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Literaturverzeichnis 387

Liste der Autoren, die in den oben zitierten Arbeiten nicht Erstautor sind.

Abe, T. [101, 102]Angermann, L. [139]Aziz, A.K. [13]Bochner, S. [31]Brezzi, F. [5]Bruning, E. [33]Buffa, A. [46]Cockburn, B. [50]Corsaro, S. [46]Croce, G. [36]Dahmen, W. [39]Dobrowolski, K. [34]Douglis, A. [3]Dupont, T.F. [21]Ern, A. [69]Estep, D. [78]Faermann, B. [67]Feistauer [70]Fix, G. [220]Fortin, M. [5, 47]Friedrichs, K.O. [63]Gaunt, A. [188]Gietl, H. [253]Gunzburger, M.D. [37]Graham, I.G. [67]Grigorieff, R.D. [77]Grubisic, L. [91]Hackbusch, W. [28, 67]Hall, C.A. [248]Hansbo, P. [78]Hartman, R. [103]Hilbert, D. [64]Hoppe, R.H.W. [82]Hubbard, B.E. [41, 42]John, F. [31]

Johnson, C. [78]Kalf, H. [243]Karniadakis, G.E. [59]Kriecherbauer, T. [243]Langer, U. [132]Lazarov, R.D. [138]Lewy, H. [63]Lions, J.L. [54, 55, 56]Magenes, E. [88, 155, 156, 157]Marcowitz, U. [162]Mehrmann, V. [154]Melenk, J.M. [81, 83]Miedlar, A. [91]Milgram, A.N. [148]Morton, K.W. [189]Muller, S. [71]Murli, A. [46]Nackenhorst, U. [247]Nedelec, J.C. [94]Nirenberg, L. [3]Osborn, J.E. [14, 15, 16, 137]Ovall, J.S. [91]Pasciak, J.E. [138]Periaux, J. [82]Pironneau, O. [82]Pitkaranta, J. [48]Praetorius, D. [81]Proskurowski, W. [179]Rannacher, R. [29, 35, 121, 122]Raviart, P.A. [57, 65, 93]Roos, H.G. [99]Rosenzweig, H.B. [17]Ruchovec, L.A. [174, 175]Rude, U. [76]Sacco, R. [183]

Saleri, F. [183]Sauter, S.A. [67]Schatz, A.H. [43]Schotzau, D. [50]Schulz, M.H. [32]Schwab, C. [202]Scott, L.R. [22, 44]Shaidurov, V.V. [160]Shu, C.W. [59]Struckmeier, J. [164]Stynes, M. [198]Suli, E. [131]Sz.-Nagy, B. [191]Temam, R. [49, 161]Thomas, J.M. [185, 186]Thomee, V. [66, 147]Tobiska, L. [198]Trudinger, N.S. [92]Unger, H. [182]Ural’ceva, N.N. [144]Valli, A. [30]Varga, R.S. [32]Vassilevski, P. [82, 138]Wahlbin, L.B. [204]Wait, R. [95]Weinberger, H.F. [177]Weller, R. [209]Wendland, W.L. [126]Westergren, B. [230]Widlund, O.B. [179]Widman, K.O. [100]Wildenhain, G. [206]Wohlmuth, B.I. [76, 83, 127]Yserentant, H. [21, 23]Zlamal, M. [18, 152]

Liste der Symbole und Abkurzungen

Symbole

#X Kardinalitat einer Menge X (Anzahl der Elemente).⊕ Direkte Summe; vgl. Lemma 6.15.∇ Gradient∂+, ∂−, ∂0, . . . Differenzenoperatoren; vgl. §4.1.∂±n Differenzenoperator in Normalenrichtung; vgl. (4.44).

∂αx = ∂α/∂xα Partielle Ableitung der Ordnung |α| bezuglich x.

∂/∂n Normalenableitung; vgl. Seite 16.•H Hermitesch Transponierte einer Matrix oder eines Vektors.•T Transponierte einer Matrix oder eines Vektors.•−T Transponierte der inversen Matrix.•⊥ Orthogonalraum; vgl. §6.1.4.•|ω, •|Γ Beschrankung einer Funktion • auf den (kleineren) Definitionsbereich

ω, Γ usw.| · | Betrag einer reellen oder komplexen Zahl.| · | Euklidische Norm in Rn; vgl. §2.2 und (4.34).|ν| Lange eines Multiindex ν; vgl. (3.11a).| · |0 Kurzschreibweise fur die L2-Norm ‖ · ‖L2 ; vgl. (6.8).| · |k , | · |s Kurzschreibweise fur die Sobolev-Normen ‖·‖Hk , ‖·‖Hs ; vgl. (6.13)

und (6.22b).| · |∧k , | · |∧s Uber die Fourier-Transformation definierte Sobolev-Normen; vgl.

