PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4

Makalah dipresentasikan dalam Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika dengan tema ” PPeenngguuaattaann PPeerraann MMaatteemmaattiikkaa ddaann PPeennddiiddiikkaann

MMaatteemmaattiikkaa uunnttuukk IInnddoonneessiiaa yyaanngg LLeebbiihh BBaaiikk"" pada tanggal 9 November 2013 di Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UNY

T - 31

KURVA PARAMETRIK DAN TRANSFORMASINYA

UNTUK PEMBENTUKAN MOTIF DEKORATIF

Veronica Suryaningsih1, Hanna Arini Parhusip

2, Tundjung Mahatma

3

1 Mahasiswa Program Studi Matematika FSM UKSW 2, 3

Dosen Program Studi Matematika FSM UKSW

Fakultas Sains dan Matematika, Universitas Kristen Satya Wacana

Jl. Diponegoro 52-60 Salatiga 50711 1s_veronica71@yahoo.com,

2hannaariniparhusip@yahoo.co.id,

3 t.mahatma@staff.uksw.edu

Abstrak

Dalam makalah ini ditunjukkan bahwa dengan menggunakan persamaan

matematika yang sederhana dapat dibuat bentuk motif dekoratif yang

menarik. Persamaan-persamaan yang digunakan dalam makalah ini adalah

persamaan parametrik, diambil dari kalkulus. Persamaan parametrik

berbentuk 𝑥 = 𝑥 𝑡 𝑦 = 𝑦(𝑡) . Jadi pasangan titik (𝑥, 𝑦) yang membentuk

motif-motif tersebut. Motif-motif diperoleh dengan memvisualisasikan

persamaan parametrik dengan menggunakan program MATLAB. Kurva

parametrik yang diperoleh dikembangkan dengan berbagai transformasi.

Transformasi yang digunakan adalah fungsi kompleks 𝐹 𝑧 =1

𝑧 dan 𝐹 𝑧 =

cos(𝑧) , tranformasi refleksi, rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi

transformasi. Hasil visualisasi persamaan dipilih yang mempunyai bentuk

simetri dan banyak dijumpai di alam sekitar.

Kata kunci : persamaan parametrik, fungsi kompleks, transformasi refleksi,

rotasi, translasi, dilatasi dan komposisi transformasi

A. PENDAHULUAN

Matematika merupakan salah satu ilmu yang tidak begitu banyak diminati sebagian

besar orang karena dianggap tidak menarik. Namun dengan penelitian ini, akan ditunjukan

bahwa matematika sebenarnya memiliki unsur seni yang menarik pula. Seperti halnya

batik fraktal yang telah dikenal sebagai seni matematika, di sini ditunjukkan pula berbagai

motif yang dapat digunakan sebagai motif dekoratif yang berasal dari berbagai persamaan

sederhana dalam matematika. Persamaan-persamaan yang akan digunakan untuk

pembuatan motif ini adalah persamaan parametrik.

Ada berbagai persamaan parametrik yang kemudian divisualisasikan dengan program

MATLAB. Software yang ingin dikerjakan di sini adalah software untuk membuat

motif-motif dekoratif yang disusun atau dirancang dengan kalkulus, khususnya dengan

menggunakan persamaan parametrik. Berbagai persamaan parametrik akan dipelajari dan

divisualisasikan sehingga menghasilkan sebuah motif dekoratif.

Contoh motif yang diperoleh dengan memvisualisasikan persamaan parametrik

ditunjukkan pada Gambar 1.

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 250

Persamaan parametrik yang telah dikenal dari literatur (Stewart, 2001) diantaranya

adalah Hiposikloid, Episikloid, Bézier, Kokleoid, dan Strofoid Folium Descartes. Pada

penelitian ini ditunjukkan cara memvisualisasikan persamaan-persamaan parametrik

tersebut dengan menggunakan MATLAB. Kurva parametrik yang diperoleh kemudian

diolah kembali dengan mengunakan berbagai macam transformasi sehingga menghasilkan

motif-motif menarik.

