Lambacher SchweizerMathematik fuumlr Gymnasien

Laumlnderuumlbergreifende Abiturpruumlfungen

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Lambacher SchweizerMathematik fuumlr Gymnasien

Laumlnderuumlbergreifende Abiturpruumlfungen

Ernst Klett VerlagStuttgart middot Leipzig

erarbeitet von Juumlrgen Frink Detlef Hoche Matthias Janssen Arne Jessen Klaus-Peter Jungmann Karen Kaps Michael Koumllle Peter NeumannHeike Spielmans

Seite aus Abitur- und Klausurentraining ISBN 978-3-12-733912-3 und 978-3-12-733919-2 2

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Steigung von Funktionsgraphen

Steigung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x 0 Gemeint ist die Steigung m der Tangente m = f rsquo (x0)1 Schritt f rsquo (x) ermitteln2 Schritt x0 einsetzen also m = f rsquo (x0) berechnen

Beispiel f (x) = x2 x0 = 3 f rsquo (x) = 2 xm = f rsquo (3) = 2 middot 3 = 6

An welchen Stellen x 0 hat der Graph von f die Steigung mGegeben m = f rsquo (x0)1 Schritt f rsquo (x) ermitteln 2 Schritt m = f rsquo (x0) ansetzen und nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = ndash x2 + 3 x m = ndash 1

f rsquo (x) = ndash 2 x + 3ndash 1 = f rsquo (x0) = ndash 2 x0 + 3 x0 = 2

Monotonie1 Schritt f rsquo (x) ermitteln 2 Schritt Bedingung f rsquo (x0) gt 0 nach x0 aufloumlsen um das Intervall

zu erhalten in dem der Graph von f streng monoton waumlchst

3 Schritt Monotonie im gesamten Definitionsbereich von f angeben

Beispiel f (x) = x2

f rsquo (x) = 2 x gt 0 wenn x gt 0 lt 0 wenn x lt 0

streng monoton fallend (ndash bull 0]streng monoton wachsend [0 bull)

Tangente und Normale

Gleichung der Tangente an den Graph von f im Punkt P ( x 0 | f ( x 0 )) 1 Schritt f rsquo (x) ermitteln x0 fuumlr x einsetzen

f rsquo (x0) = mt

2 Schritt y0 = f (x0) berechnen 3 Schritt Tangente mit errechnetem Anstieg ansetzen

y = mt x + n geht durch (x0 | y0)

w n = hellip

4 Schritt Tangentengleichung angeben oder alternativ zur Schrittfolge die allgemeine Tangentengleichung y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) verwenden

Beispiel f (x) = x2 x0 = 3f rsquo (x) = 2 x m = f rsquo (3) = 6f (3) = 9y = 6 x + n geht durch (3 | 9)9 = 6 middot 3 + n n = ndash 9Tangente t y = 6 x ndash 9

Gleichung der Tangente von einem Punkt auszligerhalb des GraphenGegeben P (a | b) f (x) Gesucht Beruumlhrstelle x0 Tangentengleichung1 Schritt m in Anhaumlngigkeit von x0 ermitteln

w m = f rsquo (x0)2 Schritt x = a und y = b in die allgemeine Tangentengleichung

y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) einsetzen x0 berechnen3 Schritt x0 in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen

Beispiel f (x) = 9_ x P (ndash 1 | 0)

m = f rsquo (x0) = 1 _

2 middot 9__ x 0

0 = 1 _

2 middot 9__ x 0 (ndash 1 ndash x0) + 9__

x 0 x0 = 1

y = 1 _

2 middot 9_ 1 (x ndash 1) + 9_

1 = 1 _ 2 x + 1 _ 2

Gleichung der NormalenDie Normale ist eine Gerade die den Graphen der Funktion senk-recht schneidet 1 Schritt Die Steigung mn mit mn = ndash 1 _ m t aus der Steigung der

Tangente mt berechnen 2 Schritt Die Koordinaten des Punktes P 2 x0 | f (x0) 3 in y = mn x + n

mit x = x0 und y = f (x0) einsetzen und nach n aufloumlsen3 Schritt Normalengleichung in der Form y = mn x + n angeben

Beispiel f (x) = x2 ndash 3 x x0 = 1f rsquo (x) = 2 x ndash 3

m = ndash 1 _ f rsquo (1) = ndash 1 _ ndash 1 = 1

y = x + n geht durch (1 | ndash 2)ndash 2 = 1 + n n = ndash 3Normale n y = x ndash 3

Analysis | Basisfertigkeiten

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Zwei Funktionen

Stelle x 0 mit gleicher Steigung der Graphen von f und gEs muss fuumlr diesen Wert x0 gelten dass die Steigung der beiden Graphen an dieser Stelle gleich groszlig ist 1 Schritt f rsquo (x0) = grsquo (x0) ansetzen2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 4 x2 g (x) = 1 _ x

Ansatz 8 x0 = ndash 1 _ x 0

2 mit der Loumlsung x0 = ndash 1 _ 2

Stelle x 0 mit zueinander senkrechten Tangenten

1 Schritt Ansatz f rsquo (x0) = ndash 1 _ g rsquo ( x 0 )

2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 2 x2 ndash x + 3 g (x) = ndash x2

Ansatz 4 x0 ndash 1 = 1 _ 2 x 0 mit den Loumlsungen x1 = 1 _ 2 und x2 = ndash 1 _ 4

Die Graphen von f und g beruumlhren sich bei x 0 (Es muss f rsquo (x0) = grsquo (x0) und f (x0) = g (x0) gelten)1 Schritt aus f rsquo (x0) = g rsquo (x0) Stellen x0 mit gleicher Steigung

ermitteln2 Schritt pruumlfen ob an den Stellen x0 die Gleichung f (x0) = g (x0)

fuumlr gleiche Funktionswerte erfuumlllt ist

Beispiel f (x) = 4 _ x 2

g (x) = 3 ndash 9 _ 16 x 2

f rsquo (x0) = g rsquo (x0) ndash 8 _ x 0

3 = ndash 9 _ 8 x0 x 0

4 = 64 _ 9 x0 = plusmn 9_

8 _ 3

f 2 plusmn 9_ 8 _ 3 3 = 4 middot 3 _ 8 = 3 _ 2 g 2 plusmn 9_

8 _ 3 3 = 3 ndash 9 _ 16 middot 8 _ 3 = 3 _ 2

Die Funktionen f und g beruumlhren sich an der Stellen ndash 9_ 8 _ 3 und 9_

8 _ 3

Schnittpunkt und -winkel der Graphen zweier Funktionen1 Schritt Schnittstelle xS mit f (xS) = g (xS) berechnen2 Schritt yS = f (xS) berechnen und Schnittpunkt S (xS | yS) angeben3 Schritt f rsquo (x) und g rsquo (x) berechnen m1 = f rsquo (xS) m2 = g rsquo (xS)

4 Schritt mit tan (δ) = | m 2 ndash m 1 __ 1 + m 1 middot m 2

| den Winkel berechnen

Beispiel f (x) = x2 g (x) = x2 ndash 4 x + 4Schnittstelle xS = 1 Schnittpunkt (1 | 1)

m1 = f rsquo (1) = 2 m2 = g rsquo (1) = ndash 2

tan δ= | ndash 2 ndash 2 __ 1 + 2 middot (ndash 2) | = 4 _ 3 δ = 5313deg

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Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion

Schnittpunkte mit den KoordinatenachsenSchnitt mit der y-Achse f (0) berechnen Schnittpunkt 2 0 | f (0) 3 Schnitt mit der x-Achse1 Schritt Ansatz f (x0) = 02 Schritt x0 ermittelnMethoden Aufloumlsen nach x0 Loumlsungsformel fuumlr quadratische Gleichungen Substitution Polynomdivision Darstellung als Nullprodukt um die Faktoren einzeln zu betrachten

Beispiel f (x) = (x ndash 3) middot (x2 +2 x + 1)Umformung f (x) = (x ndash 3) middot (x + 1)2

Schnitt mit der y-Achse f (0)= ndash 3 P0 (0 | ndash 3)Schnitt mit der x-Achse f (x0) = 0x01 = 3 x02 = ndash 1P1 (3 | 0) P2 (ndash 1 | 0)

Lokale Extrempunkte1 Schritt aus f rsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 1 Ableitung sind

hinreichend fuumlr die Existenz einer lokalen Extremstelle 3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6Mit Loumlsungsformel x1 = ndash 2 x2 = 4 f rsquorsquo (ndash 2) = ndash 18 ne 0 f rsquorsquo (4) = 18 ne 0 H (ndash 2 | 31) T (4 | ndash 77)

Wendepunkte1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 2 Ableitung

sind hinreichend fuumlr die Existenz einer Wendestelle3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6 = 0 f rsquorsquorsquo (x) = 6x0 = 1 f rsquorsquorsquo (1) = 6 ne 0f (1) = ndash 23 W (1 | ndash 23)

SattelpunkteSpezieller Wendepunkt bei dem f keinen Monotoniewechsel hat1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 moumlgliche Wendestellen ermitteln2 Schritt Gilt bei x0 auch f rsquo (x0) = 0 und ist x0 Nullstelle von f rsquo

ohne Vorzeichenwechsel so ist 2 x0 | f (x0) 3 Sattelpunkt

Beispiel f (x) = x4 ndash 2 x3 + 1Aus f rsquorsquo (x0) = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 1 An der Stelle x0 = 0 hat f einen Sattel-punkt weil f rsquo (0) = 0 und f rsquo (x) = 4 x3 ndash 6 x2

= 2 x2 middot (2 x ndash 3) bei 0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat

Funktionenscharen

Der Graph welcher der Funktionen f t geht durch P1 Schritt Koordinaten von P fuumlr x und ft (x) einsetzen2 Schritt Variable t aus dieser Gleichung berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t geht ft mit ft (x) = t middot (x ndash x2) durch P (ndash 1 | ndash 4) Aus ndash 4 = t middot (ndash 1 ndash (ndash 1)2) folgt t = 2

Fuumlr welche der Funktionen f t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden g1 Schritt Koordinaten von T (x0 | y0) in Abhaumlngigkeit von t ermitteln2 Schritt x0 und y0 fuumlr x und y in die Geradengleichung einsetzen 3 Schritt aus dieser Gleichung die einzige Variable t berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt T (2 t | t2 + 1) auf der Geraden y = xx0 = 2 t und y0 = t2 + 1 in die Geradengleichung einsetzen t2 + 1 = 2 t d h t2 ndash 2 t + 1 = 0 hat die einzige Loumlsung t = 1

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Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g1 Schritt Steigung m der Geraden in m = f rsquo (x0) einsetzen 2 Schritt aus dieser Gleichung den Parameter berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x

2 ndash 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 xDie Gerade hat die Steigung 1 _ 2 ft rsquo (x) = 2 _ t x ndash 2

Also muss ft rsquo (4) = 1 _ 2 sein ft rsquo (4) = 2 _ t middot 4 ndash 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5

Ortslinie einer FunktionsscharGesucht ist die Funktion auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen (vgl nebenstehende Grafik)1 Schritt die Koordinaten von Extrempunkt bzw Wendepunkt in

Abhaumlngigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2 Schritt x (t) nach t aufloumlsen und in y (t) einsetzenBeispiel Ortslinie von T (2 t | 9 ndash t2)x (t) = 2 t y (t) = 9 ndash t2 t = x _ 2 in y (t) einsetzen

y = 9 ndash 1 _ 4 x2

Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum von f t am groumlszligten1 Schritt Ortslinie des Tiefpunktes berechnen2 Schritt Maximumstelle der Ortslinie x0 berechnen 3 Schritt aus x0 = x (t) den Wert fuumlr t berechnen

Beispiel Der Tiefpunkt einer Funktions-schar liegt bei (t | 4 ndash t2) Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum am groumlszligtenOrtslinie y = 4 ndash x2 y rsquo = ndash 2 x = 0 yen x0 = 0 = t Minimum fuumlr t = 0

Fuumlr welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten1 Schritt Berechnen der beiden Wendestellen2 Schritt Berechnen der Steigung an diesen Stellen3 Schritt Ansatz fuumlr zueinander senkrechte Geraden m1 = ndash 1

_ m 2

Beispiel Fuumlr welchen Wert von t gt 0 hat ft (x) = t x4 ndash 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangentenftrsquo (x) = 4 t x3 ndash 12 t x ft rsquorsquo (x) = 12 t x2 ndash 12 t = 0 x1 = ndash 1 x2 = 1

m1 = ftrsquo (ndash 1) = 8 t m2 = ndash 8 t Ansatz 8 t = ndash 1 _ ndash 8 t yen t = 1 _ 8 (t gt 0)

Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam1 Schritt fuumlr t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-

wenden2 Schritt fuumlr r ne s die Schnittstellen errechnen3 Schritt y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angebenBeispiel ft (x) = x3 + t x2 + (8 t ndash 1) xAnsatz fr (x) = fs (x) also x3 + r x2 + (8 r ndash 1) x = x3 + s x2 + (8 s ndash 1) xx1 = 0 Restgleichung r x + (8 r ndash 1) = s x + (8 s ndash 1) (r ndash s) middot x = ndash 8 middot (r ndash s) x2 = ndash 8gemeinsame Punkte P1 (0 | 0) und P2 (ndash 8 | ndash 504)

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

1

Lambacher SchweizerMathematik fuumlr Gymnasien

Laumlnderuumlbergreifende Abiturpruumlfungen

Ernst Klett VerlagStuttgart middot Leipzig

erarbeitet von Juumlrgen Frink Detlef Hoche Matthias Janssen Arne Jessen Klaus-Peter Jungmann Karen Kaps Michael Koumllle Peter NeumannHeike Spielmans

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Steigung von Funktionsgraphen

