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Makroskopische Quantenzustände• Einleitung: Mikroskopische und makroskopische Quantenzustände• 2. Quantenstatistik, entartete Bose- und Fermigase• 3. Fallen für Atome, Kühlen atomarer Gase ins entartete Regime• 4. Supraleiter: Grundlegende Effekte• 5. Die BCS-Theorie für Supraleiter• 6. Superfluides 4He• 7. Gross-Pitaevskii und Ginzburg-Landau Theorie• 8. Superfluides 3He und verwandte Systeme• 9. Experimente mit Bose-Einstein Kondensaten• 10. Josephsoneffekte in Supraleitern, BECs und

Superfluiden• 11. Fermigase, BEC-BCS-Übergang• (….)

Superfluides 4He4He: 2 Protonen, 2 Neutronen, Gesamtspin 0 ⇒ Boson

Im Vergleich: 3He: 2 Protonen, 1 Neutron, Gesamtspin 1/2 ⇒ Fermion

Phasendiagramm von 4He

Quelle: http://www.fluidmech.net/msc/super/super-f.htm

http://www.fluidmech.net/msc/super/super-f.htm

Superfluides 4HeBeachte: 4He flüssig für p < 25 b bis T → 0

Gründe: 1.) schwache (van der Waals-) Wechselwirkung (Edelgas!)2.) leichtes Atom → große Nullpunktsschwingungen im gebundenen Zustand3) Superfluid trägt keine Entropie → kein Entropiegewinn durch Bildung Festkörper

Phasenübergang in den superfluiden Zustand

Spezifische Wärme divergiert bei Tλ→ Phasenübergang 1. OrdnungFreie Energie: KnickEntropie (∝ dF/dT): SprungSpez. Wärme (∝ d2F/dT2):Divergenz

Vgl: für BEC → Phasenübergang 2. Ordnung erwartet

Quelle: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity

Einige Eigenschaften der Supraflüssigkeit

Quelle: Tilley&Tilley, Superfluidity and Superconductivity

1) 4He fließt durch Mikroporen, einige 10 nm ∅Konsequenz: „Superlecks“ in Kryostaten

2) Dauerströme in superfluidem Ring:Reppy & Depatie, Phys. Rev. Lett. 12, 187 (1964)

Supraflüssigkeit fließt ohne Abklingen durch Hohlring;Beobachtungszeit bis 12 Stunden

⇒ Viskosität η = 0

3) dagegen: η> 0 für in 4He rotierende Scheiben:

Das Zweiflüssigkeitsmodell

sv nv

η=0 für Ringströme, η>0 für rotierende/oszillierende Scheiben

→ Verstehbar im Zweiflüssigkeitsmodell

He II Anteil ρs an „Supraflüssigkeit“, Anteil ρn an „Normalflüssigkeit“, ρs+ ρs = ρ

Jede Komponente hat eigene Geschwindigkeit bzw.

Suprastromdichte: nnssns vvjjj ρρ +=+=

Das Zweiflüssigkeitsmodell

Quelle: Tilley&Tilley, Superfluidity and Superconductivity

Test durch oszillierenden Stapel aus Scheiben (Andronikashvili, 1946):-Scheibenabstand so eng, dass Normalkomponente mitgeführt wird- Oszillationsfrequenz abhängig

von ρn/ ρ

Superfluides He im Reagenzglas


Superfluides He im Reagenzglas

Begründung:

1) Reagenzglas benetzt im 4He-Dampf (nicht ungewöhnlich, höchstens Filmdicke von ca. 30 nm ≈ 100 Atomlagen

recht hoch)2) Superfluid kann reibungsfrei durch Film fließen3) Film agiert wie Siphon (vgl. kommunizierende Gefäße)

aus Auslaufgeschwindigkeit ⇒ vs≈ 20 cm/s bei tiefen Temperaturen

Superfluides He und Wärmeleitung

T>2.17 K T<2.17 K

T>Tλ: Blasenbildung; hier: Dampfdruck = Außendruckund: kleine Temperaturfluktuationen in der Flüssigkeit

T<Tλ: keine Blasen mehr ⇒ T überall gleich ⇒ beliebig hohe Wärmeleitfähigkeit λW

Wärmestrom ∝ λW gradT

S. Balibar, cond-mat/0303561

Superfluides He und Wärmeleitung

T>2.17 K T<2.17 K

Mechanismus für Homogenisieren der Temperatur:Betrachte Gebiet mit Temperatur T+∆T⇒ ρs sinkt⇒ Nachfluss d. Suprakomponente aus kälteren GebietenSuprakomponente trägt keine Entropie⇒ Nachfluss „verdünnt“ Entropie in warmem Gebiet⇒ ∆T → 0

