Lineare Algebra I - mat.tuhh.de · Lineare Algebra I Prof. Dr. Wolfgang Mackens [email protected]...

Lineare Algebra I

Prof. Dr. Wolfgang [email protected]

Technische Universität Hamburg-Harburg

Wintersemester 2007/2008

TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 1 / 309

Inhaltsverzeichnis

1 GrundlagenKomplexe Zahlen C

2 VektorrechnungVektoren im 2- und 3-dim. AnschauungsraumAllgemeine Vektorräume

3 Lineare GleichungssystemeDefinition und BeispieleLösungsverhaltenDer Gaußsche Algorithmus

4 MatrizenDefinition und BeispieleLineare Abbildungen und MatrizenMatrizenproduktLineare Systeme und Inverse


Grundlagen

Inhaltsverzeichnis






Grundlagen Komplexe Zahlen C

Inhaltsverzeichnis







Einführung Seite 28

Lösung vonx2 + 1 = 0,pq-Formel liefertx1/2 = ±

√−1︸︷︷︸

verboten

;

x2 − 6 x + 11 = 0 ?

x1/2 = 3±√−2︸︷︷︸

verboten

Definition

Imaginäre Einheit i :=√−1

Dannx1/2 = ±i ;i2 = −1.

x1/2 = 3±√

2 · i

Allgemeinz = x + i y ; x , y ∈ R

Komplexe Zahl.



Seite 29

C : = {z = x + i y | x , y ∈ R}

Komplexe Addition & Multiplikation

Mit z1 : = x1 + i y1, z2 : = x2 + i y2

definiere

z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2)

z1 · z2 = (x1x2 − y1y2) + i(x1y2 + x2y1)

Aus reellen Rechenregeln unter Beachtung von i2 = −1 :

(x1+i y1)(x2+i y2) = x1x2+i x1y2+i y1x2+i2y1y2 = (x1x2−y1y2)+i(x1y2+y1x2).



Zahlenebene C Seite 30

z = a + ib

|z|

z = a− ib

|z|

b

−b

a

C



Seite 31

Bezeichnungen

Re(a + i b) = a Realteil

Im(a + i b) = b Imaginärteil

a + i b = a− i b konjugiert Komplexes

|a + i b| : =√

a2 + b2 Betrag ∈ R

z

z|z|

Im(z)

Re(z)

|z|

C

Konsequenzen

z + z = 2Re z

z − z = 2i Im z¯z = z

z · z = |z|2

z1 + z2 = z1 + z2

z1 · z2 = z1 · z2 (Nachrechnen!!!)TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 8 / 309


Seite 31

Division

z1

z2=

z1 · z2

z2 · z2=

z1 · z2

|z2|2

z1 · z2 = (x1 x2 + y1 y2) + i(y1 x2 − x1 y2)

Alsoz1

z2=

(x1 x2 + y1 y2

x22 + y2

2

)+ i

(y1 x2 − x1 y2

x22 + y2

2

)



Seite 31

Achtung:

C nicht ordenbar.

Aber:

|z1 · z2| = |z1| · |z2|

|z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|. z1 + z2

z1

z2



Geometrie komplexer Operationen Seite 31



1. Addition wie Vektoraddition in der Ebene Seite 31

C

b1

b2

a2 a1

z1

z2

z2

z1 + z2b1 + b2

a1 + a2

z1 + z2 = a1 + ib1 + a2 + ib2 = (a1 + a2) + i(b1 + b2)



2. Multiplikation und Division mitPolardarstellung komplexer Zahlen

Seite 32



Sinus und Cosinus am Einheitskreis Seite 32

x

y

r = 1

π

32π

π2

ϕ

sinϕ

cosϕ

sin2(ϕ) + cos2(ϕ) = 1

sin(0) = 0cos(0) = 1sin(π2 ) = 1cos(π2 ) = 0

sin(−ϕ) = − sin(ϕ)cos(−ϕ) = cos(ϕ)sin(ϕ+ π) = − sin(ϕ)cos(ϕ+ π) = − cos(ϕ)

Vollkreis hat 360◦

oder eine Bogenlänge von 2π

zu ϕ gehörige Bogenlänge



Seite 33

ϕπ2

π 32π

2π

1

-1

sin(ϕ)

cos(ϕ)

Additionstheoreme für sin und cos

sin(ϕ+ ψ) = sin(ϕ) cos(ψ) + sin(ψ) cos(ϕ)cos(ϕ+ ψ) = cos(ϕ) cos(ψ)− sin(ϕ) sin(ψ)



Seite 33

Geometrischer Beweis −→ Skript.

Analytischer Beweis −→ nächstes Semester.

Einfache Merkregel: kommt gleich.

Benötigt werden etwas später noch:

tan(ϕ) = sinϕcosϕ , nicht definiert bei ϕ = 2n+1

2 π,n ∈ N

cot(ϕ) = cosϕsinϕ , nicht definiert bei ϕ = nπ,n ∈ N.



Jetzt Polardarstellung von z ∈ C Seite 33

x

y

r = |z|

z

ϕ

r sinϕ

r cosϕ

z = r(cos(ϕ) + i sin(ϕ))

Kürze ab:

eiϕ := cos(ϕ) + i sin(ϕ)

Abkürzung gut?

JA:ei(ϕ+ψ) =cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ)= cosϕ cosψ − sinϕ sinψ +i(cosϕ sinψ + cosψ sinϕ)= (cosϕ+i sinϕ)(cosψ+i sinψ)= eiϕ eiψ

Dann

z = reiϕ



Seite 34

Eulers Formel

eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)

Ist ungeheuer praktisch!

Anwendungsbeispiel: Additionstheoreme vergessen?

Euler liefert:cos(ϕ+ ψ) + i sin(ϕ+ ψ) = ei(ϕ+ψ)

= eiϕ eiψ

= (cosϕ+ i sinϕ)(cosψ + i sinψ)= (cosϕ cosψ − sinϕ sinψ) + i(cosϕ sinψ + cosψ sinϕ)

Vergleiche Real- und Imaginärteile beider Seiten. Fertig!



x

y

r = |z|

z

ϕ

Im(z)

Re(z)

z = Re(z) + i Im(z)= r eiϕ, ϕ = arg z.arg z nur bis auf Vielfache von2π bestimmt.

Praktische Bestimmung von ϕaustanϕ = Im(z)

Re(z)(ϕ = arc tan

(Im(z)Re(z)

))



Aber Achtung!

ϕ

tanϕ

0−π2π2

3π2π ϕ2ϕ1



ϕ1

y1

x1

ϕ2

y2

x2

y1

x1=

y2

x2



Wozu der Aufstand? Seite 34

Antwort: Multiplikation und Division werden sehr einfach!(r1 ei ϕ1 )(r2 ei ϕ2 ) = r1 · r2︸︷︷︸

multipliziere Beträge

· ei(ϕ1+ϕ2)︸︷︷︸addiere Argumente.

(r1 ei ϕ1 )/

(r2 ei ϕ2 ) =(

r1r2

)ei (ϕ1−ϕ2).

Speziell (Formel von de Moivre)

(r ei ϕ)n = rn ei n ϕ

[r(cos φ+ i sinϕ)]n = rn(cos n φ+ i sin n ϕ)⇒ weitere Additionstheoreme



De Moivre rückwärts: Seite 45

Gesucht n-te Wurzel aus

z = r ei ϕ

Eine Antwortn√

z = r1/n ei ϕ/n

Aber auchn√

z = r1/n ei(ϕ/n+ 2πn ·k) k = 1, · · · ,n − 1

da n · 2πn · k = 2π · k

Allgemein:

n√

z = r1/n ei (ϕn + 2πn ·k), k = 0,1, · · · ,n − 1



Seite 36

ζ4

ζ0

ζ6

ζ2

ζ5 ζ7

ζ3 ζ1

Die 8 achten Wurzeln aus 1.Die 8 achten ““Einheitswurzeln““.



Sind Komplexe Zahlen wirklich?


Vektorrechnung

Inhaltsverzeichnis






Vektorrechnung Vektoren im 2- und 3-dim. Anschauungsraum

Inhaltsverzeichnis







Vektoren Seite 38

v

v

v



Seite 38

yx2

z

x3

x

x1

v

p

R3 :=

x1

x2x3

: x1, x2, x3 ∈ R



Seite 38

R2 :=

{(x1x2

): x1, x2 ∈ R

}∼= Vektoren der Ebene.

R3 :=

x1

x2x3

: x1, x2, x3 ∈ R

∼= Vektoren im Raum.



Seite 39

Addition von Vektoren:

a =

a1a2a3

,b =

b1b2b3

,a + b =

a1 + b1a2 + b2a3 + b3

Geometrisch: Aneinanderfügen der Vektorpfeile

x1

x2

b

a

ab

a + b



Seite 39

Multiplikation mit Skalaren (reellen Zahlen)

a · λ =

a1a2a3

· λ =

a1 · λa2 · λa3 · λ

3 · v

v



Seite 39

Zerlegen in vorgegebene Richtungen

a

v uµ · u

λ · v

a = λ v + µ u

In R2 jeder Vektor in Richtungen u, v , die nicht parallel sind.

In R3 in u, v ,w die nicht in einer Ebene liegen.



Zerlegung eines Vektors invorgegebene Richtungen:

Eines der häufigsten Probleme in derMathematik!

Thema des ganzen 1. Semesters!



Beispiel 2.1 (zeichnerische Lösung) Seite 40

K g

v1 v2

K 1

K 2



Beispiel (rechnerische Lösung) Seite 40

K 1 : = µ1 v1 K 2 : = µ2 v2 K g gegeben.

Ruhebedingung:K 1 + K 2 + K g = 0v1 µ1 + v2 µ2 = −K g

Komponentenweise:

v11 µ1 + v2

1 µ2 = −K g1

v12 µ1 + v2

2 µ2 = −K g2

Lineares Gleichungssystem:(v1

1 v21

v12 v2

2

)(µ1µ2

)= −

(K g

1K g

2

).

Trigonometrie nicht nötig!



x

y

µ2 · v2

µ1 · v1 µ3 · v3

E =

(E1E2

)

L1

L2 L3

L1

(10

)+ L2

(01

)+ µ1 v1 + µ2 v2 = 0



Vektoren

x1...

xn

mit n� 3 treten auf.

L1

(10

)+ L2

(01

)+ µ1 v1 + µ2 v2 = 0

E − µ1 v1 + µ3 v3 = 0

L3

(01

)− µ2 v2 − µ3 v3 = 0

⇔

0BBBBB@100000

1CCCCCA L1 +

0BBBBB@010000

1CCCCCA L2 +

0BBBBBB@v1

1v1

2−v1

1−v1

200

1CCCCCCAµ1 +

0BBBBBB@v2

1v2

200−v2

1−v2

2

1CCCCCCAµ2 +

0BBBBBB@

00v3

1v3

2−v3

1−v3

2

1CCCCCCAµ3 +

0BBBBB@000001

1CCCCCA L3 =

0BBBBB@00−E1−E2

00

1CCCCCA



Seite 41

Satz 2.3: Eigenschaften der Vektoroperationen

∀a,b, c ∈ R3 ∀ λ, µ ∈ R :

(i) a + b = b + a(ii) (a + b) + c = a + (b + c)

(iii) ∃! x : = b − a ∈ R3 mit a + x = b(iv) (λ · µ) · a = λ · (µ · a)

(v) λ(a + b) = λ · a + λ · b(vi) (λ+ µ)a = λ a + µ a(vii) 1 · a = a.

Aufgaben:

0 · a = Θ∃ : Θ ∈ R3 mit Aus Eigenschaften folgerbar.a + Θ = a ∀ a.



Seite 41

Frage: Wie gross sind K 1,K 2? K g

K 1

K 2

v1 v2



Seite 41Länge |a| eines Vektors a ?

ya2

z

a3

x

a1

|a|

|p|

|p|2 = a21 + a2

2

|a|2 = |p|2 + a23

|a|2 = |p|2 + a23 = a2

1 + a22 + a2

3

Betrag

|a| =√

a21 + a2

2 + a23



Seite 42

Satz 2.5: Eigenschaften der „Längenfunktion“ | · |

∀ a,b ∈ R3,∀ λ ∈ R,

|a| = 0⇔ a = 0

|λ a| = |λ| · |a|

|a + b| ≤ |a|+ |b| (Dreiecksungleichung)

ab

a + b



Seite 42

Folgerung aus der Dreiecksungleichung

Wie bei dem reellen Betrag zeigt man auch∣∣|u| − |v |∣∣ ≤ |u − v | (⇔ ±(|u| − |v |) ≤ |u − v |).

Hinweis: Stetigkeit des Betrags.



Skalar-Produkt = Inneres-Produkt= Punkt-Produkt

Seite 44

a

b

α

|b| · cosα

|a| · cosα

Skalar-Produkt

〈a,b〉 : = |a| · |b| · cosα

Das Skalarprodukt ist eine Zahl.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 44 / 309


〈a,b〉 = |a| · |b| · cosα

a

b

α

|a| · cosα = Länge der Projektion von a auf die Richtung von b|b| · cosα = Länge der Projektion von b auf die Richtung von a.



〈a,b〉 = |a| · |b| · cosα

Berechnungsformel für cosα:

cosα = 〈a,b〉|a|·|b|

Wenn 〈a,b〉 irgendwie anders berechnet werden kann, findet man einenAlgorithmus für cos(α).

Wir werden sehen:

Man kann 〈a,b〉 =3∑

i=1

ai bi .

Dafür ist etwas Arbeit nötig!



Achtung! In vielen Schulen a · b statt 〈a,b〉Das ist gefährlich!Was ist a · b · c?Antwort: QUATSCH!



Seite 44

Satz 2.6: Eigenschaften des Skalarproduktes

(i) 〈a,b〉 = 〈b,a〉 ∀ a,b

(ii) 〈a + b, c〉 = 〈a, c〉+ 〈b, c〉 ∀ a,b, c

(iii) 〈λ a,b〉 = λ 〈a,b〉 ∀ a,b ∈ R3, λ ∈ R

(iv) 〈a,a〉 = |a|2 > 0 ∀ a ∈ R3 \ {0}



Seite 45

Beweis: 〈a,b〉 = 〈b,a〉

(i)

b

a

α

2π − α

cos(2π − α) = cos(α)



Seite 45

Beweis: 〈a + b, c〉 = 〈a, c〉+ 〈b, c〉

(ii)

c

a

b

〈a,c〉|c|

〈b,c〉|c|

〈a+b,c〉|c|



Seite 45

Beweis: 〈λ a,b〉 = λ〈a,b〉

(iii)

b

a

−a π − α

α cos(π − α) = − cos(α)

(iv) klar.



