Impulsverzerrungen

© Roland Küng, 2009

Übertragungssystem Basisband

n(t) ~

p(t)

1 1 0 1 0 0 1 ...

s(t)

Modulator Pulsformung

Übertragungskanal

se(t) C(f)

d[n]

Datenquelle, Takt fc = 1/T

Empfangs- filter

H(f) H(f)

Detektion

... 1 1 0 1 0 0 1

d‘[n]

Datensenke

~ ~ ne(t)

Sender Empfänger

Abtastung Takt fs = 1/T

2 Fragen:

• Wie filtere ich im Empfänger so, dass das S/N für den gegebenen Sendeimpuls maximal wird.

• Wie forme ich die Impulse aus der Leitungscodierung so, dass beim Abtasten im Empfänger keine Interferenz durch Impuls-Verschmierung auftritt

Aufsplitten der Problematik

• Beschränkung Rauschbandbreite• Pulsformung für optimales Abtasten

S(f): Pulsspektrum SendesignalC(f): Frequenzgang KanalH(f): Frequenzgang Empfangsfilter

Design Empfangsfilter : 2 Challenges

gefiltert

Optimales Filter = Matched Filter

Optimale Filterung intuitive:

Man gewichtet im Frequenzgang des Filtersgenau jene spektralen Anteile, die vom Sendepuls belegt sind und zwar proportional der Belegungsstärke !

Amplitudengang des Filterspektrum H(f)= Amplitudengang Pulsspektrum S(f) Nach dem Filter detektiert man die Signalenergie S2(f) des Pulses

1. Problem: Noise minimieren

s(t)

¦S(f)¦

Matched Filter (MF)

Matched Filter mathematisch:

S(f): Pulsspektrum SenderC(f): Frequenzgang KanalH(f): Frequenzgang Empfangsfilter

)f(S)f(C)f(H)f(P

Zum Zeitpunkt T soll vor dem Abtaster das Verhältnis des Effektivwert des Impulses p(T) zum Rauschsignal n(t) maximal werden

Anders formuliert: Signal/Geräuschverhältnis S/N von p(t) zur Zeit T soll maximal werden

P(t) mit Spektrum

Matched Filter (MF)

Matched Filter mathematisch aber ohne Beweis:

Tf2jTf2je e)f(C)f(Se)f(S)f(H

)t(n

)T(p

N

S2

2

wird maximal wenn gilt:

das heisst:

sonst,0

Tt0),tT(s)t(h e Mit C(f) = 1 vereinfacht sich:

se(t) = s(t)

sonst,0

Tt0),tT(s)t(h

Beispiel Matched Filter

Beispiel Matched Filter

T t0 2T

)()()( thtsty opti 2A

T/2 3T/2

2

2AT t

)(thopt

TT/2

TA

TA

T t

)(tsi

T/2

TA

TA

S/N am Ausgang des MF

0

s2

00

2

out N

E2dt)t(s

N

2df

2/N

)f(S

N

S

Das S/N ist unabhängig von der Pulsform! Eine Erhöhung ist nur durch Erhöhung der Symbolenergie möglich, also durch mehr mittlere Signalleistung oder längere Symboldauer.

Man kann zeigen, dass gilt

BTN

E

N

S

0

s

out

T2

1B

N0 = einseitige Rauschleistungsdichte

Es = Impulsenergie von s(t)

umgeformt: d.h. MF Bandbreite ist immer

Matched Filter … Korrelator

Mathematisch äquivalent zur Zeit t=nT: Der Korrelator

Allg. Def: Sender liefert Impuls s1(t) oder Impuls s2(t) MF wird auf die Differenz s1(t) – ss(t) entworfen

vgl. Faltung und Korrelation

MF – Korrelator: Handhabung

MF

Kor

MF für Rechteckimpuls

s(t) Rechteck-Impulse:

MF Stossantwort: Rechteckimpuls Amplitudengang: sinx/x

Realisation: Integrate & Dump

Korrelator ist identisch mit MF

MF: Intersymbol Interferenz Problem

s(t) Wahl: sinx/x-Impulse:

MF Stossantwort: sinx/xAmplitudengang: RechteckRealisation: TP sehr hoher Steilheit

Leider: Dauer Impulsantwort >> Bitdauer

Problem Nr. 2 :

Pulsübersprechen auf Nachbar Bitd.h. Intersymbolinterferenz ISI

f

T

Auch bei andern Pulsformenz.B. Rechteckpuls nach RC-Tiefpass

Lösungsansatz Nyquist Kriterien

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T

0

0.5

1

f

0n0

0n1)nT(p

1. Kriterium

Bsp p tt T

t T( )

sin( / )

