Kantonsschule Zofingen

Matura 2012

Mathematik schriftlich

Abteilungen 4ABCD

Hilfsmittel: Formelsammlung Taschenrechner TI84

Zeit: vier Stunden, d.h. 240 Minuten

Bewertung: Aufgabe 1 Punkte 21 (3+2+2+4+5+5) Aufgabe 2 Punkte 11 (2+2+3+4) Aufgabe 3 Punkte 15 (3+3+3+2+4) Aufgabe 4 Punkte 14 (1+2+3+4+4)

Total 61 Punkte Für 50 oder mehr Punkte wird die Note 6 erteilt.

Der Lösungsweg wird mitbewertet. Die Angabe des numerischen Resultats ohne Lösungsweg ergibt nicht die volle Punktzahl. Numerische Resultate sind mit vernünftiger Genauigkeit anzugeben.

Viel Erfolg!

Aufgabe 1 Umfahrungsstrasse Eine Stadt in der Nähe eines Sees plant eine Umfahrungsstrasse ihrer schützenswerten Altstadt. Die Skizze nebenan gibt Auskunft über die Lage. Die Einheit entspricht einem Kilometer. Die bisher benutzte alte Strasse führt geradlinig durch A ( 0 , 0 ) und B ( 4 , 2 ) und mitten durch die Altstadt. Die Altstadt hat die Form eines Rechtecks mit den Eckpunkten ( 1.5 , 0.75 ), ( 2.5 , 0.75 ), ( 2.5 , 1.25 ), ( 1.5 , 1.25 ). Die Uferlinie des Sees (blau) hat die Gleichung y = x – 3. Zwischen Altstadt, alter Strasse und See hat es bisher ein Erholungsgebiet (grün) gegeben.

Hinweis: Die gezeichneten Linien bezeichnen die Strassenmitte. Die Strassenbreite ist in dieser Aufgabe nicht zu berücksichtigen.

Der Plan sieht vor, die Umfahrungsstrasse zwischen Altstadt und See zu legen. Die

Funktionsgleichung xxxxf21

21

81)( 23 +−= mit 40 ≤≤ x beschreibt diese Strassenführung.

a) Weisen Sie nach, dass die Umfahrungsstrasse durch die Punkte A und B geht und in A die Richtung der alten geradlinigen Strasse durch A und B übernimmt.

b) Der Übergang in Punkt A von der alten Strasse in die Umfahrungsstrasse ist trotzdem nicht ideal, da ein Autofahrer das Steuerrad wegen der unterschiedlichen Krümmungen der beiden Strassenstücke ruckartig in eine neue Position bringen muss. Weisen Sie nach, dass die 2. Ableitungen der Geraden (alte Strasse) und der Funktion f (Umfahrungsstrasse) im Punkt A verschieden sind.

c) Im Punkt B treffen die beiden Strassen aus unterschiedlichen Richtungen aufeinander, so dass ein Kreisel geplant werden muss. Bestimmen Sie die Richtungsänderung zwischen der Umfahrungsstrasse und der alten Strasse im Punkt B, indem Sie den Winkel β berechnen.

d) Das Gebiet zwischen Altstadt, alter Strasse und Umfahrungsstrasse soll neu als Wohngebiet genutzt werden können. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Gebiets in km2.

e) Die Umfahrungsstrasse führt nahe am Seeufer vorbei. In welchem Punkt N ist die Umfahrungsstrasse dem Seeufer am nächsten, und wie gross ist dieser minimale Abstand d?

Eine Bürgergruppe ist nicht zufrieden mit der Zerstörung des Erholungsgebiets und plant eine andere Umfahrungsstrasse durch ein bestehendes Industriegebiet (braun) auf der dem See abgewandten Seite der Altstadt. Zusätzlich soll auf den Kreisel in B verzichtet werden. Im Plan ist diese Strassenführung gepunktet gezeichnet.

f) Bestimmen Sie die Gleichung einer Polynomfunktion 4. Grades, deren Graph durch die Punkte A und B geht, in A und B die Richtung der alten Strasse übernimmt und durch den Punkt C ( 1 , 1 ) geht.