Steigung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x 0 Gemeint ist die Steigung m der Tangente m = f rsquo (x0)1 Schritt f rsquo (x) ermitteln2 Schritt x0 einsetzen also m = f rsquo (x0) berechnen

Beispiel f (x) = x2 x0 = 3 f rsquo (x) = 2 xm = f rsquo (3) = 2 middot 3 = 6

An welchen Stellen x 0 hat der Graph von f die Steigung mGegeben m = f rsquo (x0)1 Schritt f rsquo (x) ermitteln 2 Schritt m = f rsquo (x0) ansetzen und nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = ndash x2 + 3 x m = ndash 1

f rsquo (x) = ndash 2 x + 3ndash 1 = f rsquo (x0) = ndash 2 x0 + 3 x0 = 2

Monotonie1 Schritt f rsquo (x) ermitteln 2 Schritt Bedingung f rsquo (x0) gt 0 nach x0 aufloumlsen um das Intervall

zu erhalten in dem der Graph von f streng monoton waumlchst

3 Schritt Monotonie im gesamten Definitionsbereich von f angeben

Beispiel f (x) = x2

f rsquo (x) = 2 x gt 0 wenn x gt 0 lt 0 wenn x lt 0

streng monoton fallend (ndash bull 0]streng monoton wachsend [0 bull)

Tangente und Normale

Gleichung der Tangente an den Graph von f im Punkt P ( x 0 | f ( x 0 )) 1 Schritt f rsquo (x) ermitteln x0 fuumlr x einsetzen

f rsquo (x0) = mt

2 Schritt y0 = f (x0) berechnen 3 Schritt Tangente mit errechnetem Anstieg ansetzen

y = mt x + n geht durch (x0 | y0)

w n = hellip

4 Schritt Tangentengleichung angeben oder alternativ zur Schrittfolge die allgemeine Tangentengleichung y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) verwenden

Beispiel f (x) = x2 x0 = 3f rsquo (x) = 2 x m = f rsquo (3) = 6f (3) = 9y = 6 x + n geht durch (3 | 9)9 = 6 middot 3 + n n = ndash 9Tangente t y = 6 x ndash 9

Gleichung der Tangente von einem Punkt auszligerhalb des GraphenGegeben P (a | b) f (x) Gesucht Beruumlhrstelle x0 Tangentengleichung1 Schritt m in Anhaumlngigkeit von x0 ermitteln

w m = f rsquo (x0)2 Schritt x = a und y = b in die allgemeine Tangentengleichung

y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) einsetzen x0 berechnen3 Schritt x0 in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen

Beispiel f (x) = 9_ x P (ndash 1 | 0)

m = f rsquo (x0) = 1 _

2 middot 9__ x 0

0 = 1 _

2 middot 9__ x 0 (ndash 1 ndash x0) + 9__

x 0 x0 = 1

y = 1 _

2 middot 9_ 1 (x ndash 1) + 9_

1 = 1 _ 2 x + 1 _ 2

Gleichung der NormalenDie Normale ist eine Gerade die den Graphen der Funktion senk-recht schneidet 1 Schritt Die Steigung mn mit mn = ndash 1 _ m t aus der Steigung der

Tangente mt berechnen 2 Schritt Die Koordinaten des Punktes P 2 x0 | f (x0) 3 in y = mn x + n

mit x = x0 und y = f (x0) einsetzen und nach n aufloumlsen3 Schritt Normalengleichung in der Form y = mn x + n angeben

Beispiel f (x) = x2 ndash 3 x x0 = 1f rsquo (x) = 2 x ndash 3

m = ndash 1 _ f rsquo (1) = ndash 1 _ ndash 1 = 1

y = x + n geht durch (1 | ndash 2)ndash 2 = 1 + n n = ndash 3Normale n y = x ndash 3

Analysis | Basisfertigkeiten

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Zwei Funktionen

Stelle x 0 mit gleicher Steigung der Graphen von f und gEs muss fuumlr diesen Wert x0 gelten dass die Steigung der beiden Graphen an dieser Stelle gleich groszlig ist 1 Schritt f rsquo (x0) = grsquo (x0) ansetzen2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 4 x2 g (x) = 1 _ x

Ansatz 8 x0 = ndash 1 _ x 0

2 mit der Loumlsung x0 = ndash 1 _ 2

Stelle x 0 mit zueinander senkrechten Tangenten

1 Schritt Ansatz f rsquo (x0) = ndash 1 _ g rsquo ( x 0 )

2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 2 x2 ndash x + 3 g (x) = ndash x2

Ansatz 4 x0 ndash 1 = 1 _ 2 x 0 mit den Loumlsungen x1 = 1 _ 2 und x2 = ndash 1 _ 4

Die Graphen von f und g beruumlhren sich bei x 0 (Es muss f rsquo (x0) = grsquo (x0) und f (x0) = g (x0) gelten)1 Schritt aus f rsquo (x0) = g rsquo (x0) Stellen x0 mit gleicher Steigung

ermitteln2 Schritt pruumlfen ob an den Stellen x0 die Gleichung f (x0) = g (x0)

fuumlr gleiche Funktionswerte erfuumlllt ist

Beispiel f (x) = 4 _ x 2

g (x) = 3 ndash 9 _ 16 x 2

f rsquo (x0) = g rsquo (x0) ndash 8 _ x 0

3 = ndash 9 _ 8 x0 x 0

4 = 64 _ 9 x0 = plusmn 9_

8 _ 3

f 2 plusmn 9_ 8 _ 3 3 = 4 middot 3 _ 8 = 3 _ 2 g 2 plusmn 9_

8 _ 3 3 = 3 ndash 9 _ 16 middot 8 _ 3 = 3 _ 2

Die Funktionen f und g beruumlhren sich an der Stellen ndash 9_ 8 _ 3 und 9_

8 _ 3

Schnittpunkt und -winkel der Graphen zweier Funktionen1 Schritt Schnittstelle xS mit f (xS) = g (xS) berechnen2 Schritt yS = f (xS) berechnen und Schnittpunkt S (xS | yS) angeben3 Schritt f rsquo (x) und g rsquo (x) berechnen m1 = f rsquo (xS) m2 = g rsquo (xS)

4 Schritt mit tan (δ) = | m 2 ndash m 1 __ 1 + m 1 middot m 2

| den Winkel berechnen

Beispiel f (x) = x2 g (x) = x2 ndash 4 x + 4Schnittstelle xS = 1 Schnittpunkt (1 | 1)

m1 = f rsquo (1) = 2 m2 = g rsquo (1) = ndash 2

tan δ= | ndash 2 ndash 2 __ 1 + 2 middot (ndash 2) | = 4 _ 3 δ = 5313deg

Analysis | Basisfertigkeiten

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Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion

Schnittpunkte mit den KoordinatenachsenSchnitt mit der y-Achse f (0) berechnen Schnittpunkt 2 0 | f (0) 3 Schnitt mit der x-Achse1 Schritt Ansatz f (x0) = 02 Schritt x0 ermittelnMethoden Aufloumlsen nach x0 Loumlsungsformel fuumlr quadratische Gleichungen Substitution Polynomdivision Darstellung als Nullprodukt um die Faktoren einzeln zu betrachten

Beispiel f (x) = (x ndash 3) middot (x2 +2 x + 1)Umformung f (x) = (x ndash 3) middot (x + 1)2

Schnitt mit der y-Achse f (0)= ndash 3 P0 (0 | ndash 3)Schnitt mit der x-Achse f (x0) = 0x01 = 3 x02 = ndash 1P1 (3 | 0) P2 (ndash 1 | 0)

Lokale Extrempunkte1 Schritt aus f rsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 1 Ableitung sind

hinreichend fuumlr die Existenz einer lokalen Extremstelle 3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6Mit Loumlsungsformel x1 = ndash 2 x2 = 4 f rsquorsquo (ndash 2) = ndash 18 ne 0 f rsquorsquo (4) = 18 ne 0 H (ndash 2 | 31) T (4 | ndash 77)

Wendepunkte1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 2 Ableitung

sind hinreichend fuumlr die Existenz einer Wendestelle3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6 = 0 f rsquorsquorsquo (x) = 6x0 = 1 f rsquorsquorsquo (1) = 6 ne 0f (1) = ndash 23 W (1 | ndash 23)

SattelpunkteSpezieller Wendepunkt bei dem f keinen Monotoniewechsel hat1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 moumlgliche Wendestellen ermitteln2 Schritt Gilt bei x0 auch f rsquo (x0) = 0 und ist x0 Nullstelle von f rsquo

ohne Vorzeichenwechsel so ist 2 x0 | f (x0) 3 Sattelpunkt

Beispiel f (x) = x4 ndash 2 x3 + 1Aus f rsquorsquo (x0) = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 1 An der Stelle x0 = 0 hat f einen Sattel-punkt weil f rsquo (0) = 0 und f rsquo (x) = 4 x3 ndash 6 x2

= 2 x2 middot (2 x ndash 3) bei 0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat

Funktionenscharen

Der Graph welcher der Funktionen f t geht durch P1 Schritt Koordinaten von P fuumlr x und ft (x) einsetzen2 Schritt Variable t aus dieser Gleichung berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t geht ft mit ft (x) = t middot (x ndash x2) durch P (ndash 1 | ndash 4) Aus ndash 4 = t middot (ndash 1 ndash (ndash 1)2) folgt t = 2

Fuumlr welche der Funktionen f t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden g1 Schritt Koordinaten von T (x0 | y0) in Abhaumlngigkeit von t ermitteln2 Schritt x0 und y0 fuumlr x und y in die Geradengleichung einsetzen 3 Schritt aus dieser Gleichung die einzige Variable t berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt T (2 t | t2 + 1) auf der Geraden y = xx0 = 2 t und y0 = t2 + 1 in die Geradengleichung einsetzen t2 + 1 = 2 t d h t2 ndash 2 t + 1 = 0 hat die einzige Loumlsung t = 1

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Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g1 Schritt Steigung m der Geraden in m = f rsquo (x0) einsetzen 2 Schritt aus dieser Gleichung den Parameter berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x

2 ndash 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 xDie Gerade hat die Steigung 1 _ 2 ft rsquo (x) = 2 _ t x ndash 2

Also muss ft rsquo (4) = 1 _ 2 sein ft rsquo (4) = 2 _ t middot 4 ndash 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5

Ortslinie einer FunktionsscharGesucht ist die Funktion auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen (vgl nebenstehende Grafik)1 Schritt die Koordinaten von Extrempunkt bzw Wendepunkt in

Abhaumlngigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2 Schritt x (t) nach t aufloumlsen und in y (t) einsetzenBeispiel Ortslinie von T (2 t | 9 ndash t2)x (t) = 2 t y (t) = 9 ndash t2 t = x _ 2 in y (t) einsetzen

y = 9 ndash 1 _ 4 x2

Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum von f t am groumlszligten1 Schritt Ortslinie des Tiefpunktes berechnen2 Schritt Maximumstelle der Ortslinie x0 berechnen 3 Schritt aus x0 = x (t) den Wert fuumlr t berechnen

Beispiel Der Tiefpunkt einer Funktions-schar liegt bei (t | 4 ndash t2) Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum am groumlszligtenOrtslinie y = 4 ndash x2 y rsquo = ndash 2 x = 0 yen x0 = 0 = t Minimum fuumlr t = 0

Fuumlr welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten1 Schritt Berechnen der beiden Wendestellen2 Schritt Berechnen der Steigung an diesen Stellen3 Schritt Ansatz fuumlr zueinander senkrechte Geraden m1 = ndash 1

_ m 2

Beispiel Fuumlr welchen Wert von t gt 0 hat ft (x) = t x4 ndash 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangentenftrsquo (x) = 4 t x3 ndash 12 t x ft rsquorsquo (x) = 12 t x2 ndash 12 t = 0 x1 = ndash 1 x2 = 1

m1 = ftrsquo (ndash 1) = 8 t m2 = ndash 8 t Ansatz 8 t = ndash 1 _ ndash 8 t yen t = 1 _ 8 (t gt 0)

Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam1 Schritt fuumlr t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-

wenden2 Schritt fuumlr r ne s die Schnittstellen errechnen3 Schritt y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angebenBeispiel ft (x) = x3 + t x2 + (8 t ndash 1) xAnsatz fr (x) = fs (x) also x3 + r x2 + (8 r ndash 1) x = x3 + s x2 + (8 s ndash 1) xx1 = 0 Restgleichung r x + (8 r ndash 1) = s x + (8 s ndash 1) (r ndash s) middot x = ndash 8 middot (r ndash s) x2 = ndash 8gemeinsame Punkte P1 (0 | 0) und P2 (ndash 8 | ndash 504)

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Steigung von Funktionsgraphen

Steigung des Graphen einer Funktion f an der Stelle x 0 Gemeint ist die Steigung m der Tangente m = f rsquo (x0)1 Schritt f rsquo (x) ermitteln2 Schritt x0 einsetzen also m = f rsquo (x0) berechnen

Beispiel f (x) = x2 x0 = 3 f rsquo (x) = 2 xm = f rsquo (3) = 2 middot 3 = 6

An welchen Stellen x 0 hat der Graph von f die Steigung mGegeben m = f rsquo (x0)1 Schritt f rsquo (x) ermitteln 2 Schritt m = f rsquo (x0) ansetzen und nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = ndash x2 + 3 x m = ndash 1

f rsquo (x) = ndash 2 x + 3ndash 1 = f rsquo (x0) = ndash 2 x0 + 3 x0 = 2

Monotonie1 Schritt f rsquo (x) ermitteln 2 Schritt Bedingung f rsquo (x0) gt 0 nach x0 aufloumlsen um das Intervall

zu erhalten in dem der Graph von f streng monoton waumlchst

3 Schritt Monotonie im gesamten Definitionsbereich von f angeben

Beispiel f (x) = x2

f rsquo (x) = 2 x gt 0 wenn x gt 0 lt 0 wenn x lt 0

streng monoton fallend (ndash bull 0]streng monoton wachsend [0 bull)

