAntenneneigenschaftenwidmetsichKapitel4.Fur beideProblemewird je ein hybridesZeitbereichsverfahrenvorgestellt,dasDiskontinuitatenmit Standardverfahrenbehandelt,homogeneGebieteabermiteinemeffektiverenAlgorithmusbearbeitet.

Kapitel5 beschaftigt sichmit Anwendungsaspekten.KoaxialgespeisteBeispiel-antennenwerdenin Bezugauf denEingangsreflexionsfaktorunddie Abstrahl-charakteristikuntersucht,die berechnetenWertewerdenmit Messungenvergli-chen.Funkkanalimpulsantwortenin zwei Testgebaudenwerdenbei 1800MHzermitteltundgemessenengegenubergestellt.

EingenauesVerfahren,dasdemStandderSimulationstechnikin vollemUmfangentspricht,wird ebensoentwickelt wie eineschnellere,vereinfachteVersion.FurpraktischeAnwendungenkommt dasvorgestellteVerfahrenaufgrundgeringer


Rechenzeitendurchausin Frage,die vereinfachteVersionist in Bezugauf dieRechenzeitvielenRay–TracingProgrammensogar uberlegen.Die in dieserArbeit vorgestelltenVerfahrensindmomentanbis ca.3 GHz vollnutzbar, beihoherenFrequenzenkannmanertraglicheRechenzeitenmit verrin-gerterGenauigkeit durchgrobereDiskretisierungerreichen.Halt jedochdieder-zeitigeLeistungsexplosionin der Computertechnikerwartungsgemaßan,wer-den feldorientierteVerfahrenwie die hier vorgestelltenzur BerechnungvonFunkkanalenin Gebaudenimmerattraktiverwerden.

Prinzipiell sind moderneZeitbereichsmethodenzur Losungder MaxwellschenGleichungenmachtiggenug,umauseinergegebenenraumlichenVerteilungderPermittivitat , der Permeabilitat , der elektrischenLeitfahigkeit1 und dermagnetischenLeitfahigkeit , die die AntennensamtGebaudeumgebung be-schreiben,eineFunkkanalimpulsantwort direkt zu bestimmen.Wie in Kapitel3beschrieben,mußhierzudaselektromagnetischeFeldraumlichundzeitlichdis-kretisiert werden.Daherist der Rechenaufwand in ersterNaherungabhangigvomVerhaltnisv dergroßtenAusdehnungdessimuliertenGebaudes,beispiels-weiseL @ 30m,zurZellgroßedesVerfahrens,z.B. l @ 0,2mm(umauchdieAn-tennenzuleitungennochgut auflosenzu konnen).Bei dreidimensionalerRech-nungmussenmaximalv3 Zellenim Computerspeichergehaltenundverarbeitetwerden,hieralsoca.3 1015 Elemente.Diesistmit heutigenComputernschlicht-weg unmoglich.

Der UmgehungdiesesProblemsist dasvorliegendeKapitel gewidmet. In Ab-schnitt 2.2 wird zunachstdie fur sich genommenmachbareAntennensimula-tion abgespalten,um die Zellgroßeauf z. B. 1/10 der Tragerwellenlange 0

heraufsetzenzu konnen.Trotzdemkanndasso entstandeneAusbreitungspro-blemheutzutagemit erschwinglichenComputernnicht dreidimensionalbehan-delt werden,daherbeschaftigt sich Abschnitt 2.3 mit zweidimensionalenBe-rechnungsmoglichkeiten fur Wellenfelderin dreidimensionalenGebauden.InAbschnitt2.4 wird danndie vollstandigeEntkoppelbarkeit von Antennen–undAusbreitungsproblemuntersucht. v 1^1650%$¢¡^+'($¤£3%¥6# $Das Inhaus–Feldproblemdient der feldorientiertenErmittlung eineslinearenzeitinvariantenskalarenFunkkanalmodellsnachAbschnitt1.3.

1EndlicheLeitfahigkeitendienenhier derBeschreibungdielektrischerVerluste.Will manauchmetallischeVerluste(Skineffekt) direkt mit einbeziehen,sosteigtderAufwandnochmalsum vieleGroßenordnungen.

11

12 2. VEREINFACHUNG UND ZERGLIEDERUNG DES INHAUS–FELDPROBLEMS

DasFeldbefindetsichin einemdurchdieraumlicheVerteilungderPermittivitat; x ? , derPermeabliltat -; x ? , derelektrischenLeitfahigkeit ; x ? unddermagne-tischenLeitfahigkeit ¦; x ? beschriebenenGebaude.MetallischeGegenstande,insbesonderedie Sende–und die Empfangsantenne,besitzeneine unendlichgroßeelektrischeLeitfahigkeit.

Die Eingangsgroßex ; t ? desskalarenFunkkanalswird mit der Spannungsam-plitudederhinlaufendenWelle in derSendeantennenzuleitungidentifiziert,dieAusgangsgroßey ; t ? mit derSpannungsamplitudederauslaufendenWelle in derEmpfangsantennenzuleitung.Die Referenzebenewird an dasantennenseitigeEndederjeweiligenLeitunggelegt.Die zeitlicheFouriertransformierteh ;j ? derKanalimpulsantworth ;^P ? entsprichtdamitdemausderHochfrequenztechnikalsTransmissionsfaktorbekanntenStreuparameterS21 ;nj ? .Eswird im folgendeneinkartesischesKoordinatensystemx @ ; x K yK z? T zugrundegelegt,dessenz–Richtungnachoben(senkrechtzurErdoberflache)orientiertist. U §/1 &¨% $©3v %¥65#% $© . £ª+«t$#%21¬^+/$¥65#% Die aufdenMetallflachenderAntennenvorhandeneFlachenstromdichteJf ; x K t ?kann als Quelle deselektromagnetischenFeldesaufgefaßt werden.Sie stelltgleichzeitigdie Ersatzquellefur die Metallgebietedar[14, Abschnitt1.13].DieErsatzanordnungfur die Metallgebietesinddannluftgefullte Gebietemit einerErsatzflachenstromdichteaufdemRand.

Aussage2.1 Sindin unmittelbarerNahederAntennenkeineStreuervorhanden,sogilt in guterNaherung:

1. Die Ersatzflachenstromdichte Jf ` s ; x K t ? der Sendeantenneist bei un-veranderter Eingangsgroße x ; t ? identisch mit der FlachenstromdichteJf ` s 0 ; x K t ? aufderselbenAntenneim Vakuum.

2. Die Ersatzflachenstromdichte Jf ` e ; x K t ? der Empfangsantenneist bei un-verandertemPrimarfeld Fp ; x K t ? identisch mit der FlachenstromdichteJf ` e 0 ; x K t ? aufderselbenAntenneim Vakuum.

3. Die Ausgangsgroßey ; t ? ist bei gleicher FlachenstromdichteJf ` e ; x K t ? aufder Empfangsantenneidentisch mit der Ausgangsgroßey0 ; t ? derselbenAntenneim Vakuum.

2.2. ZERGLIEDERUNG DES FELDPROBLEMS 13

DasPrimarfeld Fp ; x K t ?4@ ETp ; x K t ? K HT

p ; x K t ?o® T ist dabeijeneselektromagneti-scheFeld, welchessich ohneVorhandenseinder Empfangsantenneeinstellenwurde.Es uberlagertsich mit demvon der ErsatzflachenstromdichteJf ` e ; x K t ?derEmpfangsantenneerzeugtenSekundarfeldFs ; x K t ? zueinemGesamtfeld

F ; x K t ?N@ Fp ; x K t ? s Fs ; x K t ? K(2.2.1)

welchesdieRandbedingungenaufderEmpfangsantenneim Vakuumerfullt.

DasGesamtfeldgenugtdenMaxwellschenGleichungen,wenndie Einzelfelderdiestun.Die Randbedingungenin FormverschwindenderTangentialkomponen-ten der elektrischenFeldstarke auf denAntennenwerdennur naherungsweiseerfullt. Speziellwerdenin Aussage2.1WirkungennachBild 2.1vernachlaßigt.Dort sindWirkungenvon Flachenstromdichtenauf tangentialeelektrischeFel-derandenAntennenoberflachendurchPfeilewiedergegeben.GestricheltePfeileentsprechenvernachlassigtenWirkungen.

Empfangsantenne

Streuer

Sendeantenne

Bild 2.1.WirkungenvonFlachenstromdichtenauftangentialeelektrischeFelderandenAntennenoberflachen.

Damit laßt sich die Ermittlung der Ausgangsgroßey ; t ? wie folgt sequentiellgestalten.


Simulation der Sendeantenneim Vakuum: Eingangssignalist x ; t ? . EswirddieErsatzflachenstromdichteJf ` s ; x K t ? derSendeantenneermittelt.

Ausbreitungssimulation: AusderErsatzflachenstromdichteJf ` s ; x K t ? derSen-deantennewird dasPrimarfeldFp ; x K t ? in derUmgebungderEmpfangsantenneberechnet.

Simulation der Empfangsantenneim Vakuum: Das bestimmtePrimar-feld in der Umgebung der Empfangsantennewird in die Ausgangsgroßey ; t ?uberfuhrt. UT 2 1'(¯+% $Yt$#%21^+/$¥65#% 7$t)(+° '(%1 )±²1 +'(#%1$165'( 0V 65$/$¤ §'(+2Sollensich in einemGebaudeelektromagnetischeWellen nur in zwei Raum-richtungen,hier in der ; x K y? –Ebene,ausbreiten,sobietetsichdasHerausgreifeneinesStockwerksin folgenderArt an:

Aussage2.2 Das Stockwerkwird als unendlich hoch angesehen.Hangen fer-ner die Materialeigenschaftender Streuer nicht von der z–Koordinate ab, solaßt sich dasdreidimensionaleelektromagnetischeFeld nach Wanderwelleninz–Richtungentwickeln.Mit diesemAnsatzkanndiez–Abhangigkeit deselektro-magnetischenFeldesabsepariertwerden,dasRestproblemist zweidimensional.

Bild 2.2 illustriert den in Aussage2.2 umrissenenSachverhalt.Die NaherungdesunendlichhohenStockwerksist auchbei der zweidimensionalenRay Tra-cing Methodegebrauchlich[3]. Betrachtetmannur solcheAntennen,die nichtdirektnachobenoderuntenabstrahlen,bleibtderFehlermeistgering.DerWan-derwellenansatzist

Fp ; x K t ?N@ ∞Om ∞

Fp ; x K yK kz K t ? e m jkzzdkz K(2.3.1)

wobei sich die SpektralanteileFp ; x K yK kz K t ? fur verschiedenetransversaleWel-lenzahlenkz unabhangigvoneinanderberechnenlassen.Im monofrequentenFallentsprichtdie transversaleWellenzahlkz der Wellenausbreitungunter einemWinkel ³ @ arccoskz

k0gegendie Vertikale(bei ³ @ 0 breitetsichdieWellenach

obenaus),mit derFreiraumwellenzahlk0@ x

c0.

Fur jedenWert der transversalenWellenzahlkz ist eineseparateSimulationer-forderlich,zurexaktenAuswertungvon(2.3.1)alsounendlichviele.Somitmuß

2.3. VEREINFACHUNG DES AUSBREITUNGSPROBLEMS 15

SendeantenneJf ` s ; x K t ?Luftbereich 0 K¤ 0

z @ 0

StreuerK¤K z @ zd

Decke

Boden

z

y

x

Bild 2.2. ZweidimensionalesGebaudein GestalteinesvereinfachtenStock-werks.

die Integrationin (2.3.1)durcheinegeeigneteSummegenahertwerden.Dannist

Fp ; x K t ?N@ n

∑i z m n

Fp ; x K yK kz ` i K t ? e m jkz d i z ´kz d i K(2.3.2)

wobei die Diskretisierungnichtaquidistanterfolgenkann.Die Summeist end-lich, daFeldanteilemit µ kz µ¶ k0 nichtausbreitungsfahigsind.Der Wanderwellenansatzfuhrt zu komplexwertigenelektromagnetischenFeld-gleichungenim Zeitbereich.Um dendamit verbundenenSimulationsmehrauf-wandzu vermeiden,werdenbeiderAusbreitungssimulationStehwellen

Fps ; x K kz K t ?%@ Fp ; x K yK kz K t ? sin; kzz? fur Hz K Ex K Ey

cos; kzz? fur Ez K Hx K Hy(2.3.3)

angesetzt.Aus zwei StehwellengleichertransversalerWellenzahlkz laßtsichnach

Fp ; x K kz K t ? @ Fps ; x K kz K t ?· j Fps ; x s k2kz

ez K kz K t ?@ Fp ; x K yK kz K t ? sin; kzz? s j sin; k¸ 2 s kzz?>@ j em jkzz

cos; kzz? s j cos; k¸ 2 s kzz?@ em jkzz(2.3.4)


unmittelbareineWanderwelleuberlagern.Im folgendenwird Fps ; x K kz K t ? als Mode zur transversalenWellenzahlkz be-zeichnet. U 65¥¥t65¹Y £*°t$#%21^+/$¥65#% Fur die Ausbreitungssimulationmußdie Ersatzflachenstromdichteder Sende-antennebekanntsein.Daherist dasAusbreitungsproblemzunachstantennen-abhangig. Zudem wird zur Simulation der Empfangsantennedas PrimarfeldFp ; x K t ? benotigt, damit ist die Empfangsantennensimulationabhangigvon derAusbreitungssimulation.

2.4.1 Ermittlung einesaquivalentenStromfadensfur die Sendeantenne

Aussage2.3 Ist die Sendeantennedurch einenkonzentriertenStromfadenderStromstarke is ; zK t ? langseiner einzigen, in z–Richtung ausgedehntenStreckeersetzbar, solaßtsich daszweidimensionaleAusbreitungsproblemantennenun-abhangigformulieren.

RotationssymmetrischeAntennen,derenSymmetrieachsein z–Richtungliegt,lassensichin guterNaherungdurcheinensolchenaquivalentenStromfadener-setzen.DerStromfadenerzeugtim VakuumdasgleicheFernfeldwie dieAnten-ne.DerartigeAntennen,wie Dipol– undDisconeantenne,werdenin derFunk-kanalmeßtechnikoft eingesetzt.KonzentrierteErsatzstromstarkenfur Draht–DipolantennensindausderLitera-tur bekannt[24]. Im folgendenwird unterVerwendungdesFernfeldsein aqui-valenterStromfadenfur allgemeineAntennenhergeleitet.Ein konzentrierterStromfadender Stromstarke i ; zK¤j ? in Richtungder positivenz–Achseerzeugtim VakuumeinelektromagnetischesFeldmit demmagnetischenVektorpotenti-al

Av ; x K¤j ?@ ez

4 k ∞Om ∞

i ; zº1Koj ? e m jk0 » r »µ r µ dzº C(2.4.1)

EineFernfeldnaherungliefert in Kugelkoordinatenx @ ; r K2³/K α ? T fur dasmagne-tischeFeld

Hf ; x Koj ?@ j k0sin ³4 k e

m jk0 r

r

∞Om ∞

i ; zº¼K¤j ? ejkzz½ dzº eα(2.4.2)

2.4. ENTKOPPLUNG VON ANTENNEN– UND AUSBREITUNGSPROBLEM 17

mit dertransversalenWellenzahlkz@ k0 cos³ .

Aussage2.4 In dasFernfeldgeht die Ortsabhangigkeit der erzeugendenkon-zentriertenStromstarke nur uber die Fouriertransformierteder Stromstarkei ; zK¤j ? in denSpektralbereich mit der Wellenzahlkz

@ k0 cos³ ein. Im Fernfeldmachensich dabeinur Spektralanteilemit transversalenWellenzahlenµ kz µ¿¾ k0

bemerkbar, Anteilemit großerenWellenzahlenstrahlennicht ab.

Aussage2.4kanngenutztwerden,umandersherumeinerAntennemit demFern-feld Hf ; x Koj ? einenaquivalentenStromfadender Stromstarke is ; zKoj ? zuzuord-nen.Dazudefiniertmanzunachst

is ; kz Koj ? @ Hf ` α ; x Koj ?jk0

sin ³2

em jk0 r

r@ 2j

Hf ` α ; x Koj ?k2

0 Q k2z

r

em jk0 r

C(2.4.3)

DurchFouriertransformationergibt sichdiegewunschteErsatzstromstarke

is ; zK¤j ?@ k0Om k0

is ; kz Koj ? e m j kzz½ dkzC(2.4.4)

Aussage2.5 Der aquivalenteStromfaden,der sich ausdemFernfeldder Sen-deantenneim Vakuumergibt, kannfur die Ausbreitungssimulationdirekt in derbandbegrenztenSpektralbereichsdarstellungverwendetwerden.Mußer z.B. fureinedreidimensionaleAusbreitungssimulationjedoch im Ortsbereich formuliertwerden,so ist er dort wegen der Bandbegrenzungim Spektralbereich zu lang.Abhilfeschafft die stetigdifferenzierbare Fortsetzungder Ersatzstromstarke imSpektralbereich, dienach Aussage2.4dasmeßbareFernfeldunberuhrt laßt.

DerErsatzstromim Spektralbereichis ; kz Koj ? wird dazubei µ kz µ¶ k0 durchPoly-nomeersterOrdnungstetigdifferenzierbarfortgesetzt.Multiplikation der fort-gesetztenFunktionmit derFensterfunktion

fe ; kz? @ ÀÁÂ ÁÃ

1 K2µ kz µ§GÅÄ 0 K k0 Æcos2 ÇÉÈ2C

Ç » kz »k0Q 1ÊNÊ4K2µ kz µ§G Æ k0 K k0 ; C s 1? Æ

0 K sonst

(2.4.5)


fuhrt zu sanftemAbklingen im Spektralbereich.Die spektraleErweiterungChatsichmit C @ 5 alspraktischbrauchbarerwiesen,dasIntegrationsintervall furdasnumerischauszuwertendeIntegral in (2.4.4)ist dannmit Æ Q 6k0 K 6k0 Ä nochhinreichendklein.Diagramm2.1zeigtdazudie ausdemFernfeldeiner8 cm langenDrahtantennemit kosinusformigerStromverteilungmit einemMaximalwertvon1 A ermittelteortsabhangigeErsatzstromstarke bei f @ 1 K 8 GHz.SetztmanalsSchnittgrenzeeineStromstarke von1 mA an,soist die ErsatzdrahtantenneohnespektraleEr-weiterung(C @ 0) viel langerals 2 m. Bei C @ 5 ist sie ca. 30 cm lang, derVerlaufderErsatzstromstarke kommtdanndemderOriginalstromstarke schonsehrnahe.

2.4. ENTKOPPLUNG VON ANTENNEN– UND AUSBREITUNGSPROBLEM 19

10 Ë 2 10 Ë 1 1002 3 5 2 3 5

Positionz in m Ì Í10 Ë 7

10 Ë 6

10 Ë 5

10 Ë 4

10 Ë 3

10 Ë 2

10 Ë 1

10 0

Bet

ragd

erS

trom

st ark

ein

A

ÎÏC Ð 0C Ð 1C Ð 5Originalverteilung

Diagramm 2.1.BetragderausdemFernfeldermitteltenortsabhangigenErsatz-stromstarke einer8 cm langenDrahtantennemit kosinusformigerStromvertei-lung bei f @ 1800MHz. Parameterist derspektraleErweiterungsfaktorC. DieVerteilungist achsensymmetrischzu z @ 0, dasDiagrammzeigt nur denTeilz ¶ 0.


2.4.2 Abkopplung der Empfangsantenne

Aussage2.6 Bei rotationssymmetrischenAntennen,derenAchsein z–Richtungliegt, ist dasAusgangssignalim Empfangsbetriebnur von der z–KomponentedeselektrischenPrimarfeldesEp ` z ; x K t ? aufderAntennenachseabhangig.

Zur Herleitung eines Ausdrucksfur das Ausgangssignalswird das als rei-nes WanderwellenfeldangenommenemonofrequenteelektrischePrimarfeldEp ; x K yK kz Koj ? im Spektralbereichnach ebenenWellen mit unterschiedlichemEinfallswinkel Ñ gemaß

Ep ; x K yK kz Koj ?@ ÈOm È w ;BÑ¦K kz Koj ? d Ò E Ò z 0em jk | Ò ` kz | x m xe d Ñ(2.4.6)

entwickelt, wobeixe derOrtsvektorderEmpfangsantennenmitteist.2 Die Dreh-matrix ist

d Ò @ ÓÔ cos;BÑ ? Q sin;BÑ ? 0sin;BÑ ? cos;BÑ ? 0

0 0 1

ÕÖ K(2.4.7)

und der elektrischeFeldvektor ist E Ò z 0@ ;^Q cos;×³ ? K 0 K sin;×³ ?B? , wobei ³ @

arccos; kz¸ k0

? gilt.Die AntennereagierenunaufeineebeneWelle

E Ò z 0 ; x K yK kz K¤j ?@ E Ò z 0em jk | Ò z 0 ` kz | x m xe (2.4.8)

mit einemAusgangssignaly Ò z 0 ; kz K¤j ? . Da die Antenneaufgrundder Rotati-onssymmetrieWellenanteile,dieunterverschiedenenWinkeln Ñ einfallennichtunterscheidenkann,ist dergesamteSpektralanteildesAusgangssignals

y ; kz Koj ?@ y Ò z 0 ; kz Koj ? ÈOm È w ;×ÑK kz Koj ? d Ñ C(2.4.9)

Auf derAntennenachseistaberdiez–KomponentedeselektrischenPrimarfeldes

Ep ` z ; kz Koj ?@ ÈOm È w ;BÑ¦K kz Koj ? sin;×³ ? d Ñ(2.4.10)

2EssindnurdieFeldanteileenthalten,fur diedie Empfangsantenneempfindlichist.

2.5. GESAMTKONZEPT DER BERECHNUNG DER KANALIMPULSANTWORT 21

undso

y ; kz Koj ?@ y Ò z 0 ; kz K¤j ? Ep ` z ; kz K¤j ?sin;Ø³ ? C(2.4.11)

DasAusgangssignalder rotationssymmetrischenEmpfangsantennehangtalsonurvonderz–KomponentedeselektrischenPrimarfeldesaufderAntennenachseab.

Die Empfangsantennensimulationist damitvonderAusbreitungssimulationab-gekoppelt,denny Ò z 0 ; kz Koj ? kannunabhangigvomAusbreitungsproblemermit-telt werden. v! X $'(^6)/ ¥Ù% %65& ^1 §Å 2\Ú% XWY'('/11¬¥$&'/1²65&1 +%1¯+65 0"/65¯ ²DasZusammenfugender Ergebnissevon Antennen–und Ausbreitungssimula-tion geschiehtzweckmaßigim Frequenz–undSpektralbereich.

Zunachstwird hiernocheinmaldasAblaufschemafur dieentkoppeltenSimula-tionenzusammengefaßt.

Simulation der Sendeantenneim Vakuum: Mit beliebiger hinlaufenderWellein derAntennenzuleitungwird dieUbertragungsfunktionhx ; kz Koj ? fur denaquivalentenStromfadenbestimmt.DazuisteineeinzigeZeitbereichssimulationerforderlich.

Ausbreitungssimulation: Mit beliebigem,konzentriertemStromfadenanderSendeantennenpositionwird die Ausbreitungssimulationangeregt. JeStutzstel-le von kz ist eineSimulationerforderlich.Es ergibt sich die modaleUbertra-gungsfunktionhp ; kz Koj ? fur die z–Komponenteder elektrischenFeldstarke amEmpfangsstandort.

Simulation der Empfangsantenneim Vakuum: Die Empfangsantennewirdmit einerebenenWelle als Primarfeld angeregt. JeEinfallswinkel der ebenenWelle ist eineSimulationerforderlich.Die Ubertragungsfunktionfur dieauslau-fendeWelle in derAntennenleitungist hy ; kz Koj ? .Die Zeitbereichssimulationenliefern zunachstZeitreihenfur die jeweiligenEr-gebniswerte.Da die Anregungszeitfunktionjedochvorgegebenwird, laßtsichmit derdiskretenFouriertransformationproblemlosdie jeweils benotigteUber-tragungsfunktionim Frequenzbereichbestimmen.


Insgesamtgilt dannfur dieFouriertransformierte

h ;nj ?%@ ∞Om ∞

h ;^P ? e m j xÛ d P(2.5.1)

derskalarenKanalimpulsantwort desFunkkanals

h ;nj ?@ k0Om k0

hx ; kz Koj ? hp ; kz Koj ? hy ; kz Koj ? dkzC(2.5.2)

UÜ +1H¡^^ ¥61'/^165$BÝ&'(2 H Ù%1°65%'( #%&^'(/+/$¬^165Aussage2.7 Sinddie Sende–unddie Empfangsantenneelektrisch weit vonein-anderentfernt,sohangtdie modaleUbertragungsfunktion,besonders ihr Pha-senwinkel, sehrstarkvonder transversalenWellenzahlab.

Gleichung(2.5.2)mußalsomit sehrvielen(Großenordnung5000)Stutzstellendiskretisiertwerden.Da abernicht so viele Ausbreitungssimulationendurch-gefuhrtwerdenkonnen,ist ein Interpolationsverfahrenerforderlich.

KlassischeInterpolationsverfahren,die gewichteteMittelwertebilden,kommennichtin Frage,dasichauchdieFrequenzabhangigkeitstarkmit dertransversalenWellenzahlandert.Eswird alsoein problemangepaßtesInterpolationsverfahrenbenotigt.

EinekonzentrierteelektrischeStromstarke is ; kz Koj ? erzeugteinelektrischesFeldmit einerz–Komponente

Ez ;ßÞK kz Koj ?@ Q ZF ` 0 is ; kz Koj ?4

k2

k0H | 20 ; kÞ ? K

k @ k20 Q k2

z

(2.6.1)

mit demFeldwellenwiderstandim VakuumZF ` 0 undderHankelfunktionzwei-

ter Art derOrdnungnull H | 20 ;Bq ? . Der AbstanddesAufpunktsvom Quellpunkt

ist Þ .

2.6. EIN INTERPOLATIONSVERFAHREN FUR DIE UBERTRAGUNGSFUNKTION 23

Berechnetman dasGesamtfelddurch SuperpositiondesFeldes,dasvom Er-satzstromder Sendeantenneerzeugtwird, mit demFeld seinerSpiegelstrome3

c E is ; kz Koj ? , soergibt sich

Ez ;ßÞ+K kz Koj ?%@ Q ZF ` 0 is ; kz Koj ?4

k2

k0∑E c E H | 2

0 ; kÞ E ?@ hE ; k ?k0

K(2.6.2)

wobeihE ; k ? derAbkurzungdientmit k2 @ k20 s k2

z.Eine Zeitbereichssimulationmit festemkz liefert hE ; k ? fur alle k ¶ kz. Da dierechtenSeitenvon (2.6.2) nur uber k von kz abhangen,kann Ez ;ÞK kz Koj ? furanderekz ¶ kz bei entsprechendgeanderterKreisfrequenzj bestimmtwerden.Gleichesgilt fur diemodaleUbertragungsfunktionhp ; kz Koj ? .Die Interpolations–beziehungsweiseExtrapolationsvorschriftlautetdann

hp ; kz Koj ?à j 1j hp ; kz ` 1 K¤j 1? Kj 1

@ c0 á jc0 â 2 Q k2z s k2

z ` 1 C(2.6.3)

In der schnelleren,vereinfachten Version des Simulationsverfahrens wirdhp ; kz K¤j ? nur fur kz

@ 0 mit demAusbreitungssimulatorermittelt.Alle anderenStutzstellenwerdenmit (2.6.3)extrapoliert.

3Hierfur werdendie Streuerals dunneBlecheangenommen,die die Wellenausbreitungnichtverzogern.

Im vorliegendenKapitel wird ein orts–undzeitdiskretesSimulationsverfahrenzurLosungdesin Kapitel2 definiertenAusbreitungsproblemsentwickelt.Ausgehendvom bekanntenYee–Schema[20] wird dazu in Abschnitt 3.2zunachstein zweidimensionalesZeitbereichsverfahrenhergeleitet,mit demdieModenfur verschiedenetransversaleWellenzahlenkz getrenntsimuliertwerdenkonnen.In homogenenGebietenkanndiesesvereinfachtwerden,wobeisichei-neDiskreteWellengleichung(DWG) ergibt. Die KombinationbeiderMethodenstelltein leistungsfahiges,hybridesSimulationsverfahrendar, dasdieGrundlagedieserArbeit bildet.Abschnitt 3.4 beschaftigt sich mit den besonderswichtigen absorbierendenRandbedingungen.Hierfur wurdederin [25] vorgestellteperfekteAbsorberwe-genseinerhervorragendenEigenschaftenausgewahlt.Am KapitelendekommennochErweiterungsmoglichkeitenin HinsichtaufVer-fahrensverfeinerungenunddie AnbindunganandereSimulatorenzur Sprache.

