Lineare Algebra - TUM...– Lineare Algebra ... (4) 0 ist kein Nachfolger (5) Vollständigkeit 1....

Erganzendes Material

zur Vorlesung

Hohere Mathematik 1 (EI/IT)

Folien zum Buch

Hohere Mathematik 1

(Meyberg/Vachenauer)

– Lineare Algebra –

von Dr. Peter Vachenauer

Download unter

http://www-hm.ma.tum.de/ws0506/ei1/

oder auf den CLIX-Seiten zur Vorlesung

Die natürlichen Zahlen

Peano-Axiome (R. Dedekind 1888, G. Peano 1891)

Das Induktionsprinzip

Dann folgt mit (5), dass die Aussage A(n) für alle richtig ist.

Rekursive Definition

Bezeichnungen. Fakultät (Faktorielle) von n 0! := 1 , (n+1)! := (n+1) n! .

Fallende Faktorielle : für .

Binomialkoeffizient „n über k“ : oben und unten gleich viele Faktoren

k-Permutationen aus n : = Anzahl von verschiedenen (geordneten) k-Tupeln aus einer n-elementigen Menge

k-Kombinationen aus n : = Anzahl von verschiedenen (ungeordneten) k-elementigen Teilmengen aus einer n-elementigen Menge

Drei wichtige Formeln. a) Arithmetische Summe

b) Geometrische Summe

c) Binomische Formel

(1) Erstes Element

(2) Jede Zahl hat Nachfol-ger

(3) Nachfolge ist injektiv

(4) 0 ist kein Nachfolger

(5) Vollständigkeit

1. Schritt Zeige: Die Ausage A(0) ist richtig.

2. Schritt Zeige für beliebiges : A(n) ist richtig A(n+1) ist richtig.

1. Schritt Objekt (Element, Abbildung) vorgeben.

2. Schritt Vorschrift angeben, die Objekt durch ausdrückt.

N0 := {0, 1, 2, 3, 4, . . . }

0 N0∈

n N0 n 1+ N0 ∈∈∀

n m, N0 n m≠( ) n 1 m 1+≠+⇒∈∀

n N0 n 1+( ) 0≠∈∀

M N0⊂∀ ( 0 M∈( ) n M∈( ) n 1+( ) M) M N0=⇒∈⇒∀∧

n 0≥ ⇒

n N0∈

A0

An 1+ A0 … An, ,

nk := n n 1–( )… n k– 1+( )⋅ k n≤

n

k

k!----- n n 1–( ) … n k– 1+( )⋅ ⋅ ⋅

k k 1–( )…2 1⋅⋅----------------------------------------------------------------- n!

k! n k–( )!-----------------------= =

nk

nk

kk 1=

n

∑ 1 2 … n+ + +n n 1+( )

2--------------------= =

mk

k 1=

n

∑ 1 m m2 … mn+ + + +n 1 , falls m=1+

mn 1+ 1–m 1–

------------------------ , falls m 1≠

= =

a b+( )n

k 0=

n

∑ nk

an k– bk=

14.10.04 P.Vachenauer

Guiseppe Peano 1858 - 1932 Turin

Der reelle Zahlkörper Modell Zahlengerade ohne Lücken (Anwendung: Messlatte, Zeitskala)

Die 3 Verknüpfungen Addition + : R R R , Multiplikation : R R R Anordnung : R R {T, F}

Die 13 Axiome der reellen Zahlen Addition (Axiome für eine kommutative additive Gruppe)

Multiplikation (Axiome für eine kommutative multiplikative Gruppe)

Anordnung Es gibt genau eine Teilmenge der positiven Zahlen

Abgeleitete Beziehungen. und

Vollständigkeit (nach R. Dedekind 1872) „R hat keine Lücken“

(13) Für jede Zerlegung gibt es eine Schnittzahl s :

Nach oben beschränkte Menge . Jedes solche b heißt obere Schranke von . Das Supremum von S ist die kleinste obere Schranke von S . Damit ist die Vollständigkeit äquivalent mit der Forderung(13‘) Jede nach oben beschränkte Menge in R hat ein Supremum

(1) Assoziativität der Addition

(2) Existenz der Null

(3) Existenz des Negativen

(4) Kommutativität der Addition

(5) Assoziativität der Multiplikation

(6) Existenz der Eins

(7) Existenz des Inversen

(8) Kommutativität der Multiplikation

(9) Distributivgesetz

(10) Trichotomie Exklusiv

(11) Monotonie von Plus

(12) Monotonie von Mal

× → ⋅ × →≤ × →

x y z+( )+ x y+( ) z+=

0 R a R a 0+∈∀∈∃ a=

a R ∈∀ a–( ) R ∈∃ a a–( )+ 0=

x y+ y x+=

x y z⋅( )⋅ x y⋅( ) z⋅=

1 R a R a 1⋅∈∀∈∃ a=

a R\{0} ∈∀ a 1– R ∈∃ a a 1–⋅ 1=

x y⋅ y x⋅=

x y z+( )⋅ x y x z⋅+⋅=

P := a R ; 0∈ a<{ }

a R ∈∀ 0 a<( ) 0 a–<( ) a = 0( )∨ ∨

a b, R 0 a<( ) 0 b<( ) 0 a b +<⇒∧∈∀

a b, R 0 a<( ) 0 b<( ) 0 a b ⋅<⇒∧∈∀

a b := 0 b a–<< a b : a b<( ) (a=b )∨⇔≤

R L R L ∅ R ∅ l r l, L∈ r R∈ l r<⇒∧∀,≠,≠,∪= l L∈( ) r R∈( ) l s r≤ ≤∀∀

S R ⊂ : b R∈( ) s S∈( ) s b≤∀∃⇔S

supS


Intervalle und der Betrag in IR Intervalle sind für die Analysis die wichtigsten Teilmengen von R ( )

Das Symbol vermeidet Fallunterscheidungen:

Die εε-Umgebung von a ist das offene Intervall mit

Der Betrag ist für jede reelle Zahl x erklärt als Der Graph

Rechenregeln für den Betrag

abgeschlossenes Intervall

offenes Intervall

(rechts) halboffenes Intervall

(links) halboffenes Intervall

Multiplikativität ,

, falls

Dreiecksungleichung

Geometrische Deutung

ist der Abstand der Punkte a und b auf der reellen Zahlengeraden

a b R a b<,∈,

a b,[ ] := x R ; a x b≤ ≤∈{ }

a b,( ) := x R ; a x b< <∈{ }

[a b, ) := x R ; a x b<≤∈{ }

(a b] := x R ; a x< b≤∈{ },

∞∞∞– ∞,( ) := R

( ∞– b, ] := x R ; x b≤∈{ } [a ∞, ) := x R ; a x≤∈{ }

( ∞– b, ) := x R ; x b<∈{ } (a ∞, ) := x R ; a x<∈{ }

a ε a ε+,–( ) ε 0>

y x=

x := x2 x , x 0≥x , x 0<–

=

a b⋅ a b⋅=

ab---

ab

-----= b 0≠

a b+ a b+≤

a b–


a - ε a a + ε

x

y

a b

a b–

Darstellung reeller Zahlen

Das Positionssystem. Jede reelle Zahl x kann geschrieben werden in der Form

x = x mBm + xm – 1Bm– 1 +…+ x0B0+ x –1 B–1+…=(xm xm – 1 … x0 , x –1 …)B

Die natürliche Zahl B > 1 ist die Basis und jede Ziffer xi eine der Zahlen 0, 1, …, B – 1. Beispiel. x = „sechsunddreißig plus drei Achtel“ im Dezimal- und Binärsystem:

x = 3 · 101 + 6 · 100 + 3 · 10 –1+ 7 · 10 –2 + 5 · 10–3 = (36,375)10

x = 1 · 25+ 0 · 24+ 0 · 23+ 1 · 22+ 0 · 21+ 0 · 20+ 0 · 2– 1+ 1 · 2– 2+ 1 · 2–3 = (100100,011)2

(B → 10). Hat X im System mit der Basis B die Darstellung (XmXm – 1 … X0 , X–1 …)B , soergibt sich die Dezimaldarstellung von X durch dezimale Berechnung der Summe

X = Xm Bm + Xm – 1 Bm – 1 + … + X0 + X –1 B – 1 + … (Horner-Schema anwenden!)

(10 → B). Um die positive Dezimalzahl X im System mit der Basis B darzustellen, ist zu-nächst der ganze Anteil Y von X und dann der gebrochene Anteil Z von X zu berechnen.