S. Balibar, cond-mat/0303561

Thermomechanische Effekte

Betrachte 2 Gefäße, verbunden durch Superleck; Heizer erwärmt Gefäß B auf T+∆T

Beobachtung: Flüssigkeitsspiegel auf unterschiedlichem Niveau ∆h

Typische Zahlenwerte: ∆h ≈ 1 cm für ∆T = 10-3 K



gTh σ=

∆∆

Erklärung (qualitativ):-Heizer erwärmt B ⇒ ρs sinkt in B⇒ Suprastrom A → B (Konzentrationsgradient in ρs!) ⇒ Volumen in B steigt, Vol. in A sinkt⇒ Suprastrom muss gegen Druckdifferenz ∆p =ρg ∆h fließen⇒ stationäres Gleichgewicht für gewisses ∆h

Im Gleichgewicht gilt:

mit: σ: Entropie pro kg; g: Erdbeschleunigung



Begründung:

Energieaufwand für Strom A → B: V∆pEnergiegewinn durch Wärmefluss: B → A: S ∆T

hp

hT

∆∆

=∆∆

ρσ 1

Im Gleichgewicht: V∆p= S ∆TVS

Tp=

∆∆

⇒

VS

Thg=

∆∆

⇒ρ

ggVS

Th σ

ρ==

∆∆

⇒

Konsequenz…..

Springbrunneneffekt

http://particle.physics.ucdavis.edu/bios/Allen.html

Röhrchen ragt aus 4He-GefäßRöhrchen nach unten durch Superleck für Normalflüssigkeit verschlossenErwärmung durch z. B. Licht aus Taschenlampe⇒ Aufbau Druckdifferenz durch Nachfluss d. Suprakomponente⇒ Normalkomponente schießt fontänenartig nach oben

(einige 10 cm für ∆T einige mK)


Anregungen im/aus dem Kondensat

- Schallwellen (1., 2. und 3. Schall)

Quantisiert: „Phononen“ und „Rotonen“ als „Quasiteilchen“

- Wirbel (Quantisiert in Einheiten h/m)

Schallwellen: 1., 2. und 3. Schall

1. Schall: Dichtewellen, ρ variiert (wie in gewöhnlichen Gasen/Flüssigkeiten)

Für He-II: c ≈ 238 m/s2. Schall:

Betrachte 2 Volumina, linkes Vol. werde auf T+∆T geheiztVerbindung zwischen Volumina soll Strömung von Normal- und Supraanteil erlauben

Statische Heizung: Gegenströmung von Normal- und Supraanteil


Schallwellen: 1., 2. und 3. Schall2. Schall:

Periodische Heizung:

- Normal- und Supraanteil oszillieren gegeneinander- Gesamtdichte bleibt konstant= 2. Schall

Schallgeschwindigkeit ≈c/√3 ≈ 140 m/s

Nur Normalkomponente trägt Entropie ⇒ 2. Schall entspricht auch Entropiewelle


Schallwellen: 1., 2. und 3. Schall3. Schall:

- tritt an Oberflächen auf- (viskose) Normalkomponente an Oberfläche fixiert- Supraanteil oszilliert parallel zur Oberfläche⇒ Wellenberge und Täler

Berg: Überschuss Supraanteil → KaltTal: Defizit Supraanteil → „Warm“

Schallgeschwindigkeit 10..100 cm/s


Quasiteilchen-Anregungen

Anregung mit Energie E, Impuls p

bzw. Frequenz ω, Wellenvektor k

⇒ Quanten ω mit Dispersionsrelation )(k

ω

Messung (Neutronen-Streuexperimente):


Quasiteilchen-Anregungen

Linearer Anteil, kleine k bzw. p: „Phononen“

Minimum bei ca 20/nm: „Rotonenminimum“

Anschauliche Darstellung:


Quelle: J. F. Annett, Superconductivity, Superfluids and Condensates

Quasiteilchen-Anregungen und reibungsfreie Bewegung

Betrachte Körper, (große) Masse M, der sich durch ruhende Supraflssigkeit bewegt

Ab welcher Geschwindigkeit kann Körper Quasiteilchen anregen?

