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Mathematik macht Freu(n)de KH – Trigonometrie II

KOMPETENZHEFT – TRIGONOMETRIE II

Inhaltsverzeichnis

1. Diagnoseaufgaben 12. Winkelfunktionen am Einheitskreis 63. Funktionsgraphen der Winkelfunktionen 84. Allgemeine Sinusfunktion 115. Goniometrische Gleichungen 136. Weitere Aufgabenstellungen 18

1. Diagnoseaufgaben

Aufgabe 1.1. Ebbe und Flut beeinflussen die Höhe des Meeresspiegels.

a) Der tiefste Wasserstand wird als Niedrigwasser bezeichnet.Die zeitliche Abhängigkeit der Höhe des Wasserstands über diesem Wert kann näherungsweisedurch eine Funktion h mit h(t) = A+B · sin(ω · t+ ϕ) beschrieben werden.

Dabei ist t die Zeit in Stunden und B > 0.– Lesen Sie aus dem Diagramm die Para-meter A und B ab.

– Bestimmen Sie mithilfe des Diagrammsden Parameter ω.

– Bestimmen Sie mithilfe des Diagrammsden Parameter ϕ.

b) Die Wassertiefe in einem Hafenbecken kann näherungsweise durch die folgende Funktion H be-schrieben werden:

H(t) = 6 + 1,8 · cos(0,507 · t)

t ... Zeit nach Mitternacht in hH(t) ... Wassertiefe zur Zeit t in m– Interpretieren Sie die Bedeutung der Zahl 6 im gegebenen Sachzusammenhang.– Berechnen Sie die Wassertiefe um 8:20 Uhr morgens.

Datum: 19. August 2018.

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https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=812&file=Ebbe_und_Flut*.pdf


Aufgabe 1.2. Dreht sich ein Riesenrad mit konstanter Geschwindigkeit, so gilt fürdie Höhe h(t), in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet:

h(t) = A · sin(ω · t+ ϕ) + c

a) Das London Eye, eines der größten Riesenräder, dreht sich so langsam, dass es für das Ein- undAussteigen der Fahrgäste nicht anhalten muss.

Der Graph der Funktion h istin der nebenstehenden Abbildungdargestellt.– Lesen Sie den Durchmesser desRiesenrades ab.

– Ermitteln Sie den Parameter ω.– Ermitteln Sie den Parameter c.

b) Dreht sich das Wiener Riesenrad ohne Zwischenstopps, so gilt für die Höhe h(t), in der sich eineGondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet:

h(t) = 30,48 · sin(0,024 64 · t) + 34,27

t ... Zeit seit Beginn der Beobachtung in Sekunden (s)h(t) ... Höhe, in der sich diese Gondel zum Zeitpunkt t befindet, in Metern (m)– Ermitteln Sie denjenigen Zeitpunkt, zu dem diese Gondel erstmals eine Höhe von 60 m erreicht.– Bestimmen Sie die Zeitdauer, während derer sich die Gondel im Laufe einer Umdrehung in einerHöhe von mindestens 60 m befindet.

c) Ein Riesenrad mit 12 gleichmäßig verteilten Gondeln dreht sich mit konstanter Geschwindigkeitgegen den Uhrzeigersinn.Die Höhe h(t), in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t über dem Boden befindet, ist:

h(t) = 15 · sin(π

60 · t+ ϕ)

+ 20

t ... Zeit seit Beginn der Beobachtung in sh(t) ... Höhe, in der sich eine Gondel zum Zeitpunkt t befindet, in m

– Berechnen Sie, mit welcher Geschwindigkeit (in km/h) sich eineGondel entlang der Kreisbahn bewegt.

Die Gondel G befindet sich zur Zeit t = 0 s an der in der neben-stehenden Skizze dargestellten Position.– Dokumentieren Sie in Worten, wie Sie den Parameter ϕ für dieFunktion h der Gondel G ermitteln können.

