Matemática

ANÁLISE COMBINATÓRIA

Professor Dudan

Análise Combinatória

Permutação Simples

É caracterizada por envolver todos os elementos , nunca deixando nenhum de fora.Muito comum em questões que envolvem anagramas de palavras.

Fórmula:  Pn = n!

Dica: A PERMUTAÇÃO embaralha TUDO!

Análise Combinatória

Exemplo ResolvidoQuantos anagramas possui a palavra AMOR.

Um anagrama formado com A, M, O, R corresponde a qualquer permutação dessas letras, de modo a formar ou não palavras. Temos 4 possibilidades para a primeira posição, 3 possibilidades para a segunda posição, 2 possibilidades para a 3 posição e 1 possibilidade para a quarta posição. Pelo princípio fundamental da contagem temos 4 . 3 . 2 . 1 = 24 possibilidades ou 24 anagramas. Pela própria fórmula faremos P4 = 4! = 4.3.2.1= 24 anagramas.Alguns anagramas: ROMA, AMRO, MARO, ARMO, MORA . . .

Análise Combinatória

ExemploQuantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas?

Análise Combinatória

ExemploQuantos são os anagramas da palavra APROVEI com as vogais juntas e nessa ordem?

Análise Combinatória

E se houver elementos repetidos?

Assim temos a Permutação com Repetição na qual deveremos “descontar “ os elementos repetidos pois a troca de posição entre dois elementos repetidos não evidencia uma nova estrutura.

Análise Combinatória

ExemploCalcule a quantidade de anagramas da palavra BANANA.

Análise Combinatória

Arranjo

É uma seleção (não se usam todos ao mesmo tempo) onde a ordem FAZdiferença.Muito comum em questões de criação de senhas, números, telefones, placas de carro, competições, disputas, onde houver hierarquia.

Fórmula:

Dica: O ARRANJO ordena !

Dica: pode ser resolvido usando o P. F da Contagem

Análise Combinatória

ExemploDurante a Copa do Mundo, que foi disputada por 24 países, as tampinhas de Coca‐Cola traziam palpites sobre os países que se classificariam nos três primeiros lugares (por exemplo: primeiro lugar, Brasil; segundo lugar, Nigéria; terceiro lugar, Holanda).Se, em cada tampinha, os três países são distintos, quantas tampinhas diferentes poderiam existir?(A) 69(B) 2024(C) 9562(D) 12144(E) 13824

Análise Combinatória

Combinação

É uma seleção (até pode usar todos ao mesmo tempo) onde a ordem NÃO faz diferença.Muito comum em questões de criação de grupos, comissões, agrupamentos onde não há distinção pela ordem dos elementos escolhidos.

Fórmula:

Dica: A COMBINAÇÃO agrupa !

Análise Combinatória

Exemplo Resolvido

Uma prova consta de 5 questões das quais o aluno deve resolver 2. De quantas formas ele poderá escolher essas questões?

Solução: Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que se trata de um problema de combinação.

Aplicando a fórmula chegaremos a:C5,2 = 5! / [(5‐2)! . 2!] = 5! / (3! . 2!) = 5.4.3.2.1. / 3.2.1.2! = 20/2 = 10

E não tem um atalho?

Análise Combinatória

Método Prático

Esse método agilizará a resolução das questões.Para isso basta usar a regra: rebobinar o “n” até o total de “p” itens e divide pelo “p” fatorial.

Exemplos:  C5, 2 =

C10, 4 =

C8, 1 =

C7, 5 =

Análise Combinatória

ExemploUma lanchonete dispõe de seis frutas tropicais diferentes para a venda de sucos. No cardápio é possível escolher sucos com três ou quatro frutas misturadas. O número máximo de sucos distintos que essa lanchonete poderá vender é de:(A) 720(B) 70(C) 150(D) 300(E) 35

Análise Combinatória

ANÁLISE 

COMBINATÓRIA

A partir dos elementos do conjunto S={2,3,5,7}, quantos números de dois algarismos distintos podemos formar?A)  6B) 8.C) 12.D) 16.E) 24.

PREF DE FOZ DO IGUAÇU/PR ‐ 2016

O número de anagramas formados com as letras da palavra MOLDE de maneira que as vogais OE sempre estejam juntas e nessa ordem é:

A) 24.B)30.C) 60.D)72.E)120.

BRDE ‐ 2015

Utilizando a palavra FLORESTA, quantos anagramas podem ser formados considerando que as letras FLR sempre apareçam juntas e nessa ordem?A) 520.B) 660.C) 720.D) 1.580.E) 2.160.

SISPREM ‐ 2015

Uma empresa prestadora  de serviços na área de limpeza dispõe de 8 empregados. De quantas maneiras diferentes é possível formar uma equipe com 4 pessoas para realizar a limpeza de um condomínio?

A) 42. B) 54. C) 65. D) 70. E) 82. 

PREF DE LIBERATO SALZANO/RS ‐ 2015

Em uma empresa, trabalham 6 mecânicos e 3 técnicos. Quantas comissões diferentes compostas por 4 mecânicos e 2 técnicos podem ser formadas para prestar assistência técnica a um cliente?A) 30.B) 36.C) 40.D) 45.E) 48.

PREF DE TORRES/RS ‐ 2016

Uma loja vende 5 modelos diferentes de blusões e 6 modelos diferentes de calças. De quantas maneiras distintas é possível realizar uma compra com 3 blusões diferentes e 3 calças diferentes?

A) 80.B) 120.C) 140.D) 160.E) 200.

PREF DE VIAMÃO/RS ‐ 2017

Dona Alice pediu ajuda  a seus nove netos para realizar duas tarefas.Cinco netos iriam limpar o quintal e os outros quatro iriam limpar o quarto.O número de maneiras que os netos de Dona Alice podem se organizar para realizar essas duas tarefas é igual a :

A)2.B)9.C)126D)720E)181440.

POLICIA MILITAR/RS ‐ 2014

GABARITOSQuestões FUNDATEC: C‐A‐C‐D‐D‐E‐C