Jürgen Roth Didaktik der Zahlbereichserweiterungen · Jürgen Roth• Didaktik der...
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Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.1Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Didaktik der ZahlbereichserweiterungenModul 5a: Fachdidaktische Bereiche
Jürgen Roth
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.2Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
1 Ziele und Inhalte
2 Natürliche Zahlen ℕ
3 Ganze Zahlen ℤ
4 Rationale Zahlen ℚ
5 Reelle Zahlen ℝ
6 Komplexe Zahlen ℂ
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.3Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚDidaktik der Zahlbereichserweiterungen
Jürgen Roth Und merk dir ein für allemalden wichtigsten von allen Sprüchen:
Es liegt dir kein Geheimnis in der Zahl,allein ein großes in den Brüchen.
Goethe, Urfaust
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.4Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.0 Exkurs: Diagnostische Kompetenz
4.1 Grundvorstellungen zu Bruchzahlen
4.2 Probleme beim Verständnisvon Bruchzahlen
4.3 Grundvorstellungen zum Rechnen mit Bruchzahlen
4.4 Grundvorstellungen mit EXIs erarbeiten
4.5 Repräsentationen von Bruchzahlen
4.6 Erarbeitung von Rechenregeln(Bsp. „Bruch durch Bruch“)
4.7 Gemischte Zahlen und Dezimalbrüche
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.5Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.0 Exkurs:Diagnostische Kompetenz
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.6Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Diagnostische Kompetenz
… ist „ein Bündel von Fähigkeiten, um den Kenntnisstand, die Lernfortschritte und die Leistungsprobleme
sowie die Schwierigkeiten verschiedener Lernaufgaben
im Unterricht fortlaufend beurteilen zu können,
sodass das didaktische Handeln auf diagnostischen Einsichten aufgebautwerden kann.“
Weinert (2000, S. 16)
Schüler-diagnose
Aufgaben-diagnose
Unterrichts-handeln
einzelner Schüler
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.7Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Prozess des Diagnostizierens
Geeignete Daten sichten / selbst erheben
Förderrelevante Beobachtungen beschreiben
Beobachtungen differenziert deuten
Ursachen ergründen
Konsequenzen für Förderung ableiten
Beretz, von Aufschnaiter & Lengnink (2016). Bearbeitung diagnostischer Aufgaben durch Lehramtsstudierende. In Maurer [Hrsg.] Implementation fachdidaktischer Innovation im
Spiegel von Forschung und Praxis. Gesellschaft für Didaktik der Chemie und Physik Jahrestagung in Zürich 2016. Regensburg: Universität Regensburg 2017, S. 244-247
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.8Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Videovignetten zur Analysevon Unterrichtsprozessen
Bartel & Roth (2017a)
http://vivian.uni-landau.de
Schülerebene
Arbeitsauftrag
Schüler-dokumente
Materialien
Lernumgebung: Thema und Ziele Metaebene
Schülerprofile
S2
S1 S4
S3
Zeitliche Einordnung
Diagnoseauftrag
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.9Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.1 Grundvorstellungenzu Bruchzahlen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.10Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts
Grundvorstellungenrepräsentieren abstrakte Begriffe anschaulichverbinden abstrakte Mathematik und Anwendungen
Zwei Typen von GrundvorstellungenPrimäre Grundvorstellungen
Wurzeln in HandlungserfahrungenSekundäre Grundvorstellungen
werden mit mathematischen Darstellungsmitteln (Zahlen-strahl, Koordinatensystem, Graph, …) repräsentiert
vom Hofe & Hattermann (2014)
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.11Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen
• Anknüpfen an bekannte Sachzusammenhänge oder Handlungsvorstellungen
Erfassen der Bedeutung des Begriffs/Verfahrens
• Ermöglichen operativen Handelns auf der Vorstellungsebene
Aufbauen von mentalen Repräsentationen
• Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen• Modellieren des Phänomens mit
Hilfe der mathematischen Struktur Anwenden in neuen
Situationen
Vgl. vom Hofe, R. (2003): Grundbildung durch Grundvorstellungen. Mathematik lehren 118, S. 4-8
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.12Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Bruchzahlbegriff:Stufen des Begriffsverständnisses
Intuitives BegriffsverständnisBegriff als PhänomenBeispiele kennen.