/

Spektrum

Zeit

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Augendiagramm

Kriterium vertikal: okayVolle ÖffnungEntscheider: Schwelle bei 0.5

Problem bei Signal Jitter (horizontal)Jitter z.B durch Taktregeneration

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T

0

0.5

1

f

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

Nyquist Kriterien

2. Kriterium

Bsp: Spektrum

Zeit

Augendiagramm

...,2n0

1n5.0

0n1

)2/nT(p

p tt T

t T

t T

t T( )

sin( / )

/

cos( / )

( / )

1 4 2

Spektrum breiter: Raised Cosine

Tf

TfTffP

/

/)cos()(

1

1

0

1

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

-1.5/T -1/T -0.5/T 0 0.5/T 1/T 1.5/T

0

0.5

1

f

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

0

0.5

1

t

Nyquist Kriterien

Bsp. Fig. = 0.5

Spektrum

Zeit

Augendiagramm

Kompromiss:

1. Nyquist Krit. ganz erfüllen2. Nyquist Krit. so gut wie möglich

Bandbreite einstellen mit Roll-off Faktor

T2

1f

T2

1f

T2

1T2

1f0

0

T2

1f

Tcos1

1

)f(P

Spektrum allg:

2)T/t(41

)T/tcos(

T/t

)T/tsin()t(p

Root Raised Cosine und MF

Rauschen macht das Auge zu!

Matched Filter für P(f) verwenden

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Da nach dem Matched Filter entschieden wird, sind eigentlich 2 Filter in der Übertragungsstrecke:Das Sendepuls formende Filter und das passende MF.Verteilen der Nyquist Impulsform auf Sender und Empfänger in gleichem Mass:

)f(P)f(S)f(H Root Raised Cosine Filter

P.S. Übrige Filter im System tendenziell breitbandig halten kaum ISI

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

Bit Error Rate = BER

Entscheidende Frage:

Welche BER kann man für ein gegebenes S/N bekommen,wenn man alles richtig macht ?

-2T -3T/2 -T -T/2 0 T/2 T 3T/2 2T

-0.5

0

0.5

1

1.5

t

Signalwerte

Schwelle Standardabweichung

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

0022

1])[]['(

N

EQ

N

EQ

N

SQmdmdPBER bs

P(d[m]=1)

P(d[m]=0)

P(d‘[m]=1)

P(d‘[m]=0)

P(1|1)

P(0|0)

P(0|1)P(1|0)

Es = SymbolenergieEb = Bitenergie (Energie/Bit)N0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)

Unipolar (0/1)

Eb = Es/2(muss statistisch auf 2 Bit verteilt werden)

0

2

N

E

N

S s

out

MF:

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

Es = SymbolenergieEb = BitenergieN0 = Rauschleistungsdichte (spektral einseitig)

0

b

0

s

N

E2Q

N

E2Q

N

SQ])m[d]m['d(PBERbipolar (+1/-1)

Vergleich mit unipolar: Gleiche BER erreichbar für ¼ S/N, bzw. ½ Eb/N0

Eb = Es

0

2

N

E

N

S s

out

MF:

Bitfehler-Wahrscheinlichkeit

BER - Allgemeiner Fall

T

0

221d dt)t(s)t(sE

0

d

N2

EQ])m[d]m['d(PBER

Verwendete Symbole

The 100 $ Question

s

T

0

2T

0

221d E4T4dt2dt)t(s)t(sE

0

d

N2

EQBER

Ist es besser unipolar mit 2 V Amplitude zu senden oder bipolar mit ±1 V

0

b

0

s

N

E4Q

N2

E4QBER

Scheint wie bipolar zu sein

Der Schein trügt: Ja es ist besser punkto BER bezogen auf Energie pro BitDas Matched Filter liefert S/N = Ed/2N0 und Ed ~ Amplitude2

Nachteile: Keine Referenz für Entscheider bei Fading, Doppelter Leistungsverbrauch (4fach Peak Power)

Check:

No free lunch !

Summary

1. Ein Optimalfilter (Matched Filter) ist eine Art Mittelungsfilter2. Es maximiert das Signal zu Geräuschverhältnis des Empfangsignals3. Das Matched Filter minimiert die BER des Empfangsignals.

Die BER Gleichungen gehen immer von der Annahme aus, dass ein Matched Filter verwendet wurde

4. Seine Stossantwort ist die zeitlich gespiegelte Form des gesendeten Signals. Ist die Stossantwort symmetrisch, so kann dasselbe Filter für Empfänger und Sender benutzt werden

5. Root raised cosine Filter ist ein solches Matched Filter, welches auch noch die Intersymbol Interferenz reduziert

6. Integrate & Dump Filter sind nur für Rechtecksignale Matched Filter7. Weitere systembedingte Filter (Kanal) machen das Optimalfilter

nicht ideal aber sind meist immer noch der beste Praxis Ansatz