Bemessung von Stahlsttzen nach EC-3

Ernst Kirchmayer

Dr.Arthur Lemischstr. 46 , 9300 St.Veit/Glan ernst.kirchmayer@gmx.at Matr.Nr. 0526243

Kurzfassung. Die folgende Arbeit beschftigt sich mit der Dimensionierung von Stahlsttzen nach NORM EN 1993-1-1 (Eurocode 3). Es wird der Biegeknicknachweis fr den unter reiner Druckkraft belasteten Stab sowie fr den unter Druck und Biegung belasteten verdrehsteifen Stab behandelt. Zustzlich beschftigt sich die Arbeit mit dem Biegedrillknicknachweis fr den unter Druck und Biegung belasteten verdrehweichen Stab. Im Anhang befinden sich Bemessungstabel-len fr gebruchliche Profile unter reiner Druckbelastung.

1 Einleitung

Bei allen durch Druckspannungen belasteten Tragwerken ist der Nachweis der Tragfhigkeit gegen Verlust der Stabilitt zu erbringen. Bei der Analyse von Schadensfllen an Stahlbau-werken stellt sich der Stabilittsverlust als hufigste Schadensursache heraus. Dieser Art des Verlustes der Tragfhigkeit ist daher im Stahlbau besondere Beachtung zu schenken. Unter dem Begriff Stabilitt oder Knicken von Stben oder Stabwerken wird allgemein

jenes Versagen verstanden, das unter Wirkung von Druckkrften und Biegemoment mit einer Ausbiegung der Stbe und/oder einer Verdrehung verbunden ist. In der folgenden Arbeit werden die, in den meisten Fllen magebenden, Stabilittsnach-

weise fr die wichtigsten Belastungszustnde angefhrt und beschrieben. Die zustzlich er-forderlichen Nachweise fr die Beanspruchbarkeit von Querschnitten (siehe 6.2 der NORM EN 1993-1-1 [4]) werden hier nicht behandelt. Fr die erforderliche Querschnittsklassifizie-rung wird ebenfalls auf die NORM EN 1993-1-1 [4] verwiesen. Die Klassifizierung der Querschnitte erfolgt in der genannten Norm unter 5.5.

2 Stabilittsnachweis fr den zentrisch gedrckten Stab Biegeknicken

Fr planmig zentrisch belastete Druckstbe ist in der Regel folgender Nachweis gegen Biegeknicken zu fhren:

0,1,

Rdb

Ed

N

N. (1)

Der Bemessungswert der Biegeknickbeanspruchbarkeit von druckbeanspruchten Bauteilen

RdbN , ist wie folgt anzunehmen:

1

,

M

yRdb

fAN

= , (2)

wobei der Abminderungsbeiwert fr die magebende Biegeknickrichtung, A die Flche des Querschnitts, yf die Streckgrenze des Stahls und 1M der Teilsicherheitsbeiwert bei Sta-

bilittsversagen ist ( 0,11 =M ).

2

Abbildung 1 Bestimmung des Abminderungsfaktors in Abhngigkeit vom Schlankheitsgrad und der Knicklinie [4]

Der Wert wird mit dem Schlankheitsgrad aus der magebenden Knicklinie entweder graphisch mit Hilfe von Abbildung 1 oder rechnerisch nach Gleichung (3) ermittelt:

22

1

+= , wobei 0,1 . (3)

Der Funktionswert errechnet sich mit:

( )( )22,015,0 ++= . (4) Dabei ist der Imperfektionswert. Dieser wird gem Tabelle 1 (siehe Seite 4) in Abhngig-keit von der magebenden Knickspannungslinie bestimmt. Die Knickspannungslinie wird wiederum mit Hilfe von Tabelle 2 (siehe Seite 4) in Abhngigkeit vom Querschnitt, dessen Abmessungen, der Ausweichrichtung und der Stahlgte ermittelt.