Tangente und Normale

Gleichung der Tangente an den Graph von f im Punkt P ( x 0 | f ( x 0 )) 1 Schritt f rsquo (x) ermitteln x0 fuumlr x einsetzen

f rsquo (x0) = mt

2 Schritt y0 = f (x0) berechnen 3 Schritt Tangente mit errechnetem Anstieg ansetzen

y = mt x + n geht durch (x0 | y0)

w n = hellip

4 Schritt Tangentengleichung angeben oder alternativ zur Schrittfolge die allgemeine Tangentengleichung y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) verwenden

Beispiel f (x) = x2 x0 = 3f rsquo (x) = 2 x m = f rsquo (3) = 6f (3) = 9y = 6 x + n geht durch (3 | 9)9 = 6 middot 3 + n n = ndash 9Tangente t y = 6 x ndash 9

Gleichung der Tangente von einem Punkt auszligerhalb des GraphenGegeben P (a | b) f (x) Gesucht Beruumlhrstelle x0 Tangentengleichung1 Schritt m in Anhaumlngigkeit von x0 ermitteln

w m = f rsquo (x0)2 Schritt x = a und y = b in die allgemeine Tangentengleichung

y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) einsetzen x0 berechnen3 Schritt x0 in die allgemeine Tangentengleichung einsetzen

Beispiel f (x) = 9_ x P (ndash 1 | 0)

m = f rsquo (x0) = 1 _

2 middot 9__ x 0

0 = 1 _

2 middot 9__ x 0 (ndash 1 ndash x0) + 9__

x 0 x0 = 1

y = 1 _

2 middot 9_ 1 (x ndash 1) + 9_

1 = 1 _ 2 x + 1 _ 2

Gleichung der NormalenDie Normale ist eine Gerade die den Graphen der Funktion senk-recht schneidet 1 Schritt Die Steigung mn mit mn = ndash 1 _ m t aus der Steigung der

Tangente mt berechnen 2 Schritt Die Koordinaten des Punktes P 2 x0 | f (x0) 3 in y = mn x + n

mit x = x0 und y = f (x0) einsetzen und nach n aufloumlsen3 Schritt Normalengleichung in der Form y = mn x + n angeben

Beispiel f (x) = x2 ndash 3 x x0 = 1f rsquo (x) = 2 x ndash 3

m = ndash 1 _ f rsquo (1) = ndash 1 _ ndash 1 = 1

y = x + n geht durch (1 | ndash 2)ndash 2 = 1 + n n = ndash 3Normale n y = x ndash 3

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Zwei Funktionen

Stelle x 0 mit gleicher Steigung der Graphen von f und gEs muss fuumlr diesen Wert x0 gelten dass die Steigung der beiden Graphen an dieser Stelle gleich groszlig ist 1 Schritt f rsquo (x0) = grsquo (x0) ansetzen2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 4 x2 g (x) = 1 _ x

Ansatz 8 x0 = ndash 1 _ x 0

2 mit der Loumlsung x0 = ndash 1 _ 2

Stelle x 0 mit zueinander senkrechten Tangenten

1 Schritt Ansatz f rsquo (x0) = ndash 1 _ g rsquo ( x 0 )

2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 2 x2 ndash x + 3 g (x) = ndash x2

Ansatz 4 x0 ndash 1 = 1 _ 2 x 0 mit den Loumlsungen x1 = 1 _ 2 und x2 = ndash 1 _ 4

Die Graphen von f und g beruumlhren sich bei x 0 (Es muss f rsquo (x0) = grsquo (x0) und f (x0) = g (x0) gelten)1 Schritt aus f rsquo (x0) = g rsquo (x0) Stellen x0 mit gleicher Steigung

ermitteln2 Schritt pruumlfen ob an den Stellen x0 die Gleichung f (x0) = g (x0)

fuumlr gleiche Funktionswerte erfuumlllt ist

Beispiel f (x) = 4 _ x 2

g (x) = 3 ndash 9 _ 16 x 2

f rsquo (x0) = g rsquo (x0) ndash 8 _ x 0

3 = ndash 9 _ 8 x0 x 0

4 = 64 _ 9 x0 = plusmn 9_

8 _ 3

f 2 plusmn 9_ 8 _ 3 3 = 4 middot 3 _ 8 = 3 _ 2 g 2 plusmn 9_

8 _ 3 3 = 3 ndash 9 _ 16 middot 8 _ 3 = 3 _ 2

Die Funktionen f und g beruumlhren sich an der Stellen ndash 9_ 8 _ 3 und 9_

8 _ 3

Schnittpunkt und -winkel der Graphen zweier Funktionen1 Schritt Schnittstelle xS mit f (xS) = g (xS) berechnen2 Schritt yS = f (xS) berechnen und Schnittpunkt S (xS | yS) angeben3 Schritt f rsquo (x) und g rsquo (x) berechnen m1 = f rsquo (xS) m2 = g rsquo (xS)

4 Schritt mit tan (δ) = | m 2 ndash m 1 __ 1 + m 1 middot m 2

| den Winkel berechnen

Beispiel f (x) = x2 g (x) = x2 ndash 4 x + 4Schnittstelle xS = 1 Schnittpunkt (1 | 1)

m1 = f rsquo (1) = 2 m2 = g rsquo (1) = ndash 2

tan δ= | ndash 2 ndash 2 __ 1 + 2 middot (ndash 2) | = 4 _ 3 δ = 5313deg

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Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion

Schnittpunkte mit den KoordinatenachsenSchnitt mit der y-Achse f (0) berechnen Schnittpunkt 2 0 | f (0) 3 Schnitt mit der x-Achse1 Schritt Ansatz f (x0) = 02 Schritt x0 ermittelnMethoden Aufloumlsen nach x0 Loumlsungsformel fuumlr quadratische Gleichungen Substitution Polynomdivision Darstellung als Nullprodukt um die Faktoren einzeln zu betrachten

Beispiel f (x) = (x ndash 3) middot (x2 +2 x + 1)Umformung f (x) = (x ndash 3) middot (x + 1)2

Schnitt mit der y-Achse f (0)= ndash 3 P0 (0 | ndash 3)Schnitt mit der x-Achse f (x0) = 0x01 = 3 x02 = ndash 1P1 (3 | 0) P2 (ndash 1 | 0)

Lokale Extrempunkte1 Schritt aus f rsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 1 Ableitung sind

hinreichend fuumlr die Existenz einer lokalen Extremstelle 3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6Mit Loumlsungsformel x1 = ndash 2 x2 = 4 f rsquorsquo (ndash 2) = ndash 18 ne 0 f rsquorsquo (4) = 18 ne 0 H (ndash 2 | 31) T (4 | ndash 77)

Wendepunkte1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 2 Ableitung

sind hinreichend fuumlr die Existenz einer Wendestelle3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6 = 0 f rsquorsquorsquo (x) = 6x0 = 1 f rsquorsquorsquo (1) = 6 ne 0f (1) = ndash 23 W (1 | ndash 23)

SattelpunkteSpezieller Wendepunkt bei dem f keinen Monotoniewechsel hat1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 moumlgliche Wendestellen ermitteln2 Schritt Gilt bei x0 auch f rsquo (x0) = 0 und ist x0 Nullstelle von f rsquo

ohne Vorzeichenwechsel so ist 2 x0 | f (x0) 3 Sattelpunkt

Beispiel f (x) = x4 ndash 2 x3 + 1Aus f rsquorsquo (x0) = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 1 An der Stelle x0 = 0 hat f einen Sattel-punkt weil f rsquo (0) = 0 und f rsquo (x) = 4 x3 ndash 6 x2

= 2 x2 middot (2 x ndash 3) bei 0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat

Funktionenscharen

Der Graph welcher der Funktionen f t geht durch P1 Schritt Koordinaten von P fuumlr x und ft (x) einsetzen2 Schritt Variable t aus dieser Gleichung berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t geht ft mit ft (x) = t middot (x ndash x2) durch P (ndash 1 | ndash 4) Aus ndash 4 = t middot (ndash 1 ndash (ndash 1)2) folgt t = 2

Fuumlr welche der Funktionen f t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden g1 Schritt Koordinaten von T (x0 | y0) in Abhaumlngigkeit von t ermitteln2 Schritt x0 und y0 fuumlr x und y in die Geradengleichung einsetzen 3 Schritt aus dieser Gleichung die einzige Variable t berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt T (2 t | t2 + 1) auf der Geraden y = xx0 = 2 t und y0 = t2 + 1 in die Geradengleichung einsetzen t2 + 1 = 2 t d h t2 ndash 2 t + 1 = 0 hat die einzige Loumlsung t = 1

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Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g1 Schritt Steigung m der Geraden in m = f rsquo (x0) einsetzen 2 Schritt aus dieser Gleichung den Parameter berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x

2 ndash 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 xDie Gerade hat die Steigung 1 _ 2 ft rsquo (x) = 2 _ t x ndash 2

Also muss ft rsquo (4) = 1 _ 2 sein ft rsquo (4) = 2 _ t middot 4 ndash 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5

Ortslinie einer FunktionsscharGesucht ist die Funktion auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen (vgl nebenstehende Grafik)1 Schritt die Koordinaten von Extrempunkt bzw Wendepunkt in

Abhaumlngigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2 Schritt x (t) nach t aufloumlsen und in y (t) einsetzenBeispiel Ortslinie von T (2 t | 9 ndash t2)x (t) = 2 t y (t) = 9 ndash t2 t = x _ 2 in y (t) einsetzen

y = 9 ndash 1 _ 4 x2

Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum von f t am groumlszligten1 Schritt Ortslinie des Tiefpunktes berechnen2 Schritt Maximumstelle der Ortslinie x0 berechnen 3 Schritt aus x0 = x (t) den Wert fuumlr t berechnen

Beispiel Der Tiefpunkt einer Funktions-schar liegt bei (t | 4 ndash t2) Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum am groumlszligtenOrtslinie y = 4 ndash x2 y rsquo = ndash 2 x = 0 yen x0 = 0 = t Minimum fuumlr t = 0

Fuumlr welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten1 Schritt Berechnen der beiden Wendestellen2 Schritt Berechnen der Steigung an diesen Stellen3 Schritt Ansatz fuumlr zueinander senkrechte Geraden m1 = ndash 1

_ m 2

Beispiel Fuumlr welchen Wert von t gt 0 hat ft (x) = t x4 ndash 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangentenftrsquo (x) = 4 t x3 ndash 12 t x ft rsquorsquo (x) = 12 t x2 ndash 12 t = 0 x1 = ndash 1 x2 = 1

m1 = ftrsquo (ndash 1) = 8 t m2 = ndash 8 t Ansatz 8 t = ndash 1 _ ndash 8 t yen t = 1 _ 8 (t gt 0)

Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam1 Schritt fuumlr t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-

wenden2 Schritt fuumlr r ne s die Schnittstellen errechnen3 Schritt y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angebenBeispiel ft (x) = x3 + t x2 + (8 t ndash 1) xAnsatz fr (x) = fs (x) also x3 + r x2 + (8 r ndash 1) x = x3 + s x2 + (8 s ndash 1) xx1 = 0 Restgleichung r x + (8 r ndash 1) = s x + (8 s ndash 1) (r ndash s) middot x = ndash 8 middot (r ndash s) x2 = ndash 8gemeinsame Punkte P1 (0 | 0) und P2 (ndash 8 | ndash 504)

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Zwei Funktionen

Stelle x 0 mit gleicher Steigung der Graphen von f und gEs muss fuumlr diesen Wert x0 gelten dass die Steigung der beiden Graphen an dieser Stelle gleich groszlig ist 1 Schritt f rsquo (x0) = grsquo (x0) ansetzen2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 4 x2 g (x) = 1 _ x

Ansatz 8 x0 = ndash 1 _ x 0

2 mit der Loumlsung x0 = ndash 1 _ 2

Stelle x 0 mit zueinander senkrechten Tangenten

1 Schritt Ansatz f rsquo (x0) = ndash 1 _ g rsquo ( x 0 )

2 Schritt Gleichung nach x0 aufloumlsen

Beispiel f (x) = 2 x2 ndash x + 3 g (x) = ndash x2

Ansatz 4 x0 ndash 1 = 1 _ 2 x 0 mit den Loumlsungen x1 = 1 _ 2 und x2 = ndash 1 _ 4

Die Graphen von f und g beruumlhren sich bei x 0 (Es muss f rsquo (x0) = grsquo (x0) und f (x0) = g (x0) gelten)1 Schritt aus f rsquo (x0) = g rsquo (x0) Stellen x0 mit gleicher Steigung

ermitteln2 Schritt pruumlfen ob an den Stellen x0 die Gleichung f (x0) = g (x0)

fuumlr gleiche Funktionswerte erfuumlllt ist

Beispiel f (x) = 4 _ x 2

g (x) = 3 ndash 9 _ 16 x 2

f rsquo (x0) = g rsquo (x0) ndash 8 _ x 0

3 = ndash 9 _ 8 x0 x 0

4 = 64 _ 9 x0 = plusmn 9_

8 _ 3

f 2 plusmn 9_ 8 _ 3 3 = 4 middot 3 _ 8 = 3 _ 2 g 2 plusmn 9_

8 _ 3 3 = 3 ndash 9 _ 16 middot 8 _ 3 = 3 _ 2

Die Funktionen f und g beruumlhren sich an der Stellen ndash 9_ 8 _ 3 und 9_

8 _ 3

Schnittpunkt und -winkel der Graphen zweier Funktionen1 Schritt Schnittstelle xS mit f (xS) = g (xS) berechnen2 Schritt yS = f (xS) berechnen und Schnittpunkt S (xS | yS) angeben3 Schritt f rsquo (x) und g rsquo (x) berechnen m1 = f rsquo (xS) m2 = g rsquo (xS)

