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Projektleiter: Prof. Dr. Jurg Kramer

Institut fur Mathematik

Humboldt Universitat zu Berlin

Projektleiter: Prof. Dr. Gunter Torner

Fachbereich Mathematik

Universitat Duisburg-Essen

Mathematik Anders MachenEine Initiative zur Lehrerfortbildung

Materialien zum Kurs

Problemorientierung im Mathematikunterricht

Referenten

Prof. Dr. Torsten Fritzlar

und

Stephanie Schiemann

Problemorientierung im Mathematikunterricht

Theoretische Impulse und praktische Erfahrungen

Torsten Fritzlar & Stephanie Schiemann

Gymnasium i. E. SottrumMathematik Anders Machen

„Der Mensch soll lernen. Nur die Ochsen büffeln.“Erich Kästner

„Büffeln kann jeder; verstehen brauch Zeit.“Friedrich Dürrenmatt

Mathematik Anders Machen

Was ist ein Problem?

MathematikAnders Machen

Ein Projekt derDeutsche Telekom Stiftung


Was ist ein Problem?

Wie lässt sich der Begriff „Problem“ in einer Weise definieren, die auch für mathematische Probleme bzw. Probleme für den Mathematikunterricht zutrifft?

Lassen Sie uns Gedanken(splitter) in einer Mindmap zusammentragen.

Definitionsvorschläge Mathematik Anders Machen

Klassische Problemtypen (Psychologie)

Schachspiel

9-Punkte-Problem

Ich möchte einenschönen Urlaub haben.

Mir soll esbesser gehen.


Eine Aufgabentypisierung

„didaktische Inversionen“; untypisch für authentisches

Mathematiktreiben Büchter & Leuders 2005


Mathematische Problemwerkstatt


Problemwerkstatt Vorstellung der vier Problem-Stationen auf Folien Einteilung in vier Arbeitsgruppen

(möglichst 4 Teilnehmer pro Station)

Aufgabenstellung:A) Bestimmen Sie einen Protokollanten in der Gruppe. Im

Protokoll soll stichwortartig der Problemlöseprozess festgehalten werden.

B) Beschäftigen Sie sich in der Gruppe mit den mathematischen Problemen eurer Problemstation.

C) Sind die Probleme nach Ihrer Meinung so im MU einsetzbar oder welche Änderungen würden Sie vorschlagen?


Wie löst man ein mathematisches Problem?

Sie haben gerade einige Probleme bearbeitet. Wie sind Sie dabei vorgegangen?

Problemlösemodelle


Problemorientierter Mathematikunterricht


Problemorientierter Mathematikunterricht

… ist ein Unterricht, in dessen Zentrum das eigenständige Bearbeiten mathematischer Probleme durch die Schülerinnen und Schüler steht.

„Mathematik im Entstehen“, „Erfinden von Mathematik“, die Erkenntnisprozesse beim Betreiben von Mathematik stehen also im Vordergrund.

langfristig: Erarbeiten von heuristischen Strategien für Erkenntnis- und Problemlöseprozesse


Leitideen eines problemorientierten Mathematikunterrichts

entdeckend lernen heuristisch arbeiten vernetzen kommunizieren und kooperieren

differenzierend fördern positive Einstellung zur und angemessenes Bild von

Mathematik

Gehirnforschung

Mathematik

Mathematikgeschichte

Gesellschaft

PädagogikPhilosophiePsychologie Mathematik Anders Machen

Forderungen

„Problem solving should be the central focus of the mathematics curriculum. As such, it is a primary goal of all mathematics instruction and an integral part of all mathematical activity. Problem solving is not a distinct topic but a process that should permeate the entire program and provide the context in which concepts and skills can be learned.”

(NCTM, 1989)


Zitat aus den Empfehlungen für den Mathematikunterricht an Gymnasien 12/97, S.12

„Es ist auf Dauer nicht wirkungsvoll, Schülerinnen und Schülern alles vorab kleinschrittig erklären zu wollen. Der Lernprozess ist effektiver, wenn die Lernenden Problemlösungen als Überwindung erlebter Schwierigkeiten erfahren.

Immer wieder wird betont, dass in der Schule das Lernen gelernt werden müsse. Dieses Unterrichtsziel wird durch rein demonstrierenden Mathematikunterricht nicht erreicht.

