Ingo Rechenberg

PowerPoint-Folien zur 6. Vorlesung „Bionik I“

Bionik auf dem mathematischen Prüfstand

Optimallösungen als Ergebnis der Evolution

Der kubisch paraboloide Baumstamm

20

15

10

5

00 5 10

Höh

e / m

R adius / cm

K ubische P arabel

2 ry

P

Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

3)( ykyr

Form eines Kiefernstamms aus dem Tegeler Forst

Solarbetriebener CO2-Sammler

Mast

Materialminimierung:

3zul )(/4)( yPyr

Höchster Baum in Deutschland: Douglasie 63,33 m im Freiburger Stadtwald

Höchster Baum in der Welt: Mammutbaum 115,5 m im Redwood Nationalpark in Kalifornien

Wind

Nur Formvergleich möglich, da genaue Belastungsdaten fehlen.

Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene

Kleine VeneArteriole

Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl

Aorta 10 1

Große Arterien 3 40

Arterienäste 1 600

Arterienzweige 0,6 1800

Arteriolen 0,02 40 000 000

Kapillaren 0,008 1 200 000 000

Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes

Das Blutgefäßsystem als hydraulisches Fördernetz

Erfindung des Herz-Lungen-System in der Evolution

Aorta

Arterienäste

10 10 103 96 z

5%+-

Große Arterien

Arterienzweige

Arteriolen

Kapillaren

10

1

0.1

0.01

100

Dmm

3 /10 zDDi

Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

Genauigkeit !

Gehirnzellen

Beinmuskeln

Armmuskeln

Herzantrieb

Blutneubildung

Mensch 10 000 kJ

a b

Pumpleistung Herz [kJ] groß klein

Neubildung Blut [kJ] klein groß

a b

Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung

3 000 000 Blutkörperchen/s

Energiebilanz

Herzpumpe

(20 %)

Qualitätsfunktion: dungBlutneubilHerzpumpe Zeit

brauchEnergieverZeit

brauchEnergiever

F

Gesetz von Hagen-Poiseuille

4128

DQlp

n

i

n

iiii VkQpF

0 1ges

p

D Q

QpvFp

Mengenstrom / m3/s

smmNk 3: Blutbildungsarbeit

Kubikmeter · Sekunde

opfenStrömungspropfenStrömungsprHerzpumpe gkeitGeschwindiKraft F

RohrVkdungBlutneubil nRohrvolumeF

n

i

n

iiii VkQpFF

0 0ges

n

i

n

iiii VkkVQpQpF

1 1000

Minimierungsproblem:

D0 D i

MinDlkDklQD

QlQ

DQl

Fn

iii

n

i

ii

ii

1

2200

1404

0

00 128128

MinDlkDklQD

QlQ

DQl

Fn

iii

n

i

ii

ii

1

2200

1404

0

00 128128

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion:

00

DF 0

iD

F ni ,2,1

Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

2

206

01024

kQ

D

2

26 1024

kQ

D ii

ni ,2,1

300 // QQDD ii

D

0

0

D

D

D

300 // QQDD ii

Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser

Di eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab!

Q z0Q03

01 /1/ zDD Q1

Beispiel:

Aorta

Arterienäste

10 10 103 96 z

5%+-

Große Arterien

Arterienzweige

Arteriolen

Kapillaren

10

1

0.1

0.01

100

Dmm

3 /10 zDDi

Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

Bedingung für die Lösung:

Optimale Blutgefäßverzweigung

Hund - Mensch - Theorie

10 10 103 96 z

30 /1 zDDi

10

1

0.1

0.01

100

Dmm

Hund arterielles System

Mensch arterielles System

Mensch venöses System

Hydraulik des Hämatokrits

v

v

a

b

BlutzellenvolumenGesamtvolumenHämatokrit H =

Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ?

Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen

Hoptimal = 43,3%

HMann = 42 – 50%

HSchaf = 32%

HSchwein = 41%

(eine mathematische Lösung)

Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

Zeit

Künstliche H-Werte

HFrau = 37 – 45%

Optimaler

Blutkörperchenstrom

Schwein

H = 41%Evolution

Hämatokrit H

1,5

1,0

0,5

0%0 10 3020 40 6050

Blu

t ze l

lens

trom

%

Schaf

H = 32%Evolution

Blu

t ze l

lens

tro m

1,0

0,5

00

10 3020 40 6050

Hämatokrit HDie über 35 Jahre alten Messungen wurden

noch nicht verifiziert. - Deshalb Vorsicht!