Dalam makalah ini ditunjukkan transformasi persamaan parametrik dengan fungsi

kompleks 𝐹 𝑧 =1

𝑧 dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Selain itu, kurva-kurva parametrik yang telah

diperoleh, dikerjakan kembali dengan menggunakan berbagai transformasi.

Transformasi-transformasi yang dikerjakan di antaranya adalah refleksi, rotasi, translasi,

dilatasi serta komposisi transformasi (Web 1).

B. DASAR TEORI

Persamaan Parametrik dan Koordinat Kutub

Pada persamaan parametrik nilai 𝑥 dan 𝑦 muncul secara eksplisit. Bentuk

umumnya adalah sebagai berikut

𝑥 = 𝑓(𝑡) (1)

𝑦 = 𝑔(𝑡), 𝑎 ≤ 𝑡 ≤ 𝑏 (2)

Persamaan parametrik mempunyai titik awal (𝑓 𝑎 ,𝑔(𝑎)) dan titik akhir (𝑓 𝑏 ,𝑔(𝑏))

(Stewart, 2001). Pasangan titik (𝑥,𝑦) pada persamaan parametrik adalah titik-titik yang

membentuk motif-motif tersebut.

Sedangkan dalam koordinat kutub nilai 𝑥 dan 𝑦 tidak muncul secara eksplisit

sehingga untuk dapat menggambarkannya perlu mengubahnya ke dalam bentuk persamaan

parametrik. Koordinat kutub umumnya dituliskan dalam bentuk

𝐹 = 𝜑(𝑟,𝜃) dan 𝜎 = 𝑟(𝜃) (3)

dimana 𝜃 = 𝑎𝑟𝑐 tan𝑥

𝑦 dan 𝑟 = 𝑥2 + 𝑦2. Koordinat kutub dapat dituliskan dalam bentuk

persamaan parametrik sebagai

𝑥 = 𝑟 cos𝜃 𝑦 = 𝑟 sin𝜃 (4)

Beberapa bentuk persamaan parametrik akan digambarkan dengan menggunakan

program MATLAB sehingga akan menghasilkan sebuah kurva.

Model Persamaan 1. 𝑥 = 𝑎 + 𝑏 . cos 𝑡 − 𝑏. cos 𝑎 + 𝑏 . 𝑡 𝑏

𝑦 = 𝑎 + 𝑏 . sin 𝑡 − 𝑏. sin( 𝑎 + 𝑏 . 𝑡 𝑏 )

untuk 𝑎 = 3, 𝑏 = 1, dan 0 ≤ 𝑡 ≤ 500𝜋 dengan 500 titik

Model Persamaan 2. 𝑥 = 𝑟. cos 2𝜋𝑡 , 𝑦 = 𝑟. sin 2𝜋𝑡 , 𝑟 = 2 + sin 20𝜋𝑡 untuk 20 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 2 dengan 500 titik

Model Persamaan 3. 𝑥 = cos 𝑡 , 𝑦 = sin 𝑡 + sin 5 ∗ 𝑡 untuk 5 ≤ 𝑡 ≤ 50𝜋 dengan 500 titik

Gambar 1. Grafik kurva parametrik yang diperoleh dengan memvariasi parameter.

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 251

Program MATLAB yang digunakan adalah sebagai berikut.

%untuk model persamaan 1

a=0; b=500*pi; c=500; % a batas awal , b batas akhir, c banyak titik

t=linspace(a,b,c); a=3;b=1;

x=(a+b)*cos(t)-b*cos((a+b)*t/b); %persamaan parametrik x

y=(a+b)*sin(t)-b*sin((a+b)*t/b); %persamaan parametrik y

figure %menggambar persamaan dengan warna

plot(x,y,'--ks','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','g',...

'MarkerFaceColor','g',...