Der Schlankheitsgrad errechnet sich aus folgender Gleichung:

1

=i

lcr , wobei 9,931 ==yf

E. (5)

In Gleichung (5) ist 1 die Bezugsschlankheit und i der Trgheitsradius fr die magebende Knickebene, der unter Verwendung der Abmessungen des Bruttoquerschnitts ermittelt wird. Die Knicklnge crl wird gem dem passenden Eulerfall (siehe Abbildung 2) ermittelt.

3

Abbildung 2 Die vier Eulerflle mit den zugehrigen Knicklngen ( )crk ll = [6]

Der Beiwert zur Ermittlung der Bezugsschlankheit errechnet sich in Abhngigkeit von der Stahlgte mit:

yf

235= . (6)

Dabei wird die Streckgrenze yf in N/mm eingesetzt. Durch Umformen von Gleichung (5)

ergibt sich der Schlankheitsgrad auch zu:

cr

y

N

fA = . (7)

Die ideale Verzweigungslast fr den magebenden Knickfall crN berechnet sich nach Euler

mit:

2

cr

crl

IEN

=

. (8)

Dabei ist E der E-Modul von Stahl mit 210.000 N/mm und I das Flchentrgheitsmoment des Bruttoquerschnitts.

Bei Schlankheitsgraden 2,0 oder fr 04,0cr

Ed

N

N darf der Biegeknicknachweis entfallen!

4

Tabelle 1 Imperfektionswerte der Knicklinien [4]

Knicklinie a0 a b c d

Imperfektionsbeiwert 0,13 0,21 0,34 0,49 0,76

Tabelle 2 Auswahl der Knicklinie eines Querschnitts [4]

5

3 Stabilittsnachweis fr unter Druck und Biegung belastete doppelt-symmetrische Querschnitte

Fr den Standardfall von Druck und einachsiger Biegung muss man zwischen verdrehstei-fen und verdrehweichen Stben unterschieden: Verdrehsteife Stbe sind Hohlprofile und offene Querschnitte mit entsprechend wirksamer Absttzung. Fr diese Stbe ist der Biegeknicknachweis um beide Achsen zu fhren.

Verdrehweiche Stbe sind offene Querschnitte wie I- oder H-Profile. Fr diese Art von Stben ist der etwas aufwndigere Biegedrillknicknachweis um beide Achsen zu fhren.

Fr beide Flle berechnet sich die Beanspruchbarkeit RdN und RdyM , wie folgt:

1M

yRd

fAN

= , (9)

1

,

M

yyRdy

fWM

= . (10)

Dabei ist yW das Widerstandsmoment um die y-Achse.

3.1 Biegeknicknachweis fr verdrehsteife Stbe (BK)

Der BK-Nachweis um die y-y Achse lautet:

Der BK-Nachweis um die z-z Achse lautet:

Fr I-, H- und RHS-Querschnitte gilt vereinfacht:

Dabei ist:

0,1,

,

+ Rdy

Edymyy

Rdy

Ed

M

MCk

N

N

. (11)

0,1,

,

+ Rdy

Edymyy

Rdz

Ed

M

MCk

N

N

. (12)

0,1Rdz

Ed

N

N

. (13)

EdyM , das einwirkende Biegemoment,

EdN die einwirkende Normalkraft,

y , z die Abminderungsfaktoren nach Gleichung (3),

yk der Interaktionsbeiwert wie in Gleichung (14) und (15),

RdyM , die Momentenbeanspruchbarkeit nach Gleichung (10),

RdN die Normalkraftbeanspruchbarkeit nach Gleichung (9),

myC der Momentenbeiwert laut Tabelle 3.

6

Der Interaktionsbeiwert yk errechnet sich mit:

und

Der erste Term des BK-Nachweises um die y-Achse, yn , berechnet sich mit:

3.2 Biegedrillknicknachweis fr verdrehweiche Stbe (BDK)

Der BDK-Nachweis um die y-y Achse lautet:

Der BDK-Nachweis um die z-z Achse lautet:

Dabei ist LT der Abminderungsfaktor fr Biegedrillknicken nach Gleichung (22) und LTk der Interaktionsbeiwert fr Biegedrillknicken nach Gleichung (19) oder (20).