Geometrie der Bienenwaben

Dumme Gärtner Schlaue Gärtner

g

v v

b

max22 vg

120optfür

134,022

bvg

g

g

g

b

Eingesparte Strecke

Hinzugefügte Strecke

Vom Angrenzungsproblem in 2 Dimensionen zum Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

Am Boden der sechseckigenZellen der Bienenwabe siehtman die versetzt angeordnetenZellwände der Gegenseitedurchscheinen.

Das Angrenzungsproblem in 3 Dimensionen

Das Angrenzungsproblem

Gartenzaun

Bienenwabe

Zelle von Fejes Tóth

Bienenwabe

Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

9 Kanten !

14 Kanten !

László Fejes Tóth (1915 – 2005)

Shakespeare stellt Richard den Dritten als zu kurz geraten und von klumpiger Missgestalt hin. Hatte König Richard dadurch, dass er klein war, beim Kampf in vollerRitterrüstung Vorteile ?

Die Rüstung Richard des

Dritten

Vorteil der Kleinheit: Die an die Körperoberfläche angepasste Ritterrüstung ist leichter ?

Vorteil der Größe: Das Gewicht der an die Körperoberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zum Quadrat der Größe, die Muskelkraft aber proportional zur dritten Potenz (Volumen) der Größe des Ritters ?

Gleiche Vor- und Nachteile: Das Gewicht der an die Körper-oberfläche angepassten Ritterrüstung wächst proportional zur Oberfläche, die Muskelkraft wächst auch nur proporti-onal zu seiner Querschnittsfläche und nicht zum Volumen ?

Über Größe und Leistung

Der große Ritter stirbt an einem Hitzschlag !

Eine Science-Fiction-Geschichte

Planet der Halslinge

Gliese 581 (in Sternbild Waage)

Gliese 581g

Text

Magnesium

Osmium

Evolution auf dem Evolution auf dem extrasolaren Planetenextrasolaren Planeten

2210

Erdlinge

Riesen-Halsling

Großer Halsling

Gemeiner Halsling

Kleiner Halsling

Zwerg-Halsling

Vermessung der extraterrestrischen Halslinge

Halslänge = 60,0 m Halsgewicht = kg 4522000 Kopfgewicht = 20340000 kg

Halslänge = 12,0 m Halsgewicht = kg 16180 Kopfgewicht = 162700 kg

Halslänge = 5,0 m Halsgewicht = 755,3 kg Kopfgewicht = 11770 kg

Halslänge = 1,0 m Halsgewicht = 2,702 kg Kopfgewicht = 94,17 kg

Halslänge = 0,30 m Halsgewicht = 0,040 kg Kopfgewicht = 2,542 kg

plump

grazil

010 210 410 810

-210

010

20

40

710

kg

kg610

Zwerg-Halsling

Kleiner Halsling

Gemeiner Halsling

Großer Halsling

Riesen-Halsling

Kopfgewicht

Ha

lsg

ew

ich

t

1

1Anstieg = 7/6

Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz

!

Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere

-210 010 210 410kg

-210

010

210

410

kg

Anstieg = 7/6

Sk

ele

ttg

ewic

ht

S

Lastgewicht L

Elefant

MenschHund

Katze

Kaninchen

Ratte

Maus

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz

!

S L7/6

Katze Elefant

Skelett von Katze und Elefant auf die gleiche Größe gebracht

plumpgrazil

010 210 410 810

-21 0

01 0

20

40

71 0

k g

k g610Kugellast L

Trä

ge

rgew

ich

t G

1

1Anstieg = 7/6

60 m

12 m

5 m

0 ,3 m

1 m

Theorie für minimales Trägergewicht bei gleicher

relativer Durchbiegung (Steifigkeit)

G L7/6

Das technische Problem: Links eingespannter

Balken mit Kugelgewicht

rKugel lBalken

Auf dem Planeten Gliese 581g existieren auch die Hüpflinge

Riesenhüpfling Gemeiner Hüpfling Zwerghüpfling

2

43

64ulerE

l

dEP

Aus & KopfKopfKopfEuler VgPP

KopfKopf 2

43

64 gldE

V

Optimale Auslegung der Hüpflingsarten auf dem extrasolaren Planeten

3

34

Kopf rV ldV 2

4Bein lr Es kommen die Gleichungen hinzu:

6/72/1

4

3/2

KopfKopf

Bein 438

VE

gV

P

l

r

dEuler Knickung

l variabel lr

6/7KopfBein VV

Osmium

Hüpfling

Magnesium

Bemessungsoptimierung

Kritische Last

Isometrie

Allometrie

Beltistometrie

(gleich)

(anders)

(bester)

Mit gleichem Maß

Mit anderem Maß

Mit bestem Maß

Was ist Beltistometrie ?

