Rosner

Mathe gut erklärtBaden-Württemberg

Allgemeinbildende Gymnasien

1. Auflage 2015

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

I. Grundlagen Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2 Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen . . . . . . . . . 101.3 Gebrochenrationale Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4 Exponentialfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.5 Trigonometrische Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.6 Funktionenscharen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.7 Symmetrie zur y-Achse bzw. zum Ursprung . . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Abschnittsweise definierte Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211.9 Zusatz: Umgang mit Funktionen: Rechenansätze . . . . . . . . . . . . . . 212 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.1 Gleichungstypen: Übersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2 Gleichungstypen: Konkretes Lösungsvorgehen. . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Goldene Regeln zum Lösen von Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . 302.4 Lineare Gleichungssysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.1 Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.2 Tangente und Normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.3 Schnittpunkte (Berührpunkt, senkrechter Schnitt, Schnittwinkel) . . . . . . . 403.4 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423.5 Krümmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.6 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.7 Wendepunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.8 Sattelpunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.9 Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.10 Zusammenhang zwischen den Schaubildern von Funktion und Ableitung . . . 503.11 Ermittlung von Funktionsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.12 Extremwertaufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 543.13 Wachstum und Zerfall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 564 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1 Integrationsregeln („Aufleitungsregeln“) . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.2 Flächeninhaltsberechnung zwischen Schaubild und x-Achse . . . . . . . . . 624.3 Flächeninhaltsberechnung zwischen zwei Schaubildern . . . . . . . . . . . 644.4 Berechnung des Rotationsvolumens: Fläche zwischen Schaubild und x-Achse

rotiert um die x-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.5 Berechnung des Rotationsvolumens: Fläche zwischen zwei Schaubildern

Inhaltsverzeichnis

rotiert um die x-Achse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.6 Mittelwert (durchschnittlicher y-Wert) einer Funktion . . . . . . . . . . . . 684.7 Flächen, die bis ins Unendliche reichen (Uneigentliche Integrale) . . . . . . . 694.8 Zusatz: Wichtiges für Anwendungsorientierte Aufgaben . . . . . . . . . . 70

II. Grundlagen Vektorgeometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

1 Vorwissen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741.1 3Punkte (im )ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.2 3Vektoren (im )ℝ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

1.3 Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, Betrag, Skalare Multiplikation, Linearkombination, Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit, Skalarprodukt, Vektorprodukt) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

2 Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.1 Geradengleichungen in Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.2 Gegenseitige Lage von Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803 Ebenen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.1 Ebenengleichungen in Parameterform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 823.2 Ebenengleichungen in Normalenform . . . . . . . . . . . . . . . . . . 843.3 Ebenengleichungen in Koordinatenform . . . . . . . . . . . . . . . . . 863.4 Spurpunkte, Spurgeraden und die Lage im Koordinatensystem . . . . . . . . 873.5 Umwandlungen der Ebenenformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884 Gegenseitige Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.1 Ebene-Gerade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 924.2 Ebene-Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945 Schnittwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 Abstandsberechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.1 Abstände zu einem Punkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.2 Abstände zu einer Geraden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026.3 Abstände zu einer Ebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037 Zusatz: Bewegungsaufgaben (Modellieren mit Vektoren) . . . . . . . . . 1048 Spiegelungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

III. Grundlagen Stochastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1 Baumdiagramm, Pfadregeln und Erwartungswert . . . . . . . . . . . . 1101.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101.2 Aufgabentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131.3 Zufallsvariable und Erwartungswert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1162 Binomialverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1202.1 Bernoulliformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

Inhaltsverzeichnis

2.2 Binomialverteilung und kumulierte Binomialverteilung . . . . . . . . . . . 1222.3 Aufgabentypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1243 Der einseitige Hypothesentest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.1 Ausführliche Erklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1283.2 Vorgehen und Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

IV. Basisübungen zur Analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

1 Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1362 Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1433 Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1454 Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

V. Ausführliche Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

Vorwort

Liebe Schülerinnen und Schüler,

dieses Buch soll Sie dabei unterstützen,

i sich in den letzten beiden Schuljahren optimal auf Klausuren und auf das Abitur in Mathematik vorzubereiten.

i sich alle Lehrplaninhalte anhand verständlicher und übersichtlicher Stoffzusammen-fassungen anzueignen.

i Ihr gewonnenes Wissen anhand von Basisübungen mit ausführlichen Lösungen schnell und prüfungsbezogen zu vertiefen.

i die Abitursaufgaben der vergangenen Jahrgänge zu bearbeiten, da Sie hiermit ein Nachschlagewerk zur Verfügung haben.

