1 

 

Allgemeines  

Einige Hinweise: 

 

Die nächste Übung ist vom 12.1. auf den 19.1.2012 verlegt worden. 

 

Die alten Klausuren findet Ihr unter folgendem Link: 

http://www.wiwi.uni‐muenster.de/vwt/studieren/pruefungen_marktpreis.htm 

 

Wiederholung / Einführung 

 

homogener Markt? 

Bedeutet, dass der Preis gleich sein muss. 

Nash? 

Jeder nimmt die Entscheidungsgröße des Anderen als gegeben an und entscheidet 

dann über seine jeweils optimale Antwort. 

Von‐Stackelberg? 

Ein Unternehmen sieht nicht den Aktionsparameter des anderen Unternehmens als 

gegeben  an,  sondern  berücksichtigt  die  optimale  Strategie  des  anderen 

Unternehmens. 

Cournot? 

Als Cournot‐Modelle werden Modelle bezeichnet, die Mengenstrategien betrachten. 

Bertrand? 

Als Bertrand‐Modelle werden Modelle bezeichnet, die Preisstrategien betrachten. 

  

 2 

 

Vergleich Nash vs. v. Stackelberg: 

  Nash‐Lösung  

v. Stackelberg (jeweils Duopol)  

Preis )(

3

1cac   > )(

4

1cac  

Menge 1 

b

ca

3

1  < b

ca

2

1 

Menge 2 

b

ca

3

1  > b

ca

4

1 

Menge G 

b

ca 3

2  < b

ca

4

3 

 

Die v.‐Stackelberg‐Lösung führt zu einem Wohlfahrtsgewinn gegenüber der Nash‐

Lösung, da eine größere Menge bei niedrigerem Preis angeboten wird. 

 

 

 

Welche Lösung würde sich ergeben, wenn U2 Stackelbergführer wäre? 

KK

N

S

R1

R2

1 2G G 0= =

U= Stackelbergführer1

N = NashlösungU = Stackelbergfolger2

M = MonopollösungK = vollkommene Konkurrenz

a - c

a - c

a - ca - c a - c

a - cb

b

bb b

b

1

1 1

1

3

3 2

4

x2

x1

  

 3 

 

Aufgabe 12: (Übung 4) 

Vergleichen  Sie  für  einen  homogenen  Markt  (mit  gegebenen  linearen 

Nachfragefunktionen, identischen Grenzkosten usw.) die Marktergebnisse für: 

vollkommene Konkurrenz 

Nash‐Cournot‐Duopol 

Stackelberg‐Lösung‐Duopol 

Monopol 

(algebraische Herleitung + Grafik für Vergleich) 

 

 

  Menge y* Preis p* 

vollkommene Konkurrenz b

ca  c = 1  c + 0   a 

Duopol Stackelberg b

ca

4

3  )(

4

1cac  

Duopol Nash‐Cournot b

ca

3

2  )(

3

1cac  

Monopol b

ca

2

1  )(

2

1cac  

 

 

  

 4 

 

Vergleich  

 

Beispielrechnung bzw. Zeichnung mit 

p = 10 – x          und        c = 1 

a = 10, b = 1 und c = 1 

Ergebnisse berechnen! 

 

Einzeichnen der jeweiligen Menge von U1 und U2 auch hier möglich! Zeigen! 

 

Mengen‐Preis‐Diagramm Vergleich von Wohlfahrtseffekten 

Mengen‐Mengen‐DiagrammVergleich der Unternehmen 

 

  

 5 

 

Aufgabe 13: 

Untersuchen  Sie  die  Bertrand‐Lösung  im  homogenen  Duopol  ohne 

Kapazitätsbegrenzung. 

 

Bertrand-Lösung im homogenen Duopol ohne Kapazitätsbegrenzung  

Bertrand = Preisstrategie 

 

Im  Gegensatz  zu  den  Cournot‐Modellen  wird  bei  Bertrand‐Modellen  nicht  die 

Produktionsmenge als Aktionsparameter angesehen, sondern der zu setzende Preis. 

 

Was bedeutet dies unter der Annahme des Nash‐Lösungskonzeptes? 

Unter  der  Annahme  des  Nash‐Lösungskonzeptes  bedeutet  dies,  dass  ein 

Unternehmen  U1  einen  Preis  setzt  und  dabei  davon  ausgeht,  dass  U2  bei  seinem 

einmal gewählten Preis bleibt. 

Warum ist diese Annahme/unterstellte Verhaltensweise kritisch zu sehen? 

Diese Annahme ist relativ problematisch, da gilt: 

In  einem  homogenen  Markt  ohne  weitere  Beschränkungen  kann  es  nur  einen 

einheitlichen Preis geben und beide Unternehmen wissen dies. 