'MarkerSize',10)

Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 2. Kurva persamaan parametrik ada

juga yang mempunyai bentuk bunga yang sama dengan yang ada di alam. Contohnya

pada Gambar 2 (paling kiri) menyerupai bentuk bunga pada Gambar 3.

Transformasi Kurva Parametrik dengan Fungsi Kompleks

Berbagai fungsi kompleks seperti 𝐹 𝑧 = 1𝑧 , 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) , 𝐹 𝑧 = sin (𝑧) ,

𝐹 𝑧 = tan (𝑧) , 𝐹 𝑧 = 𝑒𝑧 telah divisualisasikan dengan MATLAB untuk beberapa

domain bilangan kompleks (Parhusip, 2010).Seluruh domain bilangan kompleks adalah

sebagai bidang kartesian jelas tidak mungkin dapat divisualisasikan. Untuk itu, hasil-hasil

kurva persamaan dianggap sebagai domain bilangan kompleks. Hal inilah yang akan

ditunjukkan pada makalah ini. Untuk memvisualisasikan hasil transformasi bilangan

kompleks 𝐹(𝑧) selalu perlu disusun dalam bentuk

𝐹 𝑧 = 𝑅𝑒 𝑓 𝑧 + 𝑖 𝐼𝑚(𝑓(𝑧)) (5)

dimana 𝑅𝑒 𝑓 𝑧 = 𝑢(𝑥,𝑦) dan 𝐼𝑚 𝑓 𝑧 = 𝑣(𝑥,𝑦) sedangkan (𝑥,𝑦) merupakan

titik-titik hasil kurva parametrik.

Sebagai contoh, persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 akan ditransformasikan terhadap

fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧 dengan 𝑧 = (𝑥 𝑡 ,𝑦(𝑡)). Bentuk umum bilangan kompleks

adalah

𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦 (6)

dimana 𝑥 merupakan bagian real dan 𝑦 merupakan bagian imaginer. Untuk 𝐹 𝑧 = 1𝑧

maka diperoleh persamaan sebagai berikut.

𝐹 𝑧 =1

𝑥 + 𝑖𝑦=

1

𝑥 + 𝑖𝑦 .𝑥 − 𝑖𝑦

𝑥 − 𝑖𝑦=

𝑥 − 𝑖𝑦

𝑥2 − 𝑦2=

𝑥

𝑥2 − 𝑦2−

𝑦

𝑥2 − 𝑦2𝑖

Persamaan baru dari transformasi fungsi kompleks adalah bagian real 𝑢(𝑥,𝑦) =𝑥

𝑥2−𝑦2 dan

bagian imaginer 𝑣(𝑥,𝑦) =𝑦

𝑥2−𝑦2. Persamaan baru 𝑢 dan 𝑣 ini akan digambarkan sebagai

transformasi persamaan parametrik terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧 .

Gambar 2. Grafik kurva parametrik dari model persamaan 1, 2, dan 3 Gambar 3. Bunga dengan

3 kelopak (Web 2)

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 252

Secara sama, persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 dapat ditransformasikan juga dengan

fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧). Bentuk trigonometri dari fungsi kompleks umumnya

dituliskan (Beem, 2006)

sin 𝑧 = 1

2 (𝑒𝑖𝑧 − 𝑒−𝑖𝑧) dan cos 𝑧 =

1

2 (𝑒𝑖𝑧 + 𝑒−𝑖𝑧)

(7)

𝑒𝑖𝑧 = cos 𝑧 + 𝑖 sin 𝑧 dan 𝑒−𝑖𝑧 = cos 𝑧 − 𝑖 sin 𝑧

(8)

Sehingga

𝐹 𝑧 = cos(𝑧) = cos(𝑥 + 𝑖𝑦)

=1

2 (𝑒𝑖(𝑥+𝑖𝑦) + 𝑒−𝑖(𝑥+𝑖𝑦 )) =

1

2(cos𝑥. ( 𝑒−𝑦 + 𝑒𝑦) + 𝑖 sin𝑥 . (𝑒−𝑦 − 𝑒𝑦))

Dari persamaan di atas didapatkan persamaan baru 𝑢(𝑥, 𝑦) = 1

2. cos𝑥. ( 𝑒−𝑦 + 𝑒𝑦) dan

𝑣 𝑥,𝑦 = 1

2sin𝑥 . (𝑒−𝑦 − 𝑒𝑦).