(6.20) und (6.21b).|·|k,0 Norm auf Hk

0 (Ω); vgl. (6.15).‖·‖∞ Maximumnorm fur Vektoren, Zeilensummennorm fur Matrizen (vgl.

(4.32)), Supremumsnorm fur Funktionen; vgl. Beispiel 6.1b.‖·‖2 Euklidische Norm fur Vektoren (vgl. (4.34)) und Spektralnorm fur

Matrizen (vgl. 4.28c).‖·‖h Euklidische Norm skaliert mit hn/2; vgl. (8.87b).‖·‖L2

h, ‖·‖H±1

hNormen fur Gitterfunktionen auf Qh; vgl. §9.3.1.

‖·‖P Norm in RN ; vgl. Satz 8.75.‖ · ‖Y←X Operatornorm; vgl. (6.3).| · |i←j Norm fur Operatoren auf Gitterfunktionen; vgl. §9.3.1.

390 Literaturverzeichnis

〈·, ·〉 Euklidisches Skalarprodukt in Rn; vgl. Seite 16.〈·, ·〉X×X′ Dualform; vgl. §6.3.1.(·, ·)X Skalarprodukt eines Hilbert-Raumes X; vgl. §6.1.4.(·, ·)0 Skalarprodukt des L2(Ω); vgl. (6.7).[a, b], (a, b), [a, b) Abgeschlossenes, offenes und halboffenes Intervall.[ · ]E Differenz der rechts- und linksseitigen Grenzwerte; vgl. §8.7.1.3.. . . Fourier-Transformierte von . . . , Synonym fur F(. . .).A>B, A≥B, . . . Bei Matrizen die entsprechenden elementweisen Ungleichungen; vgl.

§4.3.⊂, ⊃ Die Inklusionszeichen schließen den Fall der Gleichheit ein., Strikte Inklusionen.⊂⊂ Kompakte Enthaltung; vgl. (6.9).T ′, . . . Duale Abbildung zu T ; vgl. §6.3.X ′, . . . Dualraum zu X; vgl. §6.3.∫. . . dΓ Oberflachenintegral.

Griechische Buchstaben

γ Spur einer Funktion, Beschrankung z.B. auf den Rand; vgl. (6.24).γ Interner Rand in §10.1.1.γ(·, ·) Grundlosung; vgl. (2.10).Γ Γ =∂Ω ist der Rand des Gebietes Ω; vgl. Seite 14.Γh Menge der Rand-Gitterpunkt; vgl. (4.8b).Γ (·) Gamma-Funktion.δ(·) Dirac-Distribution; vgl. Seite 16.δij Kronecker-Symbol.∆ Laplace-Operator; vgl. (2.1a).∆h Funfpunktformel (4.10).ηT Residuumanteil des Dreiecks T ; vgl. (8.85).λmin, λmax Minimaler und maximaler Eigenwert; vgl. Lemma 4.33.ξ Argument ξ ∈ Rn einer Fourier-transformierten Funktion; vgl. (6.18).ρ(·) Spektralradius einer Matrix; vgl. (4.27).σ(·) Spektrum einer Matrix; vgl. Seite 47.σxh, σ

yh Mittelungsoperatoren aus (9.38).

ϕ Haufig Randwerte; vgl. (2.1b).ϕh Randwerteanteil der rechten Seite des diskreten Gleichungssystems;

vgl. (4.57).Φ Gebietstransformation; vgl. Ubung 1.16.ωn Oberflachenmaß der n-dimensionalen Einheitskugel; vgl. (2.4b).ωE Menge der Dreiecke, die der Kante E benachbart sind; vgl. §8.7.1.3.ωT Menge der T benachbarten Dreiecke; vgl. §8.7.1.3.ω(λ), ωh(λ) Großen aus (11.5b,c).ω∗(λ), ω∗

h(λ) Analoge Großen fur adjungiertes Problem.ωT Menge der T benachbarten Dreiecke; vgl. §8.7.1.3.Ω Gebiet, das dem Randwertproblem zugrunde liegt; vgl. (2.1a).Ωh, Ωh Menge der inneren bzw. außeren Gitterpunkte; vgl. (4.8a), (4.8c).

