Ingo Rechenberg PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung Bionik I Evolutionistische Bionik auf dem...
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Ingo Rechenberg
PowerPoint-Folien zur 3. Vorlesung „Bionik I“
Evolutionistische Bionik auf dem Prüfstand
Der Fundamentalbeleg der Bionik
Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet
Bionik
Evolution
Am Anfang war die
Eine einfache Theorie der Evolution
Formgebungsproblem
Tragflügelprofil
Windkanal
Flexible Stahlhaut
Idee für ein mechanisches Evolutionsexperiment (1964)
„Darwin“ im Windkanal
Schlüsselexperiment mit der Evolutionsstrategie
1964
Zahl der Einstellmöglichkeiten:
515 = 345 025 251
Fiktive Mutationsmaschine
GALTONsches Nagelbrett
34
52
1
5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
xi
+++++
x1
x2
x3
x4
x5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
80400
2
4
6
0120 160 200 240 280 320
M u ta tio n e n
E rg e b n isW
ide
rsta
nd
Künstliche Evolution: Gelenkplatte im Windkanal
Ändernder
Umwelt
8040200 60 100 140 180
4
5
3
2
1
6
120 160 200M u ta tio n e n
E rg e b n isW
ide
rsta
nd
Künstliche Evolution: Angewinkelte Gelenkplatte im Windkanal
18. November 1964
Sechs verschiebliche Stangen bilden die Variablen der flexiblen Rohrumlenkung
Evolution eines 90°-Rohrkrümmers
Optimaler 90°- Strömungskrümmer
Start Ergebnis9% weniger Umlenkverluste
Heißwasserdampfdüse für das Evolutionsexperiment mutierbar gemacht
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
35
31
32
33
34
36
37
38
39
40
41
42
43
44
0
45
SCHWEFELs Evolutionsexperiment mit einer Heißwasserdampfdüse
= 45%
= 79%
Evolution des Pferdefußes
Vom Eohippus zum Equus (60 Millionen Jahre)
Generation
0
3
6
9
1215
18
21
24
27
Evolution eines Spreizflügels im Windkanal
Bionik
Evolution
Fundament
Fundamentalbeleg der Bionik
Wie effektiv arbeitet die Evolution ?
„Einen Naturvorgang verstehen heißt, ihn in zu übersetzen“MechanikMathematik
Herrmann von Helmholtz
(1 + 1)-ES
DARWINs Theorie in maximaler Abstraktion
ggg zxx EN
Algorithmus der zweigliedrigen Evolutionsstrategie
1Egx
)() ENN (für ggg QQ xxx
sonst Egx
x = Variablenvektor
= Mutationsschrittweitez = Normalverteilter Zufallsvektor
N = Index Nachkomme
E = Index Elter
Q = Qualität (Tauglichkeit)
g = Generationenzähler
Wie schnell ist bei
der Problemlösung …
Daniel Düsentrieb Biologische Evolution
Komplexität
Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines Objekts in der Biologie und der Technik
Objekt?
Das Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines technischen oder biologischen Objekts ist im Bereich kleiner Änderungen voraussehbar
Behauptung
Starke Kausalität
Normalverhalten der Welt
Eingang: Neigung der Kaffeekanne
Ausgang: Stärke des Kaffeestroms
Kausalität
Schwache Kausalität
Starke Kausalität
Es gibt eine universelle Weltordnung
Gleiche Ursache, gleiche Wirkung
Kleine Ursachenänderung, große Wirkungsänderung
Kleine Ursachenänderung, kleine Wirkungsänderung !
Starke Kausalität
Normales Verhalten der Welt
nicht so sondern so
x xyy
Experimentator
Suchfeld
Suche nach dem höchsten GipfelSchwache Kausalität
Suche nach dem höchsten Gipfel
Experimentator
Suchfeld
Starke Kausalität
Bewegte Strecke bergauf
Zahl der Generationen
Definition der Fortschrittsgeschwindigkeit im Fall der starken Kausalität
Zahl der Versuche
Lokales Klettern
nichtlinear
Lokales Klettern
linear
Z
x
y
Linearitätsradius
Fortschritt
Lokale deterministische Suche
Wandern entlang des steilsten Anstiegs
3)2(
grad
1)(
grad n
n
Fortschritt
Versuchszahl
Bewegte Strecke bergan
Zahl der Versuche
(1 + 1)-ES
DARWINs Theorie in maximaler Abstraktion
Z
x
y
Linearitätsradius
Lokale stochastische Suche
Zufallsdriften entlang des steilsten Anstiegs
1. Kind
2. KindElter
?)2(evo
?)(evon
Plus-Kind
Minus-KindSchwerpunkt der Halbkreislinie
Statistisches Mittel des Fortschritts
Bestimmung des linearen Fortschritts
Elter
Linearitätsradius
2/s
s
+
−
Weil die Hälfte der Kinder Misserfolge sind !
rr
rs 2 rs21 rn
n
s)(
)(
21
21
2 Dim. 3 Dim. n Dim.
s ss
Schwerpunkt
Paul Guldin (1577 – 1643)
Die 1. Guldinsche Regel
Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.