   

  

 6 

 

Kernüberlegung von Bertrand: 

Ausgangssituation: 

Unternehmen  U1  bedient  bisher  den  Markt  als  Monopolist  und  setzt  den  Preis 

1

1 1( )

2 2M MP a c mit P P .  

 

Es  tritt  ein  zweites  Unternehmen  U2  in  den  Markt  ein.  Die  Verteilung  der 

Nachfragemengen auf U1 und U2 hängt dann  von dem  zu wählenden Preis P2 des 

zweiten Unternehmens ab. 

(1) P2 > P1 : U1 bedient den Markt weiterhin alleine 

(2) P2 < P1 : U2 bedient den Markt alleine 

(3) P2 = P1 : Es ergibt sich eine beliebige Marktaufteilung der Monopolmenge  *MY .  

 

 

 

 

Nicht kooperatives Verhalten & c1=c2=c=GK wird angenommen 

Jedes  Unternehmen  geht  jetzt  von  einem  einmal  gewählten  Preis  seines 

Gegenspielers aus (Nash‐Annahme), welches es nun natürlich zu unterbieten sucht. 

Da beide diese Überlegung anstellen, bleibt als einzige Lösung:     P1 = P2 = GK    übrig. 

Nur  hier  wird  dem  Gegenspieler  die  Chance  genommen,  den  eigenen  Preis  zu 

unterbieten. 

   

  

 7 

 

Aufgabe 14:  

Untersuchen  Sie  die  Bertrand‐Lösung  im  homogenen  Duopol  mit 

Kapazitätsbegrenzung. 

 

Bertrand-Lösung im homogenen Duopol mit Kapazitätsbegrenzung  

Es gilt: 

- Die  jeweilige  Produktionskapazität  der Unternehmen U1  und U2  reicht  nicht aus, um bei einem Preis P = GK den Gesamtmarkt zu beliefern. 

- Grenzkosten sind identisch und konstant GK = c = GK1 = GK2 

- Kapazität:  max2

max1 YY  

 

 

 

 

 

  

 8 

 

Im  Bertrand‐Modell  ohne  Kapazitätsrestriktion  sind wir  von  einem Monopolisten 

ausgegangen,  der  durch  den  Markteintritt  des  zweiten  Unternehmers  dazu 

gezwungen wurde, den Preis  GKP 01  zu akzeptieren. 

Dieser  Preis  ist  nun  der  Ausgangspunkt  für  unsere  Überlegungen  zum  Bertrand‐

Modell  mit  Kapazitätsrestriktionen.  Bietet  U1  zum  Preis  01P  an,  so  setzt  es  (ohne 

Angebot von U2) die Menge  max1Y  ab. 

Diese Menge lässt aber für U2 noch eine Restnachfrage auf dem Markt zurück. 

U2  kann  sich  als  Monopolist  für  diese  Restnachfrage  verhalten,  da  U1  ja  keine 

Kapazität mehr hat, um aktiv zu werden. U2 wird also den Monopolpreis  02P  wählen 

und so einen Gewinn machen (Rechteck). 

Für U1 wäre es jetzt inkonsequent, in 0

1P  zu bleiben, da es bei einem Preis von  02P  

einen  Extragewinn  realisieren  könnte,  da  es  weiterhin  die  Menge  max1Y  absetzen 

könnte, allerdings zu einem höheren Preis. 

 

Das Modell liefert nun keine eindeutige Aussage (Gleichgewicht): 

 

Es gibt grundsätzlich mehrere Möglichkeiten: 

(1) Trotz  schlechterer  Kapazitätsauslastung  (und  möglichem  kurzfristigem Gewinnsteigungspotential)  hält  U2  aus  Angst  vor  einem  Preiskrieg  still  und akzeptiert die Lösung. 

oder (2) U2  unterbietet  den  neuen  Preis  von  Unternehmer  U1  und  löst  eine 

Preissenkungsspirale aus. Diese dauert dann so lange, bis es sich wieder lohnt, in die Restnachfrageposition  (Ausgangssituation U2)  zu gehen, wodurch alles wieder von vorne beginnt.  

(3) Beide ähnlichen Gewinn a=b.    

  

 9 

 

Aufgabe 15: 

Machen Sie klar, warum es je nach Ausgangslage „einen Vorteil“ bzw. „einen Nachteil 

des ersten Zuges“ geben kann. (algebraisch + verbal + grafisch) 

 

1.) Im Duopol-Modell von v. Stackelberg im homogenen Markt kommt es zu einem Vorteil des ersten Zuges – kennen wir schon!