Oder: Ein beltistometrisches Diagramm zeigt (quantitativ) die optimierte Eigenschaft eines Konstrukts, wenn dieses seine Größe ändert.

Beltistometrie (mit bestem Maß)

Definition:

Die Eigenschaft eines Objekts (Leistung, Stoffumsatz, Geschwindigkeit, Materialstärke usw.), die optimiert wurde, wird über der Größe des Objekts aufgetragen. Ist der Zusammenhang nicht trivial (z. B. isometrisch bzw. proportional), wird die sich ergebende Gesetzmäßigkeit Beltistometrie genannt.

Elen-AntilopeWasserbock

Weißschwanzgnu

SpringhaseSuniböckchen Gazelle

Löwenjunges

AntilopeGinsterkatzeZebramungo

Rattenkänguruh

Zwergmungo

Eichhörnchen

Zwergmaus

Körpergewicht10 10 10 10 10 10-3 -1-2 0 1 2 3kg10

10-1

100

101

102

103

ml/s

Sau

ers

toffv

erb

rauc

h

Anstieg = 4/5

10-2

Sulzer RD-90Cooper Bessemer V-250

NordbergDaimler-Benz 609

Allison V-1710

Chrysler 340

Continental C115

Lycoming GO-290AHonda 450

McCulloch M2-10

Enya 60-4C

Webra Speedy

Anstieg = 4/5

Motorgewicht

10

10 10 10 10 10 10-1 10 2 3 4 5kg

Lu

ftdu

rchs

atz

0

101

102

103

104

l/s

10

Von der Zwergmaus zur Elenantilope

Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

BeltistometrieAllometrie

MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung

Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

Vergleich von Leistung und Gewicht:

Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen

Leistung: 22 000 kW

Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g

Leistung: 0,99 kW

1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel.

Sie leisten zusammen 1 000 000 kW.

Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

Eine Weberameise kann das 40-fache ihres Eigengewichts tragen.

Ein Mensch mit 80 kg Körpergewicht müsste dann 3,2 Tonnen schultern.

Blattschneiderameise

Weberameise

Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus!

Eine 6 mm große Schaumzikade kann 70 cm hochschnellen.

Ein 1,80 m großer Mensch sollte dann 210 m hoch springen können.

Aber: Der beltistometrische Zusammenhang sieht anders aus!

Schaumzikade

Em

il R

echs

tein

er

Die Schaumzikade hält den Weltrekord im Insekten-Hochsprung. Sie beschleunigt beim Absprung mit 400 g.

Aus dem Guinness Buch der Tierrekorde: Die schnellste Spinne der Welt

Die Hausspinne (Tegenaria atrica) erreichte bei einer Reihe von Experimenten, die 1970 in Großbritannien durchgeführt wurden, über kurze Distanzen eine Geschwindigkeit von 1,9 km/h. Dies ist außerordentlich schnell, wenn man bedenkt, dass die Spinne in nur 10 Sekunden eine Strecke zurücklegte, die dem 330fachen ihrer Körperlänge entsprach.

Dann müsste ein 2 Meter großer Mensch in 10 Sekunden …

Ende

www.bionik.tu-berlin.de

Gliese 581 g ist ein Exoplanet, der den roten Zwerg Gliese 581 umkreist. Der Planet liegt im Sternbild Waage, etwa 20,4 Lichtjahre (etwa 193 Billionen Kilometer) entfernt von der Erde.

Gliese 581 g besitzt etwa einen 1,2- bis 1,4-fachen Erddurchmesser und die 3- bis 4-fache Erdmasse, seine Umlaufzeit beträgt etwa 36,6 Tage. Gliese 581 g besteht möglicherweise aus Stein und hat genug Masse, um eine Atmosphäre zu halten. Er liegt in der habitalen Zone, verfügt also potentiell über flüssiges Wasser. Die Durchschnittstemperatur wird auf etwa −30 bis −12 °C geschätzt.