Literaturverzeichnis 391

Lateinische Buchstaben

a(·, ·) Bilinear- oder Sesquilinearform; vgl. §6.5.aλ(·, ·) aλ(u, v) = a(u, v)− λ(u, v)0; vgl. (11.5a).a, ai, aij Koeffizienten des Differentialoperators in (1.18).aN (·, ·) Beschrankung von a(·, ·) auf VN × VN ; vgl. (8.10).A, A(x) Matrix bzw. Matrixfunktion der Koeffizienten des Hauptteils; vgl. (1.19)

oder (5.2).A Zu a(·, ·) gehoriger Operator; vgl. Lemma 6.92.A,B, . . . Matrizen.B, Bj , . . . Rand-Differentialoperatoren; vgl. (5.21b).bi Fur i = 1, . . . , N Basisfunktionen des Unterraumes VN ; vgl. (8.5).Bild(A) Bildmenge Ax : x ∈ X einer Abbildung A : X → Y .c(·, ·) Bilinearform bei Sattelpunktproblemen; vgl. §8.9.1.C(D), C0(D) Menge der stetigen Funktionen auf D; vgl. Seite 14.Ck(D) Menge der k-fach stetig differenzierbare Funktionen auf D fur

k ∈ N0 ∪ ∞; vgl. Seite 14.Ck+λ(D), Ck,1(D) Menge der Holder- bzw. Lipschitz-stetig differenzierbaren Funk-

tionen; vgl. Definition 3.14.C∞

0 (D) Menge der C∞-Funktionen mit kompaktem Trager; vgl. (6.9).Ct, Ck,1 Menge der Gebiete mit entsprechend glattem Rand; vgl. Definition

6.51.C, const existierende, aber nicht naher spezifizierte Konstante in Abschatzungen.CE Positive Elliptizitatskonstante in (6.44) und (6.48).CI Konstante der inversen Abschatzung; vgl. (8.92).CK Konstante in Koerzivitatsungleichung (6.48).CS Obere Schranke fur die Bilinearform; vgl. (8.2).cond, cond2 Kondition bzw. Spektralkondition einer Matrix; vgl. Anmerkung 5.45

und Satz 8.82.cosh(· · · ) Cosinus hyperbolicus, cosh(x) = (exp(x) + exp(−x))/2.dist(·, ·) Abstand im Rn bezuglich der Euklidischen Norm.d(u, VN ) Abstand der Funktion u vom Unterraum VN ; vgl. (8.21).Dα α-facher Ableitungsoperator; vgl. (3.11b).Dh Differenzenoperator; vgl. Anmerkung 4.7.e, eh Eigenfunktion bzw. Eigenvektor in §11.e∗, e∗h Eigenfunktion bzw. Eigenvektor des adjungierten Problems in §11.E0, E2 Fortsetzungsoperator; vgl. §9.3.2.E(λ), E(λ, T ) Eigenraum; vgl. Satz 6.90 und Definition 11.1.E∗(λ) Eigenraum des adjungierten Problems; vgl. Definition 11.1.Eh(λ), E

∗h(λ) Eigenraume des diskreten Problems; vgl. §11.2.1.

E Menge aller Kanten der Triangulation T ; vgl. §8.7.1.3.E(T ) Menge der Kanten des Dreiecks T ; vgl. §8.7.1.3.f Oft die rechte Seite der Differentialgleichung; vgl. (3.1a).fh Oft die rechte Seite der Differenzengleichung.F , F−1 Fourier-Transformation und Fourier-Rucktransformation; vgl. §6.2.3.Fn n-dimensionale Fourier-Transformation.f Rechte Seite aus RN des diskreten Galerkin-Gleichungssystems (8.9).g(·, ·) Green’sche Funktion; vgl. Definition 3.6.

392 Literaturverzeichnis

gh(·, ·) Diskrete Green’sche Funktion; vgl. (4.40b).G(A) Graph der Matrix A; vgl. Definition 4.9.G(A) Transitive Fortsetzung von G(A); vgl. Seite 46.h Schrittweite bei Differenzenverfahren; vgl. Seite 4.1.H Menge der Gitterweiten mit 0 als Haufungspunkt; vgl. Definition 4.46

und Seite 291.Hk(Ω), Hk

0 (Ω), Hs(Ω), . . . Sobolev-Raume; vgl. §6.2.H(div) Hilbert-Raum aus §8.9.1.i Imaginare Einheit.I Einheitsmatrix oder Identitatsabbildung.I Indexmenge, z.B. in RI ; vgl. Notation 4.4.J(·) Zu minimierendes quadratisches Funktional; vgl. (7.13).JX Riesz-Isomorphismus in L(X,X ′); vgl. Folgerung 6.69.k Oft der Differentiationsgrad.K Wahlweise der Korper R oder C.KR(x) Offene Kugel y ∈ X : ‖y − x‖ < R .Kern(A) Kern x ∈ X : Ax = 0 einer linearen Abbildung A : X → Y .L Differentialoperator.L0 Hauptteil des Differentialoperators L.LN Operator assoziiert zur Bilinearform aN ; vgl. §8.2.2.6.L Matrix des diskreten Galerkin-Gleichungssystems (8.9).L(X,Y ) Menge der linearen und stetigen Abbildungen von X nach Y ; vgl. Seite