Der ganze Anteil Y

(i) Dividiere Y durch B: Q1 sei Quotient und R1 der Rest (R1 = 0, 1, …oder B – 1), dann ist R1 die erste Ziffer von rechts von Y in der Basis B

(ii) Dividiere Q1 durch B: Quotient sei Q2 , Rest sei R2 R2 ist die zweite Ziffer von rechts

(iii) Analog fortfahren bis der Quotient Null wird

Der gebrochene Anteil Z

(i) Multipliziere Z mit B. Sei I1 der ganze Anteil des Produkts (I1 = 0, 1, … oder B – 1) und F1 der neue gebrochene Anteil, dann ist I1 die erste Ziffer von links des gebrochenen Anteils Z in der Basis B

(ii) Multipliziere F1 mit B. Sei I2 der ganze und F2 der gebrochene Anteil des Produkts, dann ist I2 die zweite Ziffer des gebrochenen Anteils in der Basis B

(iii)Analog fortfahren bis das Produkt eine ganze Zahl ist oder bis die gewünschte Zahlvon Stellen berechnet ist

Beispiel. X = (12345,6789)10 und B = 8

⇒


(Aus Springers Mathematische Formeln S.57)

Y = 12345, B = 8Y/8 = 1543 + 1/8, d.h.Q1 = 1543R1 = 1

Q1/8 = 192 + 7/8, d.h.Q2 = 192 R2 = 7Q3 = 24 R3 = 0Q4 = 3 R4 = 0Q5 = 0 R5 = 3

Y = (30071)8 .⇒

Z = 0,6789, B = 8Z · 8 = 5,4312 , d.h.I1 = 5 F1 = 0,4312

F1 · 8 = 3,4496 , d.h.I2 = 3 F2 = 0,4496I3 = 3 F3 = 0,5968I4 = 4 F4 = 0,7744I5 = 6 F5 = 0,1952 etc.

Z ≈ (0,5335)8 und X ≈ (30071,5335)8 ⇒

Umwandlungsalgorithmen.

Zeilen, Spalten, MatrizenK bezeichnet einen Zahlkörper, z.B. Q, R, C . m, n ist aus N .

Raum der Spalten (Spaltenvektoren) Kn :=

xk ist k. Komponente der Spalte. Nullspalte (Nullvektor) 0 : jede Komponente = 0.

Raum der Zeilen (Zeilenvektoren) Kn :=

Raum der Matrizen :=

Spaltenform einer Matrix mit

Zeilenform einer Matrix mit

Summe von Spalten (Zeilen) Komponentenweise Addition in K

x-faches einer Spalte (Zeile)Komponentenweise mal x

Zeile mal Spalte (Skalarprodukt)

Matrix mal Spalte mit Matrix in Zeilenform m Skalarprodukte: Jede Zeile von A mit der Spalte x

Matrix mal Matrix

m mal p Skalarprodukte: Jede Zeile von A mit jeder Spalte von B

Transposition macht aus Zeilen Spalten mit gleichen Komponenten und umgekehrt. ,

x1

xn

alle xk K ∈;{ } K … K××=... n mal

x1 … xn, ,( ) alle xk K ∈;{ }

m n –× Km n× a11 … a1n

am1 … amn

alle aik K ∈; ... ...

s1 s2 … sn, , ,( ) Km Km … Km×××∈ sk

a1k

amk

= ...

z1

zm

Kn Kn … Kn×××∈... zk ak1 ak2 … akn, , ,( )=

a b := a1 b1+

an bn++ ...

xa := xa1

xan

...

z Kn s Kn dann z s := z1s1 z2s2 … znsn+ + +∈,∈

x Kn A Km n× dann ∈,∈ Ax := z1x

zmxKm∈...

A Km n× , B b1 … bp, ,( )= Kn p× dann ∈∈ AB := Ab1 … Abp, ,( ) Km p×∈

x1

xn

Tx1 … xn, ,( )=... x1 … xn, ,( )T

x1

xn

= ...


Zeilenstufenform, Rang, Elementare Umformungen Matrix mit m Zeilen in Zeilenstufenform

Charakterisierung 1) Nur in den ersten r Zeilen ( ) steht ein Element ■ (Pivot-Element),

die restlichen Zeilen sind Nullzeilen (falls r = 0, liegt eine Nullmatrix vor) 2) Steht ■� nicht in der 1. Spalte, so stehen in der Zeile vor ■ nur Nullen 3) Von oben nach unten rückt ■ pro Zeile um mindestens eine Spalte nach rechts

Elementare Zeilenumformungen 1 Vertauschung zweier Zeilen2 Multiplikation einer Zeile mit einer konstanten Zahl x ≠ 03 Addition einer Zeile zu einer anderen Zeile

Durch elementare Zeilenumformungen unverändert bleiben a) die Lösungsmenge eines Linearen Gleichungssystemsb) die maximale Anzahl linear unabhängiger Zeilen einer Matrixc) die maximale Anzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix

Satz a) Jede Matrix läßt sich durch elementare Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform bringen

b) Die Anzahl r der Pivotelemente ist eindeutig bestimmt, es gilt r = max. Anzahl linear unabhängiger Zeilen in A r = max. Anzahl linear unabhängiger Spalten in A

Rang A := r heißt der Rang von A c) Rang A = dim Spaltenraum = dim Zeilenraum

0 0 ■ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Zeile 1

0 0 0 0 ■ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Zeile 2

0 0 0 0 0 ■ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ .

0 0 0 0 0 0 0 ■ ∗ ∗ ∗ .

.

0 0 0 0 0 0 0 0 0 ■ ∗ ∗ Zeile r

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zeile r + 1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Zeile m

… … …

… … …

… … …

… … …

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..

.::

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… …

… … …

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… … …

0 r m≤ ≤ 0≠m r–


Gauß-EliminationsverfahrenLineares Gleichungssystem (LGS) m Gleichungen, n Unbekannte, Zahlkörper K

Der Gauss-Algorithmus zur expliziten Lösung des LGS

Schritt 1. Vorwärtselimination Bringe [A | b] mit elementaren Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform [M | d]:

wobei mit . Im Falle ist .

Schritt 2. LösbarkeitstestFall 1: LGS hat keine Lösung, fertig.

Fall 2: r = m oder LGS lösbar, weiter mit Schritt 3.

0 0 n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

0 0 0 0 n ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

0 0 0 0 0 0 0 n ∗ ∗ ∗

0 0 0 0 0 0 0 0 0 n ∗ ∗

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

explizit

Summenform = Zeilenform

, i = 1,... , m

Spaltenform

Matrixform

a11x1 … a1nxn+ + b1a21x1 … a2n xn+ + b2…am1x1 … amnxn+ + bm=

==

zix = aikk 1=

n

∑ xk bi=

x1s1 x2s2 … xnsn+ + + b=

Ax b=

… … … d1

… … … d2

… … … d3

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..

.::

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::

… … dr

… … … dr 1+

… … …

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… … …

r Rang A= 0 r m≤ ≤ r 0= A M 0= =

dr 1+ 0≠ ⇒

dr 1+ 0= ⇒


Schritt 3. Rückwärtselimination Fall 1: Lösungsmenge ist der ganze Kn

Fall 2: , dann die ersten r Zeilen weiter elementar umformen:a) durch Division an die Stelle von n eine 1 bringen,b) über der 1 Nullen herstellen

Schritt 4. Auflösung

Fall 1: eindeutige Lösung ist x = , fertig.

Fall 2: die Unbekannten, die zu Spalten ohne 1 gehören,sind frei wählbar (freie Variable) Daher zu den r Gleichungen mit 1 die Gleichungen

, ,

hinzufügen mit den freien Parametern . Die r Gleichungen mit 1 in der Zeilenstufenform von Schritt 3liefern die restlichen (abhängigen) Unbekannten (abhängige Variable)

Beispiel ( ) nach Schritt 3:

r 0= ⇒r 0>

r n= ⇒ h1 h2 … hr, , ,( )T

r n< ⇒ n r–

n r–

xkiti= i 1 2 … n, r–, ,=

n r– ti K∈

m 5 , n 6 r, 3= = =1 m12 0 m14 m15 0 h1

0 0 1 m24 m25 0 h2

0 0 0 0 0 1 h3

⇒

1 m12 0 m14 m15 0 h1

0 0 1 m24 m25 0 h2

0 0 0 0 0 1 h3

0 1 0 0 0 0 t1

0 0 0 1 0 0 t2

0 0 0 0 1 0 t3

⇒ x

h1

0

h2

0

0

h3

t1

m– 12

1

0

0

0

0

t2

m– 14

0

m– 24

1

0

0

t3

m– 15

0

m– 25

0

1

0

+ + +=

0 0 1 * 00 * * 00 * 00 * *

0 0 0 0 1 * * 00 * 00 * *

0 0 0 0 0 0 0 1 * 00 * *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 * *

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

… … … h1

… … … h2

… … … h3

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::

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..