Seite 45

Beweis von: 〈a,b〉 =∑n

i=1 ai bi

Mit e1 =

0@ 100

1A , e2 =

0@ 010

1A , e3 =

0@ 001

1A⇒ a =

0@ a1a2a3

1A = a1 e1 + a2 e2 + a3 e3

⇒ b =

0@ b1b2b3

1A = b1 e1 + b2 e2 + b3 e3

〈a, b〉 =DP3

i=1 ai ei ,P3

i=1 bj ej

E=P 3

i=1P 3

j=1 ai bj˙ei , ej

¸Wegen 〈ei , ej〉 =

1 i = j0 sonst

⇒ 〈a, b〉 =3X

i=1

ai bi| {z }Ist das nun nicht einfach?



Seite 46|〈a,b〉| =

∣∣|a| · |b| · cosα∣∣ ≤ ∣∣a∣∣ · ∣∣b∣∣

Also∣∣∣∑3i=1 ai bi

∣∣∣ ≤ (∑3i=1 a2

i

) 12 ·(∑3

i=1 b2i

) 12

Cauchy - Schwarzsche - Ungleichung CSU∣∣〈a,b〉∣∣ ≤ |a| · |b|Damit zeigt man die Dreiecksungleichung:

|a + b|2 = 〈a + b,a + b〉 = 〈a,a〉+ 2〈a,b〉+ 〈b,b〉≤ |a|2 + 2|a| · |b|+ |b|2

= (|a|+ |b|)2

⇒ |a + b| ≤ |a|+ |b|.



Anwendungen: Seite 47

1 Satz des Pythagoras→ Spezialfall von Cos-Satz2 Satz von Thales

d cb

aa

〈b, c〉 = 〈a + d ,−a + d〉= −〈a,a〉+ 〈a,d〉 − 〈d ,a〉+ 〈d ,d〉= −|a|2 + |d |2 = 0

3 Cosinus - Satz

b

c

aα |a|2 = 〈a,a〉 = 〈b − c,b − c〉

= |b|2 + |c|2 − 2|b| · |c| cosαTUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 54 / 309


a

b

|b| · cosα

α

〈a,b〉 = |a| · |b| · cosα

=〈a,b〉|a|

1

· a|a|



Folie zum Übers-Bett-Hängen

a

b

α

Projektion von b auf a-Richtung

=〈a,b〉|a| · |a|

· a =〈a,b〉〈a,a〉

· a



Kreuzprodukt Seite 47

A Kα

ω

(1) |A| = |ω| · |K | · sinα(2) A senkrecht zu K und ω.(3) K ω A Rechtssystem

Kreuzprodukt von K und ω

A = K × ω

ω

K

A



Interpretation von |K × ω| = |K | · |ω| · sinα Seite 48

ω K

ωK

K × ω

|ω| · sinααF

F

|K |

|K | · |ω| · sinα = F =Fläche des durch K und ω aufgespannten Parallelogrammes.



Allgemein also Seite 48

Seien a,b ∈ R3\{0} mit ∠(a,b) = α. Dann ist a× b ∈ R3 definiert durch

(i) |a× b| = |a| · |b| · | sinα|(ii) a× b⊥ a,b(iii) (a,b,a× b) Rechtssystem

Bei a oder b = 0Sei a× b = 0



Beispiel 2.9 (Sinus-Satz) Seite 48

c

b a

α β

|a| sinβ = |b| sinα

Beweis

|F | =12|b × c| =

12|b| |c| sinα

=12|a× c| =

12|a| · |c| · sinβ �



Achtung: Seite 49

Skalarprodukt ohne Schwierigkeiten auf Rn verallgemeinerbar.

Aber: Kreuzprodukt lebt nur in R3

Satz 2.10: Eigenschaften des Kreuzproduktes

∀ a,b, c ∈ R3 ∀ λ ∈ R(i) a× b = −b × a(ii) λ(a× b) = (λa)× b = a× (λb)

(iii) a× (b + c) = a× b + a× c(iv) |a× b|2 = |a|2|b|2 − 〈a,b〉2



Seite 49

Beweis.

(i) a× b

b

a=

−b × a

b

a

(ii) selber machen(iv)

|a× b|2 = |a|2 · |b|2 sin2 α = |a|2 · |b|2(1− cos2 α)

= |a|2 · |b|2 − |a|2|b|2 cos2 α︸︷︷︸〈a,b〉2



Seite 49

Beweis: a× (b + c) = a× b + a× c

(iii) 1.Fall a× (b + c), c = λa

b b + c

a

c

b b + c

c



Seite 50


(iii) 2. Fall |a| 6= 0 und a⊥b, a⊥c

c

b

a× c

a× b

a⊥ auf Zeichenebene (nach oben!)



Seite 50


(iii) 3. Fall a,b, c ∈ R3 beliebig.(Wird auf Fälle 1 und 2 zurückgeführt).Wir zeigen die Behauptung nur für |a| = 1.Denn, wenn für a = 1

|a| aa× (b + c) = a× b + a× c richtig,dann auch (nach (ii)) ...a× (b + c) = |a|a× (b + c) = |a|a× b + |a|a× c = a× b + a× c.



Seite 50

immer noch Beweis: a× (b + c) = a× b + a× c

Also o.B.d.A.: |a| = 1Setze dann

b = b − 〈a,b〉a ⊥ac = c − 〈a, c〉a ⊥a.

Danna× (b + c) = a× (b + 〈a,b〉a + c + 〈a, c〉a) = a× ((b + c) + (〈a,b〉+ 〈a, c〉)a︸︷︷︸

λa

)

mit Fall 1 = a× (b + c) + a× (λa)︸︷︷︸=0 nach (ii) , (i)

mit Fall 2 = a× b + a× c = a× (b − 〈a,b〉a) + a× (c − 〈a, c〉a)

mit Fall 1 = a× b + a× c. �



Berechnung von a× b ohne Winkel α Seite 50

e2

e3

e1

e1 =

100

e2 =

010

e3 =

001

e1 × e2 = e3e2 × e3 = e1e3 × e1 = e2

Einsetzen von a =∑

aiei b =∑

bjejin a× b liefert:



Seite 51

a× b =∑

ai · ei ×∑

bj · ej

=∑

i∑

j ai · bj · ei × ej

=

a2b3 − a3b2a3b1 − a1b3a1b2 − a2b1

Wer soll das behalten?



Seite 51

Keiner!Definition 2.11 Matrix, Determinante

A =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...

...am1 am2 · · · amn

∈ R(m×n), aij ∈ R

heißt (m,n) - Matrix.m ist die Zeilenzahl, n die Spaltenzahl der Matrix A. Sind Zeilenzahl undSpaltenzahl gleich, so heißt eine Matrix quadratisch.



Seite 51

Jeder quadratischen Matrix A ∈ Rm,n wird eine reelle Zahl det A ∈ Rzugeordnet, die Determinante von A.

Bei

A =

a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

schreibt man auch∣∣∣∣∣∣∣a11 · · · a1n...

...an1 · · · ann

∣∣∣∣∣∣∣ := det A.



Seite 51

Wir definieren det A für A ∈ Rnn zunächst nur für n = 2 und n = 3.

n=2

det(

a11 a12a21 a22

):= a11 · a22 − a21 · a12



Seite 51

n = 3

det

a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33

:=

+a11 · det[

a22 a23a32 a33

]−a12 · det

[a21 a23a31 a33

]+a13 · det

[a21 a22a31 a32

]2× 2 -Determinantennach n = 2Regelausrechnen

Anmerkung: n = 4 greift analog auf n = 3 Definition zurück usw.



Seite 51Für a,b ∈ R3 und e1,e2,e3 die Einheitsvektoren des R3 setze formal

A(a,b) :=

e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

Dann ist

det A(a,b) = e1(a2 b3 − b2 a3)

−e2(a1 b3 − b1 a3)

+e3(a1 b2 − b1 a2)

=

a2 b3 − b2 a3b1 a3 − a1 b3a1 b2 − b1 a2

= a× b.

Also:

a× b =

∣∣∣∣∣∣e1 e2 e3a1 a2 a3b1 b2 b3

∣∣∣∣∣∣TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 73 / 309


Seite 52

a× b

Fb

a

a

b

c

α

|c| · cosα= Höhe h

Spatprodukt

〈a× b, c〉 = |a× b|︸︷︷︸Grundfläche F

· |c| · cos(α)︸︷︷︸Höhe h

= Volumen des durch a,b, c aufgespannten Spates

Spat = Parallelepiped = Parallelotop



Berechnung des Spatprodukts Seite 53

a× b = det[

a2 a3b2 b3

]e1 − det

[a1 a3b1 b3

]e2 + det

[a1 a2b1 b2

]e3

= : u1 e1 − u2 e2 + u3 e3

V : = 〈a× b, c〉 = 〈u1 e1 − u2 e2 + u3 e3, c〉 = u1 〈e1, c〉︸︷︷︸c1

−u2 〈e2, c〉︸︷︷︸c2

+u3 〈e3, c〉︸︷︷︸c3

= det[

a2 a3b2 b3

]c1 − det

[a1 a3b1 b3

]c2 + det

[a1 a2b1 b2

]c3

= det

c1 c2 c3a1 a2 a3b1 b2 b3

= det

cab

= det

abc



Da „V = 0⇔ a,b, c in einer Ebene“, ergibt sich neben derBerechnungsmethode für V ein einfacher Test für „a,b, c in Ebene.“



Etwas Elementargeometrie Seite 53

Geraden:

x2

x1

a

A

bB

b − a

x3

x2

x1

a

A

b B

b − a

× = a + λ u, λ ∈ R︸︷︷︸Punkt (a) - Richtungs (u) - Darstellung der Gerade oder Parameterdarstellung (Parameter λ)

z.B.: u = b − a.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 77 / 309


x1 = a1 + λu1 |(− u2u1

)x2 = a2 + λu2Œ u1 6= 0

x1 = a1 + λu1x2 = a2 + λu2x3 = a3 + λu3Œ u1 6= 0

x2 − u2u1

x1 = a2 − u2u1

a1⇔−u2 x1 + u1 x2 = −u2 a1 + u1 a2

−u2 x1 + u1 x2 = −u2 a1 + u1 a2−u3 x1 + u1 x3 = −u3 a1 + u1 a3

Gleichungsdarstellungen.



Seite 54

Lemma 2.13

Mit ai ,ui ∈ R3, i = 1,2 seien Mi := {x | x := ai + λ ui , λ ∈ R} i = 1,2.Behauptung

M1 = M2

⇔

a2 − a1 = J u1 für ein J ∈ R und µ ∈ R

und

u2 = κ u1 für ein κ ∈ R, κ 6= 0.

Beweis:→ Skript.Interpretation:→ Tafel!



Ebenen Seite 55

E

A

0

a

C

c

B

b

v

uX

Parameterdarstellung von X ∈ Ex := Ortsvektor von X

x = a + λu + µ vu, v Vektoren „in E“ nicht parallel, etwa u = b − a, v = c − a.



Seite 57

Elimination von λ und µ aus xi = ai + λ ui + µ vi i = 1,2,3 führt aufGleichungsdarstellung

n1 x1 + n2 · x2 + n3 · x3 = δ,xi ,ni , n1, n2, n3, δ ∈ R



Seite 58

〈n, x〉 = δ〈n,a〉 = δ

〈n, x〉 = δ = 〈n,a〉⇒ 〈n, x − a〉 = 0

d.h. n ⊥ x − a ∀ x ∈ E n senkrecht auf Ebene.

E

a

x1

x2

n



Beispiel:

x =

111

+ λ

101

+ µ

11−1

⇔ x1 = 1 + λ+ µ ∗1

x2 = 1 + µ ∗(−2)x3 = 1 + λ− µ ∗(−1)

x1 − 2x2 − x3 = −2

n1 = 1,n2 = −2,n3 = −1, δ = −2



Seite 58

A

0

a

C

c

B

b

v

u

n = u × v

Wenn man eine Normale n von E hat und einen Punkt a, so findet man eineGleichung ganz schnell.〈n, x − a〉 = 0

Woher n nehmen?

u = b − av = c − a

}n = u × v .︸︷︷︸

Fertig!



Seite 59

Noch besser:Verwende statt Normalenvektor n den

Einheitsnormalenvektor

n0 :=1|n|

n

Hessesche NormalformDie Form〈n0, x − a〉 = 0der Ebenengleichnung heißt Hessesche Normalform



Seite 59

Ed

a

n0

d

P

p

0

p − a

|d |

d = 〈n0,p − a〉n0 d = Projektion von p − a auf n0

|d | = |〈n0,p − a〉|Abstand von Punkt P zu Ebene E .



Seite 59

Hessesche Normalform einer Ebenex = a + λ u + µ v , λ, µ ∈ R

〈 u × v|u × v |

, x − a〉 = 0.

Analog im R2 Parameterform: x = a + λ u , λ ∈ R

u =

(u1u2

)Normale auf Gerade ,n, muss senkrecht stehen auf u.

n :=

(−u2u1

)〈n,u〉 = −u2 · u1 + u1 · u2 = 0

n0 =

− u2√u2

1+u22

u1√u2

1+u22

Geradengleichung:〈n0, x − a〉 = 0 Hesse - Normalform.


Vektorrechnung Allgemeine Vektorräume

Inhaltsverzeichnis







Allgemeine Vektorräume Seite 65

Definition 2.18:

V 6= ∅ mit Additionu, v −→ u + v ∈ Vund skalarem Vielfachenu ∈ V , λ ∈ R→ λ · u ∈ Vheißt VEKTORRAUM, wenn∀u, v ,w ∈ V und ∀ λ, µ ∈ R (C möglich. Dann komplexer.)

(i) u + v = v + u(ii) (u + v) + w = u + (v + w)

(iii) ∃!x ∈ V : u + x = v .(iv) (λ · µ)u = λ(µ u)

(v) λ(u + v) = λ u + λ v(vi) (λ+ µ)u = λ u + µ u(vii) 1 · u = u.



Beispiele Seite 66

1. R2& R3

2. Rn :=

x1x2...

xn

: xi ∈ R, i = 1, · · · ,n

mit

x1x2...

xn

+

y1y2...

yn

=

x1 + y1x2 + y2

...xn + yn

, λ ·

x1...

xn

=

λx1...λxn

.

3. a). E eine Ebene des R3 durch 0.+, ·λ wie im R3.

b). G eine Gerade des Rn durch 0.+, ·λ wie in Rn.



Seite 67

4. a) Πn = Menge aller Polynome

p(x) =∑n

j=0 pjx j ,pj ∈ R, mit

(p + q)(x) =∑n

j=0(pj + qj )x j und

λ p(x) =∑n

j=0 λ pj x j .

b) Πn := Menge aller trigonometrischen Polynome

s(x) = a02 +

∑nk=1(ak cos(kx) + bk sin(kx))



Seite 67

5. M Menge V = {f : M → R}Addition und Multiplikation mit λ ∈ R punktweise erklärt

(f + g)(x) = f (x) + g(x), x ∈ M

(λ f )(x) = λ f (x), x ∈ M.