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https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=636&file=Riesenraeder_*.pdf


Aufgabe 1.3. Ein an einer Feder befestigter Körper bewegt sich unter dem Einflussder Federkraft.

Das nebenstehende Beschleunigung-Zeit-Diagrammzeigt den sinusförmigen Verlauf der Beschleunigungeines Körpers durch die Federkraft. Es gilt:

a(t) = A · sin(ω · t+ ϕ) mit A > 0.

– Bestimmen Sie A, ω und ϕ mithilfe des Dia-gramms.

Aufgabe 1.4. Ein Stoffmuster im Retro-Stil entsteht, indem ein Ausschnitt immerwieder kopiert und gespiegelt wird. Dabei werden die Begrenzungslinien als Graphen von Funktionenmodelliert (siehe nachstehende Abbildungen).

Für die Funktion f gilt: f(x) = sin(x) + 0,5x, f(x) ... Koordinaten in dm

Der Graph der Funktion g entsteht durch Verschiebung des Graphen der Funktion f entlang dervertikalen Achse um 1,46 dm nach oben.

– Stellen Sie eine Gleichung der Funktion g auf.

Der Graph der Funktion h mit h(x) = a · sin(x) + b verläuft durch den Punkt A = (0 | 2,46) und denHochpunkt B = (π2 | 3,96).

– Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b.

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https://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=834&file=Federpendel_*.pdfhttps://aufgabenpool.srdp.at/bhs/download.php?qid=830&file=Im_Moebelhaus_*.pdf


Aufgabe 1.5. Der Verlauf einer Wechselspannung wird von einem Schüler mithilfeder Funktion u beschrieben:

u(t) = −20 · sin(50 · t)

t ... Zeit in Sekundenu(t) ... Spannung zur Zeit t in Volt (V)

– Ermitteln Sie aus der gegebenen Funktionsgleichung die Periodendauer der Schwingung.– Ermitteln Sie für das Zeitintervall [0; 0,15], zu welchen Zeitpunkten die Spannung 10 V beträgt.

Aufgabe 1.6. In der nachstehenden Grafik ist eine elektrische Wechselspannungdargestellt.

Dabei gilt: umax = 110 V, t1 = −0,003 65 s

– Geben Sie diese Wechselspannung in der Form u(t) = A · sin(ω · t+ ϕ) an.

Aufgabe 1.7. Während eines Ausdauertrainings fährt ein Radfahrer für eine gewis-se Zeit mit konstanter Trittfrequenz. Die Höhe des Pedals über dem Boden kann dabei näherungsweisedurch die Gleichung der Funktion h beschrieben werden:

h(t) = 17 · sin(ω · t) + 25

t ... Zeit in Sekunden (s)h(t) ... Höhe des Pedals über dem Boden zur Zeit t in Zentimetern (cm)

Die Trittfrequenz dieses Radfahrers beträgt 76 Umdrehungen pro Minute.

– Berechnen Sie die Kreisfrequenz ω in der Einheit s−1.– Interpretieren Sie die angegebene Funktionsgleichung im Hinblick auf die minimale Höhe und diemaximale Höhe des Pedals über dem Boden.

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http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/395/KP1_16_C2_02.pdfhttp://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/291/KL15_KP1_BHS_AMT_P06.pdfhttp://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/397/KP1_16_C2_04.pdf


Aufgabe 1.8. In der unten stehenden Grafik ist ein sinusförmiger Spannungsverlaufdargestellt. Dabei gilt:

u(t) = 20 · sin(π

2 · t+3π4

)t ... Zeit in Sekunden (s)u(t) ... Spannung zur Zeit t in Volt (V)

– Tragen Sie den zugehörigen (gegen den Uhrzei-gersinn) rotierenden Zeiger für den Zeitpunktt = 0 s in den Kreis ein.

1.1a)A=6,B=6ω=π6ϕ=−

π2

b)ImDurchschnittbeträgtdieWassertiefeimHafenbecken6m.DieWassertiefeum8:20Uhrbeträgtrund5,2m.