.::

::

::

… … hr

… … …

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::

… … …

Linearer Raum, Unterraum, Basis, Dimension

Vektorraum (= Linearer Raum ) V über dem Zahlkörper K : V ist eine Mengevon Elementen (= Vektoren ), für die eine Summe und ein Vielfaches erklärt ist mit denRechenregeln 1. V ist eine kommutative additive Gruppe bezüglich + ,2. für alle und alle

Unterraum U von V : U ist eine nichtleere Teilmenge von V und für alle und

Lineare Hülle

das ist die Menge der Linearkombinationen der Vektoren

V endlichdimensional : es gibt , sodass

Modelle Menge der Verschiebungen des Raumes, repräsentiert durch Pfeile Menge aller Spalten (Zeilen) mit n Komponenten aus dem Körper KMenge der Polynome mit reellen Koeffizienten

linear abhängig : hat eine Lösung

linear unabhängig : hat nur d.Lösung

Basis von V :

Dimenison von V := dim V

Satza) Die Darstellung als Linearkombination mit einer Basis ist stets eindeutigb) Jede Basis hat gleich viele Elemente. c) Ist U ein echter Unterraum von V, dann gilt dim U < dim V

Spaltenraum von ist mit den Spalten von A

Zeilenraum von ist mit den Zeilen von A

Satz dim (Zeilenraum von A) = dim (Spaltenraum von A) = Rang A = Anzahl der Pivotelemente in einer Zeilenstufenform von A

⇔

xy( )a x ya( ) , x y+( )a xa ya, x a b+( )+ xa xb , 1b+ b , 0b 0= = = = =a,b,c V∈ x y K∈,

⇔ a b U∈+ und xa U∈ a,b V∈ x K∈

Lin(a1 …an ) := { x1a1 … xnan ; 1 i n , xi K }∈≤ ≤+ +,

a1 …an,

⇔ a1…an V∈ Lin a1…an( ) V=

a1 …an, x1⇔ a1 … xnan+ + 0 = x1 …xn,( ) 0≠

a1 …an, x1⇔ a1 … xnan+ + 0 = x1 …xn,( )=0

b1 …bn, Lin(b1 …bn ),⇔ V und b1 …bn linear unabhängig,=

:= n , falls b1 …bn eine Basis vonV,

∞ , falls V nicht endlichdimensional

V endlichdimensional ⇒

A Kmxn∈ Lin(s1 …sn ) Km⊂, s1 …sn,

A Kmxn∈ Lin(z1 …zm ) Kn⊂, z1 …zm,


Der endliche Körper Zp, p prim

Modell Äquidistant verteilt p Punkte auf einer Kreislinie

Anwendungen Kalenderrechnung, Kodierungstheorie, Graphentheorie

Realisierung Restklassenrechnung in Z modulo p :

d.h. „m ist kongruent n modulo p“

m und n lassen bei der Division durch p denselben Rest

ist eine Restklasse

ist die Menge der Restklassen

salopp: ist die „Menge der Reste bei der ganzzahligen Division durch p“

Arithmetik

Hierfür sind die 9 Axiome für einen Körper erfüllt:

Der Körper Zp kann nicht angeordnet werden, da und (p mal die 1)

Beispiel p = 5

(1) Assoziativität der Addition

(2) Existenz der Null 0 für alle

(3) Existenz des Negativen - a für alle

(4) Kommutativität der Addition

(5) Assoziativität der Multiplikation

(6) Existenz der Eins für alle

(7) Existenz des Inversen zu

(8) Kommutativität der Multiplikation

(9) Distributivgesetz

+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

m n mod p( )≡

: ⇔

n[ ]p := {m Zp ; m n ist in Z durch p teilbar }–∈

Zp := 0[ ]p 1[ ]p 2[ ]p … p 1–[ ]p, , , ,{ }

Zp

n[ ]p m[ ]p := n m+[ ]p ; n[ ]p m[ ]p := n m⋅[ ]p ⋅+

x y z+( )+ x y+( ) z+=

a 0+ a= a Zp∈

a a–( )+ 0= a Zp∈

x y+ y x+=

x y z⋅( )⋅ x y⋅( ) z⋅=

a 1⋅ a= a Zp∈

a 0≠ a a 1–⋅ 1=

x y⋅ y x⋅=

x y z+( )⋅ x y x z⋅+⋅=

1 0≠ 1 1 … 1+ + + 0=

Z5 0 1 2 3 4, , , ,{ }=


. 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

Wir haben hier zur Abkürzungeinfach gesetzt.n n[ ]p=

p = 5

1

0

23

4

Struktur der Lösung von linearenGleichungssystemen

Homogenes LGS

mit , Rang A = r , ,

a) Lösbarkeit. ist stets eine (die triviale) Lösung

b) Lösungsmenge L ist ein Unterraum vom Vektorraum .

Bezeichnung: Der Kern von A .Dimensionsformel allgemeine Lösung mit beliebig

und lin. unabh. Lösungen von

c) Spezialfall Rang A = n ist einzige, eindeutige Lösung

Inhomogenes LGS

mit , Rang A = r ,

a) Lösbarkeit

lösbar b Spaltenraum von A

Rang A = Rang (A , b )

jede Zeilenstufenform von (A , b) hat in der Spalte für die rechte Seite kein Pivotelement

b) Lösungsmenge L ist kein linearer Unterraum von .

allgemeine Lösung , dabei ist

eine spezielle Lösung des inhomogenen LGS

die allgemeine Lösung des homogenen LGS

c) Spezialfall Rang A = n . Ist lösbar, dann ist die Lösung eindeutig

Ax 0= A Km n×∈ x Kn ∈ 0 Km ∈

x 0 Kn∈=

A 0( ) Kn

dim KernA n r–=

xh t1x1 … tn r– xn r–+ += t1 …tn r– K∈,n r– x1 …xn r–, Ax 0=

⇔ x 0 Kn∈=

Ax b= A Km n×∈ x Kn , b Km , b 0≠∈∈

Ax b= ⇔ ∈

⇔

⇔

A b,( ) Kn

x x0 xh+=

x0

xh

Ax b=


Die transponierte Matrix

Definitionen

Merke A spaltenweise lesen und für zeilenweise anschreiben

Die Matrix A heißt symmetrisch :

Die Matrix A heißt schiefsymmetrisch :

Rechenregeln

Spezialfall

Matrix A ist in Zeilenstufenform ist in Spaltenstufenform

Rang Rang

Zeilenraum Spaltenraum

A

a11 a12 … … a1n

…am1 am2 … … amn

Km n×∈ AT :=

a11 … am1

a12 am2

a1n … amn

Kn m×∈⇒=...

.

.

.

.

.

. ...

.

.

.

AT

n n –× A⇔ T A=

n n –× A⇔ T A–=

A B+( )T = AT BT+

xA( )T = xAT

AT( )T = A

AT = A

AT = A

AB( )T = BTAT

m n –× ⇔ AT

A AT⇒= =


00

b) Die inverse Matrix Definition

Die Matrix A heißt invertierbar, wenn es eine Matrix gibt,

sodass (Einheitsmatrix) , heißt die Inverse von .

Rechenregeln

Spezialfall Matrix A in oberer Dreiecksform (obere Dreiecksmatrix)

und alle Diagonalelemente :

d.h. hat ebenfalls obere Dreiecksform und Diagonalelemente .