Zur Vektor-Interpretation von Funktionen

x =

120−11

ist eine Funktion: {1,2,3,4,5} ⇒ R

x(1) = 1, x(2) = 2, x(3) = 0, x(4) = −1, x(5) = 1

1

2

−1

1 2 3 4 5



Vektor-Addition ist Funktionen Addition

x1 =

12345

, x2 =

201−1−2

−1

−2

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5



Funktion ist kontinuierlicher Vektor

f (x) = x2

0 1

fxxf =



Seite 68

6. Menge aller (m,n)− Matrizen .

λ

a11 · · · a1n...

...am1 · · · amn

=

λa11 · · ·λa1n...

...λam1 · · ·λamn

a11 · · · a1n

......

am1 · · · amn

+

b11 · · · b1n...

...bm1 · · · bmn

=

a11 + b11 · · · a1n + b1n...

...am1 + bm1 · · · amn + bmn

.



Seite 68

Definition 2.23Sei V ein Vektorraum.W ⊂ V heißt Untervektorraum oder Teilvektorraum von V , wenn W mit denVerknüpfungen von V selbst wieder Vektorraum ist.

Vorteil der Begriffsbildung

„V Vektorraum“ bewiesen.W ⊂ V . Dann für u, v ,w ∈ W λ, µ ∈ R klar:

(i) u + v = v + u(ii) (u + v) + w = u + (v + w)

(iv) (λ · µ) · u = λ(µ · u)

(v) λ(u + v) = λ u + λ v(vi) (λ+ µ)u = λ u + µ u(vii) 1 · u = u.

Für „W Vektorraum“ fehlt nur noch

(iii) (∃!x ∈ W : u + x = w) ∀ u,w ∈ W .



Seite 68

Satz 2.23

Sei V Vektorraum und W ⊂ V ,W 6= ∅. DannW ist Vektorraum

⇐⇒

a) u + v ∈ W ∀ u, v ∈ Wb) λ u ∈ W ∀ u ∈ W , λ ∈ R

SEHR

PRAKTISCH

Beweis: „⇒„: klar !„⇐“ : zu zeigen : {a),b)} ⇒ (iii).Seien u, v ∈ W . Dann löst x := v + (−1)u die Gleichung u + x = v in Veindeutig.Dies ist auch in W der Fall, wenn nur x ∈ W . Aber

v + (−1)u︸︷︷︸∈W nach b)︸︷︷︸

∈W nach a)

∈ W

�TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 98 / 309


Beispiele für Untervektorräume Seite 69

A. Πn = {∑n

i=0 aix i ,ai ∈ R}ist Teilraum des Vektorraumes der reellen Funktionen R −→ R

B. Dito Tn := { a02 +

∑nk=1 ak sin k x + bk cos k x ,a0, · · · ,an,b1, · · · ,bn ∈ R}

C. G := {(

xy

)∈ R2|n1 x + n2 y = 0} n2

1 + n22 6= 0

ist ein Teilraum von R2 (Eine Gerade durch Null, Normale(

n1n2

)).

denn(

xiyi

)∈ G, i = 1,2⇒

{n1 x1 + n2 y1 = 0n1 x2 + n2 y2 = 0

⇒ n1(x1 + x2) + n2(y1 + y2) = 0 also(

x1 + x2y1 + y2

)∈ G.

und(

xy

)∈ G, λ ∈ R⇒ (n1 x + n2 y) = 0

⇒ n1(λ x) + n2(λ y) = 0 also λ(

xy

)∈ G.



Beispiele für Untervektorräume Seite 69

A. Πn = {∑n

i=0 aix i ,ai ∈ R}ist Teilraum des Vektorraumes der reellen Funktionen R −→ R

B. Dito Tn := { a02 +

∑nk=1 ak sin k x + bk cos k x ,a0, · · · ,an,b1, · · · ,bn ∈ R}

C. G := {(

xy

)∈ R2|n1 x + n2 y = 1} n2

1 + n22 6= 0

ist kein Teilraum von R2 (Eine Gerade nicht durch Null, Normale(

n1n2

)).

denn(

xiyi

)∈ G, i = 1,2⇒

{n1 x1 + n2 y1 = 1n1 x2 + n2 y2 = 1

⇒ n1(x1 + x2) + n2(y1 + y2) = 2 6= 1 also(

x1 + x2y1 + y2

)/∈ G.

und(

xy

)∈ G, λ ∈ R⇒ (n1 x + n2 y) = 1

⇒ n1(λ x) + n2(λ y) = λ also λ(

xy

)/∈ G für λ 6= 1.



Seite 69

D. = Beispiel 3 (Skript)

Sei L die Menge der Lösungen

x1...

xn

∈ Rn des homogenen

Gleichungssystemsa11 x1 + a12 x2 + · · ·+ a1n xn = 0...

......

...am1 x1 + am2x2 + · · ·+ amn xn = 0

Dann sind mit

x1...

xn

und

y1...

yn

auch

x1 + y1...

xn + yn

und

λx1...λxn

∀ λ ∈ R

Lösungen des Gleichungssystems.⇒ L ist Teilraum des Rn.



E. W := {(

xy

)∈ R2 : x2 + y2 = 1} kein Teilraum des R2.

W

/∈W



Seite 69

E 0u

v

Parameterdarstellung einer Ebene E durch den Nullpunkt mit zweinicht-parallelen Vektoren u und v der Ebene.E = {λ u + µ v : λ, µ ∈ R}

Ziel:Verallgemeinerung einer solchen Darstellung auf allgemeine Vektorräume.

Frage:Was sind dort u, v , · · · ?

Zunächst mal umgekehrt!u, v ,w , · · · gegeben. Bastle daraus einen Vektorraum.



Seite 69

Definition 2.25 “Linearkombination“

A. Sind v1, · · · , v r ∈ V Vektoren, so heißt jeder Vektor

v =r∑

j=1

λj v j , λj ∈ R

eine Linearkombination von

v1, · · · , v r

B. Ist jeder Vektor aus V Linearkombination von v1, · · · , v r , so “spannenv1, · · · , v r den Raum V auf “



Beispiele Seite 70

1.

100

= e1,

010

= e2,

001

= e3 spannen R3 auf:

“Beweis“:

x1x2x3

= x1 e1 + x2 e2 + x3 e3



2.

e3

1

e21

e11

v3v2

v1

v1 =

0@ 110

1A v2 =

0@ 011

1A v3 =

0@ 101

1Aspannen auch den R3 auf, denn0@ x1

x2

x3

1A = 12 (x1+x2−x3)

0@ 110

1A+ 12 (x2+x3−x1)

0@ 011

1A+ 12 (x1−x2+x3)

0@ 101

1A24 = 1

2

0@ x1 + x2 − x3 + x1 − x2 + x3

x1 + x2 − x3 + x2 + x3 − x1

x2 + x3 − x1 + x1 − x2 + x3

1A 35Wie man darauf kommt?→ Später!!



Seite 70

3. u1 =

110

u2 =

120

u3 =

340

spannen nicht R3 auf, da

e3 /∈ span{u1,u2,u3}. Sie spannen aber den Unterraum

V =

{ x1x2x3

∣∣∣∣x3 = 0}

auf.

Frage: Warumist V Unterraum?



Seite 70

4. 1, x , x2, · · · , xn spannen Πn auf.

5. 1 cos(x) cos(2x) · · · cos(nx)sin(x) sin(2x) · · · sin(nx)

spannen

Tn := { a02 +

∑nk=1 ak cos(kx) + bk sin(kx)|a0, · · · ,an,b1, · · · ,bn ∈ R} auf.



Seite 70

Satz 2.27

Sei V Vektorraum und v1, ., v r ∈ V .

(i) W :={∑r

j=1 λj v j : λj ∈ R}

ist Teilraum von V .

(ii) Für jeden Teilraum U ⊂ V mit v1, · · · , v r ∈ U gilt U ⊃ W ; d.h.W ist kleinster Teilraum mit v1, · · · , v r ∈ V .

Bezeichnung 2.28

W :={∑r

j=1 λj v j∣∣λj ∈ R

}= : span{v1, · · · , v r}

v1, · · · , v r erzeugendes System von W .



Seite 71

Beweis von Satz 2.27

(i)∑r

i=1 λi vi ,∑r

i=1 µi vi ∈ W ⇒∑r

i=1 (λi + µi ) v i ∈ W

∑ri=1 λi vi ∈ W , ν ∈ R⇒

∑ri=1 ν λi v i ∈ W

(ii) ∀ λ1 ∈ R⇒ λi v i ∈ U ⇒ λ1 v1 + λ2 v2 ∈ U

⇒ λ1 v1 + λ2 v2 + λ3 v3 ∈ U ⇒∑r

i=1 λi vi ∈ U �



Beispiele

A. span{ 1

10

,

011

} ist eine Ebene durch den Nullpunkt

e3

1

e22

e11



B. span{ 1

10

,

121

,

011

} ist dieselbe Ebene; denn 121

= 1 ·

110

+ 1 ·

011

ist Linearkombination der Vektoren

(1,1,0)T und (0,1,1)T .

C. span{v1, v2} mit v2 = µ v1 ist gleich span{v1}, denn

∑2i=1 λi v i = λ1 v1 + λ2 v2 = λ1 v1 + λ2 µ v1 = (λ1 + λ2 µ)v1.



Seite 71

ZielFinde zu vorgegebenem Unterraum einen minimale Zahl von Vektorenv1, ·, v r ∈ W mitspan{v1, ·, v r} = W .



Seite 71

Definition 2.30 Unheimlich Wichtig!!

(i) v1, · · · , v r ∈ V heißen linear abhängig , wenn

∃ λ1, · · · , λr ∈ R :∑r

i=1 |λi | 6= 0 mit∑r

i=1 λi v i = 0.

(ii) v1, ·, v r ∈ V sind linear unabhängig , wenn∑ri=1 λi v i = 0⇒

∑ri=1 |λi | = 0

Achtung ! Schreibweise!∑ri=1 |λi | 6= 0⇔ ∃ i ∈ {1, · · · , r} : λi 6= 0.

∑ri=1 |λi | = 0⇔ λi = 0, ∀ ∈ {1, · · · , r}.



Beispiele Seite 72

A. e1,e2,e3,∈ R3 linear unabhängig, da

3∑i=1

λi ei =

λ1λ2λ3

!=

000

⇒ λi = 0 ∀i .

B.(

11

),

(1−1

)∈ R2 linear unabhängig, da

λ1

(11

)+ λ2

(1−1

)= 0

⇒ λ1 + λ2 = 0λ1 − λ2 = 0⇒ λ1 = λ2

}⇒ 2λ1 = 0

λ1 = λ2λ1 = 0︸︷︷︸λ1 = λ2 = 0



C.

110

011

linear unabhängig

110

121

011

linear abhängig,

1

110

− 1 ·

121

+

011

= 0

D. u1,u2 ∈ R2 linear abhängig⇔ u1||u2

u1,u2,u3 ∈ R3 linear abhängig⇔ det

u1

u2

u3

= 0.



Seite 72

E. Sind v1, · · · , v r ∈ V linear abhängig, so auch v1, · · · v r , v r+1

Beweis:∑r

i=1 λi v i = 0 und∑r

i=1 |λi | 6= 0 so ist∑r+1i=1 µi v i = 0 und

∑r+1i=1 |µi | 6= 0

für µi = λi i = 1, · · · , r , µr+1 = 0.

�



Seite 72

F. Mit

110

,

011

sind auch

110∗∗∗...∗

011∗∗∗...∗

∈ R3+k linear unabhängig.

→ Anbau macht nicht abhängig!



Seite 73

G. Die Funktionen f (x) = 1 und g(x) = x von R nach R sind linearunabhängig, denn die Vektoren(

f (0)f (1)

)=

(11

)und

(g(0)g(1)

)=

(01

)sind linear unabhängig.

Die Funktionen f und g sind diese Vektoren mit “langen Anbauten“.



Seite 73

H. „1, x , x2, · · · , xn ∈ Πn sind linear unabhängig“, dennp(x) =

∑nj=0 aj x j ≡ 0 ist nur für a0 = a1 = · · · = an = 0 möglich nach

dem

Fundamentalsatz der Algebra:p ∈ Πn,an 6= 0

⇒ p hat in C genau n Nullstellen.

Folgerung:Ist ein an in

∑nj=0 aj x j = p(x) von Null verschieden, so hat p(x) in R

höchstens n Nullstellen.

Anmerkung:Beweis von H auch ohne Fundamentalsatz möglich. Siehe später→„Interpolation“. (Verallgemeinerung von Beispiel G.)



Seite 73

V : Vektorrraum

W ⊂ V Untervektorraum

W = span{v1, v2, · · · , vm}

Ziel

Wähle Teilmenge {w1, · · · ,w r} aus {v1, · · · , vm}, so dass w1, · · · ,w r

linear unabhängig ist und immer noch W = span{w1, · · · ,w r}.

w1, · · · ,w r heißt dann Basis von W .

Geht das?Wir formulieren den Inhalt von Satz 2.32 (und seines Beweises) algorithmisch.



Seite 74

W ={ m∑

i=1

µi v i |µi ∈ R}

START

WENN v1, · · · , vm linear unabhängig→r = mw1, · · · ,w r = v1, · · · , vm

STOP



Seite 73

SONST

∃ λ1, · · · , λm ∈ R,∑m

i=1 |λi | 6= 0und

∑mi=1 λi v i = 0.

Sei λj 6= 0.Dann0 =

∑mi=1 λi v i = λj v j +

∑mi=1,i 6=j λi v i ,

alsov j = −

∑mi=1,i 6=j

λiλj

v i ,somit∑m

i=1 µi v i = µj v j +∑m

i=1,i 6=j µi v i

= −∑m

i=1,i 6=j µjλiλj

v i +∑m

i=1,i 6=j µi v i

=∑m

i=1,i 6=j (µi − µjλiλj

)v i

Entferne v j und GO TO START



Seite 73

Satz 2.32

Sei W := span{v1, · · · , vm} ⊂ V .

(i) Sind v1, · · · , vm linear abhängig und∑m

i=1 λi v i = 0, so istW = span{v1, · · · , v j−1, v j+1 · · · , vm}für jedes j ∈ {1, · · · ,m} mit λj 6= 0.

(ii) Ist W 6= {0}, so gibt es linear unabhängige Vektorenvk1 · · · vkr ∈ {v1, · · · , vm} mit W = span{vk1 , · · · , vkr }.



Seite 74

Definitionen 2.33

1. Sei V Vektorraum, S := {v1, · · · , v r}︸︷︷︸endlich

⊂ V

S ist Basis von Vwenn(i) v1, · · · , v r linear unabhängig(ii) V = span{v1, · · · , v r}.