KURZ: Vorteil des ersten Zuges besteht im homogenen Duopol. 

 

Ausgangslage: 

- 2 Unternehmer U1 und U2 bedienen die Nachfragefunktion:  )( 21 xxbaP  

 - homogener Markt bedeutet einheitlichen Preis 

 - Grenzkosten konstant und identisch c1 = c2 = c 

 

KOCHREZEPT:  

1. Herleitung der Reaktionsfunktionen 

Aufstellen und vereinfachen der Gewinnfunktion 

Durch Maximierung der Gewinnfunktion(en) 

 

Zunächst: U1 und U2 sehen jeweils die Menge des Anderen als gegeben an. 

2. Ermittlung der Nash‐Cournot‐Lösung 

Gleichsetzen der Reaktionsfunktionen 

 

Nun: Der Stackelbergführer U1 sieht nicht die Angebotsmenge als gegeben an, 

sondern berücksichtigt die optimale Strategie des anderen Unternehmens U2. 

3. Ermittlung der v.‐Stackelberg‐Lösung 

R2 in Gewinnfunktion von U1 (Stackelbergführer) 

  

 10 

 

  Nash‐Cournot  v.StackelbergP 

ac3

1

3

2   ac

4

1

4

3  

X1 

b

ca 3

1 

b

ca 2

1 

X2 

b

ca 3

1 

b

ca 4

1 

 

4. Ermittlung der Gewinne der Unternehmen in beiden Fällen 

Nash‐Cournot: 

111 xcxpG  

11 )( xcpG  

b

caccaG

33

2

3

11

 

b

cacaG

33

)(1

 

2

2

1

)(

9

1G

b

caG

 

 

 

V. Stackelberg: 

b

caG S

2

1

)(

8

1

      und       b

caG F

2

2

)(

16

1

 

 

 

 

 

 

 

  

 11 

 

5. Interpretation 

Der Stackelbergführer U1 erreicht einen doppelt so hohen Marktanteil und damit 

auch einen doppelt so hohen Gewinn wie U2. Im Vergleich zur Nash‐Cournot‐Lösung 

im homogenen Markt verbessert sich U1 absolut, U2 verschlechtert sich. Der 

Stackelbergführer U1 hat hier also den Vorteil des ersten Zuges (first‐mover‐ 

advantage) gegenüber U2. 

 

6. Grafische Darstellung 

Grafik:  

 

 

 

KK

N

S

R1

R2

1 2G G 0= =

U= Stackelbergführer1

N = NashlösungU = Stackelbergfolger2

M = MonopollösungK = vollkommene Konkurrenz

a - c

a - c

a - ca - c a - c

a - cb

b

bb b

b

1

1 1

1

3

3 2

4

x2

x1

  

 12 

 

 

 

 

  

 13 

 

2.) Im Duopol Modell v. Stackelberg-Bertrand im heterogenen Markt kommt es zum Nachteil des ersten Zuges.

 

Ausgangslage: 

- 2 Unternehmen bedienen einen heterogenen Markt mit zwei Gütern, die von 

den Nachfragen als unvollkommene Substitute betrachtet werden 

Es können unterschiedliche Preise  21 PP  bestehen, ohne dass ein 

Anbieter alle seine Kunden an den Konkurrenten verliert. 

 - Bertrand => Preis ist der Entscheidungsparameter 

 - Die Anbieter sehen sich folgender Nachfragefunktion ausgesetzt: 

)( 121111 PPPx   mit  0,,  

)( 212222 PPPx    

mit   = Reaktionskoeffizient 

(gibt an wie stark die Wechselbereitschaft der Nachfrager ist) 

 

Gesamtnachfrage 

    22112121 )( PPxx  

- Grenzkosten sind konstant und identisch c1 = c2 = c   

WAS muss man jetzt machen??? 

Algebraische Bestimmung 

(KOCHREZEPT….) 

Grafische Bestimmung 

   

  

 14 

 

Algebraische Bestimmung: 

Nash‐Bertrand‐Modell 

Herleitung der Reaktionsfunktionen: 

Gewinnfunktion von U1 bei gegebenem P2: 

1 1 1 1 1 2 1( )[ ( )]G P c P P P  

max Bed.: !

1

1

0G

P

 

  0)()()( 1112111 cPPPP  

  )()( 1111121 PPPcP  

  111111121 PPPPccP  

  )(2)( 11121 PcP  

 2)(2 1

211

cPP

    R1 

 

R1 ist definiert für  02 y  ökonomisch kann keine Reaktion erfolgen, wenn keine 

Fremdmengen vorliegen. 

Analog lässt sich R2 ermitteln. 