1. Invertierbarkeitstest



Inversion ist involutorisch

Inverse eines Produkts

Inverse der Transponierten = Transponierte der Inversen

es gibt ein , sodass

es gibt ein , sodass

n n –× n n –× A 1–

A 1– A AA 1– En= = A 1– A

A 1–( ) 1– A=

AB( ) 1– B 1– A 1–=

AT( ) 1– A 1–( )T=

n n –×

aii 0≠

A

a11 * * *

0 a22 * *

0 0 … *

0 0 … 0 ann

Kn n× ∈ A 1– =

1a11--------- * * *

01

a22--------- * *

0 0 … *

0 0 … 01

ann---------

⇔=

A 1– 0≠

A invertierbar ⇔ C Kn n×∈ CA En=

⇔ Rang A n=

⇔ B Kn n×∈ AB En=

A invertierbar A entsteht aus der Einheitsmatrix En durch elementare Umformungen

⇔

A invertierbar det A 0≠⇔

Elementarmatrizen

Definition

Eine Matrix heißt Elementarmatrix vom Typ i (i = 1, 2, 3), wenn sie durch genau eine elementare Zeilen- (Spaltenumformung) vom Typ i aus derEinheitsmatrix hervorgeht

Beispiel ( n = 4 )

Für eine beliebige Matrix A ist

die entsprechende Zeilenumformung von A

die entsprechende Spaltenumformung von A

Merke 1. Elementarmatrizen sind stets invertierbar2. Jede invertierbare Matrix ist ein Produkt von Elementarmatrizen

Typ Matrix zugehörige ZeilenumformungSpaltenumformung

1

2 ,

3

n n –× En˜

En

E4˜

1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

z2 z4 z2→ →

s2 s4 s2→ →

1 0 0 0

0 x 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x 0≠z2 xz2→

s2 xs2→

1 0 0 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

z2 z2 z4+→

s4 s4 s2+→

m n –×

Em˜ A

AEn˜


Matrix-Rechenverfahren

A Gauß-Jordan-Verfahren für inverse Matrix ,

Schritt 0 A mit Einheitsmatrix nach rechts erweitern

Schritt 1 Vorwärtselimination mit elementaren Zeilenumformungenbis zur Zeilenstufenform links von

Schritt 2 InvertierbarkeitstestFall 1. Links von steht eine 0 in der Diagonale A ist nicht invertierbar, fertig.Fall 2. Links von steht keine 0 in der Diagonale, dann

Schritt 3 Rückwärtselimination mit elementaren Zeilenumformungen bis links dieEinheitsmatrix steht. Rechts von steht dann .

B Lösung von AX = B , Schritt 0 A mit Matrix B nach rechts erweitern

Schritt 1 Vorwärtselimination bis zur Zeilenstufenform links von

Schritt 2 Invertierbarkeitstest Fall 1. Links von steht eine 0 in der Diagonale A ist nicht invertierbar, fertig.Fall 2. Links von steht keine 0 in der Diagonale, dann

Schritt 3 Rückwärtselimination bis links die Einheitsmatrix steht.Rechts von steht dann

C Lösungsbasis von Ax = 0 (Spaltenverfahren)

Schritt 0 A mit Einheitsmatrix nach unten erweitern

Schritt 1 Vorwärtselimination mit elementaren Spaltenumformungen bis zur Spaltenstufenform im oberen Teil

Schritt 2 Ablesen im unteren Teil: Die letzten Spalten ,... bilden eine Basis von Kern A, das ist eine Lösungsbasis von Ax = 0Ablesen im oberen Teil: Die r Spalten mit n bilden eine Basis desSpaltenraumes von A

elementare Spaltenum-formungen bis zur

Spaltenstufenform im oberen Teil

A Kn n×∈

En

⇒

En A 1–

A Kn n× B Kn m× X Kn m×∈,∈,∈

⇒

EnX A 1– B=

A Km n× Rang A,∈ r=

En

n r– qr 1+ qn

A

n 0 … 0 0 0 … … 0

* n 0 … 0 0 0 … … 0

* n 0 … … 0

* * … * * * 0 … … 0

En q1 q2 … qr qr 1+ … qn


A En

En A 1–

Elementare Zeilen- umformungen

A B

En A 1– B

Elementare Zeilen- umformungen

Matrizenalgebra

Definitionen

1 In der Menge := der Matrizen

ist die Addition und das Vielfaches komponentenweise erklärt.Damit ist ein Vektorraum über dem Körper K mit der Dimension nm .

Beachte Gleichheit, Addition und Vielfaches sind nur bei gleicher Zeilenzahl und gleicher Spaltenzahl der Matrizen sinnvoll !

2 Die Nullmatrix 0 hat in jeder Komponente eine Null

3 Das Matrixprodukt wird durch „ Jede Zeile mal jede Spalte “ erklärt:

,

,

Anschaulich

Rechenregeln

Distributivgesetze ,

Homogenität

Assoziativgesetz

i.a. nicht kommutativ

Einheitsmatrix

Rangformel

Km n× A := a11 … a1n

… … …am1 … amn

i k aik, K ∈∀;

m n –×

Km n×

Az1…zm

Km n×∈= B s1 s2 … sr, , ,( ) Kn r×∈= ⇒

AB := As1 As2 … Asr, , ,( )z1s1 … z1sr

… … …zms1 … zmsr

Km r×∈= zs := z1s1 z2s2 … znsn+ + +

A A1 A2 Km n× B B1 B2 Kn r× C K∈ r s× x K∈, ,∈, , ,∈, ,

A1 A2+( )B A1B A2B+= A B1 B2+( ) AB1 AB2+=

x AB( ) xA( )B A xB( )= =

A BC( ) AB( )C=

AB BA≠

En :=

1 0 … 0

0 1 … 0

… … … …0 … 0 1

Kn n×∈ EmA A AEn∧ A= =⇒

Rang ( AB ) Rang A , Rang ( AB ) Rang B ≤≤


n r r

m = m nzi

sk

i

k

Determinanten

Definition rekursiv. :

:

(Entwicklung nach der 1. Spalte)

Die 8 Rechenregeln

((1) In jeder Zeile linear ,speziell

(2) , speziell

(3) Obere Dreiecksform , speziell

(4) Elementare Zeilenumformungen

(5) 3. Invertierbarkeitstest

(6) Multiplikationssatz

(7) Symmetrie

(8) Block-Kästchensatz

A K n n×∈

n 1= det A := a11

n 1> det A := a11det A11 a21det A21– … 1–( )n 1+an1det An1+±

det

:·

αa βb+:·

α det :·

a:·

β det :·

b:·

+= det :·

0:·

0=

det

.a.b.

det –

.b.a.

= det

.a.a.

0=

det

a1 * … *

0 a2 *… *

… …0 … 0 an

a1 a2 an⋅ ⋅ ⋅= det En 1=

A invertierbar det A 0≠⇔

det AB det A det B⋅=

det AT

det A=

det A B

0 C det A det C⋅=

} }

} m

} n− m

m n− m

a11a21

an1

A21

Die Matrizen

entstehen aus A durch Streichen der k. Zeile und 1. Spalte

Ak1


Alternierend bei Zeilenvertauschung

Typ 1 Typ 2 Typ 3

Zeilen-vertauschung

x-faches einer Zeile

Addition einer Zeile zu e. andern

det A det – A= det A x det A= det A det A=

. . .A11

An1

Eigenwerte, Eigenvektoren

Motivation Für welche Vektoren b hat Ab dieselbe Richtung wie b ? Definition ist Eigenwert (EW) der Matrix

es gibt einen Eigenvektor (EV) mit und

Charakteristische Gleichung von A ist

Satz EW von A

Rechenregeln und Rechenschemata

(0) Rechenschema für die Handrechnung

Schritt 1. Charakteristische Gleichung aufstellen und alle ihre Wurzeln λ berechnen

Schritt 2. Zu jedem λ alle Lösungen des homogenen LGS bestimmen

(1) Koeffizienten der charakteristischen Gleichung

wobei die Spur von A darstellt

(2) Transformationsregeln

B invertierbare Matrix

(3) Bedeutung für lineare Abbildungen

Die lineare Abbildung f : des Kn hat in Bezug auf die Basis B = die Abbildungsmatrix . Das bedeutet mit (2):

a) Die EW der Abbildungsmatrix sind in jeder Basis dieselben (der Abbildung zu eigen)

b) Die Lage der EV im Kn ist in jeder Basis dieselbe (aber nicht ihre Koordinaten!)

c) Die charakteristische Gleichung der Abbildungsmatrix ist in jeder Basis dieselbe. Das bedeutet mit (1): Sind die EW von A , so gilt

λ K∈ A Kn n×

: ⇔ ∈b K

n∈ Ab λb= b 0≠

det A λEn–( ) 0=

λ det A λEn–( )⇔ 0=

Ab λb=

det A λEn–( ) λ–( )n Spur A λ–( )n 1– … det A+ + +=

Spur A := a11 a22 … ann+ + +

α β K∈,

x Ax→ b1 b2 … bn, , ,( )

B 1– AB

λ1 λ2 …, , λn,

Spur A Spur B 1– AB( ) λ1 λ2 … λn+ + += =Spur A Spur B 1– AB( ) λ1 λ2 … λn+ + += =

det A det B 1– AB( ) λ1 λ2 … λn⋅ ⋅ ⋅= =


Diese beiden Gleichungengelten im Zerfällungskörperdes charakteristischen Poly-noms von A über K

Matrix A

EW

EV ?