und

Der Momentenbeiwert mLTC ermittelt sich, wie myC , gem Tabelle 3. Der Parameter zn be-

schreibt, quivalent zu Gleichung (16), den ersten Term des BDK-Nachweises um die z-Achse und berechnet sich mit:

( ) yyyy nnk ++= 8,012,01 fr Querschnittsklassen 1 und 2 mit 6,0= (14)

yyyy nnk ++= 6,016,01 fr Querschnittsklassen 3 und 4 mit 8,0= . (15)

Rdy

Edy N

Nn

=

. (16)

0,1,

,

+

RdyLT

Edymyy

Rdy

Ed

M

MCk

N

N

. (17)

0,1,

,

+ RdyLT

EdyLT

Rdz

Ed

M

Mk

N

N

. (18)

y

mLT

z

mLT

zz

LT nC

n

C

nk

=25,0

1,01

25,0

1,01

fr Querschnittsklassen 1 und 2 (19)

y

mLT

z

mLT

zz

LT nC

n

C

nk

=

25,0

05,01

25,0

05,01

fr Querschnittsklassen 3 und 4. (20)

Rdz

Edz

N

Nn

=

. (21)

7

Tabelle 3 quivalente Momentenbeiwerte mC [4]

Im Anhang ist unter 5.1 ein Beispiel zur Bestimmung der Werte myC und mLTC angefhrt.

Der Abminderungsfaktor fr Biegedrillknicken LT errechnet sich wie folgt:

22

1

LTLTLT

LT

+= , jedoch mit

2

10,1

LTLT

LT

. (22)

Die Funktion LT ergibt sich durch folgende Gleichung:

( )( )20,15,0 LTLTLTLTLT ++= . (23) Fr die Parameter 0,LT und werden folgende Werte empfohlen: 4,00, =LT und 75,0= .

Der Schlankheitsgrad fr das Biegedrillknicken LT errechnet sich vereinfacht gem 6.7.2 der NORM B 1993-1-1 [5] mit:

zpcLT kk = . (24)

Dabei ist z der Schlankheitsgrad um die z-Achse gem Gleichnung (5), pk ein Beiwert zur

Bercksichtigung der Torsionssteifigkeit des Profils laut Gleichung (25) und ck ein Beiwert

zur Bercksichtigung des Momentenverlaufs zwischen den Punkten seitlicher Halterungen (siehe Tabelle 4).

8

Bei der Berechnung von pk unterscheidet man zwischen geschweiten und gewalzten Profi-

len. Fr geschweite Profile gilt:

25,02

20

11

1

+

=

f

z

p

th

k

.

(25)

Fr gewalzte Profile darf pk um 10% reduziert werden.

In Gleichung (25) ist z die Schlankheit um die z-Achse:

z

zcrz

i

l ,= . (26)

Der Beiwert ck wird durch folgende Tabelle ermittelt:

Tabelle 4 Beiwerte zur Bercksichtigung des Momentenverlaufs [4]

Der Imperfektionsbeiwert fr BDK , LT , wird mit Hilfe von Tabelle 4 bzw. Tabelle 5 ermit-telt:

Tabelle 5 Empfohlene Biegedrillknicklinien [4]

9

Tabelle 6 Empfohlene Imperfektionsbeiwerte der Knicklinien fr das Biegedrillknicken [4]

Knicklinie a b c d

Imperfektionsbeiwert LT 0,21 0,34 0,49 0,76

4 Literaturverzeichnis

[1] R. Kindmann, Stahlbau Kompakt, Verlag Stahleisen GmbH, Dsseldorf, 2006 [2] R. Krapfenbauer, Bautabellen, Verlag Jugend & Volk Ges.m.b.H. , Wien, 2002 [3] J. Fink, Stahlbau 1 Studienbltter zur Vorlesung, Institut fr Tragkonstruktionen-Stahlbau, Technische Universitt Wien, Wien, 2006

[4] sterreichisches Normungsinstitut, NORM EN 1993-1-1:2006 Eurocode 3: Bemes-sung und Konstruktion von Stahlbauten Ausgabe: 2006-10-01, Wien, 2006