1.2a)d=121mω=2π30min-1c=74,5m

b)DieGondelerreichtnachetwa41Sekundenerstmals60Meterundbefindetsichrund46SekundenlangineinerHöhevonmindestens60Metern.

c)v=30π120m/s≈2,827km/h

Daes12gleichmäßigverteilteGondelngibt,beträgtderWinkelzwischenje2benachbartenGondeln30◦.ϕwirdgegendenUhrzeigersinnvonder„rechtenhorizontalenLage“ausgemessen.DerWinkelbeträgtdaher−30◦bzw.330◦,imBogenmaßalso−π

6bzw.11π6.

1.3A=0,04ω=π5ϕ=−π

1.4g(x)=sin(x)+1,96oderg(x)=f(x)+1,46a=1,5b=2,461.5T=0,1256...≈0,126s

ZudenZeitpunktent1=7·π300≈0,073sundt2=11·π

300≈0,115sbeträgtdieSpannungimgegebenenZeitintervall10V.1.6u(t)=110·sin(314,16·t+1,147)1.7ω=2·π·1,26̇≈8

DieKreisfrequenzbeträgtrund8s−1.DieZahl17istdieAmplitudederSinusfunktion,dieZahl25bewirkteineVerschiebungdesGraphenderSinusfunktioninvertikalerRichtung.minimaleHöheüberdemBoden:8cmmaximaleHöheüberdemBoden:42cm

1.8

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http://www.michael-leitgeb.at/srdp/teilb1/400/KP1_16_C2_07.pdf


2. Winkelfunktionen am Einheitskreis

Wir kennen von einem rechtwinkligen Dreieck einen zweiten Winkel α.

Die Summe aller Winkel ist 180◦.Wir können uns also den dritten Winkel ausrechnen.

Es gibt unendlich viele rechtwinklige Dreiecke mit Winkel α.Alle diese Dreiecke sind zueinander ähnlich. Sie haben die gleichen Winkel.Also sind einander entsprechende Seitenverhältnisse gleich:

Das ist der Strahlensatz.

Das führt zur Definition der Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangensfür jeden spitzen Winkel α:

sin(α) =G

Hcos(α) =

A

Htan(α) =

G

A0◦ < α < 90◦

Kompetenzheft – Trigonometrie I

Kann ein rechtwinkliges Dreieck einen stumpfen Winkel haben?

Unsere bisherige Definition der Winkelfunktionen ergibt also nur für spitze Winkel einen Sinn.

Der Taschenrechner gibt aber für beliebige Winkel einen Wert aus. Probiere:

cos(300◦) = cos(420◦) =

sin(−90◦) = tan(135◦) =

Als Nächstes erklären wir, was sich der Taschenrechner dabei denkt.

Blick über den Tellerrand

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https://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/KH-Trigonometrie_I.pdf


Auf dem Arbeitsblatt – Winkelfunktionen am Einheitskreis behandeln wir die folgenden Fragen:

Was ist der Einheitskreis und welchen Zusammenhang gibt es zuden Winkelfunktionen?

Wie können wir damit die Winkelfunktionen für jeden Winkel αdefinieren?

Welche Winkel α sind Lösungen der Gleichung sin(α) = 0,6 ?

Was sind die Funktionen Arcussinus, Arcuscosinus und Arcustangens?

Wofür können wir sie verwenden?

Arbeitsblatt – Winkelfunktionen am Einheitskreis

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http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Winkelfunktionen_am_Einheitskreis.pdfhttps://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Winkelfunktionen_am_Einheitskreis.pdf


3. Funktionsgraphen der Winkelfunktionen

Zur Messung von Winkeln gibt es neben dem zuvor verwendeten Gradmaß (Einheit: Grad, kurz: ◦)auch das sogenannte Bogenmaß (Einheit: Radiant, kurz: rad).

