Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung Evolutionsstrategie I Globale und lokale...
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Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung „Evolutionsstrategie I“
Globale und lokale Optimumsuche
Vier elementare Strategien auf dem Prüfstand
Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
Qx ?
Strategie
VersuchsobjektQualitätsmessungVerstellbarkeitExperimentierkreis
4 Strategien
1. Globale deterministische Suche
2. Globale stochastische Suche
3. Lokale deterministische Suche
4. Lokale stochastische Suche
Suche nach dem Optimum
Bei schwach kausalem Weltverhalten
Bei stark kausalem Weltverhalten
Z
1 m
m
1
1. Globale deterministische Suche
Systematisches Scannen des Versuchsfeldes
2)2( mG
nn mG )(
Z
1 m
m
1
2. Globale stochastische Suche
Zielfindung mit 95% Wahrscheinlichkeit
2)2( 99.2 mG
nn mG 99.2)(
Rechnung mit Wahrscheinlichkeitstheorie
1. Versuch Ziel getroffen: 21
mW z
1. Versuch Ziel nicht getroffen: 211
mW z
2. Versuch Ziel nicht getroffen:2
211 )(z
mW
3. Versuch Ziel nicht getroffen:3
211 )(z
mW
G
mW )(z 2
11G. Versuch Ziel nicht getroffen:
G. Versuch Ziel getroffen:G
mW )(z 2
111
)( 211ln)1(ln
mGW z
)( 211ln
)1(ln
m
WG z
3232
)1ln( xxxx 221)11(ln
mm
)(zW
mG
1
1ln2
)(zW
mG n
1
1ln
Für n Variable
996,2 nmG
Für Wz = 0.95
Text
1. Globale deterministische Suche
3. Lokale deterministische Suche
2. Globale stochastische Suche
4. Lokale stochastische Suche
Zurückgelegter Weg berganZahl der Versuche
Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit
Z
x
y
Linearitätsradius
Fortschritt
3. Lokale deterministische Suche
Folgen des steilsten Anstiegs
3)2(
grad
1)(
grad n
n
Zurückgelegter Weg berganZahl der Versuche
Arbeitsschritt der Länge in Richtung des steilsten Anstiegs am Beispiel für 3 Dimensionen:
222alteunΔΔΔ
Δ
zyx
x
QQQ
Qxx
222altneuΔΔΔ
Δ
zyx
y
QQQ
Qyy
222altneuΔΔΔ
Δ
zyx
z
QQQ
Qzz
Gradientenstrategie
Z
x
y
Linearitätsradius
4. Lokale stochastische Suche
Zufallsdriften entlang des steilsten Anstiegs
1. Nachkomme
2. NachkommeElter
?)2(evo
?)(evon
Plus-Nachkomme
Minus-Nachkomme
Statistisches Mittel des FortschrittsBestimmung des
linearen Fortschritts
Elter
Linearitätsradius
Schwerpunkt
Plus-Nachkomme
Minus-Nachkomme
Statistisches Mittel des Fortschritts
Elter
Linearitätsradius
Schwerpunkt
Fortschrittsgeschwindigkeit:
Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind !
s r
s2r
r
rr
rsr 2 rsr 21
2 Dim. 3 Dim. n Dim.
sr srsr
Schwerpunkt
?
Plus-Nachkomme
Minus-Nachkomme
Statistisches Mittel des FortschrittsBestimmung des
linearen Fortschritts
Linearitätsradius
Schwerpunkt
Elter
Plus-Nachkomme
Minus-Nachkomme
Statistisches Mittel des Fortschritts
Linearitätsradius
Schwerpunkt
Elters v
Fortschrittsgeschwindigkeit:
Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind !
s2v
v
r
rsv 4 rsv 83
2 Dim. 3 Dim. n Dim.
sv svsv
Schwerpunkt
r
?
Aufgabe:
1. Berechnung des Schwerpunkts einer n-dimensionalen Halbkugelschale
2. Berechnung des Schwerpunkts einer n-dimensionalen Vollhalbkugel
Strecke – Quadrat – Würfel – Tesserakt
Der Weg zum n-dimensionalen Würfel
Die Fortentwicklung einer konstruktiven mathematischen Idee
Hyperwürfel
a
a
a a
a
a
a 2a 3a na
Was ist eine n-dimensionale Kugel ?