αA Am A βEn+ AT A 1– B 1– AB

λ αλ λm λ β+ λ λ 1– λ

b b b b b B 1– b

(4) Diagonalisierung Besitzt A n linear unabhängige EV , so gilt mit

(5) Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten sind stets linear unabhängig

(6) Eigenwerte und Eigenvektoren spezieller Matrizen

Anwendung. Hauptachsentransformation

Quadratische Form im Rn : mit symmetrischer Matrix A .

Mit (6) gibt es als Basis B von Rn ein ONS, das aus EV von A gebildet wird.

Sind die EW von A , so gilt mit der Substitution

Beispiel. Im Falle n = 2 und lauter positiven EWs stellt eine Ellipse dar.

k. Spalte von A ist ist EV zum EW

A idempotent , alle EW sind 0 oder 1

A involutorisch , alle EW sind 1 oder −1

A nilpotent , alle EW sind 0

, K = R A symmetrisch1) alle EW sind reell2) es gibt ein ONS von

EV als Basis des Rn

b1 b2 … bn, , , B b1 b2 … bn, , ,( )=

αek ⇒ ek α

A2 A= ⇒ λ2 λ=

A2 En= ⇒ λ2 1=

k N : Ak∈∃ 0= ⇒ λk 0=

AT

A= ⇒

xT

Ax

λ1 λ2 …, , λn, x By=

xT

Ax By( )TA By( ) = yT

λ1 0 … 0

0 λ2 … 0

… … … …0 … 0 λn

y λ1y12 … λnyn

2+ += =

xT

Ax 1=

B 1– AB

λ1 0 … 0

0 λ2 … 0

… … … …0 … 0 λn

=

Metrik, Norm, Orthogonalität Definition Ein Skalarprodukt (inneres Produkt) in einem Vektorraum V über R ist eine Funktion

und die zugehörige

Norm (der Betrag) von x , wenn Folgendes erfüllt ist:

Rechenregeln

Im Rn ist das kanonische Skalarprodukt

Weitere Definitionen

Winkel zwischen Vektoren

Vektoren x und y sind orthogonal

orthogonales System (OS)

orthonormales System (ONS)

ist eine orthogonale Matrix

Orthogonale Projektion und Zerlegung von x bezüglich ONS

bezeichnet den von aufgespannten Unterraum:

Kommutativität

linear pro Faktor

positiv definit

betragsmäßig homogen

Cauchy-Schwarz-Ungleichung (CSU)

Dreiecksungleichung

Orthogonale Zerlegungvon x bezüglich U

Orthogonale Projektion von x auf U = Kompo-nente von x in Richtung U

Lot von x auf U = zu U orthogonale Komponente von x

V V× R : x y,( ) x y := x y⟨ | ⟩ := x y,( )⋅→ → x := x := x x⋅

x y,( ) y x,( )=

αx βy+ z,( ) α x z,( ) β y z,( )+=

x x,( ) 0 (Gleichheit x=0 )⇔≥

αx α x=

x y,( ) x y≤

x y+ x y+≤

x y := xTy⋅ x1y1 … xnyn+ +=

ϕ := x y,( )x y

-------------cos mit 0 ϕ 1800≤ ≤ für alle x 0≠ y 0≠,

: x y,( )⇔ 0=

b1 b2 …bm, , : bi bk,( )⇔ 0 falls i k≠,=

b1 b2 …bm, , : bi bk,( )⇔ δik := { 0 falls i k≠, 1 falls i = k,

=

A Rn n×∈ : ATA⇔ En=

b1 b2 …bm, ,

U b1 b2 …bm, ,

x xU xU⊥

+=

xU := x b1,( )b1 +… x bm,( )bm+

xU⊥

:= x xU–

x

x⊥U

xU

U

0


Vektorrechnung im Raum

(1) Kartesisches Koordinatensystem Bestimmt durch Ursprung und drei Koordi-natenachsen, die aufeinander senkrechtstehen und ein Rechtssystem bilden.

(2) Vektor = Translation = Parallelverschiebung Darstellung durch einen repräsentierenden Pfeil

In kartesischen Koordinaten

Negativer Vektor

(3) Nullvektor = identische Verschiebung Ortsvektor von P = Verschiebung

(4) Vektoraddition = Hintereinanderausführen von Verschiebungen In kartesischen Koordinaten

(5) Skalares Vielfaches eines Vektors = verkürzte bzw. gestreckte Verschiebung. In kartesischen Koordinaten:

(6) Länge eines Vektors = Länge eines repräsentierenden Pfeils der Verschiebung

In kartesischen Koordinaten:

Einheitsvektor = Vektor der Länge 1

Standardbasis = Richtungen der Koordinatenachsen:

(7) Skalarprodukt , falls a = 0 oder b = 0, sonst

In kartesischen Koordinaten:

, speziell

Rechenregeln

(symmetrisch) , (distributiv)

PQ := q1 p1–q2 p2–

q3 p3– : P Q→

P– Q : Q P→

P P→O P→

a b+

a1 b1+

a2 b2+

a3 b3+

=

αaαa1

αa2

αa3

=

a a12

a22

a33

+ +=

e11

0

0

e2,0

1

0

e3,0

0

1

= = =

a b⋅ 0= a b := a b a b,( )cos⋅

a b⋅ a1b1 a2b2 a3b3+ +=

xk = x ek := x ϕk , kcos⋅ 1 2 3, ,=

a b⋅ b a⋅= αa βb+( ) c⋅ α a c⋅( ) β b c⋅( )+=


z

yx

Q

P

PQ −PQ

QP a

a+b

b b

(8) Vektorprodukt der Vektoren a und b

Geometrische Charakterisierung

Berechnung in kartesischen Koordinaten

mit Strickmuster

Rechenregeln

(9) Spatprodukt

steht senkrecht auf beiden Faktoren

bilden ein Rechtssystem

Parallelogrammfläche

alternierend

linear in jedem Faktor

Test auf lineare Abhängigkeit

Pythagoras

a b×

a b×( )⊥a a b×( )⊥b,

a b a b×, ,

a b× a b ϕsin=

a b×

deta2 b2

a3 b3

deta3 b3

a1 b1

deta1 b1

a2 b2

=

deta b

c d := ad bc–

a a× 0 a b×, b a×–= =

αa βb+( ) c× α a c×( ) β b c×( )+=

a b× 0 a b linear abhängig,⇔=

a b× 2 a b⋅ 2+ a 2 b 2=

a b c, ,[ ] := det a b c, ,( ) := (a b )× c⋅

Volumen des von a b c, , aufgespannten Spates, wenn a b c, ,( ) Rechtssystem

1–( ) Volumen des aufgespannten Spates( ) wenn a b c, ,( ) ein Linkssystem,

=

Die Rechte-Hand-Regel

a b

c d

−

+

Ebenen und Geraden im Raum


(Aus Meyberg, Vachenauer: Hohere Mathematik 1, Seite 44 und 45)

Darstellungen und Umrechnungen fur Ebenen im Raum

Darstellungen ( X = (x, y, z) Punkt auf der Ebene, ~x := −−→OX )i1 Parameterdarstellung

~x = ~a + t~b + s~c , t, s ∈ R ; ~b× ~c 6= ~0~a = −→

OA , A Aufpunkt;~b,~c Richtungsvektoreni2 Koordinatengleichung :ia ax + by + cz + d = 0; (a, b, c) 6= (0, 0, 0)ib ~n · (~x− ~x0) = 0; ~n 6= ~0ic ~n0 · ~x = d0 ; |~n0| = 1 , d0 ≥ 0 (HESSE−Normalform)

Umrechnung

i1 → i2 :

abc

= ~n = ~b× ~c ; ~x0 = ~a ; d = −~n · ~x0 ; .

(2a) → i1 : Nach x auflosen, falls a 6= 0 (nach y fur b 6= 0 bzw. nach z furc 6= 0 ) und y, z ( x, z bzw. x, y ) als Parameter s, t nehmen. Fur dieEbene x− y = 5 z.B.:

x− y = 5 x = 5 + ty = t ⇒ y = tz = s z = s

⇒ ~x =

500

+ t

110

+ s

001

(2a) → (2b) : ~n =

abc

; ~x0 =

−d/a00

, ~x0 =

0−d/b

0

, ~x0 =

00

−d/c

,

(jeweils fur den Fall a 6= 0, b 6= 0, ˜c 6= 0 )

(2b) → (2a) : d = −~n · ~x0 ;

abc

= ~n .