Ein Kreis mit Radius r hat den Umfang u = 2 · π · r mit π = 3,141 592....Jeder Kreissektor wird durch 2 Radien und einen Kreisbogen begrenzt.Der von den beiden Radien eingeschlossene Winkel heißt Zentriwinkel.1 rad ist jener Zentriwinkel, bei dem das Bogenstück gleich lang wie der Radius ist.b rad ist jener Zentriwinkel, bei dem das Bogenstück die Länge b · r hat: Animation

Am Einheitskreis hat der Kreissektor mit Bogenlänge b also genau den Zentriwinkel b rad.

Bogenmaß

Der Zentriwinkel und die Länge des zugehörigen Kreisbogens sind direkt proportional.Ein doppelt so großer Zentriwinkel ergibt einen doppelt so großen Kreisbogen.

Erkläre, warum 360◦ = 2 · π rad gilt, und rechne die folgenden Winkel zwischen Gradmaß undBogenmaß um:

Gradmaß 360◦ 180◦ 90◦ 1◦

Bogenmaß 2 · π rad 1 rad

Schlussrechnung

Um einen Winkel vom Bogenmaß (rad) in das Gradmaß (◦)umzuwandeln, multipliziere mit 180◦

π.

Um einen Winkel vom Gradmaß (◦) in das Bogenmaß (rad)umzuwandeln, multipliziere mit π180◦ .

Umrechnung zwischen Bogenmaß und Gradmaß

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https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Circle_radians.gifhttps://www.srdp.at/fileadmin/user_upload/downloads/Begleitmaterial/08_AMT/srdp_am_formelsammlung_2017-09-01.pdf


Auf dem Arbeitsblatt – Graphen der Winkelfunktionen behandeln wir den Übergang von Win-kelfunktionen am Einheitskreis zu den Graphen der Winkelfunktionen:

Arbeitsblatt – Graphen der Winkelfunktionen

Arcussinusfunktion: y = arcsin(x)Die Funktion x 7→ sin(x) nimmt auf dem Intervall [−π2 ;

π2 ] jeden Funktionswert im Intervall

genau einmal an.Definitionsmenge von y = arcsin(x):

D =

Wertemenge von y = arcsin(x):

W =

Umkehrfunktion Arcussinus

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http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Graphen_der_Winkelfunktionen.pdfhttps://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Graphen_der_Winkelfunktionen.pdf


Arcuscosinusfunktion: y = arccos(x)Die Funktion x 7→ cos(x) nimmt auf dem Intervall [0;π] jeden Funktionswert im Intervall

genau einmal an.

Definitionsmenge von y = arccos(x):

D =

Wertemenge von y = arccos(x):

W =

Umkehrfunktion Arcuscosinus

Arcustangensfunktion: y = arctan(x)Die Funktion x 7→ tan(x) nimmt auf dem Intervall ]−π2 ;

π2 [ jeden Funktionswert in

genau einmal an.

Definitionsmenge von y = arctan(x):

D =

Wertemenge von y = arctan(x):

W =

Umkehrfunktion Arcustangens

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4. Allgemeine Sinusfunktion

In der Naturwissenschaft und Technik gibt es viele Vorgänge, die mithilfe einer Sinusfunktion be-schrieben werden können. Zum Beispiel: Sinustöne in der Akustik, Schwingungen eines Federpendels,Wasserstand bei Ebbe und Flut, Farbübergänge auf Fotos . . .Dazu muss die Sinusfunktion allerdings meist etwas angepasst werden:

Der Graph der Sinusfunktion (orange) im linken Bild muss horizontal und vertikal gestreckt werden,um die Messwerte (schwarz) beschreiben zu können.Der Graph der Sinusfunktion im rechten Bild muss nicht nur gestreckt, sondern auch verschobenwerden, um die Messwerte beschreiben zu können.

Die Funktion y mit

y(t) = A · sin (ω · t+ ϕ) + c

heißt allgemeine Sinusfunktion.