2. Existiert eine (endliche) Basis von V , so heißt V endlichdimensional.(sonst unendlichdimensional)



Beispiele von Basen Seite 75

A. e1 =

100...0

,e2

010...0

· · · ,en =

0...001

bilden die Standardbasis des Rn.

B. {1, x , x2, · · · , xn} = Standardbasis des Πn.

C.(

11

),

(10

)ist Basis des R2; also Basis nicht eindeutig.



Seite 75

Satz 2.36 (Steinitz)

Sei W := span{v1, · · · , vm} und w1, · · · ,w r ∈ W linear unabhängig, dann(i) r ≤ m(ii) ∃ r Vektoren in {v1, · · · , vm}

( Œdie ersten r ) mit W = span{w1, · · · ,w r , v r+1, · · · , vm}

Folgerung: (Korollar 2.38)

Die Anzahl der Basisvektoren in einer Basis eines endlichdimensionalenVR V ist Basis - unabhängig



Seite 76

Definition 2.39 Dimension eines VRDiese Anzahl heißt die Dimension von V . Bezeichnung: dim V .

Beweis der Folgerung

Seien{

v1, · · · , vm}

und{

w1, · · · ,w r}

Basen

Basis von V linear unabhängig in V

a) v1, · · · , vm w1 · · ·w r Steinitz⇒ r ≤ m

b) w1, · · · ,w r v1 · · · vm ⇒ m ≤ r

aus a) & b) folgt: r = m �



Seite 76

Korollar 2.37

Sei V endlichdimensional und w1, · · · ,w r ∈ V . Dann gibt es v r+1, · · · , vn, sodass w1, · · · ,w r , v r+1, · · · , vn Basis von V sind.

Beweis

Sei v1, · · · , vn Basis von V .O. B. d. A. nach Steinitz v1, · · · , v r gegen w1, · · · ,w r austauschbar �



Seite 76

Beweis von Satz 2.36(ii): Induktion nach T : (Dabei fällt (i) nebenbei ab)

r = 1 Austausch von w1 gegen ein v ∈ {v1, · · · , vm}

w1 ∈ span{v1, · · · , vm} ⇒

w1 =∑m

i=1 λi v i

w1 6= 0

}⇒ ∃ i ∈ {1, · · · ,m} : λi 6= 0

Œ.i = 1 Nach Reduktionsalgorithmus (Seite 123) ist dann

v1 = 1λ1{w1 −

∑mi=2 λi v i}

in {w1, v1, v2, · · · , vm} streichbar mit

span{w1, v2, · · · , vm} = V .



Seite 76

Beweis von Satz 2.36 fort.

r → r + 1 (r + 1 ≤ m)

Œw1, · · · ,w r schon ausgetauscht. Situation dannw r+1 ∈ W gegebenw1, · · · ,w r+1 linear unabhängig W = span{w1, · · · ,w r} a)

oderW = span{w1, · · · ,w r , v r+1, · · · , vn} b)

a) w r+1 =∑r

i=1 µi w i ⇒ w1, ...,w r+1 linear abhängig Situation a) unmöglich

b) w r+1 ∈ W ⇒ w r+1 =∑r

i=1 λi w i +m∑

i=r+1

µi v i

︸︷︷︸mindestens ein µk 6=0 k ∈{r+1,··· ,m}

sonst w r+1 =∑r

i=1 λi w i

zu linear unabhängig von w1, · · · ,w r+1

Streiche vk in {w1, · · · ,w r+1, v r+1, · · · , vm} �



Seite 77

Folgerungen aus Folgerung

dim Rn = n

dim Πn = ]{1, x , x2, · · · , xn} = n + 1

Ist V VR der Dimension n und v1, · · · , vn ∈ V linear unabhängig

⇒ v1, · · · , vn ist Basis

⇒ ∀ v ∈ V ∃ λ1, · · · , λn : v =∑n

i=1 λi v i .



Seite 77Sei V ein Vektorraum, dim V = n <∞, {v1, · · · , vn} eine Basis von V .

x =n∑

i=1

xi v i , xi ∈ R

x1, ..., xn sind die Koordination von x bezüglich der Basis {v1, · · · , vn}

Korollar 2.41

Zuordnung x →

x1...

xn

ist eindeutig.

Beweis: Sei x =∑n

i=1 xi v i , x =∑n

i=1 yi v i

Dann:⇒ 0 = x − x =∑n

i=1 (xi − yi )v i

vi linear unabhängig⇒ xi = yi , i = 1, · · · ,n.

�



Seite 78

Korollar 2.42 (Dimensionsformel)

U,W Teilräume von V , endlichdimensional. Dann

dim(U + W ) = dimU + dimW − dim(U ∩W )

Beweis

v1 · · · v r Basis von U ∩W .

Basis von U︷︸︸︷u1, · · · ,us v1, · · · , v r w1, · · · ,w t

Basis von W .

wenn linear unabhängig, Beweis fertig

Annahme:s∑

j=1

µj uj +r∑

i=1

λi v i

︸︷︷︸:=u ∈ U

+t∑

k=1

νk wk

︸︷︷︸−u ∈W

= 0

⇒ u ∈ U ∩ W⇒ u =

∑ri=1 λ1 v i

∣∣∣∣⇒ µj = 0 ∀jνk = 0 ∀k

}⇒ 0 =

∑ri=1 λi v i ⇒ λi = 0 ∀i . �



Seite 79

Bijektive Abbildung

T :

V −→ Rn

x =∑n

i=1 xi v i −→

x1...

xn

← Koordinatenvektor

mit

T (x+y) = T( n∑

i=1

(xi +yi )v i)

=

x1 + y1...

xn + yn

=

x1...

xn

+

y1...

yn

= T (x)+T (y),∀x , y ∈ V

und T (λ x) = λ T (x).

Rechnung in V ersetzbar durch äquivalente Rechnung im Rn.



Seite 79

Definition 2.44

Zwei Vektorräume (V ,+, ·) und (W ,⊕,⊙

) heißen isomorph, wenn∃ Bijektion T : V →W mit

T (x + y) = T (x)⊕

T (y), ∀ x , y ∈ V

T (λ · x) = λ⊙

T (x), ∀ x ∈ V ,∀ λ ∈ R

Satz 2.45

(VA,+, ·), (VB,⊕,⊙

) Dimension n. Dann

VA isomorph Rn isomorph VB.



Beispiel Seite 80

V : =

{ x1x2

x1 − x2

: x1, x2 ∈ R

}⊂ R3

Basis:

v1 =

101

, v2 =

01−1

T :

x1x2

x1 − x2

= x1 v1 + x2 v2 →(

x1x2

)∈ R2

Statt mit rechne mit



Seite 81

Nächstes ZielDefiniere Skalarprodukt auf allgemeinem Vektorraum und damit dannOrthogonalität.



Seite 81

Definition 2.47 (Allgemeines Skalarprodukt)

Sei V (reeller) Vektorraum.

〈·, ·〉 :

{VxVx , y

−→7−→

R〈x , y〉

heißt Skalarprodukt oder inneres Produkt in (oder auf) V , wenn gelten:

(i) 〈x + y , z〉 = 〈x , z〉+ 〈y , z〉 ∀ x , y , z ∈ V(ii) 〈λ · x , y〉 = λ〈x , y〉 ∀ x , y ∈ V ,∀ λ ∈ R(iii) 〈x , y〉 = 〈y , x〉 ∀ x , y ∈ V(iv) 〈x , x〉 > 0 ∀ x ∈ V\{0}

(V , 〈, 〉) = unitärer Raum.



Beispiele Seite 81

1. Euklidisches Produkt auf Rn :

x =

x1...

xn

, y =

y1...

yn

〈x , y〉 : =

∑ni=1 xi yi

2. Gewichtetes euklidisches Produkt auf R3 :〈x , y〉G : = 5 x1 · y1 + 3 x2 · y2 + 2 x3 · y3

3. Inneres Produkt auf Πn :

〈p,q〉 : =1∫0

p(x) q(x) d x



Seite 82

Für das normale euklidische Skalarprodukt im R3 galt:

(CSU) 〈x , y〉 ≤ |x | · |y | x , y ∈ R3

⇔

〈x , y〉2 ≤ 〈x , x〉 · 〈y , y〉

Erinnerung: CSU⇒4-Ungleichung



Seite 82

Satz 2.50 CSU

V unitärer Raum mit Skalarprodukt 〈, 〉Dann

〈x , y〉2 ≤ 〈x , x〉 · 〈y , y〉 ∀ x , y ∈ V

BeweisFür x = 0 : trivial!Sei deshalb x 6= 0 Dann∀ t ∈ R : 〈t x + y , t x + y〉 ≥ 0, insbesondere auch fürt = − 〈x,y〉〈x,x〉

0 ≤ t2〈x , x〉+ 2t〈x , y〉+ 〈y , y〉

=〈x , y〉2

〈x , x〉− 2〈x , y〉2

〈x , x〉+ 〈y , y〉

= −〈x , y〉2

〈x , x〉+ 〈y , y〉. �



Seite 83

t∗ = − 〈x, y〉〈x, x〉

〈t x + y , t x + y〉

0 ≤ t2〈x , x〉+ 2t〈x , y〉+ 〈y , y〉

insbesondere

0 ≤ (t∗)2〈x , x〉+ 2 t∗〈x , y〉+ 〈y , y〉

= −〈x , y〉2

〈x , x〉+ 〈y , y〉

�



Seite 83

Zusatz:

„=„ ⇔ 〈t∗ x + y , t∗ x + y〉 = 0⇔ t∗ x + y = 0

alsoCSU mit „=„⇔ x , y linear abhängig.



Seite 83

Mit 〈x , y〉 =∑n

i=0 xiyi gilt : |x | = 〈x , x〉1/2

Allgemeiner(V , 〈, 〉) unitär; dann ist||x || : = 〈x , x〉1/2

die 〈·, ·〉 zugeordnete Norm.

Damit:

CSU

|〈x , y〉| ≤ ||x || · ||y ||



Seite 90

Satz 2.66 Eigenschaften der 〈, 〉1/2-Norm

(V , 〈·, ·〉, || · ||)unitärer VR mit Norm ||x || := 〈x , x〉1/2. Dann

(i) ||x || = 0⇔ x = 0(ii) ||λ x || = |λ| ||x || ∀ x ∈ V ,∀ λ ∈ R(iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y || ∀ x , y ∈ V

Beweis(i) und (ii) trivial.(iii) wie schon früher mit CSU

0 ≤ ||x + y ||2 = 〈x + y , x + y〉 = 〈x , x〉+ 2〈x , y〉+ 〈y , y〉≤ 〈x , x〉+ 2

√〈x , x〉

√〈y , y〉+ 〈y , y〉

= ||x ||2 + 2||x || · ||y ||+ ||y ||2

= (||x ||+ ||y ||)2 �



Seite 84

Aus CSU |〈x , y〉| ≤ ||x || · ||y || folgt auch

〈x , y〉||x || · ||y ||

∈ [−1,1]

Bei 〈x , y〉 =3∑

i=1

xi · yi auf R3 war

〈x , y〉||x || · ||y ||

= cos(α)

x

y

α



Seite 84

Für allgemeine innere Produkte definiert man den Winkel α zwischen x und yüber

〈x , y〉||x || · ||y ||

= cosα

Definition 2.53 Orthogonalität

Man sagt dann auch, x und y seien orthogonal, wenn cosα = 0, also〈x , y〉 = 0 ist.



Beispiel Seite 84

Bezüglich〈x , y〉 =

∑ni=1 xi yi sind

e1 =

100...0

,e2 =

010...0

, · · · ,en =

0...001

orthogonal. Es gilt sogar

〈ei ,ei〉 = δij =

{1 i = j0 i 6= i

Kronecker - Symbol



Ortho*basis Seite 84

Sei (V , 〈, 〉) unitärer Raum und v1, · · · , vn Basis (dim V = n).Ist dann

〈v i , v j〉 = 0 ∀ i 6= j

so heißt{v1, · · · , vn} Orthogonalbasis.

Haben alle v i bezüglich||x || = 〈x , x〉1/2

zusätzlich Einheitslänge, d.h. mit

||v i || = 〈v i , v i〉1/2 = 1,∀i ,

so heißt {v1, · · · , vn} eine Orthonormalbasis.

Beispiel: {e1, · · · ,en} ist ONB von Rn mit euklidischem Skalarprodukt.



Seite 84

Definition 2.53 Ortho*basis

V euklidischer Vektorraum mit 〈, 〉.1. u, v orthogonal wenn 〈u, v〉 = 0.

2. S := {v1, · · · , v r} ⊂ V heißt Orthogonalsystem wennv j 6= 0 ∀ j〈v j , vk 〉 = 0, j 6= k

3. Ein Orthogonalsystem heißt Orthonormalsystem, wenn Längen derVektoren = 1.

4. Orthonormalsystem, welches Basis von V ist, heißt Orthonormalbasis.



Seite 86

Orthonormalbasen sind schön!{v1, · · · , vn} ONB von (V , 〈, 〉).

v1, · · · , vn Basis⇒ ∀ x ∃

x1...

xn

∈ Rn : x =∑n

i=1 xi v i .

Wie berechnet man xi ?

〈v j , x〉 = 〈v j ,

n∑i=1

xi v i〉

=n∑

i=1

xi 〈v j , v i〉︸︷︷︸=δij

=n∑

i=1

xi · δij = xj

xj = 〈v j , x〉 Satz 2.58



Seite 86

v = α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn

〈v1, v〉 = 〈vi , α1 v1 + α2 v2 + · · · + αn vn〉〈vi , v〉 = α1〈v1, v1〉 + α2〈v1, v2〉 + . . . + αn〈v1, vn〉

= 1 = 0 = 0

also 〈v1, v〉 = α1.



Seite 86

Satz 2.58v1, ..., vn Orthonormalsystem.

v =n∑

i=1

αi vi , αj = 〈vj , v〉

also

v =n∑

i=1

vi〈vi , v〉︸︷︷︸„Fourierentwicklung“



Seite 87

v1, ..., vn Orthonormalsystem

v = v1〈v1, v〉 + v2〈v2, v〉 + . . . + vn〈vn, v〉

Projektionauf v1

Projektionauf v2

Projektionauf vn

Projektion auf span{v1, v2}



Seite 86

Erinnerung

vi ·〈vi , v〉〈vi , vi〉

Projektion von v auf vi

〈vi , vi〉 = 1vi · 〈vi , v〉 Projektion von v auf vi



Seite 85

Satz 2.57

V eukl. VR und 〈, 〉 S = {v1, · · · , v r} sei Orthogonalsystem.⇒ v1, · · · , v r linear unabhängig

Beiweis

Annahme:∑r

i=1 λi v i = 0

⇒ λj〈v j , v i〉 =r∑

i=1

λi 〈v j , v i〉 = 〈v j ,

r∑i=1

λi v i〉 = 0 �



Seite 88

Nun beantworten wir die Frage:

Wie bastle ich mir eine Orthonormalbasis?

