Mathematik: Grundlagen & Anwendungen · Zahlungsströme (Cash ows) mathematisch zu modellieren und...
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Mathematik: Grundlagen & Anwendungen
Dr. Claudia Vogel
Universität Bern
WS 2013/2014
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 1 / 516
Organisatorisches
Vorlesung und Übung:
25.02.2014 8:30-18:30 3/6/9 CP 26.02.2014 8:30-15:00 3/6/9 CP
04.03.2014 8:30-18:30 3/6/9 CP 05.03.2014 8:30-15:00 6/9 CP
11.03.2014 8:30-18:30 6/9 CP 12.03.2014 8:30-15:00 9 CP
18.03.2014 8:30-18:30 9 CP 19.03.2014 8:30-15:00 9 CP
25.03.2014 8:30-18:30 9 CP 26.03.2014 8:30-15:00 9 CP
Kontakt: [email protected]
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Lernziele/Kompetenzen
Nach dem Besuch des Moduls Mathematik: Grundlagen und Anwendungen sinddie Studenten insbesondere in der Lage
mathematische Aussagen und Formeln zu lesen und zu verstehen
ökonomische Probleme mathematisch darzustellen
ökonomische Optimierungsprobleme zu modellieren und zu interpretieren
Zahlungsströme (Cashows) mathematisch zu modellieren und zu analysieren
lineare Gleichungs- und Ungleichungssysteme zu lösen
nicht-lineare ökonomische Optimierungsprobleme mit und ohne Restriktionenzu lösen.
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Literatur
Sydsaeter, Knut; Hammond, Peter (2009). Mathematik fürWirtschaftswissenschatler. Pearson Studium.
Schwarze, Jürgen (2011). Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. NWBStudium.
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Inhalt
1 Elementare Grundlagen
2 Gleichungen
3 Einige Aspekte der Logik
4 Grundzüge der Mengenlehre
5 Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
6 Dierentialrechnung
7 Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung
8 Integralrechnung
9 Finanzmathematik
10 Lineare Algebra
11 Funktionen mit mehreren Variablen
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Elementare Grundlagen Das Zahlensystem
Elementare Grundlagen
Das Zahlensystem
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln
Logarithmen
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Elementare Grundlagen Das Zahlensystem
Zahlenbegrie 1/3
Natürliche Zahlen
Die Zahlen 1,2,3,4... heissen natürliche Zahlen und werden mit Ngekennzeichnet.
Sei n eine beliebige natürliche Zahl, so ist 2n eine gerade und 2n + 1 eineungerade Zahl.
Ganze Zahlen
Die Zahlen ...,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... heissen ganze Zahlen und werden mit Zbezeichnet.
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Elementare Grundlagen Das Zahlensystem
Zahlenbegrie 2/3
Rationale Zahlen
Alle Zahlen, die sich als Quotient p
qzweier ganzer Zahlen p und q mit (q 6= 0)
darstellen lassen, heissen rationale Zahlen und werden mit Q bezeichnet.
Rationale Zahlen können als Bruch zweier ganzer Zahlen p
q(wobei p als
Nenner und q als Zähler bezeichnet werden) oder als Dezimalbruchgeschrieben werden.
Dezimalbrüche können endlich (z.B. 0, 25) oder unendlich periodisch (z.B.1
3= 0, 333... = 0, 3) sein.
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Elementare Grundlagen Das Zahlensystem
Zahlenbegrie 3/3
Irrationale Zahlen
Zahlen, die sich weder als Quotient zweier ganzer Zahlen noch als endlicherbzw. unendlich periodischer Dezimalbruch darstellen lassen, sondern nur alsunendlich nicht periodischer Dezimalbruch, heissen irrationale Zahlen, z.B.π, e,
√2.
Reelle Zahlen
Die rationalen und die irrationalen Zahlen zusammen ergeben die reellenZahlen R.R+ bezeichnet die nicht negativen reellen Zahlen, R+
0die nicht negativen
reellen Zahlen inklusive Null.
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Elementare Grundlagen Das Zahlensystem
Aufbau des Zahlensystems
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Elementare Grundlagen Grundrechenarten
Elementare Grundlagen
Das Zahlensystem
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln
Logarithmen
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Elementare Grundlagen Grundrechenarten
Elementare Rechenregeln
1 − (−a) = a
2 −a = (−1) a
3 −ab = − (ab) = (−a) · b = a · (−b)
4 (−a) (−b) = ab
5 − ab
= (−1)a
b=−ab
=a
−b
6−a−b
=a
b
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Elementare Grundlagen Grundrechenarten
Rechnen mit Null
1 a + 0 = 0 + a = a
2 a− 0 = −0 + a = a
3 a · 0 = 0 · a = 0
40a
= 0
5a
b= 0 ⇒ a = 0; b 6= 0
6 ab = 0 ⇒ a = 0 oder b = 0
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Elementare Grundlagen Grundrechenarten
Rechnen mit Brüchen
1a · cb · c
=a
bmit b 6= 0 und c 6= 0
2a
c+
b
c=
a + b
c
3a
b+
c
d=
a · d + b · cb · d
4 a +b
c=
ac + b
c
5 a · bc
=a · bc
6a
b· cd
=a · cb · d
7a
b:c
d=
a
b· dc
=a · db · c
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Elementare Grundlagen Grundrechenarten
Rechnen mit Klammern
1 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c
2 a + (b − c) = a + b − c
3 a− (b + c) = a− b − c
4 a− (b − c) = a− b + c
5 a (b + c) = ab + ac
6 a (b − c) = ab − ac
7 (a + b) (c + d) = ac + ad + bc + bd
8 (a + b) (c − d) = ac − ad + bc − bd
9 (a + b) : c =(a + b)
c=
a
c+
b
c
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Elementare Grundlagen
Das Zahlensystem
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln
Logarithmen
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Denition von Potenzen
Das n-fache Produkt einer Zahl mit sich selbst ergibt die n-te Potenz dieser Zahl:
a · a · a · . . . · a = an
a Grundzahl oder Basis.n Hochzahl oder Exponent.
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Regeln für Potenzen
1 a1 = a
2 1n = 1 für n 6= 0
3 0n = 0 für n 6= 0
4 a0 = 1 für a 6= 0, 00 ist nicht deniert.
5 Die Potenz einer negativen Zahl ist positiv bei geraden Exponenten undnegativ bei ungeraden Exponenten:(−a)2n = +a2n
(−a)2n+1 = −a2n+1
6 a−n =1an
für a 6= 0, n ∈ N
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Rechnen mit Potenzen
Potenzen können nur dann addiert oder subtrahiert werden, wenn sie in ihrer Basisund ihrem Exponenten übereinstimmen. Identische Potenzen werden addiert odersubtrahiert indem man ihre Koezienten addiert oder subtrahiert.
Potenzen mit gleicher Basis1 ar · as = ar+s
2 (ar )s = ars
3ar
as= ar−s
Potenzen mit gleichen Exponenten1 (ab)r = ar · br
2
( ab
)r=
ar
br= arb−r
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Potenz einer Summe
(a + b)r 6= ar + br
Binomische Formeln:1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2
2 (a− b)2 = a2 − 2ab + b2
3 (a + b) (a− b) = a2 − b2
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Quadratische Ergänzung
Zur Lösung mancher Aufgaben ist es nötig, einen gegebenen Ausdruck so zuergänzen, dass ein Binom der Form (a + b)2 oder (a− b)2 entsteht.
Beispiel: 9x2 − 12xz
Die vollständige Formel wäre:
9x2 − 12xz + 4z2 = (3x − 2z)2
Die Ergänzung muss wieder subtrahiert werden, so dass gilt:
9x2 − 12xz = 9x2 − 12xz + 4z2 − 4z2
= (3x − 2z)2 − 4z2
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Wurzeln
Die n-te Wurzel aus b,n√b mit b > 0 ist diejenige nichtnegative Zahl a, deren
n-te Potenz b ergibt.
Die Auösung von an = b nach a liefert also a =n√b.
b heisst Radikand, n Wurzelexponent und a Wurzelwert.
Das Wurzelziehen ist eine Umkehrung des Potenzierens, nämlich die Auösungnach der Basis.
Die 2. Wurzel oder Quadratwurzel wird vereinfacht als√b statt 2
√b geschrieben.
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Elementare Grundlagen Potenzen und Wurzeln
Rechnen mit Wurzeln
Wurzel können auch als Potenz mit gebrochenen Exponenten aufgefasst werden.1
n√b = b
1n
2n√bm = b
mn
Aus diesem Zusammenhang ergibt sich die Anwendung der Potenzgesetze auchauf Wurzeln:
1 n√a · n√b =
n√ab
2
n√a
n√b
= n
√a
b
3m
√n√a = nm
√a =
m
√n√a
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Elementare Grundlagen Logarithmen
Elementare Grundlagen
Das Zahlensystem
Grundrechenarten
Potenzen und Wurzeln
Logarithmen
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Elementare Grundlagen Logarithmen
Logarithmen
Denjenigen Exponenten n, mit dem man die Basis a potenzieren muss, um b zuerhalten, nennt man den Logarithmus von b zur Basis a: n = loga b.Dabei sind a und b positiv und a 6= 0.
Allgemein geht es um die Auösung der Gleichung an = b
die Auösung nach a führt auf die Wurzel
die Auösung nach n führt auf den Logarithmus
Logarithmen zur Basis 10 heissen dekadische Logarithmen und werden mit lg xbezeichnet.
Logarithmen zur Basis e heissen natürliche Logarithmen und werden mit ln xbezeichnet.
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Elementare Grundlagen Logarithmen
Rechnen mit Logarithmen
1 ln (ab) = ln a + ln b
2 ln( ab
)= ln a− ln b
3 ln (an) = n ln a
4 ln(
n√a)
=1nln a
5 ln e = 1
6 ln 1 = 0, da a0 = 1
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Gleichungen
Identische Gleichungen beziehen sich auf wahre mathematische Aussagen.
Beispiel: 5 + 3 = 8
Funktionsgleichungen ordnen variable Grössen einander zu.
Beispiel: f (x) = y
Bestimmungsgleichungen enthalten neben bekannten Grössen immer eineoder mehrere Variablen und dienen der Ermittlung der Variablen, für die dieBestimmungsgleichung erfüllt ist.
Beispiel: x + 5 = 9
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Umformen von Gleichungen 1/5
Grundregel: Die Lösungsmenge einer Bestimmungsgleichung bleibt unverändert,wenn auf beiden Seiten der Gleichung die gleiche Rechenoperation mit der gleichenZahl durchgeführt wird. Dies ist als äquivalente Termumformung bekannt.
Nicht erlaubt: Multiplikation/Division mit Null.
Eine Lösung einer Bestimmungsgleichung kann durch Einsetzen der Lösungswertein die ursprüngliche Gleichung überprüft werden.
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Umformen von Gleichungen 2/5
Auf beiden Seiten der Gleichung darf der gleiche Wert addiert/subtrahiert werden.
T1 = T2 ⇔ T1 ± T3 = T2 ± T3
Beide Seiten dürfen mit demselben Term multipliziert bzw. durch denselben Wertdividiert werden.
T1 = T2 ⇔ T1 · T3 = T2 · T3 T3 6= 0
T1 = T2 ⇔ T1
T3=
T2
T3T3 6= 0
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Umformen von Gleichungen 3/5
Beide Seiten der Gleichung dürfen zur selben positiven Basis a (a 6= 1) potenziertwerden.
T1 = T2 ⇔ aT1 = aT2 für a > 0, a 6= 1
Beide Seiten einer Gleichung dürfen, wenn sie beide positiv sind, zur selbenpositiven Basis (6= 1) logarithmiert werden.
T1 = T2 ⇔ loga T1 = loga T2
⇔ lnT1 = lnT2
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Umformen von Gleichungen 4/5
Potenzieren und Radizieren mit ungeradem Exponenten gelten als äquivalenteUmformungen.
T1 = T2 ⇔ T n1 = T n
2
T1 = T2 ⇔ n√T1 = n
√T2
falls n ungerade ist.
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Gleichungen Lösen einfacher Gleichungen
Umformen von Gleichungen 5/5
Potenzieren und Radizieren mit geradem Exponenten sind keine äquivalentenUmformungen.
T n1 = T n
2 ⇔ T1 = T2 oder T1 = −T2
falls n ungerade ist.
Beim Potenzieren mit geraden Exponenten können Vorzeichen verloren gehen oderScheinlösungen entstehen.
Eine Probe der Lösungen ist zwingend notwendig!
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Gleichungen Lineare Gleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Lineare Gleichungen
Lineare Gleichungen
Schema zur Auösung:1 Auösen von Klammern und/oder Brüchen.
2 Zusammenfassen der Ausdrücke von x und der bestimmten Zahl auf beidenSeiten.
3 Umformung der Gleichung so, dass auf einer Seite ein Ausdruck mit x undauf der anderen Seite eine bestimmte Zahl steht.
4 Division beider Seiten durch den Koezienten (Faktor) von x .
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Allgemeine Form
ax2 + bx + c = 0
Normalform:
x2 +b
ax +
c
a= 0
für p = baund q = c
a
x2 + px + q = 0
Sonderfälle:
ax2 + bx = 0
ax2 + c = 0
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Lösen quadratischer Gleichungen 1/4
ax2 + c = 0
x2 = −ca
x1 = +
√−ca
x2 = −√−ca
Die Gleichung ist nur lösbar für − ca> 0; d.h. entweder gilt c = 0 oder c und a
haben entgegengesetze Vorzeichen.
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Lösen quadratischer Gleichungen 2/4
ax2 + bx = 0
x (ax + b) = 0
Ein Produkt ist Null, wenn wenigstens einer der beiden Faktoren Null ist.
x = 0 ax + b = 0
Lösungen der quadratischen Gleichung:
x1 = 0 x2 = −ba
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Lösen quadratischer Gleichungen 3/4
Normalform
x2 + px + q = 0
Lösungsformel
x = −p2±√(p
2
)2− q
Es gilt:
p2
4− q > 0 =⇒ zwei Lösungen
p2
4− q = 0 =⇒ eine Lösungen
p2
4− q < 0 =⇒ keine Lösungen
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Lösen quadratischer Gleichungen 4/4
Allgemeine Form
ax2 + bx + c = 0
Lösungsformel
x = − b
2a±√
b2
4a2− c
a
Es gilt:
b2
4a2− c
a> 0 =⇒ zwei Lösungen
b2
4a2− c
a= 0 =⇒ eine Lösungen
b2
4a2− c
a< 0 =⇒ keine Lösungen
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Biquadratische Gleichungen
Eine biquadratische Gleichung der Form ax4 + bx2 + c = 0 kann auf einequadratische Gleichung zurückgeführt werden und mit Hilfe der Lösungsansätzefür quadratische Gleichungen gelöst werden.
Gegeben sei die Gleichung: ax4 + bx2 + c = 0
1 Setze x2 = y =⇒ ay2 + by + c = 0
2 Lösen der quadratischen Gleichung
3 Für die Lösungen der quadratischen Gleichung bestimmen: x = ±√y
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Gleichungen Quadratische Gleichungen
Gleichungen höherer Ordnung
Gleichungen dritter oder höherer Ordnung verlangen z.T. sehr aufwendigeVerfahren. Generell kann versucht werden solche auf quadratische Gleichungenzurückzuführen.
Aus axn + bxn−1 + cxn−2 = 0 erhält man durch Ausklammern von xn−2:
xn−2(ax2 + bx + c
)= 0
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Gleichungen Wurzelgleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Wurzelgleichungen
Wurzelgleichungen
Vorgehen:1 Gleichung so umformen, dass die Wurzel isoliert auf einer Seite steht.
2 Beseitigen der Wurzel durch Quadrieren.
3 Lösen der Gleichung
4 Wurzelgleichungen immer durch Einsetzen in die Wurzelgleichung prüfen(Probe)
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Gleichungen Exponentialgleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Exponentialgleichungen
Exponentialgleichungen
Eine Gleichung der Form ax = b mit a > 0 und b > 0 heisst Exponentialgleichung.
Äquivalente Umformung: von beiden Seiten Logarithmen zur selben Basis bilden:
ln ax = ln b
x ln a = ln b
x =ln bln a
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Gleichungen Logarithmengleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Logarithmengleichungen
Logarithmengleichungen
Die Lösung einer Gleichung, bei der die Variable unter dem Logarithmus steht,erfolgt durch Potenzieren mit der Basis des vorkommenden Logarithmus.
loga x = b
aloga x = ab
x = ab
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Gleichungen Verhältnisgleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Verhältnisgleichungen
Verhältnisgleichungen
Einen Quotienten abnennt man auch Verhältnis von a und b. Zwei
übereinstimmende Verhältnissea
bund
c
dergeben eine Verhältnisgleichung.
Verhältnisgleichungen ergeben sich vor allem aus Anwendungsproblemen, die sichüber die Gleichheit zweier Verhältnisse lösen lassen.
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Gleichungen Verhältnisgleichungen
Prozentrechnung
In der Prozentrechnung bezeichnet man die Grösse, die 100% entspricht, als denGrundwert g . p ist der Prozentsatz und die Grösse, die dem Prozentsatz p%entspricht, heisst Prozentwert w .
Es ergibt sich folgende Proportion:
p
100=
w
g
Je nach der gesuchten Grösse wird die Gleichung umgestellt.
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Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Gibt es für zwei (oder mehr) Variablen zwei (oder mehr) lineare Gleichungen, dannliegt ein lineares Gleichungssystem vor.Allgemeine Form bei zwei Gleichungen und zwei Variablen:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Ein Gleichungssystem kann genau eine, mehrere oder keine Lösung haben.Umformungen für lineare Gleichungssysteme:
Eine Gleichung darf mit einer (von Null verschiedenen) Zahl multipliziertwerden, die übrigen Gleichungen bleiben unverändert.
Eine Gleichung darf dadurch verändert werden, dass man ein beliebigesVielfaches einer anderen Gleichung zu ihr addiert, die übrigen Gleichungenbleiben unverändert.
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Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Lösen durch Einsetzen
Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen (I und II) und 2 Variablen (x und y)1 Auösen einer Gleichung (I oder II) nach y (oder x)2 Einsetzen des für y (oder x) bestimmten Ausdrucks in die andere Gleichung
(II oder I)3 Auösen dieser Gleichung nach der nun einzigen Variablen x (oder y)4 Einsetzen der Lösung in den für y (oder x) bestimmten Ausdruck
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Gleichungen Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Lösen durch Gleichsetzen
Lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen (I und II) und 2 Variablen (x und y)1 Auösen beider Gleichungen (I und II) nach x (oder y)2 Gleichsetzen der beiden für x (oder y) erhaltenen Ausdrücke und Auösen
der so erhaltenen Gleichung nach y (oder x)3 Einsetzen der Lösung für y (oder x) in Gleichung I oder II und Auösen nach
x (oder y)
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Gleichungen Ungleichungen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Ungleichungen
Ungleichungen
Sind a und b zwei beliebige reelle Zahlen, so besteht zwischen ihnen genau eineder drei folgenden Beziehungen:
a < b (a ist kleiner als b bzw. b ist grösser als a)
a = b
a > b (a ist grösser als b bzw. b ist kleiner als a)
Ist auch der Grenzfall der Gleichheit zugelassen gilt: a ≤ b bzw. a ≥ b
Werden beide Seiten einer Ungleichung vertauscht, dann muss dasUngleichheitszeichen umgekehrt werden:
a < b ⇐⇒ b > a
Gelten für eine Zahl b die Ungleichungen b > a und b < c so schreibt man aucha < b < c.
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Gleichungen Ungleichungen
Rechenregeln für Ungleichungen
1 für a < b und b < c gilt a < c
2 für a < b gilt a± c < b ± c
3 für a < b und c < d gilt a + c < b + d
4 für a < b gilt −a > −b
5 für a < b gilt ac < bc, wenn c > 0
6 für a < b gilt ac > bc, wenn c < 0
7 für a < b gilt1a>
1b, wenn beide Seiten einer Ungleichung positiv oder
negativ sind.
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Gleichungen Ungleichungen
Lineare Ungleichungen mit einer Variablen
Für das Auösen einer Ungleichung gelten die gleichen äquivalenten Umformungenwie für Gleichungen unter Berücksichtigung der Rechenregeln für Ungleichungen.
Probleme ergeben sich bei Ungleichungen mit Brüchen, bei denen im NennerAusdrücke mit x stehen. Werden beim Auösen der Ungleichung beide Seiten mitdem Nenner multipliziert, müssen die Fälle für positive und negative Nennerunterschieden werden.
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Gleichungen Intervalle und Absolutbeträge
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Intervalle und Absolutbeträge
Denition Intervalle
Notation Name enthält x mit(a, b) Oenes Intervall von a bis b a < x < b
[a, b] Abgeschlossenes Intervall von a bis b a ≤ x ≤ b
(a, b] Halboenes Intervall von a bis b a < x ≤ b
[a, b) Halboenes Intervall von a bis b a ≤ x < b
Die Länge aller Intervalle ist b − a.
Alle Intervalle sind beschränkt.
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Gleichungen Intervalle und Absolutbeträge
Unbeschränkte Intervalle
[a,∞) = alle Zahlen x mit x ≥ a
(−∞, b) = alle Zahlen x mit x < b
Das Intervall [a,∞) hat keine obere Schranke, das Intervall (−∞, b) hat keineuntere Schranke.
Die Menge aller reellen Zahlen ist (−∞,∞).
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Gleichungen Intervalle und Absolutbeträge
Absolutbetrag
Sei a eine Zahl auf der reellen Zahlengeraden.
Der Abstand zwischen a und 0 heisst Absolutbetrag von a und wird mit |a|bezeichnet.
|a| =
a falls a ≥ 0
−a falls a < 0
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Gleichungen Summen
Gleichungen
Lösen einfacher Gleichungen
Lineare Gleichungen
Quadratische Gleichungen
Wurzelgleichungen
Exponentialgleichungen
Logarithmengleichungen
Verhältnisgleichungen
Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen
Ungleichungen
Intervalle und Absolutbeträge
Summen und Produkte
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Gleichungen Summen
Summen
Summenzeichen vereinfachen die Schreibweise von Summen mit mehrerenSummanden.
q∑i=p
ai = ap + ap+1 + ap+2 + . . .+ aq p, q ∈ Z, q ≥ p
Beispiele:5∑
i=5
i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55
6∑k=3
(5k − 3) = (5 · 3− 3) + (5 · 4− 3) + (5 · 5− 3) + (5 · 6− 3) = 78
2∑j=0
1
(j + 1) (j + 3)=
1
(0 + 1) (0 + 3)+
1
(1 + 1) (1 + 3)+
1
(2 + 1) (2 + 3)=
21
40
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Gleichungen Summen
Regeln für Summen 1/2
1
n∑i=1
x = nx
2
n∑i=1
axi = a
n∑i=1
xi
3
n∑i=1
(xi + yi ) =n∑i=1
xi +n∑i=1
yi
4
n∑i=K
xi =m∑i=K
xi +n∑
i=m
xi K < m < n
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 67 / 516
Gleichungen Summen
Regeln für Summen 2/2
1
n∑i=1
x2i 6=
(n∑i=1
xi
)2
(x21 + x22 + . . .+ x2n
)6= (x1 + x2 + . . .+ xn)2
2
n∑i=1
(xi · yi ) 6=n∑i=1
xi ·n∑i=1
yi
(x1y1 + x2y2 + . . .+ xnyn) 6= (x1 + x2 + . . .+ xn) · (y1 + y2 + . . .+ yn)
3
n∑i=K
(xi + a) =n∑i=1
xi + a
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Gleichungen Summen
Beispiel: Einnahmen über Regionen und Monate 1/2
MONAT
REGION
a11 a12 a1na21 a22 a2n
am1 am2 amn
aij = Einnahmen in Region i im Monat j
Einnahmen in Region i über alle n Monate?
Zeilensummen:n∑j=1
a1j ,
n∑j=1
a2j , . . . ,
n∑j=1
amj
Einnahmen über alle m Regionen in Monat n?
Spaltensummen:m∑i=1
ai1,
m∑i=1
ai2, . . . ,
m∑i=1
ain
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Gleichungen Summen
Beispiel: Einnahmen über Regionen und Monate 2/2
Gesamteinnahmen in allen m Regionen über alle n Monate?
Summe der Zeilensummenn∑i=1
a1j+n∑i=1
a2j + . . .+n∑i=1
amj =m∑i=1
n∑j=1
aij
Summe der Spaltensummen
m∑i=1
ai1+m∑i=1
ai2 + . . .+m∑i=1
ain =n∑i=1
m∑j=1
aij
Es gilt:
m∑i=1
n∑j=1
aij
=n∑i=1
m∑j=1
aij
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Gleichungen Summen
Produkte
a1 · a2 · a3 · ... · a(n−1) · an =n∏i=1
ai
Rechenregeln für Produkte:n∏i=1
cai = cnn∏i=1
ai c = const
n∏i=1
(aibi ) =n∏i=1
ai ·n∏i=1
bi
n∏i=1
a2i =
(n∏i=1
ai
)2
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Gleichungen Summen
Fakultät
n! :=n∏i=1
i = 1 · 2 · 3 · ... · (n − 1) · n n ∈ N
n! wird gelesen: n Fakultät
0! := 1
Für die Fakultäten der Zahlen von 1 bis 10 ergeben sich folgende Werte:
1! = 1 6! = 720
2! = 2 7! = 5040
3! = 6 8! = 40320
4! = 24 9! = 362880
5! = 120 10!= 3628800
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Gleichungen Summen
Stirlingsche Formel
Fakultäten wachsen sehr schnell mit zunehmendem n. Vor allem bei grossen n istdeshalb die Möglichkeit, n! näherungsweise zu berechnen wichtig.Stirlingsche Formel:
n! ≈√2πn
(ne
)nFür die Fakultäten der Zahlen von 1 bis 10 ergeben sich folgende Näherungswerte:
1! ≈ 0.922 6! ≈ 710
2! ≈ 1.919 7! ≈ 4980
3! ≈ 5.836 8! ≈ 39902
4! ≈ 23.506 9! ≈ 359537
5! ≈ 118 10!≈ 3598696
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Einige Aspekte der Logik
Einige Aspekte der Logik
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Einige Aspekte der Logik
Verknüpfungen von Aussagen
Konjunktion (UND-Verknüpfung): A ∧ B (A und B) ist wahr, wennsowohl A als auch B wahr ist. Sie ist falsch, wenn wenigstens eine der beidenAussagen falsch ist.
Disjunktion (ODER-Verknüpfung): A ∨ B (A oder B) ist wahr, wennwenigstens eine der beiden Aussagen wahr ist. Sie ist falsch, wenn beideAussagen falsch sind.
Negation von Konjunktion und Disjunktion: Für die Negation vonKonjunktion bzw. Disjunktion zweier Aussagen A und B gilt:
A ∧ B = A ∨ BA ∨ B = A ∧ B
A B A ∧ B A ∨ B entweder A oder B
w w w w fw f f w wf w f w wf f f f f
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Einige Aspekte der Logik
Implikationen
Seien P und Q Aussagen, so dass aus der Wahrheit von P notwendigerweise auchdie Wahrheit von Q folgt.
P =⇒ Q
Man sagt:
P impliziert Q
Wenn P dann Q
Q folgt aus P
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 76 / 516
Einige Aspekte der Logik
Logische Äquivalenzen
In manchen Fällen, in denen die Implikation P =⇒ Q gilt, ist auch die umgekehrteImplikation Q =⇒ P gültig. Man spricht von einer Logischen Äquivalenz undschreibt:
P ⇐⇒ Q
Man sagt:
P ist äquivalent zu Q
P dann und nur dann, wenn Q
P genau dann, wenn Q
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Einige Aspekte der Logik
Notwendige und hinreichende Bedingung
P ist hinreichend für Q bedeutet, P =⇒ Q
Q ist notwendig für P bdeutet, P =⇒ Q
Beispiel:
Eine hinreichende Bedingung, damit x ein Rechteck ist, wäre, dass x einQuadrat ist.
eine notwendige Bedingung, damit x ein Quadrat ist, wäre, dass x einRechteck ist.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 78 / 516
Grundzüge der Mengenlehre
Grundzüge der Mengenlehre
Begrie
Mengenoperationen
Mengenalgebra
Produkte von Mengen
Relationen und Abbildungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 79 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Begrie
Der Begri der Menge
Denition nach Cantor (1845-1918): Eine Menge ist eine Zusammenfassungbestimmter, wohlunterschiedener Objekte unserer Anschauung oder unseresDenkens, wobei von jedem dieser Objekte eindeutig feststeht, ob es zur Mengegehört oder nicht.
Die Objekte heissen Elemente der Menge.
Ist ein Objekt a Element der Menge A: a ∈ A
Ist ein Objekt a kein Element der Menge A: a /∈ A
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 80 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Begrie
Beschreibung einer Menge
Beschreibung einer Menge
durch Aufzählen der Elemente
durch eine Variable und Angabe einer die Elemente charakterisierendenEigenschaft
Beispiel: Die Menge V der Vokale des lateinischen Alphabets
V = a, e, i , o, uV = x |x ist ein Vokal des lateinischen Alphabetswenn A die Menge der Buchstaben des lateinischen Alphabets ist:V = x |x ∈ A ∧ x ist ein Vokal
Eine Menge, die kein Element enthält, heisst leere Menge oder Nullmenge undwird mit oder bezeichnet.Die Anzahl n (A) der Elemente der Menge A heisst ihre Mächtigkeit.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 81 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Begrie
Beziehungen zwischen Mengen
Die Mengen A und B sind gleich (A = B), wenn jedes Element aus A auchElement aus B ist und umgekehrt, wenn also beide Mengen die gleichenElemente besitzen. Andernfalls sind sie ungleich: A 6= B.
Ist jedes Element der Menge A auch in der Menge B enthalten, so ist ATeilmenge oder Untermenge von B, B ist Obermenge von A. Man schreibtA ⊂ B.
Ist dabei A 6= B, so heisst A auch echte Teilmenge von B, ist A = B, so ist Aunechte Teilmenge von B.
Jede Menge A ist Teilmenge von sich selbst: A ⊂ A.
Für alle Mengen A gilt ⊂ A, d.h. die leere Menge ist als Teilmenge in jederMenge enthalten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 82 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen
Grundzüge der Mengenlehre
Begrie
Mengenoperationen
Mengenalgebra
Produkte von Mengen
Relationen und Abbildungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 83 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen
Durchschnitt von Mengen
Durchschnitt oder Schnittmenge A ∩ B der Mengen A und B ist die Mengealler Elemente, die sowohl in A als auch in B enthalten sind:
A ∩ B = x | (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 84 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen
Disjunkte Mengen
Disjunkte Mengen: Die Mengen A und B haben kein gemeinsames Element
Die Schnittmenge zweier disjunkter Menge ist die leere Menge, d.h. A ∩ B =
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 85 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen
Vereinigung von Mengen
Vereinigung bzw. Vereinigungsmenge A ∪ B der Mengen A und B ist dieMenge aller Elemente, die in A und B oder in beiden Mengen enthalten sind:
A ∪ B = x | (x ∈ A) ∨ (x ∈ B)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 86 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen
Dierenz von Mengen
Als Dierenzmenge (Restmenge) A \ B der Mengen A und B wird die Mengealler Elemente von A bezeichnet, die nicht in B enthalten sind:
A \ B = x | (x ∈ A) ∧ (x /∈ B)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 87 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenoperationen
Komplement einer Menge
Es sei A eine Teilmenge von B (A ⊂ B). Als Komplement oderKomplementärmenge A von A bezüglich B wird die Menge aller Elemente aus Bbezeichnet, die nicht in A enthalten sind:
A := B \ A = x | (x ∈ B) ∧ (x /∈ A)
Das Komplement ist eine spezielle Dif-ferenz. Bestehen Zweifel, auf welcheObermenge sich das Komplement bezieht,ist diese Menge anzugeben: AB .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 88 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenalgebra
Grundzüge der Mengenlehre
Begrie
Mengenoperationen
Mengenalgebra
Produkte von Mengen
Relationen und Abbildungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 89 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenalgebra
Mengenalgebra 1/4
Es gilt für alle Regeln, dass A, B und D Teilmengen der Menge Ω sind.