(2b) → (2c) : d0 = |~n · ~x0|/|~n| ; ~n0 = (sgn(~n · ~x0)/|~n|) · ~n .

(2a) → (2c) : d0 = |d|/√

a2 + b2 + c2 ; ~n0 = (−(sgn(d))/√

a2 + b2 + c2)

abc

.

(2c) → (2a) : Skalarprodukt explizit ausrechnen — (nicht relevant).(2c) → (2b) : ~n = ~n0 , ~x0 wie in (2a) → (2b) bestimmen — (nicht relevant).

Darstellungen und Umrechnungen fur Geraden im Raum

Darstellungen ( X = (x, y, z) Punkt auf der Geraden g , ~x := −−→OX )i1 Parameterdarstellung

~x = ~a + t~b , t ∈ R ; ~b 6= ~0~a = −→

OA , A = (a1, a2, a3) Aufpunkt ; ~b Richtungsvektori2 Koordinatengleichungen

g :{

~n1 · ~x = d1 ; ~n1 6= ~0~n2 · ~x = d2 ; ~n2 6= ~0 , ~n1 × ~n2 6= ~0

(Darstellung als Schnitt zweier Ebenen)i3 Momentengleichung

~x× ~k = ~m ; ~k 6= ~0 mit ~k · ~m = 0( g ist Wirkungslinie der Kraft ~k mit Moment ~m bzgl. O )oder−−→PX × ~k = ~mP mit Moment ~mP = ~m−−−→OP × ~k bzgl. P

Umrechnungi1 → i2 : b1 6= 0 , b2 6= 0 und b3 6= 0 ⇒ g : x−a1b1

= y−a2b2

= z−a3b3

(= t) .

b1 = 0 , b2 6= 0 und b3 6= 0 ⇒ g : y−a2b2

= z−a3b3

, x = a1 .b1 = 0 , b2 = 0 und b3 6= 0 ⇒ g : x = a1 , y = a2 .

(Analog die anderen Moglichkeiten)i2 → i1 : ~b = ~n1 × ~n2 . Fur ~a setze man in i2x = 0 , falls b1 6= 0 ; y = 0 , falls b2 6= 0 ; z = 0 , falls b3 6= 0und lose i2 auf nach y, z ( x, z bzw. x, y )

g :{

3x + 7y + 9z − 5 = 02x + 4y + 8z − 6 = 0 ⇒

~b =

379

×

248

=

20−6−2

.

b3 6= 0 ⇒ z = 0 ⇒{

3x + 7y = 52x + 4y = 6 ⇒ ~a =

11−40

.

i1 → i3 : ~k = ~b ; ~m = ~a×~b .i3 → i1 : ~b = ~k ; ~a = ~lO , wobei allg. ~lP = 1

|~k|2(~k × ~mP ) das Lot von P auf g.i2 → i3 : ~k = ~n1 × ~n2 ; ~m = d2~n1 − d1~n2 .

( Beachte: ~m = ~x× (~n1 × ~n2) = (~x · ~n2)~n1 − (~x · ~n1)~n2 )i3 → i2 : Produkt ausschreiben, 2 der 3 skalaren Gleichungen sind nicht vom Typ0 = 0 , sie bestimmen eine Darstellung i2 .

~x×

(123

)=

(−1−1

1

)⇒

(3y − 2zz − 3x2x− y

)=

(−1−1

1

)⇒ g :

{3y − 2z + 1 = 0z − 3x + 1 = 0

.

Lineare Abbildungen Definitionen (V, W Vektorräume über dem Zahlkörper K )

heißt lineare Abbildung

Bild der Abbildung Bild , das ist ein Unterraum von W

Kern der Abbildung Kern , das ist ein Unterraum von V

f (VR-) Homomorphismus f linear f (VR-) Endomorphismus f linear und V = W f (VR-) Epimorphismus f linear und Bild f = W ( f surjektiv ) f (VR-) Monomorphismus f linear und Kern f = {0} ( f injektiv ) f (VR-) Isomorphismus f linear und f bijektiv f (VR-) Automorphismus f linear und f bijektiv und V = W

Dimensionsformel dim Bild f + dim Kern f = dim V

Koordinatendarstellung dim V = n, Basis von V , dim W = m, Basis von W

A ist die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Basen B und C .

Eigenschaften (a) Koordinatenabbildungen sind Isomorphismen (b) Die Spalten von A sind genau die Koordinatenspalten der Bilder der Basis B

(bezüglich der Basis C ) (c) dim Bild f = Rang A , dim Kern f = dim Kern A = n − Rang A

Äquivalenzsatz (genauso wie bei endlichen Mengen)

dim V = dim W = ( f injektiv f surjektiv f bijektiv )

f : V W→ : ⇔α β K v w V∈,∀∈, f αv βw+( )∀ α f v( ) β f w( )+=

f := {f v( ) v V }∈;

f := {v V ; f v( )∈ 0 }=

⇔⇔⇔⇔⇔⇔

B = (b1,…bn ) C = c1,…cm( )

V W

Kn Km

x Ax

f κB κC

n ∞< ⇒ ⇔ ⇔


VW

0

0 fKern f

Bild f

: Koordinatenabbildung in V :

: Koordinatenabbildung in W :

κB v x1b1 … xnbn x→+ +x1…xn

= =

κCw y1c1 … ymcm y→+ +

y1…ym

= =

Die Singulärwertzerlegung

Für jede reelle Matrix A ist f: eine lineare Abbildung vom in den .

Man kann im ein ONS und im ein ONS finden,

sodass

für , p = min(m,n).

Die Faktoren heißen Singulärwerte von A, sie drücken die extremalen Längenver-

zerrungen der Abbildung aus. Man kann stets erreichen, dass gilt.

In Matrizenschreibweise bedeutet dies:

ist orthogonale Matrix,

ist orthogonale Matrix und es gilt

mit , falls , bzw. , falls .

Für die transponierte Matrix gilt , d.h. man hat

, .

Charakterisierung

Aus , und folgt , damit sind

die Eigenwerte von und

die zugehörigen Eigenvektoren von , .

Rechenschema für den Fall :

1. samt allen Eigenwerten und einem ONS V von Eigenvektoren berechnen.

2. Die Singulärwerte von A sind dann .

3. Das ONS U ist durch für und - falls nötig - über eine

orthogonale Ergänzung (Gram-Schmidt) bestimmt.

Für den Fall wendet man dieses Rechenschema auf die Matrix an.

m n –× x Ax→ Rn Rm

Rn v1 v2 … vn, , ,( ) Rm u1 u2 … um, , ,( )

Avk σk uk= k 1 …p,=

σk

σ1 σ2 … σp 0≥ ≥ ≥ ≥

V v1 v2 … vn, , ,( )= n n –×

U u1 u2 … um, , ,( )= m m –× A UΣVT=

Σσ1 0 … … … 0

0 σ2 0 … … 0

0 0 … σp

… 0

= m n≤ Σ

σ1 0 … 0

0 σ2 0 0

0 … … σp

0 0 0 0

0 0 0 0

= n m≤

AT VΣTUT=

ATuk σk vk= k 1 2 … p, , ,=

A UΣVT= AT VΣTUT= UTU Em= ATA V ΣTΣ( )VT=

σk2 ATA

vk ATA k 1 2 … n, , ,=

m n≤

ATA λk

σk λk=

uk σk1– Avk= σk 0≠

n m≤ AT


Orthogonale Abbildungen des R2

Da das Bild von stets ein Einheitsvektor sein muss mit , gibt es

für das Bild von nur zwei Möglichkeiten: oder . Das bedeutet:

(A) Drehungen

Charakterisierung und det A = 1

Aus der Figur liest man zweierlei ab: 1. und werden um denselben Winkel gedreht,

wobei und . 2. Zwei Drehungen nacheinander ausgeführt stellen wieder eine Drehung mit der Summe der Drehwinkel als Drehwinkel dar. Die inverse Drehung hat als Drehwinkel .

3. Die Drehungen der Ebene um den Ursprung bilden daher eine Gruppe:

Die Spezielle Orthogonale Gruppe .

Eigenwerte und Eigenvektoren von A sind i.a. komplex: , .

Die Umlegung (Spiegelung am Ursprung) ist in der Ebene eine Drehung um .