Wie man eine ONB bastelt:−→ 2.62,63 + Tafel



Seite 90

||x || misst - wie |x | in R2,R3 - die Länge eines Vektors.

Leider ist nicht jede (vernünftige) Längenmessung ||x || über

〈x , x〉1/2 = : ||x ||

mit einem inneren Produkt verbunden.

Es gibt noch andere wichtige Längenmessungen. Für solche fordern wir aberstets die oben gefundenen Eigenschaften.(Satz 2.66)



Seite 90

Definition 2.67 NormSei V Vektorraum. Eine Abbildung

|| · || :

{V −→ Rx −→ ||x ||

heißt Norm auf V , wenn

(i) ||x || = 0⇔ x = 0(ii) ||λ x || = |λ| · ||x || ∀ x ∈ V , λ ∈ R(iii) ||x + y || ≤ ||x ||+ ||y || ∀ x , y ∈ V .

(V , || · ||) heißt normierter Raum.



Beispiele Seite 91

(i) ||x ||2 : =√∑n

i=1 x2i euklidische Norm

(ii) ||x ||∞ : = maxi=1,··· ,n |xi | Maximumnorm

(iii) ||x ||1 : =∑n

i=1 |xi | Summennorm

(iv) Zusammenfassend: ||x ||p : =

(∑ni=1 |xi |p

)1/p

,p ≥ 1

Bemerkungen: 1. x∞ = limp→∞ ||x ||p2. Der Nachweis der Normeigenschaft von || · ||p ist (für p 6= 2) etwasaufwendiger.



Seite 91

Achtung!

Jeder unitäre Vektorraum (V , 〈·, ·〉) ist vermittels ||x || : = 〈x , x〉1/2

auch normierter Raum (V , || · ||).

Die Umkehrung gilt jedoch nicht!

Es gibt nicht zu jeder Norm || · || ein inneres Produkt 〈·, ·〉, so daß

||x || = 〈x , x〉1/2

Anmerkung:

Notwendig und hinreichend dafür ist die Gültigkeit der sog.Parallelogrammgleichung.

v

u

u + v

u − v||u + v ||2 + ||u − v ||2 = 2||u||2 + 2||v ||2



Seite 92Aus der Möglichkeit, Längen von Vektoren zu messen, resultiert eineMessmethode für Abstände von Punkten A und B eines normierten Raumes(V , || · ||).

d(A,B) = ||a− b||Distanz Ortsvektoren von A bzw. B.

Man möchte aber oft auch Abstände zwischen Punkten wissen, die nichteinem Vektorraum angehören!

Beispiel:



Seite 92NORMIERTER RAUM?

A

a

0

b

Bb − a

DannDistanz (A,B) : = ||b − a||− möglich.Allgemeiner d(a,b)

Definition 2.70 (Metrik)

Sei M eine Menge. Eine Abbildung

d :

{M ×M −→ R+

(x , y) −→ d(x , y)

heißt Metrik, wenn

(d1) d(x , y) = 0⇔ x = y(d2) d(x , y) = d(y , x) ∀ x , y ∈ M(d3) d(x , y) ≤ d(x , z) + d(z, y) ∀ x , y , z ∈ M.

Eine Menge M mit Metrik d heit metrischer Raum.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 165 / 309


Seite 92

Achtung!

Jeder normierte Raum (V , || · ||) wird mit

(∗) d(x , y) : = ||x − y ||, x , y ∈ V

auch metrischer Raum. Jedoch muss es zu einer Metrik d(x , y) keine Norm|| · || geben mit (∗).

Beispiel:Diskrete Metrik:

d(x , y) : =

{0 bei x = y1 bei x 6= y .



„Mannigfaltigkeiten“ Seite 93

Geraden und Ebenen durch 0 sind Vektorräume.Geraden und Ebenen die nicht durch 0 gehen, sind keine Vektorräume.Sie kommen aber doch auch wohl vor!Sie werden Vektorräume, wenn man den Ursprung „in sie hinein verschiebt“.

L

W ← Vektorraum || zu L

w0

Vektorraum

kein Vektorraum



Seite 93

Definition 2.71 lineare Mannigfaltikeit

Sei V Vektorraum, W Untervektorraum von V ,w0 ∈ V fest.

Dann heißt L : = w0 + W : = {w0 + w |w ∈ W}

Lineare Mannigfaltigkeit in V (oder affiner Raum)



Beispiele Seite 93

1. Gerade L : = {x : = w0 + λ u|λ ∈ R} = w0 + span{u}

2. Ebene {x ∈ R3|n1 x1 + n2 x2 + n3 x3 = δ}n2

1 + n22 + n2

3 6= 0, δ ∈ R festIst lineare MannigfaltigkeitSei w0 irgendeine Lösung von 〈n, x〉 = δ.Dann

〈n,w0〉 = δ

Für jede Lösung y ist〈n, y〉 = δ

Subtraktion zeigt

〈n, y − w0〉 = 0 (homogen)

Seien u1,u2 l.u. und ⊥ n.Dann y − w0 ∈ span{u1,u2} = W .



Seite 93

3. Allgemeiner:Lösungsmenge von

a11 x1 + · · ·+ a1n xn = bn

...am1 x1 + · · ·+ amn xn = bm

ist leer oder lineare Mannigfaltigkeit.Ist y nämlich beliebige Lösung und w0 spezielle Lösung, so lösty − w0 das homogene System.

a11 x1 + · · ·+ a1n xn = 0...

am1 x1 + · · ·+ amn xn = 0

Sei W Lösungsraum davon, so ist y ∈ w0 + W .



Seite 94

Satz 2.76Sei V Vektorraum. Zwei lineare Mannigfaltigkeiten

L : = w0 + W

K : = u0 + U

sind genau dann gleich, wenn W = U und w0 − u0 ∈ W gelten.

Beweis

L = K ⇒ Zu w ∈ W ∃ u = u(w) ∈ UZu u ∈ U ∃ w = w(u) ∈ W

}w0 + w = u0 + u.

Bei w = 0⇒ w0 = u0 + u(0) also w0 − u0 = w(0) ∈ UBei u = 0⇒ w0 + w(0) = u0 also w0 − u0 = w(0) ∈ W

Für u ∈ U ist damit u = w0 − u0 + w ∈ WFür w ∈ W ist umgekehrt w = −(w0 − u0) + u ∈ U.

}⇒ U ≡W



Seite 94

Fortsetzung Beweis

Sei nun W = U undw0 − u0 ∈W .

Zu zeigenw0 + W = u0 + U.

Aberw0 + W = u0 + (w0 − u0) + W︸︷︷︸

=W=U

�



Seite 94

Satz 2.77Seien

L = w0 + W , K : = w0 + U

lineare Mannigfaltigkeiten in VR V

Dann K ∩ L = ∅ oder K ∩ L = lineare Mannigfaltigkeit.

Beweis

Ist K ∩ L 6= ∅ ⇒ ∃ v0 ∈ K ∩ L

⇒ L = v0 + W ,K = v0 + U.

= K ∩ L = {v0 + v |v ∈ U ∩ W} �



Seite 95

Komplexe Vektorräume

Definition wie reelle Vektorräume, nur kommen jetzt die Skalare aus C

Beispiele:

1. Cn : =

{ z1...

zn

: zi ∈ C

} z1

...zn

+

w1...

wn

=

z1 + w1...

zn + wn

, λ

z1...

zn

=

λ z1...

λ zn

2. Πn : =

{p : C→ C | p(z) =

∑ni=0 ai z i ,ai ∈ C

}



3. Sei V = Vektorraum

Definition

V : ={

(x , y) | x , y ∈ V}

mit

(x1, y1) + (x2, y2) := (x1 + x2, y1 + y2)

(a + ib) (x , y) := (ax − by ,ay + bx)

heißt Komplexifizierung von V

Anmerkung: Denke (x , y) als x + iy .



Seite 96Normen auf komplexen Vektorräumen

|| · || : V → R

wie bei reellen Vektorräumen.Metriken

d(·, ·) : V × V → R

dito.

Abweichungen aber beim Skalarprodukt!

Sei V komplexer Vektorraum. 〈·, ·〉 : V × V → C ist inneres oder skalaresProdukt, wenn

(i) 〈u, v〉 = 〈v ,u〉 ∀ u, v ∈ V ←− hier Abweichung!(ii) 〈λ u, v〉 = λ 〈u, v〉 ∀ u, v ∈ V ,∀ λ ∈ C(iii) 〈u + v ,w〉 = 〈u,w〉+ 〈v ,w〉 ∀ u, v ,w ∈ V(iv) 〈u,u〉 > 0 ∀ u ∈ V \{0}.



Seite 96

Folgerungen:

〈u, λ v〉 = 〈λ v ,u〉 = λ 〈v ,u〉= λ 〈v ,u〉 = λ 〈u, v〉

〈u, v + w〉 = 〈v + w ,u〉 = 〈v ,u〉+ 〈w ,u〉= 〈u, v〉+ 〈u,w〉.

Standard - Skalarprodukt auf Cn

〈u, v〉 : =∑n

i=1 ui vi ; u, v ∈ Cn

Zugehörige euklidische Norm

||u||2 =√∑n

i=1 ui ui =√∑n

i=1 |ui |2 ∈ R.


Lineare Gleichungssysteme

Inhaltsverzeichnis






Lineare Gleichungssysteme Definition und Beispiele

Inhaltsverzeichnis







Lineare Gleichungssysteme Seite 98

Im „linearen Gleichungssystem“

a11 x1 + a12 x2 + · · · + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + · · · + a2n xn = b2

......

...am1 x1 + am2 x2 + · · · + amn xn = bm

sind die Koeffizienten aij und die rechten Seiten bi vorgegeben. Gesucht

werden die Unbekannten xj .

Gleichungssysteme können zeilen- oder spaltenorientiert betrachtet werden:



Spaltenorientiert

1. Vorgegeben: 1 kg Mehl, 2 kg Zucker

Plan: Erstellen von Vanillekipferln und Haselnussplätzchen. Außer Mehlund Zucker alle Zutaten quasi unbeschränkt.

1 Haselnussplätzchen 25 g Zucker, 5 g Mehl1 Vanillekipferl 10 g Zucker, 10 g Mehl

H = Anzahl Haselnussplätzchen, V = Anzahl Vanillekipferl

Haselnuss Vanille ErgebnisZucker 0.025 · H +0.01 · V = 2Mehl 0.005 · H +0.01 · V = 1

H = 50, V = 75



Seite 99

Zeilenorientiert

2. Von p ∈ Π3 weiß man, dass p(0) = 1,p(1) = 2,p(−1) = 5 undp(−2) = 0 ist.

Ansatz: p(x) = a0 + a1x + a2 x2 + a3 x3

unbekannt (∼ aj )

p(0) = 1⇔1 · a0 + 0 · a1 + 02 · a2 + 03 · a3 = 11 · a0 + 1 · a1 + 12 · a2 + 13 · a3 = 21 · a0 + (−1) · a1 + (−1)2 · a2 + (−1)3 · a3 = 51 · a0 + (−2) · a1 + (−2)2 · a2 + (−2)3 · a3 = 0

ai1 x1 ai2 x2 ai3 x3 ai4 x4 bi



3. „Kräfte“ in Stabwerk gesucht

x3

x1 x2

E

x4

x5 x6

vergleiche früher und Skript.


Lineare Gleichungssysteme Lösungsverhalten

Inhaltsverzeichnis







Fragen zu Seite 104

1 · a0 + 0 · a1 + 02 · a2 + 03 · a3 = 11 · a0 + 1 · a1 + 12 · a2 + 13 · a3 = 21 · a0 + (−1) · a1 + (−1)2 · a2 + (−1)3 · a3 = 51 · a0 + (−2) · a1 + (−2)2 · a2 + (−2)3 · a3 = 0

1. Gibt es eine Lösung?

2. Gibt es keine Lösung?

3. Gibt es mehrere Lösungen?

4. Wie sieht die Lösungsmenge aus?

5. Wie kann ich diese Fragen schnell und genau beantworten?



Seite 104

1 · a0 + 0 · a1 + 02 · a2 + 03 · a3 = 11 · a0 + 1 · a1 + 12 · a2 + 13 · a3 = 21 · a0 + (−1) · a1 + (−1)2 · a2 + (−1)3 · a3 = 51 · a0 + (−2) · a1 + (−2)2 · a2 + (−2)3 · a3 = 0

⇐⇒0BBB@a11a21

...am1

1CCCA x1 +

0BBB@a12a22

...am2

1CCCA x2 + · · · +

0BBB@a1na2n

...amn

1CCCA xn =

0BBB@b1b2...

bm

1CCCA⇐⇒

n∑j=1

aj · xj = b, aj ,b ∈ Rm

Sichtweise also: Kombiniere b linear aus den aj .



Seite 104n∑

j=1

aj · xj = b, aj ,b ∈ Rm



Seite 105

Lösung mehrdeutig: a1, · · · ,an l.a.⇒

∃ z1, · · · , zn :n∑

j=1

aj · zj = 0,

z1...

zn

6= 0.

⇒ Mit Lösung (x1, · · · , xn)T von∑

aj · xj = b ist auch(x1 + z1, · · · , xn + zn)T eine Lösung.

Denn:∑nj=1 aj (xj + zj ) =

∑nj=1 aj xj +

∑nj=1 aj zj = b + 0 = b.



Seite 105

Fall

a) b ∈ span{a1, · · · ,an}b) a1, · · · ,an linear abhängig

a) ⇒ ∃ x1, · · · , xn :∑n

j=1 aj xj = b

b) ⇒ ∃ z1, · · · , zn :∑n

j=1 aj zj = 0

⇒

x1...

xn

+ µ

z1...

zn

ist Lösung ∀ µ.



Seite 105 x1...

xn

ist spezielle Lösung des sog.

inhomogenen Systems. (Def. 3.6)n∑

j=1

aj xj = b

z1...

zn

ist Lösung des sog.

homogenen Systemsn∑

j=1

aj · xj = 0



Seite 105

Satz 3.8Man erhält alle Lösungen des inhomogenen Gleichungssystems

n∑j=1

aj · xj = b,

indem man zu einer Lösung x1...

xn

dieses Systems alle Lösungen des homogenen Systems

n∑j=1

aj · xj = 0

addiert.