4 Schritt mit tan (δ) = | m 2 ndash m 1 __ 1 + m 1 middot m 2

| den Winkel berechnen

Beispiel f (x) = x2 g (x) = x2 ndash 4 x + 4Schnittstelle xS = 1 Schnittpunkt (1 | 1)

m1 = f rsquo (1) = 2 m2 = g rsquo (1) = ndash 2

tan δ= | ndash 2 ndash 2 __ 1 + 2 middot (ndash 2) | = 4 _ 3 δ = 5313deg

Analysis | Basisfertigkeiten

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Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion

Schnittpunkte mit den KoordinatenachsenSchnitt mit der y-Achse f (0) berechnen Schnittpunkt 2 0 | f (0) 3 Schnitt mit der x-Achse1 Schritt Ansatz f (x0) = 02 Schritt x0 ermittelnMethoden Aufloumlsen nach x0 Loumlsungsformel fuumlr quadratische Gleichungen Substitution Polynomdivision Darstellung als Nullprodukt um die Faktoren einzeln zu betrachten

Beispiel f (x) = (x ndash 3) middot (x2 +2 x + 1)Umformung f (x) = (x ndash 3) middot (x + 1)2

Schnitt mit der y-Achse f (0)= ndash 3 P0 (0 | ndash 3)Schnitt mit der x-Achse f (x0) = 0x01 = 3 x02 = ndash 1P1 (3 | 0) P2 (ndash 1 | 0)

Lokale Extrempunkte1 Schritt aus f rsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 1 Ableitung sind

hinreichend fuumlr die Existenz einer lokalen Extremstelle 3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6Mit Loumlsungsformel x1 = ndash 2 x2 = 4 f rsquorsquo (ndash 2) = ndash 18 ne 0 f rsquorsquo (4) = 18 ne 0 H (ndash 2 | 31) T (4 | ndash 77)

Wendepunkte1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 2 Ableitung

sind hinreichend fuumlr die Existenz einer Wendestelle3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6 = 0 f rsquorsquorsquo (x) = 6x0 = 1 f rsquorsquorsquo (1) = 6 ne 0f (1) = ndash 23 W (1 | ndash 23)

SattelpunkteSpezieller Wendepunkt bei dem f keinen Monotoniewechsel hat1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 moumlgliche Wendestellen ermitteln2 Schritt Gilt bei x0 auch f rsquo (x0) = 0 und ist x0 Nullstelle von f rsquo

ohne Vorzeichenwechsel so ist 2 x0 | f (x0) 3 Sattelpunkt

Beispiel f (x) = x4 ndash 2 x3 + 1Aus f rsquorsquo (x0) = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 1 An der Stelle x0 = 0 hat f einen Sattel-punkt weil f rsquo (0) = 0 und f rsquo (x) = 4 x3 ndash 6 x2

= 2 x2 middot (2 x ndash 3) bei 0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat

Funktionenscharen

Der Graph welcher der Funktionen f t geht durch P1 Schritt Koordinaten von P fuumlr x und ft (x) einsetzen2 Schritt Variable t aus dieser Gleichung berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t geht ft mit ft (x) = t middot (x ndash x2) durch P (ndash 1 | ndash 4) Aus ndash 4 = t middot (ndash 1 ndash (ndash 1)2) folgt t = 2

Fuumlr welche der Funktionen f t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden g1 Schritt Koordinaten von T (x0 | y0) in Abhaumlngigkeit von t ermitteln2 Schritt x0 und y0 fuumlr x und y in die Geradengleichung einsetzen 3 Schritt aus dieser Gleichung die einzige Variable t berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt T (2 t | t2 + 1) auf der Geraden y = xx0 = 2 t und y0 = t2 + 1 in die Geradengleichung einsetzen t2 + 1 = 2 t d h t2 ndash 2 t + 1 = 0 hat die einzige Loumlsung t = 1

Analysis | Basisfertigkeiten

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Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g1 Schritt Steigung m der Geraden in m = f rsquo (x0) einsetzen 2 Schritt aus dieser Gleichung den Parameter berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x

2 ndash 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 xDie Gerade hat die Steigung 1 _ 2 ft rsquo (x) = 2 _ t x ndash 2

Also muss ft rsquo (4) = 1 _ 2 sein ft rsquo (4) = 2 _ t middot 4 ndash 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5

Ortslinie einer FunktionsscharGesucht ist die Funktion auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen (vgl nebenstehende Grafik)1 Schritt die Koordinaten von Extrempunkt bzw Wendepunkt in

Abhaumlngigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2 Schritt x (t) nach t aufloumlsen und in y (t) einsetzenBeispiel Ortslinie von T (2 t | 9 ndash t2)x (t) = 2 t y (t) = 9 ndash t2 t = x _ 2 in y (t) einsetzen

y = 9 ndash 1 _ 4 x2

Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum von f t am groumlszligten1 Schritt Ortslinie des Tiefpunktes berechnen2 Schritt Maximumstelle der Ortslinie x0 berechnen 3 Schritt aus x0 = x (t) den Wert fuumlr t berechnen

Beispiel Der Tiefpunkt einer Funktions-schar liegt bei (t | 4 ndash t2) Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum am groumlszligtenOrtslinie y = 4 ndash x2 y rsquo = ndash 2 x = 0 yen x0 = 0 = t Minimum fuumlr t = 0

Fuumlr welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten1 Schritt Berechnen der beiden Wendestellen2 Schritt Berechnen der Steigung an diesen Stellen3 Schritt Ansatz fuumlr zueinander senkrechte Geraden m1 = ndash 1

_ m 2

Beispiel Fuumlr welchen Wert von t gt 0 hat ft (x) = t x4 ndash 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangentenftrsquo (x) = 4 t x3 ndash 12 t x ft rsquorsquo (x) = 12 t x2 ndash 12 t = 0 x1 = ndash 1 x2 = 1

m1 = ftrsquo (ndash 1) = 8 t m2 = ndash 8 t Ansatz 8 t = ndash 1 _ ndash 8 t yen t = 1 _ 8 (t gt 0)

Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam1 Schritt fuumlr t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-

wenden2 Schritt fuumlr r ne s die Schnittstellen errechnen3 Schritt y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angebenBeispiel ft (x) = x3 + t x2 + (8 t ndash 1) xAnsatz fr (x) = fs (x) also x3 + r x2 + (8 r ndash 1) x = x3 + s x2 + (8 s ndash 1) xx1 = 0 Restgleichung r x + (8 r ndash 1) = s x + (8 s ndash 1) (r ndash s) middot x = ndash 8 middot (r ndash s) x2 = ndash 8gemeinsame Punkte P1 (0 | 0) und P2 (ndash 8 | ndash 504)

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Charakteristische Punkte des Graphen einer Funktion

Schnittpunkte mit den KoordinatenachsenSchnitt mit der y-Achse f (0) berechnen Schnittpunkt 2 0 | f (0) 3 Schnitt mit der x-Achse1 Schritt Ansatz f (x0) = 02 Schritt x0 ermittelnMethoden Aufloumlsen nach x0 Loumlsungsformel fuumlr quadratische Gleichungen Substitution Polynomdivision Darstellung als Nullprodukt um die Faktoren einzeln zu betrachten

Beispiel f (x) = (x ndash 3) middot (x2 +2 x + 1)Umformung f (x) = (x ndash 3) middot (x + 1)2

Schnitt mit der y-Achse f (0)= ndash 3 P0 (0 | ndash 3)Schnitt mit der x-Achse f (x0) = 0x01 = 3 x02 = ndash 1P1 (3 | 0) P2 (ndash 1 | 0)

Lokale Extrempunkte1 Schritt aus f rsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 1 Ableitung sind

hinreichend fuumlr die Existenz einer lokalen Extremstelle 3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6Mit Loumlsungsformel x1 = ndash 2 x2 = 4 f rsquorsquo (ndash 2) = ndash 18 ne 0 f rsquorsquo (4) = 18 ne 0 H (ndash 2 | 31) T (4 | ndash 77)

Wendepunkte1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 als notwendiger Bedingung Stellen x0

ermitteln2 Schritt f rsquorsquorsquo (x0) ne 0 oder Vorzeichenwechsel der 2 Ableitung

sind hinreichend fuumlr die Existenz einer Wendestelle3 Schritt Funktionswert an der Stelle x0 berechnen und Punkt

angeben

Beispiel f (x) = x3 ndash 3 x2 ndash 24 x + 3f rsquo (x) = 3 x2 ndash 6 x ndash 24 f rsquorsquo (x) = 6 x ndash 6 = 0 f rsquorsquorsquo (x) = 6x0 = 1 f rsquorsquorsquo (1) = 6 ne 0f (1) = ndash 23 W (1 | ndash 23)

SattelpunkteSpezieller Wendepunkt bei dem f keinen Monotoniewechsel hat1 Schritt Aus f rsquorsquo (x0) = 0 moumlgliche Wendestellen ermitteln2 Schritt Gilt bei x0 auch f rsquo (x0) = 0 und ist x0 Nullstelle von f rsquo

ohne Vorzeichenwechsel so ist 2 x0 | f (x0) 3 Sattelpunkt

Beispiel f (x) = x4 ndash 2 x3 + 1Aus f rsquorsquo (x0) = 0 folgt x1 = 0 und x2 = 1 An der Stelle x0 = 0 hat f einen Sattel-punkt weil f rsquo (0) = 0 und f rsquo (x) = 4 x3 ndash 6 x2

= 2 x2 middot (2 x ndash 3) bei 0 eine Nullstelle ohne Vorzeichenwechsel hat

Funktionenscharen

Der Graph welcher der Funktionen f t geht durch P1 Schritt Koordinaten von P fuumlr x und ft (x) einsetzen2 Schritt Variable t aus dieser Gleichung berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t geht ft mit ft (x) = t middot (x ndash x2) durch P (ndash 1 | ndash 4) Aus ndash 4 = t middot (ndash 1 ndash (ndash 1)2) folgt t = 2

Fuumlr welche der Funktionen f t liegt der Tiefpunkt auf der Geraden g1 Schritt Koordinaten von T (x0 | y0) in Abhaumlngigkeit von t ermitteln2 Schritt x0 und y0 fuumlr x und y in die Geradengleichung einsetzen 3 Schritt aus dieser Gleichung die einzige Variable t berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t liegt der Tiefpunkt T (2 t | t2 + 1) auf der Geraden y = xx0 = 2 t und y0 = t2 + 1 in die Geradengleichung einsetzen t2 + 1 = 2 t d h t2 ndash 2 t + 1 = 0 hat die einzige Loumlsung t = 1

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Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g1 Schritt Steigung m der Geraden in m = f rsquo (x0) einsetzen 2 Schritt aus dieser Gleichung den Parameter berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x

2 ndash 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 xDie Gerade hat die Steigung 1 _ 2 ft rsquo (x) = 2 _ t x ndash 2

Also muss ft rsquo (4) = 1 _ 2 sein ft rsquo (4) = 2 _ t middot 4 ndash 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5

Ortslinie einer FunktionsscharGesucht ist die Funktion auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen (vgl nebenstehende Grafik)1 Schritt die Koordinaten von Extrempunkt bzw Wendepunkt in

Abhaumlngigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2 Schritt x (t) nach t aufloumlsen und in y (t) einsetzenBeispiel Ortslinie von T (2 t | 9 ndash t2)x (t) = 2 t y (t) = 9 ndash t2 t = x _ 2 in y (t) einsetzen

y = 9 ndash 1 _ 4 x2

Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum von f t am groumlszligten1 Schritt Ortslinie des Tiefpunktes berechnen2 Schritt Maximumstelle der Ortslinie x0 berechnen 3 Schritt aus x0 = x (t) den Wert fuumlr t berechnen

Beispiel Der Tiefpunkt einer Funktions-schar liegt bei (t | 4 ndash t2) Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum am groumlszligtenOrtslinie y = 4 ndash x2 y rsquo = ndash 2 x = 0 yen x0 = 0 = t Minimum fuumlr t = 0

Fuumlr welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten1 Schritt Berechnen der beiden Wendestellen2 Schritt Berechnen der Steigung an diesen Stellen3 Schritt Ansatz fuumlr zueinander senkrechte Geraden m1 = ndash 1

_ m 2

Beispiel Fuumlr welchen Wert von t gt 0 hat ft (x) = t x4 ndash 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangentenftrsquo (x) = 4 t x3 ndash 12 t x ft rsquorsquo (x) = 12 t x2 ndash 12 t = 0 x1 = ndash 1 x2 = 1

m1 = ftrsquo (ndash 1) = 8 t m2 = ndash 8 t Ansatz 8 t = ndash 1 _ ndash 8 t yen t = 1 _ 8 (t gt 0)

Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam1 Schritt fuumlr t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-

wenden2 Schritt fuumlr r ne s die Schnittstellen errechnen3 Schritt y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angebenBeispiel ft (x) = x3 + t x2 + (8 t ndash 1) xAnsatz fr (x) = fs (x) also x3 + r x2 + (8 r ndash 1) x = x3 + s x2 + (8 s ndash 1) xx1 = 0 Restgleichung r x + (8 r ndash 1) = s x + (8 s ndash 1) (r ndash s) middot x = ndash 8 middot (r ndash s) x2 = ndash 8gemeinsame Punkte P1 (0 | 0) und P2 (ndash 8 | ndash 504)