108.L2(Ω) Menge der quadratintegrablen Funktionen auf Ω; vgl. §6.2.1.L∞(Ω) Menge der beschrankten Funktionen auf Ω; vgl. §6.1.3.Lh Matrix des Differenzenverfahrens; vgl. §4.4.lim Limes inferior; kleinster Haufungspunkt.lim sup, lim Limes superior; großter Haufungspunkt.log Naturlicher Logarithmus.M Massematrix; vgl. (8.91).n Haufig Dimension des Raumes Rn, der Ω enthalt.n Zahl der Gitterpunkte pro Richtung in §4.2.n Normalenrichtung; vgl. Seite 16N Menge der naturlichen Zahlen 1, 2, . . . .N0 N ∪ 0 = 0, 1, 2, . . . .N Menge aller Eckpunkte der Triangulation T ; vgl. §8.7.1.3N (T ) Menge der Eckpunkte des Dreiecks T ; vgl. §8.7.1.3O Nullmatrix.O(·) Landau-Symbol; f(x) =O(g(x)) gilt bezuglich eines Grenzubergangs

x → x0, falls lim supx→x0

|f(x)/g(x)| < ∞.

o(·) Landau-Symbol; f(x) = o(g(x)) gilt bezuglich eines Grenzubergangsx → x0, falls limx→x0

|f(x)/g(x)| = 0.P Isomorphismus von RN auf VN ; vgl. (8.6).Ph, Ph Fortsetzungsoperatoren fur Gitterfunktionen; vgl. (9.52a,b).qh Gitterfunktion, oft rechte Seite der diskreten Gleichung; vgl. (4.13a,b).Q Menge der rationalen Zahlen.Qh Regelmaßiges Gitter der Schrittweite h in Rn; vgl. §9.3.1.

Literaturverzeichnis 393

Q0, QN Orthogonale Projektion auf den Unterraum VN ; vgl. §8.2.2.5.R Menge der reellen Zahlen.r radiale Koordinate bei Polarkoordinaten.RI Vektorraum der (xi)i∈I mit xi ∈ R; vgl. Notation 4.4.Rn

+ Halbraum; vgl. (6.23).Rh Beschrankung einer Funktion u auf das Gitter Ωh oder Ωh; vgl. (4.46)

und (9.39a).Rh Mittelung einer Funktion f , Abbildung auf das Gitter Ωh; vgl. (4.47).Rh Restriktion einer Funktion f auf das Gitter Ωh; vgl. (9.39b).SN , Sh Ritz-Projektion auf VN bzw. Vh; vgl. §8.3.3.s(x,y) Singularitatenfunktion; vgl. §2.2.span. . . Unterraum, der von . . . aufgespannt wird.sinh(· · · ) Sinus hyperbolicus, sinh(x) = (exp(x)− exp(−x))/2.Spur Spur einer Matrix; vgl. Ubung 5.6.T Referenzdreieck; vgl. Abbildung 8.4 auf Seite 182.T Triangulation; vgl. Definition 8.36.Ti Finite Elemente aus T ; vgl. Definition 8.36.Tr(·) Trager einer Funktion; vgl. (6.9).u Oft Losung der Randwertaufgabe.u Losung des diskreten Galerkin-Gleichungssystems (8.9) in RN .uN Ritz–Galerkin-Losung in VN ; vgl. (8.4).uh Gitterfunktion, oft Losung der diskreten Gleichung; vgl. (4.6a).U, V Raume des Gelfand-Dreiers (vgl. (6.36)); oft U = L2(Ω) und

V = H1(Ω) oder H10 (Ω).

UN Galerkin-Unterraum VN versehen mit der Norm von U ; vgl. §8.2.2.1.Vh Finite-Element-Unterraum der Gitterweite h; vgl. (8.45).VN Galerkin-Unterraum der Dimension N ; vgl. (8.3).(x, y), (x, y, z) Unabhangige Variablen der Funktionen in Ω fur n = 2 und n = 3.x=(x1, . . . , xn) Unabhangige Variablen der Funktionen in Ω ⊂ Rn fur allgemeines n.X,Y, Z Banach-Raume; vgl. §6.1.1.X ′, . . . Dualraum.Z Menge der ganzen Zahlen.Z(λ), Zh(λ) Losungsoperatoren aus (11.8a,b).

