Ingo Rechenberg

PowerPoint-Folien zur 5. Vorlesung „Bionik I“

Bionik auf dem mathematischen Prüfstand

Optimallösungen als Ergebnis der Evolution

Weiterverwendung nur unter Angabe der Quelle gestattet

Der kubisch paraboloide Baumstamm

20

15

10

5

00 5 10

Höh

e / m

R adius / cm

K ubische P arabel

2 ry

P

Theorie „Träger gleicher Festigkeit“

3)( ykyr

Form eines Kiefernstamms

Solarbetriebener

CO2-Sammler

Mast

Materialminimierung:

3zul )(/4)( yPyr

Das Dritte-Wurzel-Gesetz der Blutgefäße

Arterienzweig Kapillare Gewebe Vene

Kleine VeneArteriole

Gefäßart Durchmesser D [mm] Anzahl

Aorta 10 1

Große Arterien 3 40

Arterienäste 1 600

Arterienzweige 0,6 1800

Arteriolen 0,02 40 000 000

Kapillaren 0,008 1 200 000 000

Vermessung des Blutgefäßsystems eines 13 kg schweren Hundes

Aorta

Arterienäste

10 10 103 96 z

5%+-

Große Arterien

Arterienzweige

Arteriolen

Kapillaren

10

1

0.1

0.01

100

Dmm

3 /10 zDDi

Gesetz der Verzweigung von Blutgefäßen

Genauigkeit !

Gehirnzellen

Beinmuskeln

Armmuskeln

Herzantrieb

Blutneubildung

Mensch 10000 kJ

a b

Pumpleistung Herz [kJ] groß klein

Neubildung Blut [kJ] klein groß

a b

Zwei Entwürfe für eine Rohrverzweigung

3 000 000 Blutkörperchen/s

Qualitätsfunktion: dungBlutneubilHerzpumpe Zeit

brauchEnergieverZeit

brauchEnergiever

F

Gesetz von Hagen Poiseuille

4128

DQlp

opfenStrömungpropfenStrömungprHerzpumpe gkeitGeschwindiKraft F

RohrdungBlutneubil nRohrvolume VkF

n

i

n

iiii VkQpF

0 1ges

p

D Q

QpvFp

n

i

n

iiii VkQpFF

0 0ges

n

i

n

iiii VkkVQpQpF

1 1000

Minimierungsproblem:

D0 D i

n

iii

n

i

ii

ii DklDklQD

QlQ

DQl

F1

2200

1404

0

00 128128min

n

iii

n

i

ii

ii DklDklQD

QlQ

DQl

F1

2200

1404

0

00 128128min

Wir bilden nach den Regeln der Extremwertfindung einer Funktion:

00

DF 0

iD

F ni ,2,1

Die Gleichungen lassen sich elementar nach D0 und Di auflösen

2

206

01024

kQ

D

2

26 1024

kQ

D ii

ni ,2,1

300 // QQDD ii

D

0

0

D

D

D

300 // QQDD ii

Für vorgegebene Anfangswerte D0 und Q0 hängt der optimale Durchmesser eines jeden Rohrzweiges nur von seiner eigenen Durchflussmenge ab!

Q z0Q03

01 /1/ zDD Q1

Beispiel:

Aorta

Arterienäste

10 10 103 96 z

5%+-

Große Arterien

Arterienzweige

Arteriolen

Kapillaren

10

1

0.1

0.01

100

Dmm

3 /10 zDDi

Es existieren z Blutgefäße gleichen Durchmessers, durch die der gesamte Blutstrom hindurchfließt.

Bedingung für die Lösung:

Hydraulik des Hämatokrits

v

v

a

b

BlutzellenvolumenGesamtvolumenHämatokrit H =

Ist die Lösung a besser als b oder ist b besser als a ?

Zwei Lösungen für eine hydraulische Förderung von Blutkörperchen

Hoptimal = 43,3%

HMensch = 42 – 44%

HKamel = 28%

HSchaf = 32%

HSchwein = 41%

(mathematische Lösung)

Zur Messung des Blutzellen-Volumenstroms

Zeit

Künstliche H-Werte

%

Schaf

H = 32%Evolution

Blu

tzel

lens

trom1,0

0,5

00

10 3020 40 6050

Hämatokrit H

Schwein

H = 41%Evolution

Hämatokrit H

1,5

1,0

0,5

0%0 10 3020 40 6050

Blu

tzel

lens

trom

Optimaler

Blutkörperchenstrom

Geometrie der Bienenwaben

Dumme Gärtner Schlaue Gärtner

g

v v

b

max22 vg

120optfür

134,022

bvg

g

g

g

b

Eingesparte Strecke

Hinzugefügte Strecke

Zur “Mathematik” derBienenwaben

Am Boden der sechseckigenZellen der Bienenwabe siehtman die versetzt angeordnetenZellwände der Gegenseitedurchscheinen.