Tabel 1. Program MATLAB untuk Transformasi Persamaan Parametrik ke Fungsi Kompleks

Program MATLAB untuk 𝑭 𝒛 = 𝟏𝒛 Program MATLAB untuk 𝑭 𝒛 = 𝒄𝒐𝒔(𝒛)

%transformasi f=1/z

u=x./(x.^2+y.^2) %persamaan baru u(x,y)

v=-y./(x.^2+y.^2) %persamaan baru v(x,y)

figure %menggambarkan persamaan (u,v)

plot(u,v,'--ro','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','r',...

'MarkerFaceColor','k',...

'MarkerSize',10)

fill ( u, v,'cd')

%transformasi f(z)=cos(z)

u2=0.5*(exp(y)+exp(-y)).*cos(x);

v2=0.5*(exp(-y)-exp(y)).*sin(x);

figure

plot(u2,v2,'--ko','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','r',...

'MarkerFaceColor','k',...

'MarkerSize',10)

Hasil keluaran program ditunjukkan pada Gambar 4.

Transformasi fungsi kompleks terhadap persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 di atas telah

memberikan hasil gambar-gambar yang menarik sebagai motif dekoratif.

Gambar 4b. Hasil pemetaan

persamaan parametriks 𝑥

dan 𝑦 terhadap fungsi

kompleks 𝐹 𝑧 = cos 𝑧

Gambar 4a. Hasil pemetaan

persamaan parametriks 𝑥

dan 𝑦 terhadap fungsi

kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 253

Transformasi Refleksi, Rotasi, Transalasi dan Dilatasi

Hasil kurva-kurva tersebut dapat ditransformasikan untuk mendapatkan

motif-motif yang lebih bervariasi.

Refleksi adalah transformasi yang memindahkan objek dengan menggunakan sifat

bayangan cermin (Web 1). Ada beberapa matriks yang dapat digunakan untuk

merefleksikan kurva parametrik yang telah di dapatkan. Diantaranya adalah :

a. Refleksi terhadap sumbu 𝑥 digunakan matriks 1 00 −1

b. Refleksi terhadap sumbu 𝑦 digunakan matriks −1 00 1

c. Refleksi terhadap titik asal 𝑂 atau setengah putaran digunakan matriks

−1 00 −1

Rotasi adalah transformasi yang memindahkan suatu objek dengan cara memutar

pada pusat tertentu, dengan tidak merubah ukuran dan bentuk objek (Web 1). Matriks yang

bersesuaian dengan transformasi rotasi terhadap titik O sebesar 𝜃 adalah

cos𝜃 − sin𝜃sin𝜃 cos𝜃

.

Translasi adalah transformasi yang mengubah kedudukan suatu objek dengan jarak

dan arah tertentu dengan tidak mengubah bentuk dan ukuran objek tersebut (Web 1).

Translasi 𝑇 = 𝑎𝑏 pada titik 𝑃 (𝑥 ,𝑦) akan menjadi 𝑥 + 𝑎 dan 𝑦 + 𝑏 . Sehingga dapat

dituliskan sebagai berikut :

𝑇 = 𝑎𝑏 ∶ 𝑃( 𝑥,𝑦) → 𝑃′(𝑥 + 𝑎,𝑦 + 𝑏)

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah ukuran tetapi tidak mengubah bentuk

(Web 1). Dalam hal ini untuk mengubah skala dari kurva parametrik yang telah diperoleh

maka digunakan sebuah konstanta yang akan dioperasikan terhadap 𝑥 dan 𝑦.