Liebe Fachkolleginnen und Fachkollegen,

dieses Buch soll Sie dabei unterstützen,

i die zeitintensive Stoffwiederholung, Klausur- und Abiturvorbereitung teilweise aus dem Unterricht auslagern zu können.

i auf diese Weise mehr Zeit für verständnisorientierten Unterricht zu gewinnen.

i sicherzustellen, dass Ihre Schülerinnen und Schüler über ausreichendes Basiswissen verfügen.

I. Grundlagen Analysis

8

1. Funktionen

1.1 Ganzrationale Funktionen (Polynome)

1. Grades (Geraden) 2. Grades (Parabeln)

= +Allg. Ansatz : y mx b = + +2Allg. Ansatz: ( )f x ax bx c

2 1

2 1

Steigung aus 2 Punkten: y y

mx x

−=−

Scheitelpunkt-Ansatz:

mit S( | )s sx y

1 1

Punkt-Steigungs-Form (PSF): ( )= ⋅ − +y m x x y

0 : nach oben geöffnet bzw.Verlauf von II nach I

a >

Steigungswinkel aus Steigung bestimmen: tan( )m α=

0 : nach unten geöffnet bzw.Verlauf von III nach IV

a <

1 2

Parallele Geraden: (gleiche Steigung)m m= 2

Bei Symmetrie zur -Achse: ( ) (nur gerade Hochzahlen)

yf x ax c= +

2 1

1 2

Senkrechte (orthogonale) Geraden: 1/ (Steigungen sind negative

Kehrwerte voneinander) bzw. 1 m m

m m= −

⋅ = −

1. Winkelhalbierende:2. Winkelhalbierende:

y xy x

== −

2( ) ( )s sf x a x x y= ⋅ − +

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

y

K : 0,5 1 K : 0,5 2

K : 3, 2 K : 2,2f g

h i

y x y x

y x

= + = − −

= =

K f

K g

K h

K i

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

y

( )( )

2 2

2

2

K : ( ) K : ( ) 2 2

K : ( ) 2 3 2

K : ( ) 3

f g

h

i

f x x g x x

h x x

i x x

= = −

= − − +

= − +

K f

K g

K h

K i

I. Grundlagen Analysis

9

3. Grades 4. Grades

= + + +3 2Allg. Ansatz: ( )f x ax bx cx d = 4 3 2Allg. Ansatz: ( )f x ax bx cx dx e+ + + +

0 : Verlauf von III nach I a > 0 : Verlauf von II nach I a >

0 : Verlauf von II nach IV a < 0 : Verlauf von III nach IV a <

3

Ansatz bei Symmetrie zum Ursprung: ( ) (nur ungerade Hochzahlen)f x ax cx= + 4 2

Ansatz bei Symmetrie zur -Achse: ( ) (nur gerade Hochzahlen)

yf x ax cx e= + +

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

y

3

3

3 2

K : ( )

K : ( ) 1,5 3

K : ( ) 2 18 53 53

f

g

h

f x x

g x x x

h x x x x

=

= −

= − + − +

K f

K g

K h

-3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

y

4

4 2

4 3

K : ( )

K : ( ) 0,5 2 3

K : ( ) 2 1

f

g

h

f x x

g x x x

h x x x

=

= − +

= − + −

K f

K g

K h

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

I

III

II

IV

Die Quadranten

I. Grundlagen Analysis

10

1.2 Der Nullstellenansatz und die Vielfachheit von Nullstellen

Beispiele

Aufbau des Nullstellenansatzes (am Beispiel)

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

-1

0

1

y

2 3 4K : ( ) 0,5 ( 5) ( 3) K : ( ) 0,8 ( 1) ( 1) K : ( ) 2 ( 4)f g hf x x x g x x x h x x= ⋅ + ⋅ + = − ⋅ + ⋅ − = ⋅ −

