Knowledge-Knowledge-

Zero-Zero-

BeweiseBeweise

„null“

„Wissen“

Gliederung:Gliederung:

1) Die „magische“ Tür

2) Allgemeine Definition

3) Historischer Hintergrund

4) Graphenisomorphie

Zero-Knowledge-Beweise: 1) Die „magische“ Tür

Bert

Vera

Links! Rechts!

. . .

• Wahrscheinlichkeit, dass Bert die Zauberformel kennt: 50%

• Erhöhung der Wahrscheinlichkeit durch Wiederholungen

P(n) = 1 - (2)-n

• n = 5:

Zero-Knowledge-Beweise: 1) Die „magische“ Tür

• Interaktiver Beweis:

Kommunikation zwischen Beweiser (Bert) und Verifizierer (Vera)

Beweiser: Richtigkeit einer Aussage, Kenntnis von Geheimnis

• geringe Fehlerwahrscheinlichkeit ( Wiederholungen)

• Vollständigkeit:Vollständigkeit:

Aussage richtig Beweiser kann Verifizierer immer überzeugen

• Zuverlässigkeit:Zuverlässigkeit:

Betrüger darf Verifizierer nicht überzeugen können

• Zero-Knowledge-Eigenschaft:Zero-Knowledge-Eigenschaft:

nur Wissen über Richtigkeit der Aussage, Kenntnis von Geheimnis

Zero-Knowledge-Beweise: 2) Allgemeine Definition

Zero-Knowledge-Eigenschaft:Zero-Knowledge-Eigenschaft:

„Ein Simulator, der das Geheimnis nicht kennt, kann mithilfe des Verifizierers die Interaktion so rekonstruieren, dass man sie nicht von der Originalinteraktion unterscheiden kann.“

• Simon kann mit Veras Hilfe ein Video nachstellen:

Simon spielt Bert, Vera spielt sich selbst

• Vera wünscht sich „richtige“ Seite: gute Szene

• Vera wünscht sich „falsche“ Seite: schlechte Szene gelöscht

Zero-Knowledge-Beweise: 2) Allgemeine Definition

• 16.Jh.: Niccolò Tartaglia besitzt Lösungsformel für kubische Gleichungen

x³ + ax² + bx + c = 0

• Beweis: Lösen von 30 Gleichungen

• vollständig: Formel liefert immer richtige Lösung

• zuverlässig: Betrüger kann Lösungen höchstens erraten

• Zero-Knowledge-Eigenschaft:

!!!! Verifizierer erlangt neues Wissen (Lösung der Gleichung) !!!!

Zero-Knowledge-Beweise: 3) Historischer Hintergrund

„Ein Graph ist ein Gebilde, das aus Ecken und Kanten besteht, wobei jede Kante zwei Ecken verbindet.“

„Zwei Graphen sind isomorph, wenn man den einen durch Umzeichnendes anderen erhalten kann.“

Zuordnungsvorschrift Φ: Isomorphismus (Permutation)

Zero-Knowledge-Beweise: 4) Graphenisomorphie

Φ(G1) = G2

Zero-Knowledge-Protokoll:Zero-Knowledge-Protokoll:

• Bert erzeugt zwei erzeugt zwei sehr große isomorphe Graphensehr große isomorphe Graphen G G00 und G und G11 mithilfe mithilfe

einer frei gewählten einer frei gewählten Permutation Permutation : G: G11 = = (G(G00))

• veröffentlicht das Paar (veröffentlicht das Paar (GG00, G, G11), hält den Schlüssel ), hält den Schlüssel geheim geheim

• Bert entscheidet sich für einen Graphen: wählt Index i entscheidet sich für einen Graphen: wählt Index i {0,1} {0,1}

erzeugt neuen isomorphen Graphen erzeugt neuen isomorphen Graphen H = H = (G(Gii))

• Veras Wunsch: Isomorphismus zwischen H und G Wunsch: Isomorphismus zwischen H und G jj (mit (mit j j {0,1} {0,1}))

Zero-Knowledge-Beweise: 4) Graphenisomorphie

Zero-Knowledge-Protokoll:Zero-Knowledge-Protokoll:

• Bert erfüllt ihren Wunsch: erfüllt ihren Wunsch:

A) falls i = j, sendet er die Permutation A) falls i = j, sendet er die Permutation an an Vera

B) falls i = 1 und j = 0, schickt er die Verknüpfung B) falls i = 1 und j = 0, schickt er die Verknüpfung o o , also , also (())

C) falls i = 0 und j = 1, sendet er C) falls i = 0 und j = 1, sendet er o o -1-1, also , also ((-1-1))

• Vera kontrolliert schließlich kontrolliert schließlich Berts Rückgabe Rückgabe

Zero-Knowledge-Beweise: 4) Graphenisomorphie

Gültigkeit des Beweises:Gültigkeit des Beweises:

• Vollständigkeit:

Bert kann kann Veras Wunsch in jedem Fall erfüllen Wunsch in jedem Fall erfüllen

• Zuverlässigkeit:

Betrüger kann nur einen Wunsch erfüllen (i = j)Betrüger kann nur einen Wunsch erfüllen (i = j)

• Zero-Knowledge-Eigenschaft:

Simon übernimmt übernimmt Berts Rolle: Rolle:

- „Glücksfall“ (i = j) - „Glücksfall“ (i = j) gute Szene

- zwei anderen Fälle - zwei anderen Fälle schlechte Szene

Zero-Knowledge-Beweise: 4) Graphenisomorphie