Tabel 2. Program MATLAB untuk Transformasi Refleksi, Rotasi, Translasi, dan Dilatasi

Jenis Transformasi Program MATLAB

Refleksi

%refleksi thdp sumbu y

A=[-1 0;0 1]; %matriks refleksi terhadap sumbu y

nm=length(x);

for i=1:nm

lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=A*lama;

Ms(i,:)=vxy';

end

figure

plot(Ms(:,1),Ms(:,2),'--mo','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','c',...

'MarkerFaceColor','y',...

'MarkerSize',10)

Rotasi

%rotasi sebesar tt

tt=pi/6; %besar sudut rotasi

B=[cos(tt) -sin(tt); sin(tt) cos(tt)]; %matriks rotasi

for i=1:nm

lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=B*lama;

Mr(i,:)=vxy';

end

figure

plot(Mr(:,1),Mr(:,2),'--mo','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','c',...

'MarkerFaceColor','y',...

'MarkerSize',10)

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 254

Translasi

%translasi

T=[100 200]; %besar perpindahan x dan y

for i=1:nm

lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=T'+lama;

Mt(i,:)=vxy';

end

figure

plot(Mt(:,1),Mt(:,2),'--mo','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','c',...

'MarkerFaceColor','y',...

'MarkerSize',10)

Dilatasi

%dilatasi

D=1/2; %memperkecil ukuran objek ½ kali

nya

for i=1:nm

lama=[u2(i);v2(i)]; vxy=D*lama;

Mp(i,:)=vxy';

end

figure

plot(Mp(:,1),Mp(:,2),'--mo','LineWidth',2,...

'MarkerEdgeColor','c',...

'MarkerFaceColor','y',...

'MarkerSize',10)

Komposisi Transformasi

Komposisi transformasi adalah transformasi yang dilakukan lebih dari satu kali

secara berurutan. Misalkan kurva parametrik yang telah ditransformasikan terhadap fungsi

kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 kemudian hasil refleksinya

dirotasikan sebesar 𝜃. Contoh program di MATLAB adalah sebagai berikut.

%komposisi rotasi kemudian direfleksikan

for i=1:nm

vh=[u2(i);v2(i)];

komposisi=A*(B*vh); %A matriks refleksi, B matriks rotasi

Mk(i,:)=komposisi';

end

figure

plot(Mk(:,1),Mk(:,2),'--ko')

C. METODE PENELITIAN

Penelitian disusun dalam 2 bagian yaitu visualisasi sederhana persamaan parametrik

(Bagian I) dan memvariasikan kurva parametrik dengan berbagai transformasi (Bagian II).

Bagian I

Langkah 1. Mengumpulkan berbagai persamaan parametrik yang terkenal

dari literatur.

Langkah 2. Memvisualisasikan persamaan parametrik dengan menggunakan

software MATLAB.

Langkah 3. Mentransformasikan persamaan parametrik 𝑥 dan 𝑦 dengan

beberapa fungsi kompleks dengan persamaan baru dalam 𝑢 dan 𝑣

sehingga menghasilkan motif yang lainnya

Langkah 4. Memberikan variasi warna dan variasi garis untuk setiap Gambar

yang akan ditampilkan dengan MATLAB.

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 255

Bagian II

Langkah5. .Mendapatkan motif dengan berbagai transformasi dengan

mengembangkan domain mula-mula.

Langkah 6. Mengubah parameter sehingga menghasilkan motif terbaik yang

mungkin untuk digunakan sebagai suatu motif.