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Der Graph welcher der Funktionen f t hat an der Stelle x 0 die gleiche Steigung wie die Gerade g1 Schritt Steigung m der Geraden in m = f rsquo (x0) einsetzen 2 Schritt aus dieser Gleichung den Parameter berechnenBeispiel Fuumlr welchen Wert von t ist die Tangente an den Graphen der Funktion ft mit ft (x) = 1 _ t x

2 ndash 2 x + 2 im Punkt 2 4 | ft (4) 3 parallel zur Geraden y = 1 _ 2 xDie Gerade hat die Steigung 1 _ 2 ft rsquo (x) = 2 _ t x ndash 2

Also muss ft rsquo (4) = 1 _ 2 sein ft rsquo (4) = 2 _ t middot 4 ndash 2 = 1 _ 2 t = 16 _ 5

Ortslinie einer FunktionsscharGesucht ist die Funktion auf deren Graph alle Extrempunkte oder Wendepunkte liegen (vgl nebenstehende Grafik)1 Schritt die Koordinaten von Extrempunkt bzw Wendepunkt in

Abhaumlngigkeit von t berechnen 2 x (t) | y (t) 3 2 Schritt x (t) nach t aufloumlsen und in y (t) einsetzenBeispiel Ortslinie von T (2 t | 9 ndash t2)x (t) = 2 t y (t) = 9 ndash t2 t = x _ 2 in y (t) einsetzen

y = 9 ndash 1 _ 4 x2

Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum von f t am groumlszligten1 Schritt Ortslinie des Tiefpunktes berechnen2 Schritt Maximumstelle der Ortslinie x0 berechnen 3 Schritt aus x0 = x (t) den Wert fuumlr t berechnen

Beispiel Der Tiefpunkt einer Funktions-schar liegt bei (t | 4 ndash t2) Fuumlr welchen Wert von t ist das Minimum am groumlszligtenOrtslinie y = 4 ndash x2 y rsquo = ndash 2 x = 0 yen x0 = 0 = t Minimum fuumlr t = 0

Fuumlr welchen Wert von t hat der Graph von f t zwei zueinander orthogonale Wendetangenten1 Schritt Berechnen der beiden Wendestellen2 Schritt Berechnen der Steigung an diesen Stellen3 Schritt Ansatz fuumlr zueinander senkrechte Geraden m1 = ndash 1

_ m 2

Beispiel Fuumlr welchen Wert von t gt 0 hat ft (x) = t x4 ndash 6 t x2 zwei zueinander orthogonale Wendetangentenftrsquo (x) = 4 t x3 ndash 12 t x ft rsquorsquo (x) = 12 t x2 ndash 12 t = 0 x1 = ndash 1 x2 = 1

m1 = ftrsquo (ndash 1) = 8 t m2 = ndash 8 t Ansatz 8 t = ndash 1 _ ndash 8 t yen t = 1 _ 8 (t gt 0)

Welche Punkte haben die Graphen aller Funktionen f t gemeinsam1 Schritt fuumlr t die Parameter r und s im Ansatz fr (x) = fs (x) ver-

wenden2 Schritt fuumlr r ne s die Schnittstellen errechnen3 Schritt y-Werte errechnen und gemeinsame Punkte angebenBeispiel ft (x) = x3 + t x2 + (8 t ndash 1) xAnsatz fr (x) = fs (x) also x3 + r x2 + (8 r ndash 1) x = x3 + s x2 + (8 s ndash 1) xx1 = 0 Restgleichung r x + (8 r ndash 1) = s x + (8 s ndash 1) (r ndash s) middot x = ndash 8 middot (r ndash s) x2 = ndash 8gemeinsame Punkte P1 (0 | 0) und P2 (ndash 8 | ndash 504)

Analysis | Basisfertigkeiten

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

Analysis | Basisfertigkeiten

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

Analysis | Basisfertigkeiten

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Integrale berechnen

Berechnung von Integralen der Form a b

f (x) dx

1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Das Integral hat den Wert F (b) ndash F (a)

Beispiel

1 5

2 1 + 2 _ x 2

3 dx = 4 x ndash 2 _ x 5 1 5

= 2 5 ndash 2 _ 5 3 ndash 2 1 ndash 2 _ 1 3 = 56

Berechnung einer Integrationsgrenze bei gegebenem Integralwert1 Schritt Eine Stammfunktion F von f bestimmen2 Schritt Den Integralwert mit F (b) ndash F (a) gleichsetzen

Beispiel 2 b

20 _

x2 dx = 3 F (x) = ndash 20 _ x

F (b) ndash F (2) = ndash 20 _ b ndash 2 ndash 20

_ 2 3 = 5 ndash 20 _ b = 3

b = 10

Uneigentliche Integrale berechnen 1 Schritt Eine Grenze durch den Parameter z ersetzen 2 Schritt Integral in Abhaumlngigkeit von z berechnen 3 Schritt Fuumlr z eine Grenzbetrachtung durchfuumlhren

Beispiel 2 bull

2 20 _

x 2 3 dx

2 z

2 20 _

x 2 3 dx = 4 ndash 20

_ x 5 2 z

= ndash 20 _ z ndash (ndash 10) = 10 ndash 20

_ z 2 z

2 20 _

x 2 3 dx yen 10 fuumlr z yen bull

Flaumlchenberechnungen

Berechnung des Inhalts der vom Graphen von f und der x-Achse eingeschlossenen Flaumlche 1 Schritt Schnittstellen mit der x-Achse bestimmen 2 Schritt Zwischen benachbarten Schnittstellen integrieren

Liegt die Flaumlche unterhalb der x-Achse so ist der Betrag des Integrals zu nehmen

Beispiel f (x) = x3 ndash 8 x2 + 15 x x3 ndash 8 x2 + 15 x = 0 x middot (x2 ndash 8 x + 15) = 0 x1 = 0 x2 = 3 x3 = 5

0 3

(x3 ndash 8 x2 + 15 x) dx = 4 1 _ 4 x4 ndash 8 _ 3 x3 + 15 _ 2 x2 5

0

3

= 81 _ 4 ndash 72 + 135

_ 2 ndash 0 = 15 3 _ 4

Der Flaumlcheninhalt betraumlgt 15 3 _ 4 + 5 1 _ 3 = 21 1 _ 12

Berechnung des Inhalts der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Flaumlche1 Schritt Schnittstellen mit Hilfe des Ansatzes f (x) = g (x)

bestimmen2 Schritt A ist der Betrag des Integrals der Differenzfunktion f ndash g

zwischen den Schnittstellen (Bei mehr als zwei Schnitt-stellen ist A die Summe dieser Betraumlge zwischen benach-barten Schnittstellen)

Beispiel f (x) = ndash x + 7 g (x) = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x + 7 = ndash x2 + 6 x ndash 3 ndash x2 + 7 x ndash 10 = 0 x1 = 2 x2 = 5

2 5

(x2 ndash 7 x + 10) dx = 4 1 _ 3 x3 ndash 7 _ 2 x2 + 10 x 5 2

5

= 125 _ 3 ndash 175

_ 2 + 50 ndash 2 8 _ 3 ndash 28 _ 2 + 20 3

= ndash 45Der Flaumlcheninhalt betraumlgt + 45

Analysis | Basisfertigkeiten

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

Analysis | Basisfertigkeiten

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Rotationsvolumen

Volumen eines rotationssymmetrischen Koumlrpers berechnen Wenn die Flaumlche zwischen dem Graph von f und der x-Achse uumlber dem Intervall [ a b ] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-

symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen V = π a b

(f (x))2 dx

Beispiel Die Flaumlche zwischen dem Graphen der Funktion f mit f (x) = 9___

x ndash 1 und der x-Achse rotiert im Intervall [ 1 45 ] um die x-Achse

V = π middot 1 45

2 9___ x ndash 1 3 2 dx = π middot

1 45

(x ndash 1) dx = π middot 4 1 _ 2 x2 ndash x 5 1

45

= π middot 4 2 81 _ 8 ndash 45 3 ndash 2 1 _ 2 ndash 1 3 5 = 49

_ 8 π (asymp 1924)

Wenn die Flaumlche zwischen den Graphen von f und g uumlber dem Intervall [a b] um die x-Achse rotiert entsteht ein rotations-symmetrischer Koumlrper mit dem Volumen

V = π middot a b

2 f (x) 3 2 dx ndash π middot a b

2 g (x) 3 2 dx

Beispiel Rotiert die dargestellte Flaumlche um die x-Achse so entsteht ein Eier becher Fuumlr dessen Materialvolumen gilt (1 LE entspricht 1 cm)

V = π middot 0 5

(025 x + 1)2 dx ndash π middot 1 5

2 03 9___

x 2 ndash 1 3 2 dx asymp 3296

Das Materialvolumen des Eierbechers betraumlgt ca 33 cm3

Schneiden sich die Graphen der Funktionen f und g im Intervall [ a b ] ist die Summe der Inhalte der entsprechenden Teilkoumlrper zu berechnen

Rekonstruieren einer Groumlszlige

Integralfunktion I a zur unteren Grenze a bestimmen 1 Schritt Stammfunktion F von f bestimmen 2 Schritt Ia (x) = F (x) ndash F (a) berechnen Beispiel f (x) = 3 x2 ndash 4 x a = 3 Stammfunktion F (x) = x3 ndash 2 x2 Intergralfunktion I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash (27 ndash 18) I3 (x) = x3 ndash 2 x2 ndash 9

Gesamtaumlnderung einer Groumlszlige berechnen Ist f die Aumlnderungsrate einer Groumlszlige so ist F (b) ndash F (a) =

a b

f (x) dx die Gesamtaumlnderung der Groumlszlige F im Intervall [ a b ]Beispiel Geschwindigkeit eines Fahrzeugs v (t) = 06 t2 (v (t) in m _ s t in s)

Zuruumlckgelegte Strecke in m s (t) = 0 t

(06 x2) dx = [02 x3 ] 0 t = 02 t3

Analysis | Basisfertigkeiten

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Punkte und Vektoren

Einheitsvektor1 Schritt Betrag des Vektors berechnen2 Schritt den Vektor durch seinen Betrag dividieren

Beispiel

_

rsaquo a = 2 1

2

2 3 |

_ rsaquo a | = 9

______ 1 2 + 2 2 + 2 2 = 9_

9 = 3 __

rsaquo a 0 = 1 _ 3 middot 2 1

2

2 3

Mittelpunkt einer Strecke1 Schritt Ortsvektoren der Randpunkte erstellen

2 Schritt ___

rsaquo OM = 1 _ 2 2

__ rsaquo OB +

__ rsaquo OA 3

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3 | 6)

___

rsaquo OM = 1 _ 2 middot 2 2 1

ndash 3 6

3 + 2 3

5 2

3 3 = 2 2

1 4 3 M (2 | 1 | 4)

Teilung einer Strecke im Verhaumlltnis n m1 Schritt Geradengleichung aufstellen2 Schritt Parameter mit dem Wert n (m + n)

einsetzen3 Schritt Teilpunkt berechnen

Beispiel A (3 | 5 | 2) B (1 | ndash 3| 6) Verhaumlltnis 1 3

_

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3

__ rsaquo OT = 2 3

5

2 3 + 1 _ 4 middot 2 ndash 2

ndash 8 4 3 = 2 25

3 3

3 T (25 | 3 | 3)

Spurpunkte einer Ebene1 Schritt Koordinatengleichung der Ebene angeben2 Schritt Schnitt mit der x1-Achse x2 = 0 und x3 = 03 Schritt analoge Punkte auf den beiden anderen

Achsen berechnen

Beispiel

E 4 _ rsaquo x ndash 2 3

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 2 2

3 = 0 x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 5

x1 = 5 x2 = ndash 5 _ 2 x3 = 5 _ 2 also (5 | 0 | 0) 2 0 | ndash 5 _ 2 | 0 3 2 0 | 0 | 5 _ 2 3 Spurpunkte einer Geraden1 Schritt

_ rsaquo x in der Geradengleichung nacheinander

mit 2 x 1

x 2

0 3 2 x 1

0 x 3

3 2 0

x 2 x 3

3 ersetzen

2 Schritt jeweils den Parameterwert berechnen3 Schritt Spurpunkte angeben

Beispiel Spurpunkt von

_ rsaquo x = 2 1

3 ndash 2

3 + t middot 2 8

0 4 3 in der x2 x3-Ebene

2 0

x 2

x 3

3 = 2 1

3

ndash 2 3 + t middot 2 8

0

4 3

0 = 1 + 8 t t = ndash 1 _ 8

x 2 = 3

x 3 = ndash 2 + 4 t x 3 = ndash 2 ndash 4 _ 8 = ndash 25 S x 2 x 3 (0 | 3 | ndash 25)

Schnittpunkt von Gerade und Ebene1 Schritt allgemeinen Geradenpunkt in die

Koordinatenform der Ebenengleichung einsetzen

2 Schritt Parameterwert berechnen3 Schritt Parameterwert in den allgemeinen

Geradenpunkt einsetzen

Beispiel E x1 ndash 2 x2 + 2 x3 = 7 g

_ rsaquo x = 2 3

5

2 3 + t middot 2 ndash 2

8 4 3

Gt (3 ndash 2 t | 5 + 8 t | 2 + 4 t)(3 ndash 2 t) ndash 2 middot (5 + 8 t) + 2 middot (2 + 4 t) = 7 ndash 3 ndash 10 t = 7t = ndash 1 S (5 | ndash 3 | ndash 2)

Berechnung des Lotfuszligpunktes von P auf der Ebene E1 Schritt eine Gerade g durch P senkrecht zu E

bestimmen (Richtungsvektor von g ist Normalen vektor von E)

2 Schritt Schnittpunkt von g mit E ist der Fuszligpunkt

Beispiel E 2 x1 + 3 x2 ndash 5 x3 = 77 P (4 | 1 | 2)