Obwohl sich selbstverständlich nicht der gesamte Stoff in entdeckendem Unterricht behandeln lässt, so müssen gleichwohl die Phasen entdeckenden Lernens ausgebaut werden.“

Link: 2.5.5 Problemorientierung, S.15/16 und 5 (Fazit): Unterrichtskultur S.28Mathematik Anders Machen

Forderungen

„Die Schülerinnen und Schüler lernen, sich auf Ungewohntes einzulassen und in nicht bereits bekannten und ausreichend gewohnten Situationen mathematische Lösungen zu suchen. Sie werden angeleitet, sich zu Aufgaben und Problemen mit mathematischem Inhalt zu äußern und Aufgaben und Sachsituationen als mathematisches Problem zu formulieren, verschiedene Lösungswege zu finden und zu präsentieren. … In diesem Unterricht haben die Schülerinnen und Schüler Gelegenheit offene mathematische Problemstellungen kooperativ zu bearbeiten, miteinander zu kommunizieren und gemeinsam nach Lösungen zu suchen.“

(Bildungsplan BaWü 2004, Hauptschule)


Am 01.08.2008 tritt in Brandenburg der neue Rahmenlehrplan Mathematik für die Sek. I

in KraftIn der Sek. I sollen Schülerinnen und Schüler in der Auseinandersetzung mit

mathematischen Inhalten folgende Kompetenzen entwickeln, S. 12


Da die herkömmliche Unterrichtspraxis vielfach an der Vermittlung von Fertigkeiten orientiert ist,

muss sich auch an der UnterrichtskulturGrundlegendes ändern.


Zitat aus dem neuen Brandenburger Kernlehrplan für die Sek. I, gültig ab 01.08.2008, S.13


Zitat aus dem neuen Brandenburger Kernlehrplan für die Sek. I, gültig ab 01.08.2008, S.17


Bildungsstandards,Kopie aus dem Kerncurriculum 2006, S. 8


Die Schülerinnen und Schüler werden zunehmend befähigt, mathematische Probleme selbstständig zu bearbeiten und können so Vertrauen in ihre Denkfähigkeit erlangen.


Unterrichtsrealität

Mathematics lessons are generally of the exposition –examples – exercises – mode.

(Schoenfeld, 1992)

„Mathematikunterricht in Deutschland [...] ist eher ein Wissenserwerbsunterricht, der auf die Beherrschung von Verfahren zielt“ und in dessen Schülerarbeitsphasen „nahezu ausschließlich Routineprozeduren“ geübt werden.

(Baumert et al. 1997:215)Mathematik Anders Machen

Das fragend-entwickelnde Unterrichtsgespräch, das oft auf eine einzige Lösung hinzielt, ist zentrales Element des Mathematikunterrichts in Deutschland.

(TIMSS; Krainer 2002; Blömeke, Eichler & Müller, 2003)


Contra Problemorientierung (?)

Stofffülle und der daraus resultierende Zeitdruck Schülervorstellungen vom und –erfahrungen aus dem

Mathematikunterricht Elternerwartungen Prüf- und Bewertungszwänge sprachliche Schwierigkeiten von Schülerinnen und

Schülern Eignung nur für leistungsstarke Schüler „Das mach ich doch sowieso schon!“


Weitere (?) Argumente

zentrale Vergleichs- und Abschlussarbeiten Klagen der Arbeitgeber über einen zunehmenden Mangel

an Kenntnissen und Fertigkeiten der Schulabgänger


Studentin mit Hauptfach Mathematik im letzten Semester der universitären Ausbildung, 23 Jahre, Vorerfahrungen durch ein Praxisseminar zur Arbeit mit mathematisch interessierten und begabten Schüler(inne)n

Auftrag: In einer 5. Klasse soll eine Mathematikstunde zu den Fibonaccizahlen problemorientiert gestaltet werden. Verschiedene Problemstellungen werden bereitgestellt, sie müssen aber nicht gewählt und können variiert werden.

Belinda entscheidet sich für „Über den Fluss“

Ein Beispiel: Belinda


Belindas Schüler(innen) sollen als Hauptziel der Stunde die Fibonacci-Zahlen kennen lernen, sich aktiv mit einer problemhaltigen Aufgabe auseinandersetzen, sensibilisiert werden für den Umgang mit relativ offenen

Aufgabenstellungen und lernen, wie man mit ihnen umgeht, vielfältige Ideen entwickeln, ausprobieren und die Lösungen

überprüfen. Durch die Arbeit in Gruppen sollen auch die sozialen Kompetenzen

der Schüler gesteigert werden. Sie sollen lernen, gemeinsam zu arbeiten, sich gegenseitig zu berücksichtigen und zu helfen und schließlich gemeinsam in der Gruppe zu einer Lösung kommen.