T 1$&]23v % ^ã±3v %65¥'(652 Das elektromagnetischeFeld F ; x K t ?@ ET ; x K t ? K HT ; x K t ? ® T stellt eine Abbil-dungdes< 3 ä < aufden < 6 dar, die bestimmtenAnfangs–undRandbedingun-gensowie denMaxwellschenRotationsgleichungen; x ? ∂tE ; x K t ? @ rot H ; x K t ? Q ; x ? E ; x K t ? Q J ; x K t ? KQÙ-; x ? ∂tH ; x K t ? @ rot E ; x K t ? så¦; x ? H ; x K t ?(3.1.1)

genugt.Hierbeiist ∂t derOperatorfur diepartielleDifferentiationnachderZeitt und J ; x K t ? ein eingepragtesFeld der elektrischenStromdichte.DielektrischeVerlustewerdenformal uber die elektrischeLeitfahigkeit ; x ? , magnetischeVerlusteuberdiemagnetischeLeitfahigkeit1 ¦; x ? berucksichtigt.

1DerBegriff dermagnetischenLeitfahigkeit æ wird in derelektromagnetischenFeldtheorienichtallgemeinverwendet,dadiesenichtunmittelbareinenphysikalischenEffekt beschreibt.Nutzlich ist

24

3.1. DISKRETE FELDER, FELDOPERATOREN 25

Zur numerischenBehandlungwird statt deskontinuierlichenelektromagneti-schenFeldesein diskreteselektromagnetischesFeld F ; X K T ? , X GMç 3, T Gèçbetrachtet.DasdiskreteFeld wird mit demkontinuierlichenverknupft, indemmanesalsAnsammlungvon Reprasentativwerten2 desselbenauffaßt.JedemReprasenta-tivwert wird ein Ort x undeineZeit t deskontinuierlichenRaumeszugeordnet,er wird andieseStelle interpretiert. DiesergeometrischeInterpretationsprozeßwird mathematischalseinVektorvonZuordnungsabbildungenZ desç 3 ä ç aufden < 3 ä < aufgefaßt,derfur jedeFeldkomponenteeineKomponentebesitzt.

Aussage3.1 Um bei der Behandlungvon diskretenFeldern lange Ausdruckemit einerunubersichtlichenFulle vonIndizeszuvermeidenhatessich bewahrt,sogenannteFeldoperatoreneinzufuhren.SiefindenzurManipulationderFelderwie z. B. VerschiebungundDifferenzenbildungVerwendung. Die Menge é derFeldoperatorenstellt die algebraischeStruktureinesRingsdar, der als Opera-torenringzusammenmit dendiskretenFelderneinenModul 3 bildet [26].

GrundlegendeFeldoperatoren,die sogenanntenErzeugendendesRings, sind0 ê 1 êßëêíì(ê¼î und ï sowie ë§ê ìê î und ï . Sie werdenuberihre Wirkung auf diskreteFelderdefiniert.Esist

0 F ð X ê T ñ ò 0 ê1 F ð X ê T ñ ò F ð X ê T ñDêë F ð X ê T ñ ò F ð X ó©ô x ê T ñDêì F ð X ê T ñ ò F ð X ó©ô y ê T ñDêî F ð X ê T ñ ò F ð X ó©ô z ê T ñDêë F ð X ê T ñ ò F ð X õMô x ê T ñDêì F ð X ê T ñ ò F ð X õMô y ê T ñDêî F ð X ê T ñ ò F ð X õMô z ê T ñDêï F ð X ê T ñ ò F ð X ê T ó 1ñDêï F ð X ê T ñ ò F ð X ê T õ 1ñDê

(3.1.2)

die magnetischeLeitfahigkeit zunachstzur Symmetrisierungder MaxwellschenGleichungen,siekannaberauchzurBeschreibungfrequenzabhangigermagnetischerVerlusteverwendetwerden.Dadie magnetischeLeitfahigkeit zur BeschreibungdesperfektenAbsorbers(Abschnitt3.4)unbedingtbenotigt wird, wird siebereitsandieserStelleeingefuhrt.

2Der Standardbegriff desAbtastwerteswarehier unzutreffend,da die Wertenicht durcheinenAbtastprozeßgewonnen,sondernmit einemnumerischenNaherungsverfahrenberechnetwerden.

3Ein Modul ist einealgebraischeStruktur, die einemVektorraumgleicht,außerdaßbei erstge-nanntemderOperatorenraumkeinKorper, sondernein Ring ist.

26 3. FDTD–VERFAHREN ZUR AUSBREITUNGSSIMULATION

mit denEinheitsvektorenô x ò«ð 1 ê 0 ê 0ñ T, ô y ò«ð 0 ê 1 ê 0ñ T und ô z ò«ð 0 ê 0 ê 1ñ T.

Die Multiplikation in ö ist als Verkettungsoperationdefiniert.Beispielsweiseist ë 2F ð X ê T ñò÷ëBë F ð X ê T ñò F ð X ó 2 ô x ê T ñ oder ìeë F ð X ê T ñÙò F ð X óøô x óô y ê T ñ .DerzueinemFeldoperatorùú²ö bezuglichderMultiplikation inverseOperatorwird wahlweiseals ù¯û 1 oder ù geschrieben.

UberdieVertraglichkeitsbedingungðnùóÅü±ñ F ð X ê T ñ = ù F ð X ê T ñóÅü F ð X ê T ñ laßtsichmit ùê×üúö dieAddition definieren.

Die angegebenealgebraischeStruktur ist ein kommutativer Ring, jedochkeinKorper, daz.B.derFeldoperatorë(óJì kein inversesElementbezuglichderMul-tiplikation besitzt.4

Durchsukzessive Addition undMultiplikation wird ausgehendvon denErzeu-gendenganz ö generiert.Nimmt man die Mengeder reellenZahlen ý nochzudenErzeugendenhinzu,sostellendieFeldoperatoreneinenleistungsfahigenKalkul beiderArbeit mit diskretenFelderndar.

Aussage3.2 Der Kalkul derortsunabhangigenFeldoperatorenist vollig in demder z-Transformation[27] enthalten.Die Aquivalenzgehtsoweit,daßdie Aus-druckesyntaktisch identisch sind.

Dies lost sich auf, wenn man ortsabhangigeFeldoperatorenbetrachtet.Sol-chewerdenbeispielsweisebei Diskontinuitatender Permittivitat, bei Betrach-tung endlicherFeldraumeund bei krummlinigenKoordinatensystemen(Kapi-tel 4) benotigt. Hier wird die Verwendungder z-Transformationsehraufwen-dig,wahrenddieFeldoperatorenlediglichdieKommutativitatderMultiplikationeinbußen,soist ëÝù/ð X ñ F ð X ê T ñ ò ù/ð X ó©ô x ñ F ð X órô x ê T ñþò ù/ð X ñ¿ë F ð X ê T ñ ò ù/ð X ñ F ð X órô x ê T ñDêmit ù/ð X ñ : ÿ 3 ö .

Nun sind alsoFeldervon Feldoperatorenmoglich. Es bietetsich an, fur diesewiederFeldoperatorenhohererOrdnungzu definieren,z. B. fur die Mittelwert-bildungverschiedenerPermittivitaten.Zur VermeidungvonFehldeutungenwirdeinOperatorhohererOrdnunggeschweiftgeklammert.

4Esgibt keinenFeldoperator mit 1.

3.2. SEPARATION DES DREIDIMENSIONALEN YEE–VERFAHRENS 27 "!$#&%')(*%'+"%'-,.#/(0"!$#/12)#43$65879):;<9+#/(3.2.1 Das Yee-Schemafur lineare isotrope Medien mit elektrischen und

magnetischenVerlusten

Ausgangspunktfur die EntwicklungdesAusbreitungssimulationsverfahrensistdasFDTD–Verfahrenin FormdesdreidimensionalenYee-Schemas[20, 28].

Die KomponentendesdiskretenelektromagnetischenFeldeswerdenin dieMit-tenderKantenzweierkubischerUntergitter interpretiert,ein Untergitter fur dieelektrischeFeldstarke (E–Gitter)undeinesfur die magnetischeFeldstarke (H–Gitter). Die Untergitter sindum einehalbeRaumdiagonalederZelle desaqui-distanten5 Gittersgegeneinanderverschoben.Wird derKoordinatenursprungineineEckedesE–Gittersgelegt,ergibt sichdieZelleX0 ò¨ð X0 ê Y0 ê Z0 ñ T nachBild3.1.BeideUntergitterzusammenbildendasYee–Gitter. BetrachtetmandieZel-

O

=x

Hy

Ex

Hx

Ez

HzEy

>xX0>

x ? X0 @ 1A 2 B 1 C 1 C 1D T E

=x

=x

F B X0 DGCIH0B X0 D

J B X0 DCLKB X0 D

Bild 3.1.Die EinheitszelleX0 desYee–Gitters.

5NichtaquidistanteGitter sind wegender Reflexionenan denDiskontinuitatenim Zusammen-hangmit Wellenausbreitungssimulationennurbedingteinsetzbar.


le desE–UntergittersalsEinheitszelle,sobefindensichdie ReprasentativwertedesE–Feldesin derMitte derzur jeweiligenFeldkomponenteparallelenKante,diedesH–Feldesin derMitte derzur jeweiligenFeldkomponenteorthogonalenFlachedesnunmehrkubischflachenzentriertenYee–Gittersmit der Gitterkon-stantenM x.Die in Bild 3.1 beschriftetenFeldwertewerdender Zelle X0 zugerechnet.DerVektor der Zuordnungsabbildungenfur dasdiskreteelektromagnetischeFeldF ð X ê T ñ ist somit

Z F ð X ñ òNOOOOOOP

M xX ó M x Q 2 ô xM xX ó M x Q 2 ô yM xX ó M x Q 2 ô zM xX ó M x Q 2 ðô y órô z ñM xX ó M x Q 2 ðô z ó©ô x ñM xX ó M x Q 2 ðô x órô y ñR0SSSSSST ê(3.2.1)

d.h.dieH–UntergitterzelleM xX0 õUM x Q 2 ð 1 ê 1 ê 1ñ T wird derE–UntergitterzelleM xX0 zugeschlagen6.Die Permittivitat Vð X0 ñ und die elektrischeLeitfahigkeit W.ð X0 ñ fullen die ge-nannteE–Untergitterzelleaus,die Permeabilitat Xåð X0 ñ sowie die magnetischeLeitfahigkeit Y¦ð X0 ñ die genannteH–Untergitterzelle7. Damit sind Diskonti-nuitatenin denMaterialparameternan denKantendesjeweiligen Untergittersmoglich. In denKantenmittenkonnensomit Reprasentativwerte fur die Feld-komponentender elektrischenFeldstarke E bzw. der magnetischenFeldstarkeH in Kantenrichtungdefiniertwerden,ohneInterpretationsproblemeaufgrundderGrenzbedingungenzubekommen.Zur Diskretisierungwird (3.1.1)mit Hilfe desSatzvonStokesin Integralform

∂t ZA

Vð x ñ E ð x ê t ñ dA ò Z∂A

H ð x ê t ñ ds õ ZA

WYð x ñ E ð x ê t ñ dAõ ZA

J ð x ê t ñ dA êõ ∂t ZAX-ð x ñ H ð x ê t ñ dA ò Z

∂AE ð x ê t ñ ds ó Z

AYð x ñ H ð x ê t ñ dA

(3.2.2)

6Auf dieauchublicheDarstellungmit halbzahligenIndizeswird hier verzichtet.Bei diesermußderUbergangzuganzzahligenIndizesspatestensbei derImplementierungaucherfolgen.

7SoentstehteinVersatzdermagnetischengegenuberderelektrischenMaterialzelleumeinehalbeRaumdiagonaleeinerUnterzelle.DiesererschwertdieDiskretisierungvonMaterialdiskontinuitatenmituntererheblich,wennsichelektrischeundmagnetischeMaterialparametersprunghaftanderglei-chenStelleandern.EineLosungsmoglichkeit fur diesesProblemist dasVerschleifendesUbergangsderjenigenMaterialparameter, die wenigerstarkvariieren.

3.2. SEPARATION DES DREIDIMENSIONALEN YEE–VERFAHRENS 29

geschrieben.Gilt dies fur jede beliebigeFlacheA mit ihrem geschlossenenRand∂A, so sind die MaxwellschenGleichungenexakt erfullt. Werdenabernur FlachenA ausdemzu demjeweils auf der linken Gleichungsseitestehen-denFeld gehorigenUntergitter zugelassen,so ist dieseinezur DiskretisierungfuhrendeNaherung.

Im nachstenSchrittwerdendie IntegralenaherungsweisedurchdieReprasenta-tivwerteausgedruckt.Fur die in Bild 3.1schraffierteFlacheist dann

(3.2.3)V5ð X ñó[Vð X õèô x ñó[Vð X õèô y ñó[V5ð X õèô x õMô y ñ

4M 2

x ∂tEz ð X ê t ñòM x \ Hy ð X ê t ñÝõ Hx ð X ê t ñÝõ Hy ð X õèô x ê t ñó Hx ð X õMô y ê t ñ^]õ WYð X ñó_W ð X õèô x ñó_W ð X õMô y ñó`W.ð X õèô x õèô y ñ4

M 2x Ez ð X ê t ñõaM 2

x Jz ð X ê t ñbDie VerwendungvonFeldoperatorenmachtdieskurzerundubersichtlicher

(3.2.4) 1Q 4 c 1 ó ëó ì¢ó ë ìedfVð X ñgM 2x ∂tEz ð X ê t ñ%òð 1 õ ëñgM x Hy ð X ê t ñó>ð ìõ 1ñgM x Hx ð X ê t ñõ 1Q 4 c 1 ó ëó ì¢ó ë ì)dhW.ð X ñiM 2

x Ez ð X ê t ñõjM 2x Jz ð X ê t ñb

SchreibtmanabkurzendVlknmpoð X ñ ò 1Q 4 c 1 ó ùó ü+ó ù üqd Vð X ñDêW kgmpo ð X ñ ò 1Q 4 c 1 ó ùó ü+ó ù üqd W ð X ñDêX knmpo ð X ñ ò 1Q 4 c 1 órù+ó©üórù üqd X-ð X ñDêYrkgmpo¯ð X ñ ò 1Q 4 c 1 órù+ó©üórù üqd Y¦ð X ñDê(3.2.5)

mit ùê×üúö und

a ð X ñ ò NP aym z ð X ñ 0 00 azm x ð X ñ 00 0 ax m y ð X ñ RT ê(3.2.6)


a ð X ñúsc ˜t ð X ñê ˜u ð X ñê ˜v ð X ñê ˜w ð X ñd , sowird insgesamt8

∂tE ð X ê t ñ ò 1M x

1˜u ð X ñ NP 0 îõ 1 1 õ ì

1 õ î 0 ëNõ 1ìõ 1 1 õ ë 0

RT H ð X ê t ñõ ˜w ð X ñ˜u ð X ñ E ð X ê t ñõ 1˜u ð X ñ J ð X ê t ñê

∂tH ð X ê t ñ ò 1M x

1˜t ð X ñ NP 0 î+õ 1 1 õHì

1 õÚî 0 ë5õ 1ìõ 1 1 õ0ë 0

RT E ð X ê t ñõ ˜v ð X ñ˜t ð X ñ H ð X ê t ñ)b

(3.2.7)

Die Gleichungen(3.2.7)stellendaszeitkontinuierlicheYee-Schemadar.

Bild 3.2zeigtdaszeitlicheDiskretisierungsschema.Die ReprasentativwertedeselektrischenFeldeswerdendenZeitpunktenT M t zugeordnet,die desmagne-tischendenZeiten ð T õ 1Q 2ñgM t. Die Diskretisierungdernicht eingezeichnetenelektrischenStromdichteist derdesmagnetischenFeldesaquivalent.Der erste

T x 1 T x 1y 2zH X | T

T

E X | T T ~ 1y 2H X | T z

E X | T 1 z H X | T 1 z E X | T

t y t

Bild 3.2.ZeitlichesDiskretisierungsschema.

8Da ˜ X und ˜ X fur die infragekommendenisotropenMedienDiagonalmatrizensind,kanndie Matrixdivision hier aufgrundder Kommutativitat der Multiplikation symmetrischerMatrizeneinfachalsBruchgeschriebenwerden.


Teil von(3.2.7)wird demZeitpunktt ò ð T õ 1Q 2ñiM t zugeordnet.Esist

∂tE ð X ê t ñ t T û 1 22 t 1Q M t ð 1 õ ïñ E ð X ê T ñDêH ð X ê t ñ t T û 1 22 t ï H ð X ê T ñDêE ð X ê t ñ t T û 1 22 t 1Q 2 ð 1 ó ïñ E ð X ê T ñDêJ ð X ê t ñ t T û 1 22 t ï J ð X ê T ñDê(3.2.8)

sowie

∂tH ð X ê t ñ t T t 1Q M t ð 1 õ ïñ H ð X ê T ñDêE ð X ê t ñ t T t E ð X ê T ñDêH ð X ê t ñ t T t 1Q 2 ð 1 ó ïñ H ð X ê T ñ(3.2.9)

fur denzweitenTeil von(3.2.7).Schreibtman(3.2.7)abkurzendals

∂tE ð X ê t ñ ò 1M x

1˜u ð X ñ r H ð X ê t ñõ ˜w ð X ñ

˜u ð X ñ E ð X ê t ñÝõ 1˜u ð X ñ J ð X ê t ñê

∂tH ð X ê t ñ ò 1M x

1˜t ð X ñ r E ð X ê t ñõ ˜v ð X ñ

˜t ð X ñ H ð X ê t ñê(3.2.10)

soergibt sichï û E ð X ê T ñ ò M tM x

1˜u ð X ñ r ï H ð X ê T ñwõfM t

˜w ð X ñ˜u ð X ñ 1

2 ï E ð X ê T ñõfM t1

˜u ð X ñ ï J ð X ê T ñDêï û H ð X ê T ñ ò M tM x

1˜t ð X ñ r E ð X ê T ñÉõfM t

˜v ð X ñ˜t ð X ñ 1

2 ï H ð X ê T ñ(3.2.11)

mit ï û ò ð 1 õ ïñ und ïHò«ð 1 ó ïñ .UmstellennachE ð X ê T ñ bzw. H ð X ê T ñ liefert daszeitdiskreteYee–Schema

E ð X ê T ñ ò M tw M x

1˜u r ï H ð X ê T ñBó w ûw ï E ð X ê T ñõ M tw 1

˜u ï J ð X ê T ñ2êH ð X ê T ñ ò M tv M x

1˜t r E ð X ê T ñYó v ûv ï H ð X ê T ñ(3.2.12)


mit9 w ò 1 ó M t2

˜w˜u ê w û ò 1 õ M t

2˜w˜u êv ò 1 ó M t

2˜v˜t ê v û ò 1 õ M t

2˜v˜t b(3.2.13)

DieOrtsabhangigkeitderParameteristnichtmehrexplizit angegeben.DerUber-sichthalberwerdenhierdieDefinitionen

a ò NP aym z 0 00 azm x 00 0 ax m y RT ê(3.2.14)

a úsc ˜t ê ˜u ê ˜v ê ˜w d , V kgmpo ò 1Q 4 c 1 ó ù+ó üó ù üqd VvêWkgmIo ò 1Q 4 c 1 ó ù+ó üó ù üqd WpêX kgmpo ò 1Q 4 c 1 órù+ó©üórù üqd X¹êYkgmpo ò 1Q 4 c 1 órù+ó©üórù üqd Y ê(3.2.15)

mit ù êBüXúö und

r ò NP 0 î+õ 1 1 õ ì1 õÚî 0 ë5õ 1ìõ 1 1 õ0ë 0

RT êr ò NP 0 î+õ 1 1 õ ì

1 õ î 0 ë5õ 1ìõ 1 1 õ ë 0

RT(3.2.16)

nochmalsaufgefuhrt.

Fur die Verlustbehandlunggibt esauchein anderesZeitdiskretisierungsverfah-ren [29], dasals Losungeiner gewohnlichenNaherungsdifferentialgleichungmit zeitlichenExponentialfunktionengedeutetwerdenkann.NumerischeEx-perimentemit einemeindimensionalenYee–Schemazeigendie Gleichwertig-keit dessenmit der hier vorgestelltenMethode[30]. Fur gegen null gehendeLeitfahigkeitenkonvergierendiebeidenVerfahrengegeneinander.

9DasSymbol1 ist hiereine3x3DiagonalmatrixausEinheitsfeldoperatoren.


An dieserStellewird daraufhingewiesen,daß(3.2.12)auchunterVerwendungvonKreuzprodukten

r E ð X ê T ñ ò r E ð X ê T ñDêr H ð X ê T ñ ò r H ð X ê T ñ(3.2.17)

mit

r ò ð 1 õ0ë 1 õHì 1 õÚî§ñ T êr ò ð 1 õ ë 1 õ ì 1 õ î§ñ T(3.2.18)

geschriebenwerdenkann.Hierbei ist der als ,,ˆ ” geschriebeneDualisierungsoperatorlinear und bijektiv.Er ordneteinemVektoreineantisymmetrischeMatrix zu.DerdazuinverseOpe-ratorwird durchdasgleicheSymbolvertreten,sodaßzweimaligesDualisierenwiederdenAusgangsvektorergibt. Der DefinitionsbereichdesinversenOpera-torsumfaßtdabeiausdrucklichnurantisymmetrischeMatrizenausý 3 3.Die Ahnlichkeit zudenkontinuierlichenRotationsoperatorenim Nablakalkul istauffallend.DerprinzipielleUnterschiedbestehtdarin,daßr

þò r gilt und r auchnicht durchMultiplikation mit einemFeldoperatorin r uberfuhrt werdenkann.Esist namlich

r ò õ NP ë 0 00 ì 00 0 î RT r b(3.2.19)

Folgendessprichtfur dieallgemeineVerwendungderMatrizenschreibweise: Implementierungdirekt ,,vomBlatt”. EinfacheBehandlungvonEigenwertproblemen. HomogeneDarstellung,dabeiDiskontinuitatenin jedemFall derMatrix-kalkul zumEinsatzkommt. AusnutzungdesAssoziativgesetzesbeiderMatrixmultiplikation.

EinzigerProblemfall ist der Entwicklungssatzfur dasdoppelteKreuzprodukt.Dieserlautetim Matrizenkalkul

ABC ò B AT C õ CAT B(3.2.20)


mit antisymmetrischenMatrizenA ê B ú ý 3 3 undbeliebigerMatrix C úý 3 1.Die HerleitungerfolgtunmittelbaruberdasdoppelteKreuzprodukt.Einekreuz-produktfreieDarstellung,dieauchfur andereC oderhoherdimensionaleRaumeGultigkeit besitzt,ist uberdenTensorkalkul moglich. Dem Dualisierungsope-rator entsprichtdannder Vorgang desDualisierensdurch Uberschiebung miteinemLevi–Civita Tensor[31, 8.3.1.3].

3.2.2 Separationzur Herleitung desMulti–Mode FDTD–Verfahrens

Wie in Abschnitt2.2erwahnt,erfolgtdieSeparationdesAusbreitungsverfahrensdurchAnsatzvon stehendenWellenmit festertransversalerWellenzahlkz in z–Richtung.Esist

E ð x ê t ñ ò NP sinð kzzñ 0 00 sinð kzzñ 00 0 cosð kzzñ

RT E ð x ê yê t ñDêJ ð x ê t ñ ò NP sinð kzzñ 0 0

0 sinð kzzñ 00 0 cosð kzzñ

RT J ð x ê yê t ñ2êH ð x ê t ñ ò NP cosð kzzñ 0 0

0 cosð kzzñ 00 0 sinð kzzñ

RT H ð x ê yê t ñb(3.2.21)

DerSeparationsansatz(3.2.21)laßtsichsofortaufdasdiskreteFeldubertragen.Als Separationskonstantewird Kz = kz M x verwendet.Esist unterBerucksichti-gungderPositionenderReprasentativwerteim diskretenFeldnachBild 3.1

E ð X ê T ñ ò NP sinð Kz Z ñ 0 00 sinð Kz Z ñ 00 0 cos ð KzZ ñ RT E ð X ê Yê T ñDê

J ð X ê T ñ ò NP sinð Kz Z ñ 0 00 sinð Kz Z ñ 00 0 cosð KzZ ñ

RT J ð X ê Yê T ñ2êH ð X ê T ñ ò NP cosð Kz Z ñ 0 0

0 costð KzZ ñ 00 0 sinð Kz Z ñ

RT H ð X ê Yê T ñDê

(3.2.22)

3.3. DIE DISKRETE WELLENGLEICHUNG 35

mit cos ð KzZ ñ = cosð Kz ð Z ó 1Q 2ñBñ .AusdenAdditionstheoremendertrigonometrischenFunktionenergibt sichð îõ 1ñ cos ð Kz Z ñ ò 2 sinð Kz

2 ñ sinð Kz Z ñDêð!î+õ 1ñ sinð KzZ ñ ò 2 sinð Kz2 ñ cos ð Kz Z ñb(3.2.23)

Damitwird nachHerauskurzenderSeparationsfunktionen10

E ð X ê Yê T ñ ò M tw M x

1˜u r2 ï H ð X ê Yê T ñ¤ó w ûw ï E ð X ê Yê T ñõ M tw 1

˜u ï J ð X ê Yê T ñ2êH ð X ê Yê T ñ ò M tv M x

1˜t r2E ð X ê Yê T ñ.ó v ûv ï H ð X ê Yê T ñ(3.2.24)

mit

r2 ò NP 0 Kz 1 õHìõ Kz 0 ëNõ 1ìõ 1 1 õë 0

RT êr2 ò NP 0 Kz 1 õ ìõ Kz 0 ëNõ 1ìõ 1 1 õ ë 0

RT(3.2.25)

wobeiKz = 2sinð Kz2 ñ alsdiskretetransversaleWellenzahlbezeichnetwird.

Aussage3.3 DasseparierteYee–Schemaliefert nach Superpositionder ModendieselbenErgebnisse, diedasdreidimensionaleYee–Schemafur dievereinfachteStockwerkstrukturnach Bild 2.2ermittelt.Eskannauch vor derDiskretisierungsepariertwerden,dannwird Kz = Kz . --(+.[1-12#/12-q<99#/.9U+"#/:;<9# ¡<9#/%'129#/<9!$,.!$#//¢£)¤'-In homogenenquellfreienGebietenlaßtsich dasseparierteYee–Schemanochvereinfachen.Esist ðë5õ 1 ìõ 1 Kz ñ r2 ò rT

2 r2 ò 0 êð ë5õ 1 ìõ 1 õ Kz ñ r2 ò rT2 r2 ò 0

(3.3.1)

10Die Materialparameter , ˜¥ , ˜ und ˜¦ durfenjetztnichtmehrvonZ abhangen.


undbeigeeignetenAnfangsbedingungensomitwegen(3.2.24)

rT2 H ð X ê Yê T ñ ò 0 ê

rT2 E ð X ê Yê T ñ ò 0 b(3.3.2)

DiesentsprichtdenkontinuierlichenGleichungendiv E ð x ê t ñ = 0, div H ð x ê t ñ =0, die in homogenenquellfreienGebietenGultigkeit besitzen.Gleichung(3.2.24)laßtsichfernerumformenin§

1 õ©¨ @¨ª ï;« §1 õ¬ @¬ª ï;« E ð X ê Yê T ñ ò M 2

tM 2x ˜t ˜u®w v r2 r2 ï E ð X ê Yê T ñ2ê§

1 õ¬ @¬ª ï;« §1 õ©¨ @¨ª ï;« H ð X ê Yê T ñ ò M 2

tM 2x ˜t ˜u®w v r2 r2 ï H ð X ê Yê T ñb

(3.3.3)

Nun ist wegen(3.2.20)und(3.3.1)11

r2 r2 E ð X ê Yê T ñ ò õ rT

r E ð X ê Yê T ñDêr2 r2 H ð X ê Yê T ñ ò õ rT r H ð X ê Yê T ñ2ê(3.3.4)

mit denskalarenFeldoperatorenõ rT

r ò õ rT r ò ëó ëóèì¢ó ìtõ 4 õ K2z b(3.3.5)

Damitwird schließlich¯ v û w ûv w ïõ § v ûv ó w ûw « ó ï±° E ð X ê Yê T ñò 2t G² ² ´³n ³ û 4 û K2

z 2x ˜µ ˜¶ ¬ª)¨ª E ð X ê Yê T ñDê¯ v û w ûv w ïõ § v ûv ó w ûw « ó ï±° H ð X ê Yê T ñ¯ò 2

t G² ² ´³n ³ û 4 û K2z 2

x ˜µ ˜¶ ¬ª)¨ª H ð X ê Yê T ñ+b(3.3.6)

Die Gleichungen(3.3.6)werdenDiskreteWellengleichungen(DWGn)genannt.Sie geltenauchfur die einzelnenFeldkomponenten.Im folgendenwerdennurdie z–Komponentender DWGn verwendet,nach[14, Kapitel 1.4] ist namlichdasquellfreieelektromagnetischeFeldeindeutigdurchzwei Feldkomponentenfestgelegt.