Inhaltliches BegriffsverständnisBegriff als Träger von EigenschaftenEigenschaften kennen
Integriertes BegriffsverständnisBegriff als Teil eines BegriffsnetzesBeziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen
Formales BegriffsverständnisBegriff als Objekt zum Operieren Beispiel: Rechnen mit Bruchzahlen
Vollrath, H.-J. (1984). Methodik des Begriffslehrens im MU. Stuttgart: Ernst Klett Verlag, S. 215-217
Vollrath, H.-J. & Weigand, H.-G. (2007). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 160-162
+ =
45
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.13Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zu BruchzahlenMalle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Teil eines Ganzen34
(von 1)
Verhältnis34
= 3 ∶ 4 (3 zu 4)
Quasikardinalzahl34
= 3 Viertel
Relativer Anteil34
von …
Vergleichsoperator34
mal so viel wie …
Absoluter Anteil34
… … drei von vier
Eine Dreiviertel-torte
Resultat einer Division34
= 3 ∶ 4
2 Viertel+3 Viertel= 5 Viertel
Nur wenn nicht gerechnet wird!
Quasiordinalzahl14
… … jeder vierte
Vgl. Teil mehrerer Ganzer (Padberg)
𝟑𝟑𝟒𝟒
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.14Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Teil vom GanzenPadberg, F. (2002). Didaktik der Bruchrechnung. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 41-50
Teil einesGanzen
Teil mehrererGanzer
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.15Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Ausweitung des Standpunkts „Teil“ ⇔ „Ganzes“
Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-16
64
Darstellen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.16Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Ausweitung des Standpunkts „Teil“ ⇔ „Ganzes“
∶ 4 ⋅ 6 ∶ 4· 6
64
Auflösen in Ketten von
Einzel-operatoren
Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-16
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.17Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Inneres TeilverhältnisDie roten Perlen verhalten sich zu den blauen Perlen wie 1 ∶ 3.
Äußeres TeilverhältnisJe eine von vier Perlen ist rot, je drei von vier Perlen sind blau.
Bruchzahlaspekte
1. Teil vom Ganzen
2. Maßzahl 12
ℎ, 34
𝑘𝑘𝑘𝑘, 14
𝑘𝑘𝑘𝑘
3. Operator
4. Verhältnis („inneres bzw. äußeres Teilverhältnis)
5. Quotient
6. Lösung linearer Gleichungen𝑛𝑛 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑘𝑘 mit 𝑛𝑛, 𝑘𝑘 ∈ ℕ
7. Skalenwerte
8. Quasikardinalität
Padberg (20094): Didaktik der Bruchrechnung. Spektrum Akademischer Verlag, S. 28-31
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.18Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Brüche vergleichen
zählergleiche Brüche→ Größe der Teilenennergleiche Brüche→ Anzahl der gleichen Teilemit 1 vergleichen
mit 12
vergleichen
58
510
34
24
89
76
37
58
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.19Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.2 Probleme beimVerständnis von Bruchzahlen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.20Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
„Brüche bei den Brüchen“
KardinationEine Zahl und eine Rechenaufgabe beantworten immer eine Frage nach „wie viele?”.
Eineindeutigkeit zwischen Zahl und ZahlzeichenJede Zahl hat genau eine Zahlbezeichnung.
Visuell: Folge von ZiffernAuditiv: Folge von Grundzahlwörtern (mit Stellenwertangabe)
Diskrete OrdnungJede Zahl hat einen Nachfolger und – außer der kleinsten Zahl – einen Vorgänger.Die Menge der Zahlen ist wie eine Kette mit Anfang, aber ohne Ende.
Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren 123, S. 10-13
Winter: Mehr Sinnstiftung, mehr Einsicht, mehr Leistungsfähigkeit im MU, dargestellt am Beispiel der Bruchrechnung
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.21Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
„Brüche bei den Brüchen“
RechnenJede Elementaroperation 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏, 𝑎𝑎 – 𝑏𝑏 (wenn 𝑎𝑎 ≥ 𝑏𝑏), 𝑎𝑎 · 𝑏𝑏 und 𝑎𝑎 ∶ 𝑏𝑏 (wenn 𝑏𝑏 Teiler von 𝑎𝑎) ist bei, in der Ziffernsprache gegebenen 𝑎𝑎 und 𝑏𝑏 unmittelbar durchführbar und liefert wieder eine Zahl in der üblichen Ziffernsprache.
Einschränkung der DivisionDie Division 𝑎𝑎 ∶ 𝑏𝑏 ist nicht immer restlos möglich.Wenn sie möglich und der Teiler ungleich 1 ist, dann ist das Ergebnis kleiner als die geteilte Zahl.
Multiplikation und OrdnungMultiplizieren als „starkes“ VermehrenMultipliziert man zwei Zahlen, die ungleich 0 oder 1 sind, so ist das Ergebnis größer als jede der beiden Zahlen.
Prediger, S. (2004). Brüche bei den Brüchen – aufgreifen oder umschiffen? mathematik lehren 123, S. 10-13
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.22Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Multiplikative AnteilsbildungWartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16
Lilly nimmt sich die Hälfte der dargestellten Tafel Schokolade. Davon isst sie 3
5auf. Wie viele
Stücke hat sie gegessen?