Abkurzungen

BEM Randintegralmethode; vgl. Seite 38.DGFEM, DGM Unstetige Galerkin-Methode; vgl. §8.9.9.2.FEM Finite-Element-Methode; vgl. §8.4.hp-FEM Finite-Element-Methode mit Elementen variabler Gitterweite und

variablen Polynomgrades; vgl. §8.7.3.5.O.B.d.A. Ohne Beschrankung der Allgemeinheit.

Sachverzeichnis

A-posteriori-Fehlerabschatzung, 203Ableitung

klassische, 112konormale, 94, 95Normalen-, 16schwache, 112Tangential-, 95, 143, 153, 247, 275, 314

Adler-Problem, 158, 186Anfangsrandwertvorgabe, 8, 9Anfangswertvorgabe, 2, 3Anordnung

lexikographische, 44Schachbrett-, 44

antilinear, 134, 144asymptotische Glattheit, 250

B-Splines, 199Babuska–Brezzi-Bedingungen, 320Babuska-Bedingung, 135Babuska-Paradoxon, 103Banach-Raum, 109Basisfunktionen, siehe Finite-Element-Basis-

funktionenBedingung, siehe inf-sup-, Kegel- und

RandbedingungAnfangs-, 3Babuska-, 135Babuska–Brezzi-, 320Maximalwinkel-, 193Ubergangs-, 225, 275, 277von Agmon, 156

Beltrami-Operator, 15BEM, 38Bestapproximation, 172biharmonische Gleichung, 218Bilinearform, 134, 144, 147, 150, 151, 153–155,

157, 158, 163, 169, 176, 177, 189, 194,

198, 232, 234, 236, 242, 243, 246, 248,250, 254, 285, 289, 315, 316

adjungierte, 134, 195, 196antisymmetrische, 360beschrankte, 134fur die biharmonische Gleichung, 157fur die Helmholtz-Gleichung, 146, 153fur die Poisson-Gleichung, 148nichtnegative, 137Operator assoziiert zur, 134positive, 137stetige, 134symmetrische, 134, 137V -elliptische, 136V -koerzive, 139Vh-abhangige, 219

Blasenfunktion, 330Box-Methode, 227bubble function, siehe Blasenfunktion

Caccioppoli-Ungleichung, 252Cauchy–Riemann-Differentialgleichungen, 4, 7Cauchy-Folge, 109Charakteristikenrichtung, 279Cholesky-Zerlegung, 291Crouzeix–Raviart-Elemente, 333

Delta-Distribution, 16DGFEM, 226Diagonaldominanz, 48–50, 53

irreduzible, 48–50, 53, 93schwache, 48

dicht, 109, siehe EinbettungDifferentialgleichung

biharmonische, 101–103, 156, 198, 247, 314Cauchy-Riemann-, 4der Ordnung 2m, 101

© Springer Fachmedien Wiesbaden 2017W. Hackbusch, Theorie und Numerik elliptischer DifferentialgleichungenDOI 10.1007/978-3-658-15358-8

396 Sachverzeichnis

elliptische, 5–7, 8, 9–11, 13, 14, 84, 102, 277,313

gleichmaßig elliptische, 84, 313hyperbolische, 5, 6–11instationare, 10mit unstetigen Koeffizienten, 273parabolische, 5, 6, 9, 11, 278partielle, 1

erster Ordnung, 1, 4, 7, 313zweiter Ordnung, 2, 5, 83

singular gestorte, 277stationare, 10vom gemischen Typ, 5

Differentialgleichungssystemelliptisches, 7, 311, 313hyperbolisches, 7

Differentialoperator, 83adjungierter, 94der Ordnung 2m, 101elliptischer, siehe Differentialgleichunggleichmaßig elliptischer, 102Hauptteil des, siehe Hauptteillinearer, 6Pseudo-, 160Rand-, 94, 95, 152

Differenzdividierte, 40, 79einseitige, 40, 280linksseitige, 40rechtsseitige, 40Ruckwarts-, 40, 58symmetrische, 40, 70, 71Vorwarts-, 40zweite, 40

Differenzenoperator, 40, 45, 118, 260, 303Differenzenstern, siehe SternDifferenzenverfahren, siehe Funf-, Neun-,

Siebenpunktformel, 90, 97, 253, 279fur die biharmonische Gleichung, 103fur die Poisson-Gleichung, 40fur Eigenwertprobleme, 303hoherer Ordnung, 63Shortley-Weller-, 78

Diffusion, 277direkte Summe, 111Dirichlet-Prinzip, 141, 142Dirichlet-Randwertvorgabe, 27, 84, 95, 102

homogene, 143, 239inhomogene, 149

Dirichletsches Integral, 141Diskretisierung, siehe Differenzenverfahren,

finite Elemente, Galerkin-Verfahren

Effizienz der, 208hoherer Ordnung, 63Shortley-Weller-, 78stabile, siehe Stabilitat