_

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 2

3 ndash 5

3 2 middot (4 + 2 t) + 3 middot (1 + 3 t) ndash 5 middot (2 ndash 5 t) = 77t = 2 F (8 | 7 | ndash 8)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Lagebeziehungen

Liegt der Punkt P auf der Geraden g1 Schritt den Ortsvektor von P fuumlr

_ rsaquo x in g einsetzen

2 Schritt pruumlfen ob es genau eine Loumlsung fuumlr den Wert der bzw des Parameters gibt

Beispiel _

rsaquo x = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 P (1 | ndash 3 | 6)

2 1

ndash 3

6 3 = 2 3

5

2 3 + λ middot 2 ndash 2

8 4 3 λ = 1

λ = ndash 1 λ = 1

P liegt nicht auf g

Liegt der Punkt P in der Ebene E1 Schritt Koordinatengleichung von E angeben2 Schritt die Koordinaten von P fuumlr x1 x2 und x3

einsetzen und pruumlfen ob eine wahre Aussage entsteht

Beispiel E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12 P (2 | 1 | 2)3 middot 2 + 4 middot 1 + 1 middot 2 = 12Der Punkt P liegt in der Ebene E

Spurgerade in einer Koordinatenebene ermitteln1 Schritt Spurpunkte in dieser Koordinatenebene

ermitteln2 Schritt Geradengleichung aus diesen beiden

Punkten aufstellen

Beispiel Spurgerade in der x1 x3-Ebene von E mit E 3 x1 + 4 x2 + x3 = 12Spurpunkte (4 | 0 | 0) und (0 | 0 | 12)

Spurgerade _

rsaquo x = 2 4

0

0 3 + λ middot 2 4

0 ndash 12

3 Schnittgerade zweier Ebenen ermitteln1 Schritt Normalenvektoren auf Parallelitaumlt uumlber-

pruumlfen (Wenn __

rsaquo n 1 = λ middot

__ rsaquo n 2 dann gibt es

keine Schnittgerade)2 Schritt Koordinatengleichungen der Ebenen E1

und E2 als Gleichungssystem behandeln und willkuumlrlich eine Variable als Parameter verwenden

3 Schritt Loumlsung des Gleichungssystems ist ein allgemeiner Geradenpunkt der sich als Geradengleichung schreiben laumlsst

Beispiel E1 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 E2 x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17

LGS I 3 x1 ndash 5 x2 + 2 x3 = ndash 5 II x1 + 3 x2 + 10 x3 = 17I ndash 3II ndash 14 x2 ndash 28 x3 = ndash 56Setze x3 = λ ndash 14 x2 = ndash 56 + 28 λ | (ndash 14) x2 = 4 ndash 2 λin Gleichung II einsetzen x1 + 3 (4 ndash 2 λ) + 10 λ = 17 x1 = 5 ndash 4 λallgemeiner Geradenpunkt

(5 ndash 4 λ | 4 ndash 2 λ | λ) als Vektor 2 5 ndash 4 λ

4 ndash 2 λ

λ 3

also Schnittgerade _

rsaquo x = 2 5

4

0 3 + λ middot 2 ndash 4

ndash 2 1 3

Winkelhalbierende Geraden zweier Geraden1 Schritt Schnittpunkt der Geraden ermitteln2 Schritt Richtungsvektoren der Geraden normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten Vek-

toren jeweils als Richtungsvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt verwenden

4 Schritt (Probe) pruumlfen ob beide Winkelhalbierende senkrecht zueinander sind

Beispiel

g1 _

rsaquo x = 2 1

0

3 3 + λ middot 2 2

1

2 3 g2

_ rsaquo x = 2 6

0

9 3 + μ middot 2 1

ndash 2 2

3 Schnittpunkt (5 | 2 | 7)

1 _ 3 2 2

1 2

3 + 1 _ 3 2 1

ndash 2

2 3 = 1 _ 3 2 3

ndash 1 4 3 bzw 1 _ 3 2 2

1

2 3 ndash 1 _ 3 2 1

ndash 2 2

3 = 1 _ 3 2 1

3 0 3

Winkelhalbierende Geraden

W1 _

rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ1 middot 2 3

ndash 1 4 3 und W2

_ rsaquo x = 2 5

2

7 3 + λ2 middot 2 1

3

0 3

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

Stochastik | Basisfertigkeiten

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Winkelhalbierende Ebene zweier Ebenen1 Schritt einen gemeinsamen Punkt der Ebenen

ermitteln 2 Schritt Normalenvektoren der Ebenen normieren3 Schritt Summe und Differenz der normierten

Vektoren jeweils als Normalenvektor und den Schnittpunkt als festen Punkt ver-wenden

Tipp Pruumlfen Sie ob beide Winkelhalbierende senk-recht zueinander sind Lassen sich die Richtungs-vektoren einfacher ausdruumlcken

Beispiel E1 3 x1 ndash x2 + 2 x3 = 6 E2 x1 + 3 x2 ndash 2 x3 = 2x2 = 0 verwenden 3 x1 + 2 x3 = 6 x1 ndash 2 x3 = 2Schnittpunkt (2 | 0 | 0)

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 + 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 4

2 0 3 bzw

1 _

9__ 14 2 3

ndash 1 2

3 ndash 1 _

9__ 14 2 1

3 ndash 2

3 = 1 _

9__ 14 2 2

ndash 4 4 3

Winkelhalbierende EbenenW1 4 x1 + 2 x2 = 9 und W2 2 x1 ndash 4 x2 + 4 x3 = 4

Spiegelung eines Punktes P an einem Punkt Q1 Schritt Berechnen des Vektors

__ rsaquo PQ

2 Schritt P rsquo aus ___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PQ ermitteln

Beispiel P (2 | 6 | ndash 4) Q (3 | 0 | 1)

__

rsaquo PQ = 2 1

ndash 6 5

3 ___

rsaquo OPrsquo = 2 2

6 ndash 4

3 + 2 middot 2 1

ndash 6

5 3 = 2 4

ndash 6 6

3 P rsquo (4 | ndash 6 | 6)

Spiegelung eines Punktes P an einer Ebene E1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 5 | ndash 8 | 3) E 2 x1 + 3 x2 ndash x3 = 5

g _

rsaquo x = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + λ middot 2 2

3

ndash 1 3

in E 2 (ndash 5 + 2 λ) + 3 (ndash 8 + 3 λ) ndash (3 ndash λ) = 5ndash 37 + 14 λ = 5 λ = 3 F (1 | 1 | 0)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 5

ndash 8 3

3 + 2 middot 2 6

9

ndash 3 3 = 2 7

10 ndash 3

3 P rsquo (7 | 10 | ndash 3)

Spiegelung eines Punktes an einer Geraden1 Schritt Ebene E durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt P rsquo aus

___ rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF ermitteln

Beispiel P (ndash 2 | 8 | 10)

g _

rsaquo x = 2 4

1

8 3 + λ middot 2 1

0

3 3

Ebene E x1 + 3 x3 = ndash 2 + 3 middot 10 = 28 also x1 + 3 x3 = 28g in E einsetzen (4 + λ) + 3 middot (8 + 3 λ) = 28 λ = 0 F (4 | 1 | 8)

___

rsaquo OP rsquo =

__ rsaquo OP + 2 middot

__ rsaquo PF = 2 ndash 2

8 10

3 + 2 middot 2 6

ndash 7

ndash 2 3 = 2 10

ndash 6 6

3 P rsquo (10 | ndash 6 | 6)

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Abstaumlnde

Abstand zweier Punkte P und Q1 Schritt Vektor

__ rsaquo PQ =

___ rsaquo OQ ndash

__ rsaquo OP bilden

2 Schritt Abstand als Betrag des Vektors __

rsaquo PQ

berechnen

Beispiel P (ndash 1 | 2 | 3) Q (4 | ndash 2 | 0)

__

rsaquo PQ = 2 5

ndash 4 ndash 3

3 | __

rsaquo PQ | = 9_________

5 2 + (ndash 4 ) 2 + (ndash 3 ) 2 = 9__ 50 = 5 middot 9_

2

Abstand Punkt ndash Gerade1 Schritt Ebene durch P senkrecht zu g bestimmen2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

Beispiel P (9 | 8 | 5) g _

rsaquo x = 2 1

0

1 3 + λ middot 2 4

1

3 3

E 4 x1 + x2 + 3 x3 = 59 4 (1 + 4 λ) + λ + 3 (1 + 3 λ) = 59 26 λ = 52 λ = 2 F (9 | 2 | 7) |

__ rsaquo PF | = 9__

40

Abstand Punkt ndash Ebene1 Schritt Gerade durch P senkrecht zu E ist g2 Schritt Schnittpunkt von g und E ist F3 Schritt Abstand ist |

__ rsaquo PF |

oder1 Schritt Ebene in Hessersquoscher Normalenform

angeben2 Schritt Koordinaten von P in die Abstandsformel

(aus der Formelsammlung) einsetzen

Beispiel P (3 | ndash 3 | 6) E 2 x1 ndash 5 x2 + 3 x3 = 1

g _

rsaquo x = 2 3

ndash 3 6

3 + λ middot 2 2

ndash 5

3 3

2 (3 + 2 λ) ndash 5 (ndash 3 ndash 5 λ) + 3 (6 + 3 λ) = 138 λ = ndash 38 λ = ndash 1 F (1 | 2 | 3) |

__ rsaquo PF | = 9__

38 oder

E 1 _

9__ 38 4 _

rsaquo x ndash 2 ndash 1

0 1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 0

d = 1 _

9__ 38 4 2 3

ndash 3 6

3 ndash 2 ndash 1

0

1 3 5 middot 2 2

ndash 5 3

3 = 1 _

9__ 38 2 4

ndash 3 5

3 middot 2 2

ndash 5

3 3 = 38

_ 9__

38 = 9__

38

Abstand windschiefer Geraden1 Schritt einen zu den beiden Richtungs vektoren

senkrechten Vektor als Normalen vektor der Hilfsebene E ermitteln

2 Schritt festen Punkt von g1 als festen Punkt von E verwenden

3 Schritt Abstand des festen Punktes von g2 und der Ebene E ermitteln (Formel aus der Formelsammlung)

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 4

1

2 3 + t middot 2 1

1

0 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

0

2 3 + s middot 2 0

1

1 3

2 1 1

0 3 times 2 0

1

1 3 = 2 1

ndash 1 1 3 E 1 _

9_ 3 4 _

rsaquo x ndash 2 4

1

2 3 5 middot 2 1

ndash 1 1 3 = 0

d = | 1 _ 9_

3 4 2 1

0 2

3 ndash 2 4

1 2

3 5 middot 2 1

ndash 1

1 3 | = | 1 _

9_ 3 2 ndash 3

ndash 1 0 3 middot 2 1

ndash 1 1 3 | = 2 _

9_ 3

Abstand paralleler Geraden 1 Schritt Ebene E senk-

recht zu den Geraden durch den festen Punktes P der Geraden g2

2 Schritt Durchstoszlig-punkt F der Geraden g1 mit der Ebene ermitteln

3 Schritt Abstand | __

rsaquo PF | berechnen

Beispiel g1 _

rsaquo x = 2 5

11 1 3 + λ1 middot 2 4

1

3 3 g2

_ rsaquo x = 2 1

1

1 3 + λ2 middot 2 8

2

6 3

Ebene durch (1 | 1 | 1) senkrecht zu g14 x1 + x2 + 3 x3 = 8 4 (5 + 4 λ1) + (11 + λ1) + 3 (1 + 3 λ1) = 826 λ1 = ndash 26 λ1 = ndash 1 F (1 | 10 | ndash 2)

d = | __

rsaquo PF | = 9__

90

Analytische Geometrie | Basisfertigkeiten

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

Stochastik | Basisfertigkeiten

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Analysieren gegebener Aufgaben

Schluumlsselbegriffe erkennen Beispiel Loumlsungsansaumltze

Aussagenverknuumlpfung mit bdquoundldquo hellip beim 1 Wurf eine 6 und beim 2 Wurf eine 1 hellip

A und B P (A) middot P (B)(wenn sich A und B nicht gegenseitig

beeinflussen)

Aussagenverknuumlpfung mit bdquooderldquo hellip beim Wuumlrfeln eine 6 oder eine ungerade Zahl hellip

A oder B P (A) + P (B)(wenn kein Ergebnis fuumlr A und fuumlr B gilt)

Anzahl der Moumlglichkeiten hellip dreimal nacheinander eine 6 Urnenmodell Baumdiagramm

Anzahl als Zufallsgroumlszlige mit bdquogenauldquo bdquomindestensldquo bdquohoumlchstensldquo bdquoweniger alshellipldquo

hellip genau zwei Teile sind defekt hellip hellip von 10 Teilen der Stichprobe sind mindestens 6 brauchbar hellip

Binomialverteilung

bdquohellip wird durchschnittlich erwartetldquo bdquoErwartungswertrdquo

Wie viele gerade Ergebnisse sind bei 100 mal Wuumlrfeln zu erwarten

Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr Binomialverteilung E (X) = n middot p

bdquoFaires Spielldquo Wie hoch muss der Einsatz sein damit das Spiel fair ist

Wahrscheinlichkeitsverteilung mit E (X) = 0

bdquogetestetldquo bdquoAblehnungsbereichldquo bdquoIrrtumswahrscheinlichkeitldquo bdquoHypotheseldquo bdquoEntscheidungsregelldquo

hellip ab welchem Ergebnis der Stich-probe muss man die Hypothese ablehnen

Hypothesentest

Systematisierung der Faumllle zum Urnenmodell und Ermittlung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Entscheidung fuumlr ein ModellAnzahl der MoumlglichkeitenUrnenmodell