Aufgabe 2

Die Mitte Die folgenden Aufgaben machen in unterschiedlichen mathematischen Gebieten die Mitte, den Mittelwert oder die Halbierung zum Thema.

a) Welches Zentrum und welchen Radius hat die Kugel mit der Gleichung 02264222 =−−+−++ zyxzyx ?

b) Man wirft einen idealen Würfel einmal und gewinnt dabei 4.- Fr mit einer Sechs, 2.- Fr

mit einer Fünf und nichts in allen übrigen Fällen.

Bestimmen Sie den Einsatz so, dass das Spiel fair ist.

c) Ein Angestellter erhält in diesem Jahr einen Lohn von 100'000 Franken und soll in jedem folgenden Jahr 2% mehr Lohn als im Vorjahr erhalten. Wie viel Lohn erhält er im Mittel der nächsten 40 Jahre?

d) Die Fläche zwischen der x-Achse, dem Funktionsgraph von xey = und den Parallelen zur y-Achse bei x = 0 und x = 1, ist durch eine Parallele zur y-Achse bei x = c zu halbieren. (siehe Skizze)

Welchen Wert muss c haben?

Aufgabe 3 Gegeben: Punkte P(5/-5/4), Q(-5/7/2), R(-10/-5/10)

Gerade g : ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

233

t311

zyx

Ebene E: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

4103

s122

r20

405

zyx

a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E an.

b) Wie gross ist die Fläche des Dreiecks mit den Eckpunkten P, Q und R?

c) Die Ebene E wird von den Koordinatenachsen in drei Punkten durchstossen. Diese Punkte bilden mit dem Koordinatenursprung eine Pyramide.

Berechnen Sie das Volumen dieser Pyramide.

d) Welchen Abstand hat der Punkt R von der Ebene E?

e) Der Punkt G liegt auf der Geraden g und ist gleich weit von den Punkten P und Q entfernt.

Welches sind seine Koordinaten?

Aufgabe 4 Aufgabe 4.1 Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Paar zufällig ausgewählter Personen am selben Tag im

Jahr Geburtstag hat, kann mit 365

1 angegeben werden, wenn man Schaltjahre

vernachlässigt. a) Bestimmen Sie die Anzahl verschiedener Paare, welche aus einer Gruppe von 23

Personen gebildet werden können, dh. entscheiden Sie, auf wie viele Arten aus einer Gruppe von 23 Personen zwei ausgewählt werden können.

b) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich unter diesen Paaren genau eines mit identischen Geburtstagen befindet.

Umgekehrt stellt sich die Frage, wie gross die Gruppe zufällig gewählter Personen sein muss, damit mit 90% Sicherheit mindestens zwei Personen den gleichen Geburtstag haben. c) Bestimmen Sie die minimale Anzahl Paare Z, für welche die Wahrscheinlichkeit,

dass mindestens eines davon identische Geburtstage aufweist, mindestens 90% beträgt. [Sollten Sie die Aufgabe c) nicht gelöst haben, verwenden Sie für die nächste Teilaufgabe Z = 879.]

d) Bestimmen Sie die minimale Anzahl Personen, für welche sich mindestens Z Paare

bilden lassen. Aufgabe 4.2 Die Maturprüfungszeit dauert dieses Jahr von Uselüti bis Maturfeier genau 45 Tage. Betrachten Sie eine Menge M von 90 zufällig ausgewählten Personen. Bestimmen Sie das zweiseitige 95%-Vertrauensintervall für die Anzahl Personen von M, welche während dem betrachteten Zeitraum Geburtstag1 haben. 1 Nehmen Sie die Geburtstage gleichverteilt auf 365 Tage pro Jahr an. Der 29. Februar wird hier aus den

Betrachtungen weggelassen.