A . . . Amplitudeω . . . Kreisfrequenzϕ . . . Nullphasenwinkel

Allgemeine Sinusfunktion

Die Periodendauer (Schwingungsdauer) T , die Kreisfrequenz ω und die Frequenz feiner allgemeinen Sinusfunktion hängen wie folgt zusammen:

T =2 · πω

=1f

Die Funktion mit Gleichung y(t) = A · sin (ω · t+ ϕ) hat bei

t0 = −ϕ

ω.

eine Nullstelle, an der die Funktion ansteigt.An der Stelle t0 geht es am steilsten bergauf.

Periodendauer & Frequenz

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https://www.srdp.at/fileadmin/user_upload/downloads/Begleitmaterial/08_AMT/srdp_am_formelsammlung_2017-09-01.pdf


Auf dem Arbeitsblatt – Graphen der Winkelfunktionen behandeln wir die folgenden Fragen zurallgemeinen Sinusfunktion mit Gleichung y(t) = A · sin (ω · t+ ϕ) + c.

Welchen Einfluss hat die Amplitude Aauf den Funktionsgraphen?

Welchen Einfluss hat die Kreisfrequenz ωauf den Funktionsgraphen?

Welchen Einfluss hat der Nullphasenwinkel ϕauf den Funktionsgraphen?

Welchen Einfluss hat der Parameter cauf den Funktionsgraphen?

Wie können wir ausgehend vomFunktionsgraphen die Parame-ter A, c, ω und ϕ ablesen?

Arbeitsblatt – Graphen der Winkelfunktionen

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http://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Graphen_der_Winkelfunktionen.pdfhttps://mathematikmachtfreunde.univie.ac.at/fileadmin/user_upload/p_mathematikmachtfreunde/Materialien/AB-Graphen_der_Winkelfunktionen.pdf


5. Goniometrische Gleichungen

Bei goniometrischen Gleichungen tritt die Unbekannte im Argument einer Winkelfunktion auf.

Beispiel 5.1. Berechne alle Winkel α im Intervall [0◦; 360◦[, die Lösungen der Gleichung sind.

a) sin(α) = 0,8

arcsin(0,8) = 53,13...◦

α1 = 53,13...◦

α2 = 180◦ − arcsin(0,8) = 126,86...◦

=⇒ Lösungsmenge L = {53,13...◦; 126,86...◦}

b) sin(α) = −0,5

arcsin(−0,5) = −30◦

α1 = −30◦ + 360◦ = 330◦

α2 = 180◦ − arcsin(−0,5) = 210◦

=⇒ Lösungsmenge L = {210◦; 330◦}

c) sin(α) = 4,2

Die Funktionswerte der Sinusfunktion liegen im Intervall [−1; 1]. Der Wert 4,2 kann also nichtangenommen werden. Die Gleichung sin(α) = 4,2 hat also keine Lösung.=⇒ Lösungsmenge L = {} „Leere Menge“

d) sin(α) = −1

Es gibt am Einheitskreis genau einen Punkt mit y-Koordinate −1,nämlich (0 | −1).

Der zugehörige Winkel im Intervall [0◦; 360◦[ ist α1 = 270◦.

=⇒ Lösungsmenge L = {270◦}

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e) cos(α) = 0,7

arccos(0,7) = 45,57...◦

α1 = 45,57...◦

α2 = 360◦ − arccos(0,7) = 314,42...◦

=⇒ Lösungsmenge L = {45,57...◦; 314,42...◦}

f) cos(α) = −0,6

arccos(−0,6) = 126,86...◦

α1 = 126,86...◦

α2 = 360◦ − arccos(−0,6) = 233,13...◦

=⇒ Lösungsmenge L = {126,86...◦; 233,13...◦}

g) cos(α) = 1

Es gibt am Einheitskreis genau einen Punkt mit x-Koordinate 1,nämlich (1 | 0).

Der zugehörige Winkel im Intervall [0◦; 360◦[ ist α1 = 0◦.