Zu klaumlren Wofuumlr stehen die Kugeln in der UrneSind die Kugeln in der Urne alle unterschiedlichZieht man mit einem Griff (also ohne Beachtung der Reihenfolge) oder zieht man nacheinander mit oder ohne Zuruumlcklegen

Mehrstufiges Experiment BaumdiagrammUrnenmodellBernoullikette (Binomialverteilung)

wenn der Baum noch sinnvoll zu zeichnen ist wenn es nur um die Anzahl der Erfolge geht wenn nur die Anzahl von Erfolgen gezaumlhlt wird und jede Stufe die gleiche Wahrscheinlichkeit hat

Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in Laplace-Experimenten

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse ohne Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche Wahr-

scheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln genau k Kugeln zu ziehen

4 Schritt Berechnung der Anzahl der guumlnstigen Moumlglichkeiten k Kugeln zu ziehen

5 Schritt Quotient aus dem Ergebnissen des 4 Schritts und des 3 Schritts bilden

Beispiel Ein Skatspieler erhaumllt nacheinander drei Karten Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es nur HerzkartenUrnenmodell ohne Zuruumlcklegen weil alle Karten unterschiedlich sindAlle Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 32 Kugeln

2 32 3

3 = 32 middot 31 middot 30 __ 1 middot 2 middot 3 = 4960

Guumlnstige Moumlglichkeiten Ziehen mit einem Griff von drei Kugeln aus einer Urne mit 8 Kugeln

2 8 3

3 = 8 middot 7 middot 6 __ 1 middot 2 middot 3 = 56 P (A) = 56

_ 4960 asymp 00113

Wahrscheinlichkeiten fuumlr Ereignisse mit Beachtung der Reihenfolge1 Schritt pruumlfen ob jedes Ereignis die gleiche

Wahrscheinlichkeit besitzt2 Schritt pruumlfen ob die gezogene Kugel zuruumlck-

gelegt werden muss3 Schritt Berechnung der Anzahl aller Moumlglichkeiten

von n unterschiedlichen Kugeln nachein-ander genau k Kugeln mit Beachtung der Reihenfolge zu ziehen

4 Schritt Wahrscheinlichkeit fuumlr genau eine guumlnstige Anordnung angeben

BeispielAus einer Urne mit einer roten und einer schwarzen Kugel sollen nacheinander 4 Kugeln gezogen werden Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind nur die ersten drei Kugeln rot (Die Aufgabenstellung macht ein Zuruumlcklegen erforderlich)Anzahl der Moumlglichkeiten 24 = 16Guumlnstig ist nur eine Moumlglichkeit P (A) = 1 _ 16

Alternative Betrachtet man gleich die Wahrschein-

lichkeiten so ist P (A) = 2 1 _ 2 3 4 = 1 _ 16

Wahrscheinlichkeit fuumlr eine bestimmte Anzahl einer Zufallsgroumlszlige

Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Einzelwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken4 Schritt Einzelwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird fuumlnfmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass genau drei-mal eine Zahl groumlszliger 4 faumllltX Anzahl der geworfenen 5 oder 6X ist binomialverteilt weil jedes Ergebnis der n = 5 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 3 gilt P (X = 3) = B5 13 (3) asymp 01646

Stochastik | Basisfertigkeiten

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

Stochastik | Basisfertigkeiten

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Binomialverteilte Zufallsgroumlszligen ndash Intervallwahrscheinlichkeit1 Schritt pruumlfen ob Binomialverteilung vorliegt2 Schritt bdquoTrefferldquo geeignet definieren Parameter n

und p der Binomialverteilung festlegen3 Schritt die gesuchte Wahrscheinlichkeit in mathe-

matischer Schreibweise ausdruumlcken3 Schritt Intervallwahrscheinlichkeit angeben (GTR)

Beispiel Ein idealer Wuumlrfel wird zehnmal geworfen Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dass mindestens drei Sechsen geworfen werdenX Anzahl der geworfenen SechsenX ist binomialverteilt weil fuumlr jedes Ergebnis der n = 10 Bernoulli-Experimente die gleiche Wahrscheinlichkeit p = 1 _ 6 gilt P (X ordm 3) = 1 ndash P (X ordf 2) = 1 ndash F10 16 (2) asymp 02248

Wahrscheinlichkeiten mit Baumdiagramm und Urnenmodell1 Schritt Wahrscheinlichkeiten fuumlr Erfolg und Miss-

erfolg in den einzelnen Stufen des Baum-diagramms festlegen

2 Schritt Anzahl der Pfade mit der gewuumlnschten Anzahl von Erfolgen mit dem Urnenmodell berechnen

3 Schritt Wahrscheinlichkeit laumlngs eines Pfades als Multiplikation der Einzelwahrscheinlich-keiten mit der Anzahl der Pfade multiplizieren

Beispiel In einer Urne sind 4 weiszlige und 3 rote Kugeln Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit bei fuumlnfmaligem Ziehen mit Zuruumlcklegen genau 2 rote Kugeln zu ziehenP (Ziehen einer roten Kugel) = 3 _ 7

P (Ziehen einer weiszligen Kugel) = 4 _ 7

Anzahl der Pfade mit genau 2 roten Kugeln 2 5 2

3 = 10

P (genau 2 rote Kugeln) = 10 middot 2 3 _ 7 3 2 middot 2 4 _ 7 3 3 = 5760 _ 16 807

asymp 03427

Wahrscheinlichkeitsverteilung und Erwartungswert1 Schritt alle moumlglichen Ergebnisse in eine Tabelle

schreiben2 Schritt jedem Ergebnis seine Wahrscheinlichkeit

zuordnen3 Schritt pruumlfen ob die Summe dieser Wahrschein-

lichkeiten den Wert 1 hat4 Schritt der Erwartungswert E (X) ist die Summe

der Produkte aus den Ergebnissen und ihren Wahrscheinlichkeiten

Beispiel Wie viel Einsen erhaumllt man durchschnittlich wenn man einen idealen Wuumlrfel fuumlnfmal wirftWahrscheinlichkeitsverteilung

xi 0 1 2 3 4 5

P (X = xi) 0132 0329 0329 0165 0041 0004

ErwartungswertE (X) = 0 middot 0132 + 1 middot 0329 + 2 middot 0329 + 3 middot 0165 + 4 middot 0041 + 5 middot 0004 = 1798 asymp 18Es sind also durchschnittlich 18 Einsen zu erwarten

Faires Spiel1 Schritt Wahrscheinlichkeitsverteilung fuumlr den

Gewinn des betrachteten Spielers und die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten aufstellen

2 Schritt Erwartungswert dieses Gewinns berechnen und dieses Ergebnis interpretieren

3 Schritt die Spielbedingungen so festlegen dass das Spiel fair ist also E (G) = 0 ist oder das gewuumlnschte Ergebnis zeigt

Beispiel e = 2hellip Spieleinsatz Betrachten des Gewinns von Spieler A

Auszahlung an A

0 euro 1euro 2 euro 3 euro 4 euro

Gewinn gi ndash 2 euro ndash 1 euro 0 euro 1 euro 2 euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = ndash 03 d h Spieler A verliert pro Spiel im Durch-schnitt 30 ctDamit das Spiel fair ist wird der Einsatz veraumlndert

Gewinn gi ndash e euro (1 ndash e) euro (2 ndash e) euro (3 ndash e) euro (4 ndash e) euro

P (G = gi) 02 02 04 01 01

E (X) = 0 = ndash 02 e + 02 (1 ndash e) + 04 (2 ndash e) + 01 (3 ndash e) + 01 (4 ndash e) = ndash e + 17 = 0 fairer Einsatz 170 euro

Stochastik | Basisfertigkeiten

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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1 Der Graph der Funktion f mit f (x) = ndash x 3 + 6 x 2 ndash 8 x + 4 besitzt einen Wendepunkt a) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente in dem Wendepunkt [T1] (5 BE) b) Die Tangente im Wendepunkt begrenzt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck Bestimmen Sie den Flaumlcheninhalt dieses Dreiecks

2 Gegeben sind die Funktion f mit f(x) = 9_ x (x ordm 0) sowie das Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (u | 0) C (u | f(u))

und D (0 | f(u)) (u ordm 0) Das Rechteck ABCD wird durch den Graphen der Funktion f in zwei Teilflaumlchen zerlegt (5 BE) a) Ermitteln Sie das Verhaumlltnis der Inhalte der beiden Teilflaumlchen fuumlr u = 4 b) Zeigen Sie dass das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen unabhaumlngig von u ist [T2]

3 Ein Basketballspieler trainiert Freiwuumlrfe Erfahrungsgemaumlszlig trifft er bei 90 seiner Wuumlrfe den Korb [T3] (5 BE) a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Wuumlrfen den Korb zweimal b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an sodass gilt

P (A) = 0 9 10 P (B) = 2 20 18

3 middot 0 9 18 middot 0 1 2

c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis C Bei zwei Freiwuumlrfen trifft der Spieler mindestens einmal den Korb [T4]

4 Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g _

rsaquo X = 2 0

2

1 3 + λ middot 2 ndash 4

4 2

3 (λ R) und E 2 x1 ndash 2 x2 ndash 1 x3 = 31 (5 BE)

a) Pruumlfen Sie ob der Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) auf der Geraden g liegt

b) Zeigen Sie dass die Gerade g orthogonal zur Ebene E ist [T5]

c) Bestimmen Sie den Punkt Q in der Ebene E der vom Punkt P (ndash 2 | 4 | 2) den kleinsten Abstand hat [T6]

[T1] Berechnen Sie zunaumlchst die Koordinaten des Wendepunktes W 2 x0 | f (x0) 3 sowie die Steigung des Graphen an dieser Stelle also f rsquo (x0) und anschlieszligend die Gleichung der Tangente t y = f rsquo (x0) middot (x ndash x0) + f (x0) [T2] Bestimmen Sie die Flaumlcheninhalte der beiden Teilflaumlchen in Abhaumlngigkeit von u und vereinfachen Sie das Verhaumlltnis der Teilflaumlchen [T3] Die Zufallsvariable bdquoAnzahl der Trefferldquo ist binomialverteilt mit p = 09 [T4] Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Gegenereignis

_  C [T5] Verglei-

chen Sie den Richtungsvektor der Geraden g mit dem Normalenvektor der Ebene E [T6] Berechnen Sie den Schnittpunkt des Lotes vom Punkt P auf die Ebene E Der Lotfuszligpunkt ist der gesuchte Punkt Q

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

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Abituraumlhnliche Aufgaben

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Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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1 Gegeben sind die Funktionen f mit f (x) = x 3 + 1 _ 2 x und g mit g (x) = x 2 ndash 2 x Zeigen Sie dass sich die beiden Graphen orthogonal schneiden und geben Sie die Koordinaten dieses Schnittpunktes an [T1] (5 BE)

2 Die vier Abbildungen zeigen die Graphen von Funktionen Einer dieser Funktionsgraphen gehoumlrt zur Funktion f mit f (x) = (3x ndash a) middot ex a gt 0 (5 BE) (1) (2)

(3) (4)

a) Begruumlnden Sie warum Abbildung (2) zur Funktion f gehoumlrt [T2] Bestimmen Sie den Wert von a [T3]

b) Von den drei anderen Abbildungen gehoumlrt eine zur Ableitungsfunktion f rsquo und eine zur Integralfunktion J

mit J (x) = 0 x

f (t) dt Ordnen Sie diesen beiden Funktionen die zugehoumlrigen Abbildungen zu und begruumlnden Sie

jeweils Ihre Entscheidung [T4]

[T1] Damit sich die beiden Graphen in einem Punkt orthogonal schneiden muss f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1 gelten [T2] Uumlberlegen Sie in welchem Bereich der Graph von f die y-Achse schneidet [T3] Zur Bestimmung von a lesen Sie die Koordi-naten eines charakteristischen Punktes des Graphen von f ab und setzen diese in die Funktionsgleichung ein [T4] Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Uumlberlegen Sie was dies fuumlr den Graphen von f rsquo bedeutet Uumlberlegen Sie an welchen Stellen die Integralfunktion J eine Nullstelle bzw eine Extremstelle hat

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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3 Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 04 (5 BE)

(1) (2)

(3) (4)

a) Welche der Abbildungen zeigt die Verteilung von X Begruumlnden Sie Ihre Antwort [T1]

b) Bestimmen Sie mithilfe der Abbildung naumlherungsweise P (4 ordf X lt 6) und P (X ne 5)

4 Gegeben sind eine Gerade g und eine Ebene E g ist nicht parallel zu E Die Gerade g wird an der Ebene E gespiegelt Beschreiben Sie ein Verfahren zur Bestimmung der Bildgeraden g rsquo [T2] (5 BE)

[T1] Uumlberlegen Sie welche Werte die Zufallsvariable X annehmen kann und welcher Wert die groumlszligte Eintrittswahrscheinlichkeit hat [T2] Um die Bildgerade g rsquo zu bestimmen benoumltigen Sie zwei Bildpunkte

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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1 Berechnen Sie den Inhalt der Flaumlche die von den Graphen der Funktionen f und g mit f (x) = ndash x2 + 2 und g (x) = x eingeschlossen wird [T1] (5 BE)

2 Die Abbildung zeigt den Graphen einer Stammfunktion F der Funktion f [T2] (5 BE)

a) Geben Sie einen Naumlherungswert fuumlr f (4) an

b) Bestimmen Sie das

Integral 1 4

f (x) dx

Untersuchen Sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit und begruumlnden Sie Ihre Antworten

c) f (x) lt 0 fuumlr ndash 6 lt x lt 0

d) f hat im Bereich 0 lt x lt 4 eine Extremstelle Geben Sie auch die Art der Extremstelle an