Welche Grundvorstellungen braucht man für die Lösung?
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.23Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Multiplikative Anteilsbildung
Moritz: Also da muss man erst ausrechnen, wie viel die Hälfte ist. Das sind dann zehn solche viereckigen Dinger. Und dann muss man noch drei Fünftel von zehn irgendwie ausrechnen. Also wie viel drei Fünftel von zehn solchen Dingern ist.
Interviewer: Du kannst dir das jetzt gern alles auf-schreiben, was du so im Einzelnen rechnest. (Moritz schreibt und überlegt) Welchen Teil willst du ..., oder überlegst du gerade?
Moritz: Wie ich das jetzt, ... drei Fünftel von zehn solchen Dingern wissen soll. Weil es ist ja die Hälfte, ah, da kann man ja ein Halb schreiben. Nein. (Moritz überlegt)
Interviewer: Was heißt denn für dich das drei Fünftel von zehn Stück?
Moritz: Ich weiß nicht. Ich kann mir da nix drunter vorstellen.
Interviewer: Du versuchst das jetzt rechnerisch zu lösen ...
Moritz: Ja.
Interviewer: Kannst du das vielleicht mit dieser dargestellten Tafel Schokolade irgendwie graphisch lösen, zum Beispiel durch Wegstreichen ...
Moritz: Ich müsste halt dann wissen, wie viel ungefähr drei Fünftel ist ...
Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.24Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Multiplikative Anteilsbildung
Sophia: ... ein Fünftel ist ja jetzt 0,2. Dann sindzwei Fünftel 0,4 und drei Fünftel, ehm,0,6. Und die Hälfte, also ein Halb, sinddann ...(überlegt)Also weil das ja das Ganze ist, ist esdann zwei Zweitel. Also ist es gleicheins. Und, ehm, ... das ist 0,5, also dieHälfte. Und dann noch 3,5 ...(meint offensichtlich den Bruch dreiFünftel)... das ist also 0,6 glaub ich. Und damuss man dann also, zehn ...(überlegt)... mmm.
Interviewer: Wieso jetzt geteilt durch null Kommasechs? Und nicht mal oder plus oderminus?
Sophia: Ja weil, dann wär's ja mehr und dasmuss ja immer weniger werden, weilsie isst ja nicht mehr, als Tafel da ist.
Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.25Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Ordnung und Dichtevon Bruchzahlen
BruchGibt es einen Bruch, der größer als 1
3und kleiner als 1
2ist?
GetränkepackungEinen Firma stellt Einwegverpackungen für Erfrischungs-getränke in zwei verschiedenen Größen her. Um das Angebot abzurunden soll eine weitere Verpackung angeboten werden. Das Volumen der neuen Packung soll größer sein als das der Dose und kleiner als das der Flasche.
12 𝑙𝑙
13 𝑙𝑙
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.26Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Ordnung und Dichtevon Bruchzahlen
Kilian: Ich würd‘ erst mal nach einer Zwischenzahl suchen.
Interviewer: OK.
Kilian: Ein Eintel kann es nicht sein, weil das kleiner ist als 1
2und kleiner als 1
3ist.
Er muss größer als 13
sein und kleiner als 1
2.
Interviewer: Ob es überhaupt einen gibt ist da ja die Frage.
Kilian: Ach so … Nee.
Interviewer: Nicht. Warum nicht?
Kilian: Ich schau einfach unten auf die beiden Zahlen, 3 und 2 und dazwischen kenn‘ ich keine Zahl.
Florian: Nee, ich glaub nicht.
Interviewer: Warum nicht? Kannst du das versuchen zu erklären?
Florian: Ja 13
ist ja schon größer als 12.
Interviewer: Was bedeutet der Bruch 13?
Oder warum ist 13
größer als 12?
Florian: Nee, eigentlich ist es genauso groß.
Interviewer: Da wäre die Frage trotzdem, warum ist das genauso groß? Kannst du das irgendwie erklären? Was stellst du dir da drunter vor?
Florian: Das hier sind 3 Teile und das hier sind 2, aber es ist halt insgesamt gleichgroß.
Wartha, S., vom Hofe, R. (2005). Probleme bei Anwendungsaufgaben in der Bruchrechnung. mathematik lehren 128, S. 10-16
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.27Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Häufige Grundvorstellungsdefizite
Fehlende oder nur in Ansätzen vorhandene Vorstellungen zum Bruchzahlbegriff
Keine inhaltliche Vorstellung zur Addition von ungleichnamigen Brüchen
Nicht entwickelte Vorstellungen zurMultiplikation und Division von Bruchzahlen
Unreflektierte Übertragung von intuitiven Annahmen aus den natürlichen Zahlen auf die Bruchzahlen
Falsche Orientierung an Nenner oder Zähler beim Ordnen und Vergleichen von Brüchen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.28Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Gegenmaßnamen
Kontexte und GrundvorstellungenEinführung neuer Begriffe mit Kontexten verbinden, in denen die wichtigen Grundvorstellungen zum Tragen kommen.