Genannt:
Stecke Fläche Volumen Hypervolumen
Beispiel: Volumenelement
212 )( xxD
212
212 )()( yyxxD
212
212
212 )()()( zzyyxxD
212
212
212
212 )()()()( zzyyxxD
}{ 11 xP
}{ 22 xP
},{ 111 yxP
},{ 222 yxP },,{ 2222 zyxP
},,{ 1111 zyxP },,,,{ 11111 zyxP
},,,,{ 22222 zyxP
Entfernung D zweier Punkte1P
2PAnaloge Extrapolationsidee für die
Die konstruktive Idee einer n-dimensionalen
Kugeloberfläche: Alle Punkte P2, die von dem
Punkt P1 die gleiche Entfernung R haben.
D
Zurück zur Aufgabe:
1. Berechnung des Schwerpunkts einer n-dimensionalen Halbkugelschale
2. Berechnung des Schwerpunkts einer n-dimensionalen Vollhalbkugel
Paul Guldin (1577 – 1643)
Die 1. Guldinsche Regel
Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.
Paul Guldin (1577 – 1643)
Die 1. Guldinsche Regel
Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.
Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist die Oberfläche der Kugel gleich der Länge des Halbkreislinie ( r ) mal dem Rotationsweg des Schwerpunkts des Halbkreislinie.
Beispiel:
Halbkreislinienschwerpunkt
Halbkreis mit dem Radius r
Schwerpunktsweg
s
KreisKugel 212 UsO
Paul Guldin (1577 – 1643)
Die 2. Guldinsche Regel
Eine Fläche erzeugt durch Rotation um 360 Grad einen Rotationskörper. Dann ist das Volumen des Rotationskörpers gleich dem Inhalt der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Fläche.
Paul Guldin (1577 – 1643)
Die 1. Guldinsche Regel
Eine Fläche erzeugt durch Rotation um 360 Grad einen Rotationskörper. Dann ist das Volumen des Rotationskörpers gleich dem Inhalt der erzeugenden Fläche mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Fläche.
Halbkreisflächenschwerpunkt
Halbkreis mit dem Radius r
Schwerpunktsweg
s
Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist das Volumen der Kugel gleich dem Inhalt des Halbkreisfläche (1/2 r
2) mal dem Rotati-onsweg des Schwerpunkts der Halbkreisfläche.
Beispiel:
KreisKugel 212 FsV
KreisKugel 212 UsO r
Kreis
Kugel
UO
sr
KreisKugel 212 FsV v
Kreis
Kugel
FVsv
2
)3()2(
Kugel
Kugel
OO
sr
(2)
(3))2(
Kugel
Kugel
VVsv
2
)3()2(
Kugel
Kugel
2 OO
r
2
)3()2(
Kugel
Kugel
2 V
Vv
n
nn
rO
O
Kugel
Kugel
2
)1()(
n
nn
vV
V
Kugel
Kugel
2
)1()(
(2)KugelOr2KreisU
gedeutet als
1 Dimension 221 )( xxD
2 Dimensionen 221
221 )()( yyxxD
3 Dimensionen 221
221
221 )()()( zzyyxxD
4 Dimensionen 221
221
221
221 )()()()( uuzzyyxxD
n
nn
rO
O
Kugel
Kugel
2
)1()(
Oberfläche einern-dimensionalen Kugel
12/)(
2Γ2 nnn RnO
)(nnn RnnV
)(22 Γ
2/)( Volumen einer
n-dimensionalen Kugel
)()(
21
2
2)(
n
nn
r
n
nn
vV
V
Kugel
Kugel
2
)1()( 1
21
2
2)(
n
nn
nn
r )()(
(m) = (m – 1)! für ganzzahlige m
(x +1) = x (x), (1) =(2) = 1, (1/2) =
Zur Gammafunktion (verallgemeinerte Fakultät)
Es gilt die asymptotische Formel:
nn
r1
2)(
11
2)(
nn
nn
v
für n >> 1
nn
n
n
2lim2
12
)()(
n1
2 für große
n
Randverteilte Zufallszahlen
Volumenverteilte Zufallszahlen
Text
20 40 60 80 1001
0,5
1,0
1
90r
Vo lum e n-Ve rte ilung
n
Zur Geometrie der n-dimensionalen Kugel
Text
Gradienten Strategie kontra Evolutionsstrategie
Für n >> 1
nn
21)(
evonn )(
grad
1/ n
Evolutionsstrategie
1/n
Gradientenstrategie
Text
Der Dumme, der einfach losgeht, kommt weiter als der Schlaue, der sitzen bleibt und sich vor lauter Nachdenken nicht entscheiden kann.