Identitätsgesetzea) A ∪ = A b) A ∩ = c) A ∪ Ω = Ω d) A ∩ Ω = Ω
Idempotenzgesetzea) A ∪ A = A
b) A ∩ A = A
Komplementgesetze A = AΩ
a) A ∪ A = Ω b) A ∩ A = c) A ∪ B = A ∩ B d) A ∩ B = A ∪ Be) Ω = f) = Ω
g) A = A
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 90 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenalgebra
Mengenalgebra 2/4
Es gilt für alle Regeln, dass A, B und D Teilmengen der Menge Ω sind.
Kommutativgesetzea) A ∪ B = B ∪ Ab) A ∩ B = B ∩ A
Assoziativgesetzea) A ∪ (B ∪ D) = (A ∪ B) ∪ Db) A ∩ (B ∩ D) = (A ∩ B) ∩ D
Distributivgesetzea) A ∪ (B ∩ D) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ D)
b) A ∩ (B ∪ D) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ D)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 91 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenalgebra
Mengenalgebra 3/4
Es gilt für alle Regeln, dass A, B und D Teilmengen der Menge Ω sind.
Inklusionsgesetzea) A ⊂ (A ∪ B)
b) A ⊃ (A ∩ B)
Die folgenden Aussagen sind äquivalent, d.h. jede Aussage folgt aus jeder der dreianderen:
A ⊂ B, A ∪ B = B, A ∩ B = A, B ⊂ A
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 92 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Mengenalgebra
Mengenalgebra 4/4
Unter Einbeziehung der Operation Dierenz ergeben sich ähnliche Gesetze,wobei wiederum für alle Regeln gilt, dass A, B und D Teilmengen der Menge Ωsind.
a) A \ B = A ∩ B b) Ω \ A = A c) A \ Ω = d) A \ = A e) \ A = f) A \ A = g) (A \ B) \ D = A \ (B ∪ D)
h) A \ (B \ D) = (A \ B) ∪ (A ∩ D)
i) A ∪ (B \ D) = (A ∪ B) \ (D \ A)
j) A ∩ (B \ D) = (A ∩ B) \ (A ∩ D)
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Grundzüge der Mengenlehre Produkte von Mengen
Grundzüge der Mengenlehre
Begrie
Mengenoperationen
Mengenalgebra
Produkte von Mengen
Relationen und Abbildungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 94 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Produkte von Mengen
n-Tupel
Mengen sind nicht geordnete Zusammenfassungen der Elemente, d.h. dieReihenfolge ist beliebig:Beispiel: a, b, c = a, c, b = b, a, c = b, c, a = c, a, b = c, b, a
Geordnete Zusammenfassungen von Elementen, bei denen die Reihenfolge eineRolle spielt, heissen n-Tupel.
Es sei n eine natürliche Zahl und a1, ...an seien nicht notwendig verschiedeneElemente gewisser Mengen. (a1, ...an) heisst ein aus diesen Elementen gebildetesn-Tupel und ai (i = 1, ...n) seine i-te Koordinate.
Zwei n-Tupel (a1, ...an) und (b1, ...bn) heissen einander gleich, wenn sie in allenKoordinaten übereinstimmen: (a1, ...an) =(b1, ...bn) genau dann, wenn ai = bi füri = 1, ..., n.Es sei a 6= b, dann gilt: a, b = b, a aber (a, b) 6= (b, a).
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 95 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Produkte von Mengen
Kartesisches Produkt
Gegeben seien die Mengen A1, ...,An. Unter dem kartesischen Produkt (auchProduktmenge, Kreuzmenge, Kreuzprodukt) A1 × A2 × ...× An dieser Mengenversteht man die Menge aller n-Tupel, deren i-te Koordinate ein Element derMenge Ai (i = 1, ...n) ist, d.h.
A1 × A2 × ...× An := (x1, ..., xn) |xi ∈ Ai für i = 1, ...n
Beispiel: A = 1, 2 und B = a, bA× B = (1, a) , (2, a) , (1, b) , (2, b)B × A = (a, 1) , (a, 2) , (b, 1) , (b, 2)
Für das kartesische Produkt von Mengen gilt das Kommutativgesetz nicht, d.h.allgemein gilt A× B 6= B × A
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 96 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Grundzüge der Mengenlehre
Begrie
Mengenoperationen
Mengenalgebra
Produkte von Mengen
Relationen und Abbildungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 97 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Relation
Gegeben seien zwei Mengen X und Y . Jede Teilmenge des kartesischen ProduktesX × Y heisst Relation R zwischen X und Y . Es gilt also R ⊂ X × Y . Manschreibt xRy für (x , y) ∈ R.
Relationen werden im Allgemeinen dadurch deniert, dass die zu einer Relationgehörenden Paare eine bestimmte, die Relation charakterisierende Eigenschaftaufweisen.
Nullrelation R = : kein Paar erfüllt die Relation.
Allrelation R = X × Y : alle Paare erfüllen die Relation.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 98 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Abbildung
Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y , die nicht notwendig verschiedensein müssen, heisst eindeutig oder auch Abbildung aus X nach Y , wenn jedemx ∈ X höchstens ein y ∈ Y durch die Relation R zugeordnet wird, d.h. aus(x , y1) ∈ R und (x , y2) ∈ R folgt stets y1 = y2.
Man schreibt statt (x , y) ∈ R nun (x , y) ∈ f oder y = f (x) oder f : X 7→ Y .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 99 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Denitionen zu Abbildungen
In der Abbildung (x , y) ∈ f bzw. y = f (x) bezeichnet man das Element yals Bild, Bildelement oder Bildpunkt von x bezüglich f und das Element xals Urbild, Urbildelement oder Urbildpunkt von y bezüglich f .
Gegeben sei eine Abbildung y = f (x)bzw. f : X 7→ Y .
Die Menge aller x ∈ X , denen überhaupt ein Bild zugeordnet wird, bezeichnetman als Denitionsbereich oder Denitionsmenge D (f ) der Abbildung.Die Menge aller y ∈ Y , die mindestens ein Urbild haben, bezeichnet man alsWertebereich oder Wertemenge W (f ) der Abbildung.
f heisst Abbildung von X nach Y , wenn jedes Element x ∈ X Urbild einesElements y ∈ Y ist, d.h. D (f ) = X .
f heisst Abbildung von X in Y , wenn Y Elemente enthält, die kein Urbildbesitzen.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 100 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Surjektive Abbildung
Eine Abbildung f : X 7→ Y heisst surjektiv, wenn alle Elemente y ∈ Y
Bildelemente sind, d.h. wenn gilt W (f ) = Y .
surjektiv surjektiv nicht surjektiv
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 101 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Injektive Abbildung
Eine Abbildung f : X 7→ Y heisst injektiv, umkehrbar oder eineindeutig wenn ausf (x1) = f (x2) folgt, x1 = x2, d.h. wenn es zu jedem Bild nur ein Urbild gibt.
injektiv nicht injektiv
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 102 / 516
Grundzüge der Mengenlehre Relationen und Abbildungen
Inverse und Bijektive Abbildung
Gegeben sei eine injektive Abbildung f : X 7→ Y . Die Abbildung, die jedem Bildy = f (x) ∈ Y sein Urbild x ∈ X zuordnet, heisst Umkehrabbildung oder inverseAbbildung von f und wird mit f −1 bezeichnet.Eine Abbildung ist bijektiv, wenn f injektiv ist und wenn f und f −1 surjektiv sind.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 103 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Einführung
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Einführung
Eigenschaften von Funktionen
Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Verschieben von Graphen
Neue Funktionen aus Alten
Inverse Funktionen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 104 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Einführung
Funktionsbegri
Eine Funktion einer reellen Variablen x mit Denitionsbereich Df ist eineVorschrift, die jeder Zahl x ∈ D eindeutig eine reelle Zahl zuordnet.Die Menge der Werte f (x), die man erhält, wenn x den Denitionsbereich Df
durchläuft, nennt man den Wertebereich.Wenn f eine Funktion ist, dann ist f (x) der Wert, den f der Zahl x zuordnet,auch der Funktionswert von f an der Stelle x .
y = f (x)
x unabhängige Variable oder Argument (exogene Variable)y abhängige Variable (endogene Variable)
Denitionsbereich der Funktion f ist die Menge der möglichen Werte derunabhängigen Variablen, der Wertebereich f ist die Menge der möglichen Werteder abhängigen Variablen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 105 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Einführung
Darstellung von Funktionen
Funktionen können dargestellt werden mittels:
Zuordnungsvorschrift, Funktionsgleichung
Wertetabelle
graphischer Darstellung im Koordinatensystem
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 106 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Einführung
Beispiel
Funktionsgleichung:
f (x) = x3 + 1
Wertetabelle:
x -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5
y -2,375 0 0,875 1 1,125 2 4,375
grasche Darstellung:
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Einführung
Eigenschaften von Funktionen
Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Verschieben von Graphen
Neue Funktionen aus Alten
Inverse Funktionen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 108 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Denitionsbereich
Die Denition einer Funktion ist unvollständig, wenn der Denitionsbereich nichtangegeben ist.
Vereinbarung für den Denitionsbereich: Wenn eine Funktion durch einealgebraische Formel deniert ist, besteht der Denitionsbereich aus allen Wertender unabhängigen Variablen, für die die Formel einen eindeutigen Wert liefert(wenn kein anderer Denitionsbereich explizit angegeben ist).
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 109 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Wertebereich
Sei f eine Funktion mit Denitionsbereich Df . Die Menge aller Werte f (x), diediese Funktion annimmt, heisst der Wertebereich von f .Häuge Notation: Denitionsbereich: Df , Wertebereich: Wf (manchmal auch Rf )
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Beschränktheit
Gegeben sei eine Funktion y = f (x) und ein c ∈ R (c = const.). Wenn für alleFunktionswerte f (x) gilt:
|f (x)| ≤ c, so heisst f beschränkt
f (x) ≤ c, so heisst f nach oben beschränkt
f (x) ≥ c, so heisst f nach unten beschränkt
c heisst eine (untere bzw. obere) Schranke von f
Beispiel: f (x) = 1− e−x
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Monotonie 1/2
Eine Funktion f sei deniert für beliebige x1, x2 ∈ Df . Die Funktion heisst:
monoton wachsend, wenn f (x1) ≤ f (x2)
streng monoton wachsend, wenn f (x1) < f (x2)
monoton fallend, wenn f (x1) ≥ f (x2)
streng monoton fallend, wenn f (x1) > f (x2)
für alle x1 < x2.
Die Monotonie kann auch getrennt für Teilbereiche des Denitionsbereichs einerFunktion betrachtet werden und dann in den einzelnen Teilbereichenunterschiedlich sein.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Monotonie 2/2
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Konvexität
f (x) heisst in einem Intervall konvex, wenn für zwei beliebige Argumente x1, x2die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (x1, f (x1)), (x2, f (x2)) innerhalbdes Intervalls (x1, x2) stets oberhalb des Graphen von f (x) liegt. Die Funktionheisst konkav, wenn diese Verbindungsstrecke z stets unterhalb des Graphen vonf (x) liegt.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Symmetrie
Eine Funktion y = f (x) heisst spiegel- oder achsensymmetrisch um a, wenn giltf (a + x) = f (a− x) .Eine Funktion y = f (x) heisst punktsymmetrisch um den Punkt P, wenn eineDrehung der Funktion um 180° um den Punkt P die gleiche Funktion ergibt.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Nullstellen
Ein Argumentwert x0 heisst Nullstelle einer Funktion f (x), wenn f (x0) = 0 ist.Die Nullstellen sind die Schnittpunkte des Graphen der Funktion mit der x-Achse.
Zur Bestimmung der Nullstelle der Funktion f (x) muss die Gleichung f (x) = 0nach x aufgelöst werden.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Grenzwerte
Kommen die Funktionswerte einer Funktion f (x) bei beliebiger Annäherung von x
an eine Stelle x0 einer Zahl A immer näher und näher, so heisst A der Grenzwertder Funktion f (x) an der Stelle x0. Man schreibt:
limx→x0
f (x) = A
.Hat eine Funktion f (x) die Eigenschaft, dass ihre Funktionswerte unbegrenztwachsen (fallen), wenn x gegen x0 strebt, so ordnet man der Funktion an dieserStelle den uneigentlichen Grenzwert +∞ (−∞) zu.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Einseitige Grenzwerte
Die Funktion hat keinen Grenzwert, wennx gegen x0. Sie hat jedoch den GrenzwertB, wenn x von links gegen x0 und denGrenzwert A, wenn x von rechts gegen x0.
limx→x−0
f (x) = B limx→x+
0
f (x) = A
Eine notwendige und hinreichende Bedingung, dass der gewöhnliche Grenzwertexistiert, ist, dass die beiden einseitigen Grenzwerte existieren und übereinstimmen.
limx→x0
f (x) = A ⇐⇒
[lim
x→x−0
f (x) = A und limx→x+
0
f (x) = A
]
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Rechenregeln für Grenzwerte
Wenn limx→x0
f (x) = A und limx→x0
g (x) = B, dann gilt:
1 limx→x0
(f (x)± g (x)) = A± B
2 limx→x0
(f (x) · g (x)) = A · B
3 limx→x0
f (x)
g (x)=
A
B(falls B 6= 0)
4 limx→x0
(f (x))r = Ar (falls Ar deniert ist)
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Stetigkeit: Geometrische Interpretation
Eine Funktion ist stetig, wenn
kleine Änderungen der unabhängigen Variable kleine Änderungen derabhängigen Variablen bewirken.
der Graph zusammenhängend ist, d.h. keine Sprünge macht.
man den Graphen (mit dem Bleistift) ohne abzusetzen (in einem Strich)zeichnen kann.
Wenn der Graph einen oder mehrere Sprünge hat, ist die Funktion unstetig.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Eigenschaften von Funktionen
Stetigkeit mit Grenzwerten
Die Funktion f heisst stetig an der Stelle x = x0 wenn
limx→x0
f (x) = f (x0)
Damit f stetig ist in x = x0, müssen die folgenden drei Bedingungen erfüllt sein:
Die Funktion f muss an der Stelle x = x0 deniert sein.
Der Grenzwert von f (x) wenn x gegen x0, muss existieren.
Dieser Grenzwert muss gleich f (x0) sein.
Wenn diese Bedingungen nicht erfüllt sind, heisst f unstetig an der Stelle x = x0.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Einführung
Eigenschaften von Funktionen
Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Verschieben von Graphen
Neue Funktionen aus Alten
Inverse Funktionen
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Rationale Funktionen
Eine Funktion der Form
y =anx
n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b1x + b0=
n∑i=0
aixi
m∑j=0
bjxj
mit x ∈ R undm∑j=0
bjxj 6= 0; ai , bj ∈ R heisst rationale Funktion.
Alle Funktionen, die sich nicht auf die angegebene Funktion bringen lassen,heissen irrational.
rational: y =x3 + 5x2 + 7x − 1
x4 − x2 + 2xirrational: y =
√x2 + x − 2
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Ganze Rationale Funktionen
Eine Funktion der Form
y = anxn + an−1x
n−1 + ...+ a1x + a0 =n∑i=0
aixi
mit ai ∈ R, i = 0, ..., n heisst ganze rationale Funktion n-ten Grades oder auchPolynom n-ten Grades.
Beispiele:
y = c
y = ax + b
y = ax2 + bx + c
y = ax3 + bx2 + cx + d
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Eigenschaften ganzer rationaler Funktionen 1/2
Beschränktheit:
Ist n gerade und an > 0, so ist die Funktion nach unten beschränkt.
Ist n gerade und an < 0, so ist die Funktion nach oben beschränkt.
Ist n ungerade, so ist die Funktion nicht beschränkt.
Nullstelle:
Eine ganze rationale Funktion hat höchstens n reelle Nullstellen x1, ..., xn.
Gilt für zwei Nullstellen xi und xj (i 6= j) xi = xj = xr , so heisst xr zweifacheNullstelle. Gilt für Nullstellen xi , xj , xk ... (i 6= j 6= k, ) xi = xj = xk=...=xs , soheisst xs mehrfache Nullstelle.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 125 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Eigenschaften ganzer rationaler Funktionen 2/2
Für eine ganze rationale Funktion y =n∑i=0
aixi mit den n Nullstellen
x01, x02, ..., x0n gilt:n∑i=0
aixi = an (x − x1) (x − x2) ... (x − xn)
Ist x = x01 eine Nullstelle der ganzen rationalen Funktion y =n∑i=0
aixi , so kann
das Polynomn∑i=0
aixi ohne Rest durch (x − x01) dividiert werden.
(n∑i=0
aixi
): (x − x01) =
n−1∑i=0
bixi
Das Ergebnis ist eine ganze rationale Funktion (n − 1)-ten Grades. Die Nullstellendieser Funktion sind zugleich Nullstellen der ursprünglichen Funktion.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Gebrochen rationale Funktionen
Eine Funktion der Form
y =anx
n + an−1xn−1 + ...+ a1x + a0
bmxm + bm−1xm−1 + ...+ b1x + b0=
n∑i=0
aixi
m∑j=0
bjxj
mit ai , bj ∈ R, bm 6= 0, m ≥ 1 heisst gebrochene rationale Funktion.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 127 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Eigenschaften gebrochen rationaler Funktionen
Die Nullstellen einer gebrochenen rationalen Funktion ergeben sich alsNullstellen des Polynoms im Zähler. Dabei muss der Nenner von Nullverschieden sein.
n∑i=0
aixi
m∑j=0
bjxj
= 0 ⇐⇒n∑i=0
aixi = 0 und
m∑j=0
bjxj 6= 0
Hat das Polynom im Nenner bei x = x0 eine Nullstelle und ist das Polynomim Zähler an dieser Stelle von Null verschieden, d.h. giltn∑i=0
aixi 6= 0 und
m∑j=0
bjxj = 0 so hat die Funktion an dieser Stelle einen so
genannten Pol; die Funktion ist an der Stelle x0 nicht deniert. Bei x = x0liegt eine Unstetigkeitsstelle.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Lineare Funktionen 1/2
Allgemeine Form: f (x) = ax + b (a und b Konstante)
a heisst Steigung der Funktion und misst die Änderung des Funktionswertes,wenn x um eine Einheit zunimmt:
f (x + 1)− f (x) = [a (x + 1) + b]− [ax + b]
= ax + a + b − ax − b
= a
b heisst y-Achsenabschnitt oder Achsenabschnitt, wenn x = 0, dann
y = ax + b = b
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Lineare Funktionen 2/2
Ist die Steigung a positiv (negativ), steigt (sinkt) die Gerade mit wachsendenx .
Je grösser der Wert von a, desto steiler ist die Gerade.
Wenn a = 0, so ist die Gerade parallel zur x-Achse.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Bestimmung der Steigung
Die Steigung einer Geraden ist
a =y2 − y1
x2 − x1, (x1 6= x2)
wenn (x1, y1) und (x2, y2) zwei verschiedenePunkte auf der Geraden sind.
Der Wert der Steigung bleibt unverändert, wenn man die Punkte P und Qvertauscht.
Der Wert der Steigung ist unabhängig von der Wahl der beiden Punkte.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Gleichung einer Geraden: Punkt-Steigungs-Formel
Gesucht ist die Gleichung einer Geraden mit Steigung a durch den Punkt (x1, y1).
Sei (x , y) ein weiterer beliebiger Punkt auf der Geraden. Die Steigung ist dann
y − y1
x − x1= a ⇐⇒ y − y1 = a (x − x1)
Die Gleichung einer Geraden mit der Steigung a durch den Punkt (x1, y1) ist
y − y1 = a (x − x1)
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Gleichung einer Geraden: Zwei-Punkte-Formel
Die Gleichung einer Geraden durch (x1, y1) und (x2, y2), wobei x1 6= x2 erhält man so:
Berechnen Sie die Steigung der Geraden
a =y2 − y1
x2 − x1
Setzen Sie den Ausdruck für a in die Punkt-Steigungsformel y − y1 = a (x − x1) ein:
y − y1 =y2 − y1
x2 − x1(x − x1)
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Beispiel: Bevölkerungswachstum in Europa 1/2
Ein Bericht der Vereinten Nationen schätzt die europäische Bevölkerung im Jahr1960 auf 641 Millionen und im Jahr 1970 auf 705 Millionen.
1 Benutzen Sie diese Schätzungen, um eine lineare Funktion von t zukonstruieren, die die Bevölkerung in Europa (in Millionen) approximiert,wobei t die Anzahl der Jahre seit 1960 ist (t = 0 entspricht 1960, t = 1entspricht 1961, usw.).
2 Nutzen Sie diese Gleichung, um die Bevölkerung für 1975, 2000 und 1930 zuschätzen.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Beispiel: Bevölkerungswachstum in Europa 2/2
P = 6, 4t + 641
Schätzung der Bevölkerungszahlen:
Jahr 1930 1975 2000t -30 15 40Schätzung 449 737 897UN-Schätzung 573 728 854
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Graphische Lösung von linearen Gleichungen
System von zwei linearen Gleichungen mit zwei Unkenannten:
ax + by = c
dx + ey = f
Die Gleichungen sind linear, daher sind die Graphen Geraden. Die Koordinaten derPunkte auf einer Geraden erfüllen die Geradengleichung.Die Koordinaten eines Schnittpunktes zweier Geraden erfüllen beideGeradengleichungen, d.h. sind Lösungen des Gleichungssystems.
Beispiel: Lösen Sie das folgende Gleichungssystem auf grascheWeise:
x + y = 5
x − y = −1
Schnittpunkt: (2, 3) =⇒ Lösung ist: x = 2 und y = 3
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Beispiel: Angebot und Nachfrage
Nachfrage (D = Demand) nach einem Gut ist eine Funktion des Preises, meistfallend mit wachsendem Preis.Angebot (S = Supply) der Produzenten ist ebenfalls eine Funktion des Preises,den sie erzielen können, meist steigend mit wachsendem Preis.
Im Schnittpunkt: Gleichgewicht.Preis P∗: GleichgewichtspreisMenge Q∗: GleichgewichtsmengeDer Gleichgewichtspreis ist derjenigePreis, bei dem die Konsumenten dieselbeMenge kaufen, wie die Produzenten beidiesem Preis anbieten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 137 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Beispiel: Lineare Angebots- und Nachfragefunktion
D = 100− P S = 10 + 2P
Im Gleichgewicht gilt D = S :
100− P = 10 + 2P =⇒ P = 30
Gleichgewichtspreis P∗ = 30Gleichgewichtsmenge Q∗ = 70
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 138 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Beispiel: Lineare Angebots- und Nachfragefunktion
D = a− bP S = α + βP
a und b sind positive Parameter der Nachfragefunktion
α und β sind positive Parameter der Angebotsfunktion
Beim Gleichgewichtspreis P∗
a− bP∗ = α + βP∗
P∗ =a− αβ + b
Q∗ =aβ − αbβ + b
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 139 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Potenzfunktionen
Eine Funktion der Form f (x) = xn, n ∈ Z, mit x 6= 0 falls n < 0, heisstPotenzfunktion n-ten Grades.
Das Aussehen des Graphen unterscheide sich je nach dem Wert von n, wobei gilt
f (1) = 1n = 1
d.h. alle Graphen gehen durch den Punkt (1, 1).
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Graphen von Potenzfunktionen 1/4
f (x) = xn mit n = 2m, (m ∈ N)Df = R Wf = [0,+∞)Nullstelle: x0 = 0gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1, 1) , (0, 0) , (1, 1)Beispiele:
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 141 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Graphen von Potenzfunktionen 2/4
f (x) = xn mit n = 2m + 1, (m ∈ N)Df = R Wf = RNullstelle: x0 = 0gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1,−1) , (0, 0) , (1, 1)Beispiele:
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 142 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Graphen von Potenzfunktionen 3/4
f (x) = xn mit n = −2m, (m ∈ N)Df = R \0 Wf = (0,+∞)Nullstelle: keinegemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1, 1) , (1, 1)Beispiel: f (x) = 1
x2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 143 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Graphen von Potenzfunktionen 4/4
f (x) = xn mit n = − (2m + 1) , (m ∈ N)Df = R \0 Wf = R \0Nullstelle: keinegemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (−1,−1) , (0, 0) , (1, 1)Beispiel: f (x) = 1
x
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 144 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Wurzelfunktionen
f (x) = xn mit n = pq, (p, q ∈ N, p 6= q)
Df = [0,+∞) Wf = [0,+∞)Nullstelle: x0 = 0gemeinsame Punkte aller Funktionsgraphen: (0, 0) , (1, 1)Beispiel: f (x) =
√x
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 145 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Zusammenfassung: Graphen von Potenzfunktionen
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Exponentialfunktionen
Eine Grösse, die pro Zeiteinheit, um einen festen Faktor a wächst (fällt), wirdexponentiell wachsend (fallend) genannt.
f (t) = Aat (a und A positive Konstanten)
f (t + 1) = Aat+1 = Aata1 = af (t)
d.h. falls a > 1, ist f wachsend, falls 0 < a < 1, ist f fallend.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Unterschied zwischen Potenz- und Exponentialfunktionen
Exponentialfunktion: f (x) = ax
Exponent variiertBasis konstant
Potenzfunktion: g (x) = xa
Exponent konstantBasis variiert
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Beispiel: Bevölkerungswachstum in Europa
Lineare Funktion: P = 6, 4t + 641, wobei P die Grösse der Population inMillionen (1960: t = 0, P = 641; 1970: t = 10, P = 705)
Annahme: jährliches Wachstum konstant: 6,4 Millionen.
Nach Schätzungen der UN wächst die Bevölkerung Europas jährlich um ca. 0,72%im Zeitraum von 1960-2000.
1960: 641 1961: 641 · 1, 0072 ≈ 645 1962: 641 · (1, 0072)2 ≈ 650
P (t) = 641 · (1, 0072)t
Damit ergibt sich als Schätzung für das Jahr 2000: 641 · (1, 0072)40 ≈ 854
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Bevölkerungswachstum in Zimbabwe
In den 70er und 80er Jahren betrug das Bevölkerungswachstum in Zimbabwe ca.3,5% jährlich.
1969: t = 0, P = 5, 1 Millionen. Nach t Jahren ergibt sich:
P (t) = 5, 1 · (1, 035)t
Nach wievielen Jahren verdoppelt sich die Bevölkerung bei einem jährlichenBevölkerungswachstum von 3,5%?
Allgemein: Die Verdopplungszeit t∗ ist die Zeit bis zur Verdopplung desFunktionswertes:
f (0) = A f (t∗) = Aat∗
= 2A ⇐⇒ at∗
= 2 ⇐⇒ t∗ =ln 2ln a
Im Beispiel:
P (t) = (1, 035)t = 2 =⇒ t∗ =ln 2
ln 1, 035= 20, 15
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Die natürliche Exponentialfunktion
Die Exponentialfunktion zur Basis e heisst die natürliche Exponentialfunktion.
f (x) = ex
Man schreibt auch: exp (x) statt ex .
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Die natürliche Logarithmusfunktion
Eigenschaften:
f (1) = 0
f (x) < 0 falls 0 < x < 1 f (x) > 0 falls x > 1
f (x)→ −∞ falls x → 0 f (x)→ +∞ falls x →∞
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Abschnittsweise denierte Funktionen: Beispiel 1
Eine Funktion kann in mehreren Teilabschnitten durch separate Formeln deniertsein:
f (x) =
−x für x ≤ 0
x2 für 0 < x ≤ 1
1.5 für x > 1
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Abschnittsweise denierte Funktionen: Beispiel 2
Beispiel: US-Bundeseinkommenssteuer
Grenzsteuersatz in % =
10 für E ≤ 7150$
15 für 7151$ ≤ E ≤ 29050$
25 für 29051 ≤ E ≤ 70350$
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Einführung
Eigenschaften von Funktionen
Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Verschieben von Graphen
Neue Funktionen aus Alten
Inverse Funktionen
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Motivation
Die Aufnahme der Produktion eines neuen grossen Ölfeldes wirkt sich auf dieAngebotskurve für Öl und somit auf das Preisgleichgewicht aus.
Eine neue Technologie in der Produktion eines Gutes bewirkt eine Veränderungder Produktionsfunktion.
Wie steht der Graph der Funktion f (x) in Beziehung zu den Graphen derFunktionen
f (x) + c f (x + c)
cf (x) f (−x) ?
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Verschiebung des Graphen von y = f (x)
Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = f (x) + c, wird der Graph um c
Einheiten nach oben verschoben, wenn c > 0 (nach unten, wenn c < 0).
Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = f (x + c), wird der Graph um c
Einheiten nach links verschoben, wenn c > 0 (nach rechts, wenn c < 0).
Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = cf (x) wird der Graph vertikalgestreckt, wenn c > 0 (vertikal gestreckt und an der x-Achse gespiegelt,wenn c < 0).
Wenn y = f (x) ersetzt wird durch y = f (−x), wird der Graph an dery-Achse gespiegelt.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Beispiel 1: y =√x 1/3
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Beispiel 1: y =√x 2/3
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Beispiel 1: y =√x 3/3
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Verschieben von Graphen
Beispiel 2: Angebot und Nachfrage
D = 100− P S = 10 + 2P
Gleichgewicht: P∗ = 30, Q∗ = 70
Verschiebung der Angebotsfunktion: S = 16 + 2P = 10 + 2P + 6
neues Gleichgewicht: P∗ = 28, Q∗ = 72
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Einführung
Eigenschaften von Funktionen
Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Verschieben von Graphen
Neue Funktionen aus Alten
Inverse Funktionen
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Neue Funktionen aus Alten
Seien f und g Funktionen deniert in einer Menge A von reellen Zahlen.Summe von f und g:
h (x) = f (x) + g (x)
Dierenz von f und g:
h (x) = f (x)− g (x)
Produkt von f und g:
h (x) = f (x) · g (x)
Quotient von f und g:
h (x) =f (x)
g (x)(g (x) 6= 0)
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Beispiel 1: Summen
Darstellung der männlichen und weiblichen Studierenden an einer Universität inden Jahren 1986-1997.Sei f (t) bzw. m (t) die Anzahl der weiblichen bzw. männlichen Studierenden imJahr t und n (t) die Gesamtanzahl der Studierenden.
n (t) = f (t) + m (t)
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Beispiel 2: Durchschnittskosten
Kosten zur Produktion von Q Einheiten eines Gutes seien C (Q)
Kosten pro Einheit: AC (Q) = C(Q)Q
DurchschnittskostenBeispiel:
Kostenfunktion: C (Q) = aQ3 + bQ2 + cQ + d
Durchschnitsskosten: AC (Q) = aQ2 + bQ + c + dQ
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Beispiel 3: Gewinnfunktion
R (Q) Einnahmen aus Produktion und Verkauf von Q Einheiten eines ProduktsGewinnfunktion: π (Q) = R (Q)− C (Q)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 166 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Verkettung von Funktionen
Wenn y eine Funktion von u und u eine Funktion von x , dann ist auch y eineFunktion von x . Dann ist y eine verkettete Funktion.
y = f (u) u = g (x)
y = f (u) = f (g (x))
Dabei wird f als äussere und g als innere Funktion bezeichnet.