Produktive ÜbungsphasenÜbersetzungsprozesse zwischen Grundvorstellungenfordern und fördern. Grundvorstellungen können sich ausbilden und stabilisieren.
BedeutungsänderungenBedeutungsänderungen bewusst machen bzw. von der Notwendigkeit einer Neubewertung alter Vorstellungen überzeugen (z. B. durch Aufgaben, die zum Nachdenken anregen; Kognitiver Konflikt )
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.29Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Spiel zu GrundvorstellungenWartha, S., vom Hofe, R. (2005).
Mathematik lehren 128, S. 16
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.30Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.3 Grundvorstellungen zum Rechnen mitBruchzahlen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.31Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Erweitern und Kürzen von BrüchenMalle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Padberg, Wartha (2017). Didaktik der Bruchrechnung. 5. Auflage, Berlin: Springer Spektrum, S. 43
Einteilung verfeinern
Einteilung vergröbern
23
46
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.32Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Addition und Subtraktion von BruchzahlenMalle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Addieren
Zusammenfügen,Hinzufügen
Vorwärtsbewegen,Vorwärtsschreiten
Wegnehmen
Rückwärtsbewegen,Rückwärtsschreiten
Subtrahieren
(Gegenständliche) Operation
Zahlenstrahl
+ =
Unterschied bestimmen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.33Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟒𝟒
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.34Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟒𝟒
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.35Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟒𝟒
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.36Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟒𝟒
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.37Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟑𝟑
=𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟒𝟒
=𝟑𝟑
𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.38Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.39Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.40Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.41Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.42Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.43Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
𝟏𝟏𝟑𝟑
+𝟏𝟏𝟒𝟒
=𝟒𝟒
𝟏𝟏𝟏𝟏+
𝟑𝟑𝟏𝟏𝟏𝟏
=𝟕𝟕
𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.44Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Addition von Brüchen
https://geogebra.org/m/tFaPj2mC
http://mathe-labor.de/mathematik-und-kunst-2015-variante-a-simulation-4/
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.45Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Grundvorstellungen zur Multiplikation von Brüchen
Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Abgekürzte Addition
Von-Deutung
Quasikardinalzahl
Permanenzprinzip (Kommutativgesetz)
3 �45
= ? 3 �45
=45
+45
+45
= 4 Fünftel + 4 Fünftel + 4 Fünftel
= 12 Fünftel =125
Quasikardinalzahl
45
� 3 = ?45
� 3 = 3 �45
=125
oder45
� 3 =45
von 3
125
1.N
atür
liche
Zah
l m
al B
ruch
zahl
2. B
ruch
zahl
mal
na
türli
che
Zahl
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.46Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Multiplikation von BruchzahlenVon-Deutung
Malle, G. (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Von-Deutung
Aus Skizze ablesen:
23
�57
= ?23
�57
=23
von57
23
von57
=1021
Flächeninhaltsformel
𝐴𝐴Rechteck = 𝑙𝑙 � 𝑏𝑏 =23
�57
Übung: Bestimmen Sie genauso die Produkte 54
� 23
und 54
� 32.
3. B
ruch
zahl
mal
Bru
chza
hl
57
23
𝐴𝐴Ausgangsquadrat = 1
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.47Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Vereinigung vieler Bruchrechenaspekte
Jede „Fliese“ hat die Seitenlängen 12
und 13
und ihre Fläche ist 16
der Gesamtfläche.
16
ist außerdem
die Hälfte von einem Drittelstreifen,
ein Drittel von einer Quadrathälfte,
das Ergebnis der formalen Rechnung 12
� 13.
Hefendehl-Hebeker, L. (1996): Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48
12
13
23
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.48Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
„Bruchgitter“
Bestimme die Fläche des Rechtecks mit
den Seitenlängen 43
und 32.
Erkläre dein Ergebnis an der Zeichnung und durch deine Rechnung.
Finde andere Rechtecke mit dem selben Flächeninhalt.
Usw.
Hefendehl-Hebeker, L. (1996). Brüche haben viele Gesichter. mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.49Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Division von Bruchzahlen
Maß kleiner als die zu messende Größe.
Beispiel: 34
∶ 14
Zugehörige Frage:Wie oft ist 1
4in 3
4enthalten?“
Maß größer als die zu messende Größe.