=⇒ Lösungsmenge L = {0◦}

h) tan(α) = 1,5

arctan(1,5) = 56,30...◦

α1 = 56,30...◦

α2 = 180◦ + arctan(1,5) = 236,30...◦

=⇒ Lösungsmenge L = {56,30...◦; 236,30...◦}

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i) tan(α) = −1

arctan(−1) = −45◦ Kannst du das Ergebnis auch ohne Taschenrechner erklären?

α1 = −45◦ + 360◦ = 315◦

α2 = 180◦ + arctan(−1) = 135◦

=⇒ Lösungsmenge L = {135◦; 315◦}

Beispiel 5.2. Berechne alle Winkel x (im Bogenmaß), die Lösungen der Gleichung sind.

a) sin(x) = 0,5

arcsin(0,5) = 0,523... radVergiss nicht, deinen Taschenrechner auf das Bogenmaß RAD umzustellen.

Die beiden Lösungen im Intervall [0 rad; 2 ·π rad[ sind also

x1 = 0,523... rad und

x2 = π − 0,523... rad = 2,617... rad.

Egal wie oft wir den Winkel um 360◦ = 2 · π rad verändern, der Sinuswert bleibt unverändert.Die Gleichung sin(x) = 0,5 hat also unendlich viele Lösungen:

L = {0,523...+ k · 2 · π rad | k ∈ Z} ∪ {2,617...+ k · 2 · π rad | k ∈ Z}

Das Symbol ∪ bedeutet „vereinigt mit“. Eine Zahl ist eine Lösung, wenn sie in der ersten Menge oder in der zweiten Menge ist.

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b) cos(4 · x) = 0,2

Es ist arccos(0,2) = 1,369... rad. Ein Winkel x ist also genau dann eine Lösung der Gleichung,wenn es eine Zahl k ∈ Z gibt, mit

4 · x = 1,369...+ k · 2 · π rad

x = 0,342...+ k · π2 rad ODER

4 · x = 2 · π − 1,369...+ k · 2 · π rad

x = 1,228...+ k · π2 rad.

L ={

0,342...+ k · π2 rad | k ∈ Z}∪

{1,228...+ k · π2 rad | k ∈ Z

}c) tan(3 · x− 5) = 42

Es ist arctan(42) = 1,546... rad. Egal wie oft wir den Winkel um 180◦ = π rad verändern, derTangenswert bleibt unverändert. Ein Winkel x ist also genau dann eine Lösung der Gleichung,wenn es eine Zahl k ∈ Z gibt, mit

3 · x− 5 = 1,546...+ k · π

x = 1,546...+ 5 + k · π3 = 2,182...+ k ·π

3 rad.

Die Lösungsmenge ist also

L ={

2,182...+ k · π3 rad | k ∈ Z}.

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Beispiel 5.3. Berechne alle Winkel x (im Bogenmaß), die Lösungen der Gleichung sind.

4 · sin(

3 · x− 5 · π2

)+ 43 = 42

Lösung. Wir formen die Gleichung in die Form sin(,) = ? um:

4 · sin(

3 · x− 5 · π2

)= −1 ⇐⇒ sin

(3 · x− 5 · π2

)= −0,25

3 · x− 5 · π2 = arcsin (−0,25) + k · 2 · π

x = 2,533...+ k · 2 · π3 rad

ODER 3 · x+

5 · π2 = π − arcsin (−0,25) + k · 2 · π

x = 3,749...+ k · 2 · π3 rad

Die Lösungsmenge der Gleichung ist

L ={

2,533...+ k · 2 · π3 rad | k ∈ Z}∪

{3,749...+ k · 2 · π3 rad | k ∈ Z

}�

Wie kannst du die Periode T = 2·π3 direkt aus der Gleichung ablesen?

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6. Weitere Aufgabenstellungen

Aufgabe 6.1. Bestimme alle Winkel in [0◦; 360◦[, die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, undzeichne sie am Einheitskreis ein.