(f g) (x) = f (g (x)) (g f ) (x) = g (f (x))
ACHTUNG: f g und g f sind gewöhnlich verschiedene Funktionen:
g (x) = 2− x2 f (u) = u3
(f g) (x) =(2− x2
)3(g f ) (x) = 2−
(x3)2
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Neue Funktionen aus Alten
Beispiel: Nachfragefunktion
Nachfrage nach einem Gut ist eine Funktion x des Preises p
x = x (p)
Der Preis hänge von der Zeit t ab, d.h. p ist eine Funktion von t
p = p (t)
Dann ist auch x eine Funktion der Zeit t
x = x (p (t))
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen
Einführung
Eigenschaften von Funktionen
Elementare Funktionen und ihre Eigenschaften
Verschieben von Graphen
Neue Funktionen aus Alten
Inverse Funktionen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 169 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Beispiel: Nachfrage als Funktion des Preises
Die Nachfrage D nach einem Gut ist eine Funktion des Preises
Beispiel:
D =30
P13
P = 27 =⇒ D = 10
D ist eine Funktion von P: D = f (P) f (P) = 30
P13
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Beispiel: Preis als Funktion des Angebots
Für den Produzenten ist der Output variabel. Er interessiert sich für den Preis, dener in Abhängigkeit von der produzierten Menge erzielen kann, d.h. er interessiertsich für die inverse Funktion, Preis als Funktion der angebotenen Menge.
Im Beispiel:
D = 30
P13nach P auösen:
P =27000D3
D = 10 =⇒ P = 27
Jetzt ist P eine Funktion g (D) von D mit g (D) = 27000D3
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 171 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Zusammenhang zwischen Preis und Nachfrage
Die Nachfrage D nach einem Gut ist eine Funktion des Preises
Nachfrage als Funktion des Preises Preis als Funktion der Nachfrage
Die beiden Variablen D und P stehen in einer derartigen Beziehung zueinander,dass jede als Funktion der anderen Variablen betrachtet werden kann.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 172 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Inverse Funktion: Preis als Funktion der Nachfrage
Die beiden Funktionen
f (P) = 30P−13 und g (D) = 27000D−3
sind Inverse von einander, d.h. f ist die Inverse von g und g ist die Inverse von f .
Die beiden Funktionen f und g enthalten genau die gleichen Informationen, z.B.die Aussage, dass die Nachfrage 10 ist beim Preis 27 kann mit f oder gausgedrückt werden
f (27) = 10 und g (10) = 27
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Umkehrbar eindeutige Funktionen 1/2
Sei f eine Funktion mit Denitionsbereich Df = A. Der Wertebereich von f ist dannWf = f (x) : x ∈ A = f (A).Die Funktion f ist eins zu eins oder umkehrbar eindeutig in A, wenn f niemals denselbenWert für zwei verschiedene Punkte in A annimmt.
Äquivalente Aussagen:
Für jedes y ∈ Rf gibt es genau ein x ∈ A, so dass y = f (x) gilt.
f ist eine umkehrbar eindeutige Funktion in A, wenn aus x1 6= x2 immer folgt:f (x1) 6= f (x2).
Wenn eine Funktion in ganz A streng monoton steigend oder streng monoton fallend ist,so ist sie umkehrbar eindeutig.
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Umkehrbar eindeutige Funktionen 2/2
Umkehrbar eindeutig nicht umkehrbar eindeutig
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Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Denition Inverse
Sei f eine Funktion mit Denitionsbereich A und Wertebereich B. Die Funktion fhat genau dann eine inverse Funktion g mit Denitionsbereich B undWertebereich A, wenn f umkehrbar eindeutig ist.
Die Funktion g ist durch die folgende Regel deniert: Für jedes y ∈ B ist g (y)diejenige Zahl x in A, für die
f (x) = y
g (y) = x ⇐⇒ y = f (x) (x ∈ A, y ∈ B)
Notation: Die Inverse zu f wird häug mit f −1 bezeichnet. Dies darf nicht mitdem Kehrwert einer Zahl verwechselt werden!
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 176 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Beispiele
Die Graphen zueinander inverser Funktion sind Spiegelbilder voneinander an derGeraden y = x .
Häug schreibt man beide Funktionen als Funktion derselben Variablen.
ACHTUNG: In den Wirtschaftswissenschaften verbergen sichhinter den Variablen ökonomische Grössen, die nicht ohneweiteres vertauscht werden können!Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 177 / 516
Funktionen mit einer unabhängigen Variablen Inverse Funktionen
Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktion
Die Umkehrfunktion der natürlichen Exponentialfunktion y = ex
Logarithmusfunktion x = ln y .
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Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel
Dierentialrechnung
Ein ökonomisches Beispiel
Die erste Ableitung einer Funktion
Dierenzierungsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Implizites Dierenzieren
Approximationen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 179 / 516
Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel
Ein ökonomisches Beispiel
Ein Unternehmen produziert ein Gut mit Gesamtkosten K , welche von derProduktionsmenge x abhängig sind. Die Kostenfunktion K = K (x) beschreibt dieBeziehung zwischen K und x . Wie verändern sich die Kosten, wenn sich dieMenge ändert?
Allgemein: Ändert sich die Menge von x0 um 4x auf x0 +4x , dann verändernsich die Kosten von K (x0) auf K (x0 +4x), d.h. die Kosten ändern sich umK (x0 +4x)− K (x0) = 4K
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 180 / 516
Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel
Beispiel: K (x) = 10√x + 100
x K (x) = 10√x + 100
0 1001 1102 114,143 117,324 1209 13016 14025 15049 17064 180
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 181 / 516
Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel
Beispiel: Kostenveränderung
Die Kostenveränderung 4K hängt nicht nur von der Veränderung der Menge 4x ,sondern auch von der ursprünglichen Menge ab.
x K (x) = 10√x + 100
0 1001 1102 114,143 117,324 1209 13016 14025 15049 17064 180
Veränderungvon auf um 4x = 1x = 1 x = 2 → 4K = 4, 14x = 2 x = 3 → 4K = 3, 18
Veränderungvon auf um 4x = 15x = 1 x = 16 → 4K = 30x = 49 x = 64 → 4K = 10
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 182 / 516
Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel
Kosten einer zusätzlichen Einheit
Anfangsmenge Steigung auf 4x 4K 4K4x
1 2 1 4,14 4,14
1 3 2 7,32 3,66
1 4 3 10 3,33
1 9 8 20 2,5
1 16 15 30 2
1 64 63 70 1,11
0 9 9 30 3,33
16 25 9 10 1,11
49 64 15 10 0,67
Kosten einer zusätzlichen Einheit:4K4x =
K (x +4x)− K (x)
4xDer Dierenzbetrag 4K
4xzeigt den durchschnittlichen Anstieg der Kostenfunktion im
Verhältnis zur Veränderung von x .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 183 / 516
Dierentialrechnung Ein ökonomisches Beispiel
Grenzkosten
Die Kosten einer zusätzlichen Einheit, un-abhängig von der Grösse der Produk-tionsveränderung ndet sich für 4x → 0.Der Grenzwert
lim4x→0
4K4x
=dK
dx
beschreibt die Beziehung zwischen derÄnderung der Kosten und der unendlichkleinen Mengenänderung im Punkt x .
Dieser Grenzwert wird in der Wirtschaftstheorie als Grenzkosten bezeichnet undentspricht der Steigung der Tangente an die Kostenfunktion an der Stelle x .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 184 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Dierentialrechnung
Ein ökonomisches Beispiel
Die erste Ableitung einer Funktion
Dierenzierungsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Implizites Dierenzieren
Approximationen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 185 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Steigung einer beliebigen Funktion
Die Steigung (Steilheit) der Kurve in einem bestimmten Punkt P wird durch dieSteigung der Tangente in P deniert.
Der Punkt P hat die Koordinaten P = (x0, f (x0)).Die Steigung der Tangente im Punkt P heisst Ableitung von f an der Stelle x0 undwird mit f ′ (x0) bezeichnet.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 186 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Beispiel: Steigung einer Funktion
P = (1; 2) weiterer Punkt: (0; 1) Steigung ist 1, d.h. f ′ (1) = 1Q = (4; 3) Tangente wagerecht f ′ (4) = 0R = (7; 2, 5) weiterer Punkt: (8; 2) Steigung ist − 1
2 , d.h. f′ (7) = − 1
2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 187 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Tangente und Sekante
Sei P ein Punkt auf der Kurve und Q ein weiterer Punkt auf der Kurve. DieGerade durch P und Q heisst Sekante.
Hält man P fest und bewegt Q auf P zu, dann dreht sich die Sekante um P undgeht im Grenzfall in die Tangente über.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 188 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Denition der Ableitung
P und Q sind Punkte auf dem Graphen von f ,nahe bei einander
P = (x0, f (x0)) Q = (x0 +4x , f (x0 +4x))
Steigung der Sekante (Dierenzen- oder Newton-Quotient):
mPQ =f (x0 +4x)− f (x0)
4xmit 4x 6= 0
Für Q gegen P geht 4x gegen 0 und die Sekante gegen die Tangente in P.Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 ist gegeben durch:
f ′ (x0) = lim4x→0
f (x0 +4x)− f (x0)
4x
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 189 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Gleichung der Tangente
Die Ableitung der Funktion f an der Stelle x0 ist:
f ′ (x0) = lim4x→0
f (x0 +4x)− f (x0)
4x
Aus der Punkt-Steigungsformel der Geraden folgt: Die Gleichung der Tangente anden Graphen y = f (x) im Punkt (x0, f (x0)) ist gegeben durch:
y = f (x0) = f ′ (x0) (x − x0)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 190 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Notation
Statt f ′ (x) auch:
dy
dxoder
df (x)
dxoder
d
dxf (x)
Beispiel: y = x2
dy
dx= 2x oder
df (x)
dx= 2x oder
d
dx
(x2)
= 2x
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 191 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Beispiel 1: Änderungsrate einer Population
Sei N (t) die Anzahl der Individuen in einer Population zur Zeit t.
Durchschnittliche Änderungsrate:
[N (t +4t)− N (t)]
4t
Momentane Änderungsrate zur Zeit t:
dN
dt
Bevölkerung in Europa zur Zeit t: P = 6, 4t + 641Die Änderungsrate ist dP
dt= 6, 4 Millionen pro Jahr.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 192 / 516
Dierentialrechnung Die erste Ableitung einer Funktion
Beispiel 2: Grenzkosten, Grenzertrag, Grenzgewinn
C (x) = Kosten für die Herstellung von x Einheiten
R (x) = Ertrag (Einnahmen) aus dem Verkauf von x Einheiten
π (x) = R (x)− C (x) Gewinn
C ′ (x) = Grenzkosten (marginal cost)
R ′ (x) = Grenzertrag (marginal revenue)
π′ (x) = Grenzgewinn (marginal prot)
Ökonomen benutzen das Wort GRENZ, um die Ableitung kenntlich zu machen.
Beispiel: Grenzprodukt der Arbeit (Ableitung der Produktionsfunktion nachArbeitsinput)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 193 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Dierentialrechnung
Ein ökonomisches Beispiel
Die erste Ableitung einer Funktion
Dierenzierungsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Implizites Dierenzieren
Approximationen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 194 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Ableitungen mit Konstanten
y = f (x) = A =⇒ y ′ = f ′ (x) = 0y = A + f (x) =⇒ y ′ = f ′ (x)y = A · f (x) =⇒ y ′ = A · f ′ (x)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 195 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Die erste Ableitung häuger Funktionen
Potenzregel:
f (x) = xn =⇒ df
dx= nxn−1
f (x) =1xn
= x−n =⇒ df
dx= −nx−(n−1) = − n
xn−1
f (x) =√x = x
12 =⇒ df
dx=
12x−
12 =
12√x
Spezielle Funktionen:
f (x) = ex =⇒ df
dx= ex
f (x) = ln x =⇒ df
dx=
1x
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 196 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Summen und Dierenzen
Wenn f und g beide in x dierenzierbar sind, dann sind die Summe f + g und dieDierenz f − g auch dierenzierbar in x und es gilt:
h (x) = f (x) g (x) =⇒ h′ (x) = f ′ (x)± g ′ (x)
oderdh
dx=
df
dx± dg
dx
Beispiel:
Gewinnfunktion: π (x) = R (x)− C (x)
Grenzgewinn: dπdx
= dRdx− dC
dxdπdx
= 0, wenn dRdx
= dCdx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 197 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Produktregel
Wenn f und g beide in x dierenzierbar sind, dann ist auch h (x) = f · gdierenzierbar in x und es gilt:
h (x) = f (x) · g (x) =⇒ h′ (x) = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x)
oderdh
dx=
df
dxg (x)± f (x)
dg
dx
Beispiel:
Sei D (P)die nachgefragte Menge, wenn der Hersteller das Produkt zum Preis Pverkauft.Der Ertrag ist dann
R (P) = P · D (P)
Der Grenzertrag ist dann
R ′ (P) = D (P) + PD ′ (P)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 198 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Quotientenregel
Wenn f und g in x dierenzierbar und g (x) 6= 0 ist, dann ist auch h (x) = f (x)g(x)
dierenzierbar in x und es gilt:
h (x) =f (x)
g (x)=⇒ h′ (x) =
f ′ (x) g (x)− f (x) g ′ (x)
(g (x))2
oderdh
dx=
dfdxg (x)− f (x) dg
dx
(g (x))2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 199 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Verkettete Funktionen
Sei y eine Funktion von u und u eine Funktion von x . Dann ist y eine verketteteFunktion von x . D.h. wenn sich x ändert, ändert sich u und daher auch y , alsoeine Kettenreaktion.
Wenn y eine dierenzierbare Funktion von u und u wiederum eine dierenzierbareFunktion von x ist, dann ist auch y eine dierenzierbare Funktion von x und esgilt die Kettenregel:
dy
dx=
dy
du· dudx
Wichtiger Spezialfall: y = ur und u = g (x)Dann gilt nach der Kettenregel:
y ′ = rur−1u′
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 200 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Beispiel: Nachfragefunktion
Nachfrage x nach einem Gut hängt vom Preis p ab. Der Preis hängt von der Zeitt ab. Dann ist x eine verkettete Funktion von t.Nach der Kettenregel gilt:
dx
dt=
dx
dp· dpdt
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 201 / 516
Dierentialrechnung Dierenzierungsregeln
Logarithmisches Dierenzieren
Bestimmen Sie die Ableitung von y = xx (x > 0).
Potenzregel für y = xa nicht anwendbar, da der Exponent eine Konstantesein muss.
Regel für die allgemeine Exponentialfunktion y = ax nicht anwendbar, da dieBasis eine Konstante sein muss.
Vorgehen:
Beide Seiten logarithmieren: ln y = ln xx = x ln x
Beide Seiten nach x dierenzieren:1y· dydx
= 1 · ln x + x · 1x
= ln x + 1
Gleichung auösen:dy
dx= y (ln x + 1) = xx (ln x + 1)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 202 / 516
Dierentialrechnung Ableitungen höherer Ordnung
Dierentialrechnung
Ein ökonomisches Beispiel
Die erste Ableitung einer Funktion
Dierenzierungsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Implizites Dierenzieren
Approximationen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 203 / 516
Dierentialrechnung Ableitungen höherer Ordnung
Zweite Ableitung
Die Ableitung einer Funktion f heisst auch erste Ableitung.
Wenn f ′ dierenzierbar ist können wir
(f ′)′
=: f ′′
bilden, die zweite Ableitung von f .
f ′′ (x) ist die zweite Ableitung von f , berechnet an der Stelle x .
Notation für die zweite Ableitung:
f ′′ (x) =d2f (x)
dx2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 204 / 516
Dierentialrechnung Ableitungen höherer Ordnung
Ableitungen n-ter Ordnung
Wenn y = f (x), so heisst die Ableitung von y ′′ = f ′′ (x) dritte Ableitung:
y ′′′ = f ′′′ (x)
n-te Ableitung von f in x :
y (n) = f (n) (x) =dnf
dxn
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 205 / 516
Dierentialrechnung Implizites Dierenzieren
Dierentialrechnung
Ein ökonomisches Beispiel
Die erste Ableitung einer Funktion
Dierenzierungsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Implizites Dierenzieren
Approximationen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 206 / 516
Dierentialrechnung Implizites Dierenzieren
Methode des impliziten Dierenzierens
Wenn zwei Variablen x und y über eine Gleichung in Beziehung stehen, erhältman y ′, indem man
1. Beide Seiten der Gleichung nach x dierenziert, dabei y als Funktion von x
betrachtet (Gewöhnlich braucht man dabei die Kettenregel)
2. Die resultierende Gleichung nach y ′ auöst.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 207 / 516
Dierentialrechnung Implizites Dierenzieren
Beispiel: Angebot und Nachfrage mit Verbrauchersteuer
Nachfrage: D = a− b (P + t) Angebot: S = α + βPmit t = Verbrauchersteuer, a, b, α, β positive KonstantenGleichgewichtspreis:
a− b (P + t) = α + βP
Gleichung deniert den Preis P implizit als Funktion des Steuersatzes t.
Bestimmen von dPdt:
−b(dP
dt+ 1
)= β
dP
dt
dP
dt=−bb + β
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 208 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Dierentialrechnung
Ein ökonomisches Beispiel
Die erste Ableitung einer Funktion
Dierenzierungsregeln
Ableitungen höherer Ordnung
Implizites Dierenzieren
Approximationen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 209 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Motivation
Wir können komplizierte Funktionen vermeiden, wenn wir sie durch einfachereApproximationen annähern.
Lineare Funktionen sind einfach!
Die Tangente ist eine lineare Funktion, d.h. f kann in der Nähe von x = x0durch die Tangente in x = x0 approximiert werden.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 210 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Denition der linearen Approximation
Sei f (x) dierenzierbar in x = x0.
Tangente an den Graphen in (x , f (x0)) hat die Gleichung
y = f (x0) + f ′ (x0) (x − x0)
Die lineare Approximation von f um x = x0 ist
f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) (x in der Nähe von x0)
Wenn p (x) die lineare Funktion f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) von x ist, dann haben f
und p denselben Funktionswert und dieselbe Ableitung in x = x0.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 211 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Das Dierential einer Funktion
Die Funktion f (x) sei dierenzierbar.
dx sei eine beliebige Änderung in der Variable x
Dann ist das Dierential von y = f (x) deniert durch:
dy = f ′ (x) dx
dy = df ist proportional zu dx mit Proportionalitätsfaktor f ′ (x).Wenn x sich um dx ändert, ist die Änderung in y = f (x) gleich:
4y = f (x + dx)− f (x)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 212 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Das Dierential und die tatsächliche Funktionswertänderung 1/2
Lineare Approximation von f um x = x0:
f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) (x in der Nähe von x0)
Ersetze x durch x + dx und x0 durch x , dann ist:
f (x + dx) ≈ f (x) + f ′ (x) (dx)⇐⇒
f (x + dx)− f (x)︸ ︷︷ ︸ ≈ f ′ (x) (dx)︸ ︷︷ ︸4y dy
4y ≈ dy = f ′ (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 213 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Das Dierential und die tatsächliche Funktionswertänderung 2/2
Das Dierential ist nicht der tatsächliche Zuwachs in y , wenn x sich von x
auf x + dx ändert.
Das Dierential ist der Zuwachs in y , der eintreten würde, wenn y sich mitder konstanten Rate f ′ (x) ändern würde, wenn x sich von x auf x + dx
ändert.
Die Approximation 4y ≈ dy ist umso besser, je kleiner dx ist.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 214 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Quadratische Approximationen 1/2
Lineare Approximationen können ungenau sein, daher verwendet man quadratischeApproximationen oder Approximationen durch Polynome höherer Ordnung:
f (x) ≈ p (x) = A + B (x − x0) + C (x − x0)2
Es sind drei Koezienten A,B und C zu bestimmen. Drei Bedingungen für dasPolynom: An der Stelle x = x0 sollen f (x) und p (x)
denselben Funktionswert
dieselbe Ableitung und
dieselbe zweite Ableitung haben.
f (x0) = p (x0) f ′ (x0) = p′ (x0) f ′′ (x0) = p′′ (x0)
Es gilt:
p′ (x) = B + 2C (x − x0)
p′′ (x) = 2C
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Dierentialrechnung Approximationen
Quadratische Approximationen 2/2
Setze1 x = x0 in p (x) = A + B (x − x0) + C (x − x0)2 =⇒ A = p (x)
2 x = x0 in p′ (x) = B + 2C (x − x0) =⇒ B = p′ (x)
3 x = x0 in p′′ (x) = 2C =⇒ C = 12p′′ (x)
Die quadratische Approximation von f (x)um x = x0 ist
f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0) +12f ′′ (x0) (x − x0)2
für x in der Nähe von x0.
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Dierentialrechnung Approximationen
Lineare und quadratische Approximation
Lineare Approximation
f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0)
Quadratische Approximation:
f (x) ≈ f (x0) + f ′ (x0) (x − x0)︸ ︷︷ ︸ +12f ′′ (x0) (x − x0)2︸ ︷︷ ︸
Lineare Approximation Neuer Term
Spezialfall x0 = 0:
f (x) ≈ f (0) + f ′ (0) x +12f ′′ (0) x2
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Dierentialrechnung Approximationen
Approximationen höherer Ordnung
Noch bessere (als lineare und quadratische) Approximation durch ein Polynomn-ten Grades der Gestalt
p (x) = A0 + A1 (x − x0) + A2 (x − x0)2 + A3 (x − x0)3 + ...+ An (x − x0)n
Es gibt jetzt n + 1 Koezienten und n + 1 Bedingungen:
f (x0) = p (x0) f ′ (x0) = p′ (x0) ... f (n) (x0) = p(n) (x0)
Dies führt zur Approximation von f (x)um x = x0
f (x) ≈ f (x0) +f ′ (x0)
1!(x − x0) +
f ′′ (x0)
2!(x − x0)2 + ...+
f (n) (x0)
n!(x − x0)n
Das Polynom auf der rechten Seite heisst das Taylor-Polynom n-ter Ordnung oderdie Taylor-Approximation für f um x = x0.
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Dierentialrechnung Approximationen
Fehler bei der Approximation
Approximation von f (x) um x = 0 durch Taylor-Polynom n-ter Ordnung:
f (x) ≈ f (0) +f ′ (0)
1!x +
f ′′ (0)
2!x2 + ...+
f (n) (0)
n!xn
Der Nutzen solcher Approximationen ist begrenzt, wenn nichts über den Fehlerbekannt ist!
Dierenz zwischen f (x) und Taylor-Polynom heisst Restglied. Das Restglied istabhängig von x und n und wird bezeichnet mit
Rn+1 (x)
f (x)!
= f (0) +f ′ (0)
1!x +
f ′′ (0)
2!x2 + ...+
f (n) (0)
n!xn + Rn+1 (x)
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Dierentialrechnung Approximationen
Lagrange'sche Form des Restgliedes
Die Funktion f sei in einem Intervall, dass 0 und x enthält, n + 1-maldierenzierbar. Dann gilt für das Restglied:
Rn+1 (x) =1
(n + 1)!f (n+1) (c) xn+1
für eine Zahl c zwischen 0 und x .
Taylor-Formel:
f (x)!
= f (0) +f ′ (0)
1!x +
f ′′ (0)
2!x2 + ...+
f (n) (0)
n!xn +
1(n + 1)!
f (n+1) (c) xn+1
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 220 / 516
Dierentialrechnung Approximationen
Restglied bei linearer Approximation
lineare Approximation: n=1
R2 (x) =12!f ′′ (c) x2
f (x) = f (0) +f ′ (0)
1!x +
12!f ′′ (c) x2
R2 (x) =12!f ′′ (c) x2 ist der Fehler, den wir machen, wenn wir f (x) durch die
Taylor-Approximation f (0) +f ′ (0)
1!x ersetzen.
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Dierentialrechnung Approximationen
Anwendung des Restgliedes
Wenn für alle x in einem Intervall I :∣∣f (n+1) (x)
∣∣ ≤ M, so folgt:
|Rn+1 (x)| ≤ M
(n + 1)!|x |n+1
Das Restglied ermöglicht eine Abschätzung der oberen Grenze des resultierendenFehlers, wenn f durch das Taylor-Polynom ersetzt wird.Das Restglied wird klein, wenn n gross und x nahe bei 0.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 222 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung
Extremwerte und Monotonie
Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Mehr über Grenzwerte
Elastizitäten
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 223 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Monotonie dierenzierbarer Funktionen
Erinnerung: f ′ (x0) ist die Steigung der Tangente an die Kurve y = f (x) imPunkt (x0, f (x0)).
Dann gilt für die Monotonie dierenzierbarer Funktionen in einem Intervall I :
f ′ (x0) ≥ 0 für alle x ∈ I ⇐⇒ f ist monoton wachsend in I .
f ′ (x0) ≤ 0 für alle x ∈ I ⇐⇒ f ist monoton fallend in I .
f ′ (x0) = 0 für alle x ∈ I ⇐⇒ f ist monoton konstant in I .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 224 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Extrempunkte und Extremwerte
Maximumpunkt = Stelle, wo der maximale Wert angenommen wird
Minimumpunkt = Stelle, wo der minimale Wert angenommen wird
Extrempunkt = Maximum- oder Minimumpunkt
Optimalpunkt = Extrempunkt
Wenn f (x) den Denitionsbereich Df hat, so ist
c ∈ Df ein Maximumpunkt für f ⇐⇒ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ Df , f (c)heisst dann Maximalwert.
c ∈ Df ein Minimumpunkt für f ⇐⇒ f (x) ≥ f (c) für alle x ∈ Df , f (c)heisst dann Minimalwert.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 225 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Stationäre Punkte
Wenn f eine dierenzierbare Funktion ist, die ein Maximum oder Minimum ineinem inneren Punkt c ihres Denitionsbereiches hat, dann ist die Tangente in c
horizontal, d.h.
f ′ (c) = 0
Punkte c mit f ′ (c) = 0 heissen stationäre Punkte für f .
Notwendige Bedingung erster Ordnung:Die Funktion f sei dierenzierbar im Intervall I und c sei ein innerer Punkt von I .Eine notwendige Bedingung für einen Maximum- oder Minimumpunkt an derStelle c ist, dass c ein stationärer Punkt für f ist, d.h. x = c erfüllt die Gleichung
f ′ (x) = 0 (Bedingung erster Ordnung)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 226 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Geometrische Beispiele für Extrempunkte
Stationäre Punkte c und d :
Maximumpunkt an derStelle c
Minimumpunkt an der Stelle
d
Keine stationären Punkte
Maximum im Endpunkt b
Minimum in d (nicht
dierenzierbar in d)
Stationäre Punkte: x0, x1, x2
Minimum im Anfangspunkta
Kein Maximum, daf (x)→∞, wenn x → b
In x0 lokales Maximum
In x1 lokales Minimum
In x2 weder lokales
Maximum noch Minimum
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 227 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Globale Extrempunkte
Achtung: Im Moment Suche nach globalen Extrempunkten, d.h. das Maximum(Minimum) über alle
x ∈ Df
Später: lokale Extrempunkte.
x0 ist lokaler Maximumpunkt, f nimmt inDf noch grössere Werte an
x1 ist lokaler Minimumpunkt, f nimmt inDf noch kleinere Werte an
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 228 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Verhalten der Steigung vor und nach Extrempunkten
Die Kurve steigt vor dem Maximum, d.h.f ′ (x) ≥ 0.
Die Kurve fällt nach dem Maximum, d.h.f ′ (x) ≤ 0.
Die Ableitung wechselt an der Stelle c das
Vorzeichen von + auf -.
Die Kurve fällt vor dem Minimum, d.h.f ′ (x) ≤ 0.
Die Kurve steigt nach dem Minimum, d.h.f ′ (x) ≥ 0.
Die Ableitung wechselt an der Stelle c das
Vorzeichen von - auf +.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 229 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Test der ersten Ableitung auf Minima und Maxima
Die Funktion f (x) sei dierenzierbar in einem Intervall I und habe einenstationären Punkt c ∈ I , d.h.
f ′ (c) = 0
Wenn f ′ (x) ≥ 0 für alle x ≤ c und f ′ (x) ≤ 0 für alle x ≥ c, dann ist x = c einMaximumpunkt für f .
Wenn f ′ (x) ≤ 0 für alle x ≤ c und f ′ (x) ≥ 0 für alle x ≥ c, dann ist x = c einMinimumpunkt für f .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 230 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Ökonomisches Beispiel 1
Es werden Y (N) Scheel Weizen pro Hektar geerntet, wenn N Pfund Dünger proHektar verwendet werden. Wenn P = Preis in Dollar für ein Scheel Weizen undq = Preis in Dollar für ein Pfund Dünger, dann ist der Gewinn pro Hektar:
π (N) = PY (N)− qN, N ≥ 0
Es gebe ein N∗ mit π′ (N) ≥ 0 für N ≤ N∗ und π′ (N) ≤ 0 für N ≥ N∗. Dannmaximiert N∗den Gewinn und π′ (N∗) = 0 , d.h. PY ′ (N∗)− q = 0, d.h.
PY ′ (N∗) = q
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 231 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Ökonomisches Beispiel 1
Was gewinnen wir, wenn wir N∗ um eine Einheit erhöhen?Wir ernten dann Y (N∗ + 1)− Y (N∗) ≈ Y ′ (N) Einheiten mehr.Für jede Einheit gibt es P Dollar, d.h. wir gewinnen
≈ PY ′ (N) Dollar
Wir verlieren jedoch die Kosten für 1 Pfund Dünger, d.h.
q Dollar
Um den Gewinn zu maximieren, sollte man die Menge Dünger auf dasjenige Levelerhöhen, bei dem ein zusätzliches Pfund Dünger Gewinne und Verluste ausgleicht
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 232 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Ökonomisches Beispiel 1a
Welche Menge an Dünger maximiert den Gewinn fürY (N) =
√N, P = 10, q = 0, 5.
π (N) = PY (N)− qN
= 10N12 − 0, 5N
π′ (N) = 10
(12
)N−
12 − 0, 5
=5√N− 0, 5
π′ (N∗) = 0, wenn√N∗ = 10, d.h. wenn N∗ = 100
π′ (N∗) ≥ 0, wenn N ≤ 100 und π′ (N∗) ≤ 0, wenn N ≥ 100, d.h. das Vorzeichenwechselt von + auf -.N∗ = 100 maximiert den Gewinn.Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 233 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Ökonomisches Beispiel 1b
Studie von Iowa (1952): Ertragsfunktion Y (N) geschätzt:Y (N) = −13, 62 + 0.984N − 0, 05N1,5 P = 1.40, q = 0, 18.
Welche Menge an Dünger maximiert den Gewinn?