(B) Spiegelungen

Charakterisierung und det A = −1

Es gilt , d.h. zuerst wird an der

-Achse gespiegelt und dann um Winkel gedreht, wobei wieder und .

Im Falle (B) ist A stets symmetrisch: . Wegen ist also .

Die Eigenwerte von A sind 1 und -1.

Eigenvektoren von A sind zum EW 1 und zum EW -1.

f ist daher die Spiegelung an der Geraden durch O in Richtung

Beachte. Die Komposition zweier Spiegelungen ist stets eine Drehung

e1cs

s2 c2+ 1=

e2s–

csc–

f x( ) Ax = c s–

s cx=

ATA E2=

e1 e2 ϕ

ϕcos c= ϕsin s=

2π ϕ–

SO 2( )c s–

s c ; s2 c2+ 1=

=

λ1 c is+= λ2 c is–=

f x( ) = x– π

f x( ) Ax = c s

s c–x=

ATA E2=

Ac s–

s c

1 0

0 1–=

x1 ϕϕcos c= ϕsin s=

AT A= ATA E2= A2 E2=

1 c+

s

s–

1 c+1 c+

s


Orthogonale Abbildungen des R3

1. Satz Eine orthogonale Abbildung des R3 ist entweder eine Drehung oder eine Drehspiegelung.

In Bezug auf eine kartesische Basis des R3 gilt für die Abbildungsmatrix A :

(A) A beschreibt eine Drehung und det A = 1 . Der Drehwinkel ist bestimmt durch : ,

die Richtung a der Drehachse ist Lösung des LGS Aa = a (EV zum EW +1).

(B) A beschreibt eine Drehungspiegelung und det A = −1.Der Drehwinkel ist bestimmt durch : ,die Richtung a der Drehachse ist Lösung des LGS Aa = −a (EV zum EW −1). Gespiegelt wird in Richtung von a.

2. Die 3 Drehungen um die Achsen mit und

Beachte 1. Zyklische Vertauschung von Zeilen- und Spalten der Abbildungsmatrix

2. Zyklische Vertauschung der Achsen in den Bildern

3. Jede Drehung im Raum kann als ein Produkt dargestellt werden. Diese Winkel heißen Cardanische Winkel

3. Bestimmung einer Drehung aus Drehachse und Drehwinkel Gegeben: Richtung der Drehachse: a mit und Drehwinkel:

⇔ ATA E3=ϕcos 1

2--- a11 a22 a33 1–+ +( )=

⇔ ATA E3=ϕcos 1

2--- a11 a22 a33 1+ + +( )=

c ϕcos= s ϕsin=

D1 = 1 0 0

0 c s–

0 s c

D2 = c 0 s

0 1 0

s– 0 c

D3 = c s– 0

s c 0

0 0 1

D3 ϕ3( )D2

ϕ2( )D1 ϕ1( )

a 1=ϕ

f x( ) Ax xa ϕ xa⊥ ϕ a x×sin+cos+= =

ϕ x 1 ϕcos–( ) x a⋅( ) a ϕ a x×sin+ +cos=


4. Spiegelungen im R3

,

Charakterisierung von A:

(1) Abbildung ist längentreu

(2) Abbildung ist involutorisch

(3) Abbildung dreht Orientierung um

Folgerung , A ist symmetrisch

Es gibt für f nur zwei Möglichkeiten:

(A) f ist Punktspiegelung: , d.h. (Drehspiegelung mit Winkel π)

(B) f ist Spiegelung an der Ebene durch O senkrecht zum Vektor a

mit , d.h.

5. Drehspiegelungen im Raum entstehen durch Hintereinanderschalten einer Spiegelung und einer Drehung.

Beispiel. Ist a , , die Richtung der Drehachse gleich e3 , so hat die

Abbildungsmatrix die Gestalt

.

D.h. die Ebene, an der gespiegelt wird, ist stets

senkrecht zur Achse der Drehung !

Beachte. Man liest hier leicht ab:

Spur A = .

f x( ) Ax = x R3∈

ATA E3=

A2 E3=

det A 1–=

1( ) 2( ) AT⇒∧ A=

A E3–= f x( ) x– =

f x( ) x 2 a x⋅( )a –= a 1= A E3 2 aaT( )–=

a 1=

Aϕcos ϕsin– 0

ϕsin ϕcos 0

0 0 1–

=

2 ϕ 1–cos

Spezielle lineare Abbildungen im R3

Der Vektor ist ein beliebiger Vektor der Länge 1.

Die Drehmatrix lautet , wenn .

Name Abbildungsmatrix Rang A Kern A det A Eigenwerte Eigenschaften

Orthogonale Projektion in Richtung a

1alle

0 1, 0, 0

Orthogonale Projektionauf Ebene senkrecht zu a

2alle

0 0, 1, 1

Scherung mit 3 {0} 1 1, 1, 1

det A = 1 (volumentreu).Höchstens zwei linear

unabhäng. EV, falls

Spiegelung an Ebene 3 {0} -1 1, 1, -1

orthogonal (längentreu)

und

Drehung Drehachsen-richtung aDrehwinkel

siehe unten3 {0} 1 1,

mit

orthogonal (längentreu)

a R3∈

A aaT= x⊥a A2 A AT, A= =

A E3 aaT–= x a A2 A AT, A= =

b⊥a A E3 baT+=A E3≠

a x⋅ 0=A E3 2aaT–= ATA E3=

A2 E3 AT, A= =

ϕ

A D=

ϕcos i ϕsin±

i2 1–=

ATA E3=

D ϕ E3 1 ϕcos–( ) aaT ϕ

0 a3– a2

a3 0 a1–

a2– a1 0

sin+ +cos= aa1

a2

a3

=


Zylinder- und Kugelkoordinaten

(1) Zylinderkoordinaten In der (x,y)-Ebene werden Polarkoordinaten verwendet.

Beachte: ist die Länge der Projektion

des Ortsvektors x in die (x,y)-Ebene.

Umrechnung

Wertebereich , , .

Für die Punkte der z-Achse ist kein Winkel erklärt.

(2) Kugelkoordinaten Vorgabe Ursprung O, Nordpol N , , Punkt M

auf dem Äquator , . Dann ist

, Radius, Abstand von O , .

, Poldistanzwinkel , ,

, Azimut , ,

wobei , falls det und , falls det .( Für die Punkte der z-Achse, d.h. bzw. , ist kein Azimut erklärt. )

Umrechnung In der Regel nimmt man N = (0,0,1) und M = (1,0,0), dann bringen

zwei Drehungen (zunächst um die y-Achse mit Winkel , dann um die z-Achse mit

Winkel ) und eine Streckung mit dem Faktor r den Nordpol N in den Punkt X :

.

Bilder aus der Animation

zum Volumenintegral im

Multimediamodul

www-hm.ma.tum.de/integration

Animationen dazu sind sehenswert!

ρ ϕ z, ,, ,( )ρ, ϕ

ρ x2 y2+=

x ρ ϕ , ycos ρ ϕ , zsin z= = =

ρ 0≥ π ϕ π≤<– ∞ z ∞< <–

ρ 0= ϕ

r ϑ ϕ, ,( )ON 1=

OM 1= ON⊥OM

r OX= r 0≥

ϑ OX ON,( )∠= 0 ϑ π≤ ≤

ϕ OXON

⊥ OM, ∠= π ϕ π≤<–

ϕ 0> ON OM OX, ,( ) 0> ϕ 0< ON OM OX, ,( ) 0<ϑ 0= ϑ π=

ϑϕ

0

0

1

ϑsin

0

ϑcos

ϑ ϕcossin

ϑ ϕsinsin

ϑcos

r ϑ ϕcossin

r ϑ ϕsinsin

r ϑcos

→ → → ⇒x

y

z

r ϑ ϕcossin

r ϑ ϕsinsin

r ϑcos

=


Eine Reise nach Huahine (1) Abstand zweier Punkte A, B auf einer Kugel = Länge des Großkreisbogens durch die Punkte A, B

= Länge des Kreisbogens, den die Ebene durch O, A, B auf der Kugel ausschneidet = (R Kugelradius, Winkel im Bogenmaß )

Das Skalarprodukt der Ortsvektoren liefert

(1)

(2) Cosinussatz auf der Einheitskugel Folgt aus (1) durch Darstellung in Kugelkoordinaten:R = 1 und die Winkel wie in obiger Skizze ergibt

und , d.h. mit (1):

(2)

(3) Wie weit ist es nach Huahine? (Lieblingsinsel von James Cook)

Geographische Koordinaten: Erdradius R = 6367km

München: ö.L., n.B. Huahine: w.L., s.B.