Diskretisierungsfehler, 60Distribution, 112

Delta-, 16divergenzfrei, 333

schwach, 334Divergenzoperator, 311Doppelschichtpotential, 37, 159Dreiecksungleichung, umgekehrte, 108Dualabbildung, Dualoperator, 127Dualform, 127Dualnorm, 127Dualraum, 127

Effizienz einer Diskretisierung, 208Eigenfunktionen, 289

Konvergenz der diskreten, 295Eigenraum, 290Eigenwertaufgabe, 133, 139, 149

adjungierte, 290elliptische, 11, 289verallgemeinerte, 7, 291

Eigenwerte, 289Konvergenz der diskreten, 294Vielfachheit der, 290

Eigenwertverteilung, 310Einbettung

dichte, 110kompakte, 132Sobolev’sche, 122stetige, 110

Eindeutigkeit der Losung, 20, 28, 88, 147, 150,301, 318

Einfachschichtpotential, 37Elastizitatstheorie, 314Elemente

Crouzeix–Raviart-, 333Mini-, 330Taylor–Hood-, 331

Elementmatrizen, 216Elliptizitat, siehe V -ElliptizitatElliptizitat, numerische, 281Existenz einer Losung, 147, 150Extrapolationsverfahren, 63, 82

Fehlerabschatzunga posteriori, 203a priori, 203bei Differenzenverfahren, 60, 65, 81, 82, 105

Sachverzeichnis 397

bei Finite-Element-Verfahren, 189bei Galerkin-Verfahren, 172

Fehleraquilibrierung, 209Fehlerschatzer, 204

asymptotisch exakter, 208effizienter, 208Residuum-, 204zuverlassiger, 207

FEM, 177finite Elemente, 177

bikubische, 200bilineare, 183der Serendipity-Klasse, 185gemischte, 218, 276hybride, 218isoparametrische, 202lineare, 178, 180nichtkonforme, 333quadratische, 184regelmaßige, 271

finite Volumen, 227Finite-Element-Basisfunktionen

hierarchische, 223stuckweise lineare, 178, 181

Finite-Element-Diskretisierunghp-, 211

Finite-Element-Methode, 161adaptive, 209fur Eigenwertprobleme, 291fur Sattelpunktprobleme, 325gemischte, 326nichtkonforme, 219

FormBilinear-, siehe BilinearformDual-, 127Sesquilinear-, 134

Formfunktion, 178Formregularitat, siehe TriangulationFortsetzung eines Operators, 109Fortsetzung(soperator), 120Fourier-Transformation, 116

inverse, 117Fredholm’sche Integralgleichung zweiter Art,

38Fundamentallosung, siehe Singula-

ritatenfunktionFunfpunktformel, 42, 92, 181Funktional

antilineares, 144lineares, 127, 151

Galerkin, Boris Grigor’evic, 162

Galerkin-Verfahren, 38gemischtes, 326konformes, 163unstetiges, 226

Gamma-Funktion, 15, 251Garding-Ungleichung, 139Gauß-Quadratur, 179Gebiet, 14

konvexes, 246L-, 14Lipschitz-, 123Normal-, 16unbeschranktes, 24, 145, 146

Gebietszerlegungsverfahren, 217Gelfand-Dreier, 129gemischte Randbedingung, 158Gitter, 41, 42, 71, 78

formregulares, 192K-, 192quasiuniformes, 192uniformes, 192verschobenes, 71

Gitterfunktion, 41, 60Gitterpunkt

benachbarter, 43randferner, 43randnaher, 78

Gitterverfeinerung, 210adaptive, 209

Gittervergroberung, 211Gleichungssystem, 41, 43, 67, 164, 165, 188,

326erweitertes, 68konsistentes, 300Losbarkeit des, 67schwach besetztes, 45

Gradient, 16Green’sche Funktion, 253Greensche Formel

erste, 16zweite, 16

Greensche Funktion, 18, 28, 94, 141diskrete, 55, 72erster Art, 29fur die Kugel, 35zweiter Art, 37

Grundlosung, 17, 28, 29

Halbgruppe, 11Halbnorm, 166harmonische Funktion, 14, 16, 20, 21, 35, 142Hauptteil, 6, 14, 143, 256, 312