Belinda


„… das hat sie ganz gut gemacht, sehr klar, sehr überschauend und auch so altersgemäß ganz gut …

Ich fand die Stunde gut, weil ich eigentlich `n Freund davon bin, dass man spielerische Anteile in den Stunden drin hat …“


transmissive … constructivist …

… way of teaching


On the one hand, they are “in charge and responsible for the students’ activities. They decided what topics would be worked on and they had their own ideas of what knowledge students should acquire during the lessons.“

On the other hand, they want „the students to find out for themselves: to invent solutions to problems and to prove their validity”.

(Elbers zitiert nach Stehlikova, 2006)

Aber


Wichtige unterrichtsbezogene Aspekte von Problemen



Aktivierung kognitiv motivational emotional

Authentizität außermathematisch innermathematisch (prozessbezogen)


Bei Authentizität geht es nicht nur um oberflächlichen Realismus, sondern vor allem um die folgenden Aspekte: Welches Bild von Mathematik wird vermittelt bzw.

entsteht bei der Bearbeitung der Aufgaben? In welchem Verhältnis stehen die Aufgaben zu den

Bildungszielen des Mathematikunterrichts? Welche Qualität haben die mathematischen Tätigkeiten,

zu denen die Aufgaben anregen?

Authentizität


Schülerinnen und Schüler sollen Modellierungskompetenzenerwerben, die Wirkungsweise des Erkenntnis- und Gestaltungswerkzeuges Mathematik erleben und die Mathematikhaltigkeit unserer Welt erkennen. Authentische Modellierungsaufgaben müssen daher echte, sowohl einfache als auch komplexe Anwendungsbezüge von Mathematik aufzeigen.

Authentisches Modellieren


Modellierungsaufgaben sollen nicht nur gefällige, aber künstliche Einkleidungen

mathematischer Verfahren sein, nur oberflächlich-assoziative Mathematisierungen ohne

echten Blick auf Realsituationen sein, mit Ergebnissen aus dem Modell ohne Rückbezug auf

die Realsituation enden.

Authentisches Modellieren

Wie lang ist eine Schallplattenrille?


Schülerinnen und Schüler sollen Problemlösekompetenzen –insbesondere flexible Problemlösestrategien und eine angemessene Problemlösehaltung – aufbauen.

Authentisches Problemlösen


Problemstellungen sollten nicht Pseudoeinkleidungen in reale Kontexte als echte Anwendungen ausgeben

(sie dürfen aber durchaus für eine bessere Zugänglichkeit und Kommunizierbarkeit in einfache Situationen eingebettet werden),

scheinoffen sein, also nur einen Weg zu einem vorbestimmten Ziel ermöglichen,

Knobeleien sehr begrenzter Reichweite (hochspezifische Vorgehensweise, 0-1-Aufgaben) sein.

Authentisches Problemlösen


Schülerinnen und Schüler sollen bei der Beschäftigung mit Mathematik Argumentationskompetenzen entwickeln. Dazu gehört der Aufbau einer rationalen Begründungskultur ebenso wie ein angemessener Umgang mit Fehlern.

Authentisches Argumentieren


Argumentationsaufgaben sollten nicht den Wert einer Begründung an ihrer formalen Ausdrucksweise

messen, routinemäßigen Begründungsphrasen Vorschub leisten, die Anwendung der bewiesenen Behauptung auf die

Ausgangssituation übergehen.

Authentisches Argumentieren


Schülerinnen und Schüler sollen aktiv am Prozess der mathematischen Begriffsbildung beteiligt sein. Sie sollen mit mathematischen Begriffen Zusammenhänge erfassen und ein vernetztes mathematisches Wissen aufbauen. Dabei sollen sie auch das Entstehen mathematischer Begriffe aus der Anschauung und aus dem Problemlösen erleben.

Authentisches Begriffsbilden


Begriffsbildungsaufgaben sollten nicht fertige mathematische Begriffe lediglich einkleiden, Begriffe durch Mitteilen von Definitionen „vermitteln“, Unterschiede zwischen mathematischen und Alltagsbegriffen

vernachlässigen, eine Exploration und Anwendung neuer Begriffe vernachlässigen.

Authentisches Begriffsbilden


Mathematikaufgaben sind authentisch, wenn sie Schülerinnen und Schüler zu mathematischen Tätigkeiten anregen, die typisch für die Entstehung und Anwendung von Mathematik sind.