Seite 106

Beweis

Die Differenz zweier Lösungen

x1...

xn

und

y1...

yn

des inhomogenen

Systems ist wegen

0 = b − b =n∑

j=1

aj xj︸︷︷︸b

−n∑

j=1

aj yj︸︷︷︸b

=n∑

j=1

aj (xj − yj )

Lösung des homogenen Systems. �



Seite 106

∑nj=1 aj · xj = 0

∑nj=1 aj · xj = 0

Lösungsmenge Lösungsraum x1...

xn

speziell

+ L ←− L



Seite 106

L =

x

∣∣∣∣∣∣n∑

j=1

ajxj = 0

bei n > r = dim span{a1, ...,an}

O.b.d.A. a1, ...,ar l.u.

(S)∑r

j=1 ajxj = −∑n

j=r+1 ajxj

(⇔∑n

j=1 ajxj = 0)

1. span{a1, ...,ar} = span{a1, ...,an}⇒ −

∑nj=r+1 ajxj ∈ span{a1, ...,ar}, (S lösbar nach x1, ...xr )

2. a1, ...,ar l.u.⇒ S eindeutig lösbar.

3. (x1, ...xr , xr+1, ..., xn)T ∈ L⇒(x1, ..., xr ) durch (xr+1, ..., xn) eindeutig bestimmt.



Seite 107

L =

x1(xr+1, ..., xn)...xr (xr+1, ..., xn)xr+1...xn

, xr+1, ..., xn ∈ R

;

L = span

x1(1,0, ...,0)...xr (1,0, ...,0)10...0

, ...,

x1(0, ...,0,1)...xr (0, ...,0,1)0...01

.



Seite 107

Satz 3.9

Sei r : = dim span{a1, · · · ,an} und L der Lösungsraum von

n∑j=1

aj xj = 0

Dann ist dim L = n − r

Speziella1, · · · ,an ∈ Rm ⇒ dim span{a1, · · · ,an} ≤ m.

Bei m < n (weniger Gleichungen (unterbestimmt) als Unbekannte) ist L 6= {0}.Es gibt dann also stets nichttriviale Lösungen von

∑nj=0 aj · xj = 0.



Beispiele

1)x1 + x3 + x4 = 2x2 − x3 + 2x4 = 1

⇔

(10

)x1 +

(01

)x2 +

(1−1

)x3 +

(12

)x4 =

(21

)

Basis des R2 ⇒ lösbar, da b bestimmt kombinierbar.



Beispiele

1) (10

)x1 +

(01

)x2 +

(1−1

)x3 +

(12

)x4 =

(21

)

linear unabhängig⇒ r = 2

n = 4⇒ dim L = 2



Eine partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Gleichung istx1x2x3x4

=

2100

.

2 linear unabhängige Lösungen der homogenen Gleichung bekommen wiraus (

10

)x1 +

(01

)x2 = −

(1−1

)x3 −

(12

)x4

Allgemeine Lösung =

2100

+ µ

−1110

+ ν

−1−201

, µ, ν ∈ R.

�



2) Frage: Für welche α ∈ R ist:

1x1 + 1x2 + 2x3 = α2x1 − 2x2 = 43x1 + 1x2 + 4x3 = 2a1 a2 a3

lösbar? 123

1−2

1

204

= a1 + a2

linear unabhängig⇒ r = 2

lösbar⇔

α42

∈ span(a1,a2)⇔ det

α 4 21 2 31 −2 1

= 0.

⇔ α · 8− 4(−2) + 2(−4) = 0⇔ α = 0



System ist für α 6= 0 unlösbar!

Für α = 0 ist eine partikuläre Lösung der inhomogenen Gleichung.

1−10

Eine Lösung der homogenen ist

11−1

.

Da dim L = 3− 2 = 1 reicht das.Allgemeine Lösung x1

x2x3

=

1−10

+ µ

11−1

, µ ∈ R.



Seite 107

Lösbarkeit bei m = n∑nj=1 aj xj = 0 hat nur die 0 als Lösung.

⇒ dim L = 0⇒ Satz 3.9 n − r = 0

⇒ r : = dim span{a1, · · · ,an} = n

⇒ a1, · · · ,an l. u. also Basis von Rn.

⇒∑n

j=1 aj xj = b eindeutig lösbar ∀b.

⇒∑n

j=1 aj xj = 0 eindeutig lösbar .

⇒∑n

j=1 aj xj = 0 hat nur die Nulllösung.

KREISSCHLUSS



Seite 107

Satz 3.10Ein lineares n × n - System ist genau dann für alle rechten Seiten eindeutiglösbar, wenn das zugehörige homogene System nur die triviale Lösung hat.



Seite 107

Satz 3.10 (noch mal)

(1)a11 x1 + · · · + a1n xn = b1

......

an1 x1 + · · · + ann xn = bn

hat für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn.

⇔(2)

a11 x1 + · · · + a1n xn = 0...

...an1 x1 + · · · + ann xn = 0

hat nur die Lösung x = 0.



Seite 107

Hat dagegen (2) eine nichtriviale Lösung, so gilt für (1)

ENTWEDER

(1) hat keine Lösung

b /∈ span{a1, · · · ,an}

ODER

(1) hat∞ - viele Lösungen

x = x speziell + L

Lösungsraum von (2)



Zum Merken: Spezialfalln = 1

n × n− System a · x = b

homogenes System inhomogenes Systemhat nur hat genau

a 6= 0 0-Lösung eine Lösung ∀ ba · x = 0 a · x = b⇒ x = 0 x = b

awenn a 6= 0 bei a 6= 0

homogenes System inhomogenes Systemhat mehrere Lösungen

a = 0 0 · x = 0, x beliebigKeine Lösung ∞ - viele Lösungen0 · x = b 6= 0 0 · x = b = 0

geht nicht x beliebig


Lineare Gleichungssysteme Der Gaußsche Algorithmus

Inhaltsverzeichnis







Zentraler Algorithmus Seite 108

Ziel nunsogenannter GAUSS - ALGORITHMUSFormt ein Gleichungssystem um in ein anderes mit gleicher Lösungsmenge,welches aber „netter“ ist als das Ausgangsproblem.

Erlaubte Umformungen

(i) Multiplikation einer Gleichung mit Zahl 6= 0(ii) Addition Vielfaches einer Gleichung zu einer anderen(iii) Vertauschen zweier Gleichungen.

Was sind „nette“ Gleichungssysteme?

−→ Tafel (∆) (∇)



Seite 108

Kurz - Schreibweise für

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn = bm

Schreibe kurza11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

......

am1 am2 · · · amn bm

m × (n + 1)− Matrix



Seite 109

a11 a12 · · · a1,n−1 a1n b1a21 a22 · · · a2,n−1 a2n b2...

......

......

am1 am2 · · · am,n−1 amn bm

x1 x2 · · · xn−1 xn r .S.

weitere erlaubte Umformung

(iv) Vertausche i − te und j − te Spalte (nicht die letzte Spalte). Aber merke,dass dadurch die Position von xi und xj vertauscht wurden.



Seite 109

a11 a12 a13 · · · · · · a1n b1a21 a22 a23 · · · · · · a2n b2a31 a32 a33 · · · · · · a3n b3...

......

...an1 an2 · · · · · · · · · ann bn

......

......

am1 am2 · · · · · · · · · amn bm

(Fall m > n)

aii = Diagonalelemente der Matrix

ZielEliminiere alle Elemente unterhalb der Diagonale!

GAUSS - ELIMINATION.



Seite 109

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

am1 am2 · · · amn bm



Seite 109

1. SchrittWENN a11 = 0, finde Element aij 6= 0

WENN dieses nicht existiert⇒ STOP

SONST: Tauschei − te und 1. Zeilej − te und 1. Spalte,

so dass danacha11 6= 0 ist. (a11 heißt Pivot - Element des 1. Schrittes.)

Für i = 2, · · · ,m

Ziehe das ai1/a11 - fache der ersten Zeile von der i − ten Zeile ab.

Resultat: a11 a12 a13 · · · a1n b1

0 a(1)22 a(1)

23 · · · a(1)2n b(1)

2...

...0 a(1)

m2 a(1)m3 · · · a(1)

mn b(1)m



Seite 110

2. Schritt (Wenn nicht schon STOP)

Wende 1. Schritt auf das kleinere Systema(1)

22 a(1)23 · · · a(1)

2n b(1)2

a(1)32 a(1)

33 · · · a(1)3n b(1)

3...

a(1)m2 · · · · · · a(1)

mn b(1)m

an. (Falls nicht STOP eintritt).

⇒

a(2)

11 a(2)12 a(2)

23 · · · a(2)1n b(2)

1

0 a(2)22 a(2)

23 · · · a(2)2n b(2)

2

0 0 a(2)33 · · · a(2)

3n b(2)3

......

...0 0 a(2)

m3 · · · a(2)mn b(2)

m



Seite 110

i-ter SchrittWende 1. Schritt an auf das Subsystem

a(i−1)ii · · · a(i−1

in b(i−1)i

...a(i−1)

mi · · · a(i−1)mn b(i−1)

m

von

a(i−1)11 · · · · · · · · · · · · · · · a(i−1)

1n b(i−1)1

0 a(i−1)22

... 0. . .

...... a(i−1)

i−1,i−1 a(i−1)i−1,n b(i−1)

i−1...

... 0 a(i−1)ii · · · a(i−1

in b(i−1)i

......

......

...0 · · · · · · 0 a(i−1)

mi · · · a(i−1)mn b(i−1)

m



Seite 110

i-ter SchrittWiederhole bis zur letzten Gleichung oder bis das Restsystem

verschwindet.

Resultat der ersten Bearbeitungsphase

a(s)11 a(s)

12 · · · a(s)1s a(s)

1,s+1 · · · a(s)1n b(s)

1

0 a(s)22 · · · a(s)

23 a(s)2,s+1 · · · a(s)

2n b(s)2

.... . . . . .

.... . . a(s)

ss a(s)s,s+1 · · · a(s)

sn b(s)3

... 0 0 · · · 0 b(s)s+1

......

......

...0 · · · · · · 0 0 · · · 0 b(s)

m

aii 6= 0



Seite 111

Phase 2Es folgt eine theoretische Phase 2:

(wird praktisch aber so NICHT ausgeführt!)



Seite 111

Phase 2 (Theorie)

a(s)11 a(s)

12 · · · a(s)1s a(s)

1,s+1 · · · a(s)1n b(s)

1

0 a(s)22 · · · a(s)

23 a(s)2,s+1 · · · a(s)

2n b(s)2

.... . . . . .

... 0 a(s)ss a(s)

s,s+1 · · · a(s)sn b(s)

3...

... 0 · · · · · · 0 b(s)s+1

......

......

...0 · · · 0 0 · · · · · · 0 b(s)

m

⇓



Seite 112

1 0 · · · 0 a′1,s+1 · · · a′1n b′1

0 1. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 1 a′s,s+1 · · · a′sn b′s0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 b′s+1...0 · · · · · · · · · · · · · · · 0 b′m

1x1 +a′1,s+1xs+1+ · · ·+ a′1nxn = b′1

1x2 +a′2,s+1xs+1+ · · ·+ a′2nxn = b′2. . .

1xs +a′s,s+1xs+1+ · · ·+ a′snxn = b′s0 = b′s+1...

...0 = b′m



Seite 112

Fall 1

(b′s+1, · · · ,b′m)T 6= 0 ⇒ keine Lösung

Fall 2

(b′s+1, · · · ,b′m)T = 0xs+1, · · · , xn frei wählbar.

Allgemeine Lösung

x =

b′1 − (a′1,s+1xs+1 + · · · + a′1nxn)

b′2 − (a′2,s+1xs+1 + · · · + a′2nxn)...

b′s − (a′s,s+1xs+1 + · · · + a′snxn)

xs+1...

xn



Seite 113

x =

b′1 − (a′1,s+1 xs+1 + · · · + a′1nxn)

b′2 − (a′2,s+1 xs+1 + · · · + a′2nxn)...

b′s − (a′s,s+1 xs+1 + · · · + a′snxn)

xs+1. . .

. . .. . .

xn



Seite 113

x =

b′1...

b′s000...0

+

−a′1,s+1...

−a′s,s+1100...0

xs+1+

−a′1,s+2...

−a′s,s+2010...0

xs+2 + · · ·+

−a′1n...−a′sn

00...01

xn

Diese n− s Vektoren spannen den Lösungsraum L des homogenen Problemsauf.

dim L = n − r ,dim L = n − s ⇒ s = r .



Seite 113

In

1 0 . . . 0 a′1,s+1 . . . a′1n

0. . . . . .

......

......

. . . . . . 0...

...0 . . . 0 1 a′s,s+1 . . . a′sn0 . . . . . . . . 0...

...0 . . . . . . . . 0

sind offenbar s Zeilen - Vektoren l. u.

Wenn wir zeigen können, dass sich beim Gauss - Algorithmus die Anzahllinear unabhängiger Zeilen nicht ändert, haben wir mit r = s gezeigt:



Seite 114

Satz 3.18 (und Definition von „Rang“)

In einer Matrix

A =

a11 · · · a1n...

...am1 · · · amn

∈ Rm×n

ist die Maximalzahl l. u. Spalten gleich der Maximalzahl l. u. Zeilen (r = s).

Diese Zahl heißt der Rang von A.



Seite 113

Wir zeigen allgemeiner

Lemma 3.17Sei V ein Vektorraum, seien

v1, · · · vk ∈ V , j ∈ {1, · · · , k − 1}, λ ∈ R

Dann giltv1, · · · , vk l. u. ⇔ v1, · · · , vk−1, vk + λ v j l. u.

und die linearen Erzeugnisse sind gleich.



Seite 114

Beweis

„⇒ “k−1∑i=1

µi v i + µk (vk + λv j ) = 0⇔

k∑i=1,i 6=j

µi v i + (µj + λµk )v j = 0⇔

a) µi = 0, i = 1. · · · , k ; i 6= j

b)

{µj + λµk︸︷︷︸ = 0

= 0 nach a)

}also auch µj = 0

�



Seite 114

Rückweg „⇐ “ genauso:

v1, · · · , vk−1, vk + λv j

addiere −λv j zum letzten Vektor �



Seite 115

Verfahren zur Gewinnung einer Basis von span{v1, · · · , vk}

Schreibe v1, · · · , vk zeilenweise in eine Matrix.

Wende die erste Phase des Gauss - Algorithmus an.

Mache Spaltenvertauschungen rückgängig.

⇒ Die von Null verschiedenen Zeilenvektoren sind die gewünschte Basis.



Beispiel

000111

020111

000112

010111

010000

0 0 0 1 1 10 2 0 1 1 10 0 0 1 1 20 1 0 1 1 10 1 0 0 0 0

↓



2 4 5 6 1 34 1 1 1 1 0 05 1 0 0 0 0 02 2 1 1 1 0 01 0 1 1 1 0 03 0 1 1 2 0 0

↓

1 1 1 1 0 00 −1 −1 −1 0 00 −1 −1 −1 0 00 1 1 1 0 00 1 1 2 0 0

2 4 5 6 1 31 1 1 1 0 00 −1 −1 −1 0 00 0 0 0 0 00 0 0 0 0 00 0 0 1 0 0

↓

123456

010111

000−1−1−1

000001



Seite 115

Praktische Durchführung desGauss - Algorithmus bei m = n.