K hK g

K f

( ) ( )3( ) 0,8 1 1= − ⋅ + ⋅ −g x x x

0 1ist einfacheNullstelle

= −x 1/ 2 /3 1ist dreifache

Nullstelle

x = +Verlauf von III nach IV

I. Grundlagen Analysis

11

Übersicht (für ganzrationale Funktionen)

VielfachheitNullstelle

Faktor im Nullstellenansatz

Skizze Beschreibung

0

Nullstelle:Einfache

x0( ) ... ( ) ...f x x x= ⋅ − ⋅

Schaubild -Achse

(mit Vorzeichen-wechsel VZW)

xschneidet

0

Nullstelle:Doppelte

x

20( ) ... ( ) ...f x x x= ⋅ − ⋅

Schaubild -Achse

(ohne VZW)x

berührt

0

Nullstelle: Dreifache

x

30( ) ... ( ) ...f x x x= ⋅ − ⋅

Schaubild und -Achse

(mit VZW)x

schneidetberührt

0

Nullstelle: Vierfache

x

40( ) ... ( ) ...f x x x= ⋅ − ⋅

Schaubild -Achse (ohne VZW)

(„breiter“ geformt alsdoppelte Nullstelle)

xberührt

x

y

0x

x

y

0x

x

y

0x

x

y

0x

I. Grundlagen Analysis

12

1.3 Gebrochenrationale Funktionen

Zähler:

Nenner: =Allg.

(ganzrationale) Funktionf x

(ganzrationale) Funktion( ) ( )1

Beispiel: ( ) mit D \ 11

f xx

= =−

ℝ

1. Untersuchung auf senkrechte Asymptoten

x-Werte, die im Nenner zum Wert 0 führen, nennt man Definitionslücken. Solche x-Wertesind nicht in der Definitionsmenge der Funktion enthalten.An einer Definitionslücke kann das Schaubild eine senkrechte Asymptote aufweisen.

( Nullstelle des Nenners)Fall 1 : Polstelle mit Vorzeichenwechel einfache

1Beispiel: ( )

1Senkrechte Asymptote:

Für 1 ( 1) gilt: ( )Für 1 ( 1) gilt: ( )

f xx

x x f xx x f x

=−

→ < → ∞→ > → ∞

1x =

−+

( Nullstelle des Nenners)Fall 2 : Polstelle ohne Vorzeichenwechel doppelte

2

1Beispiel: ( )

( 1)Senkrechte Asymptote:

Für 1 ( 1) gilt: ( )Für 1 ( 1) gilt: ( )

f xx

x x f xx x f x

=−

→ < → ∞→ > → ∞

1=

++

x

(Ausnahme) ( Nullstelle des )Fall 3 : Keine Polstelle auch Zählers

2

2

1Beispiel: ( )

1Keine senkrechte Asymptote (trotz Definitionslücke)

( 1)1Grund: ( )

1

xf x

x

xxf x

x

−=−

−−= =−

( 1)

( 1)

x

x

⋅ +−

1

Die Definitionslücke ist nach dem Kürzen „verschwunden“. Sie ist also (be-) .(Wobei die Ausgangsfunktion diese nochimmer aufweist, siehe Schaubild.)

x= +

hebbar

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2

-1

0

1

2

3

y +

−

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2

-1

0

1

2

3

y + +

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-2

-1

0

1

2

3

y

I. Grundlagen Analysis

13

2. Untersuchung auf waagrechte Asymptoten (Verhalten für → ±∞)x

ist waagrechteFall 1 : Zählergrad Nennergrad : - Achse Asymptote< x

( )Grad 0

Grad 1

1( )

2 4waagrechte Asymptote: ( -Achse)

f xx

x

=+

0y =

( )2

Grad 1

Grad 2

2 1( )

3 3waagrechte Asymptote: ( -Achse)

xf x

xx

− +=−

0y =

Fall 2 : Zählergrad Nennergrad : Waagerechte Asymptote=

( )Grad 1

Grad 1( )

4

waagrechte Asymptote:

xf x

x=

+1

212

y =

( )2

2

Grad 2

Grad 2

1( )

3

waagrechte Asymptote:

xf x

x

+=−

23

23

−

= −y

: waagrechte Asymptote.Fall 3 : Zählergrad Nennergrad Keine>

(Keine Beispiele, da nicht relevant für das Abitur.)

