1.1Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Didaktik der AlgebraModul 5

Jürgen Roth

1.2Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

FundaMINTLehramtsstipendium

1.3Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Materialien zur Veranstaltung

Internetseite zur Veranstaltung und Skriptwww.juergen-roth.de/lehre/did_algebra/ ⇒ Material

Textdatenbankwww.juergen-roth.de ⇒ Lehre ⇒ Texte

Zeitschriftenwww.juergen-roth.de/zeitschriften.html

Buchempfehlungenwww.juergen-roth.de/zeitschriften.html⇒ Bücher ⇒ Didaktik der Algebra ⇒ Empfehlungen

Wichtigste LiteraturVollrath, H.-J.; Weigand, H.-G. (2007): Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, ISBN: 978-3-8274-1803-6

1.4Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

1 : 2 Prinzip

Arbeitsverteilung in der Schule

Arbeitsverteilung an der Universität

VerantwortungRahmen-bedingungen: Lehrende

Lernprozess: Studierende

Unter-richt

Eigen-arbeit

3 : 1Lehrver-

anstaltungenEigen-arbeit

1 : 2

1.5Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

1 : 2 Prinzip

1 : 2 PrinzipStudienerfolg stellt sich ein, wenn zu jeder Stunde Lehrveran-staltungen zwei Stunden Eigenarbeit aufgewendet werden.

Beispiele für EigenarbeitInhalte selbst strukturieren (z.B. Zusammenfassung erstellen)Fachgespräche mit Kommilitonen (Arbeitsgruppen bilden)Fragen formulieren, stellen, diskutieren, beantwortenEigenständig Literatur rezipieren (Lehrbücher, Zeitschriftentexte)Mathe-Treff, Tutorien, Sprechstunde, … besuchenPrüfungen vorbereitenaktive Beteiligung an den Übungen

1.6Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Inhalt

Didaktik der Algebra

1 Ziele und Inhalte

2 Terme

3 Funktionen

4 Gleichungen

1.7Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Kapitel 1: Ziele und InhalteDidaktik der Geometrie

menti.com ⇒ 18 07 72

1.8Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Inhalt

Kapitel 1: Ziele und Inhalte

1.1 Was ist Algebra?

1.2 Warum Algebra unterrichten?

1.3 Themenstränge der Algebra

1.9Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

1.1 Was ist Algebra?Kapitel 1: Ziele und Inhalte

1.10Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Algebra?!

„Der Hauptzweck der Algebra sowie aller Theile der Mathematik besteht darin, den Werth solcher Größen zu bestimmen, die bisher unbekannt gewesen, was aus genauer Erwägung der Bedingungen geschieht. Daher wird die Algebra auch als die Wissenschaft definirt, welche zeigt, wie man aus bekannten Größen unbekannte findet.“

Euler (1770)

Euler, Leonhard: Vollständige Anleitung zur Algebra. Neue Ausgabe, Reclam Verlag, Leipzig, o. J., S. 217

Leonhard Euler (1707-1783)

1.11Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Algebra?!

al-Kitāb al-muhtasar fī hisāb al-ğabr wa-l-muqābala

„Das umfassende Buch vom Rechnen durch Ergänzung und Ausgleich“ „Algebra“ entstammt obigem Titel des Rechen-Lehrbuchsvon Al-Hwārizmī

Bedeutung von al-ğabrWörtlich: „Ausüben von Zwang”in der Gleichungslehre: „Ergänzen” einer Gleichungdurch Addition negativer Glieder auf beiden SeitenAl-Hwārizmī (Mohammed ben Musa)

persischer Mathematiker ca. 780 – ca. 850 n. Chr.

1.12Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Algebra?!

(klassische) Algebra• Lösen algebraischer

Gleichungen (reelle oder komplexe Zahlen)

• Zentrales Resultat: Fundamentalsatz der Algebra

(abstrakte) Algebra• Grundlagendisziplin der

modernen Mathematik• algebraische Strukturen

(Gruppen, Ringe, Körper)und deren Verknüpfung

Computeralgebra• Symbolischen Manipulation

algebraischer Ausdrücke• Sucht effiziente Algorithmen

& bestimmt die Komplexität ( CAS)

(elementare) Algebra• Algebra im Sinne der

Schulmathematik• Umgang mit Zahlen, Termen

und Funktionen• Wege zur Lösung einfacher

algebraischer Gleichungen

1.13Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

1.2 Warum Algebra unterrichten?Kapitel 1: Ziele und Inhalte

1.14Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Bildungsziele des Mathematikunterrichts

Pragmatischer Aspekt

Erkenntnistheoretischer Aspekt

Kulturhistorischer Aspekt

Schöpferischer Aspekt

1.15Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Winter: Grunderfahrungen

Mathematikunterricht sollte drei Grunderfahrungen ermöglichen:

(1) Erscheinungen der Welt um uns, die uns alle angehen oder angehen sollten, aus Natur, Gesellschaft und Kultur, in einer spezifischen Art wahrnehmen und verstehen.