A Eliminationsphase

Ersetze: „Suche von aij 6= 0 in Restmatrix“durch „Suche |aij | > |akj | ∀ k ≥ j in aktueller erster Spalte“des Restsystems. Tausche dieses „Pivot - Element“ in die aktuelle 1. Zeiledes Restsystems.Ist bei dieser „Spaltensuche“ |aij | < Tol, so signalisiere „numerischeSingularität“.Wird solches nicht festgestellt, so hat das System nach Phase 1 die Form.

a11 a12 · · · a1n b1

a22...

. . ....

ann bn



Seite 116

B Lösungsphase

xn : = bn/ann

xi : = (bi −n∑

j=i+1

aijxj )/aii

mit i = n − 1(−1)1

Spare Speicher für x

bn : = bn/ann

bi : = (bi −n∑

j=i+1

aijbj )/aii

mit i = n − 1(−1)1

Lösung am Ende im Speicher von b.



Beispiel 3.21 (Pivotisierung) Seite 119

Rechnung mit 3-stelliger Gleitpunktarithmetik

[d.h.: nach jedem Rechenschritt werden die führenden 3 Stellen der Mantisse(gerundet) weiterverwendet].

10−4· x1 +x2 = 1 10−4 = 0.100 · 10−3

x1 +x2 = 0

(10−4 1 | 1

1 1 | 0

)exakt−→

10−4 1 | 10 1− 10000︸︷︷︸

−9999≈−10000

| −10000

Rundung−→(

−10−4 1 | 10 −10−4 | −10−4

)Rückwärts: x2 = 11. Gleichung : 10−4x1 + 1 · 1 = 1⇒ x1 = 0Tatsächliche Lösung: x1 = −1.00010 · · · , x2 = 1.00010 · · ·



Seite 119

Mit Spaltenpivot siehe:(10−4 1 | 1

1 1 | 0

)→(

1 1 | 010−4 1 | 1

)→

1 1 | 00 1− 10−4︸︷︷︸

≈1

| 1

→(1 1 | 00 1 | 1

)Rückwärts einsetzenx2 = 1(1.00010), x1 = −1(−1.00010)

Fehler: ∼ 10−4 ∼ 10−4

gut!


Matrizen

Inhaltsverzeichnis






Matrizen Definition und Beispiele

Inhaltsverzeichnis







MATRIZEN Seite 120

Sylvester [1850], Caley [1858]

A =

a11 a12 · · · a1na21 · · · · · · a2n...

...am1 · · · · · · amn

∈ R(m,n) oder C(m×n)

heißt (m,n) - Matrix (m × n - Matrix).

Elemente

aijZeilenindex↗↖ Spaltenindex

m = n⇔ quadratische Matrix.TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 237 / 309


Schreibweisen Seite 120

A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n

A = (a1, · · · ,an), aj : =

a1j...

amj

A =

A1

...Am

, Ai : = (ai1, · · · ,ain)



Seite 121

Auch Vektoren sind als Matrizen interpretierbar.

x =

x1...

xm

ist (m,1)- Matrix.

Konvention (praktische)

Schreibe (Orts) - Vektoren immer als Spaltvektoren!!



Seite 121Ai : = (ai1, · · · ,ain) wird manchmal als Zeilenvektor bezeichnet.

Bitte nicht verwirren lassen!

Wenn dieser Zeilen“vektor“ wirklich als „Vektor“ des Rn benutztwerden soll, verstehe unter Zeilenvektor

ni : = (Ai )T

Erklärung: C1...

Cn

T

: = (C1, · · · ,Cn)

(C1, · · · ,Cn)T : =

C1...

Cn

„Transposition“

(macht Zeilen zu Spalten und umgekehrt)



Vektorraum der (m,n) - Matrizen Seite 122

A + B = (aij ) + (bij ) : = (aij + bij )

λA = λ(aij ) = (λaij ).

Basis1 0 · · · 00 0 · · · 0...

......

0 0 · · · 0

0 1 0 · · · 00 0 · · · · · · 0...

......

0 0 · · · · · · 0

· · ·

0 · · · · · · · · · 0...

...0 · · · · · · · · · 00 · · · · · · 0 1

R(m,n) isomorph zu R(m×n)

dim R(m,n) = m · n


Matrizen Lineare Abbildungen und Matrizen

Inhaltsverzeichnis







Seite 122

Matrizen dienen zur Beschreibung linearer Abbildungen zwischen endlich -dimensionalen Vektorräumen.

Definition 4.1 Lineare Abbildung

V ,W Vektorräume. DannT : V →W linear, wenn

T (x + y) = T (x) + T (y), ∀ x , y ∈ V

T (λ · x) = λ · T (x), ∀ x ∈ V , λ ∈ R



Linearität ist wie der „Preis“ beim Einkaufen

Preis

3 Pakete Butter

4 Kg Mehl3l Milch

1 1/2 Kg Braten

=

3∗ Preis (1 Pak. Butter)+4∗ Preis (1 Kg Mehl)+3∗ Preis (1l Milch)+1.5∗ Preis (1 Kg Braten)

Sonderangebote 1 Kg Senf 5 Euro10 Kg Senf 40 Euro sind nichtlinear



Beispiele (pro) Seite 123

1. Drehungen: Ebene um Nullpunkt.R3 um Achse durch Nullpunkt.

2.x → λx , λ ∈ R fest(

x1x2

)→(λ1x1λ2x2

), λi ∈ R fest.

3. Mit A = (aij )i = 1, · · · ,mj = 1, · · · , n

∈ Rm,n

A : Rn → Rm

Rn 3 x →

a11x1 + · · · + a1nxn...

am1x1 + · · · + amnxn

∈ Rm

linear.↑ Das wird die Standard - Inkarnation einer linearen Abbildung werden.



Seite 123

4.ddx

:

{Πn → Πn−1p 7→ p′

5.

Int1 :

{Πn → Rp 7→

∫ 10 p(s)ds

Int2 :

{Πn → Πn+1

p 7→∫ x

0 p(s)ds



Beispiele (contra) Seite 124

1. Verschiebungx 7→ x + c, c ∈ V c 6= 0 fest.

2. Drehung um Punkt in Ebene 6= Nullpunkt.Drehung des R3 um Achse nicht durch Nullpunkt (und nicht um 2π).



Seite 124

ACHTUNG!

Sehr wichtig

⇓



Seite 124

Lineare Abbildung

Lineare Abbildung T : V →W ist durch Wirkung auf eine Basis v1, · · · vn vonV festgelegt.

T : v i → T (v i )

v ∈ V ⇒ ∃!ξ1, · · · , ξm ∈ R : v =n∑

i=1

ξiv i

⇒ T (v) = T (n∑

i=1

ξiv i ) =n∑

i=1

ξi T (v i ) = W

(w ∈ w ⇒ ∃!ζ1, · · · , ζm : w =

m∑i=1

ζiw i

)



Seite 124

T : V →Wn∑

i=1

ξiv im∑

j=1

ζjw j

ξ1...ξn

−→ ζj

...ζm

Wie? mit Matrix T



Seite 125

T : V →W

v1, · · · , vn︸︷︷︸Basis

w1, · · · ,wm︸︷︷︸Basis

T : v j → T (v j ) =m∑

i=1

tij w i

v1 v2 · · · vn

w1 t11 t12 · · · t1nw2 t21 t22 · · · t2n...

......

...wm tm1 tm2 · · · tmn

v =∑

ξiv i

„Willst die Matrix Du erhalten,

schreib die Bilder in die Spalten“



Rotkäppchens Diätplan

Ananas Wein Orangen SahnePreis 2.00 8 0.50 1.39Fett 0.02 0.01 0.05 30

Zucker 200 30 15 1

Korb mit:

AnanasWein

OrangenSahne

2132

−→ 2 · 2.00 + 1 · 8 + 3 · 0.5 + 2 · 1.39 P2 · 0.02 + 1 · 0.01 + 3 · 0.05 + 2 · 30 F2 · 200 + 1 · 30 + 3 · 15 + 2 · 1 Z



Seite 125

v ∈ V ⇒ v =n∑

j=1

ξjv j

T (v) =m∑

i=1

ζiw i ζi ?

T (v) = T( n∑

j=1

ξjv j)

=n∑

j=1

ξj T (v i ) =n∑

j=1

ξj

m∑i=1

tij w i =m∑

i=1

( n∑j=1

tijξj

)w i



Seite 125

T (v) =n∑

j=1

(ξjT (v i ))

=n∑

j=1

ξj

m∑i=1

tij w i

=n∑

j=1

m∑i=1

ξj tij w i

=m∑

i=1

( n∑j=1

tijξj

)︸︷︷︸

ζi

w i

ζ1 = t11 ξ1 + · · ·+ t1nξn, · · · , ζm = tm1 ξ1 + · · ·+ tmnξn

FazitLineare Abbildungen lassen sich durch zugeordnete Matrizen in denEntwicklungs- koeffizienten (bzgl. gegebener Basen) ausdrücken.



Seite 125

T :dim nV →

dim mW

v =n∑

j=1

ξjv j → w =m∑

i=1

ζiw i

ξ1...ξn

→ ζ1

...ζm

=

∑n

j=1 t1jξj...∑n

j=1 tmjξj

T ≈ T =

t11 · · · t1n...

tm1 · · · tmn

Abbildung↔ Matrix



Beispiele

1.

T : R3 → R3

e1 → e2

e2 → e3

e3 → e1

T =

e1 e2 e3

e1 0 0 1e2 1 0 0e3 0 1 0



2.

T : R3 → R3

v1 =

123

→ w1 =

−15

27

v2 =

234

→ w2 =

111

v3 =

002

→ w3 =

10−1

(1)

T =

v1 v2 v3

w1 1w2 1w3 1



3.T : R2 → R2

v i = ei ,w i = ei , i = 1,2

e1

e2

T (e1)T (e2)

ϕϕ

ϕ = π4

T =

v1 v2

w1 1/√

2 −1/√

2w2 1/

√2 1/

√2

T(

x1x2

)=

(1/√

2 x1 − 1/√

2 x2

1/√

2 x1 + 1/√

2 x2

)TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 258 / 309


4.

T : R3 → R3 1−10

→

111

0

1−1

→

110

0

01

→

100

Aber Darstellung bzgl. der Standardbasen gewünscht.



Was nun?

Wir benötigen für T die Bilder von e1,e2,e3!Aber

T

100

= T

1−10

+ T

01−1

+ T

001

= 111

+

110

+

100

=

221

T

010

= T

01−1

+ T

001

=

110

+

100

=

210

T

001

= T

001

=

100



T e1 =

321

= 3e1 + 2e2 + 1e3

T e2 =

210

= 2e1 + 1e2 + 0 · e3

T e3 =

100

= 1 · e1 + 0 · e2 + 0 · e3

T =

3 2 12 1 01 0 0

Fertig.



Test Seite 125

T ·

110

=3 · 1 + 2 · (−1) + 0 · 1 =2 · 1 + 1 · (−1) + 0 · 0 =1 · 1 + 0 · (−1) + 0 · 0 =

111

= T

110

X3 2 1

2 1 01 0 0

1−10

=

b1

b2

b3

v =

< b1, v >< b2, v >< b3, v >

Matrix-Vektor Multiplikation



Seite 126

t11 · · · t1n...

tm2 · · · tmn

x1

...xn

=

t11x1 + t12x2 + · · ·+ t1nxnt21x1 + t22x2 + · · ·+ t2nxn

...tm1x1 + tm2x2 + · · ·+ tmnxn

∈ Rm



Beispiele Seite 126

1. 1 −1 21 2 31 0 12 −2 0

1

1−1

=

−2000

1 1

2 −13 −1

( 10

)=

123



Seite 127

2. x , y ∈ Rn :

xT y = (x1, · · · , xn)

y1...

yn

=

n∑i=1

xiyi =< x , y >eukl.

xT y = yT x = (y1, · · · , yn)

x1...

xn

Aber (noch!) nicht

= xyT oder= yxT !!! 6= Matrix · Vektor.



Weitere Beispiele für Matrixdarstellungenlineare Abbildungen

Seite 127

Beispiel 4.8V ,W endlich dim. Vektorräume;N : V →W NullabbildungN : v → 0 ∀ v ∈ V

{v1, · · · , vn} bzw. {w1, · · · ,wn}beliebige Basen in V bzw. W

Dann

N (v i ) = 0 =m∑

i=1

0 · w i

⇒ N wird durch Nullmatrix

lusch, lusch −→ 0 =

0 · · · 0...

...0 · · · 0

dargestellt.



Seite 127Beispiel 4.9V endlich dim. Vektorraum und

I :

{V → Vv → v

die identische Abbildung.Stellt man die Identität bzgl. derselben Basis {v1, · · · , vn} in Bild - undUrbildraum dar, so hat man wegen

I(v j ) = v j = 0v1 + ·+ 0 · v j−1 + 1v j + 0 · v j+1 + · · ·+ 0vn

als j − te Spalte der darstellenden Matrixgerade ei

Es ist also T durch die Einheitsmatrix

En =

1 0 · · · · · · 0

0 1...

... 0. . .

......

.... . . . . . 0

0 0 · · · 0 1

dargestellt.



Seite 128

Beispiel 4.10Achtung! Identität wird nicht mehr durch E dargestellt, wenn in Urbild und Bild

I : V −→ V

{v1, · · · , vn} {w1, · · · ,wn}

verschiedene Basen verwendet werden.

Wozu so´n Quatsch?Damit wir sie in der Klausur besser fressen können? Nein! Sondern?



Ihre Basis für R3 100

,

010

,

001

Karl-Heinz’ Basis 1

23

,

456

,

78

10

︸︷︷︸

in Ihrem System beschrieben

Wenn Karl-Heinz durch

z1z2z3

einen Vektor beschreibt, dann erhalten Sie

die Darstellung

x1x2x3

in Ihrer Basis über

x1x2x3

= T

z1z2z3

wenn



I

R3 −→ R3

Karl-Heinz’ Weltsicht −→ Ihre WeltsichtT -Matrix

T =

1 4 72 5 83 6 10



Seite 129Beispiel 4.11Matrixdarstellung Drehung des R2 um Nullpunkt um Winkel ϕDarstellung bzgl. Standardbasis in Urbild - und Bildraum.

e1

e2

T (e1)T (e2)ϕ

ϕ

Länge erhalten

T(

10

)=

(cosϕsinϕ

)= cosϕ

(10

)+ sinϕ

(01

)T(

01

)=

(cos(π/2 + ϕ)sin(π/2 + ϕ)

)=

(− sinϕcosϕ

)= − sinϕ

(10

)+cosϕ

(01

)T =

(cosϕ− sinϕsinϕ cosϕ

)Tx =

(x1 cosϕ− x2 sinϕx1 sinϕ+ x2 cosϕ

)TUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 271 / 309


Seite 130Beispiel 4.12 (Achtung: Theoretisches Beispiel)V = W = R3

T = Spiegelung an

E : = {x ∈ R3|x1 + x2 + x3 = 0}

z1 : =

1−10

, z2 : =

01−1

, z3 =

111

︸︷︷︸

Beschreibung bzgl. Basis {z1,z2,z3} in Urbild und Bild einfach.