π (N) = 1, 4(−13, 62 + 0.984N − 0, 05N1,5)
− 0, 18N
= −19, 068 + 1, 1976N − 0, 07N1,5
π′ (N) = 1, 1976− 0, 07 · 1, 5N−0,5
= 1, 1976− 0, 105√N
π′ (N∗) = 0, wenn 0, 105√N∗ = 1, 1976 ⇐⇒
√N∗ = 1,1976
0,105≈ 11, 4, also wenn
N∗ ≈ 130Das Vorzeichen wechselt von + auf -, es liegt ein Maximum vor.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 234 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Extremwertsatz
Wichtige hinreichende Bedingung für die Existenz von Maximum und Minimum:
Sei f eine stetige Funktion auf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall[a, b]. Dann existiert ein Punkt d in [a, b] in dem f ein Minimum, und ein Punktc in [a, b] in dem f ein Maximum hat, so dass
f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ [a, b]
Andere Formulierung: Jede auf einem abgeschlossenen endlichen Intervall stetigeFunktion nimmt dort ihr Maximum und ihr Minimum an.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 235 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Wie ndet man Maxima und Minima? 1/2
Es sei bekannt, dass f ein Maximum und (oder) Minimum hat in einem endlichenIntervall I . Der Extrempunkt muss entweder im Innern oder am Ende des Intervallsauftreten.
Wenn innerhalb I und wenn f dierenzierbar, dann ist f ′ Null in diesem Punkt.Ein Extrempunkt ist auch möglich, wo f nicht dierenzierbar, d.h. Extrempunktekönnen in den folgenden drei Typen auftreten.
Innere Punkte von I mit f ′ (x) = 0.
Endpunkte von I , wenn sie dazu gehören.
Innere Punkte, in denen f ′ nicht existiert.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 236 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Wie ndet man Maxima und Minima? 2/2
Rezept zum Aunden von Extremwerten einer dierenzierbaren Funktion f , dieauf einem abgeschlossenen beschränkten Intervall [a, b] deniert ist:
1 Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f in (a, b), d.h. alle Punktex ∈ a, b mit f ′ (x) = 0.
2 Berechnen Sie die Funktionswerte von f in den Endpunkten a,b und in allenstationären Punkten.
3 Der Grösste der unter (2) bestimmten Funktionswerte ist das Maximum, derkleinste das Minimum.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 237 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Beispiel: Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 1/5
Ein Unternehmen stellt ein einzelnes Gut her. Gesamterlös aus Produktion undVerkauf von Q Einheiten sei R (Q), die Gesamtkosten seien C (Q).Der Gewinn ist dann π (Q) = R (Q)− C (Q). Es können maximal Q Einheitenproduziert werden.
R und C seien dierenzierbare Funktionen in[0, Q
], π (Q) ist dann dierenzierbar,
daher stetig und nimmt ein Maximum an. Dies kann in besonderen Fällen inQ = 0 oder Q = Q sein. Wenn nicht, dann Maximum in Q∗ mit π′ (Q∗) = 0, d.h.
R ′ (Q) = C ′ (Q)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 238 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Beispiel: Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 2/5
Annahme: Fixpreis P pro verkaufter Einheit. Dann ist R (Q) = PQ undR ′ (Q) = P.Daraus folgt:
P = C ′ (Q)
Um den Gewinn zu maximieren, sollten die Grenzkosten gleich dem Preis proEinheit sein.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 239 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Beispiel: Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 3/5
Das Unternehmen nehme einen Festpreis von 121 pro Einheit. Die Kostenfunktionsei C (Q) = 0, 02Q3 − 3Q2 + 175Q + 500. Die maximale Kapazität sei 110Einheiten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 240 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 4/5
Welche Produktionsmenge maximiert den Gewinn?
Es gilt: P = C ′ (Q)
Mit P = 121 und C (Q) = 0, 02Q3 − 3Q2 + 175Q + 500 folgt
121 = 0, 06Q2 − 6Q + 175
Die quadratische Gleichung hat die Lösungen Q = 10 und Q = 90.Kandidaten für einen Maximumpunkt: 0, 10, 90, 110
π (0) = −500 π (10) = −760 π (90) = 4360 π (110) = 3240
Der Gewinn wird bei einer Produktion von 90 Einheiten maximiert.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 241 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Gewinnmaximierung in einem Unternehmen 5/5
Welches ist der kleinste Preis, den ein Unternehmen berechnen muss, um keinenVerlust zu machen, wenn die Kapazität voll ausgeschöpft wird?
π (110) = 110P − C (110) = 110P − 10070
kein Verlust:
π (110) = 0 ⇐⇒ 110P = 10070 ⇐⇒ P =10070110
≈ 91, 55
P ≈ 91, 55 sind die Durchschnittskosten für die Herstellung von 110 Einheiten.Der Preis muss mindestens so gross sein, wie die Durchschnittskosten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 242 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Lokale Extrempunkte
Die Funktion f hat ein lokales Maxmimum (Minimum) an der Stelle c, wenn esein Intervall (α, β) um c herum gibt, so dass f (x) ≤ (≥) f (c) für alle x ∈ (α, β),für f deniert ist.
c1, c2 und b sind lokaleMaximumpunkte
a, d1 und d2 sind lokaleMinimumpunkte
b ist lokaler und globalerMaximumpunkt
d1 ist lokaler und globalerMinimumpunkte
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 243 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Anmerkungen
Mit der gegebenen Denition (es gibt andere in der Literatur) kann einEndpunkt des Intervalls lokaler Extrempunkt sein.
Damit ist ein globaler Extrempunkt immer auch ein lokaler Extrempunkt.
In einem lokalen Extrempunkt im Innern des Denitionsbereichs einerdierenzierbaren Funktion muss die erste Ableitung Null sein.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 244 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Wie ndet man lokale Extrempunkte?
Die Funktion f sei deniert auf einem Intervall I .Kandidaten für Extrema:
Innere Punkte von I mit f ′ (x) = 0.
Endpunkte von I , wenn sie dazu gehören.
Innere Punkte, in denen f ′ nicht existiert.
Sei c ein stationärer Punkt für y = f (x)
Wenn f ′ (x) ≥ 0 in einem Intervall (a, c) und f ′ (x) ≤ 0 in einem Intervall(c, b), dann ist x = c ein lokaler Maximumpunkt für f .
Wenn f ′ (x) ≤ 0 in einem Intervall (a, c) und f ′ (x) ≥ 0 in einem Intervall(c, b), dann ist x = c ein lokaler Minimumpunkt für f .
Wenn f ′ (x) > 0 in einem Intervall (a, c) und in einem Intervall (c, b), dannist x = c kein lokaler Extrempunkt für f . (Gilt auch für f ′ (x) < 0 )
Anmerkung: Jetzt müssen die Bedingungen nur in einem kleinen Intervall um c
herum gelten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 245 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Untersuchung der zweiten Ableitung 1/2
Die Funktion f sei in einem Intervall I zweimal dierenzierbar und c sei ein innererPunkt von I . Dann gilt:
f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) < 0 dann ist x = c ein strikter lokaler Maximumpunkt.
f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) > 0 dann ist x = c ein strikter lokaler Minimumpunkt.
f ′ (c) = 0 und f ′′ (c) = 0 dann ist alles möglich.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 246 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Extremwerte und Monotonie
Untersuchung der zweiten Ableitung 2/2
f ′ (0) = f ′′ (0) = 0und 0 ist ein
Minimumpunkt.
f ′ (0) = f ′′ (0) = 0und 0 ist ein
Maximumpunkt.
f ′ (0) = f ′′ (0) = 0und 0 ist ein
Wendepunkt.
Beachten Sie: Die zweite Ableitung wird nur an der Stelle c untersucht.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 247 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung
Extremwerte und Monotonie
Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Mehr über Grenzwerte
Elastizitäten
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 248 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Konvexe und Konkave Funktionen
f ist konvex auf I ⇐⇒ f ′′ (x) ≥ 0 für alle x in I
f ist konkav auf I ⇐⇒ f ′′ (x) ≤ 0 für alle x in I
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 249 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Beispiele
Weltbevölkerung steigt, die Wachstumsrate ist
steigend (die Kurve wird immer steiler), d.h.
jedes Jahr wird das Wachstum grösser.
Geerntete Menge Weizen in Abhängigheit von
der verwendeten Menge Düngemittel pro Hektar.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 250 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Beispiel: Produktionsfunktion Y = AKα
Produktionsfunktion ist für K > 0 deniert durch: Y = AKα (A > 0)
A > 0, 0 < α < 1Y ′′ = Aα︸︷︷︸ (α− 1)︸ ︷︷ ︸ Kα−2︸ ︷︷ ︸ < 0
> 0 < 0 > 0
A > 0, α > 1Y ′′ = Aα︸︷︷︸ (α− 1)︸ ︷︷ ︸ Kα−2︸ ︷︷ ︸ > 0
> 0 > 0 > 0
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 251 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Extrempunkte für konvexe und konkave Funktionen
Sei f eine konvexe Funktion in einem Intervall I und c ein stationärer Punkt für fim Innern von I , dann ist c ein Minimumpunkt für f .Sei f eine konkave Funktion in einem Intervall I und c ein stationärer Punkt für fim Innern von I , dann ist c ein Maximumpunkt für f .Beispiel: f (x) = ex−1 − x
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 252 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Wendepunkte 1/2
Funktionen in ökonomischen Anwendungen sind oft konvex in Teilen desDenitionsbereiches und konkav in anderen Teilbereichen.
Punkte in denen eine Funktion sich von konvex auf konkav ändert oderumgekehrt, heissen Wendepunkte.
Denition: Der Punkt c heisst ein Wendepunkt der Funktion f , wenn es einIntervall (a, b) um c herum gibt, so dass
f ′′ (x) ≥ 0 in (a, c) und f ′′ (x) ≤ 0 in (c, b) oder
f ′′ (x) ≤ 0 in (a, c) und f ′′ (x) ≥ 0 in (c, b)
D.h. x = c ist ein Wendepunkt, wenn die zweite Ableitung f ′′ (x) ihr Vorzeichenwechselt an der Stelle x = c.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 253 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Wendepunkte 2/2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 254 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Untersuchung auf Wendepunkte
Sei f eine Funktion mit einer stetigen zweiten Ableitung in einem Intervall I undsei c ein innerer Punkt von I .
Wenn c ein Wendepunkt ist, so ist f ′′ (c) = 0
Wenn f ′′ (c) = 0 und f ′′ in c das Vorzeichen wechselt, dann ist c einWendepunkt für f .
f ′′ (c) = 0 ist eine notwendige Bedingung für einen Wendepunkt. Es ist jedochkeine hinreichende Bedingung, denn f ′′ (c) = 0 bedeutet nicht, dass f ′′ dasVorzeichen wechselt
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 255 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Beispiel: Produktionsfunktion
Ein Unternehmen produziert ein Gut und braucht Rohmaterial als Input. Seix = f (v) die maximal erzielbare Produktion, wenn v Einheiten des Inputsverwendet werden. Dann heisst f die Produktionsfunktion.Oft wird angenommen, dass die Grenzproduktion f ′ (v) ansteigt bis zu einemProduktionsniveau v0 und dann abnimmt.
Wenn f zweimal dierenzierbar ist, so istf ′′ (v) ≥ 0 in [0, v0] und f ′′ (v) ≤ 0 in[v0,∞], d.h. f ist zunächst konvex unddann konkav mit v0 als Wendepunkt.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 256 / 516
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Mehr über Grenzwerte
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung
Extremwerte und Monotonie
Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Mehr über Grenzwerte
Elastizitäten
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Mehr über Grenzwerte
Unbestimmte Form eines Grenzwertes
Was ist der Grenzwert von
limx→x0
f (x)
g (x)
wenn f (x0) = g (x0) = 0?
Man schreibt dann
limx→x0
f (x)
g (x)=
00
Solch ein Grenzwert ist eine unbestimmte Form vom Typ 0/0, d.h. der Grenzwertkann nicht ohne weitere Untersuchungen bestimmt werden.
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Mehr über Grenzwerte
Regel von L'Hospital 1/2
Wenn f (x0) = g (x0) = 0 und g ′ (x0) 6= 0, dann gilt
limx→x0
f (x)
g (x)=
f ′ (x0)
g ′ (x0)
Wennf ′ (x0)
g ′ (x0)ebenfalls vom Typ 0/0 ist, dierenziert man ein zweites Mal,
eventuell auch drei- oder viermal oder noch öfter.
ACHTUNG!
Prüfen Sie: Liegt wirklich eine unbestimmte Form vor? Wenn nicht ergibt dieRegel gewöhnlich ein fehlerhaftes Resultat!
Dierenzieren Sie nicht f /g als einen Quotienten, sondern berechnen Siestattdessen f ′/g ′
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Mehr über Grenzwerte
Regel von L'Hospital 2/2
Die Regel von L'Hospital gilt unter schwächeren Voraussetzungen:
Ausser in x0 seien die Funktionen f und g dierenzierbar in einem Intervall (α, β) ,dass x0 enthält. Es gelte f (x)→ 0 und g (x)→ 0, wenn x → x0. Wenn
g ′ (x) 6= 0 für alle x 6= x0 in (α, β) und limx→x0
f ′(x)g ′(x) = L, dann gilt:
limx→x0
f (x)
g (x)=
f ′ (x)
g ′ (x)= L
Dies gilt, wenn L endlich ist und auch, wenn L = ±∞.
x0 darf auch ein Endpunkt des Intervalls sein oder auch ±∞.
Die Regel gilt auch für unbestimmte Formen vom Typ ±∞/±∞
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung
Extremwerte und Monotonie
Krümmungsverhalten und Wendepunkte
Mehr über Grenzwerte
Elastizitäten
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Motivation 1/2
Wie reagiert die Nachfrage nach einem Gut auf Preisänderungen?
Um wieviele Einheiten ändert sich die nachgefragte Menge, wenn der Preisum 1 Euro steigt?
Antwort: eine Zahl, eine Anzahl von Einheiten
Unzulänglichkeiten bei dieser Antwort : Preisänderung um 1 Euro bei einemPfund Kaee beträchtlich, bei einem Auto unerheblich
Grund: Wahl der Einheiten
Ausweg: Betrachten Sie relative Änderungen
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Motivation 2/2
Um welchen Prozentsatz ändert sich die Nachfrage, wenn der Preis sich um 1%ändert?
Antwort unabhängig von den gewählten Einheiten (von Preis und Menge)=⇒ Preiselastizität der Nachfrage
Beispiel 1: Preiselastizität für Butter (1960) geschätzt: −1Interpretation: Eine Preiserhöhung um 1% bewirkt eine Verringerung derNachfrage um 1%
Beispiel 2: Preiselastizität für Kartoeln: -0.2
Interpretation: Eine Preiserhöhung um 1% bewirkt eine Verringerung derNachfrage um 0,2%
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Preiselastizität der Nachfrage 1/2
Nachfrage sei eine Funktion des Preises: x = D (P)
Preisänderung von P auf P +4PÄnderung der nachgefragten Menge: 4x = D (P +4P)− D (P)
Relative (proportionale) Änderung:4xx
=D (P +4P)− D (P)
D (P)
Verhältnis zwischen der relativen Änderung der nachgefragten Menge und derrelativen Preisänderung:
4xx4PP
=P
x
4x4P
=P
D (P)
D (P +4P)− D (P)
4P(∗)
Sei 4P = P/100, d.h. der Preis steigt um 1%, dann ergibt sich (4x/x) · 100.Dies ist die prozentuale Änderung der nachgefragten Menge. (∗) wird auchdurchschnittliche Elastizität von x im Intervall [P,P +4P] genannt.
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Preiselastizität der Nachfrage 2/2
Die durchschnittliche Elastizität ist abhängig von 4P und P, jedochdimensionslos. Wünschenswert wäre: Elastizität von D an der Stelle P istunabhängig von 4P .
Wenn D eine dierenzierbare Funktion von P ist, bilden wir für 4P → 0 denGrenzwert von
4xx4PP
=P
x
4x4P
=P
D (P)
D (P +4P)− D (P)
4P︸ ︷︷ ︸D ′ (P)
Die Elastizität von D (P) bezüglich P ist:
P
D (P)
dD (P)
dP
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Allgemeine Denition der Elastizität
Andere wichtige Elastizitäten:
Preiselastizität der Nachfrage
Einkommenselastizität der Nachfrage
Elastizität des Angebots
Substitutionselastizität
...
Wenn f an der Stelle x dierenzierbar und f (x) 6= 0 ist, denieren wir dieElastizität von f bezüglich x durch
Elx f (x) =x
f (x)f ′ (x)
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Untersuchung von Funktionen mit Dierentialrechnung Elastizitäten
Terminologie zu Elastizitäten
Wenn |Elx f (x)| > 1, dann ist f elastisch an der Stelle x .
Wenn |Elx f (x)| = 1, dann ist f 1-elastisch (ausgeglichen elastisch) an derStelle x .
Wenn |Elx f (x)| < 1, dann ist f unelastisch an der Stelle x .
Wenn |Elx f (x)| = 0, dann ist f vollkommen unelastisch an der Stelle x .
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Integralrechnung
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Uneigentliche Integrale
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Bestimmung einer Funktion bei gegebener Ableitung
Annahmen: Wir kennen die Funktion F nicht, wohl aber deren Ableitung
F ′ (x) = x2
Welche Funktion hat (oder welche Funktionen haben) diese Ableitung?
Ableitung von x3 ist 3x2, d.h. 13x
3 hat die Ableitung x2.
Auch 13x
3 + C hat die Ableitung x2 für eine beliebige Konstante C .
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Beispiel: Bestimmung einer Kostenfunktion bei gegebenenGrenzkosten
Bekannt sei die Grenzkostenfunktion eines Unternehmens: K ′ (x) = 2x2 + 2x − 5.Die Fixkosten seien 100.
Die Kostenfunktion ist damit
K (x) =23x3 + x2 − 5x + C ,
denn die Ableitung dieser Funktion ist genau: 2x2 + 2x − 5.
Die Fixkosten sind 100, d.h. K (0) = 100, andererseits ist K (0) = C , also istC = 100.
Damit ist die Kostenfunktion
K (x) =23x3 + x2 − 5x + 100
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Unbestimmtes Integral 1/2
f (x) und F (x) seien zwei Funktionen mit: f (x) = F ′ (x), d.h. wir kommen vonF zu f , indem wir die Ableitung bilden. Man könnte den umgekehrten Prozess,den Übergang von f zu F als Gegenableitung bezeichnen.
Die übliche Bezeichnung ist: F ist das unbestimmte Integral von f oderˆ
f (x) dx
Zwei Funktionen, die dieselbe Anleitung über einem ganzen Intervall haben,unterscheiden sich nur durch eine Konstante:
ˆf (x) dx = F (x) + C , wenn F ′ (x) = f (x)
Wir schreiben dx um anzudeuten, dass bezüglich x integriert wird, d.h. x ist dieIntegrationsvariable.
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Unbestimmtes Integral 2/2
Wir sprechen von einem unbestimmten Integral, weil F (x) + C nicht eine einzigeFunktion, sondern eine ganze Klasse von Funktionen ist, die alle die Ableitung f
haben.
Die Ableitung eines unbestimmten Integrals ist gleich dem Integranden.
d
dx
ˆf (x) dx = f (x)
Integration und Dierentation heben sich gegenseitig auf.
Integralrechnung ist die Umkehrung der Dierentialrechnung.
Regeln der Integralrechnung folgen aus den entsprechenden Regeln derDierentialrechnung.
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Einige wichtige Integrale
ˆx rdx =
1r + 1
x r+1 + C (r 6= −1)
ˆ1xdx = ln |x |+ C
ˆexdx = ex + C
ˆeaxdx =
1aeax + C (a 6= 0)
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Integralrechnung Unbestimmte Integrale
Einige allgemeine Regeln
Ein konstanter Faktor kann vor das Integral gezogen werdenˆ
af (x) dx = a
ˆf (x) dx
Das Integral einer Summe ist die Summe der Integraleˆ
[f (x) + g (x)] dx =
ˆf (x) dx +
ˆg (x) dx
ˆ[a1f1 (x) + ...+ anfn (x)] dx = a1
ˆf1 (x) dx + ...+ an
ˆfn (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 274 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Integralrechnung
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Uneigentliche Integrale
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Integralrechnung Bestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Eine wichtige Aufgabe der Integralrechnung ist die Bestimmung der Fläche unter derKurve einer stetigen und nicht-negativen Funktion.
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Integralrechnung Bestimmte Integrale
Untersumme und Obersumme
Die Summe A1 + A2 + A3 wird als Untersumme von A bezeichnet, weil immer derniedrigste Wert der Funktion die Höhe des Rechtecks bestimmt. Die ermittelte Flächevon der Untersumme ist immer kleiner als die zwischen dem Graphen und der x-Achse.Die Summe B1 + B2 + B3 wird folglich Obersumme genannt. Dieser Bereich ist immergrösser als die Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 277 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Zusammenfassung
Untersumme ≤ Fläche unter dem Graphen ≤Obersumme
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Integralrechnung Bestimmte Integrale
Annäherung 1/2
Die Dierenz zwischen Ober- und Untersumme sinkt, wenn 4x kleiner wird.Wenn 4x unendlich klein ist, dann ist auch die Dierenz zwischen Ober- und Untersummeunendlich klein, so dass
Untersumme = Obersumme für 4x → 0
Die Ungleichung
Untersumme ≤ Fläche unter dem Graphen ≤Obersumme
wird zur Gleichung
Untersumme = Fläche unter dem Graphen =Obersumme für 4x → 0
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 279 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Annäherung 2/2
Der gemeinsame Grenzwert zwischen der oberen und der unteren Summe fürunendlich kleines Intervall [a, b] wird als bestimmtes Intervall über [a, b]bezeichnet. Es kann auch geschrieben werden als:
A = limn→∞
n∑i=1
f (x i )4x = limn→∞
n∑i=1
f (x i )4x für 4x =b − a
n
Der Grenzwert kann auch mit Hilfe des Integralzeichens geschrieben werden:
A =
bˆ
a
f (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 280 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Eigenschaften von bestimmten Integralen
1
bˆ
a
f (x) dx = −aˆ
b
f (x) dx
2
aˆ
a
f (x) dx = 0
3
bˆ
a
αf (x) dx = α
bˆ
a
f (x) dx
4
bˆ
a
f (x) dx =
cˆ
a
f (x) dx +
bˆ
c
f (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 281 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Berechnung von Flächen
Wenn bei einer Funktion alle f (x) ≥ 0 für alle x ∈ [a, b], dann wird die Fläche der Funktionausgedrückt durch das Integral: ∣∣∣∣∣∣
b
a
f (x) dx
∣∣∣∣∣∣Wenn sich das Vorzeichen ändert, muss das Integral an den jeweiligen Integrationsgrenzenaufgeteilt werden. Die Fläche ist dann die Summe aller Beträge der Subintegrale.
b
a
f (x) dx =
∣∣∣∣∣∣c1ˆ
a
f (x) dx
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣c2ˆ
c1
f (x) dx
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣c3ˆ
c2
f (x) dx
∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣b
c4
f (x) dx
∣∣∣∣∣∣
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 282 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Beispiel: Konsumenten- und Produzentenrente
Im Gleichgewichtspunkt E gilt: Nachfrage = AngebotGleichgewichtspreis P∗ ist derjenige Preis, bei dem die Konsumenten genauso vielkaufen, wie die Produzenten bereit sind, bei diesem Preis anzubieten.Es gibt jedoch Konsumenten, die bereit sind, einen höheren Preis als P∗ pro Einheit zuzahlen.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 283 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Konsumentenrente
Der Gesamtbetrag, der von allen Konsumenten gespart wird, wenn sie das Gut zueinem Preis kaufen, der niedriger ist als der, den sie maximal zu zahlen bereit sind, heisstdie Konsumentenrente.Für Konsumenten, die bereit sind, das Gut zu einem Preis von P∗ oder höher zu kaufen,ist der Gesamtbetrag, den sie bereit sind zu zahlen, die Fläche unter der Nachfragekurve.
CS =
Q∗ˆ
0
[f (Q)− P∗] dQ
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 284 / 516
Integralrechnung Bestimmte Integrale
Produzentenrente
Auch die Produzenten machen einen Überschuss, wenn sie zum Gleichgewichtspreisverkaufen, da sie bereit sind ihre Waren auch zu einem niedrigeren Preis zu verkaufen.Die Grösse dieses Überschusses heisst Produzentenrente:
PS =
Q∗ˆ
0
[P∗ − g (Q)] dQ
Produzentenrente ist der Gesamtbetrag, derden Produzenten gezahlt wird minus der Be-trag, den sie akzeptieren würden, um insge-samt Q∗ Einheiten anzubieten.Die Fläche zwischen der Angebotskurve undder P-Achse.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 285 / 516
Integralrechnung Partielle Integration
Integralrechnung
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Uneigentliche Integrale
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 286 / 516
Integralrechnung Partielle Integration
Integral eines Produkts von Funktionen
ˆx3e2xdx =?
14x4 hat die Ableitung x3und
12e2x hat die Ableitung e2x .
Aber
(14x4)(
12e2x)
hat nicht die Ableitung x3e2x .
Die Ableitung des Produkts ist nicht das Produkt der Ableitungen. Das Integraleines Produktes ist daher nicht das Produkt der Integrale.
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Integralrechnung Partielle Integration
Formel der partiellen Integration
Korrekte Ableitung eines Produktes (Produktregel):
(f (x) g (x))′ = f ′ (x) g (x) + f (x) g ′ (x)
Bilden des unbestimmten Integrals auf beiden Seiten:
f (x) g (x) =
ˆf ′ (x) g (x) dx +
ˆf (x) g ′ (x) dx
Auösen nach´f (x) g ′ (x) dx führt auf die Formel der partiellen Integration:ˆ
f (x) g ′ (x) dx = f (x) g (x)−ˆ
f ′ (x) g (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 288 / 516
Integralrechnung Integration durch Substitution
Integralrechnung
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Uneigentliche Integrale
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 289 / 516
Integralrechnung Integration durch Substitution
Weitere Produkte
Beispiel:
ˆ (x2 + 10
)502xdx
Denieren einer neuen Variable:
u = x2 + 10 =⇒ du = 2xdx
Substitution in das Integral:ˆ (
x2 + 10)50
2xdx =
ˆu50du
=151
u51 + C
=151
(x2 + 10
)51Probe durch Ableiten nach der Kettenregel!
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Integralrechnung Integration durch Substitution
Verallgemeinerung
ˆf (g (x)) g ′ (x) dx
Setze u = g (x). Dann ist du = g ′ (x) undˆ
f (g (x)) g ′ (x) dx =
ˆf (u) du
Angenommen, es gibt die Funktion F (u) mit F ′ (u) = f (u), d.h.´f (u) du = F (u) + C und damit
ˆf (g (x)) g ′ (x) dx = F (g (x)) + C
Probe durch Ableiten nach der Kettenregel:
(F (g (x)) + C )′ = F ′ (g (x)) g ′ (x) = f (g (x)) g ′ (x)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 291 / 516
Integralrechnung Uneigentliche Integrale
Integralrechnung
Unbestimmte Integrale
Bestimmte Integrale
Partielle Integration
Integration durch Substitution
Uneigentliche Integrale
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 292 / 516
Integralrechnung Uneigentliche Integrale
Uneigentliches Integral 1/2
Sei f stetig für alle x ≥ a.
Dann ist
bˆ
a
f (x) dx für alle b ≥ a
f ist integrierbar über [a,∞), wenn der Grenzwert dieses Integrals für b →∞existiert.
∞
a
f (x) dx = limb→∞
bˆ
a
f (x) dx
Es gilt ausserdembˆ
−∞
f (x) dx = lima→−∞
bˆ
a
f (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 293 / 516
Integralrechnung Uneigentliche Integrale
Uneigentliches Integral 2/2
Wenn f stetig ist auf (−∞,∞), so ist das uneigentliche Integral von f über(−∞,∞) deniert durch
∞
−∞
f (x) dx = lima→−∞
0ˆ
a
f (x) dx + limb→∞
bˆ
0
f (x) dx
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 294 / 516
Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Finanzmathematik
1 Grundlagen: Folgen und Reihen
2 Finanzmathematik
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Folgen
Eine Funktion durch die jeder natürlichen Zahl eine reelle Zahl zugeordnetwird, heisst Zahlenfolge und wird mit a1, a2, a3, ... oder a1, a2, ..., an, ... oderan mit n ∈ N bezeichnet. Die an heissen Glieder der Zahlenfolge und a1Anfangsglied.
Man kann zwischen endlichen und unendlichen Folgen unterscheiden.
Um bei der Schreibweise an Verwechslungen mit Mengen anzuschliessen,schreibt man auch ann∈N
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 296 / 516
Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Arithmetische Folgen
Eine Folge an, bei der für jedes n ∈ N gilt:
an+1 − an = d = const
heisst arithmetische Folge.
Mit dem Anfangsglied a und der Dierenz erhält man für die Glieder einerarithmetischen Folge:
a, a + d , a + 2d , ..., a + (n − 1) d , ... bzw. an = a + (n − 1) d
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 297 / 516
Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Geometrische Folgen
Eine Folge an, bei der für jedes n ∈ N gilt
an+1
an= q = const.
heisst geometrische Folge.
Eine geometrische Folge ist eindeutig durch ihr Anfangsglied a und denQuotienten q zweier aufeinanderfolgender Glieder bestimmt:
a, aq, aq2, ..., aqn−1... bzw. an = aqn−1
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 298 / 516
Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Reihen
Gegeben sei eine Zahlenfolge an .
a1 + a2 + a3 + . . . =∞∑n=1
an
heisst unendliche Reihe oder kurz Reihe. Die an heissen Glieder der Reihe.
Es gilt:
sn =n∑i=1
ai = a1 + a2 + a3 + ...+ an
s1 =a1
sn+1 =sn + an+1
Eine arithmetische (geometrische) Reihe ist eine Reihe, deren Glieder einearithmetischen (geometrischen) Folge gehorchen.
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Partialsummen
Gegeben sei eine Zahlenfolge ai bzw. eine Reihe∑∞
i=1 ai . Die Summe derersten n Glieder
Sn =n∑i=1
ai
heisst n-te Partialsumme oder n-te Teilsumme der Folge oder Reihe. DiePartialsummen ergeben wieder eine Folge.
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
n-te Partialsumme einer arithmetische Reihe
sn = a1 + a2 + a3 + ...+ ansn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + ...+ ansn = an + (an − d) + (an − 2d) + ...+ a12sn = (a1 + an) + (a1 + d + an − d) + (a1 + 2d + an − 2d) + ...+ (a1 + an)2sn = n (a1 + an)sn = n
2 (a1 + an)
Die n-te Partialsumme einer arithmetischen Reihe ist also
sn =n
2(a1 + an)
Es gilt im Speziellen:
n∑i=1
= 1 + 2 + 3 + ...+ (n − 1) + n =n (n + 1)
2
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
n-te Partialsumme einer geometische Reihe
sn = a + aq + aq2 + ...aqn−2 + aqn−1
qsn = aq + aq2 + ...aqn−2 + aqn−1 + aqn
sn − qsn = a− aqn
sn = a 1−qn
1−q für q 6= 1
Es gilt somitn∑i=1
= aqi−1 = a1− qn
1− qfür q 6= 1
Für a = 1 folgt speziell:n∑i=1
= qi−1 =1− qn
1− qfür q 6= 1
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Eigenschaften von Folgen
Beschränktheit von Folgen:
Eine Zahlenfolge an heisst beschränkt, wenn für alle Glieder der Folge gilt|an| < c = const., c heisst Schranke.