D. HASIL DAN PEMBAHASAN

Sebuah persamaan parametrik divisualisasikan dengan menggunakan MATLAB

menghasilkan sebuah kurva parametrik. Kurva yang terbentuk kemudian dikerjakan

kembali dengan berbagai transformasi. Kurva-kurva inilah yang kemudian akan dijadikan

sebagai motif kain. Pada model-model persamaan sebelumnya, telah didapatkan tiga

macam motif untuk masing-masing model. Ketiga motif tersebut adalah motif persamaan

parametrik (𝑥,𝑦) , transformasinya terhadap fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧 dan 𝐹 𝑧 =

cos(𝑧).

Selanjutnya, motif dapat divariasi dengan transformasi lainnya untuk mendapatkan

bentuk motif yang lebih bervariasi.

Model Persamaan 1

Motif yang dijadikan domain adalah motif transformasi fungsi kompleks 𝐹 𝑧 =cos(𝑧). Motif ini akan direfleksikan terhadap sumbu 𝑦 sehingga akan menghasilkan motif

yang ditunjukkan pada Gambar 5.

Untuk mendapatkan motif dalam bentuk (arah) berbeda, tidak perlu menggambarkan

ulang dengan mencari persamaan yang memenuhi namun cukup hanya dengan

menggunakan transformasi saja.

Motif lain yang dapat dikerjakan adalah dengan mentransformasikan motif

𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧 . Motif yang terbentuk ditunjukkan

pada Gambar 6.

Hasil transformasi dua kali terhadap fungsi kompleks di atas dapat divariasi kembali

dengan komposisi transformasi. Disini akan digabungkan hasil transformasi 𝐹 𝑧 = 1𝑧

dengan refleksinya terhadap sumbu 𝑦. Kemudian ditambahkan dengan hasil rotasinya

sebesar 90° dan refleksi dari rotasinya terhadap sumbu 𝑥 . Motif yang terbentuk

ditunjukkan pada Gambar 7.

Gambar 6. Motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) dari

model persamaan 1

ditransformasikan terhadap fungsi

kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧 .

Gambar 5. Motif 𝐹 𝑧 = cos(𝑧)

dari model persamaan 1

direfleksikan terhadap sumbu 𝑦

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 256

Model Persamaan 2

Kurva parametrik (𝑥, 𝑦) akan ditransformasi dengan dilatasi sebesar 1 1.25 dan

15 . Kurva-kurva yang diperoleh kemudian akan digabungkan untuk menghasilkan suatu

motif baru. Namun karena motif ini belum terisi penuh, maka akan ditambahkan dengan

motif persamaan parametrik (𝑥,𝑦) yang telah ditransformasikan terhadap fungsi kompleks

𝐹 𝑧 = 1𝑧 . Kurva ini juga akan ditransformasikan dengan dilatasi sebesar 1 2 . Sehingga

disini akan ada lima buah motif yang akan digabungkan menjadi satu buah motif baru.

Motif-motif yang akan digabungkan dapat diberikan variasi warna. Motif baru ditunjukkan

pada Gambar 9 dan bunga natural yang mungkin serupa ditunjukkan pada Gambar 8.

Model Persamaan 3

Pada persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) akan dilakukan penggabungan kurva parametrik

yang telah ditransformasikan dengan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) . Untuk

menggabungkan kurva-kurva pamametrik ini perlu dilakukan komposisi parametrik.

Gambar 7. Komposisi transformasi 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) terhadap

𝐹 𝑧 = 1𝑧 yang kemudian di gabungkan.

Gambar 9. Motif dari persamaan parametrik (𝑥, 𝑦) ditransformasikan dengan

dilatasi dan fungsi kompleks 𝐹 𝑧 = 1𝑧 yang kemudian digabungkan.

Gambar 8. Bunga

(Web 3)

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 257

Transformasi yang digunakan diantaranya adalah refleksi terhadap sumbu 𝑥, rotasi sebesar

90° dan rotasi sebesar 45° . Disini diperlukan translasi untuk mengatur axis dari

masing-masing motif agar ketika digabungkan gambar tidak menumpuk. Translasi yang

digunakan adalah [1.4 2.7] dan [2.8 0].