T (z1) = z1,T (z2) = z2,T (z3) = −z3

⇒ T =

1 0 00 1 00 0 −1

Vermutlich interessanter: Matrix bzgl. Einheitsvektor.Dazu T (ei ) benötigt.



Seite 131

Für T (ei ) drücke ei aus in z1, · · · z3

z1λ1 + z2λ2 + z3λ3 = e1

ist lin. Gleichungssystem. 1 0 1 1−1 1 1 00 −1 1 0

Gauss liefert

λ1 =23, λ2 − λ3 =

13



Seite 131

Nun

T (23

z1 +13

z2 +13

z3) =23

T (z1) +13

T (z2) +13

T (z3)

=23

z1 +13

z2 − 13

z3

=

1/3−2/3−2/3

← 1. Spalte von T

Rest analog.

(Achtung: Spiegelung rechnet man anders aus!wird später VIEL einfacher)



Seite 133Beispiel 4.15

δ :Πn −→ Rp −→

∫ 10 p(s)ds

1, x , x2, · · · , xn 1

p(x) =n∑

i=0

αixi

p wird bzgl. Basis 1, x , x2, · · · , xn durch α : = {α0, α1, · · · , αn} ∈ Rn+1

dargestellt.

g(xk ) =

∫ 1

0xk dx =

1k + 1

→ [(k + 1)− te Spalte]

Matrix = (· · · , [(k + 1)-te Spalte], · · · )

G = (1,12,

13, · · · , 1

k + 1)

g(p) = Gα


Matrizen Matrizenprodukt

Inhaltsverzeichnis







Seite 133

Jetzt: Ziel Matrixmultiplikation

B AU −→ V −→ W

u1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm

(bij ) (aij )

Mit A,B auch A ◦ B =: C linear!



Seite 134Matrix (ckj ) ?

x =

p∑j=1

xj uj , B(x) =n∑

i=1

( p∑j=1

bij xj

)v i

A(B(x)) =n∑

i=1

( p∑j=1

bij xj

)A(v i )

=n∑

i=1

( p∑j=1

bij xj

) m∑k=1

aki wk

=m∑

k=1

( p∑j=1

( n∑i=1

akibij

)︸︷︷︸

ckj

xj )wk



Seite 134B A

U −→ V −→ Wu1, · · · ,up v1, · · · , vn w1, · · · ,wm

(bij ) i=1,··· ,nj=1,··· ,p

(aij ) k=1,··· ,mi=1,··· ,n

−→C = A · B

(ckj ) k=1,··· ,mi=1,··· ,n

ckj =n∑

i=1

aki bij

C : = A · B︸︷︷︸Matrixprodukt



Bemerkungen: Seite 135

1) A · B = CInneres Produkt (euklidisch)Längen müssen passen!⇔ Dimension des Bildraumes von B =Dimension des Definitionsbereiches von A.

2) m{

(A)︸︷︷︸n



Seite 136

3)A · B erklärt

B · A erklärt

Und wenn das (zufällig) der Fall sein sollte, so sind sie nicht notwendiggleich!

Matrixmultiplikation ist NICHTkommutativ!

Bei AB = BA sind A,B vertauschbar.



Seite 137

4)(

0 10 0

)(0 10 0

)=

(0 00 0

)⇒ (Nicht - Null) mal (Nicht - Null) = Null möglich

5) A · x konsistent mit Matrixmultiplikation.

6) Matrixmultiplikation ist assoziativ wichtig! Tafel→ (immer auf die Kleinen!)

Es gelten die Distributivgesetze

1.(A + B)C = AC + BC

2.A(C + D) = AC + AD

2 Stück nötig, da keine Kommutativität



Seite 135

7) x =

x1...

xn

y =

y1...

yn

xT : = (x1, · · · , xn)

xT y = (x1, · · · , xn)

y1...

yn

=n∑

i=1

xiyi

yxT =

y1...

yn

(x1, · · · , xn)

=

y1x1 · · · y1xny2x1 · · · y2xn

...ynx1 · · · ynxn

Dyadisches Produkt!↗



Seite 135

Auch für x ∈ R, y ∈ R (m 6= n) sind yxT und xyT erklärt (nicht aberxT y , yT x !)

yxT =

y1...

yn

(x1, · · · , xn) =

y1x1 y1x2 · · · y1xny2x1 y2x2 · · · y2xn

......

...ymx1 ymx2 · · · ymxn

xyT =

x1...

xn

(y1, · · · , ym) =

x1y1 x1y2 · · · x1ymx2y1 x2y2 · · · x2ym

......

...xny1 xny2 · · · xnym

Achtung! Dient nur zur Erläuterung↗. Zeigt, dass yxT und xyT Matrizen sind!



Seite 138

In der Praxis multipliziert man xyT

und yxT um Gottes Willen NICHTaus.

Warum nicht?Weil die Anwendung dann einfacher wird

yxT z = y (xT z)︸︷︷︸α ∈ R

= αy

yxTm

nz n

ym xT

n z n

Bild immer Vielfaches von yTUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 285 / 309


rang(yxT ) = rang

y1x1 y1x2 · · · y1xn...

......

ymx1 ymx2 · · · ymxn

=

{1 wenn x 6= 0 ∧ y 6= 00 sonst.

Bemerkung

Jede Matrix vom Rang 1 hat eine Darstellung yxT .

Beweis

A ∈ Rm,n, (a1, · · · ,an)rang(A) = 1⇒ dim span{a1, · · · ,an} = 1Sei {y} Basis. Dann ∃ λi : ai = yλi ⇒

A =

y1λ1 y1λ2 · · · y1λn...

......

ymλ1 ymλ2 · · · ymλn

⇒ A = y

λ1...λn

T

�



Folie 2 zum Übers-Bett-Hängen

a

b

α

Pa(b) = a〈a,b〉〈a,a〉

〈a,b〉 = aT b

= Pa(b) =a aT baT a

Pa =aaT

aT aTUHH Prof. Dr. Mackens Lineare Algebra I WiSe 07/08 287 / 309


Seite 86

Satz 2.58

v1, ..., vn Orthonormalbasis

V =n∑

j=1

〈v , v j〉v j

v =n∑

j=1

v j〈v , v j〉 =n∑

j=1

v jv j T v

=(∑

v jv j T)

︸︷︷︸E

v

E =n∑

j=1

v jv j T



Seite 214Einfacherer Methode für Spiegelung (Verbesserung von Beispiel 4.12)

Ergänze v1 =

111

zu Orthogonalsystem (v1, v2, v3)

Fourierentwicklung

v = 〈v1,v〉〈v1,v1〉v

1 + 〈v2,v〉〈v2,v2〉v

2 + 〈v3,v〉〈v3,v3〉v

3

v = v1v1 T

v1 T v1 v +v2v2 T

v2 T v2 v +v3v3 T

v3 T v3 v = Ev

Hv = −v1v1 T

v1 T v1 v +v2v2 T

v2 T v2 v +v3v3 T

v3 T v3 v

=(

E − 2v1v1 T

v1 T v1

)v .

Kenntnis von v2 & v3 nicht nötig


Matrizen Lineare Systeme und Inverse

Inhaltsverzeichnis







Seite 140Lineares Gleichungssystem

(LGS)

a11 · x1 + a12 · x2 + a13 · x3 + · · · a1n · xn = b1a21 · x1 + a22 · x2 + a23 · x3 + · · · a2n · xn = b2

...am1 · x1 + am2 · x2 + am3 · x3 + · · · amn · xn = bm

MitA = (aij )i = 1, · · · ,m

j = 1, · · · , n∈ Rm,n

x ∈ Rn,b ∈ Rm

Ist(LGS) ⇔ A x = b

Bestimme also x ∈ Rn mitA x = b



Seite 141

A : V −→W linear

Basen: v1, · · · , vn −→ w1, · · · ,wn

ist Matrix A zugeordnet.

Umgekehrt: Bei Vorgabe von V ,W mit Basen ist auch A eindeutig Azugeordnet.

Abbildung A hängt aber immer von V ,W und Basen ab.

Wenn wir im Folgenden von einer (m,n)- Matrix A zugehörigen Abbildung Asprechen, meinen wir die zugehörige Abbildung von

V = Rn →W = Rm

mit Basene1, · · · ,en und e1, · · · ,em



Seite 141

Wie im Gaußschen Algorithmus betrachte zu linearem Gleichungssystem

A x = b

neben der Matrix A die erweiterte Matrix

(A,b) =

a11 · · · a1n | b1... |

...am1 · · · amn | bm

⇓ GAUSS ⇓



Seite 142

1 0 · · · 0 a′1,r+1 · · · a′1n | b′1

0. . . . . .

......

... |...

.... . . . . . 0

...... |

...0 · · · 0 1 a′r ,rn · · · a′r ,n | b′r0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′r+1...

......

... |...

0 · · · · · · 0 0 · · · 0 | b′m

Rang =

{r wenn b′r+1, · · · ,b′m = 0r + 1 sonst

Gauss ändert Rang nicht⇒



Seite 142

Satz 4.23A ∈ Rm,n,b ∈ Rm gegeben.Dann ist

A x = b

genau dann lösbar, wenn

Rang(A,b) = Rang(A).

Besonders wichtiger Fall

A x = bRang A = n ⇒ immer Rang(A,b) = Rang(A)

⇒ A x = b immer lösbar

Wie wir wissen sogar immer eindeutig.



Seite 141

A x = b

A : Rn −→ Rm

xzu findendes Urbild

−→ bvorgegebenes Bild

A = (a1, · · · ,an)

1. Rang A = n ⇔ a1, · · · ,an l.u.⇔ ∀b ∃ höchstens eine Lösung⇔ A injektiv

2. Rang A = m ⇔ dim span{a1, · · · an} = m⇔ ∀b durch a1, · · · ,an linear erzeugbar⇔ A surjektiv

3. Rang A = n = m ⇔ A bijektiv



Seite 142

Da (n,n)- Matrizen mit vollem Rang n so wichtig sind, bekommen sie einenextra Namen.

Definition 4.24

A ∈ R(m,n) heißt regulär (oder nicht singulär) wenn(i) m = n(ii) Rang (A) = n = maximal.

Ist für A ∈ R(n,n) Rang (A) < n, so heißt A singulär (oder nicht regulär)

Wiederholung:Ist A ∈ R(n,n) regulär, so hat

A x = b

für alle b ∈ Rn eine eindeutige Lösung x ∈ Rn und umgekehrt.



Beispiele regulärer Matrizen Seite 142

1.En = diag(1, · · · ,1) ∈ R(n,n) ist regulär

„Beweis 1“: Die Einheitsvektoren e1, · · · ,en sind linear unabhängig.

„Beweis 2“: En x = b ist für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar, nämlich durchx = b



Seite 142

2.diag(d1, · · · ,dn) ∈ R(n,n) ist regulär

⇔

di 6= 0 ∀ i = 1, · · · ,n

„Beweis 1“ (Skript):(d1e1, · · · ,dnen) sind genau dann l.u. wenn di 6= 0, i = 1, · · · ,n

„Beweis 2“:diag(d1, · · · ,dn)x = b

⇔d1x1 = b1...dnxn = bn

eindeutig lösbar für alle b1, · · · ,bn ⇔ d1, · · · ,dn 6= 0



Seite 143

3. Dreiecksmatrizen

L =

l11 0 · · · 0

l21 l22. . .

......

. . . 0ln1 · · · · · · lnn

,R =

r11 · · · · · · r1n

0. . .

......

. . . . . ....

0 · · · 0 rnn

sind genau dann regulär, wenn all ihre Diagonalelemente von Nullverschieden sind. Genau dann sind nämlich

L x = b bzw. R x = b

für alle b ∈ Rn eindeutig lösbar. (Vorwärtseinsetzen bzw.Rückwärtseinsetzen)



Seite 143

zu 3. Beispiel:0 1 2 3

1 2 32 3

3

x =

1000

nicht lösbar.

0 1 2 30 1 2 30 0 2 30 0 0 3

x =

0...0

„mehrfach“ lösbar. x = λe1, λ ∈ R



Seite 143A regulär

⇔

A bijektiv

⇔

A hat Umkehrabbildung (A−1)

Behauptung

(A−1) ist linear.

BeweisZu zeigen ist: Für

y1, y2 ∈ Rn, α, β ∈ R

giltA−1(αy1 + βy2) = αA−1(y1) + βA−1(y2)



Seite 143

Aber seien

x1 = A−1(y1), y1 = A(x1)⇔

x2 = A−1(y2), y2 = A(x2)

Dann

αy1 + βy2 = αA(x1) + βA(x2) =Linearität von A

A(αx1 + βx2)

Also

A−1(αy1 + βy2) = αx1 + βx2 = αA−1(y1) + βA−1(y2) �



Seite 143

A regulär

⇔

A bijektiv

⇔

A hat Inverse (A−1)

undA−1 ist linear.

⇒ A−1 wird durch eine Matrix dargestellt

A−1

die inverse Matrix zu A.



Seite 144

Wegen A−1 · A = id ist

⇒ A−1 · A = E =

1 0 · · · 0

0 1. . .

......

. . . . . . 00 · · · 0 1



Seite 139

Schreibweise der Einheitsmatrix

E oder I oder

En oder In (Betrag der Dimension)

Für E giltEmB = BBEn = B

}für B ∈ Rm,n



Behauptung A−1A = E ⇒ AA−1 = E Seite 144

∀x ∈ Rn :

Ax︸︷︷︸durchläuft alle y∈Rn wenn x Rn durchläuft

= A · Ex = A(A−1A)x = (A A−1)Ax

Alsoy = (A A−1)y ∀ y ∈ Rn

⇒ A A−1 = E



Seite 144AlsoA−1A = E = AA−1

Interpretationen:(i) A und A−1 vertauschbar(ii) „Linksinverse“ = „Rechtsinverse“(iii) (A−1)−1 = A

Wenn man die Inverse A−1 hat, kann man formal

A x = b

lösen durchA−1A︸︷︷︸

E

x = A−1b

alsox = A−1b

Wie rechne ich A−1 aus?



Hauptsatz (der praktischen linearen Algebra)

Wer (unnötig) Matrizen invertiert istDOOF!

Warum? Weil’s zu viel Arbeit macht und anders schneller geht (meistens)!


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