Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen

Drehimpuls eines Massenelements :imii rv

€

Li = Δmi ri × vi( ) = Δmi ri × ω × ri( )( )

€

A × B × C( ) = A ⋅ C( ) B - A ⋅ B( ) C

€

Li = Δmi ri2 ω( ) − ri ⋅ ω( ) ri( )

€

L = r2 ω( ) − r ⋅ ω( ) r( ) dmV

∫

mit :

Bei freier Rotation ist i. a. nicht ll zu

€

L

€

1

Kreiselbewegungen – Rotation um freie Achsen

in Komponenten:

€

Lx = Ixxωx + Ixyωy + Ixzωz

Ly = Iyxωx + Iyyωy + Iyzωz

Lz = Izxωx +Izyωy +Izzωz

€

I xx = r2 - x2( ) dm

V

∫ = y2 + z2( ) dm

V

∫

I yy = r2 - y2( ) dm

V

∫ = x2 + z2( ) dm

V

∫

I zz = r2 - z2( ) dm

V

∫ = x2 + y2( ) dm

V

∫

€

I xy = I yx = - x y dmV

∫

I yz = I zy = - y z dmV

∫

I xz = I yz = - x z dmV

∫

L~

I

in Tensorschreibweise:

z

y

x

z

y

x

L

L

L

III

III

III

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

Trägheitstensor

€

mit I ij = r2δ ij - rirj( ) dmV

∫

€

Li = r2δ ij - rirj( ) dmV

∫ ω j

j=1

3

∑

€

= I i j ω j

j=1

3

∑

in Einstein-Summenkonvention:

(I verknüpft L mit durch Drehstreckung) 2

Rotationsenergie:

€

1

2Δmivi

2 = 1

2 Δmi ω × ri( ) ω × ri( )

€

= 1

2 Δmi ω2ri

2 − ω ⋅ri( )2

( )

€

A × B( ) A × B( ) = A2B2 − A ⋅B( )2mit:

€

=>Erot = ω2

2 r2

V

∫ dm - 1

2 ω ⋅r( )

2

V

∫ dm

€

=x

2 +ωy2 +ωz

2

2x2 + y2 + z2

( )V

∫ dm -1

2 ωxx +ωyy +ωzz( )

2

V

∫ dm

€

=1

2ωx

2 I xx +ωy2 I yy +ωz

2 I zz( ) +ωxωyI xy +ωyωzI yz +ωxωzI xz

Gaub 3WS 2014/15

tensoriell:

€

Erot =1

2 ω

TI~

ω€

Erot = 1

2 ωx ωy ωz( )

I xx I xy I xz

I yx I yy I yz

I zx I zy I zz

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

ωx

ωy

ωz

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

=1

2ωiI i jω j

i, j=1

3

∑

Bei beliebiger Drehachse tragen alle Momente des Trägheitstensors zur Rotationsenergie bei

Gaub 4WS 2014/15

Trägheitsmomentellipsoid

€

Iω = cos2α I xx + cos2β I yy + cos2γ I zz

+ 2 cosα cosβ I xy + 2 cosβ cosγ I yz + 2 cosα cosγ I xz

cos

cos

cos

z

y

x

Sei Rotationsachse eines beliebigen Körpers um gegen die kartesischen Achsen des Laborsystems geneigt =>

€

1

2Iω2 =

1

2ωx

2 I xx +ωy2 I yy +ωz

2 I zz( ) +ωxωyI xy +ωyωzI yz +ωxωzI xz

weil

Gaub 5WS 2014/15

sei:

€

R2I = x2I xx + y2I yy + z2I zz

+ 2 xy I xy + 2 yz I yz + 2 xz I xz

€

R ||ω

€

R2I = const. ist Ellipsoidgleichung =>

€

=> r

R = R

cosα

cosβ

cosγ

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

Trägheitsellipsoid:

Das Trägheitsmoment eines beliebigen Körpers ist ≈1/R2 zum Abstand zur Ellipsoidfläche

Gaub 6WS 2014/15

Diagonalisierung des Trägheitstensors entspricht der Hauptachsentransformation.Die Ellipsengleichung wird dann zu:

€

ξ 2Ia + η 2Ib + ς 2Ic = 1

wobei orthogonal sindξ , ,

€

I~

=

Ia 0 0

0 Ib 0

0 0 Ic

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

der Diagonalisierte Trägheitstensor hat die Form:

Man wähle Koordinatensystem dessen Achsen mit den

Hauptachsen a,b,c, des Trägheitsellipsoids zusammenfallen

€

ξ,η ,ς

Gaub 7WS 2014/15

Berechnung der über das charakteristische Polynom:

€

Iabc

0

III

III

III

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

I

I

I

Konvention: cba III

Trägheitsmoment um beliebige Achse:

cba IIII cos cos cos 222

€

L =

La

Lb

Lc

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ =

ωa Ia

ωb Ib

ωc Ic

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

€

Erot = 1

2 ωa

2 Ia + ωb2 Ib + ωc

2 Ic( )

€

= La

2

2Ia

+ Lb

2

2Ib

+ Lc

2

2Ic

Wenn a, b, c die Hauptachsen des Körpers sind

Asymmetrische Kreisel:

€

Ia ≠ Ib ≠ Ic

€

Ia = Ib = Ic

Sphärischer Kreisel

Bsp: Kugel, Würfel

Gaub 9WS 2014/15

€

Ia = Ib < Ic

oblat:

€

Ia < Ib = Ic

prolat:

Symmetrische Kreisel:

Gaub 10WS 2014/15

Freie Achsen

stabile Rotation um Achse mit größtem Trägheitsmoment

instabile Rotation um Achse mit mittlerem Trägheitsmoment und Ausweichbewegung

Gaub 11WS 2014/15

Freie Achsen

rotierende Kette maximiert ihr Trägheitsmoment

Diskus rotiert stabil um Achse mit größtem Trägheitsmoment

Gaub 12WS 2014/15