Disini akan digabungkan tiga buah kurva hasil transformasi terhadap fungsi kompleks

𝐹 𝑧 = cos(𝑧) sehingga ada tiga jenis transformasi yang harus dikerjakan. Yang pertama

adalah komposisi transformasi dengan merefleksikan kurva terhadap sumbu 𝑥 yang

kemudian dirotasikan sebesar 90° . Komposisi pertama ini kemudian ditranslasikan

dengan T [1.4 2.7]. Transformasi kedua adalah dengan merotasikan kurva sebesar 45°.

Dan yang ketiga merupakan komposisi dari rotasi sebesar 45° yang kemudian

direfleksikan terhadap sumbu 𝑥 dan ditranslasi sebesar [2.8 0]. Gabungan ketiga hasil

transformasi ini memberikan bentuk motif yang baru yang ditunjukkan pada Gambar 11

dan bentuk natural yang dianggap serupa adalah Gambar 10. Akan tetapi warna masih

perlu di atur lebih lanjut.

E. SIMPULAN DAN SARAN

Simpulan :

Persamaan parametrik sederhana dalam matematika dapat divisualisasikan dengan

menggunakan MATLAB sehingga menghasilkan kurva-kurva menarik.

Kurva-kurva parametrik dapat ditransformasikan kedalam fungsi kompleks 𝐹 𝑧 =1

𝑧

dan 𝐹 𝑧 = cos(𝑧).

Hasil transformasi fungsi kompleks dapat ditranformasikan kembali dengan

transformasi refleksi, rotasi, translasi, dan dilatasi.

Untuk mentransformasikan kurva lebih dari satu kali maka digunakan komposisi

transformasi.

Saran :

Motif-motif yang diperoleh dapat digunakan juga sebagai motif kain dan batik. Untuk

motif kain batik memang diperlukan satu cuplikan yang dipenuhi oleh motif yang

dipilih. Sedangkan pada persamaan sebelumnya hanya ada satu motif yang telah

mengisi seluruh cuplikan agar dapat diulang pada seluruh ukuran kain yang

dikehendaki.

Koleksi gambar dari kurva-kurva mungkin digunakan dengan GUI dari MATLAB.

Namun masih ada gambar yang ketika menggunakan GUI hasilnya tidak sesuai

dengan gambar yang dihasilkan pada program MATLAB.

F. DAFTAR PUSTAKA

Beem JK. 2006. Geometri Connections. Mathematics Departement, University of

Missourri-Columbia. New Jersey 07458 : Pearson.

Parhusip HA. 2010. Learning Complex Function and Its Visualization with MATLAB.

Department of Industrial Mathematics and Statistics, Science and Mathematics

Faculty-Satya Wacana Christian University.

Gambar 11. Motif baru dari gabungan hasil transformasi kurva parametrik

(𝑥, 𝑦) terhadap 𝐹 𝑧 = cos(𝑧) yang dikerjakan dengan beberapa transformasi

kembali.

Gambar 10. Ubur-ubur

(Web 4)

PROSIDING ISBN : 978–979–16353–9–4 ISBN : 978 – 979 – 16353 – 6 – 3

Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika FMIPA UNY Yogyakarta, 9 November 2013

MT- 258

Pesta ES, Anwar C. 2008. Matematika Aplikasi Jilid 3 untuk SMA & MA Kelas XII

Program Studi Ilmu Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan

Nasional.

Stewart J. 2001. Kalkulus Jilid II: Penerjemah I Nyoman Susilo. Jakarta : Erlangga.

Web 1. http://files.sman1-mgl.sch.id/ Diakses pada 10 September 2013 pukul 14.16

WIB

Web 2. http://lh3.ggpht.com/_ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.21 WIB

Web 3. http://gambargambarbunga.com/ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.34

WIB

Web 4. http://1.bp.blogspot.com/_ Diakses pada 22 Oktober 2013 pukul 11.47 WIB