11Fur Kz 0 verschwindendiedritteZeileunddiedritteSpaltevon r rT

und r rT. Zur Herleitungder DWG fur Ez X · Y· T brauchtdann(3.3.1)nicht verwendetzu werden,somit sind auchinho-mogenePermittivitatundelektrischeLeitfahigkeit zulassig.Die magnetischenMaterialparameterund ˜¦ mussenaberortsunabhangigsein,da beim Schritt zum oberenTeil von (3.3.3)die Kom-mutativitat derMultiplikation mit derFeldoperatormatrixr2 ausgenutztwird. Die FeldkomponenteHz x · t mit derSeparationsfunktionsin kzz verschwindetbei Kz 0.


3.3.1 Untersuchungder Effekti vit at von Zeitbereichsverfahren auf Basisder DiskretenWellengleichungen

Die diskretenWellengleichungenermoglicheneineComputerspeicher– undRe-chenzeitersparnisgegenuberdemYee–Schemabei zweidimensionalenZeitbe-reichssimulationen.Die x undy–Komponentendeselektrischenunddesmagne-tischenFeldesgibt es in einerDWG–Zellegar nicht. Da zeitlich neueWertederz–KomponentenbeiderFelderbei derDWG von zwei vergangenenWertenabhangen,mussenvier FeldwerteproZelle im Computerspeichergehaltenwer-den,beiderYee–Zellesindessechs12.DiesbedeuteteineSpeicherersparnisvon33%.Zur ErmittlungderRechenzeitersparnisist hiernochmalsvereinfachtdieHalftedesYee–Schemas

E ð X ê Yê T ñ¤ò c1

NP 0 Kz 1 õ ìõ Kz 0 ëNõ 1ìõ 11 õ ë 0

RT NP Hx ð X ê Yê T ñHy ð X ê Yê T ñHz ð X ê Yê T ñ

RT ó c2 ï E ð X ê Yê T ñ(3.3.7)

undeinederdiskretenWellengleichungen

Ez ð X ê Yê T ñSò c3 ð ëóJëó ìÙó ì¢ó c4 ñ ï Ez ð X ê Yê T ñó c5 ï 2Ez ð X ê Yê T ñ(3.3.8)

mit denKonstantenc1 bis c5 angegeben13. Im verlustlosenFall gilt c2 ò 1 undc5 ò 1.Bei derdiskretenWellengleichungsindbei geschickterImplementierung4 La-deoperationen14 , 1 Speicheroperation,2 Multiplikationenund4 AdditionenproHalbzelleerforderlich.Im verlustbehaftetenFall erhohtsichdieZahlderMulti-plikationenauf3.Arbeitet manmit demYee–Schema,so werdenpro Halbzelle6 Ladeoperatio-nen15 , 3 Speicheroperationen,5 Multiplikationenund10Additionenbenotigt.Soergibt sicheineGesamtzahlvon10zu18Speicherzugriffenund6 zu30arith-metischenOperationen(bzw. 7zu31im verlustbehaftetenFall) proGesamtzelle.JenachVerhaltnisderSpeicherzugriffsgeschwindigkeitzurGeschwindigkeitderarithmetischenOperationenwird die Rechnungmit denDWGn um denFaktor1,5bis5 schnellervonstattengehen.

12Bei Kz 0 sindeszweiFeldwertebeiderDWG–ZellegegenuberdreienbeimYee–Verfahren.13Ausdrucke fur dieseKonstantenkonnen(3.2.24)bzw. (3.3.6)entnommenwerden.14Man zahlt sechs,zwei konnenjedochentfallen,wenndie Werteder letztbehandeltenZelle in

Registerngehaltenwerden15Bei geschickterImplementierungwie oben.


3.3.2 Verbindung desMulti–Mode FDTD–Verfahrensmit der DiskretenWellengleichungzu einemHybrid

Da sich die diskretenWellengleichungennur fur homogeneGebieteherleitenlassen16, mussenDiskontinuitatenmit dem Yee–Verfahrenbehandeltwerden.Dazumußfestgelegt werden,ob eineFeldkomponentein einerZelle mit demYee–Verfahrenoderder DWG behandeltwird, oderob sie gar nicht berechnetwerdenmuß.Die Homogenitat derMaterialparameterwurdebei derGewinnungvon (3.3.2)und(3.3.3)dahingehendausgenutzt,daßdie KommutativitatderMultiplikationzweierFeldoperatorenausgenutztwurde.SpeziellwurdebeiderHerleitungderDWG fur Hz ð X ê Yê T ñ dieKommutativitatderMultiplikation von r2 mit 1Q ð w ˜u ñ unddievon ð1ëNõ 1 êíìtõ 1 ê Kz ñ mit ˜t v ausgenutzt.Laßtmandie VoraussetzungderHomogenitat fallen,sotretennachEinsetzenderDefinitionenundKommutationbei r21Q ð w ˜u ñ in derrelevantendrittenZeile die TermeëV , ëV , ìV und ìV auf (dieselbenTermeerscheinenauchmit W ). Die weitereHerleitungist identischzuderim homogenenFall, wennëV ò ëV ò ìV ò ìeV ò Vêë+W ò ë+W ò ìW ò ì¸W ò W(3.3.9)

fur dieZellegilt, in derdieDWG furHz ð X ê Yê T ñ benutztwerdensoll.DiezweiteKommutationliefert ì0X ò ëX ò ëwì0X ò X¹êìY ò ëY ò ëwìY ò Y¹b(3.3.10)

Die analogeBetrachtungfur Ez ð X ê Yê T ñ ergibtëX ò ëX ò ì0X ò ìX ò X¹êëY ò ëY ò ìY ò ìY ò Y.êì)V ò ëV ò ë ìV ò Vêì8W ò ë+W ò ë ìW ò Wb(3.3.11)

Dies soll nun illustriert werden.Dazuzeigt Bild 3.3 zunachstsymbolischdaszweidimensionaleGitterfur dieDiskreteWellengleichung.In Bild 3.4sinddannnotwendighomogeneGebietefur die Behandlungder fett dargestelltenFeld-komponenteneingezeichnet.Gestricheltfette BerandungenbezeichnendabeiGebietekonstantermagnetischerMaterialparameter, durchgezogenefette Be-randungenGebietekonstanterelektrischerMaterialeigenschaften.

16außerbei Kz 0, s.o.


>x

>x

0

0 1 2

1

2

Ez

Hz

X

Y

Bild 3.3.ZweidimensionalesGitter fur dieDiskretenWellengleichungen.

Im Falle von inhomogenenMaterialverteilungen,mussendiejenigenFeldkom-ponenten,fur diedieseBedingungennichtgelten,mit demYee–Schemabehan-delt werden.Dies gilt auchfur die x und y–Komponentendesjeweils anderenFeldes,die einersolchenHz ð X ê Yê T ñ bzw. Ez ð X ê Yê T ñ –Komponentedirekt be-nachbartsindundzurzeitabhangigenBerechnungderselbenbenotigt werden.Bild 3.5zeigtdazuzunachstdieSymbolikfur daszweidimensionaleYee-Gitter,Bild 3.6zeigteinhybridesBeispielgittermit einerfett durchgezogeneingezeich-netenDiskontinuitatderelektrischenMaterialparameter.Esfallt auf,daßnurwenigeFeldkomponentenmit demlangsamenYee–Schemabehandeltwerdenmussen.


Bild 3.4. GebietenotwendighomogenerMaterialparameterfur die Anwend-barkeit derDiskretenWellengleichungenauf die markiertenFeldkomponenten.Dick durchgezogenumrandeteGebietemussenhomogeneelektrischeMaterial-parameter, dick gestricheltumrandeteGebietehomogenemagnetischeMaterial-parameteraufweisen.

Hz

Ez

>x

>x

0

0 1 2

1

2

Ex Ey

HxHy

X

Y

Bild 3.5.ZweidimensionalesGitter fur dasYee–Schema.


Bild 3.6.ZweidimensionalesGitter deshybridenVerfahrensim Falle einerun-regelmaßigenBeispiel–DiskontinuitatderelektrischenMaterialparameter.

42 3. FDTD–VERFAHREN ZUR AUSBREITUNGSSIMULATION»º ¼½¤'(!$¤'-)+#/%'¹¾¡#/%¤'%'"#/e9#/#/¿À*:;$ Á¼½¤'(0!Â0¤Nur ein endlicherTeil desdiskretenFeldraumskannim Computerspeicherge-haltenwerden.Setztmandie UmgebungdiesesTeils als frei von Streuernvor-aus,sowird einespezielleBehandlungderRanderdesFeldraumsbenotigt. AndenRandernsolleneinfallendeWellennicht reflektiertwerden,mansprichtda-herauchvonabsorbierendenRandbedingungen(ABCs).LangeZeit standenkeinezufriedenstellendenABCszurVerfugung.Mit diskre-tisiertenAbstrahlbedingungen[32, 33] konntezwar einegewisseReflexionsar-mut erreichtwerden,denDurchbruchaberbrachteerstder perfekteAbsorber,englischPerfectlyMatchedLayer, kurz PML genannt[25, 34]. Diesersoll we-genseinerexzellentenEigenschaftensowohl in derAusbreitungssimulationalsauchin derAntennensimulationzumEinsatzkommen.Nacheinigeneinleiten-denErlauterungenwerdendie PML–Gleichungenin diesemKapitel mit Feld-operatorengeschrieben,dannsepariertundsoderzweidimensionalenAusbreit-ungssimulationzuganglichgemacht.

3.4.1 Der perfekte Absorber im kontinuierlichen Raum

InspiriertdurchAbsorber–Pyramidenin Antennenmeßraumenkannmanversu-chen,auchin derSimulationstechnikmit ausgedehntenverlustbehaftetenBerei-chenalsABCszuarbeiten.Im Falle senkrechtenWelleneinfallsauseinemLuftgebietauf einenmit elektri-schenundmagnetischenVerlustenbehaftetenHalbraummit denMaterialpara-meternX 0 êÃY êÄV 0 und W ergibt sichalsReflexionsfaktor

S11mÆÅ ò ZF õ ZF m 0ZF ó ZF m 0 ê

ZF m 0 ò X 0V 0ê

ZF ò j Ç¡X 0 óÈYj ÇÉV 0 ó_W ò ZF m 0 ÊËËËËÌ 1 õ j

YÇÍX 0

1 õ jWÇÉV 0

ê(3.4.1)

mit denFeldwellenimpedanzenZF undZF m 0.VollstandigeReflexionsfreiheitS11mÎÅ ò 0 erreichtmanfrequenzunabhangigbeiZF ò ZF m 0, alsobei W V ò YX ò α b(3.4.2)

3.4. DER PERFEKTE ABSORBER 43

Der Absorptionskoeffizient α ist derKehrwertderelektrischenRelaxationszeitÏE òÐV Q W unddermagnetischenRelaxationszeitÏ M òÑX Q Y [35, Seite7.26].

Im FallebeliebigenEinfallseinerebenenWelleauseinemLuftbereichaufeinenverlustbehaftetenHalbraumgilt dies nicht mehr. Die Reflexionsfreiheitkannaberdurch einenKunstgriff gerettetwerden,indem alle Feldkomponenteninzwei Anteile aufgeteiltwerden[34]. Beispielsweisewird Hx ð x ê t ñ in die Teil-komponentenHx ð x ê t ñ xy ð x ê t ñ und Hx ð x ê t ñ xz ð x ê t ñ aufgespaltenmit Hx ð x ê t ñYòHx ð x ê t ñ xy ð x ê t ñ/ó Hx ð x ê t ñ xz ð x ê t ñ . Die Teilkomponentemit demSubindex y bzw.z gehort dabeizu demAnteil derWelle,dersichin y bzw. z–Richtungausbrei-tet.Ein Absorberz.B. amRandy ò 0 wurdedannanisotropHx ð x ê t ñ xy ð x ê t ñ mitVerlustenbelegen,Hx ð x ê t ñ xz ð x ê t ñ jedochnicht. So werdendie senktrechtzumAbsorbereinfallendenAnteile der Welle absorbiert,ohnesich tangentialzumAbsorberausbreitendeWellenanteilezubeeinflussen.

Die Maxwellgleichungenlautenim Frequenzbereichfur quellfreie verlustbe-haftete Medien im Falle ebenerWellen E ð x ê t ñ*ò Eejkxx kyy kzz, H ð x ê t ñ°òHejkxx kyy kzz undunterBerucksichtigungvon(3.4.2)

j ÇVpð 1 õ j αÇ ñ E ò j

NP 0 õ kz ky

kz 0 õ kxõ ky kx 0

RT H êj ÇÍXÅð 1 õ j αÇ ñ H ò õ j

NP 0 õ kz ky

kz 0 õ kxõ ky kx 0

RT E b(3.4.3)

NachdererwahntenAufteilungderFeldkomponentenergibt sich

j ÇÒV dg

NOOOOOOPαy

αz

αz

αx

αx

αy

R SSSSSST EVI ò j

NOOOOOOP0 0 ky

0 õ kz 0kz 0 00 0 õ kx

0 kx 0õ ky 0 0

R SSSSSSTNP 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1

RT HVI êj ÇX dg

NOOOOOOPαy

αz

αz

αx

αx

αy

R0SSSSSST HVI ò õ j

NOOOOOOP0 0 ky

0 õ kz 0kz 0 00 0 õ kx

0 kx 0õ ky 0 0

R0SSSSSSTNP 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1

RT EVI

(3.4.4)


mit

dg

NOOOOOOPαy

αz

αz

αx

αx

αy

R0SSSSSST òNOOOOOOP

1 õ j αyÓ 0 0 0 0 00 1 õ j αzÓ 0 0 0 00 0 1 õ j αzÓ 0 0 00 0 0 1 õ j αxÓ 0 00 0 0 0 1 õ j αxÓ 00 0 0 0 0 1 õ j αyÓ

R0SSSSSST êEVI ò

NOOOOOOPExy

Exz

Eyz

Eyx

Ezx

Ezy

R0SSSSSST ê HVI òNOOOOOOP

Hxy

Hxz

Hyz

Hyx

Hzx

Hzy

R0SSSSSST b(3.4.5)

Esfallt auf,daßin die rechtenSeitenvon (3.4.5)nur die SummenderTeilkom-ponenteneingehen.Im OrtsbereichhangtderAbsorptionskoeffizient αx nur von derx–Koordinate,αy nurvony undαz nurvonzab. Soll alsoeindreidimensionalerWurfel x úåý 3,0 Ô x ê yê z Ô d mit absorbierendenRandernder Dicke a versehenwerden,sowird beispielsweisebei x ú´Õ 0 ê a Ö×ØÕ d õ a ê d Ö derAbsorptionskoeffizient αx

þò 0gesetzt.In denKantendesWurfelssinddannimmerzwei Absorptionskoeffizi-entenvonNull verschieden,in denEckenalledrei.Dafur dieBetrachtunghierzunachstderHalbraumx Ù 0 absorbierendseinsoll,wahltmanαy ò 0 undαz ò 0 undαx konstantfur x Ù 0.

Aussage3.4 SindzweiAbsorptionskoeffizientengleich, braucht die Aufteilungder auf ihren AbhangigkeitsrichtungensenkrechtenFeldkomponentennicht zuerfolgen,da nach (3.4.5)in diesemFall die nach außeneinzigrelevanteSum-meder Teilkomponentenwiederder entsprechendenMaxwellschenGleichunggehorcht. Sind alle Absorptionskoeffizientengleich, so ist (3.4.5) nach außenaquivalentzudenMaxwellschenGleichungen.

3.4.2 Reflexionsfreiheit einer ebenenGrenzschichtbeim perfekten Absor-ber

Nun soll die ReflexionsfreiheitderGrenzschichtbei x ò 0 gezeigtwerden.Da-zu mussenin beidenHalbraumenFeldtypenmit gleichemky undkz untersuchtwerden,diedieGrenzschichtbedingungenbeix ò 0 erfullen.


Zur Berechnungder Feldtypenwird (3.4.5)durchElimination von EVI in dieEigenwertgleichung

Ç 2XÉV HVI òMõÚÛÛÛÛÛÛÜ dg

NOOOOOOP111

1Q αx

1Q αx

1

R0SSSSSSTNOOOOOOP

0 0 ky

0 õ kz 0kz 0 00 0 õ kx

0 kx 0õ ky 0 0

R0SSSSSSTNP 1 1 0 0 0 0

0 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1

RTÝGÞÞÞÞÞÞß

2

HVI

(3.4.6)

umgeformt17. Eigenwertesind Ç 2X4V°ò 0 undÇ 2X4V ò k2x

αx2 ó k2

y ó k2z ê

ò NP kx

1 õ jαxÇ

RT 2 ó k2y ó k2

z b(3.4.7)

Wir betrachtennun Ç , ky und kz als von der im luftgefullten Halbraumx Ô 0einfallendenWellevorgegeben.Dort wird wegenαx ò 1

k2x àà x á 0 òÇ 2X 0 V 0 õ k2

y õ k2z b(3.4.8)

Diesist dieselbeRelation,die die MaxwellschenGleichungenfur Luftbereicheliefern.Gleichung(3.4.2)laßteszu,fur x Ù 0 dieMaterialparameterV¦òâV 0 und XuòjX 0zusetzen.Dannist ã

kx x ä 0

αx å 2 æ Ç 2X 0 V 0 ç k2y ç k2

z(3.4.9)

undso

kx è x é 0

æêαxkx è x ë 0 ì(3.4.10)

Hier gilt daspositive Vorzeichen,da die Wellen sich in beidenHalbraumengleichgerichtetausbreitensollen.

17Bemerkenswertist, daßαx nochvon í abhangt.


Der genannteEigenwertist doppelt,somitgibt eszwei linearunabhangigezu-gehorigeEigenvektoren,diebeiallgemeinemαx

HVI1

æH1 ky

kxαx î 0 î ç k2

z î ç©ï kxαx ð 2 î 0 î kykz

T îHVI

2

æH2 ç k2

y î ç k2z î 0 î ky

kxαx î kz

kxαx î 0

T(3.4.11)

sind.Die Wellenzahlkx tritt hier nur im Quotientenmit αx auf. DieseEigen-schaftgilt auchfur die zugehorigenundmittels(3.4.5)ableitbaren(Die Diago-nalmatrixin (3.4.5)ist geradesobeschaffen,daßdie Multiplikation derrechtenSeitevon (3.4.5)mit der inversenderselbendie angesprochenenQuotientener-zeugt)EigenvektorenderelektrischenFeldstarkeEVI

1 undEVI2 .

Die Wellenzahlkx und die Absorptionαx sind die einzigenin (3.4.5)auftre-tendenParameter, die sich in den betrachtetenHalbraumenunterscheiden.InallenausbreitungsfahigenFeldtypentritt, wie gezeigt,nurderQuotientausbei-denauf. Dieserist in beidenHalbraumengleich.Damit sindauf beidenSeitender GrenzschichtdieselbenFeldtypenausbreitungsfahig.Bei x

æ0 konnenal-

le Grenzbedingungen18 erfullt werden,ohneeinereflektierteWelle ansetzenzumussen.Somit ist der Ubergangalsgenerellreflexionsfrei identifiziert,da jedeeinfallendeWelle nachdenhier betrachtetenebenenWellenentwickelt werdenkann.

3.4.3 Diskretisierungdesperfekten Absorbers

Vergleicht man die MaxwellschenGleichungen(3.4.3)mit dem Yee–Schema(3.2.12),sokannin AnalogiezudenerfolgtenUmformungen(3.4.5)sofortdis-

18Esverblufft zunachst,daßauchdieNormalkomponentendeselektromagnetischenFeldesstetigsind.DaaberaufbeidenSeitenderGrenzschichtdieMaterialparameterñ und ò gleichsindunddieLeitfahigkeitensichanisotropnuraufdie tangentialenFeldkomponentenauswirken,ist diesrichtig.


kretals

EVIæ

dg

óôôôôôôôôôôôôõα öyα ªyα özα ªzα özα ªzα öxα ªxα öxα ªxα öyα ªy

÷0øøøøøøøøøøøøùúEVI û ü tü x V 0

dg

óôôôôôôôôôôôôõ1

α ªy1

α ªz1

α ªz1

α ªx1

α ªx1

α ªy

÷0øøøøøøøøøøøøù rVI

óõ1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1

÷ù úHVI

HVIæ

dg

óôôôôôôôôôôôôõα öyα ªyα özα ªzα özα ªzα öxα ªxα öxα ªxα öyα ªy

÷0øøøøøøøøøøøøùúHVI û ü tü x ý 0

dg

óôôôôôôôôôôôôõ1

α ªy1

α ªz1

α ªz1

α ªx1

α ªx1

α ªy

÷0øøøøøøøøøøøøù rVI

óõ1 1 0 0 0 00 0 1 1 0 00 0 0 0 1 1

÷ù EVI

(3.4.12)

mit

α þ æ1 û ÿ t

2α î

α æ1 ç ÿ t

2α î

rVIæ óôôôôôôõ 0 0 1 ç

0 ç 1 01 ç 0 0

0 0 ç 10 1 ç 0 ç 1 0 0

÷ øøøøøøù îrVI

æ óôôôôôôõ 0 0 1 ç 0 ç 1 0

1 ç 0 00 0 ç 10 1 ç 0 ç 1 0 0

÷0øøøøøøù(3.4.13)


angegebenwerden.An dieserStellewird nochmalsdaraufhingewiesen,daßderAbsorptionskoeffizient αx nur von der x–Koordinate,αy nur von y und αz nurvonzabhangt.

Auch der diskreteperfekteAbsorberfur denzweidimensionalenFall laßtsichanalogzum zweidimensionalenYee–Schemagewinnen.Dazuist lediglich rVI

durchrVI2 bzw. rVI durchrVI

2 zuersetzenmit

rVI2

æ óôôôôôôõ 0 0 1 ç 0 Kz 0ç Kz 0 00 0 ç 10 1 ç 0 ç 1 0 0

÷0øøøøøøù îrVI

2

æ óôôôôôôõ 0 0 1 ç 0 Kz 0ç Kz 0 00 0 ç 10 1 ç 0 ç 1 0 0

÷0øøøøøøù î(3.4.14)

fernerist immerαz

æ0.

Aussage3.5 Problematisch ist die in (3.4.12)nicht spezifizierteDiskretisierungder Ortsabhangigkeit der Absorptionskoeffizienten.Wahlt manin gleicher Wei-se wie beim Yee–Schema(3.2.12)die Mittelwertbildungund betrachtet noch-malsBild 3.1,sowird offensichtlich, daßdie magnetischenMaterialparameterin einemanderemGitter diskretisiertwerdenals die elektrischen.Dies ist eineanschaulicheErklarungdafur, daßder diskreteperfekteAbsorbernicht volligreflexionsfrei arbeitet,weil esstetseinenBereich derAusdehnungü x 2 gibt, indem(3.4.2)nicht gilt.

In dieserArbeit wird auf die angesprocheneMittelwertbildungverzichtet.DieAbsorptionskoeffizientenwerdenstattdessenjeweilspunktuellandieselbeStel-le wie die zugehorigeFeldkomponenteauf der linkenSeitevon (3.4.12)inter-pretiert.

Die in Aussage3.5 angesprochenenReflexionenwerdenin derPraxisdadurchfasteliminiert,daßmandenjeweiligenAbsorptionskoeffizientenuberdie TiefederabsorbierendenSchichtlangsamansteigenlaßt.


Meist [25] geschiehtdiesin derForm

αx x æ αmax

x ç x0

d n î(3.4.15)

dabeiist x0 die x–KoordinatederGrenzschichtdeseigentlichenFeldraumsmitdemabsorbierendenMedium,d dieDickederabsorbierendenSchicht, αmax dermaximaleAbsorptionskoeffizientundn die OrdnungderAnstiegsfunktion.Furαy undim dreidimensionalenFall αz gilt Entsprechendes.

3.4.4 Genauigkeitsuntersuchungdesdiskretenperfekten Absorbers

Bild 3.7 zeigt eine Teststruktur, mit derenHilfe der perfekteAbsorberquan-titativ im eingeschwungenenZustandbei f

æ1,8 GHz untersuchtwird. Die

Zellgroßebetragt ü x

æ7 mm. Entlangder eingezeichnetenKurve c werden

Amplituden–und Phasenfehlerin bezugauf einenperfektenAbsorbermit derSchichtdickeD = 25,derdiskretenAbsorptionszahlü tα

æ4 unddemExponen-

tennæ

2 bestimmt.In einerTestreihewurdenzu einervorgegebenenSchicht-dicke D 5 î 10î 15 die Parameterü tα 1 î 2 î ìì î 7 und n 1 î 2 î ì»ì î 6 furdenbestenmaximalenrelativenAmplitudenfehlerderz–Komponentederelek-trischenFeldestarkeentlangderKurvec ermittelt.In Tabelle3.1sinddieErgeb-nissederTestreihezusammengestellt.SchonbeieinerSchichtdickevonD

æ5 ist derFehlersehrklein. Wahltman10

odermehrElementealsSchichtdicke,sokonnendiedurchdenperfektenAbsor-ber enstehendenFehlermit SicherheitgegenuberanderenDiskretisierungsfeh-lernvernachlassigtwerden.Die Untersuchungwurdemit ausbreitungsfahigenWellenfelderndurchgefuhrt.Damit ist dieGenauigkeit desperfektenAbsorbersunbekannt,wenner im Nah-feld einesStreuerspostiertist. DieserFall laßtsichschlechtallgemeinuntersu-chenundist daherzuvermeiden.


25

25

40

5

50

1010

50

5

I t c

D D

X

Y

Bild 3.7. Teststrukturfur denperfektenAbsorber. AbsorbierendesMaterial istschraffiert, alleZahlenangabensindZellanzahlen.

kz D ü tα n AmplitudenfehlerFA r PhasenfehlerFP

0/m 5 5 2,0 7,12 10 4 8,56 10

4

30/m 5 5 2,0 7,09 10 4 8,59 10

4

0/m 10 7 4,0 2,09 10 5 9,56 10

6

30/m 10 7 4,0 1,96 10 5 8,16 10

6

0/m 15 1 2,0 1,63 10 6 1,17 10

5

30/m 15 1 2,0 1,92 10 6 1,15 10

5

Tabelle3.1.ErgebnissederTestreihefur denperfektenAbsorbernachBild 3.7.Bei vorgegebenerSchichtdicke D und transversalerWellenzahlkz ergibt sichfur die angegebenenParameterdiskreteAbsorptionszahlü tα 1 î 2 î ì»ì î 7 undExponentn 1 î 2 î ìì î 6 der maximalerelative AmplitudenfehlerFA r der z–KomponentederelektrischenFeldstarkeentlangderKurvec. Dermaximaleab-solutePhasenfehlerim Bogenmaßist FP.

3.5. STABILITAT, DISPERSION UND GENAUIGKEIT 51 ! #"# #%$&('*)+ #,.-0/21.,3 547698:6<;>=?/26<8: #@&A7/2 #Stabilitats–und Dispersionsuntersuchungendes Yee–Schemasfur homogeneisotropeverlustfreieMedien sind in [28, 36, 37] zu finden. Da dieseUnter-suchungenabermit dem hier vorgestelltenKalkul auf der Ebeneder Diskre-tenWellengleichungbesonderseffektiv gestaltetwerdenkonnen,soll andieserStelleaufStabilitatundDispersionin homogenenquellenfreienGebieteneinge-gangenwerden.Hierbei fallt dem(schwach)verlustbehaftetenFall besonderesAugenmerkzu. Diesertritt bei der Behandlungvon Gebaudewandenauf, wodasVerhaltnisderWellenlangezurZellgroßebesonderskritischist undsomitzuuntersuchungswurdigenDiskretisierungsfehlernfuhrt.

Aussage3.6 Die zweidimensionalebenenWellenfunktionenej B KxX þ KyY þ0C T Dmit dendiskretenWellenzahlenKx, Ky undder diskretenKreisfrequenzE sindEigenfunktionender in der DWGverwendetenFeldoperatoren.Die GesamtheitdieserFelderbildet raumlich ein vollstandigesFunktionensystem,dasz. B. beiderdiskretenFouriertransformationeingesetztwird.

Somitgenugtes,fur Stabilitats–undDispersionsuntersuchungendie genanntenFelderzu betrachten,dadie Anfangsbedingungenstetsin eineReihevon zwei-dimensionalebenenWellenfeldernentwickelt werdenkonnen.