Paul Guldin (1577 – 1643)
Die 1. Guldinsche Regel
Eine Kurve erzeugt durch Rotation um 360 Grad eine Rotationsfläche. Dann ist die Oberfläche der Rotationsfläche gleich der Länge der erzeugenden Kurve mal dem Weg des Schwerpunktes dieser Kurve.
Ein Halbkreis erzeugt durch Rotation um 360° eine Kugel. Dann ist die Oberfläche der Kugel gleich der Länge des Halbkreises ( r ) mal dem Rotationsweg des Schwerpunkts des Halbkreises.
Beispiel:
Halbkreisschwerpunkt
Halbkreis mit dem Radius r
Schwerpunktsweg
s
Okugel =2s ½ UKreis
KreisKugel 212 UsO
Kreis
Kugel
UO
s
12
Kugel )/(2
2
/)(
n
nn rOn
Formel für die Oberfläche einer n-dimensionalen Hyperkugel (m) = (m – 1)! für
ganzzahlige m(x +1) = x (x), (1) =(2) = 1, (1/2) =
Beispiel n = 2: (2)KugelO r2 KreisU
gedeutet als
)(
)1()(
Kugel
Kugeln
nn
O
Os
rs n
nn
)()(
2
21
1)(
)2(
)3()2(
Kugel
Kugel
O
Os
Allgemein
Was ist eine Hyperkugel ?
Die Fortentwicklung einer konstruktiven mathematischen Idee
Hyperwürfel
a
a
a a
a
a
a 2a 3a na
Eine n-dimensionale Kugel ?
Genannt:
Stecke Fläche Volumen Hypervolumen
Beispiel: Volumenelement
212 )( xx
212
212 )()( yyxx
212
212
212 )()()( zzyyxx
212
212
212
212 )()()()( zzyyxx
}{ 11 xP
}{ 22 xP
},{ 111 yxP
},{ 222 yxP },,{ 2222 zyxP
},,{ 1111 zyxP },,,,{ 11111 zyxP
},,,,{ 22222 zyxP
Entfernung zweier Punkte1P
2PAnaloge Extrapolationsidee für die
Besitzen Elter und Kind sehr unterschiedliche
Variableneinstellungen, liegen sie im Hyperraum
„geometrisch“ weit auseinander und umgekehrt
rs n
nn
)()(
2
21
1)(
Fortschrittsgeschwindigkeit
2
)()(
hlVersuchszabergaufWeg n
n s rn
n
)()(
21
2
2
1
Asymptotische Näherung n
rn 12
)(
n1
2
für n >> 1
= mittlere Eltern-Pluskind-Pfeillänge Richtung bergan im n-dimensionalen Raum
Wichtige asymptotische Formel:
nn
n2
21
2
Für n >> 1 gilt:
Z
x
y
Linearitätsradius
Lokale stochastische Suche
Zufälliges Folgen des steilsten Anstiegs
)2(evo n
n 12
)(evo
n >> 1
1. Kind
2. KindElter
)()(
21
22
)(evo
n
nn
Für n >> 1
nn
21)(
evonn )(
grad
1/ n
Evolutionsstrategie
1/n
Gradientenstrategie
Ausgeklügeltes Handeln kontra Evolution
Text
Bionik
EvolutionFundamentalbeleg
Ende
www.bionik.tu-berlin.de
Ergebnis der linearen Theorie:
Eine ausgeklügelte Strategie (hier die einfachste Form einer Gradientenstrategie) erzielt den größtmöglichen Fortschritt. Doch dazu muss die Umgebung durch Messungen (bei der Gradientenstrategie n +1 Messungen) erkundet werden. Bei 2 Dimensionen sind das lediglich 3 Messungen. Bei 1000 Dimensionen müssen aber 1001 Erkundungsmessungen durchgeführt werden, um optimalen Fortschritt zu erreichen. Anders bei der Evolutionsstrategie: Hier erbringt im linearen Funktions-bereich im Mittel schon jeder 2. Versuch einen Fortschritt. ½ mal dieser reduzierte Zufallsfortschritt erbringt mehr als 1/(n+1) mal der größtmögliche Gradientenfortschritt.
Behauptung:
Ausgeklügelte Optimierungsstrategien, auch wenn sie raffiniert über den linearen Funktionsbereich hinaus extrapolieren, werden mit wachsender Variablenzahl immer irgendwann von der Evolutionsstrategie überholt. Daraus folgt: Die Evolutionsstrategie ist für sehr, sehr viele Variablen die bestmögliche Optimierungsstrategie.