Das Angrenzungsproblem

Gartenzaun

Bienenwabe

Zelle von Fejes Tóth

Bienenwabe

Gewinn = 0,035% gegenüber der Lösung der Evolution

Eine Science-Fiction-Geschichte

Planet der Halslinge

Alpha Tauri

Magnesium

Osmium

Evolution auf dem Evolution auf dem extrasolaren Planetenextrasolaren Planeten

2204

Erdlinge

Riesen-Halsling

Großer Halsling

Gemeiner Halsling

Kleiner Halsling

Zwerg-Halsling

Vermessung der extraterrestrischen Halslinge

Halslänge = 60,0 m Halsgewicht = kg 4522000 Kopfgewicht = 20340000 kg

Halslänge = 12,0 m Halsgewicht = kg 16180 Kopfgewicht = 162700 kg

Halslänge = 5,0 m Halsgewicht = 755,3 kg Kopfgewicht = 11770 kg

Halslänge = 1,0 m Halsgewicht = 2,702 kg Kopfgewicht = 94,17 kg

Halslänge = 0,30 m Halsgewicht = 0,040 kg Kopfgewicht = 2,542 kg

010 210 410 810

-210

010

20

40

710

kg

kg610

Zwerg-Halsling

Kleiner Halsling

Gemeiner Halsling

Großer Halsling

Riesen-Halsling

Kopfgewicht

Ha

lsg

ew

ich

t

1

1Anstieg = 7/6

Allometriegesetz der extraterrestrischen Halslinge

Es gilt ein 7/6-Potenzgesetz

!

Allometriegesetz der terrestrischen Wirbeltiere

S L7/6

-210 010 210 410kg

-210

010

210

410

kg

Anstieg = 7/6

Sk

ele

ttg

ewic

ht

S

Lastgewicht L

Elefant

MenschHund

Katze

Kaninchen

Ratte

Maus

Theorie für minimales Gewicht

010 210 410 810

-21 0

01 0

20

40

71 0

k g

k g610Kugellast L

Trä

ge

rgew

ich

t G

1

1Anstieg = 7/6

60 m

12 m

5 m

0 ,3 m

1 m

Theorie für minimales Trägergewicht

G L7/6

P

l

r

d

2

43

64ulerE

l

dEP

Aus & KopfKopfKopfEuler VgPP

KopfKopf 2

43

64 gldE

V

Optimale Auslegung der Beinlingsarten auf dem extrasolaren Planeten

3

34

Kopf rV ldV 2

4Bein lr Es kommen die Gleichungen hinzu:

6/72/1

4

3/2

KopfKopf

Bein 438

VE

gV

Euler Knickung

l variabel lr

6/7KopfBein VV

Isometrie

Allometrie

Beltistometrie

(gleich)

(anders)

(bester)

Mit gleichem Maß

Mit anderem Maß

Mit bestem Maß

Was ist Allometrie ?

Elen-AntilopeWasserbock

Weißschwanzgnu

SpringhaseSuniböckchen Gazelle

Löwenjunges

AntilopeGinsterkatzeZebramungo

Rattenkänguruh

Zwergmungo

Eichhörnchen

Zwergmaus

Körpergewicht10 10 10 10 10 10-3 -1-2 0 1 2 3kg10

10-1

100

101

102

103

ml/s

Sau

ers

toffv

erb

rauc

h

Anstieg = 4/5

10-2

Sulzer RD-90Cooper Bessemer V-250

NordbergDaimler-Benz 609

Allison V-1710

Chrysler 340

Continental C115

Lycoming GO-290AHonda 450

McCulloch M2-10

Enya 60-4C

Webra Speedy

Anstieg = 4/5

Motorgewicht

10

10 10 10 10 10 10-1 10 2 3 4 5kg

Lu

ftdu

rchs

atz

0

101

102

103

104

l/s

10

Von der Zwergmaus zur Elenantilope

Vom Modellflugmotor zum Schiffsdiesel

Beltistometrie

MAN-Schiffsdiesel mit 22 000 kW Leistung

Modellflugdiesel mit 0,31 kW Leistung

Vergleich von Leistung und Gewicht:

Großdiesel für Kreuzfahrtschiff: Gewicht: 250 Tonnen

Leistung: 22 000 kW

Kleinstdiesel für Flugmodell: Gewicht: 237,5 g

Leistung: 0,99 kW

1 000 000 Modellflugdiesel wiegen so viel wie ein Schiffsdiesel.

Sie leisten zusammen 1 000 000 kW.

Das ist 45-mal mehr als der Großdiesel !

Ende