Eine Zahlenfolge an heisst nach unten beschränkt, wenn für alle Glieder derFolge gilt an ≥ c = const., c heisst untere Schranke der Folge.
Eine Zahlenfolge an heisst nach oben beschränkt, wenn für alle Glieder derFolge gilt an ≤ c = const., c heisst obere Schranke der Folge.
Monotonie von Folgen: Gegeben sei eine Zahlenfolge anGilt an < an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge streng monoton steigend.
Gilt an > an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge streng monoton fallend.
Gilt an ≤ an+1 bzw. an ≥ an+1 für alle n ∈ N, so heisst die Folge monotonsteigend bzw. monoton fallend.
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Grenzwerte von Folgen 1/2
Wie ist das Verhalten von Zahlenfolgen, wenn n sehr gross wird?
Gibt es für jedes (noch so kleine) ε ∈ R+ unendlich viele Glieder am der Folgean mit a− ε < am < a + ε so besitzt die Folge bei a einen Häufungspunkt.
Das Verhalten einer Folge, deren Glieder einem einzigen Häufungspunkt -dem Grenzwert - zustreben, bezeichnet man auch als Konvergenz.
Die Folge an konvergiert gegen den Grenzwert a, wenn es zu jedempositiven ε ∈ R+ eine natürliche Zahl N (ε) gibt derart, dass |an − a| < ε füralle n ≥ N (ε) gilt. Man schreibt lim
n→∞an = a oder an → a für n→∞.
Eine beschränkte und monotone Zahlenfolge an besitzt genau einenHäufungspunkt a und es gilt lim
n→∞an = a
Eine Folge mit dem Grenzwert 0 heisst Nullfolge.
Eine nicht konvergente Folge heisst divergent.
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Grenzwerte von Folgen 2/2
Gegeben seien zwei konvergente Folgen xn und yn , und es sei limn→∞
xn = x und
limn→∞
yn = y . Dann gilt für a ∈ R :
limn→∞
(xn ± a) = x ± a
limn→∞
(axn) = ax
limn→∞
(xn ± yn) = x ± y
limn→∞
(xn · yn) = xy
limn→∞
(xnyn
)= x
yy 6= 0 und alle yn 6= 0
Bei Konvergenzuntersuchungen geht man in vielen Fällen so vor, dass man die zuuntersuchende Folge nach oben und unten durch eine bekannte Folge abschätzt.
Bei Folgen deren Glieder aus Quotienten von Polynomen n bestehen, werden Zählerund Nenner durch die höchste vorkommende Potenz von n dividiert. Ausser reellenZahlen erhält man dann im Zähler und Nenner Summanden der Form a
nk, die gegen
Null konvergieren. Der Grenzwert lässt sich dann leicht bestimmen.
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Grenzwerte von Reihen
Gegeben sei eine Zahlenfolge an und sn =∑n
i=1 ai sei die n-te Teilsumme.Konvergiert die Folge sn der Teilsummen, so bezeichnet man den Grenzwert
S = limn→∞
sn = limn→∞
n∑i=1
ai =n∑i=1
ai
als Summe oder Wert der unendlichen Reihe und nennt die Reihe konvergent.
Der Wert der unendlichen geometrischen Reihe mit dem Anfangsglied a unddem Quotienten an+1
an= q mit |q| < 1 beträgt
s =a
1− q
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Bestimmung von Abschreibungen 1/2
Die Abschreibung bzw. der abzuschreibende Betrag ist der jährlich in derBuchhaltung für die Wertminderung zu berücksichtigende Betrag oder, beiden kalkulatorischen Abschreibungen, der in der Kostenrechnung zuberücksichtigende Wertverzehr.
Es wird bezeichnet
A die AnschaungsaufwendungenR der Restwert am Ende der NutzungsdauerT die Nutzungsdauer
Lineare Abschreibungen: bei linearer Abschreibung ist der jährlicheAbschreibungsbetrag a konstant.
a =A− R
T
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Finanzmathematik Grundlagen: Folgen und Reihen
Bestimmung von Abschreibungen 2/2
Degressive Abschreibung: die jährlichen Abschreibungsbeträge für eineAnlage nehmen ab.
arithmetisch-degressive Abschreibung: die Abschreibungsbeträge bilden dieersten Glieder einer arithmetischen Folge, d.h. sie nehmen von Jahr zu Jahrum denselben Betrag ab.digitale Abschreibung: Spezialfall der arithmetisch-degressiven Abschreibung,bei der, der letzte Abschreibungsbetrag gleich dem Betrag ist, um den dieAbschreibungen jährlich abnehmen. Bei einer Nutzungsdauer T ergibt sichdieser aus:
a∗ =A− R
1
2T (T + 1)
geometrisch-degressive Abschreibung: die Abschreibungsbeträge bilden dieersten Glieder einer geometrischen Folge. Es wird jährlich ein gleichbleibenderProzentsatz vom Restbuchwert abgeschrieben. Bei gegebenem A, R und Tkann der Abschreibungsprozentsatz bestimmt werden:
A(1− p
100
)T= R =⇒ p =
(1− T
√R
A
)· 100
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Finanzmathematik
1 Grundlagen: Folgen und Reihen
2 Finanzmathematik
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Grundbegrie
Finanzmathematik: Verfahren zur Behandlung von Problemen, bei denenZahlungen bzw. Geldgrössen zu unterschiedlichen Zeitpunkten fällig werden.
Zinsen: Entgelt für die leihweise Überlassung eines Geldbetrages, den manKapital nennt.
Zinsfuss (p): Zinsen pro Jahr für ein Kapital von 100 Euro.
Zinssatz (i oder r): i = p100
Zinsfaktor (q): q = 1 + p100 = 1 + i
nachschüssige (vorschüssige) Zinsen: Zinsen, die jeweils am Ende (Anfang)einer Periode fällig werden.
Anfangskapital (K0 oder S0): Kapital am Anfang einesBetrachtungszeitraumes
Endkapital (Kn oder St): Kapital am Ende eines Betrachtungszeitraumes vonn (oder t) Perioden.
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Einfache Verzinsung
Verzinsung eines Kapitals, wobei Zinsen nicht mitverzinst werden.
K1 =K0 + iK0 = K0 (1 + i)
K2 =K0 (1 + i) + iK0 = K1 + iK0 = K0 (1 + 2i)
...
Kn =K0 (1 + ni)
Kn =K0
(1 + n
p
100
)
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Zinseszinsrechnung
Verzinsung, bei der fällig gewordene Zinsen dem Kapital hinzugerechnet unddann mitverzinst werden.
K1 =K0 + iK0 = K0 (1 + i)
K2 =K1 + iK1 = K1 (1 + i) = K0 (1 + i)2
...
Kn =K0 (1 + i)n
Kn =K0
(1 +
p
100
)n
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Unterjährige Verzinsung
Werden Zinsen auch nach Zeitintervallen gutgeschrieben, die kleiner als einJahr sind, und dann mitverzinst, so spricht man von unterjähriger Verzinsung.
Werden die Zinsen nach 1m
Jahren gutgeschrieben, dann gilt:
Kn = K0
(1 +
i
m
)nm
Kn = K0
(1 +
p
100m
)nm
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Stetige Verzinsung
Lässt man bei unterjähriger Verzinsung die Anzahl m der Unterzeiträumeimmer grösser werden, dann werden die Zeitintervalle immer kleiner.
Im Grenzfall für m→∞ werden dann die Zinsen in jedem Moment demKapital zugeschlagen und dann mitverzinst. Man spricht dann von einerstetigen Verzinsung
Kn = limm→∞
K0
(1 +
i
m
)nm
= K0
(lim
m→∞
(1 +
i
m
)m)n
Es gilt: limm→∞
(1 + i
m
)m= e i und somit
Kn = K0ein = K0e
p100 n
Stetige Verzinsung spielt bei allen Wachstumsvorgängen eine Rolle, da hierder Zuwachs in der Regel stetig erfolgt. i kann dann auch als Wachstumsratebezeichnet werden.
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Barwert
Die Bestimmung von K0 bei gegebenem Kn, r und n bezeichnet man auch alsBestimmung des Barwertes einer zukünftigen Zahlung.
Häug spricht man auch von Abzinsung oder Diskontierung des Kapitals.
Durch das Diskontieren werden Zahlungen, die zu unterschiedlichenZeitpunkten und in unterschiedlicher Höhe fällig sind, vergleichbar gemacht.
Der Barwert oder gegenwärtige abdiskontierte Wert ist
K0 =Kn
(1 + i)nbei jährlicher Verzinsung
K0 =Kn
e inbei stetiger Verzinsung
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Rentenrechnung
Eine regelmässige, in gleichen Zeitabständen fällige Zahlung (oder andereLeistung) nennt man Rente.
Die einzelnen Zahlungen, die oft die gleiche Höhe haben, nennt manRentenrate und bezeichnet sie mit r .
Werden die Raten zu Beginn (Ende) eines Jahres fällig, handelt es sich umeine vorschüssige (nachschüssige) Rente.
Dem Endwert einer Rente ist die Summe der Endwerte der einzelnenRentenraten r am Ende des n-ten Jahres unter Berücksichtigung vonZinseszinsen.
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Nachschüssige Rente 1/2
Jahr Rate Anzahl der Jahre Endwerte der Ratefür die sich die Rente verzinst
1 r n − 1 rqn−1
2 r n − 2 rqn−2
3 r n − 3 rqn−3
......
......
n − 2 r 2 rq2
n − 1 r 1 rq
n r 0 r
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Nachschüssige Rente 2/2
Der Endwert Rn der Rente ergibt sich durch Addition der Endwerte dereinzelnen Raten:
Rn =r + rq + rq2 + ...+ rqn−2 + rqn−1
Rn =n∑i=1
rqi−1
Rn =rqn − 1q − 1
Der Barwert oder Kapitalwert einer nachschüssigen Rente:
R0 =Rn
qn=
r
qn· q
n − 1q − 1
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 318 / 516
Finanzmathematik Finanzmathematik
Vorschüssige Rente
Jede Rate einer vorschüssigen Rente wird zu Beginn eines Jahres gezahlt unddamit gegenüber der nachschüssigen Rente ein Jahr länger verzinst.
Damit gilt für eine vorschüssige Rente mit der Rate r∗, dem Zinsfaktor q,dem Endwert R∗n und dem Bartwert R∗0 :
R∗n =r∗q · qn − 1q − 1
R∗0 =r∗
qn−1· q
n − 1q − 1
r∗ =R∗nq· q − 1qn − 1
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Finanzmathematik Finanzmathematik
Tilgungsrechnung 1/2
Werden Schulden nicht durch Zahlung eines Gesamtbetrages abgelöst,sondern in Teilbeträgen, so genannten Raten, zurückgezahlt, so spricht manvon Tilgungs- oder Amortisationsschulden.
Die jährlich aufzubringenden Leistungen des Schuldners werden als Annuitätbezeichnet und setzen sich zusammen aus den jeweils fälligen Zinsen auf dieRestschuld und dem Teilbetrag der Rückzahlung
Annuität = Zinsen auf die Restschuld + Tilgungsrate
Eine Zusammenstellung der in den einzelnen Jahren zu erbringendenAnnuitäten, Zinsen und Tilgungsraten heisst Tilgungsplan.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 320 / 516
Finanzmathematik Finanzmathematik
Tilgungsrechnung 2/2
Bei der Ratenschuld ist die Tilgungsrate über die gesamte Dauer derTilgung konstant.
Soll die Ratenschuld K0 in n Jahren getilgt werden, so beträgt dieTilgungsrate T :
T =K0
n
Bei Annuitätentilgung ist die zu zahlende Annuität über den gesamtenZeitraum der Tilgung konstant.
Um eine Schuld K0 in n Jahren bei einem Zinsfaktor von q undnachschüssiger Verzinsung des Restwertes zu tilgen, ist eine jährlichekonstante Annuität von
A = K0 ·qn (q − 1)
qn − 1
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 321 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Lineare Algebra
1 Grundlagen der Matrizenrechnung
2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
3 Determinanten
4 Inverse Matrizen
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel 1
Die Aussenhandelsbeziehungen von 4 Ländern während eines Zeitraumes lassensich übersichtlich wie folgt darstellen:
I II III IVI 0 28 19 37II 14 0 25 46III 45 9 0 50IV 5 17 80 0
Zu jedem Land gehört eine Zeile und eine Spalte: In der Zeile eines Landes stehendie Exporte in die jeweils anderen Länder. In der zu einem Land gehörigen Spaltestehen die Importe von den jeweils anderen Ländern.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 323 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel 2
Ein Warenhaus, das 4 Lagerhäuser und 7 Filialen besitzt, kann die Kosten für denTransport einer Tonne Ware von den Lagerhäusern zu den Filialen wie folgtzusammenstellen:
Filialen1 2 3 4 5 6 7
Lagerhaus
1 12 6 5 4 1 9 182 7 12 9 7 4 8 143 4 3 6 2 3 1 34 9 17 5 2 9 4 2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 324 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel 3
In einem Betrieb gibt es die Abteilungen A, B und C. Jede Abteilung gibt an diebeiden anderen Leistungen ab. Die Leistungsbeziehungen können grasch odertabellarisch dargestellt werden:
A B CA 0 20 30B 30 0 40C 10 20 0
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 325 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Matrix
Das rechteckige Zahlenschema
A =
a11 a12 · · · a1j · · · a1na21 a22 · · · a2j · · · a2n...
... · · ·... · · ·
...ai1 ai2 · · · aij · · · ain...
... · · ·... · · ·
...am1 am2 · · · amj · · · amn
heisst Matrix mit m Zeilen und n Spalten oder m × n-Matrix.
Die aij (i = 1, ...m; j = 1, ..., n) heissen Elemente der Matrix.
Mögliche Schreibweisen für eine m × n-Matrix:
(aij)mn ; Amn; (aij) ; A
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Vektoren 1/2
Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Spalte besteht, also eine m× 1-Matrixa1a2...am
heisst Spaltenvektor.
Eine Matrix, die nur aus einer einzigen Zeile besteht, also eine 1× n-Matrix(a1, a2, · · · an
)heisst Zeilenvektor.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 327 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Vektoren 2/2
Spaltenvektoren werden durch Kleinbuchstaben (a, b usw.) oder mit (ai ),(bi ) usw. bezeichnet und Zeilenvektoren zusätzlich mit einem hochgestellten
Strich (′) oder T versehen: a′, aT , (ai )′oder (ai )
T
Die Elemente von Zeilenvektoren werden durch Kommata oder Semikolagetrennt.
Ein spezieller Sonderfall von Matrizen ist die 1× 1-Matrix. Es ergibt sichdafür eine reelle Zahl, die im Rahmen der Matrizenrechnung auch als Skalarbezeichnet wird.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 328 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Grundbegrie zu Matrizen und Vektoren 1/4
Gleichheit von Matrizen: Zwei m × n-Matrizen A = (aij) und B = (bij)heissen einander gleich, also A = B, wenn aij = bij für alle i = 1, ...,m undj = 1, ..., n.
Matrizenungleichung: Gegeben seien zwei m × n-Matrizen A = (aij) undB = (bij) . Gilt aij < bij für alle i = 1, ...,m und j = 1, ..., n, also für alleentsprechenden Elemente der beiden Matrizen, so schreibt man A < B. Wirdfür einzelne Elemente auch aij ≤ bij zugelassen so schreibt man A ≤ B.
Eine Matrix, deren sämtliche Elemente Null sind, heisst Nullmatrix. EinVektor, bei dem alle Elemente Null sind, heisst Nullvektor.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 329 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Grundbegrie zu Matrizen und Vektoren 2/4
Quadratische Matrix: Gilt bei einer m × n-Matrix m = n, d.h. stimmenZeilenzahl und Spaltenzahl überein, so hat man eine quadratische Matrixn-ter Ordnung.
a11 a12 a13 a14 a15a21 a22 a23 a24 a25a31 a32 a33 a34 a35a41 a42 a43 a44 a45a51 a52 a53 a54 a55
Die Elemente a11, a22, a33... usw.bilden die Hauptdiagonale.
Die Elemente aij mit i + j = n + 1bilden die Nebendiagonale.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 330 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Grundbegrie zu Matrizen und Vektoren 3/4
Eine quadratische Matrix, bei der sämtliche Elemente auf einer Seite derHauptdiagonalen gleich Null sind, heisst Dreiecksmatrix. Manunterscheidet: obere Dreiecksmatrix und untere Dreiecksmatrix.
a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann
a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 331 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Grundbegrie zu Matrizen und Vektoren 4/4
Eine quadratische Matrix n-ter Ordnung heisst Diagonalmatrix n-terOrdnung, wenn alle Elemente, die nicht auf der Hauptdiagonalen liegen,gleich Null sind.
Eine Diagonalmatrix, bei der alle Elemente auf der Hauptdiagonalen gleichsind, heisst auch skalare Matrix.
Eine Diagonalmatrix n-ter Ordnung, deren Diagonalelemente alle gleich 1sind heisst Einheitsmatrix und wird mit E bezeichnet.
1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 1
Ein Vektor, dessen i-te Komponente 1 ist und der sonst nur 0 enthält, heissti-ter Einheitsvektor und wird mit ei bezeichnet.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 332 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Transponierte Matrix
Gegeben sei eine m × n-Matrix A = (aij) . Die n ×m-Matrix B = (bji ) mitbji = aij für j = 1, ..., n i = 1, ...,m heisst transponierte Matrix zu A undwird mit A′ oder AT bezeichnet.
A =
a11 · · · a1j · · · a1n...
......
ai1 · · · aij · · · ain...
......
am1 · · · amj · · · amn
AT =
a11 · · · ai1 · · · am1
......
...a1j · · · aij · · · amj...
......
a1n · · · ain · · · amn
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 333 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Regeln für Transponierte Matrizen
(AT)T
= A
(A + B)T = AT + BT
(αA)T = αAT
(AB)T = BTAT
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 334 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Symmetrische Matrizen
Quadratische Matrizen, die symmetrisch bezüglich der Hauptdiagonalen sind,heissen symmetrisch.
Die Matrix A ist genau dann symmetrisch, wenn A = AT .
Das heisst, die Matrix A = (aij)n×n ist genau dann symmetrisch, wennaij = aji für alle i , j .
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 335 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Addition von Matrizen: Beispiel 1/3
Ein Betrieb produziert drei Güter I, II und III und liefert diese an die HändlerA, B, C und D. Im ersten bzw. zweiten Halbjahr eines Jahres wurden dabeifolgende Mengen abgegeben:
1. HalbjahrA B C D
I 12 8 0 20II 7 5 20 10III 14 4 6 15
2. HalbjahrA B C D
I 13 12 5 10II 13 7 8 20III 12 8 6 15
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 336 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Addition von Matrizen: Beispiel 2/3
Die von den verschiedenen Produkten an die Händler in dem Jahr insgesamtabgebenen Mengen erhält man, indem die jeweils an gleicher Stelle stehendenElemente addiert werden, also:
GesamtabsatzA B C D
I 12 + 13 = 25 8 + 12 = 20 0 + 5 = 5 20 + 10 = 30II 7 + 13 = 20 5 + 7 = 12 20 + 8 = 28 10 + 20 = 30III 14 + 12 = 26 4 + 8 = 12 6 + 7 = 13 15 + 15 = 30
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Addition von Matrizen: Beispiel 3/3
Stellt man die Mengenabgaben für das 1. Halbjahr und das 2. Halbjahr alsMatrizen dar, dann entspricht die Bestimmung der Gesamtmenge für dasJahr der Matrizenaddition: 12 8 0 20
7 5 20 1014 4 6 15
+
13 12 5 1013 7 8 2012 8 7 15
=
25 20 5 3020 12 28 3026 12 13 30
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 338 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Addition von Matrizen
Zwei Matrizen gleicher Ordnung A = (aij) und B = (bij) werden addiert bzw.subtrahiert, indem man die in den Matrizen gleicher Stelle stehendenElemente addiert bzw. subtrahiert.
a11 · · · a1j · · · a1n...
......
ai1 · · · aij · · · ain...
......
am1 · · · amj · · · amn
±
b11 · · · b1j · · · b1n...
......
bi1 · · · bij · · · bin...
......
bm1 · · · bmj · · · bmn
=
a11 ± b11 · · · a1j ± b1j · · · a1n ± b1n...
......
ai1 ± bi1 · · · aij ± bij · · · ain ± bin...
......
am1 ± bm1 · · · amj ± bmj · · · amn ± bmn
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 339 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Regeln für die Addition von Matrizen
A + B = B + A
(A + B) + C = A + (B + C)
A + 0 = A
A + (−A) = 0
aus A = B folgt A + C = B + C
aus A ≤ B folgt A + C ≤ B + C
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 340 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation mit einem Skalar: Beispiel
Die Aussenhandelsbeziehungen zwischen den Ländern A, B und C sind durchdie folgende Matrix gegeben (Exporte in den Zeilen, Importe in den Spalten) 0 12 8
6 0 410 2 0
Die Zahlen geben den Wert in US$ an. Will man die Werte in ¿ haben, undrechnet man für 1US$ als Wechselkurs 0,80 ¿, so erhält man die ¿-Werte,indem man jedes Element der Matrix mit 0,8 multipliziert. 0, 8 · 0 0, 8 · 12 0, 8 · 8
0, 8 · 6 0, 8 · 0 0, 8 · 40, 8 · 10 0, 8 · 2 0, 8 · 0
=
0 9, 6 6, 44, 8 0 3, 28 1, 6 0
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation mit einem Skalar
Eine Matrix A = (aij) wird mit einer Zahl α (einem Skalar) multipliziert,indem man jedes Element der Matrix mit dieser Zahl multipliziert:
αA = α
a11 · · · a1j · · · a1n...
......
ai1 · · · aij · · · ain...
......
am1 · · · amj · · · amn
=
αa11 · · · αa1j · · · αa1n...
......
αai1 · · · αaij · · · αain...
......
αam1 · · · αamj · · · αamn
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Regeln für die Multiplikation mit Skalaren
(α + β)A = αA + βA
α (A + B) = αA + αB
aus A = B folgt αA = αB
aus A ≤ B folgt αA ≤ αB falls α > 0
aus A ≤ B folgt αA ≥ αB falls α < 0
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 343 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Skalares Produkt von Vektoren
Gegeben sei ein Zeilenvektor a′ =(a1, a2, · · · an
)und ein
Spaltenvektor b =
b1...bn
, die beide die gleiche Ordnung haben.
Unter dem skalaren oder inneren Produkt der beiden Vektoren verstehtman den Skalar
a′ · b =(a1, a2, · · · an
)·
b1...bn
= a1b1 + a2b2 + · · · anbn =n∑i=1
aibi
Das skalare Produkt ist nur deniert, wenn beide Vektoren von der gleichenOrdnung sind, also die gleiche Anzahl von Elementen aufweisen.
Der Zeilenvektor muss an erster Stelle stehen und der Spaltenvektor an derzweiten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 344 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Eigenschaften skalarer Vektorprodukte
Sind sämtliche Elemente eines Vektors 1, so ergibt das skalare Produkt dieSumme der Elemente des anderen Vektors.
Ist im skalaren Produkt ein Vektor ein Einheitsvektor i-ter Ordnung, dannergibt das Produkt, das i-te Element des anderen Vektors. Füra′ =
(a1, a2, . . . ai . . . an
)gilt also a′ei = eia′ = ai
Gegeben seien Vektoren gleicher Ordnung a, b, c. Dann gelten:
a′b = a′b
(a′ + b′) c = a′c + b′c
aus a′ = b′ folgt a′c = b′c
aus a′ ≤ b′ folgt a′c ≤ b′c falls c > 0
aus a′ ≤ b′ folgt a′c ≥ b′c falls c < 0
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 345 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation von Matrizen: Beispiel 1/5
In einem Chemiewerk werden die Rohstoe Steinkohle und Braunkohle zu denHalbprodukten leichtüssige und gasförmige Kohlenwasserstoe verarbeitet.
Die folgenden Tabelle zeigt die Input-Output-Beziehung, wobei die aij jeweilsangeben, wieviel Tonnen der Kohlenwasserstoe aus einer Tonne Kohleproduziert werden.
Halbprodukte Kohlenwasserstoe (KW)Rohstoe leichtüssig (y1) gasförmig (y2)Steinkohle (x1) a11 = 0, 5 a12 = 0, 2Braunkohle (x2) a21 = 0, 4 a22 = 0, 3
Man erhält:
y1 = a11x1 + a21x2 = 0, 5x1 + 0, 4x2y2 = a12x1 + a22x2 = 0, 2x1 + 0, 3x2
(1)
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 346 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation von Matrizen: Beispiel 2/5
Die Kohlenwasserstoe sind Halbprodukte und werden zu Paran undDieselöl weiterverarbeitet: die folgende Tabelle zeigt dieInput-Output-Beziehung: die bij geben an, wieviele Tonnen Fertigprodukteaus einer Tonne Halbfertigprodukte produziert werden.
FertigprodukteHalbprodukte Paran (z1) Schmieröl(z2) Dieselöl(z3)leichtüssige KW (y1) b11 = 0, 3 b12 = 0, 4 b13 = 0, 2gasförmige KW (y2) b21 = 0, 2 b22 = 0, 3 b23 = 0, 4
Man erhält:
z1 = b11y1 + b21y2 = 0, 3y1 + 0, 2y2z2 = b12y1 + b22y2 = 0, 4y1 + 0, 3y2z3 = b13y1 + b23y2 = 0, 2y1 + 0, 4y2
(2)
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation von Matrizen: Beispiel 3/5
Die Mengen der Fertigprodukte hängen davon ab, welche Rohstomengen(Steinkohle und Braunkohle) eingesetzt werden.
Zusammenhang zwischen den Rohstomengen x1 und x2 und denFertigprodukten z1, z2 und z3 erhält man durch Einsetzen der Gleichungenaus (1) und (2):
z1 = b11 (a11x1 + a21x2) + b21 (a12x1 + a22x2)
z2 = b12 (a11x1 + a21x2) + b22 (a12x1 + a22x2)
z3 = b13 (a11x1 + a21x2) + b23 (a12x1 + a22x2)
Durch Umformen erhält man:
z1 = (a11b11 + a12b21) x1 + (a21b11 + a22b21) x2
z2 = (a11b12 + a12b22) x1 + (a21b12 + a22b22) x2
z3 = (a11b13 + a12b23) x1 + (a21b13 + a22b23) x2
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation von Matrizen: Beispiel 4/5
Input-Output-Beziehung zwischen Rohstoen und Fertigprodukten:
FertigprodukteRohstoe Paran (z1) Schmieröl (z2) Dieselöl (z3)
Steinkohle (x1)a11b11 + a12b12 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23
= 0, 19 = 0, 26 = 0, 18
Braunkohle (x2)a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
= 0, 18 = 0, 25 = 0, 2
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Multiplikation von Matrizen: Beispiel 5/5
Input-Output Beziehung in Matrixform:
Produktionsstufen
A =
(a11 a12a21 a22
)BT =
(b11 b12 b13b21 b22 b23
)
Beziehung zwischen Rohstoen und Fertigprodukten:
C = AB =
(a11b11 + a12b12 a11b12 + a12b22 a11b13 + a12b23a21b11 + a22b21 a21b12 + a22b22 a21b13 + a22b23
)
Die Elemente der Matrix C erhält man als skalare Produkte der Zeilen von A
und der Spalten von B.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Matrizenmultiplikation: Denition
Das Produkt der m × n-Matrix A = (aij) mit der n × r -Matrix B = (bij) istdeniert als
C = AB =
n∑j=1
aijbjk
und ist eine m × r -Matrix.
Das Element cik des Produktes C erhält man als skalares Produkt der i-tenZeile von A und der k-ten Spalte von B.
Die Matrizenmultiplikation ist nur deniert für den Fall, dass dieSpaltenzahl des ersten Faktors mit der Zeilenzahl des zweiten Faktorsübereinstimmt.
Das Ergebnis ist eine Matrix, die so viele Zeilen hat wie der erste Faktor undso viele Spalten wie der zweite Faktor. Es gilt also AmnBnr = Cmr .
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Matrizenmultiplikation: FALKsches Schema
b11 b12 · · · b1k · · · b1rb21 b22 · · · b2k · · · b2r...
......
...bj1 bj2 · · · bjk · · · bjr...
......
...bn1 bn2 · · · bnk · · · bnr
a11 a12 · · · a1j · · · a1n c11 c1ra21 a22 · · · a2j · · · a2n...
......
...ai1 ai2 · · · aij · · · ain cjk...
......
...am1 am2 · · · amj · · · amn cm1 cmr
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen 1/2
Das Matrizenprodukt AB ist nur dann deniert, wenn die Anzahl der Spaltenin A mit der Anzahl der Zeilen in B übereinstimmt.
Es kann sein, dass AB deniert ist, während BA nicht deniert ist.
Wenn AB und BA beide deniert sind, sind sie im Allgemeinen nicht gleich,AB 6= BA
Gegeben seien Matrizen geeigneter Ordnung A, B, C, D. Dann gilt
A (BC) = (AB)C = ABC
A (B + C) = AB + AC bzw. (A + B)C = AC + BC
aus A = B folgt AC = BC und DA = DB
aus A ≤ B folgt AC ≤ BC für C > 0 und DA ≤ DB für D > 0
aus A ≤ B folgt AC ≥ BC für C > 0 und DA ≥ DB für D > 0
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Eigenschaften der Multiplikation von Matrizen 2/2
Für die Multiplikation einer Matrix A mit einer Einheitsmatrix E geeigneterOrdnung gilt: AE = EA = A.
Ist in einem Matrizenprodukt einer der beiden Faktoren eine Nullmatrix, so istdas Produkt ebenfalls eine Nullmatrix: A · 0 = 0 bzw. 0 · A = 0
Die Transponierte eines Produktes zweier Matrizen ist gleich dem Produktder Transponierten der beiden Matrizen in umgekehrter Reihenfolge:(AB)T = BTAT
Das Produkt eines Zeilenvektors mit einer Matrix ergibt einen Zeilenvektor.
Das Produkt einer Matrix mit einem Spaltenvektor ergibt einenSpaltenvektor.
Das Produkt eines Spaltenvektors mit einem Zeilenvektor ergibt eine Matrix.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Potenz einer quadratischen Matrix
Unter der n-ten Potenz einer quadratischen Matrix A versteht man das n-facheProdukt der Matrix A mit sich selbst.
An = A · A · A · . . . · A︸ ︷︷ ︸n-mal
AnAm = An+m
(An)m = Anm
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel: Zeitliche Entwicklung eines Marktes 1/4
Auf einem einfachen Markt erscheinen wöchentlich drei Illustrierte A, B undC und konkurrieren miteinander.
Es gibt keine Abonnements.