Beispiel: 14
∶ 34
Zugehörige Frage: Welcher Bruchteil von 3
4passt in 1
4?“
Malle (2004). Grundvorstellungen zu Bruchzahlen. mathematik lehren 123, S. 4-8
Teilen(Verteilen)
Messen(Aufteilen)
49
∶ 272
∶7
10
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.50Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Division von BruchzahlenMessen
Maß kleiner als die zu messende Größe. „Wie oft passt 710
in 72?“
Beispiel: 𝟕𝟕𝟏𝟏
Liter Wein sollen in 𝟕𝟕𝟏𝟏𝟏𝟏
-Liter-Flaschen abgefüllt werden.Wie viele Flaschen können gefüllt werden?
1 2 372
∶7
10 = 𝟓𝟓
Dividierenals Messen
Verfeinerung der Einteilung
Bruchzahl als Quasikardinalzahl
Es können 5 Flaschengefüllt werden.
72
∶7
10 =7 � 𝟓𝟓2 � 𝟓𝟓
∶7
10=
3510
∶7
10 = 35 𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙 ∶ 7 𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙𝐙 = 5
72
∶7
10= ?
72
710
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.51Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Division von BruchzahlenMessen
Maß größer als die zu messende Größe „Welcher Bruchteil von 2 passt in 49?“4
9∶ 2 = ?
1 2
49
∶ 2 =𝟏𝟏𝟗𝟗
49
2
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.52Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Syntax Semantik PragmatikRegeln, Formeln
Formales VerständnisBedeutung, Sinn
Inhaltliches VerständnisAnwendung, GebrauchHandlungsverständnis
Dimensionen beim AufgabenlösenWinter, H. (2004). Ganze und zugleich gebrochene Zahlen. mathematik lehren 123, S. 14-18
2 ist mit 34
zu messen.2 ∶
34
=21
∶34
=21
⋅43
=2 ⋅ 41 ⋅ 3
=83
= 223
2 =84
84
∶34
= 8 ∶ 3 =83
= 4 ⋅23
∶ 4 · 4
2 ∶ 3 =23
2 ∶34
=83
2 Liter Milch sind in34
𝑙𝑙-Gefäße zu füllen.
2 volle Gefäße und ein 23-volles von je 3
4𝑙𝑙.
2𝑙𝑙
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.53Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.4 Grundvorstellungenmit EXIs erarbeiten
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.54Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Exis?
Exis(Regelmäßiges) Sechseck A, (gleichschenkliges) Trapez B, Raute C, mittleres (gleichseitiges) Dreieck D,langes (stumpfwinklig-gleichschenkliges) Dreieck E, kleines (rechtwinkliges) Dreieck F, großes (gleichseitiges) Dreieck G, Rechteck H
LiteraturRoth, Jürgen: Eine geometrische Lernumgebung − Entwicklung von Verständnisgrundlagen für Bruchzahlen und das Rechnen mit Brüchen. In: Fritz-Stratmann, A.; Schmidt, S. (Hrsg.) (2009). Fördernder Mathematikunterricht in der Sekundarstufe I − Rechenschwierigkeiten erkennen und überwinden, Weinheim: Beltz Verlag, S. 186-200Roth, Jürgen: Grundverständnis für Bruchzahlen aufbauen mit „EXI“ – Ein Anschauungsmittel auf der Basis eines regelmäßigen Sechsecks
http://www.juergen-roth.de/veroeffentlichungen/geometrische_lernumgebung_bruchzahlen/roth_geometrische_lernumgebung_bruchzahlen.pdf
A BC
DG
E
F H
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.55Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Teil eines Ganzen
Exi-Typ A B C D E F G H
Anzahl der Teile
Bruchteil von A
A BC
D
G
E
F H
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.56Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Teil eines Ganzen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi.html
112
13
16
16
112 1
2
23
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.57Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Erweitern und Kürzen
ErweiternBruchstück und das Ganze feiner unterteilen (Verfeinern)
KürzenBruchstück und das Ganze gröber unterteilen (Vergröbern)
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi_2.html
Erweitern
Kürzen
13
1 ⋅ 23 ⋅ 2
=26
2 ⋅ 26 ⋅ 2
=4
12
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.58Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
=12
13
Addieren von BrüchenDazulegen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi_2.html
+ ?
=36
26 +
56
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.59Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Dividieren von BrüchenMessen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi_2.html
=13
12
∶ 112
= 32
12
∶13
= ? Maß kleiner als die zu messende Größe. ⇒ „Wie oft passt 13
in 12
?“
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.60Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Dividieren von BrüchenMessen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/brueche/exi_2.html
Maß größer als die zu messende Größe. ⇒ „Welcher Bruchteil von 12
passt in 13
?“
=12
13
∶ ? = 23
13
∶12
= ?