„Authentisch von der Sache her ist eine Problemstellung, wenn sie inner- oder außermathematisch relevant ist; dies setzt auch voraus, dass es sich tatsächlich um originäres mathematisches Denken – auf welchem Niveau auch immer – handelt und nicht um dessen curriculare Simulation oder formale Imitation, nicht um dessen Verschleifung in Plantagenaufgaben, die ihren Sinn längst ausgehaucht haben. Authentisch von den Lernenden her, also für den Lernenden, ist eine Problemstellung, wenn diese sich ihrer tatsächlich annehmen, sich auf sie einlassen, wobei dieser zweite Punkt unterrichtlich der entscheidende ist.“ (T. Jahnke)

Authentizität


SuS können nicht die gesamte Mathematik nacherfinden, auch aus Normierungsgründen muss ein gewisser Teil vorstrukturiert und fertig in den Unterricht mitgebracht werden.

Lernen im „Schonraum Schule“ kann niemals volle Authentizität erlangen. Beispielsweise bleiben Fehler ohne schwerwiegende Konsequenzen, für Lernprozesse sind sie sogar erwünscht.

Das Lernpensum übersteigt quantitativ und qualitativ die Dinge, die in „echten“ Situationen gelernt werden können.

(Büchter & Leuders, 2005)

Grenzen der Authentizität





Offenheit


Eine Schulbuchaufgabe

Ein Taxifahrer berechnet 0,90 Euro je Kilometer und eine Grundgebühr von 2,50 Euro. Zeichne den Graphen der Funktion Weg Preis.

Wie viel kostet eine Fahrt von 7km Länge? Wie weit kann man für 11,50€ fahren?


„Öffnungen“

Ein Taxifahrer berechnet 0,90 Euro je Kilometer und eine Grundgebühr von 2,50 Euro. Stelle dies geeignet dar.

Erfinde ein Tarifmodell für einen Taxifahrer und stelle dies graphisch dar. Wie viel kostet eine Fahrt von 7km Länge?

Wie kann ein Tarifmodell aussehen, bei dem man für 11,50€eine Strecke von 10km fahren kann?


Variation der Ausgangssituation, Weglassen von Vorgaben oder Informationen

Öffnen des Bearbeitungsweges oder der Darstellungsart Öffnen des Zielzustandes Umkehr von Aufgaben Aufforderung zur Begründung / Strategiefindung Anwendungssuche für Modelle / Verfahren (vorwegnehmende Platzierung im Unterricht)

Techniken zum Öffnen von Aufgaben





Offenheit Differenzierungsvermögen


Aufgaben mit gestuften Anforderungsniveaus

nicht geeignet: Ausweitung des technischen Aufwands Zerlegung eines längeren Bearbeitungsweges

sondern: Variation der Anforderungsart


Parallele Aufgaben


Parallele Aufgaben

Variationen bezüglich Fülle: Reichhaltigkeit oder Vielgestaltigkeit der zu bearbeitenden

Beispiele Abstraktion: konkrete Objekte vs. ikonische vs. symbolische

Repräsentationen Komplexität: Transfer auf komplexere Fälle


„Selbstdifferenzierenden Aufgaben“

Schüler können mit unterschiedlichen Fähigkeiten, Zugängen und Arbeitsweisen Ergebnisse erzielen und sinnvoll in den Unterrichtsprozess einbringen.


Summenzahlen

Eine Zahl heißt Summenzahl, wenn sie als Summe aufeinander folgender Zahlen aufgeschrieben werden kann.

5 ist eine Summenzahl, denn 5 = 2+3.6 ist eine Summenzahl, denn 6 = 1+2+3.13 ist eine Summenzahl, denn ...

weiter


Doch für welche Zahlen gibt es mehrere Zerlegungen?

R. skizziert nebenstehende Tabelle, in der Summenzahlen entsprechend der jeweils möglichen Anzahl der Zerlegungen eingetragen werden sollen. G. trägt in die rechte Spalte sofort 15 = 1+2+3+4+5 ein …


*Alle Zahlen, die durch 3 teilbar sind, sind Summenzahlen.* … *Das kann ich beweisen, beispielsweise mit 333, denn 333 = 110+111+112.*

S. kann auch schwierige Beispiele sehr schnell bearbeiten:110 = 20+21+22+23+24 = 5+6+7+8+9+10+

11+12+13+14+15, denn *aus dem zweiten Teiler ergibt sich die Mittelzahl.*

*Jede ungerade Zahl kann als Summe zweier Zahlen dargestellt werden. Außerdem liefert jeder [weitere] ungerade Teiler der Zahl [größer 1] eine weitere Zerlegung.*


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