3.5.1 Stabilit at und zeitliche Genauigkeit des Ausbreitungssimulations-verfahrensin homogenenquellenfreienverlustbehaftetenGebieten

Esist ej B KxX þ KyY þFC T D!G e þ jKxej B KxX þ KyY þFC T D î ej B KxX þ KyY þFC T D!G e jKx ej B KxX þ KyY þFC T D î ej B KxX þ KyY þFC T D G e þ jKyej B KxX þ KyY þFC T D î ej B KxX þ KyY þFC T D G e jKy ej B KxX þ KyY þFC T D îú

ej B KxX þ KyY þFC T D!G e þ j C ej B KxX þ KyY þFC T D îúej B KxX þ KyY þFC T D!G e

j C ej B KxX þ KyY þFC T D ì(3.5.1)


SetztmandiezweidimensionalebenenWellenfelderin (3.3.6)ein,soergibt sichmittelsSubstitutionderFeldoperatorendurchihreEigenwerte

(3.5.2) HJI 7KL e j CNMPO I 7K þ û KQ I þSR û I þ K þ ej CUT G

V2ph ï e jKx û ejKx û e

jKy û ejKy M 4 M K2z ð GM V2

ph 4 sin2 12Kx û 4 sin2 12Ky û K2z G M ˜E 2 ì

Diesist dieDispersionsrelationim verlustbehaftetenFall mit derdiskretenPha-sengeschwindigkeit

VphG ü tü x V ˜W ˜X ì(3.5.3)

StabilitatherrschtbeieinerSchrittverstarkung è ej C èZY 1, wobeigilt

ej C G 2 1 M K I[ M ˜E 2ê ï 2 1 M K I\ M ˜E 2 ð 2 û 4 K 2 û I 2 M K 2 I 2 M 1

1 û I û K û K I(3.5.4)

mitK

= 1 M K = ü t2

˜K˜X und I = 1 M I = ü t

2˜I˜X .

Ist derTerm

D G ï 2 1 M K I] M ˜E 2 ð 2 û 4 K 2 û I 2 M K 2 I 2 M 1(3.5.5)

unterderWurzelnegativ d.h. ˜E 2 I1 mit

I1 G^ 2 M 2K I M 2 O I 2 M 1R_O K 2 M 1R î 2 M 2

K I û 2 O I 2 M 1R_O K 2 M 1Ra` î(3.5.6)

sowird dieSchrittverstarkungè ej C è G 1 M I\ 1 M K 1 û I\ 1 û K Y 1 î(3.5.7)

ist erpositiv, sowird è ej C èbY 1, wenn ˜E 2 I2 Gdc M 4K I î 4e .

3.5. STABILITAT, DISPERSION UND GENAUIGKEIT 53

Stabilitatherrschtalsobei

˜E 2 I1 f I2 î˜E 2 g

max

4 î 2 M 2

K I û 2 O I 2 M 1RhO K 2 M 1R ì(3.5.8)

Im verlustlosenFall ergibt sichaus(3.5.2)diebekannte[36] Dispersionsrelation

sin2 12 Ei G V2ph

sin2 12Kx û sin2 12Ky û Kz

2

2 î(3.5.9)

dieaucheinpragsamals

˜E 2 G V2ph K2

xû K2

yû K2

z (3.5.10)

mit

˜E G 2 sin 12 Ej îKx

G 2 sin 12Kx îKy

G 2 sin 12Ky (3.5.11)

geschriebenwerdenkann.DasStabilitatskriteriumwird dann

4 k V2ph 8 û K2

z ì(3.5.12)

Die Erfullung von (3.5.12)stellt im verlustlosenund im verlustbehaftetenFallstabilesVerhaltenderDWG sicher, da(3.5.8)dannin jedemFall erfullt ist.Gleichung(3.5.7)ermoglicht zusatzlich nocheineAussageuberdie Genauig-keit derVerlustbehandlungbeiraumlichungedampftenaberzeitlichgedampftenWellen.Im kontinuierlichenverlustbehaftetenMediumliefert eineAnalysederdanngultigenWellengleichungim Frequenz–undSpektralbereichl 2ýnm M j l ý]o û mp M oqp G k2

xû k2

yû k2

z(3.5.13)

mit komplexer Kreisfrequenzl . Sowird die Schrittverstarkungim Kontinuier-lichen è ej C è k G è ej r ÿ t è G e

ts#u BrbD ÿ tG e vw xG e v

e x ì(3.5.14)


Nach(3.5.7)ist in derdiskretenNaherungè ej C è G 1 M I\ 1 û I\ 1 M K 1 û K î(3.5.15)

hierhangtalsodieSchrittverstarkungebenfallsnurvonMaterialparameternundderzeitlichenSchrittweiteü t ab.

Zur FehlerabschatzungkommtderrelativeFehlerFrG ï 1 Mzy

1 û y ð e | M 1, y þ der Einzelfaktorenzum Zuge.Eine Reihenentwicklungliefert Fr ~ M 13y 3,

derrelative GesamtfehlerderSchrittverstarkung è ej C è ist somitetwa M 13 K 3 ûI 3 .

3.5.2 Dispersionin homogenenquellenfreienverlustbehaftetenGebieten

Der interessanteFall derzeitlich ungedampften,raumlichabklingendenWellenin verlustbehaftetenMedienist allgemeinanalytischnurschwerzuuntersuchen.DaherbeschranktsichdieseArbeit auf Wellenmit gleicherAusbreitungs–undDampfungsrichtung19 , wobei nur die Ausbreitungin x–Richtung(0 ) und x

û y –Richtung(45 ) untersuchtwird. Im verlustlosenFall tretendie Ex-tremwertedesFehlersgeradein diesenRichtungenauf [37].

Dannwird aus(3.5.2)

I |K? e j CNMO I |K þ û KQ I þSR û I þ K þ ej C G M V2

ph 4a2sin2 c 12a

K e û K2z (3.5.16)

mit a = 1 bei0 unda G V 2 im 45 –Fall.

Mit arcsin V y = M j ln ê V 1 My êj V y , y laßtsich (3.5.16)bei gegebe-

nem E stetsnachderkomplexenWellenzahlK auflosen,

K G 2aarcsin M 1

4a2 I K e j C M I K þ û K I þ û I þ K þ ej CV2

ph

û K2z ì(3.5.17)

19Die Ausbreitungsrichtungist hierbeidie RichtungdesRealteilsdeskomplexenWellenvektors,dieDampfungsrichtungdieRichtungseinesImaginarteils.


Im verlustlosenFall ist die VerfahrensdispersionanderStabilitatsgrenzemini-mal [37], daherwird hiernur

VphG 4m r K2

zû 8(3.5.18)

betrachtet,damitLuftbereichestabilsindunddortgunstigeVerfahrensbedingun-genherrschen.FernersollennurelektrischeVerlusteberucksichtigtwerden,somitist

K G 2aarcsin M 1

4a2 m r K2zû 8

4 K e j C M 2 û K þ ej C û K2z (3.5.19)

dieauszuwertendeDispersionsrelation.KontinuierlicheAnalysemittels(3.5.13)ergibt alsVergleichsrelation

KkG m r K2

zû 8

4 E 2 M 2j E K M K2z ì(3.5.20)

Die Diagramme3.1 bis 3.4zeigendenBetragdesrelativenFehlers20 derkom-plexen diskretenWellenzahlK in Abhangigkeit der Frequenzf in der Praxis.Die Zellgroße ü x nimmt dabeifur die Ausbreitungssimulationbis 2 GHz denWertvon7 mman.Parameterist dieWellenzahlkz vonkz = 0 biskz = 30 /m.Siehtmanvon derunmittelbarenUmgebungder jeweiligenGrenzfrequenzab,so bleibt der Fehlerfur Frequenzenbis 2 GHz im Luftbereichunter0,3 %, inKalksteinunter15%.Die Diagramme3.5und3.6zeigendenBetragdesrelativenFehlersderkomple-xendiskretenWellenzahlK in Abhangigkeit derFrequenzf fur kz = 30 /m undAusbreitungin x–Richtung.Diesist derkritischsteFall. Als Parameterist dieZellgroße ü x aufgetragen.Bei einerZellgroßevon ü x

G 10 mm liegt derFehlerim Luftbereichum 3 %und ist somit tolerabel,in Kalksteinwird er mit bis zu 70 % zu groß.FordertmaneinenFehlerunter10%, somußmit ü x Y 6 mmgerechnetwerden.DadieZellgroßezurdrittenPotenzin denRechenaufwandeingeht,ist einewei-terUntersuchungrelevanterSimulationsergebnissewie z. B. Reflexionsfaktoren

20In Diagramm3.1verschwindetderFehlerfur kz=0, dasVerfahrenarbeitetdanndispersionsfreiin 45 –Richtung.


zweidimensionalebenerWellenanverlustbehaftetenebenenGrenzschichtener-forderlich,umdieZellensogroßwie moglichwahlenzukonnen.Die genannteUntersuchungerfolgt im nachstenAbschnitt.


107 108 1092 5 2 5 2 5

Frequenzf in Hz 10 7

10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0F

ehle

rder

Wel

lenz

ahlK

K kK

k

kz 0kz 10 /mkz 20 /mkz 30 /m

Diagramm 3.1. FrequenzabhangigerBetragdesrelativen Fehlersder komple-xen diskretenWellenzahlim verlustlosenFall fur Ausbreitungin x

û y–Richtung( m r

G 1, ü xG 7 mm).

107 108 1092 5 2 5 2 5


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

Feh

lerd

erW

elle

nzah

l&K K k Kk

&

kz 0kz 10 /mkz 20 /mkz 30 /m

Diagramm 3.2. FrequenzabhangigerBetragdesrelativen Fehlersder komple-xendiskretenWellenzahlim verlustlosenFall fur Ausbreitungin x–Richtung( m r

G 1, ü xG 7 mm).


107 108 1092 5 2 5 2 5


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0F

ehle

rder

Wel

lenz

ahl&&K K k K

k

&&

kz 0kz 10 /mkz 20 /mkz 30 /m

Diagramm 3.3. FrequenzabhangigerBetragdesrelativen Fehlersder komple-xen diskretenWellenzahlin Kalkstein fur Ausbreitungin x+ y–Richtung( m r

G 7 î 51, o G 0 î 028S/m, ü xG 7 mm).

107 108 1092 5 2 5 2 5


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

Feh

lerd

erW

elle

nzah

l&&K K k Kk

&&

kz 0kz 10 /mkz 20 /mkz 30 /m

Diagramm 3.4. FrequenzabhangigerBetragdesrelativen Fehlersder komple-xen diskretenWellenzahlin Kalksteinfur Ausbreitungin x–Richtung( m r

G7 î 51, o G 0 î 028S/m, ü x

G 7 mm).


107 108 1092 5 2 5 2 5


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0F

ehle

rder

Wel

lenz

ahl&K K k K

k

&

x 5 mmx 6 mmx 7 mmx 8 mmx 10 mm

Diagramm 3.5. FrequenzabhangigerBetragdesrelativen Fehlersder komple-xendiskretenWellenzahlim verlustlosenFall fur Ausbreitungin x–Richtung( m r

G 1, kz = 30 /m).

107 108 1092 5 2 5 2 5


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

Feh

lerd

erW

elle

nzah

l&K K k Kk

&

x 5 mmx 6 mmx 7 mmx 8 mmx 10 mm

Diagramm 3.6. FrequenzabhangigerBetragdesrelativen Fehlersder komple-xen diskretenWellenzahlin Kalksteinfur Ausbreitungin x–Richtung( m r

G7 î 51, o G 0 î 028S/m,kz = 30 /m).


3.5.3 Untersuchung der Genauigkeit des simulierten Reflexionsfaktorspraxisnaher Diskontinuit aten

Um die Zellen fur gegebeneGenauigkeitsanspruchemaximalgroßwahlenzukonnen,wird hier die Genauigkeit der Ausbreitungssimulationfur denFall ei-ner GrenzschichtzwischenLuft und Kalksteinuntersucht.Berechnetwird derabsoluteFehlerdesBetragesdesReflexionsfaktorsdergenanntenStruktur.

Aussage3.7 Um einebeliebige eindimensionaleSchichtstrukturbehandelnzukonnen,genugteineeindimensionaleFDTD–Simulationmit festerdiskreterWel-lenzahlKy in y–Richtung. Damit lassensich zweidimensionalebeneWellenmitbeliebigemEinfallswinkel erfassen.

Die HerleitungdeseindimensionalenFDTD–Verfahrensgeschiehteinfacher-weisemit Substitutionder Feldoperatoren und durch ihre Eigenwertein(3.2.25)

r1G óõ

0 Kz M KyM Kz 0 M 1Ky 1 M 0

÷ù îr1G óõ

0 Kz M KyM Kz 0 M 1Ky 1 M 0

÷ù ì(3.5.21)

Die Gleichung(3.2.24)wird danndurchErsatzvon r2 durchr1 bzw. r2 durchr1

zueinemeindimensionalenFDTD–Schema.

HohereModen(Kz G 0) und Modenmit schragemWelleneinfall (Ky G 0) be-sitzeneineGrenzfrequenz,unterhalbder sie nicht ausbreitungsfahig sind. BeiZeitbereichssimulationenlaßtessich nur schlechtvermeiden,auchnicht aus-breitungsfahigeAnteileanzuregen.Diesstort beidereigentlichenAusbreitungs-simulationwenig.

HieraberbereitetdiegenannteTatsacheSchwierigkeitenbeiderzeitlichenTren-nungvonhin– rucklaufenderWelle.Daherist esgeschickt,dieeindimensionaleSimulationim Frequenzbereichdurchzufuhren.Dazuwird in (3.2.24)

údurch

ej C undúdurche

j C ersetzt.Esentstehtein linearesGleichungssystem,dessenSystemmatrixeineBandstrukturmit kleinerBandbreiteaufweist.

AbsorbierendeRandbedingungenlassensich im Frequenzbereichsehreinfachmit Hilfe derim letztenUnterabschnittdiskutiertenDispersionsrelationdarstel-len.Diesefunktionierenauchim verlustbehaftetenFall.


Die Diagramme3.7 bis 3.9 zeigendenFehlerdesgenanntenReflexionsfaktorsin Abhangigkeit derFrequenzmit derZellgroßealsParameter.DieBezugsebeneliegt2 mvorderGrenzschicht,dahertritt in Diagramm3.8und3.9einHochpaßcharakterzutage.In Diagramm3.7laßtsichweiterhinerkennen,daßdasuntersuchteVerfahrendie Ordnungzwei besitzt.EineVerzehnfachungderFrequenzverhundertfachtdenFehler.Der absoluteFehlerdesReflexionsfaktorsliegt auchbei hoherenModenundschragemWelleneinfall klar unter10%, wenndieZellenkleinerals1 cmsind.Die Diagramme3.7bis3.9zeigendenfrequenzabhangigenReflexionsfaktorei-nertypischenKalksteinwandbei verschiedenenZellgroßen.Auchhier stellt beiFrequenzenbis 2 GHzeineZellgroßevon7 mmeinengutenKompromißin derAbwagungvonRechenaufwandundDiskretisierungsfehlerdar.Zur endgultigen Bewertung ist in den Diagrammen3.10 und 3.11 nochmalsder absoluteFehler des Reflexionsfaktors einer typischenKalksteinwand inAbhangigkeit desEinfallswinkelsbei einerFrequenzvon1,8GHz aufgetragen.Hier liegt der maximaleabsoluteFehlerbei einerZellgroßevon 7 mm knappuber10%.

Aussage3.8 In der Ausbreitungssimulation entstehtder HauptanteildesDis-kretisierungsfehlers in Objektenmit kleinerPhasengeschwindigkeit, speziellinhochpermittivenGebaudewanden.NumerischeExperimentelegenesnahe, denFehler hauptsachlich der Verfahrensdispersionanzulasten.Reflexionsfaktoren,in die die Verfahrensdispersioneingeht,werdenum ungefahr eineGroßenord-nungungenauerermitteltalssolche, beidenendiesnicht derFall ist.


108 1092 5 2


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

Feh

lerd

erR

efel

xion

sfakt

orsS

11

x 5 mmx 6 mmx 7 mmx 8 mmx 9 mmx 10mm

Diagramm 3.7.FrequenzabhangigerBetragdesabsolutenFehlersdesReflexi-onsfaktorsS11 einerWellemit dentransversalenWellenzahlenky

G 0 undkzG 0

aneinerGrenzschichtzwischenLuft undKalkstein( m rG 7 î 51, o G 0 î 028S/m).


1098 1 5 2


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

Feh

lerd

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11


Diagramm 3.8. FrequenzabhangigerBetragdesabsolutenFehlersdesRefle-xionsfaktorsS11 einer Welle mit den transversalenWellenzahlenky

G 0 undkzG 30/m an einer GrenzschichtzwischenLuft und Kalkstein ( m r

G 7 î 51,o G 0 î 028S/m).

1098 1 5 2


10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

Feh

lerd

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11


Diagramm 3.9. FrequenzabhangigerBetragdesabsolutenFehlersdesRefle-xionsfaktorsS11 einerWellemit dentransversalenWellenzahlenky

G 30/mundkzG 0 aneinerGrenzschichtzwischenLuft undKalkstein( m r

G 7 î 51, o G 0 î 028S/m).


0,5 1,0 1,5 2,0

Frequenzf in GHz 20,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7B

etra

gdes

Refl

exio

nsfa

ktor

sS11

x 1 mmx 5 mmx 7 mmx 10 mm

Diagramm 3.10.FrequenzabhangigerReflexionsfaktor è S11 è einerWellemit dentransversalenWellenzahlenky

G 0 undkzG 0 aneiner24 cm dickenWandaus

Kalkstein( m rG 7 î 51, o G 0 î 028S/m).

0,5 1,0 1,5 2,0

Frequenzf in GHz 20,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Bet

ragd

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11

x 1 mmx 5 mmx 7 mmx 10 mm

Diagramm 3.11.FrequenzabhangigerBetragdesReflexionsfaktor è S11 è einerWellemit dentransversalenWellenzahlenky

G 0 undkzG 30/maneiner24cm

dickenWandausKalkstein( m rG 7 î 51, o G 0 î 028S/m).


0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel in Grad 10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

Feh

lerd

esR

eflex

ions

fakt

ors

S 11

x 2 mmx 5 mmx 7 mmx 10mm

Diagramm 3.12.AbsoluterFehlerdesReflexionsfaktors S11 einerWelle mitdertransversalenWellenzahlkz 0 aneiner24 cm dickenWandausKalkstein( r 7 51, 0 028S/m)in Abhangigkeit desEinfallswinkels.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Einfallswinkel in Grad 10 6

10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

Feh

lerd

esR

eflex

ions

fakt

ors

¡ S 11

¡%¢£

¤x ¥ 2 mm¤x ¥ 5 mm¤x ¥ 7 mm¤x ¥ 10mm

Diagramm 3.13.AbsoluterFehlerdesReflexionsfaktors S11 einerWelle mitdertransversalenWellenzahlkz 30/maneiner24 cm dickenWandausKalk-stein( r 7 51, 0 028S/m)in Abhangigkeit desEinfallswinkels.

66 3. FDTD–VERFAHREN ZUR AUSBREITUNGSSIMULATION¦w§J¨ ©Uª<«%¬2&®:ª<Q®:ª<¯>°w¬2±²¯0³&®:´¶µ·¬2«.¸®:ª<In Abschnitt2.4 wurdendie Schnittstellender Ausbreitungssimulationbereitsspezifiziert.

3.6.1 Anr egungdes Ausbreitungsverfahrensdurch einen konzentriertenStrom

Die konzentrierteErsatzstromdichteder Sendeantennewird zwecksDiskreti-sierungdurch eine Stromdichterealisiert,die nur eine z–KomponentebesitztundeinekomplettezweidimensionaleH–Untergitterzelleausfullt. SomiterfolgtdieAnregungubereineeinzigeFeldkomponentederdiskretenStromdichte.DieSendeantennenpositionmußdaherder Positionder z–Komponentedeselektri-schenFeldesim zweidimensionalenGitterentsprechen.

Zur direkten Ermittlung der modalenUbertragungsfunktionhp ¹»º kz ¼ mußtemanmit einemzeitlichenDiracimpulsanregen.DiesereignetsichabernursehrschlechtzurAnregungeinesFDTD–Verfahrens,daergeradebei Kz ½ 0 eigent-lich uninteressanteAnteile enthalt, die nicht oder nur mit geringerGruppen-geschwindigkeit ausbreitungsfahigsindunddeshalbim Feldraumnur langsamabklingen.AusdiesemGrundwird beiderAnregungmeistmit bandbegrenztenSignalengearbeitet,dieaußerdemsehrsanftanklingen.Diesist wunschenswert,danichtabt ¿¾ ∞ simuliertwerdenkannunddaszeitliche,,Abschneiden”derAnregungdieBandbreitewiedererhoht.

Ublich [28] sind Anregungsfunktionenin Form einesverzogert einsetzendenGaußimpulses

is ¹ t ¼| isÀ 0e ÁÃÂ t Ä t0t1 Å 2

(3.6.1)

mit derFouriertransformierten

is ¹Æº:¼0 t1 Ç È isÀ 0e ÁaÂÊÉ t12 Å 2

e Á j Ë t0 Ì(3.6.2)

Da im RahmenderAusbreitungssimulationBandpaßsignaleinteressieren,wirdhiereinmodulierterGaußimpuls

is ¹ t ¼! isÀ 0 sin ¹Íº 0 ¹ t ¾ t0 ¼Î¼ e ÁaÂ t Ä t0t1 Å 2

(3.6.3)

3.7. ERWEITERUNGSMOGLICHKEITEN DER AUSBREITUNGSSIMULATION 67

mit derFouriertransformierten

is ¹»º:¼!¿¾ 12

j Ç È e Á j Ë t0 Ï e ÁÑÐ É Ä É 0 Ò 24 ¾ e ÁUÐ ÉÔÓÕÉ 0 Ò 24 Ö(3.6.4)

verwendet.DieseAnregungsfunktionbesitztkeinenAnteil bei ºN 0. Aus derAntwort desAusbreitungssystemsaufdasBandpaßsignallaßtsichim Frequenz-bereichleichtdie Impulsantwort desbandbegrenztenSystemsermitteln.

3.6.2 Feldauswertungfur dasAusbreitungsverfahren

Im Rahmender Ausbreitungssimulationist, wie gesagt,nur Ez ¹ X Y T ¼ in derUmgebungderEmpfangsantenneinteressant.Soll jedochfur weitereAnalyseneinkomplettesTeilfeld verwendetwerden,soist essinnvoll, durchInterpolationelektrischeundmagnetischeFeldkomponentenamgleichenOrt undzur selbenZeit zurVerfugungzuhaben.Die Interpolationgeschiehtin zwei Stufen.ZunachstwerdendiskreteFelderE ¹ X Y T ¼ und H ¹ X Y T ¼ definiert,bei denenalle Feldkomponentenin RaumundZeit angleicheStelleninterpretiertwerden.Esist

E ¹ X Y T ¼ 12 ×Ø 1 Ù Ú 0 0

0 1 Ù Û 00 0 1 ÜÝ E ¹ X Y T ¼

H ¹ X Y T ¼ 18 ×Ø 2 Ù 2Û 0 0

0 2 Ù 2Ú 00 0 1 Ù ÚwÙ ÛaÙ Ú Û[ÜÝ ¹ 1 Ù Þ ¼ H ¹ X Y T ¼ Ì

(3.6.5)

DieseFelderwerdendannbeispielsweisedurchlineareInterpolationin kontinu-ierlicheuberfuhrt.DerzweistufigeInterpolationsprozeßbietetdenVorteil, daßz.B. fur TestzweckePoyntingvektorenundEnergiedichtenaufderEbenederinterpoliertendiskretenFelderberechnetwerdenkonnen.¦§ß à:«áµ·¬2â#¸¬2«Ê®:ª<´.ãåäæ ±²â5çéè:ê7¬2â#¸¬2ªë¯!¬2«ì©h®:´3í0«%¬2â#¸®:ª<´.´3â#ã®S±#³&¸â æ ª3.7.1 Lokale Verfahrensverfeinerungen

Ein bemerkenswertesErgebnisausdenAbschnitten3.5.2und3.5.3ist, daßnachAussage3.8 die VerfahrensdispersiondengroßtenAnteil amDiskretisierungs-fehlerliefert.Daherist esnaheliegend,diesendurchlokaleGitterverfeinerungen


oderallgemeinerlokaleVerfahrensverfeinerungenin hochpermittivenGebietenzu vermindern.MehrereArten von lokalenVerfahrensverfeinerungenkommenin Frage,sindaberausverschiedenenGrundennichteingesetztworden.

Gitter verzerrungen Gitterverzerrungensind einfachzu implementierenunddaherdie amhaufigstenverwendetenGitterverfeinerungen[38]. Meist werdengeradeGitterlinienverwendetundnur ihr Abstandvariiert.DasYee–Verfahrenverliert andenDiskontinuitatenanFehlerordnung,dahersindfein gestufteGit-terverfeinerungenublich.Gitterverzerrungeneignensichnicht gut fur die Aus-breitungssimulation.Mit FeinstufungsindsiewegendervielenStreuerzu auf-wendig,ohnewerdenPhantomreflexionenandenDiskontinuitatenauftreten.

Lokale Gitter verfeinerungen Lokale Gitterverfeinerungenfur das Yee–Verfahrensindin derLiteraturhaufigdiskutiertworden[39,40], kommenwegenStabilitatsproblemenundaufwendigerImplementierunghierabernichtzumZu-ge.

PunktweiseElimination In Gebieten,die mit derdiskretenWellengleichungbehandeltwerden,konnenbis zu 50 % der Zellen naherungsweiseeliminiertwerden[41]. Die Naherungwird fur großeWellenlangenimmer besser, daherwareesdenkbar, fur die Ausbreitungssimulationzunachstsehrfein zu diskreti-sierenunddannim LuftbereichZellenzu loschen.Leider ist dasVerfahrenzurZeit nur fur kz 0 stabilunddahernichtallgemeineinsetzbar.

Ordnungserhohung Prinzipiell stehenfur die raumlicheDiskretisierungderWellengleichungauchandereOperatorenzur Verfugungals der raumliche5–Punkt Operatorder diskretenWellengleichung[42, Kapitel 7.1.2.9.3].DieseOperatorenerhohendie Verfahrensordnung,indemsie raumlich mehr Punktemit einbeziehen.In derAusbreitungssimulationkonntensiein Gebietenmit ho-her Permittivitat und in Bereichenhoherzu erwartenderFeldkrummungein-gesetztwerden.DabeiwerdenrechtgroßeZellen verwendetbei entsprechendgeringerraumlicherAuflosungder Materialparameter. Diessollte Aussage3.8zufolgezunachstnicht von allzu großemNachteilsein,stellt aberdochein be-deutendesProblemdar. Zeitbereichsmomentenmethoden[43] umgehendiesesProblemdurchdirekteEinbeziehungder Materialeigenschaftenin denOpera-tor, sind jedochnochzu wenig entwickelt und erprobtund außerdemnochzuaufwendig,umderzeitin derAusbreitungssimulationumEinsatzzu gelangen.


3.7.2 Verbesserte Behandlung von Decke und Boden in Stahlbeton–Bauweise

DielektrischeEigenschaftenvon Decke und Boden einesStockwerkslassensich in die Ausbreitungssimulationeinbringen,ohnedasSimulationsverfahrenabandernzu mussen[44]. Dazuwird mit einemverbessertenModell, welchesnicht direkt in dashier vorgestelltenZeitbereichsverfahreneingebrachtwerdenkann,eineeinfacheGebaudewandsimuliert.Die SimulationsparameterdesZeit-bereichsverfahrensî ¹ X ¼ , ¹ X ¼ , ¹ X ¼ und ï ¹ X ¼ undkz werdendannderartmo-difiziert, daßeineguteUbereinstimmungmit demverbessertenModell erzieltwird.

Bild 3.8zeigtdie im verbessertenModell eingebrachteSchichtstruktur. DerUn-

îðÔwÆî 0 Ô 0

LuftbereichStreuer

DielektrischeSchichten

z 0

z zd

x

Decke

Bodenñ ∞

ñ ∞

z

y

Bild 3.8.VerbessertesModell zur BerucksichtigungdielektrischerEigenschaf-tenvonDeckeundBodenin Stahlbetonbauweise.

terschiedzu demin Bild 2.2 gezeigtenzweidimensionalenGebaudebestehtindendielektrischenSchichtenauf Decke undBoden,die alsBetonschichtenaufeinerStahlarmierunginterpretiertwerdenkonnen.

Die in [44] quantifiziertenVerbesserungendurchdiegenannteModifikationderSimulationsparameterfallen nur bei ModenhoherOrdnungszahlins Gewichtund sind auchdannnur moderat.Deshalbwurdedashier angesprocheneVer-fahrenin derAusbreitungssimulationnichteingesetzt.


3.7.3 Anbindung von GO/UTD Verfahren zur Berucksichtigung externerStreuerund Antennen

Weist die nahereund weitere Gebaudeumgebung Streuer, Sende–und/oderEmpfangsantennenauf,die in dieFunkkanalsimulationeinbezogenwerdensol-len, so sind diesevorteilhaft mit den Methodender Strahlenoptik(sieheAb-schnitt1.4.3)zu behandeln.Außerhalbvon GebaudensinddieseVerfahrenwe-gendergroßenStreuerausdehnungauchfur FrequenzenvoneinembiszweiGi-gahertzausreichendgenau,bestenserprobtund in vielen Variantenverfugbar[11, Kapitel4].