Wir wählen Huahine als Punkt A, damit ergebensich die Poldistanzwinkel , .

Die Azimutdifferenz der Punkte ist .

Aus (2) folgt , d.h. im Bogenmaß. Damit ist die Distanz auf der Erde: km.

Ziemlich weit,

aber es rentiert sich!

Für James Cook dauerte

die Reise 8 Monate,

trotzdem kam er gleich

dreimal vorbei, zum

ersten Male im April 1769

mit seiner Endeavour!

R OA OB( , )∠⋅

OA OB( , )∠cos1

R2------OA OB⋅=

OAbsin

0

bcos

= OBasin γcos

asin γsin

acos

=

ccos a b a bsin γcossin+coscos=

11 6°, 48 2°,149 1°, 17 5°,

a 41 8°,= b 107 5°,=

γ 160 7°,=

ccos 0 8241…,–=c 2 53946…,= s R 2 53946…,⋅ 16169= =


James Cook 1728 - 1780

z N

b R a

c B A O

γ

x

Regiomontanus 1436 - 1476

Rechnen mit Polynomen

(A) Funktionsauswertung mit dem Horner-Schema

Horner-Schema Algorithmus (HS)

dann gilt Beachte (HS) führt die Division mit Rest von und durch. Der Rest ist .

(B) Linearfaktoren abspalten b ist Nullstelle von p(x)

b ist k-fache Nullstelle von p(x)

(C) Anzahl der Nullstellen. p hat höchstens n = Grad p verschiedene Nullstellen

(D) Koeffizientenvergleich. Über R und C gilt für alle Polynome p und q

für alle Zahlen a .

Beachte Über , dem Körper mit nur zwei Elementen 0, 1, haben und stets gleichen Wert 0 und sind aber als Polynome nicht gleich.

(E) Fundamentalsatz der Algebra (C.F.Gauß 1799) Jedes reelle oder komplexe Polynom mit und n > 0

hat stets n nicht notwendig verschiedene (komplexe) Nullstellen .

p(x) besitzt damit stets eine Produktdarstellung .

Der Zusammenhang zwischen den Koeffizienten und den Nullstellen liefert der Satz von Viëta

,

,

(F) Nullstellenberechnung

(a) Explizite Formeln für n = 2 , 3 und 4

Auflösungsformel für quadratische Gleichung und Formeln von Cardano (Formelsammlung)

(b) Für n > 4 Numerische Näherungsverfahren (Newton-Verfahren, Bisektionsverfahren etc.)

(c) Suche nach rationalen Nullstellen, falls alle Koeffizienten ganzzahlig sind

Satz von Gauß: Ist für die teilerfremden ganzen Zahlen a, b , dann muss notwendig

gelten: a ist ein ganzzahliger Teiler von und b ist ein ganzzahliger Teiler von .

p b( ) := a0 a1b … anbn+ + + [… anb an 1–+( )b an 2–+( )b … ]b a0+ +=

cn := an ; cn 1– := cnb a+ n 1– ; … ; c0 := c1b a0 ;+

p b( ) c0 und p x( ) x b–( ) cnxn 1– … c2x c1+ + +( ) c0+= =

p x( ) x b– p b( )

p b( )⇔ 0= Es gibt ein Polynom q , sodass p x( )⇔ x b–( ) q x( )⋅=

p x( )⇔ x b–( )kq x( ) q b( ) 0≠∧⋅=

p q p a( )⇔ q a( )= =

Z2 p x x2

+= q x2

x4

+=

p x( ) := a0 a1x … an 1– xn 1– anxn+ + + + an 0≠b1 b2 … bn, , , C∈

p x( ) an x b1–( ) x b2–( )… x bn–( )=

b1 b2 … bn+ + +an 1––

an---------------=

b1 b2 … bn+ +( ) b2 b3 … bn+ +( ) … bn 1– bn+ + +an 2–

an------------= … b1b2…bn 1–( )na0

an-----=

ak

pab---

0=

a0 an


2n-1 Multiplikationen + n Additionen n Multiplikationen + n Additionen

Der Körper C der komplexen Zahlen

Bezeichnungen und Definitionen

Modell. Die Gauss-Zahlenebene Die Zahl entspricht dem Punkt

in der Ebene. Multiplikation mit i bedeutet eine Drehung um : .

Weitere Rechenregeln

imaginäre Einheit

komplexe Zahl mit

Realteil von z Re (z) = x

Imaginärteil von z Im (z) = y

konjugiert komplexe Zahl zu z

Betrag von z

Argument von zfür

arg z := , sodass und

Polardarstellung von z

Formel von Euler , d.h.

Addition

Multiplikation

Division

für

für

C {x iy ; x y R i2∧∈,+ 1}–= =

i mit i2 1–=

z x iy+= x y R∈,

z x iy–=

z x iy+ x2 y2+ z z⋅= = =

z 0≠ϕ ϕcos

Re z( )z

--------------= ϕsinIm z( )

z--------------=

z z ϕ i ϕsin+cos( )=

eiϕ ϕ i ϕsin+cos= z z ei zarg=

a ib+( ) c id+( )+ a c+( ) i b d+( )+=

a ib+( ) c id+( ) ac bd–( ) i ad bc+( )+=

ϕ i ϕsin+cos( ) ψ i ψsin+cos( )= ϕ ψ+( ) i ϕ ψ+( )sin+cos

reiϕ( ) Reiψ( )⋅ rRei ϕ ψ+( )=

a ib+c id+-------------- a ib+( ) c id–( )

c id+( ) c id–( )-------------------------------------- ac bd+

c2 d2+------------------ i

bc ad–

c2 d2+------------------+= = c id 0≠+

ϕ i ϕsin+cosψ i ψsin+cos

----------------------------= ϕ ψ–( ) i ϕ ψ–( )sin+cos

reiϕ

Reiψ----------- r

R---ei ϕ ψ–( )= R 0≠

z x iy+= x y,( )

90° i x iy+( ) y– ix+=

z w⋅ z w⋅= zn z n=

arg z w⋅( ) arg z( ) arg w( )+= arg zn( ) n arg z( )⋅=

z w⋅ z w⋅= zn z( )n=


i

1

x

y x + iy

x - iy

x

|z| ϕ

Normal Normalformen von MatrizenDefinitionen

Rechenregeln für (definit), , .

(A) Schur-Normalform. Zu jeder Matrix gibt es eine unitäre Matrix B, sodass hierbei sind die Eigenwerte von A.

(B) Jordan-Normalform. Zu jeder Matrix gibt es eine invertierbare Matrix C, sodass

hierbei sind die Eigenwerte von A und nur Zahlen 0 oder 1.

(C) Die Jordan-Normalform ist eine Diagonalmatrix die Matrix A ist diagonalisierbar die sind alle 0 die Matrix A hat n linear unabhängige Eigenvektoren die Spalten von C sind alle Eigenvektoren von A .

(D) Spektralsatz. Die Schur-Normalform ist eine Diagonalmatrix die Matrix A ist unitär diagonalisierbar die Matrix A ist normal.

Spezialfälle

Skalarprodukt im

Adjungierte Matrix

Hermitesche Matrix

Schiefhermitesche Matrix

Unitäre Matrix

Normale Matrix

A unitär Eigenwerte: Es gibt eine unitäre Basis aus Eigenvektoren

A hermitesch Eigenwerte: Im = 0 Es gibt eine unitäre Basis aus Eigenvektoren

A schiefhermitesch Eigenwerte: Re = 0 Es gibt eine unitäre Basis aus Eigenvektoren

Cn zHw:=z1w1 … znwn+ + z w Cn∈,( )

AH := AT A Cn n×∈( )

AH =A A Cn n×∈( )

AH = A– A Cn n×∈( )

AH =A 1– A Cn n×∈( )

AHA =AAH A Cn n×∈( )

zHz 0> z 0≠ zHw wHz= z zHz=

A Cn n×∈

AB BHABλ1 * *

0 … *

0 0 λn

= = λ1 …λn,

A Cn n×∈

AB C 1– AC

λ1 µ1 0

0 … µn 1–

0 0 λn

= = λ1 …λn,µ1 …µn 1–,

⇔ ⇔ µ1 …µn 1–,⇔⇔

⇔⇔

λk 1=

λ

λ


Lineare Algebra - TUM...– Lineare Algebra ... (4) 0 ist kein Nachfolger (5) Vollständigkeit 1....

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