Motto des Evolutionsstrategen
10 klassische Optimierungsstrategien
1. Gauß-Seidel-Strategie
2. Strategie von Hooke und Jeeves
3. Rosenbrock-Strategie
4. Strategie von Davis, Swann und Campey (DSC)
5. Simplex-Strategie von Nelder/Mead
6. Complex-Strategie von Box
7. Powell-Strategie
8. Newton-Strategie
9. Strategie von Steward
10. Strategie von Davidon, Fletcher und Powell (DFP)
Aktuell: SQP-Verfahren
(Sequential Quadradic Approximation)
x1
x2
x3
Elementare Gradientenstrategie
x1
x2
x3
Extrapolierende Gradientenstrategie
x1
x2
x3
Gauß-Seidel- oder Koordinatenstrategie
x1
x2
x3
Simplex-Strategie von Nelder/Mead
12
3
4
5
6
7
Ende
Eine ähnliche Aufgabe: Ein Würfel wird 4 mal hintereinander geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Sechs fällt? – Aufgaben, in denen das Wort „mindestens „ vorkommt, behandelt man am besten über die Negation. Die Negation von „mindestens eine Sechs“ ich „keine Sechs“. Die Wahrscheinlichkeit, mit einem Wurf keine Sechs zu werfen ist 5/6. Die Wahrscheinlichkeit von „4 mal hintereinander keine Sechs„ ist (5/6)4. Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei vier Würfen mindestens eine Sechs zeigt:
1 – (5/6)4 = 0,518
Eine sehr wichtige Aussage der Theorie: Zwei völlig verschiedene Verteilungen der Mutationen (Gleichmäßig am Kugelrand und gleichmäßig im Kugelvolumen) ergeben für viele Variable n das gleiche Ergebnis. Das heißt, es lohnt sich nicht, über Vor- und Nachteile verschiedener Mutationsverteilungen zu sinnieren.
Das Diagramm zeigt, dass in einer hochdimensionalen Hyperkugel sich das Volumen fast ausschließlich an der Oberfläche der Kugel konzentriert. Das Innere einer Hyperkugel hat nur sehr wenig Volumen. Ein gleichverteilter Zufalls-punkt wird sich deshalb mit großer Wahrscheinlichkeit immer am äußeren Rand der Hyperkugel befinden.
Die Theorie zeigt: Eine planvoll durchdachte Handlungsweise zum Folgen des Gra-dientenweges (Gradientenstrategie) muss nicht notwendigerweise effektiver sein als die Diffusion bergauf durch eine Reihe spontan ausgeführter kleiner Zufalls-schritte. Man muss den Gesamtaufwand sehen. Die Gradientenstrategie benötigt n Vorversuche (genau n+1), die zunächst noch keinen Fortschritt erbringen. Erst nachdem die Informationen gesammelt wurden folgt der eigentliche Arbeitsschritt, der nun allerdings den größtmöglichen Gewinn erbringt. Bei der Evolutionsstrategie ist es umgekehrt. Die Chance für eine großen Gewinn ist bei einem Zufallsschritt gering. Ein kleiner Gewinn tritt aber im Mittel jedes 2. Mal auf.
Fazit: Die vielen Hilfsoperationen bei einen ausgeklügelten Strategie können zu einer größeren Verlangsamung des Fortschritts führen als die unvermeidlichen Abweichungen eines Zufallsschrittes (im linearen Fall ist ja jeder 2. Schritt im Mittel erfolgreich) von der optimalen Fortschrittsrichtung