(2) Mathematische Gegenstände und Sachverhalte, repräsentiert in Sprache, Symbolen, Bildern und Formeln, als geistige Schöpfungen, als eine deduktiv geordnete Welt eigener Art kennenlernen und begreifen.

(3) In der Auseinandersetzung mit Aufgaben Problemlösefähigkeiten erwerben, die über die Mathematik hinaus gehen (heuristische Fähigkeiten).

Winter : Mathematikunterricht und Allgemeinbildung. Mitteilungen der DMV, Nr. 2 (1996), S. 35-41

Im Internet: http://blk.mat.uni-bayreuth.de/material/db/46/muundallgemeinbildung.pdf

1.16Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Warum Algebra unterrichten?

Elementare Algebrakann für alle Menschen von praktischem Nutzen sein.ist Grundlage jeglicher Auseinandersetzung mit Mathematik.

Allgemeine mathematische Kompetenzen entwickeln

DarstellenModellierenProblemlösenKommunizierenArgumentierenExplorieren (Einsichten gewinnen)

1.17Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

1.3 Themenstränge der AlgebraKapitel 1: Ziele und Inhalte

1.18Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Darstellungen in Beziehung setzen

Roth (2008). Systematische Variation – Eine Lernumgebung vernetzt Geometrie und Algebra. Mathematik lehren 146, S. 17-21

www.juergen-roth.de/dynama/vierecke/trapezflaeche_funktional.html • https://www.geogebra.org/m/dTuCuDs5

1.19Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Themenstränge der Algebra ↔ Leitideen

KMK (2004): Bildungsstandards im Fach Mathematik für den Mittleren Schulabschluss. S. 11f

http://www.kmk.org/bildung-schule/qualitaetssicherung-in-schulen/bildungsstandards/dokumente.html

Zahlen

Funktionen

Terme

Gleichungen

Leitidee funktionaler

Zusammenhang

Leitidee Zahl

Leitidee Messen

Leitidee Daten

und Zufall

LeitideeRaum

und Form

1.20Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Themenstränge der elementaren Algebra

Vollrath, Weigand (2007). Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 7

Klasse 5 6 7 8 9 10

Zahlen (Z)

ℕGrund-rechenarten

ℤ ; ℚNeg. ZahlenBruchrech-nung; Dezi-malbrüche

ℚGrund-rechenarten

ℚPotenzen mit natürlichen Exponenten

ℝQuadrieren RadizierenIrrationalität

ℝPotenz-rechnung

Terme (T)

Einfache Terme, Tabellen,Einsetzung

Einfache Terme mit Brüchen, Einsetzung aus Z und Q

Einfache Terme mit rationalen Zahlen

Termumfor-mungen; „ganze“ Terme, Bruchterme

Terme mit Quadraten und Wurzeln

Terme mit Potenzen und trigonometri-schenFunktionen

Funktionen (Fkt.)

Tabellen mit Variablen; Operatoren

Tabellen mit Variablen; Bruch-operatoren

Proportionale, antipropor-tionale, empirische Funktionen

Lineare Fkt; Funktions-gleichungen; Eigenschaften

Quadratische Fkt.; Wurzelfkt.; Umkehrfkt.

Potenz-,Ex-ponential-; Logarith-musfkt.; trigon. Fkt.

Glei-chungen

(G)

Lösen ein-facher G: Probieren,Überlegen, Gegenope-ratoren

Lösen ein-facher G durch Gegen-operatoren

Lösen ein-facher G durch Gegen-operatoren

G lösen durch Äquivalenz-umformung, Gleichungs-systeme, Formeln

Quadratische G, Wurzel-gleichungen, graphische L. und Näherung

Potenzgl.; Exponential-gleichungenTrigonome-trische G

1.21Jürgen Roth • Didaktik der Algebra

Inhaltsziele des Algebraunterrichts

Aufbau des Zahlensystems Grundlegende Vorstellungen und Einsichten erarbeiten Rechenregeln erkennenund sinnvoll anwendenGrundrechenarten beherrschen

Variablen und Termeals Ausdrucksmittel kennen lernenrichtig verwenden sowie damit Zusammenhänge beschreiben und verstehen könnendamit kommunizieren und argumentieren können

Funktionsbegrifferfassenwichtige Funktionstypen und ihre Eigenschaften kennen lernenFunktionen zum

Erkennen, Beschreiben undHerstellen

von Zusammenhängen nutzen können

GleichungenZusammenhänge zwischen Größen beschreiben könnenProbleme formulierenund lösen können