Marktanteile der Illustrierten in einer bestimmten Woche:
A: 40%B: 20%C: 40%
In der folgenden Woche kaufen
von den Käufern der Illustrierten A: 80% wieder A, 10% B und 10% Cvon den Käufern der Illustrierten B: 20% A, 70% B, 10% Cvon den Käufern der Illustrierten C: 20% A, 20% B, 60% C
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel: Zeitliche Entwicklung eines Marktes 2/4
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel: Zeitliche Entwicklung eines Marktes 3/4
Darstellung der Käufer beim Übergang von einer Periode zur nächsten alsMatrix:
A B C
A
B
C
0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6
Multiplikation des Vektors der ursprünglichen Marktanteile(0, 4; 0, 2; 0, 4
)mit der Matrix bestimmt die Marktanteile der nächsten
Periode:(0, 4; 0, 2; 0, 4
) 0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6
=(0, 44; 0, 26; 0, 3
)
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Beispiel: Zeitliche Entwicklung eines Marktes 4/4
Für die folgende Periode ergibt sich:
(0, 44; 0, 26; 0, 3
) 0, 8 0, 1 0, 10, 2 0, 7 0, 10, 2 0, 2 0, 6
=(0, 464; 0, 286; 0, 25
)
Bleibt das Übergangsverhalten der Käufer konstant können mit Hilfe desbeschriebenen Ansatzes die Marktanteile aller folgenden Perioden berechnetwerden.
Ein solcher Prozess wird auch Markovprozess oder Markovkette genannt.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Linearkombinationen von Vektoren 1/2
Unter einer Linearkombination der Vektoren
a1 =
a11a21...
am1
;a2 =
a12a22...
am2
; . . . ;an =
a1na2n...
amn
versteht man eine Summe der Form
c1a1 + c2a2 + . . .+ cnan =n∑i=1
ciai
oder
ca′
1 + c2a′
2 + . . .+ cna′
n =n∑i=1
cia′
i
wobei ci Skalare sind.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Linearkombinationen von Vektoren 2/2
Die Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar ergibt wieder einen Vektor,so dass die ciai bzw. cia
′
i wieder Vektoren sind. Die Summe von Vektorenergibt ebenfalls wieder einen Vektor, so dass gilt:
Jede Linearkombination von Vektoren gleicher Ordnung ergibt einen Vektorderselben Ordnung.
Eine Linearkombination∑n
i=1 ciai der Vektoren ai (i = 1, . . . , n) mit∑ni=1 ci = 1 und ci ≥ 0, für i = 1, . . . , n heisst konvexe Linearkombination.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Linear abhängige und unabhängige Vektoren
Die n Vektoren a1, a2, . . . , an gleicher Ordnung heissen linear abhängig,wenn sich der Nullvektor 0 als nichttriviale Linearkombination dieser Vektorendarstellen lässt:
0 =n∑i=1
ciai mit c 6= 0
Die n Vektoren ai (i = 1, . . . , n) heissen linear unabhängig, wenn sich derNullvektor 0 mit diesen n Vektor nur durch die triviale Linearkombination mitci = 0 für i = 1, . . . , n darstellen lässt.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 362 / 516
Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Linear abhängige Vektoren
Sind die m Vektoren a1, a2, . . . , am linear abhängig, dann ist jeder Vektorals Linearkombination der übrigen Vektoren darstellbar.
Vektoren sind linear abhängig, wenn
es zwei gleiche Vektoren gibt;ein Vektor einem anderen proportional ist, d.h. wenn ein Vektor sich auseinem anderen Vektor durch Multiplikation mit einer Zahl ergibt oderdie Anzahl m der Vektoren grösser ist als deren Ordnung n, d.h. m > n.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Überprüfung linearer Abhängigkeit von Vektoren
Gegeben seien m Vektoren n-ter Ordnung a′
1, a′
2, . . . , a′
m mit m < n. MitHilfe von Zeilenoperationen können die Vektoren wie folgt auf lineareAbhängigkeit überprüft werden:
1 Fasse die Zeilenvektoren zu einer Matrix zusammen.
2 Erzeuge im linken quadratischen Teil der Matrix eine obere Dreiecksmatrix.
3 Entsteht dabei eine Zeile mit lauter Nullen oder enthält die Hauptdiagonaledes quadratischen Teils Nullen, so sind die Vektoren linear abhängig,andernfalls nicht.
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Rang einer Matrix
Gegeben sei ein System von n Vektoren a1, . . . , an. Die maximale Anzahl derlinear unabhängigen Vektoren des Vektorsystems heisst Rang desVektorsystems.
Bei einer Matrix ist die Maximalanzahl der linear unabhängigen Zeilen immergleich der Maximalzahl der linear unabhängigen Spalten.
Die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen bzw. Spalten einer Matrix Aheisst Rang der Matrix und wird bezeichnet mit rang (A) .
Regeln für den Rang einer Matrix:
Für eine m × n-Matrix A ist der Rang höchstens gleich dem Minimum vonZeilenzahl m und Spaltenzahl n: rang (Amn) ≤ min (m, n)
Zeilenoperationen verändern den Rang nicht.
Für beliebige Matrizen gilt: rang (A) = rang(AT)
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Lineare Algebra Grundlagen der Matrizenrechnung
Bestimmung des Rangs einer Matrix
Variante 1 : Erzeuge in den Spalten (in beliebiger Reihenfolge) durchZeilenoperationen Einheitsvektoren ei , wobei für je zwei Einheitsvektorenei , ej gelten muss i 6= j . Die maximale Anzahl von Einheitsvektoren, dieerzeugt werden können, stimmt mit dem Rang der Matrix überein.
Variante 2 : Stelle durch Zeilenoperationen eine Dreiecksmatrix her. DerRang der Matrix ergibt sich dann aus der Anzahl der Zeilen, in denenmindestens ein Element ungleich Null ist.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 366 / 516
Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Lineare Algebra
1 Grundlagen der Matrizenrechnung
2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
3 Determinanten
4 Inverse Matrizen
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Begri des linearen Gleichungssystems (LGS)
Eine Gleichung der Form
a1x1 + a2x2 + . . .+ anxn =n∑j=1
ajxj = b
(aj = const. (j = 1, . . . , n) ; b = const.) mit den n Variablen x1, . . . , xnheisst lineare Gleichung in n Variablen. Die aj (j = 1, . . . , n) sind dieKoezienten der Gleichung, b wird auch absolutes Glied genannt.Die m linearen Gleichungen
a11x1+a12x2+ . . .+a1nxn =n∑j=1
a1jxj = b1
. . . . . . . . .
am1x1+am2x2+ . . .+amnxn =n∑j=1
amjxj = bm
ergeben ein lineares Gleichungssystem (LGS).
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Matrizenschreibweise von LGS
a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n...
......
am1 am2 · · · amn
x1x2...xn
=
b1b2...bm
kurz: Ax = b
die Matrix A der Koezienten des LGS heisst Koezientenmatrix
b ist der Vektor der absoluten Glieder
Es gilt m = n, d. h. die Koezientenmatrix ist quadratisch, wenn es genausoviele Gleichungen wie Variablen gibt.
Ax = b heisst Normalform eines LGS.
Ist bei einem LGS Ax = b der Vektor b = 0, so heisst das LGS homogen. Istwenigstens ein Element des Vektors b von Null verschieden (b 6= 0) , so heisstdas LGS inhomogen.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 1: Verrechnung innerbetrieblicher Leistungen 1/3
In einem Betrieb mit den Abteilungen A, B, C kann jede Abteilung an dieanderen Leistungen abgeben.
Jede Abteilung gibt ausser-dem Leistungen an denMarkt ab:A: 50B: 80C: 40
In jeder Abteilung fallen unmittelbare Kosten an, in denen die Leistungen deranderen Abteilungen noch nicht berücksichtigt sind: Primärkosten.
Zur Bestimmung der Kosten (Preise) für die Leistung jeder Abteilung mussman auch die durch innerbetrieblichen Leistungsaustausch entstehendenKosten berücksichtigen: Sekundärkosten.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 1: Verrechnung innerbetrieblicher Leistungen 2/3
Es gilt für jede Abteilung: entstandene Kosten = verrechnete Kosten
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 1: Verrechnung innerbetrieblicher Leistungen 3/3
Es ergibt sich zusammengefasst:
A: 85a = 60 + 10b + 20cB: 100b = 210 + 5a + 20cC: 80c︸ ︷︷ ︸ = 230︸ ︷︷ ︸ + 30a + 10b︸ ︷︷ ︸
verrechnete Kosten Primärkosten Sekundärkosten
Als Gleichungssystem erhält man
85a− 10b − 20c = 60
−5a + 100b − 20c = 210
−30a− 10b + 80c = 230
bzw. 85 −10 −20−5 100 −20−30 −10 80
a
b
c
=
60210230
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 2: Teilbedarfsrechnung 1/2
Aus den Werkstoen A, B werden die Zwischenprodukte C, D, E und dieEndprodukte F und G hergestellt:
Von den Produkten E, F und G werden 50, 200 und 120 Stück für denVerkauf gebraucht.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 373 / 516
Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Beispiel 2: Teilbedarfsrechnung 2/2
Gleichungen zur Ermittlung des Teilebedarfs:
a− c − 2e − 4f = 0
b − 2c − 3d − e − 2g = 0
c − 3f − 2g = 0
d − 2e − 4g = 0
e − f − 2g = 50
f = 200
g = 120
1 0 −1 0 −2 −4 00 1 −2 −3 −1 0 −20 0 1 0 0 −3 −20 0 0 1 −2 0 −40 0 0 0 1 −1 −20 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 1
a
b
c
d
e
f
g
=
000050200120
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Regeln für die Lösung von LGS 1/2
Die Lösung eines LGS kann durch Einsetzen der Lösungswerte für dieVariablen in die Gleichung überprüft werden.
Bei der Lösung eines inhomogenen LGS sind drei Fälle möglich:
keine Lösung: nicht lösbares LGSeine Lösung: eindeutig lösbares LGSmehrere Lösungen: mehrdeutig lösbares LGS
Für die Bestimmung der Lösungsmenge eines LGS mit zwei Variablen derallgemeinen Form a1x + b1y = c1 und a2x + b2y = c2 gibt es verschiedeneLösungsverfahren (vgl. Kurs Grundlagen):
Lösung durch EinsetzenLösung durch GleichsetzenLösung durch Addition
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Regeln für die Lösung von LGS 2/2
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung mit mehreren Variablen wirddurch äquivalente Umformungen nicht verändert. D.h. die Lösungsmengeeines LGS wird nicht verändert, wenn
einzelne Gleichungen äquivalent umgeformt werden
ein Vielfaches einer Gleichung zu einer andern Gleichung addiert wird oder
zwei Gleichungen miteinander vertauscht werden.
Auf dieser Basis ist die systematische Auösung von LGS möglich. Da für daseigentliche Rechnen nur die Koezienten des LGS benötigt werden, also dieElemente der Koezientenmatrix A und des Vektors b, können systematischeLösungsverfahren auch in Matrizenschreibweise formuliert werden.
Ein homogenes Gleichungssystem Ax = 0 hat immer mindestens dietriviale Lösung x = 0.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Lösung eines inhomogenen LGS durch vollständigeElimination 1/3
Gleichungssysteme in Normalform, für die gilt m = n
Ziel: mit Hilfe äquivalenter Umformungen das LGS so umformen, dass manein LGS erhält bei dem in jeder Gleichung nur noch eine Variable mit demKoezienten 1 steht.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Lösung eines inhomogenen LGS durch vollständigeElimination 2/3
Ist das LGS eindeutig lösbar bedeutet das:
a11x1 + a12x2 + . . .+ a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + . . .+ a2nxn = b2
· · · · · ·an1x1 + an2x2 + . . .+ annxn = bn
wird umgeformt zu:x1 = b∗1
x2 = b∗2
xn = b∗n
Die b∗j (j = 1, . . . , n) sind die Lösungswerte für die Variablen.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Lösung eines inhomogenen LGS durch vollständigeElimination 3/3
Bei der Umformung wird - im eigentlichen Sinne - nur mit den Koezientenaij und den bj der Gleichungen gerechnet. Es reicht für die Lösung daher aus,wenn nur die um den Vektor b erweiterte Koezientenmatrix A betrachtetwird:
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann bn
oder kurz (A |b )
Diese wird so umgeformt, dass anstelle von A eine Einheitsmatrix steht, also1 0 · · · 0 b∗10 1 · · · 0 b∗2· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1 b∗n
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Vollständige Elimination: Denition
Gegeben sei die Normalform Ax = b eines inhomogenen LGS, bei dem dieAnzahl der Gleichungen mit der Anzahl der Variablen übereinstimmt. DenLösungsvektor x kann man bestimmen, indem man die um den Vektor berweiterte Koezientenmatrix (A |b ) durch Anwendung vonZeilenoperationen in eine Matrix der Form (E |b∗ ) umformt, wobei E eineEinheitsmatrix entsprechender Ordnung ist. Es gilt dann x = b∗.
Unter Zeilenoperationen versteht man die folgenden Rechenoperationen füreine Matrix:
Multiplikation aller Elemente einer Zeile mit einer von Null verschiedenen Zahl.
Addition einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.
Vertauschen zweier Zeilen
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Vollständige Elimination: Vorgehen
Ausgangslage: inhomogenes LGSa11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann
x1x2· · ·xn
=
b1b2· · ·bn
Um den Vektor b ergänzte Koezientenmatrix
(A |b ) =
a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann bn
Durch Anwendung der denierten Zeilenoperationen Umformung derKoezientenmatrix zur Einheitsmatrix
1 0 · · · 0 b∗10 1 · · · 0 b∗2· · · · · · · · · · · ·0 0 · · · 1 b∗n
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Mehrdeutige Lösbarkeit
Ergeben sich bei der Bestimmung der Lösung eines inhomogenen LGSAx = b mit n Gleichungen in n Variablen mit der vollständigen Elimination inwenigstens einer Zeile der erweiterten Koezientenmatrix nur Nullen, soist das Gleichungssystem nur mehrdeutig lösbar.
Enthalten k Zeilen nur Nullen, dann erhält man die allgemeine Lösung indemnach n − k Variablen aufgelöst wird.
k Variablen können dann beliebig vorgegeben werden, um die übrigenVariablen eindeutig zu bestimmen.
Ist die Anzahl der Gleichungen grösser als die Anzahl der Variablen, so ergibtsich für ein lösbares Gleichungssystem bei Anwendung vollständigerElimination immer mindestens eine Zeile mit lauter Nullen.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Nicht lösbares Gleichungsystem
Gegeben sei ein inhomogenes LGS. Entsteht bei der Anwendung vonZeilenoperationen zur Durchführung der vollständigen Elimination in dererweiterten Koezientenmatrix eine Zeile, die in der letzten Spalte eine vonNull verschiedene Zahl und sonst nur Nullen enthält, so enthält dasGleichungssystem einen Widerspruch und ist nicht lösbar.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
GAUSSscher Algorithmus: Denition
Die Lösung eines eindeutig lösbaren inhomogenen LGS Ax = b mit mGleichungen in n Variablen und m ≥ n können dadurch bestimmt werden,dass man durch Anwendung von Zeilenoperationen auf die erweiterteKoezientenmatrix (A |b ) den oberen quadratischen Teil von A in eine obereDreiecksmatrix umwandelt. Durch sukzessives Einsetzen kann man aus demsich ergebenden Gleischungssystem die Lösung bestimmen.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
GAUSSscher Algorithmus: Vorgehen 1/3
Gleichungssystema11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn
x1x2· · ·xm
=
b1b2· · ·bm
Erweiterung der Koezientenmatrix:a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2· · · · · · · · · · · ·am1 am2 · · · amn bm
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
GAUSSscher Algorithmus: Vorgehen 2/3
Umwandlung der erweiterten Matrix durch Anwendung vonZeilenoperationen, so dass aus dem oberen quadratischen Teil derKoezientenmatric eine obere Dreiecksmatrix wird.
a11 a12 a13 · · · a1n b∗10 a∗22 a∗23 · · · a∗2n b∗20 0 a∗33 · · · a∗3n b∗3· · · · · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · a∗nn b∗n0 0 0 · · · 0 0· · · · · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · 0 0
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
GAUSSscher Algorithmus: Vorgehen 3/3
Die erweiterte Matrix entspricht dem folgenden Gleichungssystem:
a11x1 + a12x2 +a13x3 · · · +a1nxn = b1
a∗22x2 +a∗23x3 · · · +a∗2nxn = b∗2
a∗33x3 · · · +a∗3nxn = b∗3
· · ·a∗nnxn = b∗n
Bestimmung der Lösungen durch sukzessives Einsetzen der bereits bekanntenLösungswerte:
Aus der letzten Gleichung ergibt sich
xn =b∗na∗nn
Einsetzen des Lösungswertes für xn in die vorletzte Gleichung, ergibt denLösungswert für xn−1 usw.
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Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme
Kriterien für die Lösbarkeit eines LGS
Gegeben sei ein Gleichungssystem Ax = b mit m Gleichungen in n Variablen.Für die Lösbarkeit des Gleichungssystems gilt dann:
rang (A) < rang (A |b ) =⇒ Ax = b ist nicht lösbar.rang (A) = rang (A |b ) = r < n =⇒ Ax = b ist mehrdeutig lösbar.rang (A) = rang (A |b ) = n =⇒ Ax = b ist eindeutig lösbar.
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Lineare Algebra Determinanten
Lineare Algebra
1 Grundlagen der Matrizenrechnung
2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
3 Determinanten
4 Inverse Matrizen
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Lineare Algebra Determinanten
Grundlegende Begrie
Eine Determinante ist eine reelle Zahl, die aus den Elementen einerquadratischen Matrix, deren Elemente reelle Zahlen sind, nach bestimmtenVorschriften berechnet wird.
Die Determinante einer quadratischen Matrix A wird bezeichnet als det (A)oder |A| .
Die Determinante |A| einer quadratischen Matrix n-ter Ordnung heisstDeterminante n-ter Ordnung.
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Lineare Algebra Determinanten
Determinante 2. Ordnung
Für die quadratische Matrix 2. Ordnung A gilt:
det (A) = |A| =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣= a11a22 − a12a21
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Lineare Algebra Determinanten
Unterdeterminanten
Streicht man in einer Determinante n-ter Ordnung |A| die i-te Zeile und diej-te Spalte, so erhält man eine Determinante (n − 1)−ter Ordnung. Mannennt diese die Unterdeterminante oder auch Minor des Elements aij undbezeichnet sie mit |A|ij . Zu einer Determinante n-ter Ordnung gibt es n2
Unterdeterminanten. Die Determinante
|A| =
∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13a21 a22 a23a31 a32 a33
∣∣∣∣∣∣hat die folgenden Unterdeterminanten:
|A|11 =
∣∣∣∣ a22 a23a32 a33
∣∣∣∣ |A|12 =
∣∣∣∣ a21 a23a31 a33
∣∣∣∣ |A|13 =
∣∣∣∣ a21 a22a31 a32
∣∣∣∣|A|21 =
∣∣∣∣ a12 a13a32 a33
∣∣∣∣ |A|22 =
∣∣∣∣ a11 a13a31 a33
∣∣∣∣ |A|23 =
∣∣∣∣ a11 a12a31 a32
∣∣∣∣|A|31 =
∣∣∣∣ a12 a13a22 a23
∣∣∣∣ |A|32 =
∣∣∣∣ a11 a13a21 a23
∣∣∣∣ |A|33 =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 392 / 516
Lineare Algebra Determinanten
Adjunkte
Multipliziert man die Unterdeterminante |A|ij mit (−1)i+j , so erhält man dieAdjunkte oder den Kofaktor αij des Elements aij
αij = (−1)i+j |A|ijIst die Summe i + j von Zeilen- und Spaltenindex eine gerade Zahl, so ist dasVorzeichen + , ergibt i + j eine ungerade Zahl, ist das Vorzeichen ”− ”.Darstellung der Zuordnung der Vorzeichen:∣∣∣∣∣∣∣∣
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·· · · · · · · · · · · ·
∣∣∣∣∣∣∣∣Matrix der Adjunkten: Matrix in der anstelle des Elements aij der Matrixdie Adjunkte αij dieses Element steht.
α11 α12 · · · α1nα21 α22 · · · α2n· · · · · · · · ·αn1 αn2 · · · αnn
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Lineare Algebra Determinanten
Adjungierte Matrix
Gegeben sei eine quadratische Matrix A = (aij) und die zugehörige Matrixder Adjunkten (αij).
Die transponierte Matrix der Adjunkten heisst adjungierte Matrix und wirdmit Aad bezeichnet.
Aad = (αij)T =
α11 α21 αn1α12 α22 αn2
α1n α2n αnn
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Lineare Algebra Determinanten
Regel von SARRUS für Determinanten 3. Ordnung
Erweitern der 3× 3-Matrix zu einer 3× 5-Matrix indem die 1. und 2. Spalteals 4. und 5. ergänzt werden:
det (A) = |A| = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32
− a31a22a13 − a32a23a11 − a33a21a12
ACHTUNG: Die SARRUSsche Regel ist nur auf die Berechnung vonDeterminanten 3. Ordnung anwendbar.
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Lineare Algebra Determinanten
LAPLACEscher Entwicklungssatz für Determinanten höhererOrdnung 1/2
Multipliziert man jedes Element aij einer beliebigen Zeile oder Spalte einerDeterminante n-ter Ordnung
|A| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣mit seiner zugehörigen Adjunkten αij , so ergibt die Summe dieser n Produkteden Wert der Determinante.
Man spricht dann von der Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeilebzw. nach der j-ten Spalte.
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Lineare Algebra Determinanten
LAPLACEscher Entwicklungssatz für Determinanten höhererOrdnung 2/2
Bei der Entwicklung der Determinante nach der i-ten Zeile ergibt sich ihrWert als:
|A| = ai1αi1 + ai2αi2 + . . .+ ainαin =n∑j=1
aijαij
Bei Entwicklung nach der j-ten Spalte ergibt sich der Wert als:
|A| = a1jα1j + a2jα2j + . . .+ anjαnj =n∑i=1
aijαij
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Lineare Algebra Determinanten
Eigenschaften von Determinanten 1/2
Die Determinante |A| einer Matrix A ist gleich der Determinanten∣∣AT
∣∣ dertransponierten Matrix AT .
Für zwei Matrizen A und B gleicher Ordnung gilt: |A| · |B| = |AB|
Eine Determinante hat den Wert 0, wenn alle Elemente einer Zeile oder einerSpalte gleich Null sind.
Werden alle Elemente einer Zeile oder einer Spalte mit einem Faktor cmultipliziert, so erhält man den c-fachen Wert der ursprünglichenDeterminante.
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Lineare Algebra Determinanten
Eigenschaften von Determinanten 2/2
Wird eine quadratische Matrix n-ter Ordnung A mit dem Skalar cmultipliziert, dann gilt: |cA| = cn |A|
Die Determinante wechselt ihr Vorzeichen, wenn man zwei beliebige Zeilenoder Spalten miteinander vertauscht.
Addiert man zu einer Zeile bzw. einer Spalte ein Vielfaches einer anderenZeile bzw. Spalte, so ändert sich der Wert der Determinante nicht.
Eine Determinante hat den Wert Null, wenn zwei Zeilen oder zwei Spaltenübereinstimmen, oder wenn eine Zeile bzw. eine Spalte ein Vielfaches eineranderen Zeile bzw. Spalte ist.
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Lineare Algebra Determinanten
Determinante einer Dreiecksmatrix
Die Determinante einer Dreiecksmatrix ergibt sich als Produkt der Elementeauf der Hauptdiagonalen.∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13 · · · a1n0 a22 a23 · · · a2n0 0 a33 · · · a3n· · · · · · · · · · · ·0 0 0 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣a11 0 0 · · · 0a21 a22 0 · · · 0a31 a32 a33 · · · 0· · · · · · · · · · · ·an1 an2 an3 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= a11a22a33 · . . . ·ann
Die Regel ergibt sich, wenn der LAPLACEsche Entwicklungssatz immerwieder auf die jeweils erste Spalte (bei der oberen Dreiecksmatrix) bzw. dieerste Zeile (bei der unteren Dreiecksmatrix) angewendet wird.
Zur Berechnung einer Determinante kann die entsprechende Matrix durchAnwendung von Zeilenoperationen in eine Dreiecksmatrix umwandelt und dieDeterminante nach obiger Regel berechnet werden.
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Lineare Algebra Determinanten
Denitheit von Matrizen
Die Determinanten der n Unterdeterminanten einer n × n-Matrix A
|A1| = |a11| ; |A2| =
∣∣∣∣ a11 a12a21 a22
∣∣∣∣ ; . . . |An| =
∣∣∣∣∣∣∣a11 . . . a1n...
...an1 . . . ann
∣∣∣∣∣∣∣heissen Hauptminoren der Matrix A.
Eine Matrix ist dann positiv denit, wenn für die n Hauptminoren gilt:|A1| > 0, . . . , |An| > 0
Haben die Hauptminoren alternierende Vorzeichen, beginnend mit negativemVorzeichen, dann ist A entsprechend negativ denit.
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Lineare Algebra Determinanten
Eindeutige Lösbarkeit inhomogener LGS
Eine Matrix A, deren Determinante verschwindet (|A| = 0), heisst singulär.Ist die Determinante von Null verschieden, so heisst die Matrix nichtsinguläroder regulär.
Die Koezientenmatrix eines eindeutig lösbaren inhomogenen LGS mitn Gleichungen und n Variablen ist regulär, die eines nicht eindeutig lösbarenLGS ist singulär.
Überprüfung der eindeutigen Lösbarket eines LGS Ax = b mit n Gleichungenund n Variablen:
gilt |A| 6= 0, dann ist das LGS eindeutig lösbar
gilt |A| = 0, dann nicht.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 402 / 516
Lineare Algebra Determinanten
CRAMERsche Regel
Gegeben sei ein inhomogenes LGS mit n Gleichungen in n Variablen Ax = b. DieLösung kann wie folgt bestimmt werden:
1 Bestimme |A| . Gilt |A| = 0, so ist Ax = b nicht eindeutig lösbar und dasVerfahren ist beendet.
2 Berechne die n Determinanten |Aj | (j = 1, . . . , n) der Matrizen Aj , die manaus der Koezientenmatrix A dadurch erhält, dass man die j-te Spalte durchden Vektor b der absoluten Glieder ersetzt, also:
|A1| =
∣∣∣∣∣∣∣∣b1 a12 a13 · · · a1nb2 a22 a23 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·bn an2 an3 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣ |A2| =
∣∣∣∣∣∣∣∣a11 b1 a13 · · · a1na21 b2 a23 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 bn an3 · · · ann
∣∣∣∣∣∣∣∣3 Bestimme
xj =|Aj ||A|
, j = 1, . . . , n
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Lineare Algebra Inverse Matrizen
Lineare Algebra
1 Grundlagen der Matrizenrechnung
2 Lineare Gleichungssysteme (LGS)
3 Determinanten
4 Inverse Matrizen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 404 / 516
Lineare Algebra Inverse Matrizen
Inverse einer quadratische Matrix
Für eine quadratische Matrix A ist die Inverse oder inverse Matrix A−1 alseine Matrix deniert, für die gilt:
A−1A = AA−1 = E
Für nicht quadratische Matrizen ist die Inverse allgemein nicht deniert.
Eine quadratische Matrix A hat genau dann eine Inverse, wenn |A| 6= 0.
Eine Matrix kann nur eine Inverse haben.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 405 / 516
Lineare Algebra Inverse Matrizen
Eigenschaften der Inverse
Seien A und B invertierbare n × n-Matrizen. Dann gilt:
A−1 ist invertierbar und(A−1
)−1= A.
AB ist invertierbar und es gilt (AB)−1 = B−1A−1.
Die Transponierte AT ist invertierbar und(AT)−1
=(A−1
)T.
(cA)−1 = c−1A−1, falls c eine Zahl 6= 0.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 406 / 516
Lineare Algebra Inverse Matrizen
Bestimmung der Inversen durch vollständige Elimination
Gegeben sei eine quadratische Matrix A, zu der die Inverse A−1 existiert. DieInverse kann wie folgt bestimmt werden:
1 Erweiterung der Matrix A um eine Einheitsmatrix geeigneter Ordnung zu(A |E )
2 Transformation der erweiterten Matrix (A |E ) durch Anwendung vonZeilenoperationen derart, dass anstelle von A die Einheitsmatrix steht. Imrechten Teil der erweiterten Matrix steht dann die Inverse:
(E∣∣A−1 )
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 407 / 516
Lineare Algebra Inverse Matrizen
Lösung eines inhomogenen LGS mit Hilfe der Inversen derKoezientenmatrix
Gegeben sei ein LGS mit n Gleichungen in n Variablen: Ax = b.
Multiplikation beider Seiten der Gleichung von links mit der Inversen derKoezientenmatrix ergibt:
A−1Ax = A−1b =⇒ Ex = A−1b =⇒ x = A−1b
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 408 / 516
Lineare Algebra Inverse Matrizen
Bestimmung der Inverse mit Hilfe der adjungierten Matrix
Gegeben sei eine quadratische Matrix A = (aij) , deren Inverse existert unddie adjungierte Matrix Aad = (αij)
T
Dann gilt:
A−1 =1|A|
Aad =
α11|A|
α21|A| · · · αn1
|A|α12|A|
α22|A| · · · αn2
|A|· · · · · · · · ·α1n|A|
α2n|A| · · · αnn
|A|
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 409 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Funktionen mit mehreren Variablen
Funktionen von zwei Variablen
Funktionen von mehreren Variablen
Komparative statische Analysen
Multivariate Optimierung
Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 410 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Denitionen
Eine Funktion f von zwei Variablen x und y mit Denitionsbereich D ist eineRegel, die jedem Punkt (x , y) ∈ D eine genau spezizierte Zahl f (x , y)zuordnet.
z = f (x , y)
Wir nennen x und y die unabhängigen Variablen und z die abhängigeVariable.
Der Denitionsbereich ist die Menge aller möglichen Paare derunabhängigen Variablen.
Der Wertebereich ist die Menge der zugehörigen Werte der abhängigenVariablen.
x und y heissen auch exogene Variablen, während z die endogene Variable ist.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 411 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Beispiele für Funktionen mit mehreren Variablen
Untersuchung der Nachfrage nach Milch von R. Frisch und T. Haavelmo:
x = Am2,08
p1,5(A pos. Konstante)
mit x Milchkonsum, p relativer Preis von Milch, m das Einkommen proFamilie
Cobb-Douglas-Funktion (1927, Schätzung der Produktionsfunktion):
F (x , y) = Axayb (A, a und b sind Konstanten)
gewöhnliche Annahme: x > 0, y > 0
zur Beschreibung von Produktionsprozessen sind x und y die Inputfaktorenund F (x , y) die Anzahl der produzierten Einheiten.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 412 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Denitionsbereich
Für Funktionen in ökonomischen Anwendungen unterliegt derDenitionsbereich gewöhnlich Einschränkungen: Wenn f (x , y) eineProduktionsfunktion ist, so nehmen wir für die Inputvariablen gewöhnlichx ≥ 0 und y ≥ 0 an.
Wenn nichts anderes vereinbart ist, nehmen wir an, dass derDenitionsbereich einer Funktion, die durch eine Formel deniert ist, gegebenist durch den grössten Bereich, für den die Formel einen eindeutigen undsinnvollen Wert liefert.
Für Funktionen von zwei Variablen ist der Denitionsbereich einePunktmenge in der Ebene.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 413 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Partielle Ableitungen mit zwei Variablen
Für eine Funktion y = f (x) misst die Ableitung dfdx
die Änderungsrate, wennx sich ändert.