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.61Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.5 Repräsentationen von Bruchzahlen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.62Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
0 3 5 6 8 9 10 13 15 161 2 4 7 11 12 148 8 8 8 8
0 31 2 42
8 8 8 8 8 8
0 3 5 6 81 2 4 74 4 4 4 4 4 4 4
8 8 8
2 2 2
8
2
0 1 21
8
1 1
4
8
0 1 2
Verfeinern ⇔ Vergröbern
0 3 5 6 8 9 10 13 15 161 2 4 7 11 12 148 8 8 8 8
0 31 2 42
8 8 8 8 8 8
0 3 5 6 81 2 4 74 4 4 4 4 4 4 4
8 8 8
2 2 2
8
2
0 1 21
8
1 1
4
8
0 1 2
Brüche Bruchzahl
0 1 2
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.63Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von Stammbrüchen
Koepsell (2004). Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
Färbe den angegebenen Teil der Streifen. Der gefärbte Teil liegt immer unten.
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.64Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenHefendehl-Hebeker (1996): Brüche haben viele Gesichter. Mathematik lehren 78, S. 20-22, 47-48
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.65Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von Bruchzahlen
Koepsell (2004). Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
Vgl. zur Prozentrechnung folgenden Artikel:
Kristina Appell (2004). Prozentrechnen –Formel, Dreisatz, Brüche und Operatoren.Der Mathematikunterricht, Heft 6, S. 23-32
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.66Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
ProzentgummibandScholz (2002). Das Prozentgummiband. mathematik lehren 114, S. 69
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.67Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Prozentrechnung
AufgabeEinen Hose kostet inklusive Mehrwertsteuer 87,00€. Wie hoch ist der Preis der Hose ohne Mehrwertsteuer?
Gegeben: 87,00 €
Gesucht: Grundwert
Dreisatz 87,00 € sind 119 %1 %
100 %
Operator 87,00 € ∶ 1,19
Verhältnis
Das ist der Prozentwert zum Prozentsatz 119 %.
≈ 73,11 €
⇒ 𝑥𝑥 =100119
� 87,00 € ≈ 73,11 €𝑥𝑥
100=
87,00 €119
: 119
� 100
: 119
� 1000,7311 € sind
73,11 € sind
100%
Grund-wert
Prozent-wert
Prozent-satzProzentstreifen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.68Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt, Heft 123
Dieser Kreis ist in sieben Stücke aufgeteilt. Wie groß ist jedes Stück?
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.69Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
Trage die Buchzahlen als farbige Längen auf den unterteilten Strecken ein. Suche dir jeweils geeignete Strecken aus.
Am Schluss werden alle Brüche auf den unteren Zahlenstrahl übertragen.
Die farbigen Strecken sollen nicht mehr auf dem Zahlenstrahl eingezeichnet werden.
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.70Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
a) Färbe von jeder Figur 18
. Mache es so genau wie möglich.
b) Färbe von jeder Figur 16
.
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.71Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt Heft 123
c) Färbe von jedem Quadrat 14
. Mache es jedes Mal anders!
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.72Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
Hier siehst du drei Reihen von Plättchen. Wie viele Plättchen jeder Farbe sind jeweils zu sehen? Kannst du eine Regel angeben, nach der die Plättchen jeweils angeordnet wurden?
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.73Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Darstellung von BruchzahlenKoepsell (2004): Brüchen begegnen. Mathe-Welt 123
14
der Plättchen sind gelb, 38
sind blau und 616
sind rot.
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.74Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.6 Erarbeitung von Rechenregeln (Beispiel: „Durch einen Bruch wird dividiert, indem man mit dem Kehrbruch multipliziert.“)
Vgl. für weitere Regelableitungen Padberg: Didaktik der Bruchrechnung
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.75Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Regelableitung „Bruch durch Bruch“Messen
Wie oft ist 35
in 23
einhalten?
23
∶35
1
𝟑𝟑𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟑𝟑
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.76Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Regelableitung „Bruch durch Bruch“Messen
Wie oft ist 35
in 23
einhalten?
23
∶35
=2 � 53 � 5
∶3 � 33 � 5
1
𝟑𝟑𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟑𝟑
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.77Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Regelableitung „Bruch durch Bruch“Messen
Wie oft ist 35
in 23
einhalten?
1
23
∶35
=2 � 53 � 5
∶3 � 33 � 5 = 2 � 5 ∶ 3 � 3 =
2 � 53 � 3 =
23
�53
Messen &Verfeinern
Genutzte (Grund-) Vorstellungen
Quasikar-dinalzahl
Ergebnis einer Division
Rechenregel:Bruch mal Bruch
𝟑𝟑𝟓𝟓
𝟏𝟏𝟑𝟑
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.78Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Regelableitung „Bruch durch Bruch“(Umkehr-)Operator
Lea denkt sich eine Zahl.