Aussage3.9 Strahlenoptischen Methodenarbeitenbei der Kopplungsberech-nungvonStreuernmeistmit Fernfeldentwicklungenin Kugelwellen,die jeweilsdasFeld in einembestimmtenRaumbereich abdecken.Die Anbindungder mul-timodalenZeitbereichsmethodenan strahlenoptischeSimulatorenerfolgt daherzweckmaßig uberEin– beziehungsweiseAuskopplungvonraumlich begrenztenKugelwellen.

Unter Voraussetzungvon Ruckwirkungsfreiheitlassensich so externeSende–undEmpfangsantennengenaubeschreiben.An externenStreuernim NahbereichdesGebaudestritt jedochModenkonversionauf. Diesemuß unberucksichtigtbleiben,weil ausSpeicherplatzgrundennicht alle Modenzugleichsimulierbarsind.Weit entfernteStreuerwerdenzwar von allenModenangeregt, wirkenje-doch uber naherungsweiseebeneWellenfeldernur auf den Mode mit kz 0zuruck21. Siekonnendeshalbguteinbezogenwerden.

3.7.3.1 Auskopplung von Wellenanteilenzur Verwendungin strahlenopti-schenSimulationsverfahren

DemAuskopplungsverfahrenliegt eineNahfeldzuFernfeldtransformationahn-lich der ausAbschnitt 4.5.3 zugrunde.Nach dem erweitertenHuygensschenPrinzip[14, Kapitel 1.14] werdenauf demRand∂G desdreidimensionalenSi-mulationsgebietesG mit demnachaußengerichtetenFlachennormaleneinheits-vektor n zeitabhangigeelektrischeErsatzflachenstromdichtenJF ¹ x t ¼ und ma-gnetischeErsatzflachenstromdichtenMF ¹ x t ¼ mit

JF ¹ x t ¼ n ò H ¹ x t ¼ MF ¹ x t ¼ E ¹ x t ¼ ò n

(3.7.1)

21Die Ruckstreuunguber die Oberseiteder Decke und die Unterseitedes Bodenswird ver-nachlassigt.


eingefuhrt. DasFeld der elektrischenFeldstarke E ¹ x t ¼ und dasder magneti-schenFeldstarkeH ¹ x t ¼ ist, wie in Abschnitt2.4beschrieben,ausdenverschie-denenModenzusammengesetzt.Fernerist die BeschrankungderErsatzstrom-dichtenaufdenBereichz ó!ô 0 zd õ zubeachten.

Aus denErsatzflachenstromdichtenkonnennach[14, Kapitel 1.7] daselektri-scheVektorpotentialFv ¹ x t ¼ und dasmagnetischeVektorpotentialAv ¹ x t ¼ inFernfeldnaherungim Zeitbereichals

Av ¹ x t ¼ 14 È x hö∂G

JF Ï x ÷# t Ù cos¹ùø Ð x À x ú Ò ¼üû x ú ûc0¾ û x û

c0Ö dA ÷5

Fv ¹ x t ¼ 14 È x hö∂G

MF Ï x ÷ t Ù cos¹ ø Ð x À x ú Ò ¼ û x ú ûc0¾ û x û

c0Ö dA ÷(3.7.2)

berechnetwerden. In Kugelkoordinaten ¹ r %ý&ÿþ ¼ laßt sich damit direkt daszeitabhangigeelektromagnetischeFernfeldzu

E ¹ x t ¼ ZF À 0 H ¹ x t ¼ ¾ î 0 ∂tAv À ¹ x t ¼ ¾ 1c0

∂tFv À ¹ x t ¼ E ¹ x t ¼ ¾ ZF À 0 H ¹ x t ¼ ¾ î 0 ∂tAv À ¹ x t ¼ Ù 1

c0∂tFv À ¹ x t ¼

(3.7.3)

ermitteln.Dabeiist ZF À 0 derFeldwellenwiderstanddesVakuumsundc0 die Va-kuumlichtgeschwindigkeit.

Meist interessiertnur die Abstrahlungin wenigeRichtungen,wenn z. B. ei-ne EmpfangsantenneaußerhalbdesGebaudespostiertist und zusatzlich zumdirektenAusbreitungsweg nur ein weiterermit Einfachreflexion am Erdbodenberucksichtigtwerdensoll. DannbrauchtdasFernfeldzur Anbindungan diestrahlenoptischeSimulationnur fur sehrwenigefesteRaumrichtungenermitteltzuwerden.In derUmgebungeinersolchenfestenRaumrichtungx0

x0 gilt

cos ¹ x x ÷ ¼ cos ¹ x0 x ÷ ¼ Ì(3.7.4)

Die Gleichungen(3.7.2)liefern dannKugelwellensegmente,die eineproblem-losestrahlenoptischeVerwendungdesFernfeldesermoglichen.

Fur die Auswertungvon (3.7.2)kommendie interpoliertendiskretenFelderaus(3.6.5)zumEinsatz.Die ReprasentativwertewerdenalsStutzstellenfur ein nu-merischesIntegrationsverfahrenverwendet.


3.7.3.2 Einkopplung von extern erzeugtenelektromagnetischenFeldern

ElektromagnetischeFelderFa , derenQuellensichaußerhalbdesGebaudesbe-finden,werdenmit ErsatzflachenstromdichtenJF ¹ x t ¼ undMF ¹ x t ¼ mit

JF ¹ x t ¼ n ò Ha ¹ x t ¼ MF ¹ x t ¼ Ea ¹ x t ¼ ò n

(3.7.5)

angeregt. Der Flachennormaleneinheitsvektorn zeigtdiesmalins Simulations-gebiet G hinein. Die anregendenFelder Ea ¹ x t ¼ und Ha ¹ x t ¼ werdenohneBerucksichtigungdesGebaudesermittelt,die Interpretationhierzuist zuderbeiderBehandlungderEmpfangsantennein Abschnitt2.2aquivalent.

Im FallederAnkopplunganeinstrahlenoptischesSimulationsverfahrensinddieFelderEa ¹ x t ¼ undHa ¹ x t ¼ auszeitabhangigenKugelwellensegmentenzusam-mengesetzt.

3.7.3.3 DiskreteRealisierungder Ein– und Auskopplung

In der Ausbreitungssimulationwird daseigentlicheSimulationsgebietmit ei-nerFreiraumschichtunddiesewiederummit demperfektenAbsorberumgeben.Die Ein– und Auskopplungvon WellenfelderngeschiehtnachBild 3.9 in derFreiraumschicht.Zur EinkopplungexternerFelderwird demsepariertenYee–Schema(3.2.24)einTermzurBerucksichtigungmagnetischerStromdichtenhin-zugefugt. Im vorliegendenverlustfreienFall wird dannnachEinfuhrungdiskre-terFlachenstromdichten(3.2.24)zu

E ¹ X Y T ¼ t x

1˜ r2 Þ H ¹ X Y T ¼ Ù Þ E ¹ X Y T ¼¾ t x

1˜ Þ JF ¹ X Y T ¼

H ¹ X Y T ¼ t x

1˜ r2E ¹ X Y T ¼ Ù Þ H ¹ X Y T ¼¾ t x

1˜ MF ¹ X Y T ¼ Ì

(3.7.6)

Dabeiwird diediskreteelektrischeFlachenstromdichteJF ¹ X Y T ¼ andieStelle

Z JF ¹ X ¼! ×Ø xX Ù x2 x xX Ù x

2 y xX Ù x

2 z ÜÝ(3.7.7)


X

Simulationsgebiet

Freiraumzone

perfekterAbsorber

Auskopplungsschicht

EinkopplungsschichtY

Bild 3.9. Simulationsanordnungzur bidirektionalenAnkopplungexternerFel-der.

interpretiert.Die diskretemagnetischeFlachenstromdichteMF ¹ X Y T ¼ liegt bei

Z MF ¹ X ¼0 ×Ø xX Ù x2 ¹ y Ù z ¼ xX Ù x

2 ¹ z Ù x ¼ xX Ù x

2 ¹ x Ù y ¼ ÜÝ Ì(3.7.8)

Zeitlich liegen JF ¹ X Y T ¼ und H ¹ X Y T ¼ sowie MF ¹ X Y T ¼ und E ¹ X Y T ¼gleich.Die FlachenstromdichtenwerdenausdenkontinuierlichenFeldernEa ¹ x t ¼ undHa ¹ x t ¼ nachAnwendungvon(3.7.5)durchAbtastunggewonnen.

DiesesKapitelbeschaftigt sichmit derHerleitungvonZeitbereichsverfahrenzurSimulation rotationssymmetrischerAntennen,vgl. [45]. VorgehensweiseundFormalismussinddabeisoenganKapitel3 angelehnt,daßhiereinesehrknappeDarstellunggewahltwerdenkann. § àSâ#ª µ·¬â#¯!â5ã ¬2ª<´3â æ ª<³&±#¬2´L°<¬2« ù³è:«%¬2ª!&®:«#" ¬2è:³ª<¯!±²®:ª< « æ ¸³%$¸â æ ª<´3´'&7ã ã ¬¸Æ«Êâ#´.çéè:¬2«0©Uª<¸¬2ª<ª<¬2ª4.1.1 DasdreidimensionalerotationssymmetrischeFDTD–Schema

Zunachstwird eindreidimensionalesFDTD–Verfahrenfur dieAntennensimula-tion mit Verlustendurchelektrischeund magnetischeLeitfahigkeitenhergelei-tet.Dabeiwird einkontinuierlichesZylinderkoordinatensystemx ¹)( ÿþL z¼ unddessendiskretesPendantX ¹+* -, Z ¼ zugrundegelegt. Bild 4.1zeigtdieEin-heitszelledesrotationssymmetrischenFDTD–Verfahrens.Die Zellausdehnungist x in ( undz–Richtungsowie in þ –Richtung.Bei * 0 ist die Einheitszelle,wie in Bild 4.2 dargestellt,entartet1. Dort ver-schwindenH . ¹ X T ¼ undE ¹ X T ¼ ; Ez ¹ X T ¼ ist in allenZellengleich.Fur die-senFall stehtim folgendendie jeweils obereAlternative in dengeschweiftenKlammern.

1Ein anderesrotationssymmetrischesVerfahrenkanngeneriertwerden,indemmandie ortlichenPositionendeselektrischenunddesmagnetischenFeldesvertauscht.Die beidenVerfahrensind,imGegensatzzumkartesischenFall, verschieden.

74

4.1. EIN ROTATIONSSYMMETRISCHES FDTD–VERFAHREN 75

/x

/0132 X0 46587 2 X0 4H 9

Hz

Ez

E0

E9

: 2 X0 4;5=< 2 X0 4/

x

H0

Bild 4.1.Die EinheitszelledesrotationssymmetrischenFDTD–Gitters.

H0

E9 Hz

Ez

Bild 4.2.EntarteteEinheitszellebei * 0.

76 4. ZEITBEREICHSVERFAHREN FUR ROTATIONSSYMMETRISCHE ANTENNEN

DasdreidimensionalerotationssymmetrischeFDTD–Schemalautet

E ¹ X T ¼ t>@? x

1˜ p Þ H ¹ X T ¼ Ù > Á>@? Þ E ¹ X T ¼¾ t> ? 1

˜ Þ J ¹ X T ¼ H ¹ X T ¼ tA ? x

1˜ pE ¹ X T ¼ Ù A ÁA ? Þ H ¹ X T ¼(4.1.1)

mit > ? 1 Ù t2

˜>˜ > Á 1 ¾B t

2˜>˜ A ? 1 Ù t

2˜A˜ A Á 1 ¾ t

2˜A˜ Ì(4.1.2)

Fernerist

˜ ×CCCCCCCCCCCØ

1 Ù D!Ù EéÙ D E 0 0

00

1 Ù FwÙ D|Ù F D 0

0 0

GHI HJ 4K;LNM KOLNM∑l P 1

E l

4Q ? 14Q ¹ 1 Ù E ¼ Ù 4Q Á 1

4Q ¹ FwÙ F E ¼RSHTHUÜWVVVVVVVVVVVÝ

4

(4.1.3)

und

˜ ×CCCCCCCCCCØ

0

1 ÙXDìÙYEÕÙXDZE 0 0

0 1 ÙFwÙXDìÙ[F\D 0

0 0

GI J ¹ 1 ÙYE ¼ Ù 3 ¹ FÙ[F]E ¼4Q ? 14Q ? 4 ¹ 1 ÙYE ¼ Ù 4Q ? 3

4Q ? 4 ¹ FwÙF]E ¼R TUÜ VVVVVVVVVVÝî4Ì

(4.1.4)


Die RotationsoperatormatrizendesrotationssymmetrischenVerfahrenssind

p ×CCCCCCCCCCCCØ

00D ¾ 1

GI J 0

1Q^_ ¹ 1 ¾ E ¼R TU

1 ¾ D 0 F ¾ 1GI J 4^#_ ¹ E ¾ 1¼2Ð Q ? 2Ò ^ _ ¹ E ¾ 1¼

R TU GI J ¾ 4FQQ ? 1 ¾ FR TU 0

ÜWVVVVVVVVVVVVÝ(4.1.5)

p ×CCCCCCCCCCCCCCCØ

0 D ¾ 1

GI J 1^#_ ¹ 1 ¾ E ¼2Ð Q ? 2Ò ^ _ ¹ 1 ¾ E ¼

R TU0

1 ¾ D 0 F ¾ 1GI J 0

1Q`^ _ ¹ E ¾ 1¼R TU

GHI HJ 4KOLNM KOLNM∑l P 1

E l

2Q ? 12Q ¾ 2Q Á 1

2Q FR HTHU 0

Ü VVVVVVVVVVVVVVVÝÌ(4.1.6)

Dabei stellen F und E die Feldoperatorenfur Verschiebung in * bzw. , –Richtungdar, F und E sind ihre Inversen.Die diskretenLeitfahigkeitsmatrizen˜> und ˜A werdenanalogzu ˜ bzw. ˜ berechnet.

Die diskretenFeldersindzyklischin , , dasheißtE K;LNM H ¹ X T ¼0 H ¹ X T ¼ aE KOLNM E ¹ X T ¼0 E ¹ X T ¼ Ì(4.1.7)

Dasselbegilt fur dieMaterialparameterundmit E . DieZellanzahlin , –Richtungist õ ,+ô 2 È .

4.1.2 SeparationdesrotationssymmetrischenVerfahrens

Aussage4.1 DasdreidimensionalerotationssymmetrischeSchemaist nicht be-sonders effektiv, da der Zeitschritt vergleichsweiseklein gewahlt werdenmuß.


Dieserorientiert sich an der Lange der kurzestenGitterkante, die in denEin-heitszellenbei * 0 auftritt2 undderenLangeproportionalzu x ist, alsozur raumlichenAuflosungim Quadrat.

Bei nicht vom Azimut , abhangigenMaterialverteilungen,beispielsweisebeirotationssymmetrischenAntennen,wird diesdurchAbseparierender Azimut-abhangigkeit derFelderdeutlichentscharft.Dabeientstehteinzweidimensiona-lesVerfahren,welchesauchdurchdie eingesparteSimulationsdimensiondeut-lich anEffektivitatgewinnt3.DerSeparationsansatzist

E ¹ X T ¼F ×Ø c 0 00 s 00 0 c ÜÝ E ¹+* Z T ¼ (4.1.8)

H ¹ X T ¼F ×Ø s 0 00 c 00 0 s ÜÝ H ¹+* Z T ¼

s sin¹'bðõ ¹ ,zÙ 12 ¼ Ù þ 0 ô ¼

c cos¹'b õ c, Ù þ 0 ô ¼ Ì(4.1.9)

Dabei wird die elektrischeStromdichteJ ¹ X T ¼ wie E ¹ X T ¼ behandelt;derDrehwinkel þ 0 kannbeliebiggewahltwerden.Esist ¹ 1 ¾ E ¼ c ¾ 2 sin¹ 12 b ¼ s

¹ 1 ¾ E ¼ s 2 sin¹ 12 b ¼ c K À=d c b c

(4.1.10)

2Werdenz. B. bei rein koaxialenAnordnungennur Zellenab e ¥ e 0 simuliert,entscharft sichderangesprocheneSachverhaltetwas.

3GegebenenfallskanneineechtdreidimensionaleFeldverteilungbeirotationssymmetrischerAn-ordnungdannwiederausverschiedenenzweidimensionalenLosungenzusammengesetztwerden.


und KOLNM∑l P 1

E l c 2 f ¾gbh 0 õ ,+ô c fji h n GI J 0 ik 0

12 i n i 0i n il 0

Ì(4.1.11)

DamitwerdendiezweidimensionalenRotationsmatrizen

p2 ×CCCCCCCCCCCCØ

00D ¾ 1

GI J 0¾ 1Q K À=dR TU

1 ¾ D 0 F ¾ 1GI J 4 K À=d2Ð Q ? 2Ò K À=d

R TU GI J ¾ 4FQQ ? 1 ¾ FR TU 0

Ü VVVVVVVVVVVVÝ

(4.1.12)

p2 ×CCCCCCCCCCCCCCØ

0 D ¾ 1

GI J K À=d2Ð Q ? 2Ò K ÀSd

R TU0

1 ¾ D 0 F ¾ 1GI J 0¾ 1^ _ K À=dR TU GI J 8 f ¾mbnh 0

2Q ? 12Q ¾ 2Q Á 1

2Q FR TU 0

Ü VVVVVVVVVVVVVVÝÌ(4.1.13)

Nunist dasrotationssymmetrischeVerfahrensepariert.Da nichtmehrexpli-zit auftritt, ist die Stabilitat deszweidimensionalenSchemasnur nochvon derazimutalenWellenzahlK ÀSd und von x abhangig.Nach(4.1.10)hangtK À=dbeikleinem kaumvon ab,dahersinktdermaximalzulassigeZeitschrittjetztnurnochlinearmit derAuflosung.VondiesemPunktanbeschranktsichdasvorliegendeKapitelaufdenFall b 0.In bezugauf die Antennensimulationwerdendamit Antennenausgeschlossen,


die mit hoherenRundhohlleitermodenarbeiten.Solchewerdenbeispielswei-sebei Rechteckhohlleiterspeisungangeregt [46]. Die wichtigenAntennenderFunkkanalmeßtechnik,Dipolantennenundkoaxialgespeisterotationssymmetri-scheAntennen,werdenaberweitervoll erfaßt.Bei b 0 ist

p02

×CCCCCCCCCCCCØ

00D ¾ 1

0

1 ¾ D 0 F ¾ 1

0

GI J ¾ 4FQQ ? 1 ¾ FR TU 0

Ü VVVVVVVVVVVVÝ(4.1.14)

und

p02

×CCCCCCCCCCCCØ

0 D ¾ 1 0

0

1 ¾ D 0 F ¾ 1

0

GI J 4

2Q ? 12Q ¾ 2Q Á 1

2Q FR TU 0

Ü VVVVVVVVVVVVÝÌ(4.1.15)

Die Feldkomponententripel¹ E0. ¹+* Z T ¼ E0z ¹+* Z T ¼ H 0 ¹+* Z T ¼¶¼

und ¹ E0 ¹+* Z T ¼ H 0. ¹+* Z T ¼ H 0z ¹+* Z T ¼¶¼

sindjetztvoneinanderentkoppelt.Fur dieangesprochenenrelevantenAntennen-typenist nur ¹ E0. ¹+* Z T ¼ E0

z ¹+* Z T ¼ H 0 ¹+* Z T ¼¶¼interessant,da dieseKomponentenkombinationgeradedemGrundtypder Ko-axialleitungsowie derAnregungderDipolantenneentspricht.

4.2. DIE ROTATIONSSYMMETRISCHE DISKRETE WELLENGLEICHUNG 81 §po +â#¬q+â#´.êt«%¬2¸¬sr¬2±#±²¬2ª<&±²¬2â#çüè:®:ª<s®:«utwvyxzv2â|~%n\vy vyn~%nnsjvyvyx#vvy\v|XxZ~%\W'vx nvyuNvyxZvyvIn Abschnitt 3.3 wurde fur daskartesischeFDTD–Verfahrenein verbessertesSchemain homogenenGebietenhergeleitet.Dies kannanalogauchim rotati-onssymmetrischenFall erfolgen.Bei m 0 und 0 ist in homogenenverlust–undquellfreienMedien4 |¡¢

1£ 1 ¢ ¡ £ E ¥¤ Z ¤ T £ ¦ 2t¦ 2

x §©¨ p02 p0

2E ¤ Z ¤ T £ª¤

|¡¢1£ 1 ¢ ¡ £ H ¥¤ Z ¤ T £ ¦ 2

t¦ 2x §©¨ p0

2 p02H

¤ Z ¤ T £ Ì(4.2.1)

Esgilt

p02p0

2 «¬¬¬¬¬¬

®O¯°1± ® 1 ° ¯ ± 0 ®O¯°

1± ® ²³° 1±0 2 ´jµ 3

2 ´jµ 2²¶ 2 á· 1

2 ´ ²+¶w¯³¶ ¯°2° 2jµ 1´w¸ 2 ´%µ 2¹ 0 ´´%µ 1

°%² £ ® 1 ° ¯ ± 0 ´´%µ 1

°%² £ ® ²° 1±

ºW»»»»»»¼ ¤(4.2.2)

p02p0

2 «¬¬¬¬¬¬

® ¯°1± ® 1 °j¯ ± 0 ® ¯°

1± ®6²³° 1±0 ²¶ á· 1´ ²+¶w¯³¶ ¯° 2w· 1´jµ 1

°2 0

2%µ 12

° 2 á· 12

² £ ® 1 °j¯ ± 0

2 ´½µ 12 ´ ° 2 á· 1

2 ´ ² £ ®6²° 1±

º »»»»»»¼ Ì(4.2.3)

Die ¾ –Komponentendeselektrischenund desmagnetischenFeldessind alsoentkoppelt.Die rotationssymmetrischenDiskretenWellengleichungensindda-

4Die Herleitung in diesemAbschnitt funktioniert auch im inhomogenenverlustbehaftetenFall. Bei rotationssymmetrischenAntennensimulationentretendielektrischeVerlusteund Diskon-tinuitatender Materialparameternur in der raumlich kleinen Anschlußleitungauf. Da ferner ei-ne Schnittstellezum rotationssymmetrischenSchemafur Anregungund Feldauswertungsowiesobenotigt wird, wird hierdieeinfachereundkurzereDarstellungfur dieDiskreteWellengleichungimhomogenenverlustlosenFall bevorzugt.


mit ¡¢1£ 1 ¢ ¡ £ E0¿ ¥¤ Z ¤ T £3 À 2

tÀ 2x ÁÂ Ã ²¶ ´w· 1´ ²+¶a¯³¶ ¯\° 2 ´w· 1´jµ 1

°2 E0¿ ¥¤ Z ¤ T £ª¤ ¡¢

1£ 1 ¢ ¡ £ H 0¿ ¥¤ Z ¤ T £ À 2tÀ 2

x ÁÂÅÄ 2%µ 32%µ 2

²¶ 2w· 12

²+¶w¯+¶ ¯°2° 2jµ 1´w¸ 2%µ 2¹³Æ H 0¿ ¥¤ Z ¤ T £ª¤

(4.2.4)

wobeiwie gesagtnur die Gleichungfur H 0¿ Ç¤ Z ¤ T £ bei denhier interessantenrotationssymmetrischenAntennenbenotigt wird.

4.2.1 Hybride Verbindung beider Verfahren

Die Verbindungder rotationssymmetrischenDiskretenWellengleichungenmitdemrotationssymmetrischenFDTD–Schemazu einemHybrid erfolgt exakt indergleichenWeisewie die VerbindungderkartesischenPendantsin Abschnitt3.3.2.Dabeigilt dieKomponentenzuordnung

x ¤ y¤ z£ È Z ¤¥¤-Éc£ªÊ

Die Ersparnisan Computerspeicherplatzliegt bei ca. 33 %, die Rechenzeiter-sparnisfallt langstnichtsosehrinsGewicht wie im kartesischenFall.ËwÌÎÍ Ï vyxÐvyx ÑvÒÓ\vgÔÕWÖ ×yÖØÙ ÖZ~%\ÙW'×Ö n×yÙÚw×yÛÖZ×yÜ×yÙEs ist naheliegend,den perfektenAbsorberauch in rotationssymmetrischenFeldproblemenin einerAnordnungnachBild 4.3 zu verwenden.Die eigentli-cheAntennenanordnungist in positiver radialerRichtungund in positiver undnegativer Z–Richtungmit einer perfekt absorbierendenSchicht abgesumpft.Unmittelbarnebenden absorbierendenSchichtenkonnenzeitabhangigeelek-tromagnetischeFelderabgegriffen werden,beispielsweisefur die Nahfeld–zu–FernfeldtransformationausAbschnitt4.5.3.DereigentlicheAntennenbereichistalsovon einerFreiraumschichtumgeben,die Antennenzuleitungkann jedochggf. in den Absorberbei Z 0 hineinragen.Hier werdendannrucklaufendeWellenin derZuleitungabsorbiert.

Aussage4.2 Soll die Antennenstrukturfein aufgelost und der Rechenaufwandin Grenzengehaltenwerden,so mussendie Absorberim Nahfeldder Antennez.B.im AbstandvoneinerWellenlangepostiertwerden.

4.3. DER ROTATIONSSYMMETRISCHE PERFEKTE ABSORBER 83

Ý

Z

perfekteAbsorber

AuskopplungsschichtAntennengebiet

n Þn·Wß z

n ÞÛµ-ß z

n Þß½à

Bild 4.3. Anordnungzur SimulationeinesrotationssymmetrischenAntennen-problemsmit perfektabsorbierendenSchichten.

In diesemAbschnittwird zunachstder rotationssymmetrischeperfekteAbsor-ber im kontinuierlichenFall untersucht.Danachwird er diskretisiertund diediskreteVersionfur denkritischenFall radialenWelleneinfallseinemPraxistestunterzogen.Dabeiwird stetsderFall desazimutunabhangigenelektromagneti-schenFeldes( X 0) mit denFeldkomponentenE0¿ ¥¤ Z ¤ T £ , H 0á ¥¤ Z ¤ T £ undH 0

z ¥¤ Z ¤ T £ untersucht.

4.3.1 Der kontinuierliche rotationssymmetrischeperfekte Absorber

Aussage4.3 Der perfekteAbsorberarbeitetbei radial einfallendenZylinder-wellenauch im kontinuierlichenFall nicht reflexionsfrei. Er kanndennoch zurAbsorptionradial einfallenderZylinderwellenverwendetwerden,wennerâ mindestenseineWellenlangevonderSymmetrieachseentferntist undâ mit im Vergleich zumkartesischenFall kleinerAbsorptionszahlarbeitet.

Der Absorberfur die Radialrichtungarbeitetdanndeutlich schlechter als seinkartesischesPendant,aber doch zufriedenstellend.In Z–RichtungfunktioniertderperfekteAbsorberauch bei rotationssymmetrischenProblementadellos.


Im Falle der Unabhangigkeit des elektromagnetischenFeldes von der z–Koordinateundvon der ¾ –Koordinatesindim homogenenMediumhomogeneTEM–Zylinderwellen

Eá )ã £ 0 ¤H ¿ )ã £ CH H

®2±

1

ká ã £z¤

Ez )ã £ ká

j ä ¨`åçæ CH H®2±

0

ká ã £ j ZF CH H

®2±

0

ká ã £zÊ(4.3.1)

LosungenderMaxwellschenGleichungenim Frequenzbereich[14,Kapitel8.1].HierbeiistCH einebeliebigeKonstante.

Fernerist

ká éè ¢g j ä ¨`åçæ £ j ä §Yåê £ë¤

ZF j ä §ìåÇêj ä ¨íåçæ Ê

H®1î 2±

n )ã £Û Jn

)ã £ï jYn )ã £z¤(4.3.2)

sinddie Hankelfunktionenn–terOrdnung,die nachinnenbzw. außenlaufendeZylinderwellenbeschreiben.

Soll eineGrenzschichtbeiã ã

0 fur homogeneZylinderwellenreflexionsfreisein,somuß

limáZðá0á-ñ%á0

Ez )ã £

H ¿ )ã £ limáZðá0á-òaá0

Ez )ã £

H ¿ )ã £(4.3.3)

unddamit

ZF ó l H®2±

0

ká ó l ã 0 £

H®2±

1

ká ó l ã 0 £ ZF ó r H

®2±

0

ká ó r ã 0 £

H®2±

1

ká ó r ã 0 £ ¤(4.3.4)

wobeidieBuchstabenl bzw. r dasGebietlinks bzw. rechtsderGrenzschichtin-dizieren.Im Gegensatzzu (3.4.2)ist dieseBedingungorts–undvor allemuberdie radialeWellenzahlká frequenzabhangig.Der kontinuierlicheperfekteAb-sorberist damitim rotationssymmetrischenFall alsnicht generellreflexionsfreiidentifiziert.

Fur großeká ã 0 konvergiert (4.3.4)jedochgegen(3.4.2).