[5] sterreichisches Normungsinstitut, NORM B 1993-1-1:2007 Eurocode 3:Bemessung und Konstruktion von Stahlbauten, Nationale Festlegungen zu NORM EN 1993-1-1 Ausgabe: 2007-02-01, Wien, 2007

[6] H. Mang und G. Hofstetter, Festigkeitslehre, Verlag Springer Wien/New York, Wien, 2004

5 Anhang

5.1 Beispiel zur Bestimmung von myC und mLTC

Abbildung 3 Beispiel zur Bestimmung von myC und mLTC [5]

myC bezieht sich auf die Lnge L. Unter der Annahme, dass 5,0= ergibt sich mit Tabelle 3:

( ) 4,05,04,06,04,06,0 =+=+= myC 4,0 .

mLTC bezieht sich auf die Lnge c. Mit der Annahme, dass 5,0= ergibt sich:

8,05,04,06,04,06,0 =+=+= mLTC . 4,0 .

10

5.2 Bemessungstabellen fr ausgewhlte Querschnitte unter reiner Druckbelastung

5.2.1 HE-B Profile

Tabelle 7 Querschnittswiderstnde fr HE-B Profile

Nb,Rd[kN] Knicklnge lcr [m]

2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

HE-B

100 389 312 247 198 160 132 110 93 79

120 581 494 411 340 281 235 198 169 145

140 797 705 611 522 443 377 322 277 240

160 1057 958 854 750 651 564 488 424 371

180 1322 1221 1113 1001 890 786 692 609 537

200 1627 1521 1408 1290 1169 1050 938 836 745

220 1940 1831 1715 1593 1467 1339 1214 1096 988

240 2300 2185 2064 1937 1804 1668 1531 1399 1273

260 2598 2481 2360 2232 2099 1961 1820 1680 1544

280 2921 2802 2679 2551 2416 2277 2133 1988 1844

300 3357 3231 3102 2968 2828 2683 2532 2379 2224

320 3627 3491 3351 3206 3054 2897 2734 2568 2401

340 3849 3704 3554 3399 3237 3068 2894 2717 2539

360 4071 3916 3757 3591 3419 3239 3054 2865 2675

400 4507 4382 4249 4107 3951 3780 3595 3395 3185

5.2.2 HE-A Profile

Tabelle 8 Querschnittswiderstnde fr HE-A Profile

Nb,Rd[kN] Knicklnge lcr [m]

2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

HE-A

100 315 252 200 159 129 106 88 75 64

120 430 364 302 249 206 171 145 123 106

140 578 509 439 374 317 269 229 197 171

160 751 679 603 528 457 395 341 296 259

180 913 842 766 688 610 538 473 415 366

200 1116 1042 962 879 794 711 634 563 501

220 1367 1289 1205 1118 1027 935 846 762 686

240 1663 1578 1489 1395 1297 1197 1097 1000 909

260 1908 1820 1730 1634 1535 1431 1326 1222 1122

280 2164 2074 1982 1885 1783 1678 1570 1460 1353

300 2530 2434 2335 2232 2125 2013 1898 1780 1662

320 2798 2692 2582 2469 2350 2227 2099 1970 1839

340 3001 2886 2768 2646 2518 2385 2247 2107 1967

360 3208 3085 2958 2826 2689 2546 2398 2247 2097

400 3616 3515 3407 3291 3164 3025 2874 2711 2541

11

5.2.3 Quadratische Hohlprofile

Tabelle 9 Querschnittswiderstnde fr Quadratische Hohlprofile

Nb,Rd[kN] Dicke Knicklnge lcr [m]

[mm] 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

Quadratische Hohlprofile (Breite x Hhe in mm)