Sie multipliziert diese Zahl mit 57.
Als Ergebnis erhält sie 34.
Welche Zahl hat Lea sich gedacht?
34
∶57
=34
�75
𝑥𝑥 34
𝑥𝑥 34
�57 �
57
∶57
�75
∶ 5� 7
� 5∶ 7
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.79Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Regelableitung „Bruch durch Bruch“Gleichungskette (Permanenzreihe)
Permanenzprinzip
32
∶ 100 =3
2 � 100
∶ 5 � 5
32
∶ 20 =3
2 � 20
32
∶ 4 =3
2 � 4
∶ 5 � 5
32
∶45 =
3 � 52 � 4
= ?
∶ 5 � 5
: 3 =
67
: 3
6 Siebtel ∶ 3
=27
= 2 Siebtel
3 =
: 3 =
=32
�54
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.80Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
415
⋅23
=4 ⋅ 2
15 ⋅ 3
Regelableitung „Bruch durch Bruch“Analogisieren
Loska/Hartmann
Analogisieren
Es muss geprüft werden, ob dieser Analogieschluss sinnvoll ist.
Division als Umkehrung der
Multiplikation.
Erweitern
Wie kann man vorgehen, wenn die Division nicht aufgeht?
415
∶23
=4 ∶ 2
15 ∶ 3=
25
57
=57
⋅23
∶23
=5 ⋅ 27 ⋅ 3
∶23
=5 ⋅ 2 ∶ 27 ⋅ 3 ∶ 3
=57
57
∶23
=5 ∶ 27 ∶ 3
=5 ⋅ 3 ⋅ 2 ∶ 27 ⋅ 2 ⋅ 3 ∶ 3
=5 ⋅ 37 ⋅ 2
=57
⋅32=
5 ⋅ (3 ⋅ 2) ∶ 27 ⋅ (3 ⋅ 2) ∶ 3
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.81Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Schwierigkeiten bei der Division von Brüchen
Bruch durch Bruch (ungleichnamig)
Bruch durch Bruch (gleichnamig, spezieller Zähler)
natürliche Zahl durch natürliche Zahl
Bruch durch natürliche Zahl
natürliche Zahl durch Bruch
Anteil richtig gelöster Aufgaben je Typ
70 %
60 %
50 %
40 %
30 %
Ordnen Sie die Aufgabentypen den richtigen Lösungswahrscheinlichkeiten zu.
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.82Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Schwierigkeiten bei der Division von Brüchen
Bruch durch Bruch (ungleichnamig)
Bruch durch Bruch (gleichnamig, spezieller Zähler)
natürliche Zahl durch natürliche ZahlBruch durch natürliche Zahlnatürliche Zahl durch Bruch
Anteil richtig gelöster Aufgaben je Typ
70 %
60 %
50 %
40 %
30 %
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.83Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Problembereiche bei den gemeinen Brüchen
ProblemeAnschauliche BruchvorstellungenZusammenhang zwischen natürlichen Zahlen und Brüchen
Verbreitete FehlerrahmenAdditionsrahmen
𝑎𝑎𝑏𝑏
∘𝑐𝑐𝑏𝑏
=𝑎𝑎 ∘ 𝑐𝑐
𝑏𝑏Multiplikationsrahmen
𝑎𝑎𝑏𝑏
∘𝑐𝑐𝑑𝑑
=𝑎𝑎 ∘ 𝑐𝑐𝑏𝑏 ∘ 𝑑𝑑
𝑛𝑛 ∘𝑎𝑎𝑏𝑏
=𝑛𝑛 ∘ 𝑎𝑎
𝑏𝑏
ZusammenfassungDominanz der syntaktischen Ebene gegenüber der semantischen (inhaltlichen) Ebene
GegenmaßnahmenRegelableitung sorgfältig und spätRechenregeln und inhaltliche Bruchvorstellungen in Beziehung setzenMöglichst wenige und einprägsame Rechenregeln formulieren
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.84Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ
4.7 Gemischte Zahlen und Dezimalbrüche
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.85Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Gemischte Zahlen: Vorteile
Kurzschreibweise: 3 + 15
= 3 15
Wert einer Bruchzahl > 1kann besser erfasst werden
353
< 615
, denn 11 23
< 12 15
Leichtere Addition und Subtraktion von Bruchzahlen > 1
Addition:493
+ 375
= 24515
+ 11115
= 35615
16 13
+ 7 25
= 23 + 515
+ 615
= 23 1115
Subtraktion:353
− 215
= 11 23
− 4 15
= 7 715
Gemischte Zahlen können zur Einführung und Begründung der Rechenoperationen mit Dezimalbrüchen auf der Grundlage der gemeinen Brüche eingesetzt werden.