EineAnalyse5 liefert alsReflexionsfaktorS11 derGrenzschichtzwischeneinemLuftbereichunddemperfektenAbsorbermit derAbsorptionα beireinradialemWelleneinfall

S11 Ä H ®2±

1

ká ó l ã 0 £ H ®

2±0

ká ó r ã 0 £ ¢ H

®2±

1

ká ó r ã 0 £ H ®

2±0

ká ó l ã 0 £ Æ H

®1±

0

ká ó l ã 0 £Ä H ®

1±0

ká ó l ã 0 £ H ®

2±1

ká ó r ã 0 £ ¢ H

®2±

0

ká ó r ã 0 £ H ®

1±1

ká ó l ã 0 £ Æ H

®2±

0

ká ó l ã 0 £ ¤

ôS11

ô 16ã

0 αc0õöö÷ 4096ä 4 ã0

4 å 1024ä 2 ã0

3αc0¢

384 ä 2 ã0

2c02å 64

ã0

2α2c02 ¢

48ã

0 αc03 å 9c0

4 å 4096ä 2 ã0

4α2

(4.3.5)

mit ø Â ùÁ α undderVakkumlichtgeschwindigkeitc0. Die angegebeneNahe-rung fur denBetragdesReflexionsfaktorswurdeunterVerwendungderasym-ptotischenEntwicklungen[47, Kapitel21.8]

H®1î 2±

0

'ú £ 2ûýü e þ j® ü ° û î 4± Ã 1 ÿ j 1

8

ú ¤H®1î 2±

1

'ú £ ÿ j 2ûýü e þ j® ü ° û î 4± Ã 1 ï j 3

8

ú (4.3.6)

furú

großenBetragesermittelt. Sie kann als ,,Faustformel”erfahrungs-gemaßin derPraxisstetsangewendetwerden.

4.3.2 Diskretisierungdesrotationssymmetrischenperfekten Absorbers

Analog zu der Vorgehensweisebeim kartesischenProblemin Abschnitt3.4.3erfolgthiereineAufteilungderH 0¿ ¥¤ Z ¤ T £ –Feldkomponente.

Esist

EII X ¤ T £ dg

« α ·zα µzα ·α µ º¼ ¡

EII X ¤ T £ å ¦ t¦ x ¨ 0dg

« 1α µz1

α µ º¼ pII2¡HII X ¤ T £ª¤

HII X ¤ T £ dg

« α ·zα µzα ·α µ º¼ ¡

HII X ¤ T £ å ¦ t¦ x § 0dg

« 1α µz1

α µ º¼ pII2 EII X ¤ T £(4.3.7)

5Der ReflexionsfaktorS11 ist hier alsVerhaltnisder linksseitigenhin– und rucklaufendenWel-lenanteile(bezogenaufdieelektrischeFeldstarke)anStelle 0 zuverstehen.


mit

α¶ 1 å ¦ t

2α ¤

α° 1

¢ ¦ t

2α ¤

HII X ¤ T £ Ä H 0¿z

¤ Z ¤ T £ H 0¿ á ¥¤ Z ¤ T £ Æ T ¤EII X ¤ T £ Ã E0á Ç¤ Z ¤ T £ E0

z ¤ Z ¤ T £ T Ê

(4.3.8)

Die Indizesder Absorptionskoeffizientenentsprechenwieder den Abhangig-keitsrichtungen.

Die RotationsoperatormatrizendesrotationssymmetrischenVerfahrenspII2 und

pII2 lauten

pII2 «¬¬ 1

¢0

0 ¢ 1

ºW»»¼ ¤pII

2 «¬¬¬¬¬

¢1

n¢1 4

2 ¶ 12 ¢ 2 ° 1

2 4

2 ¶ 12 ¢ 2 ° 1

2 º »»»»»¼ ¤(4.3.9)

wobeiwiederdie obereAlternative in dengeschweiftenKlammernfur denent-artetenFall 0 steht.

4.3.3 Quantitati ve Untersuchung des rotationssymmetrischenperfektenAbsorbers

In der Praxissollenhybride rotationssymmetrischeZeitbereichsverfahrenein-gesetztwerden,um Antennenbeispielsweiseim Frequenzbereichvon 1,6GHzbis 2,0 GHz zu simulieren.Damit auchdie Antennenzuleitungfein genugauf-gelost ist, wird eineZellgroße ¦ x 0 ¤ 2 mm angenommen.Um denkritischenRadialabsorberbei mittleremRechenzeitaufwandaußerhalbdesNahfeldespo-sitionierenzu konnen,sei die Radialdiskretisierung = 700 Elemente.Der


Absorbersoll fernernichtdickeralsD 100Elementesein.EinegrobeAbschatzungderbenotigtenAbsorptionist

e° α

c0D À x 10

°3 ¤(4.3.10)

damitwird beiVph c0 ¦ t ¦ x 1 2α ¦ t 7

2D 0 ¤ 035Ê(4.3.11)

Im diskretenFall soll dieAbsorptionwiedersanftmit

α )ã £ αmax ãØ¢[ã

0

d n

(4.3.12)

beid D ¦ x ansteigen.Diagramm4.1 zeigtdenfrequenzabhangigenBetragdesReflexionsfaktorsS11

derGrenzschichtzwischeneinemLuftbereichundeinemkontinuierlichenper-fektenAbsorberbei unterschiedlichenAbsorptionskoeffizientenα. Die Datenwurdenmit Gleichung(4.3.5)berechnet6.Es fallt auf, daßsich der Reflexionsfaktor im interessantenFrequenzbereichkaumvomAbsorptionskoeffizientenbeeinflussenlaßt.Er liegt immerknappun-ter5 %. Nur mit unverhaltnismaßighohemAufwand(dieGrenzschichtliegt bei = 2000, derAbsorptionskoeffizientist abD 300Elementerealistisch)kanneraufetwasuber1 % gedrucktwerden.ErstbeihohenFrequenzenabca.5 GHzsindgroßereUnterschiedebemerkbar.Beim diskretenperfektenAbsorberliegt der Fall ahnlich.Diagramm4.2 zeigtdenfrequenzabhangigenBetragdesReflexionsfaktorsS11 dergenanntenStruk-tur mit j 700in Abhangigkeit verschiedenerParameter.

Aussage4.4 Die EigenschaftendesdiskretenrotationssymmetrischenperfektenAbsorbers sind im interessantenFrequenzbereich (relativ kleineFrequenzeninbezugaufdieDiskretisierung)nur sehrwenigvondessenParameternabhangig.In der Praxisist soein Reflexionsfaktorvonknappunter3 % zuerreichen.Erstbei hohenFrequenzenmacht sich der Parametereinflußbemerkbar, dort lieferndickeAbsorbermit kleinenAbsorptionskoeffizientenReflexionsfaktorenklar un-ter 10

°3.

Mit Abstrahlbedingungen[45] lassensichnachDiagramm4.2deutlichgeringe-reReflexionsfaktorenerreichen.Leiderlieferndamitkonstruierteabsorbierende

6Die exakteFormelwurdeverwendet.Bei denhiergewahltenParameternist derUnterschiedzurNaherungsformelab f 1 GHznichtsichtbar.


Wandenurbei radialemWelleneinfall brauchbareErgebnisse,wahrendderhiervorgestellteperfekteAbsorberauchbei schragemWelleneinfall funktioniert.Die Untersuchungenim diskretenFall wurdenwie in Abschnitt3.5.3mit einemeindimensionalenVerfahrendurchgefuhrt.Die Simulationenwurdenim Zeitbe-reichdurchgefuhrtundabgebrochen,bevor diereflektierteWellein dergroßerenReferenzstrukturdenMeßpunkterreicht.


108 109 10102 5 2 5 2


10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

3

3

3

3

3

3

Bet

ragd

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11

0 ! x 600 α ! t 0 " 050 0 ! x 600 α ! t 0 " 010 0 ! x 600 α ! t 0 " 005 0 ! x 2000 α ! t 0 " 005

Diagramm 4.1. Frequenzabhangiger Betrag des Reflexionsfaktors S11 derGrenzschichtzwischeneinemLuftbereichundeinemkontinuierlichenrotations-symmetrischenperfektenAbsorberim Falle rein radialenWelleneinfalls.

108 109 10102 5 2 5 2


10 5

10 4

10 3

10 2

10 1

10 0

3

3

3

3

3

3

Bet

ragd

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11

D 20 α ! t 0 " 300 n 2D 50 α ! t 0 " 300 n 2D 70 α ! t 2 " 000 n 3D 100 α ! t 0 " 100 n 2D 100 α ! t 0 " 050 n 1

Strahlungswand

Diagramm 4.2.FrequenzabhangigerBetragdesReflexionsfaktorsS11 von dis-kretenrotationssymmetrischenperfektenAbsorbernim Falle rein radialenWel-leneinfalls. Die radialeZellanzahlist w 700,die Zellgroße ¦ x 0 ¤ 2 mm.In derLegendestehtα alsAbkurzungfur αmax aus(4.3.12).

90 4. ZEITBEREICHSVERFAHREN FUR ROTATIONSSYMMETRISCHE ANTENNENËwÌÎË #%$'& | $)(&*$ nÙ Ï |WÛ×ÖWW|Ù ×yÖZ $+&*$ |Ù × $ Ö |-,/.n×yÙ10×yÖ Ñ & .nÜÖz×yÙAussage4.5 Das rotationssymmetrische Zeitbereichsverfahren laßt sich nurschlecht analytisch untersuchen.Hauptgrundist, daßfur dasaus(4.2.4)zuge-winnendediskretePendantderBesselschenDifferentialgleichungkeineanalyti-scheLosungbekanntist.

Krummlinige FDTD–Verfahrenwerdendahermeistempirischuntersucht.FurdieStabilitatsbetrachtunggilt im Zweidimensionalengrob[45]

¦ t 1

c0min A

l Ê(4.4.1)

Dabeiist A dieZellflacheundl diemaximaleZellausdehnung.Bei Rechteckgit-ternist diemaximaleZellausdehnungdieFlachendiagonale.

In derPraxishatsichbeimrotationssymmetrischenGitterVph c0 ¦ t ¦ x 1 2alsin jedemFall stabilbewahrt.

Die Dispersionsrelationlaßtsich auchnicht geschlossenangeben.Sie bereitetbeiderAntennensimulationaberauchkeineSchwierigkeiten,dawegenderAn-tennenzuleitungimmersehrfein aufgelostwird.ËwÌ32 Ô@ÙÖz×yjnÙnÙØÔ ÒÓÛnÙ | # ×yÙÛ×y× $ Ö |×yIn diesemAbschnitt wird auf die Problematikder Feldanregung und Aus-kopplungrelevanterGroßenbei koaxial gespeistenAntennenund bei draht-gespeistenAntennen(z.B. der klassischenDipolantenne)eingegangen.Wie inAbschnitt2.4 vorgegeben,wird dabeizwischenSende–und Empfangsbetriebstrengunterschieden.

Ziel derSimulationderSendeantenneist, wie in Abschnitt2.4beschrieben,dieErmittlungeinesaquivalentenStromfadens.

Zunachstmußdazuim rotationssymmetrischenZeibereichsschemadie Speise-stellederAntenneangemessenangeregt werden.An dieserStellekonnenauchDatenausgekoppeltwerden,um denAntenneneingangelektrischzu charakte-risieren.Zusatzlich wird nachBild 4.3 daszeitabhangigeelektromagnetischeFeldaufdemkomplettenRanddeseigentlichenSimulationsgebietsaufgezeich-net. Mit diesenDaten laßt sich dann im Frequenzbereicheine Nahfeld–zu–Fernfeldtransformationdurchfuhren(Abschnitt4.5.3).

4.5. ANREGUNG UND AUSKOPPLUNG IM SENDEBETRIEB 91

4.5.1 Anr egungfur koaxial gespeisteAntennen

Bild 4.4 zeigtdie zur AnregungundAuskopplungvon Wellenanteilenin einerKoaxialleitungverwendeterotationssymmetrischeSimulationsstruktur. Die Ko-

Z

452

51

50

ZD

Z1

Z2 6 1Z2

Elektroden

Auskopplung

Anregung

Absorber

H 7

Bild 4.4.AnordnungzurkoaxialenAnregungundAuskopplung.

axialleitungbesitztdenInnenradius¦ x 0 unddenAußenradius¦ x 1, wobeidie ElektrodendurchNullsetzenderdiskretenelektrischenFeldstarke realisiertwerden.DerperfekteAbsorberim BereichZ

0 ¤ ZD dientalsWellensumpffurdie rucklaufendeWelle.

Auf demeingezeichnetenAnregungsweg bei Z Z1 wird eineradialediskre-te elektrischeStromdichteJ0á ¤ Z ¤ T £ eingepragt,die ortlich demVerlauf deselektrischenFeldesdesGrundtypsder kontinuierlichenKoaxialleitungnach-empfundenist. Esgilt beiZ Z1

J0á ¥¤ Z ¤ T £ J01 å 1 2 sin

ä 0 ¦ t T

¢T0 £ £ e

°98 T · T0T1 : 2 ¤(4.5.1)

zeitlich ist dieseinmodulierterGaußimpulswie in Abschnitt3.6.1.

Zur AuskopplungwerdenzunachstdieelektrischeSpannungunddieelektrischeStromstarke bei z

Z2 å 1 2£ ¦ x ermittelt.Die Stromstarke ist i T £Û<; H ds


undso

i T £>= 2 0 å 1£ ¦ x H 0¿ ¤ Z ¤ T £@?? BAC 0 ó Z A Z2

Ê(4.5.2)

Die Spannungu T £ wird durchSummationderRadialkomponentendeselektri-

schenFeldesundanschließendeMittelunggewonnen.Esist beiZ Z2

u T £ ¦ x

2

D å 1£ 1°

1

∑ EAC 0

E0á ¥¤ Z ¤ T £ªÊ(4.5.3)

Meist wird eine Aufteilung der Leitungswellein einenhin– und einenruck-laufendenAnteil gewunscht.Bei großemAbstandder AuskopplungsstellezurnachstenDiskontinuitatundkurzemAnregungsimpulskonnendie Anteile zeit-lich getrenntwerden.Die Anregungenthalt dannallerdingserheblicheAnteilebei hohenFrequenzen,diesekonnenschonkurzeLeitungsdiskontinuitatenzurResonanzbringenundsoverhindern,daßdieFelderschnellgenugabklingen.

Hier wird daherein elektrodynamischerRichtkopplerverwendet,um mit nie-derfrequentenAnregungenarbeitenzu konnen.Diesergehtvon reinenkontinu-ierlichenGrundtypenin derKoaxialleitungaus.

Esist

u T £Û uh

T £ å ur

T £z¤

i T £Û Zl

uh

T £ ¢ ur

T £'£z¤

Zl ZF

2 = ln 1 0

(4.5.4)

undsomit

uh T £ 1

2

u T £ å Zl i

T £'£¤

ur T £ 1

2

u T £ ¢ Zl i

T £'£Ê(4.5.5)

In einer Testrechnungwurde die Koppeldampfung des elektrodynamischenRichtkopplersin einerluftgefulltenKoaxialleitunguntersucht,diebeidseitigab-gesumpftist. Diagramm4.3 gibt die Ergebnissewieder. Offensichtlicharbeitetdie koaxialeEin– undAuskopplungfur alle praktischenZwecke genaugenug.Im Detail ist zu erkennen,daßderelektrodynamischeRichtkopplerbei großem 1 etwasgenauerwird. Diesist aufdie bessereUbereinstimmungdeskontinu-ierlichenund desdiskretenkoaxialenGrundwellentypsbei feinererAuflosungzuruckzufuhren.


4.5.2 Anr egungbei drahtgespeistenAntennen

Bei drahtgespeistenAntennenwerdenalsTorgroßenamAntenneneingangkeineWellengroßen,sonderneine elektrischeSpannungund eine Stromstarke defi-niert. Bild 4.5 zeigt die zur AnregungeinerdrahtgespeistenAntennemit demdiskretenRadius 1 derAnschlußdrahteverwendeteAnordnung.Bei

0 ¤ Z0 £

i T £A

n u T £

Z

450

Z0 6 1Z0

51

50

H ¿

Bild 4.5.AnordnungzurAnregungundAuskopplungbeiDrahtantennen.

wird uberdie z–Komponenteder elektrischenFeldstarke eineSpannungu T £

eingepragt. Die Zeitabhangigkeit entsprichtdabei wieder einem moduliertenGaußimpuls.

Die Stromstarke i T £ wird uberdasmagnetischeFeldausgekoppeltmit

i T £F= 2 0 å 1£ ¦ x H 0¿ ¥¤ Z ¤ T £G?? EAC 0 ó Z A Z1

Ê(4.5.6)

Aussage4.6 Bei der magnetfeldbasiertenErmittlung der Torstromstarke i T £

von drahtgespeistenAntennenwird eineVerschiebungsstromstarke mit gemes-sen.Bei einemAbgriffradius 0 0 ist diesnicht der Fall, der kapazitiveEin-flußdesDrahtanschlusseswird voll erfaßt.Wird amDrahtradius 1 abgegrif-fen,sobleibtdieKapazitat desAnschlußspaltsaußenvor.


Diagramm4.4 zeigt zur IllustrationSimulationsergebnissefur einenunendlichausgedehntenDrahtdipolmit H 1 I 5. Die Zellgroßeist J x I 0 K 2mmbei einerZellanzahlvon 200 L 200 Elementen.Mit Hilfe der hier beschriebenenTech-nik wurdedieEingangsadmittanzberechnet,wobeidieAuskopplungzurStrom-berechnungeinmalbei H 0 I 0 und einmalbei H 0 I H 1 erfolgte.Die Diffe-renzderImaginarteilebeiderAdmittanzenentsprichtoffensichtlichin sehrguterNaherungderAdmittanzeinesKondensatorsderKapazitatC I 160fF. UberdiePlattenkondensatorformelergibt sichfur denAnregungsspalteineKapazitatvon139fF. ZiehtmanStreueffektemit in Betracht,soist die Ubereinstimmunggut.Interessantist diese Betrachtungfur den Literaturdatenvergleich von Ein-gangsimpedanzenvon Dipolantennenin Abschnitt5.1.3.Die beispielsweisein[48, Kapitel 2.2] verwendetenDunndrahtmodellevernachlassigennamlich im-plizit dieSpaltkapazitat.DeshalbmußdieAuskopplungderStromstarkefur die-senZweckaußenerfolgen.


109 10102 5 2 5 2 5

Frequenzf in Hz MN40

50

60

70

80K

oppe

ldam

pfun

gin

dB

OPQ

0 R 7Q

1 R 16 Zl R 49S 58ΩQ0 R 7

Q1 R 25 Zl R 76S 33ΩQ

0 R 7Q

1 R 35 Zl R 95S 52Ω

Diagramm 4.3. FrequenzabhangigerBetragder Koppeldampfungdeselektro-dynamischenRichtkopplersfur verschiedeneKoaxialleitungenbei einerZell-großevon J x I 0 K 2 mm. Die Axialabsorbersind D I 20 Elementestark,diemaximalediskreteAbsorptionist αmaxJ t I 6, derExponentn I 4. Der Refle-xionsfaktorderAbsorberist im ganzenFrequenzbereichkleinerals10T 5.

108 109 10102 3 5 2 3 5

Frequenzf in Hz MN10 U 5

10 U 4

10 U 3

10 U 2

10 U 1

Adm

ittan

zin

S

OPKurve1Kurve2Kurve3Kurve4

Diagramm 4.4. Simulierte frequenzabhangige Eingangsadmittanzdes un-endlich ausgedehntenDrahtdipols mit dem diskreten Radius H 1 I 5 beiJ x I 0 K 2 mm. Kurve 1 zeigt den Betrag der Eingangsadmittanz,wobei derStrom i V T W bei H 0 I 0 abgegriffen wurde.Fur Kurve 2 wurdebei H 0 I H 1

abgegriffen.Kurve3 zeigtdieDifferenzderImaginarteilederAdmittanzenbei-derAnordnungen,Kurve4 zumVergleichdieAdmittanzeinesKondensatorsderKapazitatC I 160fF.


4.5.3 Die Nahfeld–zu–Fernfeldtransformation

Der Weg zur Ermittlung des aquivalentenStromfadensnachAbschnitt 2.4.1fuhrt uberdasFernfeldder Antenne.Diesesgeschiehtahnlichwie im kartesi-schenFall (Abschnitt3.7.3.1bis 3.7.3.3)ubereineFeldauskopplungam RanddesSimulationsgebietsmit anschließenderErmittlungvon Ersatzflachenstrom-dichtennebstIntegrationzurFernfeldberechnung.

Zur Feldauswertungwird wie in Abschnitt3.7.3.1mit interpoliertendiskretenFelderngearbeitet,bei denenalle Feldkomponentenin denZellursprunginter-pretiertwerden.EsistXYZ

E0[ V\H1K Z K T WE0

z V\H1K Z K T WH 0] V\H1K Z K T W

^-_` I XZ 12 V 1 a b)W E0[ V\H1K Z K T W

E0z V\H1K Z K T W

18 V 1 a c'WdV 1 a efWdV 1 a bgW H 0] V\H1K Z K T W ^`(4.5.7)

dasinterpolierteFeld.

Zur ErmittlungdesaquivalentenStromfadenswird dasFernfeldim Frequenzbe-reichbenotigt. Mit Hilfe derDiskretenFouriertransformationisth

J0F V\HiK Z KkjlW

M0F VmH1K Z KnjoWmp I J t ∑

Te T j jlJ tT

hJ0

F V\HqK Z K T WM0

F V\HqK Z K T Wmp K(4.5.8)

wobeidie RichtungenderFlachennormaleneinheitsvektorenn Bild 4.3zu ent-nehmensind.

Die aus den Ersatzflachenstromdichtenzu berechnendenVektorpotentialeAv V x KkjrW undFv V x KkjoW sindahnlichwie in (3.7.2)h

Av V x KkjrWFv V x KkjrW p I 1

4 s 2 tu]v 0

∑wyxzZ | T ∂G

e T j k0 ~ r ~r h

J0F V\HiK Z KkjlW

M0F V\HqK Z KnjoW p HFJ 2

x d (4.5.9)

Dabeiist ∂G derRanddesSimulationsgebiets,r I x J x V cos]d sin ] Z T istderAbstandsvektorvomQuellpunktzumAufpunkt.DasIntegral uberdenRanddesSimulationsgebietsist dabeimit Hilfe derTrapezregeldiskretisiertworden.

Die Integralein (4.5.9)konnenin Fernfeldnaherunganalytischausgewertetwer-den7.

7Esist2 0

ej cos cos d R j 2 J1 g , 2 0

ej cos d R 2 J0 g und2 0

ej cos sin d R 0.


Esist in Fernfeldnaherung[14, Kapitel1.7]

Hf V x KkjrW I rot Av V x KkjrWa 1j j 0

rot rot Fv V x KnjoWr-

r J x H cos sin J xZcos Hf V x KkjrW eα

2e T jk0 r

r ∑ Z T ∂G

ejk0 Z x cos XZ k0 J1 V k0 HJ x sin W cosj 0 J1 V k0 HJ x sin Wjk0J0 V k0 HJ x sin W sin ^` T XZ J0

F ¡[ V\H1K Z KkjrWM 0

F ¢] V\H1K Z KkjrWJ0

F z V\H1K Z KkjrW ^` HqJ 2x

(4.5.10)

Dabei liegt ein in Kugelkoordinatensystemx I V r Kg*K α W T zugrunde8. Bild 4.6zeigt denIntegrationsweg fur die Nahfeldzu Fernfeldtransformation.Die Ele-

Absorber

∂G

Stutzpunkt

Integrationsintervall

Q

Z

Bild 4.6. Auskopplung und Integrationsweg fur die Nahfeld–zu–Fernfeldtransformation.

8SeineUrsprungslageauf derz–Achsekannin (4.5.10)ggf. mittelsErsatzvon Z durchZ £ Z0berucksichtigtwerden.


mentebei H I 0 liefernkeinenBeitragundsinddahernichteingezeichnet.DieEckendesIntegrationswegeswerdenwie eingezeichnetmit halblangenIntegra-tionsintervallenbehandelt,dieskannin (4.5.10)naherungsweisedurchHalbie-rungderentsprechendenErsatzflachenstromdichtenrealisiertwerden.¤¥3¦ §©¨lª)«¬%®o¨l¬¯®o¨l°±§²®r³µ´·¶¹¸º¸¼»½®o¨l¬¿¾À ÁoÀÂ¸¼ÃÅÄ*¨l¬%³-ÆÇ«ÉÈ'ªf¾Ê«ÆNachAbschnitt2.2 ist esZiel derEmpfangsantennensimulation,ausdemohneEmpfangsantennevorhandenenelektromagnetischenPrimarfeld in Form einerebenenWelle Fp V x K t W die antenntypabhangigdefinierteAusgangsgroßey V t W zubestimmen.

DieEmpfangsantennensimulationbeziehtsichausschließlichaufdaselektroma-gnetischeSekundarfeldFs V x K t W , daßsich mit demPrimarfeldzum Gesamtfelduberlagert.

BeideFeldanteileerfullennaherungsweisedieMaxwellschenGleichungen.DieRandbedingungenwerdenabernur vom Gesamtfelderfullt. Damit gilt bei vor-gegebenemelektrischemPrimarfeld Ep V x K t W auf Metalloberflachenmit demFlachennormaleneinheitsvektorn

n LV Ep V x K t WÉa Es V x K t WËW I 0 Kn L Es V x K t W I n L Ep V x K t Wg(4.6.1)

Die AnregungdesEmpfangsproblemserfolgtalsouberdiedurchdasPrimarfeldvorgegebenenTangentialkomponentendeselektrischenFeldesauf Metallober-flachen.

Die AnpassungdeskartesischvorliegendenPrimarfeldesan die Zylindersym-metriederAntennensimulationerfolgt ubereineazimutaleMittelwertbildung.

Zugrunde liegt eine vollstandige trigonometrischeFourierentwicklungdesPrimarfeldesuberdenAzimut.Die FourieranteilekonnenlautSeparationsansatzdannabergetrenntsimuliertwerden,so daßfur die Auskopplungbei drahtge-speistenund koaxial gespeistenAntennen9 wiedernur der azimutunabhangigeAnteil interessiert.Dieserist abergeradeuberdie genannteMittelwertbildungzuermitteln.

Bei der Auskopplungist an sich dasGesamtfeldzu behandeln.Da Antennenabergeradeso beschaffen sind,daßdie elektromagnetischeSekundarfeldener-gie zur Auskoppelstellegefuhrt wird bzw. dort konzentriertwird, ist dasSe-kundarfeld an der Auskoppelstellein der Praxisum Großenordnungenstarker

9WennnurderGrundtypausbreitungsfahigist, odernurdieserausgekoppeltwird.

4.6. ANREGUNG UND AUSKOPPLUNG IM EMPFANGSBETRIEB 99

alsdasPrimarfeld.Deshalbkannletzteresin sehrguterNaherungunberucksich-tigt bleiben.Die Auskopplungselbstgehtdannfur drahtgespeisteundkoaxialgespeisteAn-tennenverschiedenvonstatten.Sieentsprichtim koaxialenFall exakt derAus-kopplungderrucklaufendenWelle im Sendebetriebwie in Abschnitt4.5.1.Bei drahtgespeistenAntennenwird auchwie im Sendebetrieb(Abschnitt4.5.2)verfahren,nur daßmit u V T W I 0 angeregt wird. Der ausgekoppelteStrom istdannder Kurzschlußstromder Empfangsantenne.DaskompletteErsatzschalt-bild derEmpfangsantenneist danneineErsatzstromquellemit derKurzschluß-stromstarke i V T W , die Innenadmittanzwird ausdenTorgroßenderSendesimula-tion gewonnen.

In diesemKapitel werdenBeispielproblemediskutiert, wobei die Verifikati-on derSimulationsergebnisseanhandvon MeßergebnisseneinewichtigeRollespielt. Aber auchbesondereSimulationsdetailsund die Ergebnisinterpretationstehenim Vordergrund.ZunachstwerdenSimulationsergebnissefur verschiedenerotationssymmetri-scheAntennenprasentiert.Es folgen Anwendungsbeispielefur die kompletteSimulationdesGebaudefunkkanals.Ì¥ÅÍ Îd¾ÊÀÏ®r»ÊÄ%È+¾Ê¶¹¨ÐªÑ¶¹È+Ä*È'¾¶C¨l³µ³nÒ¹ÀÂÀÂ«È+ªµ¾³-Ó/Ôo«ªÕ§©¨lÈ+«¨l¨l«¨5.1.1 Eine Disconeantennefur das1800MHz–Band

Bild 5.1zeigtdenLangsschnitteinerDisconeantennefur Funkkanalmessungenim 1800MHz–Band.Da dieseAntennedie Sende–und Empfangsantennebeiden im Verlauf diesesKapitelsuntersuchtenBeispielfunkkanalendarstellt,istsiebesondersinteressant.Wie fastalle koaxialgespeistenAntennenbestehtsieprinzipiell auseinemKo-axialkabel,dessenEndein je einabstrahlendesMetallteil fur Innen–undAußen-leitermundet.Siewird oft fur breitbandigeFunkkanalmessungenverwendet.Die Zeitbereichssimulationerfolgtein einemGittervon700mal700ZellenmiteinerKantenlangevon0,2mm.DerAntennenkegelwurdemit einerTreppenstu-fennaherungdemGitterangepaßt.WeitereSimulationsparameterentnimmtmanTabelle5.1.