3 In einer Urne sind rote und blaue Kugeln die sich nur in der Farbe unterscheiden Nach dem Ziehen einer Kugel wird diese wieder zuruumlck in die Urne gelegt Die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ziehen einer roten Kugel sei p (5 BE) a) Geben Sie jeweils einen Term zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit der beiden Ereignisse A und B an A Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird genau dreimal eine rote Kugel gezogen B Beim fuumlnfmaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne wird mindestens eine blaue Kugel gezogen [T3] b) Die Wahrscheinlichkeit dass beim dreimaligen Ziehen einer Kugel aus der Urne dreimal eine rote Kugel gezogen wird ist 0216 Untersuchen Sie von welcher Farbe mehr Kugeln in der Urne sind [T4]

4 Gegeben sind die Punkte A (1 | 3 | 2) B (5 | 5 | ndash 2) und C (6 | 2 | 2) Berechnen Sie den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC [T5] (5 BE)

[T1] Bestimmen Sie die gemeinsamen Punkte der beiden Graphen dies sind die Integrationsgrenzen [T2] Es ist F rsquo (x) = f (x) [T3] Betrachten Sie das Gegenereignis Beim fuumlnfmaligen Ziehen aus der Urne wird keine blaue Kugel gezogen [T4] Nehmen Sie an von beiden Farben seien gleich viele Kugeln in der Urne Berechnen Sie fuumlr diese Annahme die Wahrscheinlichkeit fuumlr das Ereignis bdquobeim dreimaligen Ziehen werden drei rote Kugeln gezogenldquo und vergleichen Sie dieses Ergebnis mit der angege-benen Wahrscheinlichkeit [T5] Berechnen Sie den Betrag des Vektors

__ rsaquo AB dies ist die Laumlnge der Dreiecksgrundseite Fuumlr die

Bestimmung der Dreieckshoumlhe berechnen Sie den Abstand von Punkt C zur Geraden durch AB

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Abituraumlhnliche Aufgaben

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Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

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Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

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Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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copy Ernst Klett Verlag GmbH Stuttgart 2013 | wwwklettde | Alle Rechte vorbehalten

Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Abituraumlhnliche Aufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (1)

Seite 15

1 a) f (x) = ndash x3 + 6 x2 ndash 8 x + 4

f rsquo (x) = ndash 3 x2 + 12 x ndash 8

f rsquorsquo (x) = ndash 6 x + 12

notwendige Bedingung f rsquorsquo (x) = 0 ndash 6 x + 12 = 0 fuumlr x = 2

hinreichende Bedingung f rsquorsquo hat bei x = 2 einen Vorzeichenwechsel

f (2) = 4 W (2 | 4)

f rsquo (2) = 4 = mt

t y = 4 middot (x ndash 2) + 4 = 4 x ndash 4

b) gemeinsame Punkte mit den Koordinatenachsen S (1 | 0) und

T (0 | ndash 4)

Flaumlcheninhalt A = 1 _ 2 1 4 = 2

2 a) Rechteck ABCD mit A (0 | 0) B (4 | 0) C (4 | 2) und D (0 | 2)

ARechteck = 4 2 = 8

A1 = 0

4

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 4

= 2 _ 3 8 ndash 0 = 16 _ 3

A2 = 8 ndash 16 _ 3 = 8 _ 3

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 16 _ 3 8 _ 3 = 2 1

b) ARechteck = u 9_ u = u

3 _ 2

A1 = 0

u

9_ x dx = 4  2 _ 3 x

3 _ 2 5 0 u = 2 _ 3 u

3 _ 2 ndash 0 = 2 _ 3 u

3 _ 2

A2 = u 3 _ 2 ndash 2 _ 3 u

3 _ 2 = 1 _ 3 u

3 _ 2

Verhaumlltnis der Teilflaumlchen A1 A2 = 2 _ 3 u 3 _ 2 1 _ 3 u

3 _ 2 = 2 1

3 a) Wahrscheinlichkeit fuumlr zwei Treffer

P (2 Treffer) = 092 = 081

b) A Der Spieler wirft 10-mal und trifft jedes Mal den Korb

B Der Spieler wirft 20-mal auf den Korb und trifft dabei genau

18-mal den Korb enspc) Gegenereignis

_ C bei zwei Freiwuumlrfen erzielt der Spieler

keinen Treffer P (C) = 1 ndash P ( _

 C ) = 1 ndash 012 = 1 ndash 001 = 099

4 a) 2 ndash 2

4 2

3 = 2 0

2 1 3 + t middot 2 ndash 4

4 2

3 fuumlr t = 1 _ 2 P liegt auf g

b) 2 ndash 4

4 2

3 = r middot 2 2

ndash 2 ndash 1

3 fuumlr r = ndash 2

der Richtungsvektor von g ist parallel zum Normalenvektor

von E d h die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E

c) Da P auf g liegt und g orthogonal zu E verlaumluft ist Q der

Schnittpunkt von g mit E

g in E einsetzen 2 middot (ndash 4 t) ndash 2 middot (2 + 4 t) ndash 1 middot (1 + 2 t) = 31

ndash 18 t ndash 5 = 31 ndash 18 t = 36 t = ndash 2

einsetzen in g _

rsaquo q = 2 0

2

1 3 + (ndash 2) middot 2 ndash 4

4 2

3 = 2 8

ndash 6 ndash 3

3 Q (8 | ndash 6 | ndash 3)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 16

1 Folgende Bedingungen muumlssen erfuumlllt werden

f (x0) = g (x0) und f rsquo (x0) middot grsquo (x0) = ndash 1

x3 + 1 _ 2 x = x2 ndash 2 x

x3 ndash x2 + 5 _ 2 x = 0

x middot 2 x2 ndash x + 5 _ 2 3 = 0

Es ist x1 = 0 die einzige Loumlsung da x23 = 1 plusmn 9___ 1 ndash 10 __ 2 keine weitere

Loumlsung liefert d h fuumlr x = 0 ist die Bedingung f (x0) = g (x0)

erfuumllltensp

f rsquo (x) = 3 x2 + 1 _ 2 und f rsquo (0) = 1 _ 2

g rsquo (x) = 2 x ndash 2 und g rsquo (0) = ndash 2

Da fuumlr x = 0 auch die Bedingung f rsquo (x0) middot g rsquo (x0) = ndash 1 erfuumlllt ist

schneiden sich die beiden Graphen orthogonal enspf (0) = 0 Schnittpunkt S (0 | 0)

2 a) Fuumlr die Funktion f mit f (x) = (3 x ndash a) middot ex und a gt 0 gilt

f (x) rarr 0 fuumlr x rarr ndash bull und f (x) rarr bull fuumlr x rarr + bull

f (0) = ndash a middot e0 = ndash a lt 0

Nur der Funktionsgraph in Abbildung (2) zeigt diese Eigenschaften

Fuumlr den Schnittpunkt des Graphen von f mit der y-Achse gilt

S (0 | ndash 2)

Eingesetzt in die Funktionsgleichung folgt

f (0) = ndash a = ndash 2 und a = 2

b) Der Graph von f hat bei x asymp ndash 03 einen Tiefpunkt Somit muss

die Ableitungsfunktion f rsquo an dieser Stelle eine Nullstelle mit

Vorzeichenwechsel von ndash nach + haben Diese Eigenschaft zeigt

der Graph in Abbildung (4)

Die Integralfunktion J hat bei x = 0 eine Nullstelle da J (0) = 0

gilt Die Funktion f hat bei x asymp ndash 06 eine Nullstelle Folglich muss

jede Stammfunktion von f und damit auch die Integralfunktion J

an dieser Stelle eine Extremstelle haben Diese Eigenschafen

zeigt der Graph in Abbildung (1)

Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (2)

Seite 17

3 a) Die Zufallsvariable X kann nur ganzzahlige Werte

zwischen 0 und 10 annehmen und es ist E (X) = n middot p = 4 also

muss P (X = 4) maximal sein Nur Abbildung (3) zeigt die richtige

Verteilung der Zufallsvariablen X

b) P (4 ordf X lt 6) = P (X = 4) + (P (X = 5) asymp 025 + 020 = 045

P (X ne 5) = 1 ndash P (X = 5) asymp 1 ndash 02 = 08

4 g liegt nicht parallel zu E d h g schneidet E in einem Punkt S

P sei ein weiterer Punkt auf g Man stellt eine Hilfsgerade h auf

die den Ortsvektor von P als Stuumltzvektor und den Normalen-

vektor von E als Richtungsvektor enthaumllt h _

rsaquo x =

_ rsaquo p + r middot

_ rsaquo n

Die Gerade h schneidet die Ebene E fuumlr einen Parameterwert r0

Den Bildpunkt P rsquo von P erhaumllt man indem man in h den Wert

2 middot r0 einsetzt

__

rsaquo prsquo =

_ rsaquo p + 2 r0

_ rsaquo n

Die Bildgerade g rsquo ist die Gerade durch P rsquo und S

grsquo _

rsaquo X =

_ rsaquo p + t 2

_ rsaquo 3 ndash

__ rsaquo prsquo 3

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Stichwortverzeichnis

Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Abituraumlhnliche Aufgaben ndash Aufgaben ohne Hilfsmittel (3)

Seite 18

1 Berechnung der Schnittpunkte der beiden Graphen

f (x) = g (x) ndash x2 + 2 = x ndash x2 ndash x + 2 = 0 x1 = ndash 2 und x2 = 1

Berechnung des Inhalts der eingeschlossenen Flaumlche

A = ndash 2

1

2 f (x) ndash g (x) 3 dx = ndash 2

1

(ndash x 2 ndash x + 2) dx

= 4 ndash 1 _ 3 x 3 ndash 1 _ 2 x 2 + 2 x 5 ndash 2

1

= 2 ndash 1 _ 3 ndash 1 _ 2 + 2 3 ndash 2 8 _ 3 ndash 2 ndash 4 3 = 45

Der Inhalt der von den Graphen f und g eingeschlossenen

Flaumlche betraumlgt 45 Flaumlcheneinheiten

2 a) f (4) = F rsquo (4) asymp 04

b) 1

4

f (x) dx = F (4) ndash F (1) = 0 ndash (ndash 3) = 3

c) wahr F ist im Bereich ndash 5 lt x lt 0 streng monoton fallend also

ist f (x) lt 0 fuumlr ndash 5 lt x lt 0

d) wahr F besitzt im Bereich 0 lt x lt 4 eine Wendestelle

(naumlherungsweise bei x asymp 12) also hat f an dieser Stelle eine

Extremstelle

Der Graph von F zeigt hier den Uumlbergang von einer Links- in

eine Rechtskurve also hat f in diesem Bereich ein Maximum

3 a) P (A) = 2 5 3

3 p3 (1 ndash p)2

P (B) = 1 ndash P ( _

 B ) = 1 ndash (1 ndash p)5

b) Es 053 = 0125 lt 0216

Es sind mehr rote als blaue Kugeln in der Urne

4 [AB] ist die Grundseite des Dreiecks ABC

__

rsaquo AB = 2 4

2 ndash 4

3 | __

rsaquo AB | = | 2 4

2 ndash 4

3 | = 9________ 42 + 22 + (ndash 4)2 = 6

Die Gerade g verlaumluft durch die Punkte A und B

g _

rsaquo X = 2 1

3

2 3 + τ middot 2 4

2 ndash 4

3 Die Hilfsebene H ist senkrecht zur Gerade g und enthaumllt den

Punkt C

H 4 _ rsaquo X ndash 2 6

2

2 3 5 middot 2 4

2 ndash 4

3 = 0 bzw H 4 x1 + 2 x2 ndash 4 x3 = 20

Setzt man die Gleichung der Geraden g in die Ebenengleichung

von H ein erhaumllt man 4 middot (1 + 4 τ) + 2 middot (3 + 2 τ) ndash 4 middot (2 ndash 4 τ) = 20

Die Gleichung liefert τ = 05 und damit den Schnittpunkt F der

Hilfsebene H mit der Geraden g den Lotfuszligpunkt F (3 | 4 | 0)

[CF] ist die Houmlhe des Dreiecks ABC

__

rsaquo CF = 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | __

rsaquo CF | = | 2 ndash 3

2 ndash 2

3 | = 9__ 17

Damit folgt fuumlr den Flaumlcheninhalt des Dreiecks ABC

AΔ = 1 _ 2 middot | __

rsaquo AB | middot |

__ rsaquo CF | = 1 _ 2 middot 6 middot 9__

17 = 3 middot 9__ 17

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Abstaumlnde 11

Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

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Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

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Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

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Extrempunkte 4

Flaumlchen 6Funktionenscharen 4

Gleichung der Normalen 2Gleichung der Tangente 2

Integral 6

Lagebeziehung 9Laplace-Experimente 13

Monotonie 2

Normale 2

Ortskurve 5

Punkte 8

Rekonstruieren einer Grouml-szlige 7

Rotationsvolumen 7

Sattelpunkte 4Schnittpunkt und -winkel der

Graphen zweier Funkti-onen 3

Steigung von Funktions-graphen 2

Tangente 2

Vektoren 8

Wendepunkte 4

zueinander senkrechte Tan-genten 3

Zufallsgroumlszlige 13

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

Seiten zu Basisfertigkeiten zeigen die wichtigsten Schritte beim Loumlsen typischer Auf-gabenstellungen in den Abituraufgaben

Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle

Mit diesen Materialien aus dem Arbeitsheft Lambacher Schweizer Abitur- und Klausur-training koumlnnen Sie sich gezielt auf die laumlnderuumlbergreifenden gemeinsamen Aufgaben in der Abiturpruumlfung vorbereiten

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Abituraumlhnliche Aufgaben bereiten zielgenau auf die Anforderungen des laumlnderuumlbergrei-fenden Abiturs vor

Ausfuumlhrliche Loumlsungen zu den abituraumlhnlichen Aufgaben zeigen auch Zwischenschritte und erlauben eine Selbstkontrolle