-4 -3 -2 -1 0 1 2

x

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-3

-2

-1

0

1

2

y

-5 -4 -3 -2 -1 0 1

x

-2

-1

0

1

2

3

y

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-3

-2

-1

0

1

2

y

I. Grundlagen Analysis

14

1.4 Exponentialfunktionen

=1. Verlauf : ( ) xf x e 2.Spiegelungen

= ⋅3.Koeffizienten in : ( ) b x cf x a e d⋅( − ) +

- - Streckung / Stauchung in Richtunga y 1: „steiler“0 1: „flacher“( 0 : an der -Achse gespiegelt)

aa

a x

>< <<

- ansteigendes oder fallendes Schaubildb 0 : ansteigendes Schaubild0 : fallendes Schaubild

(bzw. an der -Achse gespiegelt)

bb

y

><

- - Verschiebung in Richtungc x 0 : nach rechts0 : nach links

cc

><

- - Verschiebung in Richtungd y 0 : nach oben0 : nach unten

><

dd

3

2

Das Schaubild zu ( ) wurde um 3 Einheitennach verschoben! Der Koeffizient hat hier den Wert 3, das Minuszeichenkommt vom allgemeinen Ansatz der Funktion.

Entsprechend ( ) : Verschi

+

+

=

=

x

x

f x erechts

c

f x e

−

ebung um 2 nach ! links

Vorsicht beim Koeffizienten c

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-2

-1

0

1

2

3

4

y

1P (0 |1)

2P (1| )e

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

( ) xf x e=( ) xf x e−=

( ) xf x e= −( ) xf x e−= −

I. Grundlagen Analysis

15

Eine Asymptote ist eine Gerade, an welche sich das Schaubild einergegebenen Exponentialfunktion unendlich nah annähert, ohne sie jedoch zu „erreichen

(Näherungsgeraden)Begriffserklärung :

4. Asymptoten

“. Beispielsweise nähert sich das Schaubild der Funktion ( ) bei negativen -Werten ( ) der -Achse (Asymptotengleichung: 0) von oben an.

xf x e xx x y

=→ −∞ =

Beispielfunktion Asymptote Schaubilder

2

( )

( ) 2,2

( ) 2,2

( ) 1

( ) 0,5 1

−

−

−

=

= +

= +

= + −

= + −

x

x

x

x

x

f x e

g x e

h x e

i x e x

j x e x

0 ( Achse) für

2,2 für

2,2 für

1 für

1 für

= −→ −∞

=→ −∞

=→ +∞

= −→ +∞

= −→ −∞

y xx

yx

yx

y xx

y xx

Ausgehend von einer gegebenen Exponentialfunktion kann die zugehörige Asymptoten-gleichung und die Richtung, in welcher die Annäherung stattfindet, schnell durch diefolgenden beiden Regeln bestimmt werden.

Man erhält die Asymptotengleichung, indem man die Gleichung der Exponentialfunktionschlicht übernimmt, jedoch hierbei auf den S

...1. Regel (Asymptotengleichung) : „Exponentialgleichung ohne “xy e=

ummanden im Funktionsterm, der enthält (dieser strebt gegen 0), verzichtet.

bzw. Die Annäherungsrichtung wird durch den Summ

xe...

„ “ „ “2. Regel (Annäherungsrichtung) : Bei für bei fürx xe x e x+ −→ −∞ → +∞anden im Funktionsterm, der enthält,

festgelegt: Steht vor dem im Exponenten ein Pluszeichen, so nähert sich die Asymptotefür große negative -Werte („links“ im Koordinatensystem) dem Schaubild

xex

x

...

an.Steht hier hingegen ein Minuszeichen, so findet die Annäherung bei großen positiven -Werten („rechts“ im Koordinatensystem) statt.x

„ “

„ “

Wachstumsvorgänge werden oft mit dem Typ ( ) modelliert, Zerfallsvorgängehingegen mit ( ) .

x

x

f x ef x e

+

−=

=

5. Anwendungen

-3 -2 -1 0 1 2 3

x

-1

0

1

2

3

4

5

y

K f

K gK h

K i

K j

0y =

2,2y =