398 Sachverzeichnis

Helmholtz-Gleichung, 146, 153Hermite-Interpolation, 199Hesse-Matrix, 85, 340hierarchische Basis, 223Hilbert-Matrix, 171, 209Hilbert-Raum, 111Holder-Stetigkeit, 31, 122

lokale, 31holomorph, 2, 19, 35

inf-sup-Bedingung, 135, 169, 227Integralgleichung, 38

hypersingulare, 159Integralgleichungsmethode, 37, 38inverse Abschatzung, 214

K-Gitter, 192Kegelbedingung, 267

gleichmaßige, 132klassische Losung, 27, 31, 32, 34, 144, 145,

152, 236, 245, 315Kleinste-Quadrate-Minimierung, 226Knoten

hangende, 220innere, 181Rand-, 180

Knotenpunkte, 178Knotenwerte, 178Koeffizientenvektor, 164Koerzivitat, siehe V -KoerzivitatKollokationsmethode, 38kompakte Abbildung, 131kompakte Menge, 131Kondensation, innere bzw. statische, 331Kondition, 106, 171, 212, 214, 223, 301Konormalenableitung, 94, 95Kontaktprobleme, 224Konvektion, 277Konvergenz, 60

der Ordnung k, 60gleichmaßige, 108Super-, 223

Koordinatentransformation, 6, 35, 84, 89, 100,116

L-Gebiet, 14, 35, 123, 222, 267, 327Ladyzenskaja–Babuska–Brezzi-Bedingung,

135Lagrange-Faktoren, 188Lame-Gleichungen, 314Laplace-Gleichung, siehe Potentialgleichung,

13

Laplace-Operator, 13, 15LBB-Bedingung, 135Lemma, siehe Satz

von Aubin–Nitsche, 195von Cea, 172von Lax–Milgram, 136von Strang

erstes, 176zweites, 220

lexikographische Anordnung, 44Lipschitz-Gebiet, 123Losung

klassische, siehe klassische Losungschwache, 144

M-Matrix, 46, 53, 65, 68, 79, 82, 90–93, 98,100, 217, 279–282

Massematrix, 212, 291Matrix

diagonaldominante, 48–50, 53Hesse-, 85Hilbert-, 171, 209irreduzibel diagonaldominante, 48–50, 53, 93irreduzible, 46, 47, 50, 55M-, siehe M-Matrixpositiv definite, 53, 84, 92, 93, 104, 169, 291positiv semidefinite, 53, 85reell-diagonalisierbare, 7schwach besetzte, 45schwach diagonaldominante, 48

Matrixgraph, 46Matrixnorm, 51

zugeordnete, 51Maximumnorm, siehe Supremumsnorm, Norm,

47, 51Maximumprinzip, 18, 20, 55, 85, 101, 217, 280

starkes, 86Mehrstellenverfahren, 65Methode

der finiten Elemente, siehe Finite-Element-Methode

der finiten Volumen, 227der kleinsten Quadrate, 226

Minimierungsproblem, 138, 147, 169, 175, 222Minimumprinzip, 294Mittelwerteigenschaft, 18–21

diskrete, 54zweite, 18

Mortelmethode, 224

Navier–Stokes-Gleichungen, 312Nebenbedingungen, 186, 188, 325

Sachverzeichnis 399

Neumann-Randwertvorgabe, 36, 37, 66, 96,153, 182

Neunpunktformel, 64, 90kompakte, 64

nicht sachgemaß gestellte Aufgabe, 10Norm, 50

aquivalente, 108, 212Dual-, 127Euklidische, 15, 52Matrix-, siehe MatrixnormOperator-, 108Sobolev–Slobodeckij-, 119Spektral-, 52Supremums-, siehe SupremumsnormZeilensummen-, 51

Normalenableitung, 16, 36normales System, 102Normalgebiet, 16normierter Raum, 107

Operator, 108, siehe Differentialoperatoradjungierter, 128beschrankter, 108Dual-, 127einer Bilinearform zugeordneter, 134Fortsetzung eines, 109Fortsetzungs-, 120kompakter, 131nichtlokaler, 160stetiger, 108

Operatornorm, 108orthogonal, Orthogonalraum, 111

Parallelogrammgleichung, 111Parseval’sche Gleichung, 267Partition der Eins, 124Patchtest, 219Petrov, Georgij Ivanovic, 227Petrov–Galerkin-Verfahren, 227Plattengleichung, 101Poincare–Friedrichs-Ungleichung, 115Poincare-Ungleichung, 363Poisson’sche Integralformel, 20, 23Poisson-Gleichung, 27, 40, 148, 247Polarkoordinaten, 14–16, 96Potentialgleichung, 2, 4, 5, 10, 13, 65, 222

diskrete, 55, 58prakompakt, 131Projektion, 128

orthogonale, 128, 167, 249Ritz-, 175, 194, 196

Prolongation, 164

Pseudodifferentialoperator, 160

Quadratgittertriangulation, 181Quasioptimalitat, 172

Ruckwartsdifferenz, 66Randbedingung, siehe Dirichlet-Randwertvor-

gabe, Neumann-RandwertvorgabeAdler-, 158dritte, 95erste, 95gemischte, 158naturliche, 151, 182periodische, 96Robin-, 95zweite, 95