SimulationsparameterOrtsauflosung 0,2mm Zeitschritt 333,3fsSeitenlange(Zellen) 700 Zeitschrittzahl 20000

Radialabsorber AxialabsorberDicke (Zellen) 50 Dicke (Zellen) 10αmaxJ t 0,3 αmaxJ t 4,0Exponent n 2,0 Exponent n 2,0

Tabelle5.1.Simulationsparameterfur dieDisconeantenne.

100

5.1. SIMULATION ROTATIONSSYMMETRISCHER ANTENNEN 101

68,8

21,9

19,0

16,2

10,0

6,0

93,1

20,0

6,4

2,8

0,5

6,3

7,0

30,0

7,0

8,4

8,8

3,2

64,3

Bild 5.1.LangsschnitteinerDisconeantennefur Funkkanalmessungenim 1800MHz–Band.Kreuzschraffierte schraffierte Gebietesind mit Teflon ( r I 2 K 3)gefullt, einfach schraffierte Gebietesind Metallteile. Das Endeder Zuleitung(ZL I 50 Ö ) in der Zeichnungist die Bezugsebene.Die eingetragenenMaßeverstehensichin mm.

Angeregt wurdein derKoaxialleitungmit einemsinusformigmoduliertenGauß-

102 5. ANWENDUNGSASPEKTE UND SIMULATIONSERGEBNISSE

impuls.Die Modulationsfrequenzbetragt 5000MHz, die Bandbreiteebenfalls5000MHz. Bei dernichtganzunkritischenWahldieserAnregungsparameteristfolgendeszu beachten:× Im interessantenFrequenzbereichmuß das Anregungssignalgenugend

starksein.× SehrniederfrequenteAnteile im Anregungsspektrumstoren,da sie nurlangsamabklingen.× Ein Gleichanteilladtdie Antenneelektrostatischauf,durchdiebegrenzteSimulationsdauerverfalschtdiesmit derdiskretenFouriertransformationgewonneneErgebnissebeiniedrigenFrequenzen.× HochfrequenteAnteileregenhohereKoaxialmodenan.Sobildensichun-erwunschteResonanzenin VerdickungenderKoaxialleitungausundklin-gennur langsamab.

Ansonstenist einegroßtmoglicheBandbreitewunschenswert,dasiedieSimula-tionsdauerkurz halt undaußerdemeventuelldie effektorientiertezeitlicheAuf-trennungderErgebnissignaleermoglicht.

Der Eingangsreflexionsfaktor der Disconeantenne Zunachstwird derEin-gangsreflexionsfaktor der Disconeantenneuntersucht.Hin– und rucklaufendeWelledeskoaxialenGrundtypswurdenmit demelektrodynamischenRichtkopp-ler ausAbschnitt4.5.1alsZeitreihenermittelt.Die diskreteFouriertransforma-tion liefert dannunmittelbardengewunschtenReflexionsfaktor.Vergleichsmessungenerfolgtenmit einemNetzwerkanalysatorderFirmaHew-lett Packard,dasverwendeteModell eignetsichfur Frequenzenbis3 GHz.EineOSL–Kalibrierungwurdemit einemKit mit 3,5 mm–Verbinderndurchgefuhrt.Da der Antennenstecker in N–Technikausgefuhrt ist, mußteein Adapterzwi-schengeschaltetwerden,somit ist die Festlegung der Bezugsebenemit einerUngenauigkeit von ca. 10 mm behaftet.Außerdemist mit einernicht heraus-kalibriertenBetragsungenauigkeit von maximal1 dB bei hoherenFrequenzenzu rechnen.Die Diagramme5.1und5.2zeigenBetragundPhasedesberechnetenEingangs-reflexionsfaktorsderDisconeantenneim Meßdatenvergleich.


0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Frequenzin MHz MN-30

-25

-20

-15

-10

-5

0B

etra

gdes

Refl

exio

nsfa

ktor

sS11

indB

OP

Diagramm 5.1. BerechneterfrequenzabhangigerBetragdesReflexionsfaktorsS11 derDisconeantenneim Vergleichzu Meßergebnissen.Die simulierteKurveist breit dargestellt.

0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Frequenzin MHz MNM 180

M 135

M 90

M 450

45

90

135

180

Win

keld

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11in

Gra

d

OP

Diagramm 5.2.BerechneterfrequenzabhangigerWinkel desReflexionsfaktorsS11 derDisconeantenneim Vergleichzu Meßergebnissen.Die simulierteKurveist breit dargestellt.


Messungund Rechnungstimmensehrgut miteinanderuberein.NennenswerteAbweichungenzeigensichnur bei Frequenzenuber2300MHz, alsoaußerhalbdesBetriebsbereichesderAntenne.

Im Betragsspektrumfallen zwei Resonanzstellenauf, eine bei ca. 1150MHzund eine bei ca. 2300 MHz. DiesebegrenzendasBetriebsbandder Antenne.Die untereResonanzruhrt wahrscheinlichvom Konusher, eine grobeUber-schlagsrechnungmit einerstehendenViertelwelleaufderKonuslangeergibt ei-ne Resonanzbei 1000 MHz. Eine stehendeHalbwelleauf dem DurchmesserderAntennenscheibeverursachteineResonanzbei 2200MHz, wasgut mit derbeobachtetenoberenResonanzubereinstimmt.In einemFrequenzbereichvon1500MHz bis 2000MHz variiert der simulierteEingangsreflexionsfaktor derAntenneum wenigerals2 dB. Sie ist alsotatsachlichgut alsBreitbandantennebeieinerBandmittenfrequenzvon1800MHz einsetzbar.

Die Abstrahleigenschaftender Disconeantenne Zur BerechnungderStrah-lungsleistungsdichteder Disconeantenneim Sendebetriebwird wieder in derKoaxialleitungangeregt. Auch die ubrigenSimulationsparameterentsprechendenenausdemvorigenAbschnitt.

Mit der in Abschnitt 4.5.3 beschriebenenNahfeld–zu–Fernfeldtransformationsinddie StrahlungsdiagrammeausdiesemAbschnittberechnetworden.Meßer-gebnisseder Abstrahleigenschaftender Disconeantennelagenleider nicht vor,dieVerifikationderNahfeld–zu–Fernfeldtransformationerfolgtdahererstin Ab-schnitt5.1.2.

Die Diagramme5.3 und 5.4 zeigendie Verteilungder StrahlungsleistungderDisconeantenneuber dem Elevationswinkel bei verschiedenenFrequenzen.Es fallt auf, daß sich das Strahlungsmaximummit der Frequenzrecht starkverandert.Esschwenktim Bereichvon1000MHz bis2250MHz umimmerhin45 Grad.Der maximaleStrahlungsleistungsbetragbleibt dagegenbis auf 2 dBkonstant.

Die Disconeantenneim Empfangsbetrieb In derSimulationdesEmpfangs-betriebswird uberdaselektrischeFeldauf Metalloberflachenangeregt. Anson-stenentsprechendieSimulationsparametergenaudenendesSendebetriebs.

Diagramm5.5zeigtdieFrequenzabhangigkeitderrelativenEmpfindlichkeit1derDisconeantenneauf einesenkrechtzur Antennenachseeinfallendeebeneelek-tromagnetischeWelle.Auffallendist, daßim Betriebsbanddie Empfindlichkeit

1Unter der relativen Empfangsempfindlichkeit wird hier dasVerhaltnis der Spannungder aus-laufendenWelle in derZuleitungderEmpfangsantennezurelektrischenFeldstarkedereinfallendenebenenWelleverstanden.


mit derFrequenzabnimmt.MaximaleEmpfindlichkeit wird bei dererstenRe-sonanzerreicht,die zweiteResonanzspiegelt sich interessanterweisenicht imEmpfindlichkeitsspektrumwider.In Diagramm5.6 ist die relative Empfindlichkeit der Disconeantenneauf ebe-neelektromagnetischeWellen,die ausverschiedenenRichtungeneinfallen,beidiversenFrequenzendargestellt.DasEmpfindlichkeitsmaximumschwenkthierfastnicht mit derFrequenz,im Bereichvon 1000MHz bis 2250MHz liegt je-docheineausgepragteEmpfindlichkeitsschwankungvonca.8 dB vor.Die Simulationsdauerbetrugca. 1,5 Stundenfur den Sendebetrieb,die Emp-fangssimulationist aufwendigerundbenotigt ca.2,5Stundenje EinfallswinkelderebenenWelle. Fur die Simulationenwurdeein schnellerPersonalcomputermit 200 MHz Taktfrequenzverwendet.Es konntenca.85 % aller Feldkompo-nentenmit derDiskretenWellengleichungbehandeltwerden.

5.1.2 Eine koaxial gespeisteMonopolantennefur Frequenzenvon 800bis1200MHz

Bild 5.2 zeigt den Langsschnitteiner koaxial gespeistenMonopolantennefurFunkkanalmessungenim Bereichvon800bis1200MHz. DieseAntennewurdeanderETH in Zurichentwickelt [49], Meßdatenfur denEingangsreflexionsfak-tor unddieAbstrahlcharakteristikliegenvor.Bis aufdieOrts–undsomitdieZeitauflosungentsprechendieSimulationspara-meterdenenderDisconeantenne.Die Ortsauflosungist 0,5mm,derZeitschritt833fs.Diagramm5.7zeigtBerechnungsergebnisseundMeßergebnissefur denBetragdesEingangsreflexionsfaktorsderMonopolantenne.Auch hier ist die Uberein-stimmungvonRechnungundMessunggut.Zwei Resonanzstellen,hierschwie-rigerquantitativ zuzuordnen,begrenzenwiederdasEinsatzband.In Diagramm5.8sindRechenergebnisseundErgebnissezweierMessungenfurdie Abstrahlcharakteristikbei 1500MHz dargestellt.Die Ubereinstimmungistsehrgut.Die Diagramme5.9 und 5.10 zeigennochmalsdie AbstrahlcharakteristikderMonopolantennein AbhangigkeitdesElevationswinkels fur verschiedeneFre-quenzen.DasMaximum ist hier wesentlichfrequenzunabhangigerals bei derDisconeantenne.Die IntensitatdesMaximumsandertsichmit derFrequenzumetwasmehrals 2 dB. Auffallig ist jedochdie fur Meßzwecke ungewohnlicheLagedesAbstrahlungsmaximums:Die AntennestrahltuntereinemWinkel vonca.45GradgegendieHorizontalenachoben.


0 45 90 135 180

Elevationswinkel Ø in Grad MNM 30

M 25

M 20

M 15

M 10

M 5

0

Rel

ative

Str

ahlu

ngsl

eist

ungs

dich

teindB

OP

1000MHz1250MHz1500MHz1750MHz2000MHz2250MHz

Diagramm 5.3. Berechneterelative Strahlungsleistungsdichteder Disconean-tennein Abhangigkeit desElevationswinkels bei verschiedenenFrequenzen.Bezugswertder logarithmischenDarstellungist das jeweilige Maximum beigleicherFrequenz.

0 45 90 135 180


M 12

M 10

M 8

M 6

M 4

M 2

0

2

Rel

ative

Str

ahlu

ngsl

eist

ungs

dich

teindB

OP1000MHz1250MHz1500MHz1750MHz2000MHz2250MHz

Diagramm 5.4. Berechneterelative Strahlungsleistungsdichteder Disconean-tennein Abhangigkeit desElevationswinkels bei verschiedenenFrequenzen.Bezugswertder logarithmischenDarstellungist dasMaximumbei 1750MHz,d. h. alleKurvensindgleichnormiert.


0 500 1000 1500 2000 2500 3000

Frequenzin MHz MNM 20M 18M 16M 14M 12M 10M 8M 6M 4M 2

0

Rel

ative

Em

pfind

lichk

eiti

ndB

OP

Diagramm 5.5. Berechneterelative Empfangsempfindlichkeit (sieheText) derDisconeantennein AbhangigkeitderFrequenzbeiAnregungmit einersenkrechtzurAntennenachseeinfallendenebenenWelle.BezugswertderlogarithmischenDarstellungist dasMaximum.

0 45 90 135 180

Elevationswinkel Ø in Grad MÉNM 14

M 12

M 10

M 8

M 6

M 4

M 2

0

2

4

Rel

ative

Em

pfind

lichk

eiti

ndB

OP1000MHz1250MHz1500MHz1750MHz2000MHz2250MHz

Diagramm 5.6. Berechneterelative Empfangsempfindlichkeit der Disconean-tennein Abhangigkeit desElevationswinkels desWellenvektorsdereinfallen-den ebenenWelle bei verschiedenenFrequenzen.Bezugswertder logarithmi-schenDarstellungist dasMaximumbei1750MHz, d. h.alleKurvensindgleichnormiert.


142,5

35,0

55,7

86,1

2,0

13,0

22,2

70,2

5,1

11,7

16,6

Bild 5.2.LangsschnitteinerkoaxialgespeistenMonopolantennefur Funkkanal-messungenim Bereichvon 800 bis 1200MHz. KreuzschraffierteGebietesindmit Teflon( r I 2 K 3) gefullt, einfachschraffierteGebietesindMetallteile.DasEndederZuleitung(ZL I 50 Ö ) in derZeichnungist dieBezugsebene.DerMas-setellerhateinenDurchmesservon500mm.Die Maßangabensindin mm.


500 1000 1500


M 40

M 30

M 20

Bet

ragd

esR

eflex

ions

fakt

orsS

11in

dB

OP

Diagramm 5.7. BerechneterfrequenzabhangigerBetragdesReflexionsfaktorsS11 derMonopolantenneim VergleichzuMeßergebnissen.Die simulierteKurveist breit dargestellt.

0 45 90 135 180

Elevationswinkel Ø in Grad MÉNM 30

M 25

M 20

M 15

M 10

M 5

0

Rel

ative

Str

ahlu

ngsl

eist

ungs

dich

teindB

OP

SimulationMessungIMessungII

Diagramm 5.8. Berechneteund gemessenerelative Strahlungsleistungsdichteder Monopolantennein Abhangigkeit desElevationswinkels bei 1500MHz.BezugswertderlogarithmischenDarstellungist dasjeweiligeMaximum.


0 45 90 135 180


M 25

M 20

M 15

M 10

M 5

0

Rel

ative

Str

ahlu

ngsl

eist

ungs

dich

teindB

OP

750MHz1000MHz1250MHz1500MHz

Diagramm 5.9.Berechneterelative StrahlungsleistungsdichtederMonopolan-tennein Abhangigkeit desElevationswinkels bei verschiedenenFrequenzen.Bezugswertder logarithmischenDarstellungist das jeweilige Maximum beigleicherFrequenz.

0 45 90 135 180


M 8

M 6

M 4

M 2

0

2

4

Rel

ative

Str

ahlu

ngsl

eist

ungs

dich

teindB

OP750MHz

1000MHz1250MHz1500MHz

Diagramm 5.10.BerechneterelativeStrahlungsleistungsdichtederMonopolan-tennein Abhangigkeit desElevationswinkels bei verschiedenenFrequenzen.Bezugswertder logarithmischenDarstellungist dasMaximumbei 1000MHz,d. h. alleKurvensindgleichnormiert.


5.1.3 Dipolantennenzur Verifikation der Empfangssimulation

Hier soll nun dasEmpfangsantennensimulationsverfahrenanhandvon Dipol-antennenverifiziert werden.DieserAntennentypwurdeausgewahlt, daalsRe-ferenz hierfur ein einfachesStromentwicklungsverfahrenaus Anhang A zurVerfugungsteht.Die Diagramme5.11und5.12zeigendazuzunachstdensimuliertenFußpunkt-widerstandverschiedenerDipolantennenim Vergleichzu denErgebnissendesStromentwicklungsverfahrens.Die SimulationsparameterdesZeitbereichsver-fahrensentsprechendabeidenenderDisconeantenneausTabelle5.1.Die Ubereinstimmungist gut. Die vorhandenenAbweichungenruhrenhaupt-sachlichvon derschlechtenModellierungderAntennenendenim Referenzver-fahrenher. BeidenParallelresonanzentritt namlichbeimReferenzverfahreneineArt VerschiebungnachhoherenFrequenzenhin auf. Die AntenneerscheintimRahmenderStromentwicklungsmethodealsokurzer, wasgut zur Vernachlassi-gungderAntennenendkapazitatpaßt.Diagramm5.13zeigtdie Empfindlichkeit desKurzschlußstroms2von Dipolan-tennenverschiedenerLangenauf einesenkrechtzurAntennenachseeinfallendeebeneWelle im VergleichzuReferenzergebnissen.Die ersteSerienresonanzstimmtauchhier hervorragenduberein,erstbei hohe-ren Frequenzenunterscheidensich die beidenModelle in der Resonanzstarke.NumerischeExperimenteergaben,daßbei derStromentwicklungsmethodediehoherenResonanzensehrstarkvondenSimulationsparameternabhangen,daherist hierderZeitbereichsmethodemehrVertrauenzuschenken.In Diagramm5.14ist die Empfindlichkeit derDipolantennenauf eineunterei-nemWinkel von 45Ù zur AntennenachseeinfallendeebeneWelle im Vergleichzu Referenzergebnissenzu sehen.Die Welle ist dabeiso polarisiert,daßderelektrischeFeldvektor in der von der Antennenachseund dem WellenvektoraufgespanntenEbeneliegt. Bezugsgroßeist der Scheitelwert der elektrischenFeldstarke.Hier stimmt auchdie zweiteResonanzstellegut mit denReferenzergebnissenuberein.

2Die Empfindlichkeit desKurzschlußstromsder Dipolantenneist dasVerhaltnis desselbenzurelektrischenFeldstarkedereinfallendenebenenWelle.Einheit:Am/V


2000 4000 6000 8000 10000

Frequenzin MHz MÉNM 500M 400M 300M 200M 100

0100200300400500600700800

Fuß

punk

twid

erst

andin

Ú OP ÛµÜ¹Ý ZfzA ÞÛµÜ¹Ý ZfzB Þß+à Ý ZfzA Þß+à Ý ZfzB Þ

Diagramm 5.11.SimulierterFußpunktwiderstandZf A einerDipolantennederLangel I 60mmmit demRadiusa I 0 K 8 mmim VergleichzudenErgebnissendesStromentwicklungsverfahrensZf B ausAnhangA. Die Simulationsparame-terentsprechendenenderDisconeantenneausTabelle5.1

2000 4000 6000 8000 10000

Frequenzin MHz MÉNM 500M 400M 300M 200M 100

0100200300400500600700800

Fuß

punk

twid

erst

andin

Ú OP ÛµÜ Ý ZfzA ÞÛµÜ Ý ZfzB Þß+à Ý ZfzA Þß+à Ý ZfzB Þ

Diagramm 5.12.SimulierterFußpunktwiderstandZf A einerDipolantennederLangel I 80mmmit demRadiusa I 0 K 8 mmim VergleichzudenErgebnissendesStromentwicklungsverfahrensZf B ausAnhangA. Die Simulationsparame-terentsprechendenenderDisconeantenneausTabelle5.1


2000 4000 6000 8000 10000


M 85

M 80

M 75

M 70

M 65

M 60

Em

pfan

gsem

pfind

lichke

itin

dB(A

m/V

)

OP l R 60mm Simulationl R 60mm Referenzl R 80mm Simulationl R 80mm Referenz

Diagramm 5.13. SimulierteEmpfindlichkeit des Kurzschlußstroms(s. Text)von DipolantennenverschiedenerLangenl mit dem Radiusa I 0 K 8 mm aufeine senkrechtzur AntennenachseeinfallendeebeneWelle mit elektrischerFeldstarke in Richtungder Antennenachse.Bezugsgroßeist der Scheitelwert-zeigerderelektrischenFeldstarke. Als ReferenzdienenErgebnissedesStrom-entwicklungsverfahrensausAnhangA. Die SimulationsparameterentsprechendenenderDisconeantenneausTabelle5.1


2000 4000 6000 8000 10000

Frequenzin MHz MÉNM 100

M 95

M 90

M 85

M 80

M 75

M 70

M 65

M 60

Em

pfan

gsem

pfind

lichke

itin

dB(A

m/V

)

OPl R 60 mm Simulationl R 60 mm Referenzl R 80 mm Simulationl R 80 mm Referenz

Diagramm 5.14.SimulierteEmpfindlichkeit desKurzschlußstromsvon Dipol-antennenverschiedenerLangenl mit demRadiusa I 0 K 8 mmaufeineim Win-kel von45Ù zurAntennenachseeinfallendeebeneWelle.

5.2. KANALIMPULSANTWORTEN FUR TESTSZENARIEN 115Ì¥Dá Îd¾ÊÀÂ®o»½Ä*È+¾Ê¶¹¨l«¨ãâ%®oªäÆ¼«¾Ê³µ¸¼¾Ê«É»½ÔoÄ%ÃÅÈ+«¨åE«ª)«ÉÓGÔo¨l®o¨l¬Eæ¶¹¨ÐçÄ*¨lÄ*»½¾ÊÀÂ¸º®o»½³-èÄ*¨lÈ½é¶¹ªfÈ'«¨ê¾¨ëæ«ªµ³-Ó/Ôo¾Ê«°Ç«É¨l«¨Ðì*«³-È+³nâ«É¨lÄ%ªf¾Ê«É¨In diesemAbschnittsoll die FunkkanalsimulationalsGanzes,wie in Kapitel 2beschrieben,anzweiTestgebaudenerprobtwerden.Als Sende–undEmpfangs-antennewurdedabeijeweilseineDisconeantenneausAbschnitt5.1.1eingesetzt.Referenzmessungenwurdenals Zweitormessungenmit einemNetzwerkanaly-satordurchgefuhrt.

5.2.1 GebaudedesIMST in Kamp–Lintf ort

Bild 5.3 zeigtdenGrundrißder linkenSeitedeserstenObergeschossesder In-stitutsfur Mobil– undSatellitenfunktechnik(IMST) in Kamp–Lintfort.

Die Positionender Antennensind mit schwarz gefullten Kreisen markiert.Sende–und Empfangsantennewurdenin einerHohevon ca. 1,54 m auf Sta-tiven montiert.Die Sendeantennebefandsich in unmittelbarerNahe(ca. 2 mKabellange)desNetzwerkanalysators,die Empfangsantennewar uberein 10 mlangesKoaxialkabelmit demselbenverbunden.

DieSimulationsparameterentnimmtmanTabelle5.2.Berucksichtigtwurdendiein Bild 5.3 ausgefullten Metallteile mit Ausnahmeder Zwischenwandbefesti-gungen.Hohlraumein denZwischenwandensowie in denDoppelglasfensternwurdenmit erfaßt.Die Turenwurdenmit realistischenOffnungswinkeln simu-liert.

SimulationsparameterOrtsauflosung 8mm Zeitschritt,Kz I 0 18,64psSimulationsgebiet 31x 13m2 Simulationsdauer 250ns

Absorber AnregungDicke(Zellen) 15 Modulationsfrequenz 1800MHzαmaxJ t 6 Bandbreite(-20dB) 1000MHzExponent n 4

MaterialparameterMaterial r í Material r íBeton 9,0 0,090S/m Gipskarton 6,0 0,060S/mGlas 6,0 0,005S/m Holz 5,0 0,006S/m

Tabelle5.2.Simulationsparameterfur dasersteTestgebaude.


Die StutzwertedertransversalenWellenzahlkz wurdenim Winkelrastervon 5ÙbeiBandmittenfrequenzgewahlt.Eskonntenca.92% derFeldkomponentenmitder schnellenDiskretenWellengleichungbehandeltwerden.Die Simulationenerfordertenfur einetransversaleWellenzahlkz I 0 ungefahreineRechenzeitvon360CPU–Minuten,beikz îI 0 wurden960MinutenjeStutzwertvonKz benotigt.Hierbeiwurdeein modernerComputermit einerAlpha–CPUderFirmaDigitaleingesetzt.Die Taktfrequenzbetragt366MHz.

Die Messungenerfolgtenwieder mit dem NetzwerkanalysatorausAbschnitt5.1.1.Fur dasHerauskalibrierender insgesamtungefahr 12 m langenVerbin-dungskabelwurdenicht auf die KalibrierungssoftwaredesNWA zuruckgegrif-fen.StattdessenerfolgteeineeinfacheDurchgangskalibrierung,dienurdieKa-beldampfungunddieVerzogerungberucksichtigt.Die ebenfallsausgemessenenReflexionenandenVerbindungsstellenbliebenunberucksichtigt,dasiebeiMes-sungendesTransmissionsfaktorskauminsGewicht fallen.

Diagramm5.15zeigtdenfrequenzabhangigenBetragdesTransmissionsfaktorsdesFunkkanalsfur Empfangsposition2 im Vergleich zwischenMessungundRechnung.Die Ubereinstimmungist sehrgut, wennmanbedenkt,wie kritischderFunkkanalvon kleinstenUngenauigkeitenderGebaudegeometriebzw. denAntennenpositionenabhangt.

DiesenalsFastFadingbekanntenSachverhaltillustriert Diagramm5.16,in demim Umkreisvon nur 16 mm von Empfangsposition2 verschiedeneberechne-te Transmissionsfaktorverlaufegezeigtwerden.Auffallig ist, daßbei manchenFrequenzenderTransmissionsfaktornurum ï 2 dB variiert,beianderenjedochumfast ï 15dB.

Diagramm5.17zeigtdenVergleichderaufwendigenSimulationstechnikmit dervereinfachten,die mit nur einer Stutzstelleder transversalenWellenzahlaus-kommt.Der Unterschiedist hier minimal. Zu beachtenist jedoch,daßdie ver-einfachteMethodewegendesverwendetenExtrapolationsverfahrensnur relativschmalbandigeErgebnisseliefernkann.

In Diagramm5.18 ist der Transmissionsfaktor fur Empfangsposition2 breit-bandig zu sehen.Davon ausgehendwurde die Basisbandkanalimpulsantwortin Diagramm5.19 berechnet.Die Bandbreitevon 1000 MHz impliziert eineZeitauflosungin der Großenordnungvon 1 ns. Gut zu sehenist die zeitlicheVerzogerung,mit derderersteImpulseintrifft sowie verschiedenstarke Echos.Diagramm5.20zeigtdieBasisbandkanalimpulsantwort fur Empfangsposition7.

Diagramm5.21und5.22zeigenMeßdatenvergleichefur die Empfangspositio-nen3 und7. Hier ist dieUbereinstimmungnichtsogutwie beiEmpfangspositi-

5.2. KANALIMPULSANTWORTEN FUR TESTSZENARIEN 117

on 2. Beachtetmanaber, wie kritisch die Datenerfassungist, sosinddie Ergeb-nissedochbefriedigend.

4

5

7

TX

26

3

1

12,5 m

30,6 m

Bild 5.3.GrundrißeinerEtagedesInstitutsfur Mobil– undSatellitentechnikinKamp–Lintfort.Metallteile (Schranke, Turzagen,ZwischenwandbefestigungenundderFaraday–Kafig) sindschwarzausgefullt. Die verschiedenenAntennen-positionensindeingezeichnetundbeschriftet.


1700 1750 1800 1850 1900

Frequenzin MHz ðñð 60

ð 55

ð 50

ð 45

ð 40

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô

Diagramm 5.15.BerechneterfrequenzabhangigerBetragdesTransmissionsfak-torsS21 desFunkkanalsfur Empfangsposition2 im Vergleichzu Meßergebnis-sen.Die simulierteKurve ist breit dargestellt.

1700 1750 1800 1850 1900


ð 55

ð 50

ð 45

ð 40

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô

Diagramm 5.16.SimulierterfrequenzabhangigerBetragdesTransmissionsfak-tors S21 desFunkkanalsin der Umgebungvon Empfangsposition2 zur Veran-schaulichungdesFastFading.Die Positionsvariationbetragt õ 16 mm in Rich-tungderKoordinatenachsen.


1700 1750 1800 1850 1900

Frequenzin MHz ðÉñð 60

ð 55

ð 50

ð 45

ð 40

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô

Diagramm 5.17.SimulierterfrequenzabhangigerBetragdesTransmissionsfak-torsS21 desFunkkanalsin derNahevon Empfangsposition2. Die dunnausge-zogeneKurve wurdemit demvereinfachtenSimulationsverfahrenmit nur einerStutzstellebeikz ö 0 ermittelt.


1000 1200 1400 1600 1800 2000


ð 50

ð 45

ð 40

ð 35

ð 30

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô

Diagramm 5.18.BreitbandigsimulierterfrequenzabhangigerBetragdesTrans-missionsfaktorsS21 desFunkkanalsin derNahevonEmpfangsposition2.