2)(2 2

122

cPP

  R2 

definiert für  01 y  

WIE WÄRE DAS WEITERE VORGEHEN???  

GLEICHSETZEN FÜR NASH‐BERTRAND‐LÖSUNG 

R2 in G1 für v.Stackelberg 

….noch nie in Klausur abgefragt, aber GRAFISCH!   

  

 15 

 

Grafische Bestimmung: 

Über Isogewinnkurven: Aus Gewinnfunktion mit fixiertem G 

)()( 1211111 PPPcPG  

121111

1 PPPcP

G

 

211111

1 PPPcP

G

 

111

1

12 )(

1P

cP

GP

 

Betrachtung von zwei Grenzgeraden: 

a)  1P  geht gegen c, geht  2P  

b) Wenn  1P  sehr groß wird, verhält sich die Isogewinnkurve ungefähr wie 

1 12 11P P

 

Je höher der Gewinn ist, desto weiter „östlich“ liegt die Isogewinnkurve 

 

 

  

 16 

 

Nash‐Bertrand‐Lösung: 

 

 

 

   

  

 17 

 

Vergleich NC‐Lösung mit einer Lösung bei Stackelberg‐Verhalten: 

U1 setzt R2 in seine Gewinnfunktion G1 ein. 

Grafisch heißt das, dass er die Isogewinnkurve sucht bei der R2  die Tangentiale von 

dieser ist.  

 

 

U1 erreicht dadurch einen höheren Gewinn als im Nash‐Bertrand Gleichgewicht. 

U1 ermöglicht damit jedoch Anbieter U2 eine Preispolitik mit P2 < P1, was U2 den 

Vorteil eines noch höheren Gewinns G2 verschafft  

Vergleiche Strecke zwischen den Isogewinnkurven GN und GS 

=> Nachteil des ersten Zuges (first‐mover‐disadvantage) 

 

 

  

 18 

 

Zeichnung für Bertrand-Lösungen im heterogenen Markt  

1. Preis‐Preis Diagramm: Hier muss man darauf achten, auch den negativen Bereich mit einzuzeichnen und alles symmetrisch zu halten (wenn die Duopolisten gleich sind)  

2. Grenzbereiche in die Zeichnung einführen: a) Die beiden Grenzkostengeraden (Grenzgerade i) müssen parallel mit geringem 

Abstand zu Ordinate bzw. Abszisse liegen. b) Die Yi=0 Grenzen möglichst hoch bzw. rechts ansetzen und eine leichte Steigung 

berücksichtigen.  

3. Reaktionsfunktionen R1 und R2 einzeichnen: Hier zwischen den jeweiligen Grenzgeraden auf der Achse ansetzen und ruhig eine etwas stärkere Steigung wählen (z.B. die doppelte/dreifache Steigung von Yi=0). Dann ungefähr mittig zwischen den Schnittpunkten Yi=0/i bzw. Yi=0/ii abknicken und ein Stück auf letzterer weiterlaufen lassen.  

4. Isogewinnkurven im Nash‐Gleichgewicht einzeichnen: Dabei beachten, dass der nördlichste bzw. westlichste Punkt der Isogewinnkurven immer auf den jeweiligen Reaktionsfunktionen liegt (hier also im Nash‐Gleichgewicht). Die Ausläufer verlaufen asymptotisch zu den Grenzgeraden i bzw. ii. Insbesondere ist zu beachten, dass die Isogewinnkurve des Nash‐Gleichgewichts die Reaktionsfunktion zweimal schneidet. Hier wird das Zeichnen umso einfacher, je größer die Steigung der Reaktionsfunktionen gewählt wurde.  

5. Nun ist die Richtung anzugeben, in der die Gewinne steigen.  

6. Daraufhin kann die v.‐Stackelberg‐Lösung eingezeichnet werden, indem man eine Isogewinnkurve tangential an die R2 zeichnet und asymptotisch auf die Grenzgeraden laufen lässt. Zu beachten ist dabei, dass der Tangentialpunkt nicht der westlichste Punkt ist: letzterer liegt auf der eigenen Reaktionsfunktion.  

7. Jetzt kann die Isogewinnkurve des anderen Unternehmens im v.‐Stackelberg‐Gleichgewicht eingezeichnet werden, hier ergibt sich nun der nördlichste Punkt der Isogewinnkurve. Letztere verläuft wieder asymptotisch zu den Grenzgeraden.  

8. Nun ist zu zeigen, dass die Entfernung zwischen den beiden Isogewinnkurven beim v.‐Stackelberg‐Führer U1 geringer ist als bei U2.  

9. Am Schluss nochmal überprüfen, ob alles richtig beschriftet ist.  

 

  

 19