Randdifferentialoperator, 94, 95, 152Randdiskretisierung, 98, 99Randelementmethode, 38Randschicht, 279Randwertaufgabe, 14

der Ordnung 2m, 156Variationsformulierung einer, 141

Randwertvorgabe, 2, 8–10, 14Dirichlet-, siehe Dirichlet-RandwertvorgabeNeumann-, siehe Neumann-Randwertvorgabeperiodische, 96

RaumBanach-, 109Dual-, 127Hilbert-, 111normierter, 107Orthogonal-, 111Vervollstandigung eines, 109vollstandiger, 109

Rayleigh-Quotient, 161Rayleigh–Ritz-Verfahren, 162Reaktions-Diffusionsgleichung, 278reduzierte Gleichung, 278Referenzdreieck (Referenzelement), 182, 183,

189Regularitat, 229

der Differenzengleichungen, 253H2-, 195Hs-, 231innere, 63, 271

Resolvente, 370Restriktion, 60Reynolds-Zahl, 312Riesz–Schauder-Theorie, 133, 139Riesz-Isomorphismus, 128Ritz, Walter, 162

400 Sachverzeichnis

Ritz–Galerkin-Verfahren, 163Ritz-Projektion, 175, 194, 196Robin-Randbedingung, 95Ruckwartsdifferenz, 40

sachgemaß gestellte Aufgabe, 23Sattelpunkt, 316Sattelpunktproblem, 315Satz

Riemann’scher Abbildungs-, 35Riesz’scher Darstellungs-, 128Sobolev’scher Einbettungs-, 122Transformations-, 116von Arzela–Ascoli, 131von Aubin-Nitsche, 195von Banach–Schauder, 110von Cea, 172von der offenen Abbildung, 110von Garding, 148von Gersgorin, 47von Harnack, 21von Lax–Milgram, 136

Schachbrettanordnung, 44Schrittweite, 40Schur-Normalform, 348schwache Ableitung, 112schwache Formulierung (einer Randwert-

aufgabe), siehe VariationsformulierungSchwarz’sche Ungleichung, 110Sesquilinearform, 134Shortley–Weller-Differenzenschema, 78, 257,

258, 271Siebenpunktformel, 90Singularitatenfunktion, 15, 103

diskrete, 74Skalarprodukt, 16, 52, 110–112, 114, 119, 125,

130, 248Sobolev-Raum, 112Sobolev–Slobodeckij-Norm, 119Spektralnorm, 52Spektralradius, 48Spektrum, 133Splines, kubische, 199Spur einer Funktion, 120Spur einer Matrix, 86Stabilitat, 60, 94Steifigkeitsmatrix, 165, 212Steklov-Problem, 290Stern, 45stetige Abhangigkeit der Losung

gegenuber Gebietsvariation, 24, 103

von den Koeffizienten, 89von den Randwerten, 23, 88

Stokes-Gleichungen, 4, 101, 311Strang

erstes Lemma von, 176zweites Lemma von, 220

Stromfunktion, 314Stromlinien-Diffusionsverfahren, 283Superkonvergenz, 223Supremumsnorm, 23, 108, 109System, siehe GleichungssystemSystem, normales, 102Systemmatrix, 165, 212

Tangentialableitung, siehe AbleitungTrager einer Funktion, 112Trager eines Funktionals, 252Tragheitssatz von Sylvester, 6Trapezformel, 71Trefftz-Verfahren, 222Triangulation, 180

formregulare, 192, 210nichtzulassige, 220quasiuniforme, 192uniforme, 192zulassige, 180

Typeneinteilung der partiellen Differential-gleichungen, 1, 5, 7

V -Elliptizitat, 136im komplexen Fall, 136, 147

V -Koerzivitat, 139Variationsformulierung (einer Randwert-

aufgabe), 141, 161, 229, 274Variationsproblem, 138

adjungiertes, 138, 195duales oder komplementares, 222

Vervollstandigung, 109Viskositat

kunstliche, 281numerische, 281

Vollstandigkeit, 109vollstetig, 133Volumenpotential, 37Vorwartsdifferenz, 40

Warmeleitungsgleichung, 3, 4, 7, 9, 10Wellengleichung, 3–5, 8, 10Wilson’sches Rechteck, 219

Zeilensummennorm, 51