0 10 20 30 40 50

WeglangederFreiraumwellein m ðñ5060708090

100110120130140150

Bas

isba

ndka

nalim

puls

antwor

tin

dB(1

/s)

óô

Diagramm 5.19.ZeitabhangigerBetragderBasisbandkanalimpulsantwort(Ein-heit 1/s) mit einerTragerfrequenzvon 1800MHz in der Nahevon Empfangs-position2. Als unabhangigeVeranderlicheist nicht die Zeit selbst,sondernderWeg aufgetragen,deneineFreiraumwellein derjeweiligenZeit zurucklegt.

0 10 20 30 40 50

WeglangederFreiraumwellein m ðñ5060708090

100110120130140150

Bas

isba

ndka

nalim

puls

antwor

tin

dB(1

/s)

óô

Diagramm 5.20.ZeitabhangigerBetragderBasisbandkanalimpulsantwort(Ein-heit 1/s) mit einerTragerfrequenzvon 1800MHz in der Nahevon Empfangs-position3. Als unabhangigeVeranderlicheist nicht die Zeit selbst,sondernderWeg aufgetragen,deneineFreiraumwellein derjeweiligenZeit zurucklegt.


1700 1750 1800 1850 1900


ð 75

ð 70

ð 65

ð 60

ð 55

ð 50

ð 45

ð 40

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô


1700 1750 1800 1850 1900


ð 75

ð 70

ð 65

ð 60

ð 55

ð 50

ð 45

ð 40

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô


5.3. ABSCHLIESSENDE BEWERTUNG DER SIMULATIONSERGEBNISSE 123

5.2.2 Korridor einesalten Laborgebaudes

Als zweitesTestszenariosoll hier nochderKorridor einesaltenLaborgebaudesnachBild 5.4in Kamp–Lintfortbetrachtetwerden.

Die Vergleichsmessungenerfolgtenwiedermit den Disconeantennen.Tabelle5.3 entnimmtmandie Simulationsparameter. Die Diagramme5.23 und 5.24

SimulationsparameterOrtsauflosung 8mm Zeitschritt,Kz ö 0 18,64psSimulationsgebiet 21x 5,5m2 Simulationsdauer 250ns

Absorber AnregungDicke (Zellen) 15 Modulationsfrequenz 1800MHzαmax÷ t 6 Bandbreite(-20dB) 1000MHzExponent n 4

MaterialparameterMaterial ø r ù Material ø r ùStein 7,51 0,028S/m Holz 5,0 0,006S/m

Tabelle5.3.Simulationsparameterfur daszweiteTestgebaude.

zeigendenfrequenzabhangigenBetragdesTransmissionsfaktorsausRechnungundMessungfur zwei Empfangspositionen.Die Ubereinstimmungist gut. BeiEmpfangsposition2 ist die Simulationskurve gegenuber den Meßergebnissenjedochsignifikantumknapp4 dB nachuntenverschoben.úûDü ýþÇÿ ! "#$%&'( lÿ)þ ÿ-ÿRotationssymmetrischeAntennen,speziellDipolantenne,DisconeantenneundkoaxialgespeisteMonopolantennen,lassensichmit denhiervorgestelltenZeit-bereichsmethodenhervorragendberechnen.Sowohl im Sende–als auch imEmpfangsbetriebkonntedasSimulationsverfahrenverifiziert werden.Signifi-kanteAbweichungenwarennichtzubeobachten.

Der Rechenaufwandfur denSendebetriebist moderat,mit zwei bis drei CPU–StundenlassensichgenaueErgebnisseaufhandelsublichenKleincomputerner-zielen.Fur die Empfangssimulationist fur jedenEinfallswinkel einesolcheSi-mulationerforderlich,waszu einerVerzehnfachungder RechenzeitgegenuberdemSendebetriebbei sinnvoller Winkelabtastungfuhrt.


TX

7

4

1

8

5

2

9

6

3

5,3 m

20,4 m

Bild 5.4. Grundriß einesKorridors in einem alten Laborgebaudein Kamp–Lintfort. Die verschiedenenAntennenpositionensind eingezeichnetund be-schriftet.

5.3. ABSCHLIESSENDE BEWERTUNG DER SIMULATIONSERGEBNISSE 125

1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960


ð 60

ð 55

ð 50

ð 45

ð 40T

rans

mis

sion

sfakt

or

ò S 21

ò indB

óô


1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960


ð 60

ð 55

ð 50

ð 45

ð 40

Tra

nsm

issi

onsfa

ktor

ò S 21

ò indB

óô



In zwei Testszenarienwurdedie kompletteFunkkanalsimulationverifiziert. ImkonkretenVerwendungsfall mußmit einerAbweichungvon õ 5 dB beimTrans-missionsfaktor gerechnetwerden,unabhangigdavon, ob dasaufwendigeoderdasvereinfachteSimulationsverfahrenverwendetwird.Fur eineInstallationsplanungvonFunkanlagenist dieseGenauigkeitaberdurch-ausausreichend.In diesemAnwendungsfall wird mandasschnellevereinfachteVerfahren,dasmit einer Stutzstelleder transversalenWellenzahlkz ö 0 aus-kommt,bevorzugen.DieRechenzeithierfur liegt fur typischeGebaudezwischendreibissiebenStundenjeSendeposition,alsodurchausim praktikablenBereich.SollenTransmissionsfaktorenin einembreitenFrequenzbandberechnetwerden,somußdasaufwendigeKanalsimulationsverfahreneingesetztwerden.Hiermitlassensichzeitlich sehrfein aufgelosteKanalimpulsantwortenbestimmen.DieAnwendunghierfur ist hauptsachlichin der Gerate–und Softwareentwicklungzusehen.

Der Funkkanalim Gebaudewird definiertundseineBerechnungin Antennen–und Ausbreitungsproblemaufgeteilt.RotationssymmetrischeSende–und Em-pfangsantennenkonnen so unabhangig vom Ausbreitungsproblemsimuliertwerden.Die SchnittstellenzurAusbreitungssimulationsind* einekonzentrierteErsatzstromstarkefur dieSendeantenneund* die elektrischeFeldstarke in RichtungderEmpfangsantennenachse,wel-

chesichohneEmpfangsantennein derAusbreitungssimulationergibt.

Fur die Antennen–und Ausbreitungssimulationwird je ein hybridesZeitbe-reichsverfahrenvorgestellt.HomogeneGebietewerdendabeimit derschnellenDiskretenWellengleichungbehandelt,Diskontinuitatenjedochmit demlangsa-merarbeitendenYee–Schemadiskretisiert.Die Verfahrenwerdenunter VerwendungdiskreterFeldoperatorenhergeleitetundin bezugauf DispersionundGenauigkeit untersucht.AbsorbierendeRand-bedingungenin GestaltdesperfektenAbsorberswerdeneingefuhrt und analy-siert.Zur Verifikation der Antennensimulationsverfahrenwurden SimulationenfurDipolantennen,eineDisconeantenneundeinekoaxialgespeisteMonopolanten-ne durchgefuhrt und mit Meßdatenbzw. im Fall der Dipolantennemit Ergeb-nisseneinesanderenSimulationsverfahrensverglichen.Die Ubereinstimmungist sehrgut.Auch wegenderkurzenRechenzeitenist derAntennensimulatorinvollemUmfangin derPraxiseinsetzbar.In zwei Testszenarienwurden Transmissionsfaktoren von Funkkanalen inGebaudenberechnetund Meßergebnissengegenubergestellt.Die Ubereinstim-mungist im Rahmenderfur diesekritischenSimulationenzu erwartendenGe-nauigkeit gut. Mit der vereinfachtenVersiondesFunkkanalsimulatorskonnensomit bei moderaterRechenzeitrechtgenaueVorhersagenuberFunkkanale inkonkretenGebaudengemachtwerden,die aufwendigereVersiongestattetdieBerechnungvonKanalimpulsantwortenmit sehrhoherZeitauflosung,wie sieinForschungundEntwicklungbenotigt werden.In Zukunft werdenZeitbereichssimulationenfur Funkkanale,wie die hier vor-gestellten,immer attraktiver werden,besondersdann,wennerwartungsgemaß

127

128 6. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK

die in der VergangenheitbeobachteteLeistungssteigerungbei Kleincomputernanhalt. Dochauchmit heutigenComputernwerdenangemessenkurzeRechen-zeitenbeisehrgutenErgebnissenerreicht,diesgilt besondersfur dieAntennen-simulation.

Zur VerifikationdesAntennensimulatorswerdenEmpfangscharakteristikenvonrotationssymmetrischenBeispielantennenbenotigt. Diesesind in der Literaturrar. Daherwird in diesemKapiteleineinfachesBerechnungsverfahrenfurDraht-antennenvorgestellt,dasunteranderemVergleichsdatenfur denEmpfangsbe-trieb liefernkann[19].

Bild A.1 zeigtdie dazuverwendeteErsatzanordnung.Ein konzentrierterStrom

+z

i ,.-0/ z1

Drahtoberflache

z 23 l2 z 2 l

2

2a

Bild A.1. DipolantennederLangel mit demRadiusa. Dargestelltist die felder-zeugendekonzentrierteErsatzstromstarkeunddieDrahtoberflache.

i 4 z57698 erzeugtdaselektromagnetischeSekundarfeld,welchesim Empfangsbe-trieb zusammenmit demeinfallendenPrimarfeld auf der ebenfalls dargestell-tenDrahtoberflachedie Randbedingungenerfullt. Der Antennenspaltwird erstspaterin dasModell eingebunden.

Die zunachstunbekannteErsatzstromstarke erzeugtein elektromagnetischesFeldmit demmagnetischenVektorpotential

Av 4 x 5:68 ö 14 ;

l < 2=> l < 2

e> jk0 ? @ 2 AB z> zCED 2F G

2 H 4 z I zJK8 2 i 4 zJ 5:68 dzJ ez 5(A.1)

wobeieinZylinderkoordinatensystemx ö 4 G 5MLN5 z8 T benutztwird undk0 ö 6!O c0

gilt.

129

130 A. EIN STROMENTWICKLUNGSVERFAHREN FUR DRAHTANTENNEN

Mittels

H 4 x 5:68 ö rot Av 4 x 5:698P5E 4 x 5:68 ö 1

j 6 ø rot rot Av 4 x 5:698Q5Ez 4 x 57698 ö 1

j 6 ø 4 k20H ∂2

z 8 Az 4 x 5:698(A.2)

laßtsichnundaserforderlichemagnetischeVektorpotentialauf derDrahtober-flache1 bestimmen.Esbestehtausdreiadditiv zu uberlagerndenTeilfeldern.

1. DerAnteil

A1 4 a 5 z5:6R8 ö I j2

u0 4S68ZF T 0 sin4 k0 U z U 8(A.3)

wird durchdie elektrischeFeldstarke Ez T 1 4 z5:698 ö u0 4S68QV4 z8 im Anten-nenspaltbei z ö 0 erzeugt.Die Torspannungu0 4W68 wird im SendebetriebalsAnregungverwendet.

2. Im Empfangsbetriebwird derAnteil

A2 4 a 5 z5:6R8 ö I j E0 4W65QX8ZF T 0 k0sin4YX8 ejk0cosB.Z D z(A.4)

durcheineunterdemWinkel X einfallendeebeneWelle mit demelektri-schenFeld

Ez 4 x 576[5QX8 ö E0 4S65QX8 e > jk0B sinB.Z D x > cosB.Z D zD(A.5)

hervorgerufen.

3. DasTeilfeld

A3 4 a 5 z5:698 ö c1ejk0z H c2e> jk0z(A.6)

erzeugtwegen (A.2) kein tangentialeselektrischesFeld auf dem hierbetrachtetenTeil der Drahtoberflache.Die Koeffizientenc1 und c2 sindzunachstunbekannt.

1Die Deckelflachenkonnennichtberucksichtigtwerden.

131

Somitist

(A.7)1

4 ;l < 2=

> l < 2e> jk0 ? a2 AB z> zC D 2Fa2 H 4 z I zJK8 2 i 4 zJ 5:68 dzJ ö

I j2

u0 4W68ZF T 0 sin4 k0 U z U 8"I j E0 4W65QX8

ZF T 0 k0 sin4\X8 ejk0cosZ z

H c1ejk0z H c2e> jk0z

die Integralgleichungfur dieortsabhangigeErsatzstromstarke i 4 z57698 .AussageA.1 Die Koeffizientenc1 und c2 werden bestimmt,indem das Ver-schwindender Ersatzstromstarke i 4 z5:698 an denAntennenendengefordert wird.Damit ist eineLadungsansammlungan denAntennenendenin diesemModellexplizit ausgeschlossen.

Gleichung (A.7) wird numerisch gelost. Dazu wird der Antennenbereichz ]_^`I l O 2 5 l O 2 a in N Teilintervalle zergliedert.Die Unbekanntensind danndieStromstarken an denIntervallgrenzen,in denIntervallen selbstwird linear in-terpoliert. In Abhangigkeit der Unbekanntenwird mit einer Gauß–Legendre–Quadraturdas magnetischeVektorpotentialan M b N Stutzpunktenauf derDrahtoberflachebestimmt.So entstehtein uberdeterminierteslinearesGlei-chungssystem

M 4W68dc i 4W698 ö Av 4W68(A.8)

mit derSystemmatrixM 4W68]fe M g B N A 1D . Dieswird im SinnedeskleinstenFeh-lerquadratesgelost,wenn

∂i hji aM 4W698dc i 4W68"I Av 4W68W^ T caM 4W68dc i 4W698dI Av 4W68W^Kk ö 0(A.9)

fur alle l erfullt ist. Esergibt sich

MT 4W68dcaM 4S698"c i 4S68"I Av 4S68W^ ö 0

MT 4W68dc M 4W68dc i 4W698 ö MT 4W68dc Av 4S68(A.10)

alszuerfullendeslinearesGleichungssystemmit quadratischerSystemmatrix.

Simulationsergebnissesind

1. der FußpunktwiderstandZf ö u0 4S68mO i 4 z ö 0 5:698 ohneeinfallendeWelleund

132 A. EIN STROMENTWICKLUNGSVERFAHREN FUR DRAHTANTENNEN

2. die Empfangsempfindlichkeit i 4 z ö 0 5:68mO E0 4W65PX8 bei u0 4W68 ö 0, dasistderKurzschlußstromderAntennebezogenauf die elektrischeFeldstarkedeseinfallendenFeldes.

In derPraxishatsichdieTestpunktzahlM ö 4N bewahrt,wobeiN ö 24Teilin-tervalleeineguteWahldarstellt.

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Verzeichnisder verwendetenFormelzeichen

Im folgendensind Symboleund Formelzeichenausder vorliegendenArbeitkapitelweise aufgelistet.Innerhalb eines Kapitels ist die Ordnung alphabe-tisch.VektorenundMatrizenwerdendurchFettdruckhervorgehoben,komplexeGroßensind nicht explizit gekennzeichnet,diskreteGroßenwerdenmit Groß-buchstabenbezeichnet.Ist die zugehorige kontinuierlicheGroßebereitsauf-gefuhrt,wird die diskreteGroßenicht gesondertangegeben.Ausschließlichlo-kal verwendeteSymbole,wie beispielsweiseZahlindizes,sind nicht in jedemFall aufgefuhrt.Funktionenkonnenauchmit anderenunabhangigenVeranderli-chenverwendetwerden,alshierangegeben.

Kapitel 1

αk n t o ZeitabhangigerDampfungskoeffizient fur denTermk desdiskretenKanalmodellsp n t o Einheit1/s,zeitabhangigeDiracscheDeltafunktionqReelleHilfsvariablerDennichtlinearenzeitvariantenFunkkanalbeschreibenderOperator

G s Funkgeratmit derfortlaufendenNummer tGs Als StoreraufgefaßtesFunkgerath n t umv)o Matrixwertige Impulsantwort des linearen zeitvarianten

Funkkanalsh n v)o MatrixwertigeImpulsantwort deslinearenzeitinvarianten

Funkkanalsh n v)o Impulsantwort desskalarenlinearenzeitinvariantenFunk-

kanalshwyx s n v)o KomponentedermatrixwertigenImpulsantwort deslinea-

renzeitinvariantenFunkkanals

h n v)o MatrixwertigeImpulsantwort deslinearenzeitinvariantenBasisbandkanals

h nWz o Fouriertransformierteder skalarenzeitinvariantenBasis-bandkanalimpulsantwort

h n 0o Empfangsstarke

137

138 VERZEICHNIS DER VERWENDETEN FORMELZEICHEN

n AnzahlderFunkgeraten n t o AdditivezeitabhangigeStorgroße

si n q o |!0 sinn xom~ xdxt Einheits,Zeitv Einheits,Zeitv k n t o Einheit s, zeitabhangigeVerzogerungszeitfur denTermk

desdiskretenKanalmodellsk n t o ZeitabhangigePhasenverschiebungfur denTermk desdis-

kretenKanalmodellsx n t o ZeitabhangigerEingangsvektordesFunkkanalsx n t o ZeitabhangigerEingangsvektordesBasisbandkanalsxs n t o Additive zeitabhangigeStorgroße,alsEingangsgroßeauf-

gefaßty n t o ZeitabhangigerAusgangssvektordesFunkkanalsy n t o ZeitabhangigerAusgangssvektordesBasisbandkanalsz Einheit 1/s, Kreisfrequenz,Unabhangige Variable der

BildfunktionenderzeitlichenFouriertransformationz 0 Tragerkreisfrequenzz g Tiefpaßgrenzkreisfrequenzim Basisbandkanal

Kapitel 2

Av n x u t o EinheitA, magnetischesVektorpotential

C SpektraleErweiterungdesaquivalentenStromfadensc0 1~ 0 0, Einheitm/s,Vakuumlichtgeschwindigkeitc s Koeffizient fur denSpiegelstromt

kz Schrittweite bei der numerischenIntegration uber dietransversaleWellenzahl

d Drehmatrix fur eine Drehungum die z–Achsemit demDrehwinkel EinheitAs/(Vm), Permittivitat 0 8 u 85418782As~ Vm, elektrischeFeldkonstante n x o RaumlicheVerteilungderPermittivitat

ex u ey u ez Einheitsvektorenin denkartesischenKoordinatenrichtun-gen

E n x u t o EinheitV/m, VektorfeldderelektrischenFeldstarke

VERZEICHNIS DER VERWENDETEN FORMELZEICHEN 139

E 0 0 ElektrischerFeldvektor einer in x–Richtungauf die Em-pfangsantenneeinfallendenebenenWellebeix 0 q& n Heavisidefunktionzu

q n

F n x u t o ET n x u t oQu HT n x u t o: T, ElektromagnetischesVektorfeld

FP n x u t o ElektromagnetischesPrimarfeldohneEmpfangsantenneFS n x u t o ElektromagnetischesSekundarfeld,von der Empfangsan-

tenneerzeugtFv n x u t o EinheitV, elektrischesVektorpotentialH n x u t o EinheitA/m, VektorfelddermagnetischenFeldstarkeHf n x u z o EinheitA/m, FernfeldderSendeantenneim Vakuum

H 1 2n n o Jn n o jYn n o , HankelfunktionenalskomplexeSummevonBessel–undNeumannfunktionen

hx n kz u z o UbertragungsfunktionderSendeantennehy n kz u z o UbertragungsfunktionderEmpfangsantennehp n kz u z o EinheitV/(Am), mit derAusbreitungssimulationermittelte

UbertragungsfunktionhE n k o Abkurzungin derErlauterungdesInterpolationsverfahrens

fur diemodaleUbertragungsfunktionis n zu t o EinheitA, konzentrierteelektrischeErsatzstromstarke der

Sendeantenne(aquivalenterStromfaden)Jf n x u t o Einheit A/m, Vektorfeld der elektrischenFlachenstrom-

dichteJf x s n x u t o Vektorfeld der elektrischenErsatzflachenstromdichteder

SendeantenneJf x sx 0 n x u t o Vektorfeld der elektrischenFlachenstromdichteauf der

Sendeantenneim VakuumJf x e n x u t o Vektorfeld der elektrischenErsatzflachenstromdichteder

EmpfangsantenneJf x ex 0 n x u t o Vektorfeld der elektrischenFlachenstromdichteauf der

Empfangsantenneim Vakuum EinheitA/(Vm), elektrischeLeitfahigkeit n x o RaumlicheVerteilungderelektrischenLeitfahigkeit

k Einheit1/m,Wellenzahlk0 Wellenzahlim VakuumbeiTragerfrequenzkz TransversaleWellenzahl

kz ModifiziertetransversaleWellenzahl


l Einheitm, ZellgroßedesSimulationsverfahrensL Einheitm, großteAusdehnungdesGebaudes

0 Einheitm, FreiraumwellenlangebeiTragerfrequenz EinheitVs/(Am), Permeabliltat 0 4 f 10 7Vs~ n Am o , magnetischeFeldkonstante n x o RaumlicheVerteilungderPermeabliltatMF n x u t o EinheitV/m, magnetischeFlachenstromdichter Einheitm,AbstandsvektorvomQuellpunktzumAufpunkt Einheitm, AbstandvomAufpunktzumQuellpunkt EinheitV/(Am), magnetischeLeitfahigkeitT Als Hochindex: Transpositioneines Vektors oder einer

Matrixv VerhaltnisdergroßtenAusdehnungdesGebaudeszurZell-

großew n Nu kz u z o Anteil desauf die EmpfangsantenneeinfallendenPrimar-

feldesx u yu z kartesischeKoordinatenx n x u yu zo T Ortsvektorim kartesischenKoordinatensystemx n r uQ)u α o T Ortsvektorim Kugelkoordinatensystemxe OrtsvektorderEmpfangsantennenmitte.y0 n t o AusgangsgroßederEmpfangsantenneim Vakuumy 0 AusgangsgroßederEmpfangsantenneim VakuumbeiAn-

regungmit einersichin x–RichtungausbreitendenebenenWelle

zd Einheitm, Stockwerkshohe

Kapitel 3

α Einheit1/s,Absorptionskoeffizientαmax MaximalerAbsorptionskoeffizientα 1 jα ~ z Absorptionskoeffizientα 1 α

t ~ 2 Abkurzung

A u ∂A Einheitm2 bzw. m, Integrationsflachebzw. ihr RandA u B u C Beispielmatrizena Einheitm, Dicke der absorbierendenSchicht,Winkelfak-

tor um BeliebigediskreteFeldoperatoren


a Diagonalmatrixzua u u u c1 u c2 u c3 u c4 u c5 KonstantenzurAbkurzung∂x u ∂y u ∂z Einheit 1/m, Operatorenfur raumlichepartielleAbleitun-

gen∂t Einheit 1/s,Operatorfur die partielleAbleitung nachder

Zeitt Einheits,Zeitschrittx Einheitm, Gitterkonstanteim diskretenFeldraum

d Einheitm, KantenlangedesBeispielsimulationsgebietes

div Einheit1/m,Divergenzoperatordg Operator, dereinemVektoreineindeutigeineDiagonalma-

trix zuordnet x u y u z DiskreteEinheitsvektoren

E n X u Yu T o InterpolierteselektrischesFeld r Permittivitatszahlf EinheitHz, FrequenzFA x r RelativerAmplitudenfehlerFr RelativerFehlerFP AbsoluterPhasenfehler

H n X u Yu T o InterpoliertesmagnetischesFeld

I ReellesIntervall¡¢ n o Operatorfur die ImaginarteilbildungIV Hochindex fur daselektromagnetischeFeld mit geteilten

KomponentenJ n x u t o Einheit A/m, EingepragtesFeld der elektrischenStrom-

dichte£ 1 t

2˜£˜¤ , Abkurzung£ 1 £ Abkurzung

kx u ky Einheit1/m,WellenzahlenK DiskreteWellenzahl

Kz ModifiziertediskretetransversaleWellenzahl r Permeabilitatszahln Absorptionsexponent¥

MengederFeldoperatoren˜¦ ModifiziertediskreteKreisfrequenz

r u r DiskreteRotationsoperatoren


r2 u r2 ZweidimensionalediskreteRotationsoperatoren

r1 u r1 EindimensionalediskreteRotationsoperatoren

r Dualer Tensor zu r im dreidimensionaleneuklidischenRaum

rot Einheit1/m,Rotationsoperator§MengederreellenZahlen¨ª© n o Operatorfur dieRealteilbildung« 1

t2

˜£˜¬ , Abkurzung« 1 « Abkurzung

S11 Reflexionsfaktor u DiskreterFeldoperatorfur die zeitlicheVerschiebungundseineInverse n 1 o DiskreterZeitdifferenzoperator¯® n 1 ° o DiskreterMittelwertoperator

t0 u t1 Einheits,ZeitparameterdesGaußimpulses

T DiskreteZeitv E Einheits,elektrischeRelaxationszeitv M Einheits,magnetischeRelaxationszeit

Vph DiskretePhasengeschwindigkeit± u¯²&u.³ DiskreteFeldoperatorenfur dieraumlicheVerschiebunginx, y bzw. z–Richtung± u ² u ³ Inverse diskrete Feldoperatorenfur die raumliche Ver-schiebung

X n X u Yu Z o T DiskreterOrtsvektor

X0 OrtsvektordesUrsprungsderBeispielzelle

zd Einheitm, Deckenhohe

Z RaumlicheZuordnungsabbildungderReprasentativwerte´MengederganzenZahlen

ZF Einheit µ , Feldwellenwiderstand

ZF x 0 ·¶ 0 ~ 0 120¸µ , FeldwellenwiderstanddesVakuums


Kapitel 4

A Einheitm2, Zellflache

C EinheitF, Kapazitat Winkelschritt

i u ih r Einheit A, elektrischeStromstarke, Stromstarke der hin-laufenden/rucklaufendenWelle

I I Hochindex fur daselektromagnetischeFeld mit geteiltenKomponenten

k¹ Einheit1/m,radialeWellenzahl

K x s ModifiziertediskreteWellenzahlin azimutalerRichtung

l Einheitm, MaximaleZellausdehnung

l u r Index fur die linkebzw. rechteSeitederGrenzschichtº»½¼ZahlderZellenin azimutalerRichtung

n Flachennormaleneinheitsvektort AzimutaleSeparationskonstante

p u p DiskreteRotationsoperatorenfur das rotationssymmetri-scheFDTD Verfahren 0 Einheitm, Grenzschichtradius¾

0 u ¾ 1 diskreterInnen–bzw. AußenradiusderKoaxialleitungº ¾ ¼ZahlderZellenin radialerRichtung¿ uÁÀu³`u ¿ u À:u ³ DiskreteFeldoperatorenzur raumlichenVerschiebung imZylinderkoordinatensystem

su c Abkurzungenfur Sinus–undKosinusterme

u u uh r EinheitV, elektrischeSpannung,Spannungderhinlaufen-den/rucklaufendenWelle

x n uMNu zo Zylinderkoordinatensystem

X n ¾ u » u Z o DiskretesZylinderkoordinatensystem

Zl Einheit µ , WellenwiderstandderAntennenzuleitung

Z1 u Z2 ÂÃÂÃÂ DiverseAxialkoordinatenin verschiedenenAntennenan-ordnungen


Kapitel 5

dB n Einheito 20log GroßeEinheit

l Einheitm, GesamtlangeeinerDipolantenner Einheitm, AntennenradiusZF Einheit µ , FußpunktwiderstandeinerDipolantenne

Anhang A

a Einheitm, AntennenradiusAv nWz o Einheit A, rechteSeite des uberdeterminiertenlinearen

Gleichungssystemsc1 u c2 EinheitA, unbekannteKoeffizientenp n zo Einheit1/m, ortlicheDiracscheDeltafunktionE0 nWz uPo Einheit V/m, elektrischeFeldstarke der einfallendenebe-

nenWelle im Empfangsbetriebi n zu z o Einheit A, KonzentrierteErsatzstromdichteder Drahtan-

tennei nSz o EinheitA, VektorderunbekanntenStromstarkenl Einheitm, GesamtlangederDrahtantenneM ZahlderTestpunkteM nWz o Systemmatrix des uberdeterminiertenlinearen Glei-

chungssystemsN ZahlderStromentwicklungsintervalleu0 nSz o EinheitV, Torspannungim SpaltderDrahtantenne

Lebenslauf

PersonlicheDaten

Name AndreasLauerGeburtstag 15.12.1966Geburtsort Duisburg

Schulausbildung

1973-1977 Grundschulein Duisburg

1977-1986 Albert EinsteinGymnasiumin Duisburg

UniversitareAusbildung

1986-1992 Studiumder Elektrotechnikin Duisburg, Studienrich-tung Informationstechnik,StudienschwerpunktKom-munikationstechnik

Berufsweg

1986-1992 Praktikabei der Bayer–AG in Krefeld und der Argu-MensMikrowellenelektronikGmbHin Duisburg

1988-1992 studentischeHilfskraft beiderArguMensMikrowellen-elektronikGmbHin Duisburg

1990 DreimonatigesPraktikumfur ArguMensin denVerei-nigtenStaatenvonAmerika

seit1992 WissenschaftlicherAngestellterim FachgebietAllge-meineundTheoretischeElektrotechnikanderGerhard–Mercator–Universitat– GesamthochschuleDuisburg

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