Auch für Funktionen von zwei Variablen z = f (x , y) sind wir daraninteressiert, wie schnell sich f (x , y) ändert, wenn die unabhängigen Variablensich ändern.
Wenn z = f (x , y), dann bezeichnet ∂z∂x die Ableitung von f (x , y) bezüglich
x , wenn y konstant gehalten wird und ∂z∂y die Ableitung von f (x , y)
bezüglich y , wenn x konstant gehalten wird.
Wenn z = f (x , y), dann heisst ∂z∂x = ∂f
∂x die partielle Ableitung von z oder fbezüglich x und ∂z
∂y = ∂f∂y die partielle Ableitung von z oder f bezüglich y .
∂f∂x und ∂f
∂y messen die Änderungsraten von f bezüglich x bzw. y . Wenn z.B.∂f∂x > 0 dann führt eine kleine Erhöhung von x zu einem Anstieg in f (x , y).
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 414 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Partielle Ableitungen: Beispiel
Untersuchung der Nachfrage nach Milch von R. Frisch und T. Haavelmo:
x = Am2,08
p1,5= Ap−1,5m2,08 (A pos. Konstante)
mit x Milchkonsum, p relativer Preis von Milch, m das Einkommen proFamiliepartielle Ableitungen
∂f
∂p=− 1, 5Ap−2,5m2,08
︷ ︸︸ ︷< 0
∂f
∂m=2, 08Ap−1,5m1,08
︷ ︸︸ ︷> 0
Der Milchkonsum sinkt, wenn der Preis steigt und er steigt, wenn dasEinkommen steigt.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 415 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Andere Notationen
Gegeben sein z = f (x , y)
∂f
∂x=∂z
∂x= z
′
x = f′
x (x , y) = f′
1 (x , y) =∂f (x , y)
∂x
∂f
∂y=∂z
∂y= z
′
y = f′
y (x , y) = f′
2 (x , y) =∂f (x , y)
∂y
Die numerischen Indizes beziehen sich auf die Position des Arguments in derFunktion, d.h. f
′
1 ist die partielle Ableitung bezüglich der ersten Variablenund f
′
2 die partielle Ableitung bezüglich der zweiten Variablen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 416 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Formale Denition der partiellen Ableitung
Falls z = f (x , y) und g (x) = f (x , y) (bei festem y), so ist die partielleAbleitung von f (x , y) bezüglich x einfach g ′ (x).Die Denition von g ′ (x) ist gegeben durch
g ′ (x) = lim4x→0
g (x +4x)− g (x)
4x
Es folgt für f′
x (x , y) = g ′ (x):
f′
x (x , y) = lim4x→0
f (x +4x , y)− f (x , y)
4x=∂f (x , y)
∂x
Ebenso gilt:
f′
y (x , y) = lim4y→0
f (x , y +4y)− f (x , y)
4y=∂f (x , y)
∂y
Wenn die Grenzwerte nicht existieren, sagen wir, dass die entsprechendenpartiellen Ableitungen nicht existieren oder dass z nicht dierenzierbar istbezüglich x oder y in dem entsprechenden Punkt.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 417 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Interpretation der partiellen Ableitung
Die partielle Ableitung ∂f (x,y)∂x ist ungefähr gleich der Änderung von f (x , y),
die aus der Änderung von x um eine Einheit bei konstantem y resultiert.
Die partielle Ableitung ∂f (x,y)∂y ist ungefähr gleich der Änderung von f (x , y),
die aus der Änderung von y um eine Einheit bei konstantem x resultiert.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 418 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Partielle Ableitungen höherer Ordnung
Wenn z = f (x , y) dann heissen ∂f∂x und ∂f
∂y partielle Ableitungen ersterOrdnung. Diese sind wiederum Funktionen von zwei Variablen.Wenn diese wiederum partiell dierenzierbar sind, erhalten wir vier partielleAbleitungen zweiter Ordnung.
∂f
∂x
(∂f
∂x
)=∂2f
∂x2∂f
∂x
(∂f
∂y
)=
∂2f
∂x∂y
∂f
∂y
(∂f
∂x
)=
∂2f
∂y∂x
∂f
∂y
(∂f
∂y
)=∂2f
∂y2
Andere Notationen:
∂2f
∂x2= f
′′
xx (x , y) = f′′
11 (x , y)
∂2f
∂x∂y= f
′′
xy (x , y) = f′′
12 (x , y)
Für die meisten Funktionen gilt:
∂2f
∂x∂y=
∂2f
∂y∂xDr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 419 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Geometrische Darstellung 1/2
Das Koordinatensystem im Raum:
Funktion einer Variablen werden dargestellt durch den Graphen in einemrechtwinkligen Koordinatensystem.
Bei Funktionen von zwei Variablen bilden die Graphen Flächen in einemdreidimensionalen Raum.
Jeder Punkt in der Ebene wird durch ein Paar reeller Zahlen dargestellt, indemman orthogonale Koordinatenachsen benutzt, d.h. rechtwinkligesKoordinatensystem.
Punkte im Raum können durch Tripel reeller Zahlen dargestellt werden, indemwir drei paarweise orthogonale Koordinatenachsen benutzen.
Koordinatenachsen schneiden sich im Ursprung und heissen x-Achse, y-Achseund z-Achse.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 420 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Geometrische Darstellung 2/2
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 421 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Der Graph einer Funktion von zwei Variablen
Sei z = f (x , y) eine Funktion von zwei Variablen, deniert in einem BereichD in der xy -Ebene.
Der Graph der Funktion f ist die Menge aller Punkte (x , y , f (x , y)) imRaum, die man erhält, wenn man (x , y) durch D laufen lässt.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 422 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Höhenlinien
Wenn die Schnittebene zurGleichung x = c gehört, dannheisst die Projektion derSchnittkurve auf die xy -Ebenedie Höhenlinie oder Niveauliniezur Höhe c für f
Die Höhenlinie besteht aus denPunkten (x , y), die die folgendeGleichung erfüllen:
f (x , y) = c
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 423 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Beispiel 1
z = x2 + y2
Jede Höhenlinie hat die Gleichung x2 + y2 = c für ein c ≥ 0. Dies sind Kreise inder xy -Ebene mit Mittelpunkt im Ursprung und Radius
√c.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 424 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Beispiel 2: Cobb-Douglas Funktion
Sei F (K , L) die Anzahl produzierter Einheiten (Output), bei Kapitalinput K undArbeitsinput L. Eine Höhenlinie dieser Funktion ist eine Kurve in der KL-Ebene:
F (K , L) = Y0
Diese Kurve heisst eine Isoquante (gleiche Menge)
F (K , L) = AK aLb mit a + b < 1 und A > 0
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 425 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von zwei Variablen
Geometrische Interpretation der partiellen Ableitung
f 'x (x0, y0) ist die Ableitung von z = f (x0, y0) nach x in x = x0 und istSteigung der Tangente ly an die Kurve Ky in x = x0.
Analog ist f 'y (x0, y0) die Steigung der Tangente lx an die Kurve Kx in y = y0.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 426 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Funktionen mit mehreren Variablen
Funktionen von zwei Variablen
Funktionen von mehreren Variablen
Komparative statische Analysen
Multivariate Optimierung
Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 427 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Funktion von n Variablen
Eine geordnete Menge von n Zahlen, ein n-Tupel von Zahlen (x1, x2, . . . , xn) ,heisst n-dimensionaler Vektor.
Eine Funktion von n Variablen mit Denitionsbereich D ist eine Regel, diejedem n-dimensionalen Vektor x = (x1, x2, . . . , xn) in D genau eine Zahlf (x) = f (x1, x2, . . . , xn) zuordnet.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Funktion von n Variablen: Beispiel 1
Nachfrage nach Zucker in USA (1929 - 1935) geschätzt:
x = 108, 83− 6, 029p + 0, 164w − 0, 4217t
mit x Nachfrage, p Preis, w ein Produktionsindex, t Zeit (t0 = 0 für 1929)
Die Variablen p,w und t kommen nur in der ersten Potenz vor und werdennur mit Konstanten multipliziert. Solche Funktionen heissen linear.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Funktion von n Variablen: Beispiel 2
Nachfrage nach Bier in UK:
x = 1, 058x0,1361 x−0,7272 x
0,9143 x
0,8164
mit x Nachfrage, x1 Einkommen der Person, x2 Preis, x3 allgemeinerPreisindex für alle Güter, x4 Stärke des Bieres
Spezialfall der allgemeinen Cobb-Douglas Funktion:
F (x1, x2, . . . , xn) = Axa11 xa22 . . . xann
deniert für x1 > 0, x2 > 0, . . . , xn > 0 und Konstante A > 0, a1, a2, . . . , an
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Stetigkeit
Eine Funktion von n Variablen ist stetig, wenn kleine Änderungen in eineroder allen Variablen zu kleinen Änderungen in den Funktionswerten führen.
Wie bei einer Variablen gilt: Jede Funktion von n Variablen, die durchKombination der Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation, Divisionund Verkettung aus stetigen Funktionen entsteht, ist überall dort stetig, wosie deniert ist.
Wenn eine Funktion einer Variablen stetig ist, so ist sie auch stetig, wennman sie als Funktion mehrerer Variablen betrachtet, z.B. f (x , y , z) = x2
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Denition der partiellen Ableitung mit mehreren Variablen
Wenn z = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) dann bedeutet ∂f∂xi
für (i = 1, 2, . . . , n)
die partielle Ableitung von f (x1, x2, . . . , xn) nach xi wenn alle anderenVariablen xj (j 6= i) konstant gehalten werden.
Es gibt also n partielle Ableitungen erster Ordnung eine für jedesxi , i = 1, 2, . . . , n.
Andere Notationen für partielle Ableitungen erster Ordnung vonz = f (x1, x2, . . . , xn):
∂f
∂xi=∂z
∂xi= z
′
xi= f
′
xi(x1, x2, . . . , xn) = f
′
i (x1, x2, . . . , xn)
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Interpretation der partiellen Ableitung mit mehrerenVariablen
Die partielle Ableitung ∂z∂xi
ist ungefähr gleich der Änderung inz = f (x) = f (x1, x2, . . . , xn) die durch einen Anstieg von xi um eine Einheitverursacht wird, wenn alle anderen Variablen xj (j 6= i) konstant gehaltenwerden.
∂f
∂xi= f (x1, . . . , xi−1,xi + 1, xi+1, . . . xn)− f (x1, . . . , xi−1, xi, xi+1, . . . xn)
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Partielle Ableitungen zweiter Ordnung
Für jede partielle Ableitung erster Ordnung gibt es n partielle Ableitungenzweiter Ordnung:
∂f
∂xj
(∂f
∂xi
)=
∂2f
∂xj∂xi= f
′xj xi
i = 1, . . . , n und j = 1, . . . , n, d.h. es gibt n2 partielle Ableitungen zweiterOrdnung, die in einer n× n-Matrix angeordnet werden: Die Hesse-Matrix ander Stelle x = (x1, x2, . . . , xn)
f ′′ (x) =
∂2f∂x21
∂2f∂x1∂x2
· · · ∂2f∂x1∂xn
∂2f∂x2∂x1
∂2f∂x22
· · · ∂2f∂x2∂xn
· · · · · · · · ·∂2f
∂xn∂x1
∂2f∂xn∂x2
· · · ∂2f∂x2n
∂2f∂x2i
partielle Ableitung bezüglich derselben Variablen in der Diagonalen
heissen direkte partielle Ableitungen, ∂2f∂xi∂xj
(i 6= j) gemischte odergekreuzte partielle Ableitungen ausserhalb der Diagonalen.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Youngs Theorem
Wenn z = f (x1, x2, . . . , xn), dann sind die beiden gemischten partiellenAbleitungen ∂2f
∂xi∂xjund ∂2f
∂xj∂xigewöhnlich gleich, d.h.
∂f
∂xj
(∂f
∂xi
)=∂f
∂xi
(∂f
∂xj
)Die Reihenfolge der Dierentation spielt also keine Rolle.
Genauer gilt Folgendes:
Alle partiellen Ableitungen m-ter Ordnung der Funktion z = f (x1, x2, . . . , xn)seien stetig.
Wenn zwei partielle Ableitungen implizieren, dass bezüglich jeder der Variablengleich oft dierenziert werden muss, so stimmen diese partiellen Ableitungenüberein.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Formale Denition der partiellen Ableitungen
∂z
∂xi= lim
∆xi→0
f (x1, . . . , xi +4xi , . . . , xn)− f (x1, . . . , xi , . . . , xn)
4xi
Wenn der Grenzwert nicht existiert, sagen wir, dass die partielle Ableitungnicht existiert oder dass z nicht dierenzierbar ist nach xi an dieser Stelle.
Wenn z = f (x1, x2, . . . , xn) stetige partielle Ableitungen in ihremDenitionsbereich D hat, nennen wir f stetig dierenzierbar in D.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 1/4
Y = F (K , L,T )
Y Anzahl produzierter Einheiten, K das investierte Kapital, L derArbeitsinput und T die landwirtschaftliche Nutzäche.
∂Y
∂K= F
′
K Grenzprodukt des Kapitals
∂Y
∂L= F
′
L Grenzprodukt der Arbeit
∂Y
∂T= F
′
T Grenzprodukt der Nutzäche
∂Y∂K ist die Änderungsrate des Outputs Y bezüglich K , wenn L und T
konstant gehalten werden.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 2/4
Angenommen, die Funktion F ist eine Cobb-Douglas-Funktion:
F (K , L,T ) = AK aLbT c (A, a, b, c pos. Konstanten)
Die Grenzprodukte sind:
∂F
∂K= AaK a−1LbT c
∂F
∂L= AbK aLb−1T c
∂F
∂T= AcK aLbT c−1
Wenn K , L,T positiv sind, sind alle Grenzprodukte positiv, d.h. eineSteigerung des Kapitals, der Arbeit oder der Anbauäche führt zu einerStiegerung der Produktion.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 3/4
∂F
∂K= AaK a−1LbT c ∂F
∂L= AbK aLb−1T c ∂F
∂T= AcK aLbT c−1
Gemische partielle Ableitungen zweiter Ordnung:
∂2F
∂K∂L= AabK a−1Lb−1T c =
∂2F
∂L∂K> 0
∂2F
∂K∂T= AacK a−1LbT c−1 =
∂2F
∂T∂K> 0
∂2F
∂L∂T= AbcK aLb−1T c−1 =
∂2F
∂T∂L> 0
Jedes Paar von Faktoren ist komplementär, da mehr von einem dasGrenzprodukt des anderen erhöht.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 4/4
∂F
∂K= AaK a−1LbT c ∂F
∂L= AbK aLb−1T c ∂F
∂T= AcK aLbT c−1
Direkte partielle Ableitungen zweiter Ordnung
∂2F
∂K 2= Aa (a− 1)K a−2LbT c
∂2F
∂L2= Ab (b − 1)K aLb−2T c
∂2F
∂T 2= Ac (c − 1)K aLbT c−2
z.B gilt für ∂2F∂K2 : wenn a < 1, dann ist ∂2F
∂K2 < 0, dies bedeutet einabnehmendes Grenzprodukt des Kapitals, d.h. eine kleine Erhöhung desinvestierten Kapitals führt zu einer Abnahme des Grenzprodukts des Kapitals.
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Partielle Elastizitäten: Zwei Variablen
Wenn z = f (x , y), denieren wir die partiellen Elastizitäten von z
bezüglich x und y durch:
Elxz =x
z
∂z
∂xElyz =
y
z
∂z
∂y
Elxz ist die Elastizität von z bezüglich x , wenn y konstant gehalten wird undElyz ist die Elastizität von z bezüglich y , wenn x konstant gehalten wird.
Die Zahl Elxz gibt ungefähr die prozentuale Änderung von z an, wenn sich x
um 1% erhöht, entsprechend Elyz .
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Beispiel: Elastizitäten für Kartoeln und Äpfel
Die Nachfrage nach Kartoeln in den USA wurde für den Zeitraum1927-1941 geschätzt als:
D1 = Ap−0,28m0,34
p Preis für Kartoeln, m das mittlere Einkommen
Die Nachfrage nach Äpfeln wurde geschätzt durch:
D2 = Bq−1,27m1,32
q Preis für Äpfel, m das mittlere Einkommen
Die Preis- und Einkommenselastizitäten der Nachfrage sind dann:
ElpD1 = −0, 28 ElmD1 = 0, 34
ElpD2 = −1, 27 ElmD2 = 1, 32
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Funktionen mit mehreren Variablen Funktionen von mehreren Variablen
Partielle Elastizitäten: n Variablen
Wenn z = f (x1, x2, . . . xn) = f (x), wird die partielle Elastizität von z (oderf ) bezüglich xi deniert als Elastizität von z bezüglich xi , wenn alle anderenVariablen konstant gehalten werden.
Eliz =xi
f (x)
∂f (x)
∂xi=
xi
z
∂z
∂xi
Eliz wird interpretiert als approximative Änderung von z , wenn xi sich um1% erhöht und alle anderen Variablen xj (j 6= i) konstant gehalten werden.
Andere Notationen:
Eli f (x) Elxi z εi ei
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Funktionen mit mehreren Variablen
Funktionen von zwei Variablen
Funktionen von mehreren Variablen
Komparative statische Analysen
Multivariate Optimierung
Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Kettenregel bei zwei Variablen
In ökonomischen Wachstumsmodellen wird Output als Funktion von Kapitalund Arbeit betrachtet, die wiederum beide von der Zeit abhängen.
Wie variiert der Output mit der Zeit?
z = F (x , y) x = f (t) y = g (t)
=⇒ z = F (f (t) , g (t))
Wenn z = F (x , y) mit x = f (t) und y = g (t), dann gilt
dz
dt=∂F
∂x· dxdt
+∂F
∂y· dydt
Die Gleichung gibt die Ableitung von z = F (x , y), wenn x und y beidesdierenzierbare Funktionen von t sind.
Diese Ableitung heisst die totale Ableitung von z nach t.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Beispiel: Nachfrage als Funktion von Preis und Einkommen
Sei D = D (p,m) die Nachfrage nach einem Gut als Funktion des Preises unddes Einkommens. Der Preis p und das Einkommen m variieren stetig mit derZeit t, so dass p = p (t) und m = m (t), d.h. die Nachfrage ist eine Funktionvon t allein:
D = D (p (t) ,m (t))
Bestimmen Sie.DD, die relative Änderungsrate der Nachfrage.
Nach der Kettenregel gilt.
D =∂D (p,m)
∂p
.p +
∂D (p,m)
∂m
.m
.
D
D=
p
D
∂D (p,m)
∂p
.p
p+
m
D
∂D (p,m)
∂m
.m
m
= (ElpD)
.p
p+ (ElmD)
.m
m
Man erhält die relative Änderungsrate der Nachfrage, indem man dierelativen Änderungsraten des Preises und des Einkommens mit denentsprechenden Elastizitäten multipliziert und dann addiert.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Kettenregel für n Variablen
In der Theorie des Konsumverhaltens wird angenommen, dass der Nutzeneines Haushalts von der Anzahl eines jeden Gutes abhängt, die er verbrauchenkann. Die Anzahl der verbrauchten Einheiten wiederum wird von den Preisendieser Güter und dem Einkommen des Haushalts abhängen. Der Nutzenhängt also indirekt von allen Preisen und dem Einkommen ab. Es wird eineallgemeine Kettenregel benötigt:
Wenn z = F (x , y) mit x = f (t, s) und y = g (t, s), dann ist z eine Funktionvon t und s, d.h.
z = F (f (t, s) , g (t, s))
und es gilt:∂z
∂t=∂F (x , y)
∂x
∂x
∂t+∂F (x , y)
∂y
∂y
∂t
∂z
∂s=∂F (x , y)
∂x
∂x
∂s+∂F (x , y)
∂y
∂y
∂s
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Allgemeine Kettenregel
Es ist z = F (x1, . . . , xn) mit x1 = f1 (t1, . . . , tm) , . . . , xn = fn (t1, . . . , tm)
Die allgemeine Kettenregel:
∂z
∂tj=
∂z
∂x1
∂x1∂tj
+∂z
∂x2
∂x2∂tj
+ . . .+∂z
∂xn
∂xn∂tj
j = 1, 2, . . . ,m
Eine kleine Änderung in einer der Basisvariablen tj löst eine Kettenreaktionaus:
Jedes xi hängt von tj ab, so dass es sich ändert, wenn tj sich ändert.Dies wiederum beeinusst z .Der Beitrag zur totalen Ableitung von z nach tj , der von der Änderung in xiresultiert, ist ∂z
∂xi
∂xi∂tj
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 1/2
Es seiY = F (K , L,T )
mit Y Ertrag der Ernte, K das investierte Kapital, L die Arbeit und T dieGrösse der Anbauäche.
Annahme: K , L, T hängen alle von der Zeit t ab.
Dann gilt nach der Kettenregel:
dY
dt=∂F
∂K
dK
dt+∂F
∂L
dL
dt+∂F
∂T
dT
dt
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 2/2
Wenn F die Cobb-Douglas-Funktion F (K , L,T ) = AK aLbT c ist, so folgt:
dY
dt= aAK a−1LbT c dK
dt+ bAK aLb−1T c dL
dt+ cAK aLbT c−1 dT
dt(∗)
Mit der Punktnotation für Ableitungen nach der Zeit und Division von (∗)durch Y = AK aLbT c ergibt sich
Y
Y= a
K
K+ b
L
L+ c
T
T
Die relative Änderungsrate des Outputs ist eine gewichtete Summe derrelativen Änderungsraten des Kapitals, der Arbeit und der Anbauäche.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Steigung einer Höhenlinie 1/2
Sei F eine Funktion von zwei Variablen.
F (x , y) = c (c = const.)
Diese Gleichung deniert eine Höhenlinie (Isoquante) für F .Annahme: y werde implizit als Funktion von x in Intervall I deniert, d.h.
F (x , f (x)) = c
für alle x ∈ I .
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Steigung einer Höhenlinie 2/2
F (x , f (x)) = c für alle x ∈ I (∗)
Sei u (x) = F (x , f (x)). Dann gilt nach der Kettenregel:
u′ (x) = F′
1 (x , f (x)) · 1 + F′
2 (x , f (x)) · f ′ (x)
Nach (∗) ist u (x) = c für alle x ∈ I , d.h.
u′ (x) = F′
1 (x , f (x)) · 1 + F′
2 (x , f (x)) · f ′ (x) = 0
Wir ersetzen f (x) durch y und lösen nach f ′ (x) = y ′ auf und erhalten somitfür die Steigung einer Höhenlinie F (x , y) = c
y ′ =dy
dx= −F
′
1 (x , y)
F′2 (x , y)
= −∂F/∂x∂F/∂y
(∂F/∂y 6= 0)
Diese Gleichung gibt die Ableitung von y nach x selbst dann, wenn esunmöglich ist, die Gleichung F (x , y) = c explizit nach y aufzulösen.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Formel für die zweite Ableitung 1/2
Um zu bestimmen, ob eine Höhenlinie F (x , y) = c der Graph einer konvexenoder konkaven Funktion y = f (x) ist, brauchen wir die 2. Ableitung y ′′, d.h.die Ableitung von
y ′ = −F′
1 (x , y)
F′2 (x , y)
Wir setzen: G (x) = F′
1 (x , y) und H (x) = F′
2 (x , y), wobei y eine Funktionvon x ist.
Zu dierenzieren ist: y ′ = −G(x)H(x) nach x.
Nach der Quotientenregel ist:
y ′′ = −G′ (x)H (x)− G (x)H ′ (x)
[H (x)]2(∗)
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Formel für die zweite Ableitung 2/2
Nach der Kettenregel ist:
G ′ (x) = F′′
11 (x , y) · 1 + F′′
12 (x , y) · y ′
H ′ (x) = F′′
21 (x , y) · 1 + F′′
22 (x , y) · y ′
Es ist F′′
12 = F′′
21 und y ′ = −F′1
F′2
Einsetzen in (∗) und vereinfachen gibt:
y ′′ = − 1(F′2
)3 [F ′′11 (F ′2)2 − 2F′′
12F′
1F′
2 + F′′
22
(F′
1
)2]Gewöhnlich ist es einfacher, y ′′ durch direktes Dierenzieren zu bestimmen.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Allgemeinere Fälle
Gegeben sei die Funktion g (x , y) = F (x , y , f (x , y)) = c mit (x , y) ∈ A
Es gilt:g′
x = g′
y = 0
Andererseits gilt nach der Kettenregel:
g′
x = F′
x · 1 + F′
z · z′
x = 0 g′
y = F′
y · 1 + F′
z · z′
y = 0
Durch Auösen nach z′
x bzw. z′
y folgt:
z′
x =∂z
∂x= −F
′
x
F′z
z′
y =∂z
∂y= −
F′
y
F′z
(F′
z 6= 0)
Damit kann man die Ableitungen z′
x bzw. z′
y selbst dann nden, wenn mandie Gleichung F (x , y , z) = c nicht explizit nach z auösen kann.
F (x1, . . . , xn, z) = c =⇒ ∂z
∂xi= −∂F/∂xi
∂F/∂zi = 1, . . . , n
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Homogene Funktionen von zwei Variablen
Motivation: F (K , L) bezeichnet die Anzahl der produzierten Einheiten, wennK Einheiten Kapital und L Einheiten Arbeit als Input verwendet werden. Wasgeschieht mit der produzierten Menge, wenn Kapital- und Arbeitsinputverdoppelt werden.
Eine Funktion f von zwei Variablen x und y in D heisst homogen vom Gradk, wenn für alle (x , y) ∈ D gilt:
f (tx , ty) = tk f (x , y) für alle t > 0
Der Grad der Homogenität kann positiv, null oder negativ sein.
Ein Polynom ist homogen vom Grad k genau dann, wenn die Summe derExponenten in jedem Term k ist.
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Eulers Theorem
f (tx , ty) = tk f (x , y) für alle t > 0
Wir dierenzieren auf beiden Seiten nach t:
xf′
x (tx , ty) + yf′
y (tx , ty) = ktk−1f (x , y)
Für t = 1 ergibt sich:
xf′
x (x , y) + yf′
y (x , y) = kf (x , y)
f (x , y) ist homogen vom Grade k genau dann, wenn
xf′
x (x , y) + yf′
y (x , y) = kf (x , y)
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Höhenlinien homogener Funktionen
Wenn eine Höhenlinie einer homogenen Funktion bekannt ist, so sind auchalle anderen Höhenlinien bekannt.
Die ganze Gestalt des Graphen ist durch eine Höhenlinie bestimmt.
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Allgemeine homogene Funktion
Sei f eine Funktion von n Variablen deniert in D.
Es gelte: (x1, x2, . . . , xn) ∈ D und t > 0 =⇒ (tx1, tx2, . . . , txn) ∈ D
Die Funktion f heisst homogen vom Grade k in D, wenn
f (tx1, tx2, . . . , txn) = tk f (x1, x2, . . . , xn) für alle t > 0
Die Konstante k kann eine beliebige Zahl sein: positiv, null oder negativ.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Eulers Theorem
Sei f eine dierenzierbare Funktion von n Variablen, deniert in einemoenen Bereich D, wobei x = (x1, x2, . . . , xn) ∈ D und t > 0 implizieren:tx ∈ D. Dann ist f genau dann homogen vom Grad k, wenn die folgendeGleichung für alle x ∈ D gilt:
n∑i=1
xi f′
i (x) = kf (x) (∗)
Beweis: Wenn f homogen vom Grad k, so gilt
f (tx1, tx2, . . . , txn) = tk f (x1, x2, . . . , xn) für alle t > 0
Dierenzieren nach t ergibt
n∑i=1
xi f′
i (tx) = ktk−1f (x)
Für t = 1 folgt (∗)Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 460 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Dierentiale 1/2
Bei einer Funktion y = f (x) mit einer unabhängigen Variablen versteht manunter dem Dierential der Funktion die (endliche) Änderung dy = df (x),die man erhält, wenn man die unabhängige Variable um den Wert dxverändert. Durch das Dierential dy wird näherungsweise die zu dx gehörigeÄnderung des Funktionswertes beschrieben:
dy = df (x) = f ′ (x) dx
Partielles Dierential: Gegeben sei eine Funktion z = f (x , y) mit denpartiellen Ableitungen erster Ordnung f
′
x (x , y) und f′
y (x , y). Dann heisst
dzx = f′
x (x , y) dx partielles Dierential bezüglich x und
dzy = f′
y (x , y) dy partielles Dierential bezüglich y.
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Funktionen mit mehreren Variablen Komparative statische Analysen
Dierentiale 2/2
Totales Dierential: Gegeben sei eine Funktion z = f (x , y) und die beidenpartiellen Dierentiale dzx = f
′
x dx und dzy = f′
y dy .
Die bei einer gleichzeitigen Änderung von x um dx und von y um dy
entstehende Änderung dz der Funktion heisst totales Dierential und ergibtsich durch Addition der partiellen Dierentiale:
dz = dzx + dzy = f′
x dx + f′
y dy
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Funktionen mit mehreren Variablen
Funktionen von zwei Variablen
Funktionen von mehreren Variablen
Komparative statische Analysen
Multivariate Optimierung
Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Zwei Variablen: Stationäre Punkte
z = f (x , y), deniert auf einer Menge S in der xy -Ebene, nehme Maximumin einem inneren Punkt (x0, y0) von S an.
g (x) = f (x , y0) hängt bei festem y0 nurvon x ab und hat ein Maximum in x = x0.Genauso hat h (y) = f (x0, y) ein Maxi-mum in y = y0.
Ein Punkt (x0, y0) , in dem beide partiellen Ableitungen 0 sind, heisst einstationärer Punkt für f.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Notwendige Bedingungen für innere Extrempunkte
Eine dierenzierbare Funktion z = f (x , y) kann nur dann ein Maximum oderMinimum in einem inneren Punkt (x0, y0) von S haben, wenn dies einstationärer Punkt ist, d.h. wenn der Punkt (x , y) = (x0, y0) die beidenGleichungen (Bedingungen erster Ordnung) erfüllt.
∂f (x , y)
∂x= 0
∂f (x , y)
∂y= 0
P, Q und R sind stationäre Punkte. Je-doch ist nur P ein Maximum. (Später:Q ist ein lokales Maximum und R ist einSattelpunkt.)
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 1: Gewinnmaximierung 1/2
Ein Unternehmen produziert zwei Sorten A und B eines Gutes. TäglicheKosten für Produktion von x Einheiten der Sorte A und y Einheiten der SorteB.
C (x , y) = 0, 04x2 + 0, , 1xy + 0, 01y2 + 4x + 2y + 500
Das Unternehmen verkauft den gesamten Output zum Preis pro Einheit von15 für A und 9 für B.
Der Gewinn pro Tag ist
π (x , y) = 15x + 9y − C (x , y)
= −0, 04x2 − 0, 01xy − 0, 01y2 + 11x + 7y − 500
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 1: Gewinnmaximierung 2/2
Wenn x > 0 und y > 0 den Gewinn maximieren, so muss gelten:
∂π
∂x= −0, 08x − 0, 01y + 11 = 0
∂π
∂y= −0, 01x − 0, 02y + 7 = 0
Die eindeutige Lösung dieser beiden linearen Gleichungen ist: x = 100,y = 300 mit dem Maximalwert π (100, 300) = 1100.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 2: Gewinnmaximierung 1/2
Sei Q = F (K , L) eine Produktionsfunktion mit dem Kapitalinput K und demArbeitsinput L. Der Preis pro Einheit Output sei p, die Kosten pro EinheitKapital seien r und die Kosten pro Arbeitseinheit sei w , wobei p, r und w
positive Konstanten sind.