Anregung soll Geschwindigkeit des Körpers von nach ändern1v 2v

Energieerhaltung: )(21

21 2

221 pMvMv ε+=

)( pε

Impulserhaltung: pvMvM += 21

Hieraus: 02

)(2

1 =+−Mpvpp ε

Masse M groß ⇒ vernachlässige letzten TermEs sei ϕ Winkel zwischen p und 1v

⇒ )(cos1 ppv εϕ =


)(cos1 ppv εϕ =

Mit cosϕ ≤ 1 ⇒ v1≥ ε(p)/p

⇒ Maximale Geschwindigkeit vmax = (ε(p)/p)min

Minima von ε(p)/p für: dε(p)/dp = ε(p)/p

Graphisch: Gerade durch 0 berührt ε(p)

⇒ Ok bei p→ 0 (Phononen)und bei Rotonenminimum (hier v kleiner!)



ergibt vmax ≈ 58 m/s

Anmerkung 1: für freie Teilchen, ε ∝ p2: vmax=0!

Anmerkung 2: Ändere Bezugssystem: ruhender Körper, bewege Supralüssigkeit⇒ vmin ist „kritische Geschwindigkeit“ des Superfluids

Anmerkung 3: vkrit i. allg. viel niedriger; Ursache: Ausbildung von Vortices


Vortices in 4HeWie bei Supraleitern, BECs: Auftreten quantisierter Wirbel möglich

Φ+=+=+=⋅⋅= ∫∫∫∫∫∫ ssss

s

Fss

ss

sss

ss

s qldjnq

mfdBqldjnq

mldAqldjnq

mnk

π2

Bei Supraleitern galt Fluxoidquantisierung:

Setze Ladung q=0, benutze j=qnv

ldvmldvnnmnk ssss

s

s

∫∫∫ ==⋅⋅= π2

Oder: ldvnmh

ss

∫=⋅

⇒ Zirkulation quantisiert in Einheiten h/ms=:κ (Vortizität)

Vortices in 4He

Für rotationssymmetrischen Wirbel: ϕπ ,2 ss

rvnmh

=⋅

rvs

1, ∝ϕ⇒

Erzeugung von Wirbeln: z. B. durch rotierenden Kryostaten

Beachte: Drehung Ω

äquivalent zu Magnetfeld B

vgl. Coriolis vs. Lorentz

Ω×=vmFcor 2 BvqFLor

×=.

⇒ Entsprechung Ω

m2 Bq

↔

Vortices in 4He

Rotierender Kryostat, Helsinkihttp://boojum.hut.fi/research/applied/rotating3he.html

http://ltl.tkk.fi/research/theory/heliumtheory.html



Vortices in 4HeAbbildung von Vortices:-Elektronen (Ionen) sammeln sich bevorzugt im Vortexkern- „Aufladen durch Tritium-Quelle (ca. 10 sec.)- „Abfluss“ auf Phosphorschirm“- Filmsequenzen (6 Bilder/sec.) möglich

E. J. Yarmchuk, M. J. V. Gordon, R. E. Backard, Phys. Rev. Lett. 214, 215 (1979)

Vortexgitter bei verschiedenen Rotationsgeschwindigkeiten

Vortices in 4He

Wie groß ist die Wirbeldichte n im Behälter?

Zirkulation außen am Behälter (Radius R): 2πRv(R)= 2πR ΩR=2πR2Ω

Muss gleich sein: nκπR2 (Zahl Wirbel/Fläche x Vortizität eines Wirbels) x( Fläche)

⇒h

mn sΩ=Ω

=22

κ(~ 20/mm2 x Ω [Hz])

Quellen: Tilley& Tilley, Superfluidity and Superconductivity

http://ltl.tkk.fi/research/theory/heliumtheory.html

Zur theoretischen Beschreibung von 4He

Hydrodynamische Beschreibung:

Navier-Stokes-Gleichung für Normalkomponente

Eulerartige Gleichungen für Suprakomponente (falls keine Vortices)

Suprakomponente inkl. Vortices ⇒ Gross-Pitaevskii, s. nächstes Kapitel

Mikroskopische Theorie: schwierig für (Supra-)Flüssigkeiten!

2)(2 sn

nss

sss vvTp

DtvD

−∇+∇+∇−=ρρρσρ

ρρρ

nnsnns

snn

n vvvTpDtvD

∆+−∇−∇−∇−= ηρρρσρ

ρρρ 2)(

2

Mit: vvtv

DtvD

)( ∇⋅+∂∂

= σ: Entropie pro kg

Literatur

J. F. Annett, Superconductivity, Superfluids and CondensatesJ. F. Annett, Supraleitung, Superfluidität, Kondensate

D. R. Tilley & J. Tilley, Superfluidity and Superconductivity

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