20 x 20 2,0 3 2 1 1 1 1 1 0 0

25 x 25 2,0 6 4 3 2 2 1 1 1 1

30 x 30 2,0 11 7 5 4 3 2 2 2 1

40 x 40

2,0 24 17 13 10 8 6 5 4 4

3,0 33 23 17 13 10 8 7 6 5

4,0 40 28 21 16 12 10 8 7 6

50 x 50

2,0 43 32 24 19 15 12 10 8 7

3,0 60 44 33 26 20 17 14 11 10

4,0 75 55 41 32 25 20 17 14 12

5,0 87 63 47 36 29 23 19 16 14

60 x 60

2,0 64 50 39 31 25 20 17 14 12

3,0 91 71 55 43 35 29 24 20 17

4,0 115 89 69 54 44 36 30 25 21

5,0 137 105 81 63 51 41 34 29 25

70 x 70

3,0 123 101 82 66 54 44 37 32 27

4,0 158 129 104 83 68 56 47 40 34

5,0 190 154 123 99 80 66 55 47 40

80 x 80

3,0 156 133 111 92 77 64 54 46 40

4,0 201 171 143 118 98 82 69 59 51

5,0 244 207 172 141 117 97 82 70 60

6,3 287 241 199 163 134 111 94 80 69

90 x 90

3,0 188 166 143 122 103 88 75 64 56

4,0 244 215 185 157 133 112 96 82 71

5,0 297 261 223 189 160 135 115 99 85

6,3 354 308 263 221 186 157 133 114 99

100 x 100

4,0 287 258 228 198 171 147 127 110 96

5,0 350 315 277 241 207 178 153 132 115

6,3 421 376 330 285 244 209 179 155 135

8,0 510 453 395 339 289 247 211 182 158

10,0 601 531 459 392 332 282 241 207 180

5.2.4 Kreisfrmige Hohlprofile

Tabelle 10 Querschnittswiderstnde fr Kreisfrmige Hohlprofile

Nb,Rd[kN] Dicke Knicklnge lcr [m]

[mm] 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6

of

ile

- 33,7 3,2 17 11 8 6 4 4 3 2 2

12

4,0 19 13 9 7 5 4 3 3 2

42,4 3,2 33 22 16 12 9 7 6 5 4

4,0 34 23 17 13 10 8 7 6 5

48,3

3,2 48 33 24 18 14 11 9 8 6

4,0 46 33 24 18 14 12 10 8 7

5,0 58 41 30 23 18 14 12 10 8

60,3 4,0 83 62 47 37 29 24 20 16 14

5,0 100 75 56 44 35 28 23 20 17

76,1 4,0 137 110 87 70 57 47 39 33 28

5,0 166 133 106 84 68 56 47 40 34

88,9

4,0 180 153 126 104 86 72 60 51 44

5,0 221 187 154 127 104 87 73 62 54

6,3 272 228 188 154 127 105 89 75 65

101,6

4,0 223 196 168 143 120 102 87 75 65

5,0 275 241 206 175 147 124 106 91 79

6,3 335 290 246 206 172 145 123 105 91

8,0 483 439 382 321 265 220 184 155 132

10,0 587 531 459 383 315 260 217 183 156

114,3

5,0 329 295 261 226 195 168 144 125 109

6,3 407 365 322 279 240 206 177 153 133

8,0 506 453 397 343 294 252 216 187 163

10,0 692 646 584 509 433 365 308 262 225

139,7

5,0 434 403 369 335 300 267 236 209 185

6,3 540 500 459 415 371 330 291 257 228

8,0 674 624 571 516 460 408 360 317 281

10,0 827 764 697 628 559 494 435 383 338

12,5 1095 1049 991 917 828 732 638 555 483

168,3

6,3 687 650 611 569 526 482 439 397 359

8,0 862 814 764 711 656 601 546 494 446

10,0 1061 1002 939 872 803 734 666 601 542

12,5 1375 1337 1291 1236 1167 1086 993 897 802

177,8

6,3 736 699 660 620 577 533 489 447 407

8,0 924 877 828 776 721 666 610 556 506

10,0 1139 1080 1018 953 885 815 746 679 617

12,5 1398 1324 1247 1165 1080 993 907 824 747

193,7

8,0 1027 981 933 883 830 775 719 664 610

10,0 1268 1210 1150 1087 1020 952 882 813 746

12,5 1560 1488 1412 1333 1250 1164 1077 991 908

16 2033 1988 1936 1875 1803 1717 1615 1501 1378