Der Gewinn π bei der Produktion und dem Verkauf von F (K , L) Einheitenist:
π (K , L) = pF (K , L)− rK − wL
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 2: Gewinnmaximierung 2/2
Wenn F dierenzierbar und π ein Maximum mit K > 0, L > 0 hat, dann sinddie Bedingungen erster Ordnung:
∂π
∂K= pF
′
K (K , L)− r = 0
∂π
∂y= pF
′
L (K , L)− w = 0
Notwendige Bedingung, dass der Gewinn maximal wird, wenn K = K∗ undL = L∗.
pF′
K (K∗, L∗) = r ⇐⇒ F′
K (K∗, L∗) =r
p
pF′
L (K∗, L∗) = w F′
L (K∗, L∗) =w
p
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Hinreichende Bedingung für ein Maximum oder Minimum
Sei (x0, y0) ein stationärer Punkt einer Funktion f (x , y) auf einer konvexenMenge S .(a) f hat ein Maximum in (x0, y0) wenn für alle (x , y) in S gilt:
f′′xx (x , y) ≤ 0
f′′yy (x , y) ≤ 0
f′′xx (x , y) f
′′yy (x , y)−
(f′′xy (x , y)
)2
≥ 0
(b) f hat ein Minimum in (x0, y0) wenn für alle (x , y) in S gilt:
f′′xx (x , y) ≥ 0
f′′yy (x , y) ≥ 0
f′′xx (x , y) f
′′yy (x , y)−
(f′′xy (x , y)
)2
≥ 0
Eine zweimal dierenzierbare Funktion z = f (x , y), die die Ungleichungen in(a) in einer konvexen Menge S erfüllt, wird konkav genannt, während siekonvex genannt wird, wenn sie die Ungleichungen in (b) in S erfüllt.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 1: Gewinnmaximierung - Fortsetzung 1/2
Nehmen Sie an, dass jede Produktion des Unternehmens in Beispiel 1 eineUmweltbelasung hervorruft, so dass das Unternehmen per Gesetzeingeschränkt ist, nicht mehr als insgesamt 320 Einheiten der beiden Güterzu produzieren.
Das Problem des Unternehmens ist dann
π (x , y) = −0, 04x2 − 0, 01xy − 0, 01y2 + 11x + 7y − 500
unter der Nebenbedingung
x + y = 320
Die neue Gewinnfunktion ist
π (x , y) = −0, 04x2 − 0, 01x (320− x)− 0, 01 (320− x)2
+ 11x + 7 (320− x)− 500
= −0, 04x2 + 7, 2x + 2236, 8
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 1: Gewinnmaximierung - Fortsetzung
Die Ableitungen der Funktion sind:
∂π
∂x= −0, 08x + 7, 2 = 0
∂2π
∂x2= −0, 08
Aus der ersten Ableitung resultiert eine gewinnmaximale Menge von x = 90.Da die zweite Ableitung > 0 für alle x hat die Funktion ein Maximum.
Aus der Nebenbedingung folgt y = 320− 90 = 230.
Der Gewinn ist damit π = 1040.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Lokale Extrempunkte
Der Punkt (x0, y0) heisst lokaler Maximumpunkt von f in S , wenn
f (x , y) ≤ f (x0, y0)
für alle Paare (x , y) ∈ S , die hinreichend nahe zu (x0, y0) liegen.
Genauer: Es gebe eine positive Zahl r , so dass f (x , y) ≤ f (x0, y0) für alle(x , y) ∈ S , die innerhalb eines Kreises mit Mittelpunkt (x0, y0) und Radius rliegen.
Wenn die Ungleichung strikt gilt für (x , y) 6= (x0, y0), dann ist (x0, y0) einstrikter lokaler Maximumpunkt.
Entsprechend wird ein (strikter) lokaler Minimumpunkt deniert.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Notwendige Bedingungen (erster Ordnung) für lokaleExtrempunkte
In einem lokalen Extrempunkt im Innern des Denitionsbereichs einerdierenzierbaren Funktion, sind alle partiellen Ableitungen erster Ordnung 0.
Diese Bedingungen erster Ordnung sind notwendig für einen lokalenExtrempunkt.
Ein stationärer Punkt muss jedoch kein Extrempunkt sein.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt ist ein stationärer Punkt mit der Eigenschaft, dass esPunkte (x , y) beliebig nahe zu (x0, y0) gibt mit
f (x , y) < f (x0, y0)
und auch andere Punkte (x , y) beliebig nahe zu (x0, y0) mit
f (x , y) > f (x0, y0)
Beispiel: f (x , y) = x2 − y2
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Untersuchung der zweiten Ableitung
Sei f (x , y) eine Funktion mit stetigen partiellen Ableitungen zweiter Ordnungin einem Denitionsbereich S und sei (x0, y0) ein innerer Punkt von S , derstationär für f sei
SeiA = f
′′
xx (x0, y0) B = f′′
xy (x0, y0) C = f′′
yy (x0, y0)
(i) Wenn A < 0 und AC − B2 > 0, dann ist (x0, y0) ein (strikter) lokalerMaximumpunkt.
(ii) Wenn A > 0 und AC − B2 > 0, dann ist (x0, y0) ein (strikter) lokalerMinimumpunkt.
(iii) Wenn AC − B2 < 0, dann ist (x0, y0) ein Sattelpunkt.
(iv) Wenn AC − B2 = 0, dann kann (x0, y0) ein lokaler Maximum-,Minimum- oder Sattelpunkt sein.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Anmerkungen zu den Bedingungen zweiter Ordnung
Bedingung AC − B2 > 0 in (i) impliziert AC > B2 und damit AC > 0, d.h.wenn A < 0, dann ist auch C < 0. Die Bedingung C = f
′′
yy (x0, y0) < 0 istdamit (indirekt) in den Annahmen (i) enthalten.
Entsprechendes gilt für (ii).
Wir benötigen sie bei lokalen Extrempunkten nur an der Stelle (x0, y0).
Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) heissen die lokalen Bedingungen zweiterOrdnung.
Die Bedingungen in (i), (ii) und (iii) sind hinreichend, damit ein stationärerPunkt ein lokaler Maximum-, Minimum- oder Sattelpunkt ist.
Keine dieser Bedingungen ist notwendig.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Innere Punkte und Randpunkte 1/2
Ein Punkt (a, b) heisst innerer Punkt der Menge S in der Ebene, wenn eseinen Kreis mit Zentrum (a, b) gibt, so dass alle Punkte innerhalb des Kreisesin S liegen.
Ein Punkt (a, b) heisst ein Randpunkt einer Menge S , wenn jeder Kreis mitZentrum (a, b) sowohl Punkte aus S als auch dem Komplement von S
enthält.
Ein Randpunkt muss nicht notwendig in S liegen.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Innere Punkte und Randpunkte 2/2
Eine Menge heisst oen, wenn sie nur aus inneren Punkten besteht.
Eine Menge S heisst abgeschlossen, wenn sie alle ihre Randpunkte enthält.
Eine Menge, die einige, aber nicht alle ihrer Randpunkte enthält, ist wederoen noch abgeschlossen.
Eine Menge ist genau dann abgeschlossen, wenn ihr Komplement oen ist.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel: Budget-Menge 1/2
In ökonomischen Anwendungen werden Mengen häug durch Ungleichungendeniert.
Randpunkte treten auf, wenn eine oder mehrere dieser Ungleichungen mitGleichheit erfüllt sind.
Wenn p, q und m positive Parameter sind, so ist die (Budget)-Menge derPunkte (x , y), die die Ungleichung
px + qy ≤ m x ≥ 0, y ≥ 0
erfüllen, abgeschlossen.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel: Budget-Menge 2/2
Die Budgetmenge ist ein Dreieck.
Jede Seite des Dreiecks entspricht dem Fall, in dem eine der Ungleichungenmit Gleichheit erfüllt ist.
Wird jedes Ungleichheitszeichen durch ein striktes Ungleichheitszeichenersetzt, d.h. ≤ durch < und ≥ durch >, so ist die entsprechende Mengeoen.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beschränkte und kompakte Mengen
Eine Menge in der Ebene heisst beschränkt, wenn die ganze Menge in einemhinreichend grossen Kreis enthalten ist.
Menge aller (x , y) mit x ≥ 1; y ≥ 0 istabgeschlossen, aber nicht beschränkt.
Menge aller (x , y) mit 4 ≤ x2 + y2 ≤ 9 ist wederoen noch abgeschlossen, jedoch beschränkt.
Eine Menge in der Ebene, die abgeschlossen und beschränkt ist, heisstkompakt.Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 482 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Extremwertsatz
Die Funktion f (x , y) sei stetig in einer abgeschlossenen und beschränktenMenge S in der Ebene. Dann existieren ein Punkt (a, b) in S , in dem f einMinimum hat, und ein Punkt (c, d) in S , in dem f ein Maximum hat, d.h.
f (a, b) ≤ f (x , y) ≤ f (c, d) für alle (x , y) ∈ S
Der Satz garantiert nur die Existenz, er sagt aber nicht, wie man dieExtrempunkte ndet.
Die Bedingungen sind hinreichend, aber nicht notwendig.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Das Aunden von Minima und Maxima 1/2
Aufgabe: Bestimmen Sie die Maximum- und Minimumwerte einerdierenzierbaren Funktion f (x , y), die deniert ist auf einer abgeschlossenen,beschränkten Menge S in der Ebene.
Lösung:(i) Bestimmen Sie alle stationären Punkte von f im Innern von S .
(ii) Bestimmen Sie den kleinsten und den grössten Wert von f auf dem Randvon S und die zugehörigen Punkte. (Wenn es sinnvoll ist, den Rand inmehrere Teilbereiche aufzuteilen, bestimmen Sie den kleinsten und dengrössten Wert von f in jedem Teilbereich des Randes.)
(iii) Bestimmen Sie die Funktionswerte in allen in (i) und (ii) gefundenenPunkten. Der grösste Funktionswert ist der Maximalwert von f in S . Derkleinste Funktionswert ist der Minimalwert von f in S .
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Das Aunden von Minima und Maxima 2/2
Ein stationärer Punkt (x0, y0) imInnern, Punkt P auf dem Graphen.
Der Rand besteht aus vier Teilen.
Entlang des Randes:
Maximalwert in RMinimalwert in Q
Kandidaten für Extrempunkte: P, Qund R.
Vergleich der Funktionswerte:Minimalwert in P und Maximalwertin R.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Funktionen mit drei oder mehr Variablen
Sei f (x) = f (x1, . . . , xn) eine Funktion von n Variablen, deniert auf derMenge S in Rn
Dann ist c = (c1, . . . , cn) ein (globaler) Maximumpunkt für f in S , wenn
f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ S
Eine oene n-Kugel mit Zentrum a = (a1, . . . , an) und Radius r ist die Mengealler Punkte x = (x1, . . . , xn) mit ‖x − a‖ < r .
Denitionen von inneren Punkten, oenen, abgeschlossenen, beschränktenund kompakten Mengen übertragen sich, wenn man Kreise durchn-Kugeln ersetzt.
Ein stationärer Punkt für eine Funktion von n Variablen ist ein Punkt, in demalle partiellen Ableitungen erster Ordnung 0 sind.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Notwendige Bedingung erster Ordnung
Sei f deniert auf S in Rn und sei c = (c1, . . . , cn) ein innerer Punkt von S ,in dem f dierenzierbar ist.
Eine notwendige Bedingung, damit c ein Maximum- oder Minimumpunkt vonf ist, ist, dass c ein stationärer Punkt für f ist, d.h. x = c erfüllt die nGleichungen, die Bedingungen erster Ordnung:
f′
i (x) = 0 i = 1, . . . , n
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Der Extremwertsatz
Sei f eine stetige Funktion auf einer abgeschlossenen beschränkten Menge Sin Rn.
Dann gibt es einen Punkt d ∈ S , in dem f ein Minimum hat und einen Punktc ∈ S , in dem S ein Maximum hat, so dass
f (d) ≤ f (x) ≤ f (c) für alle x ∈ S
Wenn f auf einer Menge S in Rn deniert ist, dann liegen der Maximum- undMinimumpunkt (falls sie existieren) entweder im Innern oder auf dem Randvon S .
Wenn f dierenzierbar ist, muss ein Maximum- oder Minimumpunkt imInnern von S die Bedingungen erster Ordnung erfüllen.
Zum Aunden des Maximums und Minimums kann also genau wie bei zweiVariablen verfahren werden.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 488 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Hinreichende Bedingung bei Funktionen mit mehrerenVariablen
Gegeben sei die Hesse-Matrix einer stetig partiell dierenzierbaren Funktiony = f (x1, . . . , xn) an der Stelle (x10, . . . , xn0)
Ist die Hesse-Matrix positv denit, so besitzt die Funktion an der Stelle einMinimum.
Ist die Hesse-Matrix negativ denit, so besitzt die Funktion an der Stelle einMaximum.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Transformation bei Maximierungsproblemen
Die Maximierung einer Funktion ist äquivalent zur Maximierung einer strengmonoton wachsenden Transformation dieser Funktion.
Wenn wir z.B. alle Paare (x , y) nden wollen, die die Funktion f (x , y) übereiner Menge S in der Ebene maximieren, können wir auch versuchendiejenigen (x , y) zu nden, die irgendeine der folgenden Zielfunktionmaximieren:
(i) af (x , y) + b (a > 0) (ii) ef (x,y) (iii) ln f (x , y) (f (x , y) > 0)
Die Maximalpunkte sind genau diesselben.
Die Maximalwerte sind verschieden.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Monotone Transformation bei Extremwertproblemen
Sei f (x) = f (x1, . . . , xn) deniert auf einer Menge S in Rn und sei F eineFunktion, deniert auf dem Wertebereich von f .
Die Funktion g sei auf S deniert durch
g (x) = F (f (x))
Dann gilt:
Wenn F monoton wachsend ist und c die Funktion f auf S maximiert(minimiert), dann maximiert (minimiert) c auch die Funktion g auf S .
Wenn F streng monoton wachsend ist, dann maximiert (minimiert) c dieFunktion f auf S genau dann, wenn c die Funktion g auf S maximiert(minimiert).
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Komparative Statik: Motivation
In ökonomischen Optimierungsproblemen hängt die zu optimierende Funktiongewöhnlich von Parametern ab, wie Preisen, Steuersätzen,Einkommensniveaus usw.
Diese werden während der Optimierung konstant gehalten, sie variierenjedoch entsprechend der ökonomischen Situation.
Beispiel: wir berechnen die den Gewinn eines Unternehmens maximierendenInput- und Outputgrössen unter der Annahme konstanter Preise und dannfragen wir:
Wie ändern sich die optimalen Grössen, wenn sich die Preise ändern?
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Die Optimalwertfunktion
Eine Funktion f hänge von einer Variablen x und einem Parameter r ab.
Wir wollen f (x , r)bezüglich x maximieren oder minimieren, während wir rkonstant halten:
max (min)x f (x , r)
Der Wert von x , der f maximiert (minimiert) hängt i.a. von r ab, deshalbwird er x∗ (r).
Einsetzen in f (x , r)ergibt:
f ∗ (r) = f (x∗ (r) , r)
die Optimalwertfunktion.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Abhängigkeit der Optimalwertfunktion vom Parameter
f ∗ (r) = f (x∗ (r) , r)
Was passiert mit der Optimalwertfunktion, wenn r sich ändert.
Wenn f ∗ (r) dierenzierbar ist, so folgt aus der Kettenregel:
df ∗ (r)
dr= f
′
1 (x∗ (r) , r)︸ ︷︷ ︸ dx∗ (r)
dr+f′
2 (x∗ (r) , r)
= 0
Wenn f (x , r) einen Extrempunkt in einem inneren Punkt x∗ (r) imDenitionsbereich von x hat, ist f
′
1 (x∗ (r) , r) = 0 und damit
df ∗ (r)
dr=f′
2 (x∗ (r) , r) (∗)
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Das Envelope-Theorem
Verallgemeinerung von (∗) auf mehrere Variablen x = (x1, . . . , xn) undmehrere Parameter r = (r1, . . . , rn).
Wenn f ∗ (r) = maxxf (x , r) und wenn x∗ (r) der Wert von x ist, der f (x , r)
maximiert, dann gilt
∂f ∗ (r)
∂rj=
[∂f (x , r)
∂rj
]x=x∗(r)
j = 1, . . . , k
f ∗ (r) ist wieder die Optimalwertfunktion
Dieselbe Gleichung Gleichung gilt, wenn f (x , r) minimiert werden soll.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Grasche Interpretation des Envelope-Theorems 1/2
Für jedes fest x gibt es eine Kurve Kx in der ry -Ebene, gegeben durch dieGleichung y = f (x , r) .
Für alle x und r gilt:
f (x , r) ≤ maxxf (x , r) = f ∗ (r)
d.h. keine der Kx -Kurven kann jemals über y = f ∗ (r) liegen.
Andererseits gibt es für jedes r wenigstens einen Wert x∗ von x mitf (x∗, r) = f ∗ (r), nämlich denjenigen Wert, der das Maximierungsproblemfür das gegebene r löst.
Die Kurve Kx∗ berührt die Kurve y = f ∗ (r) in
(x∗, f ∗ (r)) = (x∗, f (x∗, r))
und muss diesselbe Tangente haben wie der Graph von f ∗ in diesem Punkt.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Grasche Interpretation des Envelope-Theorems 2/2
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 2: Gewinnmaximierung - Fortsetzung 1/2
Der Gewinn π aus Produktion und Verkauf von Q = F (K , L) Einheiten ist:
π (K , L, p, r ,w) = pF (K , L)− rK − wL
Dabei sind p, r ,w Parameter.
π wird als Funktion von K und L maximiert bei festen Werten der Parameterp, r ,w .
Die optimalen Werte von K und L sind Funktionen von p, r und w .
K∗ = K∗ (p, r ,w) L∗ = L∗ (p, r ,w)
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung
Beispiel 2: Gewinnmaximierung - Fortsetzung 2/2
Die Optimalwertfunktion ist
π∗ (p, r ,w) = π (K∗, L∗p, r ,w)
Man ndet sie, indem and die Preise und Kosten als fest betrachtet und dieoptimalen Input- und Outputgrössen bestimmt.
Nach dem Envelope-Theorem gilt:
∂π
∂p= F (K∗, L∗) = Q∗
∂π
∂r= −K
∂π
∂w= −L
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Funktionen mit mehreren Variablen
Funktionen von zwei Variablen
Funktionen von mehreren Variablen
Komparative statische Analysen
Multivariate Optimierung
Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Optimierung unter Nebenbedingungen: Beispiel
Verbraucher mit einem Einkommen m überlegt:welche Menge x er von einem Gut kaufen will, wenn der Preis pro Einheit p ist,welchen Betrag y er für Ausgaben für andere Güter übrig lässt.
Die Budgetbeschränkung des Verbrauchers ist: px + y = m
Die Präferenzen des Verbrauchers seien durch eine Nutzenfunktion u (x , y)ausgedrückt, d.h. der Verbraucher wählt (x , y) so dass der Nutzen u (x , y)maximiert wird unter der Nebenbedingung px + y = m, d.h.
MAX u (x , y) unter Nebenbedingung px + y = m
Typisches eingeschränktes Optimierungsproblem, das in diesem Fall in einnicht eingeschränktes Optimierungsproblem umgewandelt werden kann,denn y = m − px und somit ist
h (x) = u (x ,m − px)
bezüglich der einen Variablen x zu maximieren.Jedoch ist diese bei komplizierteren Bedingungen oder mehreren Bedingungenzu umständlich.
Dr. Claudia Vogel (Universität Bern) Mathematik: Grundlagen & Anwendungen WS 2013/2014 501 / 516
Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Lagrange-Funktion
MAX u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c
Wir denieren die Lagrange-Funktion L mit dem Lagrange-Multiplikator λ:
L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)
Der Ausdruck g (x , y)− c, der unter der Nebenbedingung 0 ist, wird mit derKonstanten λ multipliziert.
Es gilt L = f (x , y) für alle (x , y), die die Nebenbedingung erfüllen.
λ ist eine Konstante
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Notwendige Bedingung
MAX u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c (1)
Lagrange-Funktion:
L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)
Die partiellen Ableitungen der Lagrange-Funktion sind:
∂L∂x
=∂f
∂x− λ∂g
∂x∂L∂y
=∂f
∂y− λ∂g
∂y
Eine Lösung von (1) kann nur ein Punkt (x , y) sein, in dem die partiellenAbleitungen Null sind.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Methode des Lagrange-Multiplikators
Um die einzig möglichen Lösungen des Problems: Maximiere (Minimiere) f (x , y)unter der Bedingung g (x , y) = c zu nden, gehen wir wie folgt vor:
1 Mit der Konstanten λ bilden wir die Lagrange-Funktion:
L = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)
2 Wir dierenzieren L nach x und y und setzen die Ableitungen gleich 0.3 Die zwei Gleichungen aus 2. und die Nebenbedingung ergeben die drei
folgenden Gleichungen (Bedingungen erster Ordnung)
∂L∂x
=∂f
∂x− λ∂g
∂x= 0
∂L∂y
=∂f
∂y− λ∂g
∂y= 0
g (x , y) = c
4 Wir lösen diese drei Gleichungen simultan für die drei Unbekannten x , y undλ.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Anmerkungen zur Methode des Lagrange-Multiplikators
Einige Ökonomen ziehen es vor, die Lagrange-Funktion als eine Funktion
L (x , y , λ)
von drei Variablen zu betrachten.
Dann ergibt die Bedingung erster Ordnung
∂L∂λ
= (g (x , y)− c) = 0
die Nebenbedingung.
Auf diese Weise erhält man alle drei notwendigen Bedingungen, indem mandie partiellen Ableitungen der (erweiterten) Lagrange-Funktion gleich 0 setzt.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Interpretation des Lagrange-Multiplikators 1/2
MAX(MIN) u (x , y) unter Nebenbedingung g (x , y) = c
Seien x∗ und y∗ die Werte von x und y , die das Problem lösen. ImAllgemeinen hängen x∗ und y∗ von c ab. Der zugehörige optimale Wert vonf (x , y) ist dann eine Funktion von c mit
f ∗ (c) = f (x∗ (c) , y∗ (c))
Die Funktion f ∗ (c) wird Optimalwertfunktion genannt. Der Wert desLagrange-Multiplikators hängt i.a. auch von c ab. Unter gewissenRegularitätsbedingungen gilt:
df ∗ (c)
dc= λ (c)
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Interpretation des Lagrange-Multiplikators 2/2
Der Lagrange-Multiplikator ist die Rate, mit der sich der optimale Wert derZielfunktion ändert, wenn sich die Konstante c in der Nebenbedingungändert.
In ökonomischen Anwendungen ist c der verfügbare Vorrat einer Ressourceund f (x , y) ist der Nutzen oder der Gewinn. Dann misst λ (c) dc für dc > 0ungefähr den Zuwachs des Nutzens oder des Gewinns, den man durch dc
mehr Einheiten der Ressource erhält.
Ökonomen nennen λ den Schattenpreis der Ressource.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Mehrere Nebenbedingungen
MAX(MIN) f (x1, . . . , xn) unter
g1 (x1, . . . , xn) = c1
gm (x1, . . . , xn) = cm
Für jede der m Nebenbedingungen führen wir einen eigenenLagrange-Multiplikator ein und denieren die Lagrange-Funktion:
L = f (x1, . . . , xn)−m∑j=1
λj (g (x1, . . . , xn)− cj)
Die Bedingungen erster Ordnung sind dann:
∂L∂xi
=∂f (x1, . . . , xn)
∂xi−
m∑j=1
λj∂g (x1, . . . , xn)
∂xi= 0 i = 1, . . . n
Zusammen mit den m Nebenbedingungen bilden diese n Gleichungen einSystem von n + m Gleichungen in den n + m Unbekanntenx1, . . . , xn, λ1, . . . , λm
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators 1/2
Die ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators als Schattenpreiskann übertragen werden auf ein Lagrange-Problem mit n Variablen und m
Nebenbedingungen:
MAX(MIN) f (x) unter gj (x) = cj j = 1, . . . ,m (1)
Seien x∗1 , . . . , x∗n die Werte, die die notwendigen Bedingungen für die Lösung
von (1) erfüllen. Diese hängen im Allgemeinen von c1, . . . , cm ab.
Annahme:
Jedes x∗i = x∗i (c1, . . . , cm) i = 1, . . . ,m ist eine dierenzierbare Funktion vonc1, . . . , cm.
Der dazugehörige Wert f ∗ = f (x∗1 , . . . , x∗n ) von f ist dann eine Funktion von
c1, . . . , cm.
Wir setzen x∗ = (x∗1 , . . . , x∗n ) und c = (c1, . . . , cm) ,dann heisst
f ∗ (c) = f (x∗ (c)) = f (x∗1 (c) , . . . , x∗n (c)) (2)
Optimalwertfunktion für das Problem (1) .
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Ökonomische Interpretation des Lagrange-Multiplikators 2/2
Die Lagrange-Multiplikatoren hängen i.a. auch von c1, . . . , cm ab. Untergewissen Regularitätsbedingungen gilt:
df ∗ (c)
dci= λi (c) j = 1, . . . ,m
Der Lagrange-Multiplikator λi = λi (c) für die i-te Nebenbedingung ist dieRate, mit der sich der Optimalwert der Zielfunktion ändert, bei Änderungenin der Konstanten ci in der Nebenbedingung ändert.
Der Lagrange-Multiplikator λi heisst Schattenpreis (oder Grenzwert) für eineEinheit der Ressource i .
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Nichtlineare Programmierung: Einführung
Bisher Nebenbedingungen in Gleichheitsform, jetzt Nebenbedingungen inUngleichheitsform, z.B. die Forderung, dass gewisse Variablen nichtnegativsind, damit sie ökonomischen Sinn haben. Auch Beschränkungen vonRessourcen sind häuger in Ungleichheits- als in Gleichheitsform gegeben.
Einfaches nichtlineares Programmierungsproblem:
MAX f (x , y) unter g (x , y) ≤ c (1)
Wir suchen den grössten Wert von f (x , y) in der Menge s aller Paare (x , y)mit g (x , y) ≤ c. Die Menge S heisst zulässige Menge.
Minimierung von f (x , y) für (x , y) ∈ S kann auf Maximierung von −f (x , y)für (x , y) ∈ S zurückgeführt werden.
Das Maximierungsproblem (1) könnte mit klassischen Methoden untersuchtwerden: Untersuchung der stationären Punkte im Innern der zulässigenMenge und Untersuchung der Randpunkte.
Seit etwa 1950 benutzen Ökonomen jedoch eine Verallgemeinerung derLagrange-Multiplikatoren-Methode von H.W. Kuhn und A.W.Tucker.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Rezept zum Lösen des NichtlinearenProgrammierungsproblems
1 Assoziieren Sie einen konstanten Lagrange-Multiplikator zu der Bedingungg (x , y) ≤ c und denieren Sie die Lagrange-Funktion
L (x , y) = f (x , y)− λ (g (x , y)− c)
2 Setzen Sie die partiellen Ableitungen von L (x , y) gleich Null:
∂L (x , y)
∂x=∂f (x , y)
∂x− λ∂g (x , y)
∂x= 0
∂L (x , y)
∂y=∂f (x , y)
∂y− λ∂g (x , y)
∂y= 0
(2)
3 Bilden Sie die komplementäre Schlupfbedingung:
λ ≥ 0 (= 0, wenn g (x , y) < c) (3)
4 Verlangen Sie für (x , y) die Bedingung:
g (x , y) ≤ c (4)
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Bemerkungen zu den Bedingungen
MAX f (x , y) unter g (x , y) ≤ c (1)
Wenn wir alle Paare (x , y) und alle geeigneten Werte von λ nden, die alldiese Bedingungen erfüllen, haben wir alle Kandidaten für die Lösung desProblems (1)
Bedingungen (2) sind genau die Bedingungen der Lagrange-Methode.Bedingung (4) ist die Nebenbedingung, neu ist nur (3).
Bedingung (3) verlangt, dass λ nichtnegativ ist und weiter, dass λ = 0, wenng (x , y) < c. D.h. wenn λ > 0,muss g (x , y) = c sein. AlternativeFormulierung:
λ ≥ 0 λ [g (x , y)− c] = 0
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Kuhn-Tucker-Bedingungen
∂L (x , y)
∂x=∂f (x , y)
∂x− λ∂g (x , y)
∂x= 0
∂L (x , y)
∂y=∂f (x , y)
∂y− λ∂g (x , y)
∂y= 0
(2)
λ ≥ 0 (= 0, wenn g (x , y) < c) (3)
Die Ungleichungen λ ≥ 0 und g (x , y) ≤ c sind komplementär, in dem Sinne,dass höchstens eine in Ungleichheitsform gelten darf. Oder äquivalentausgedrückt: Wenigstens eine der Ungleichungen muss eine Gleichheit sein.
Bedingungen (2) und (3) heissen Kuhn-Tucker-Bedingungen.
Dies sind i.a. notwendige Bedingungen und keineswegs hinreichend.
Wenn man einen Punkt (x0, y0) nden kann, indem f (x , y) stationär ist undg (x , y) < c, dann sind die Kuhn-Tucker-Bedingungen erfüllt und (x0, y0) mitλ = 0. Dann kann (x0, y0) ein lokaler oder globaler Maximum- oderMinimumpunkt oder eine Art Sattelpunkt sein.
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Allgemeines Problem der nichtlinearen Programmierung
MAX f (x1, . . . , xn) unter
g1 (x1, . . . , xn) ≤ c1...
gm (x1, . . . , xn) ≤ cm
(1)
Die Menge aller Vektoren x = (x1, . . . , xn), die alle Bedingungen erfüllen,heisst zulässige Menge.
Minimierung von f (x) ist äquivalent zu Maximierung von −f (x)
Ebenso kann die Ungleichungsbedingung gj (x) ≥ cj geschrieben werden als−gj (x) ≤ −cj .
Eine Bedingung in Gleichheitsform gj (x) = cj ist äquivalent zur zweifachenUngleichheitsbeschränkung gj (x) ≤ cj und −gj (x) ≤ −cj . Auf diese Weisekönnen die meisten Optimierungsprobleme in der Gestalt von (1) geschriebenwerden
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Funktionen mit mehreren Variablen Multivariate Optimierung unter Nebenbedingungen
Lösungsrezept
1 Bilden Sie die Lagrange-Funktion
L (x) = f (x)−m∑j=1
λj (gj (x)− cj)
2 Setzen Sie alle partiellen Ableitungen erster Ordnung gleich Null:
∂L (x)
∂xi=∂f (x)
∂xi−
m∑j=1
λj∂gj (x)
∂xi= 0 i = 1, . . . , n
3 Stellen Sie die komplementären Schlupfbedingungen auf:
λj ≥ 0 (= 0, wenn gj (x) < cj) j = 1, . . . ,m
4 Verlangen Sie, dass x die Nebenbedingungen erfüllt:
gj (x) ≤ cj j = 1, . . . ,m
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