3,45 + 4,3 = 3 45100
+ 4 310
= 7 75100
= 7,75
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.86Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Gemischte Zahlen: Nachteile
Bezeichnung „gemischte Zahl“ eigentlich falsch → besser: „gemischte Zahlzeichen“
Möglicher fehlerhafter Transfer in die Algebra:
𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐
= 𝑎𝑎 �𝑏𝑏𝑐𝑐
≠ 𝑎𝑎 +𝑏𝑏𝑐𝑐
Multiplikation und Division von gemischten Zahlen ist sehr fehleranfällig, wenn nicht vorher in echte Brüche umgewandelt wird.
Zusammenfassung• Vorteile überwiegen deutlich• gemischten Zahlen sollten im
Unterricht verwendet werden• Ergebnisse in gemischte
Zahlen umwandeln→ Abschätzen der Größenordnung der Zahl
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.87Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Dezimalbrüche
7,257 kg
0,234
0,234 = 234 Tausendstel= 200 Tausendstel + 30 Tausendstel + 4 Tausendstel= 2 Zehntel + 3 Hundertstel + 4 Tausendstel
T H Z E z h t7 2 5 70 2 3 4
5 4 3 1 7 8 9
�10 �10 �10
∶10 ∶10 ∶10 ∶10 ∶10 ∶10
�10 �10 �10
= 7 kg 257 g = 7257
1000kg
=234
1000=
2001000
+30
1000+
41000 =
210
+3
100+
41000
z h t
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.88Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Dezimalbrüche
Dezimalbruch
endlich(Beispiel: 𝟏𝟏, 𝟓𝟓)
periodisch
rein periodisch(Beispiel: 𝟏𝟏, �𝟑𝟑)
gemischt periodisch
(Beispiel: 𝟏𝟏, 𝟏𝟏�𝟔𝟔)
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.89Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Periodische Dezimalbrüche ⟺ echte Brüche
Als echten Bruch schreiben!rein periodischer Dezimalbruch
𝑥𝑥 = 0, 1231000 � 𝑥𝑥 = 123, 123999 � 𝑥𝑥 = 123
𝑥𝑥 = 123999
gemischt periodischer Dezimalbruch
0,231
= 110
� 2, 31
= 110
� 2 3199
= 229990
= 110
� 2 + 3199
= 110
� 19899
+ 3199
= 110
� 22999
|−𝑥𝑥| ⋅ 1000
|∶ 999
= 110
� (10 � 0,231)
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.90Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
Anschauliche Bruchvorstellungen
Anteil richtiger Lösungen: 4 %
Anteil richtiger Lösungen: 50 %
0,740 ⋅ 1,49 ist ungefähr … Kreuze die richtige Antwort an:
710
1800
2
Rechne dann genauer!
14.04.18 Einwaage0,740kg
€/kg1,49
0,740 ⋅ 1,49 ist ungefähr … Kreuze die richtige Antwort an:
710
1800
2
Rechne dann genauer!
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.91Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?><
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.92Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?
Wie groß ist der Abstand von 0, �9 zu 1 ?
19
= 1 ∶ 9 = 0,10
1
9−1
�119
= 0, �1 |⋅ 9
99
= 0, �1 ⋅ 9
1 = 0, �9
><
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.93Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
3�3
𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?
13
= 1 ∶ 3 = 0,10
9−1
𝑥𝑥 = 0, �9 |⋅ 10
𝑥𝑥 =99
1 =13
+13
+13
= 0, �3 + 0, �3 + 0, �3
= 0, �9
10 ⋅ 𝑥𝑥 = 9, �9 |−𝑥𝑥
9 ⋅ 𝑥𝑥 = 9 |∶ 9
𝑥𝑥 = 1
><
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.94Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
𝟏𝟏, �𝟗𝟗 = 𝟏𝟏 ?
�𝑘𝑘=0
∞
𝑎𝑎 ⋅ 𝑞𝑞𝑘𝑘 =𝑎𝑎
1 − 𝑞𝑞für 𝑞𝑞 < 1
Setze 𝑞𝑞 =1
10und 𝑎𝑎 = 9
Geometrische Reihe
9, �9 = �𝑘𝑘=0
∞
9 ⋅1
10
𝑘𝑘
=9
1 − 110
=99
10= 10
9, �9 = 10 |−90, �9 = 1
><
Kapitel 4: Rationale Zahlen ℚ • 4.95Jürgen Roth • Didaktik der Zahlbereichserweiterungen
SchokoladenaufgabeGrundvorstellungen