1) sin(α) = −0,4 2) cos(β) = 0,8 3) tan(γ) = 0,8

Aufgabe 6.2. Im folgenden Zeigerdiagramm ist der Funktionsgraph einer allgemeinen Sinusfunktionf(t) = A · sin(ω · t+ ϕ) dargestellt.

a) Zeichne die Startposition des Zeigers ein.b) Bestimme die Amplitude A, die Kreisfrequenz ω und den Nullphasenwinkel ϕ.c) Gib eine Funktionsgleichung der dargestellten, allgemeinen Sinusfunktion an.

Aufgabe 6.3. Berechne alle Winkel (im Bogenmaß), die Lösungen der folgenden Gleichung sind.a) sin(2 · x− 3) = 0,7 b) cos(3 · x+ 5) = −0,1 c) tan(2 · x− 1) = 42

Aufgabe 6.4.

a) Erkläre am Einheitskreis, weshalb sin(α + 90◦) = cos(α) und cos(α + 90◦) = − sin(α) .b) Erkläre am Einheitskreis, weshalb arcsin(−x) = − arcsin(x) für alle x ∈ [−1; 1].c) Zeige, dass cos(arcsin(x)) =

√1− x2 für alle x ∈ [−1; 1]. Hinweis: Pythagoras.

d) Berechne arcsin(x) + arccos(x) für einige Werte x ∈ [−1; 1].Stelle eine Vermutung auf und versuche sie zu beweisen.

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Aufgabe 6.5. Zeichne in der nachfolgenden Abbildung für t = 0 den Punkt P und die Phasenver-schiebung ϕ ein:

Gib die Parameter der zugehörigen Sinusfunktion, sowie die Periodendauer und die Frequenz an:A = T = f = ω = ϕ =

Aufgabe 6.6. Die Auswirkung einer Veränderung des Parameters d auf den Graphen der Funktion fmit f(x) = sin(x) + d soll untersucht werden.

a) Ordne richtig zu: A d = −1,5 B d = 1 C d = 2,5 D d = 0

b) Beschreibe, welche Auswirkung eine Veränderung des Parameters d gegenüber d = 0 auf denGraphen der Funktion f hat.

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Aufgabe 6.7. Die Auswirkung einer Veränderung des Parameters b auf den Graphen der Funktionf mit f(x) = sin(b · x) soll untersucht werden.

a) Ordne richtig zu: A b = −1 B b = 0,5 C b = 4 D b = 3

b) Beschreibe, welche Auswirkung eine Verdopplung des Parameters b gegenüber auf den Graphender Funktion f hat.

Aufgabe 6.8. Die Auswirkung einer Veränderung des Parameters a auf den Graphen der Funktion fmit f(x) = a · sin(x) soll untersucht werden.

a) Ordne richtig zu: A a = −2 B a = 1 C a = 3 D a = 0,5

b) Beschreibe, welche Auswirkung eine Vervierfachung von a auf die Funktionswerte von f hat.

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Aufgabe 6.9. Die Auswirkung einer Veränderung des Parameters c auf den Graphen der Funktionf mit f(x) = sin(x+ c) soll untersucht werden.

a) Ermittle mithilfe der gegebenen Gleichungen eine Nullstelle der jeweils zugehörigen Funktion:

1) f(x) = 2,5 · sin(x+ π)− 12) h(t) = sin(32 · t− 2)

3) g(x) = 20 · sin(4 · x+ 1)4) k(x) = sin(3 · π · x− π)

b) Ordne richtig zu:

A f(x) = 2 · sin(x2 + 1)

B f(x) = 2 · sin(π · x− π)

C f(x) = 2 · sin(x+ 2)

D f(x) = 2 · sin(10 · x− 5)

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Aufgabe 6.10. a) Lies aus den gegebenen Abbildungen die Periode p ab:

1) 2)

3) 4)

b) Ermittle mithilfe der gegebenen Funktionsgleichungen die jeweils zugehörige Periode p:

1) f(x) = 4 · sin(3 · x) + 22) g(t) = 0,5 · sin(π2 · t)

3) h(x) = 50 · sin(6 · x)− 44) A(t) = sin(2 · t)

Aufgabe 6.11. Ermittle die Parameter A, ω, ϕ und c der dargestellten allgemeinen Sinusfunktioneny(t) = A · sin(ω · t+ ϕ) + c.

a) b)

c) d)

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Aufgabe 6.12. Die nachfolgende Abbildung zeigt die ersten beiden Sekunden der Schwingungeines Federpendels:

– Stelle die Gleichung einer passendenallgemeinen Sinusfunktion auf, diediese harmonische Schwingung be-schreibt.

– Zeichne den Graphen deiner Funkti-on in das nebenstehende Koordina-tensystem. Vergiss nicht auf die Be-schriftung der Achsen.

Aufgabe 6.13. Um das Auflösungsvermögen eines Kamera-Objektiv-Systems zu untersuchen,kann man spezielle Test-Charts fotografieren und dann von einer Software auswerten lassen.

Ein gängiges Motiv solcher Test-Charts ist dersogenannte modulierte „Siemensstern“. Dieser be-steht aus einem Streifenmuster mit sinusförmigemHelligkeitsverlauf (siehe nebenstehende Abbildun-gen).

Der Übergang zwischen den weißen und schwar-zen Streifen erfolgt bei einem sinusförmigen Ver-lauf nicht sprunghaft sondern allmählich undstetig über die dazwischenliegenden Grautöne.Ein Siemensstern besteht aus insgesamt 144schwarzen Feldern.

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Für einen bestimmten Radius r und den zugehörigen Kreisumfang u kann der Helligkeitsverlaufmithilfe der allgemeinen Sinusfunktion f modelliert werden:

f(x) = a · sin(b · x+ c) + d

x . . . Entfernung vom Startpunkt P in cm, entlang der Kreislinie mit Radius rf(x) . . . Intensität von schwarz bis weiß bei einer Entfernung x

x hat in dieser Aufgabe die Einheit cm. Also hat b die Einheit rad/cm.

Die Intensität kann Werte von 0 (schwarz) bis 100 (weiß) annehmen.

a) Gib die Parameter a und d an.b) Bestimme für r = 10 cm den Parameter b.c) Gib den Parameter c an.d) Erkläre im gegebenen Sachzusammenhang, warum der Parameter b vom Radius r abhängig ist.e) Auch die nachfolgenden Helligkeitsverläufe können mithilfe periodischer Funktionen modelliert

werden. Ordne den Helligkeitsverläufen die zugehörigen Modellierungen A-D zu.

A

B

C

D

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6.11)α1=336,4...◦,α2=203,5...◦2)β1=36,8...◦,β2=323,1...◦3)γ1=38,6...◦,γ2=218,6...◦

6.2a)

b)A=5,ω=0,5,ϕ=π

4ϕkannauchumeinVielfachesvon2·πverändertsein,zumBeispiel:ϕ=−7π

4c)f(t)=5·sin(0,5·t+π4)

6.3a)x1,k=1,887...rad+k·πx2,k=2,683...rad+k·πk∈Zb)x1,k=−1,109...rad+k·2·π

3x2,k=−0,129...rad+k·2·π3k∈Z

c)x1,k=1,273...rad+k·π2,k∈Z

6.4a)RechtwinkligesDreieckimEinheitskreisum90◦drehen.b)PunktamEinheitskreisanderx-Achsespiegeln.c)RechtwinkligesDreieckimEinheitskreismitHypotenuse1undKathetenxbzw.

√1−x2.

d)arcsin(x)+arccos(x)=π2.VerwendezumBeispielcos(π2−,)=sin(,).

6.5

A=1T=3,141≈πf≈1πω≈2ϕ=−ω·t0=−2·π

3,141·(1,964−3,141)=2,3544...≈3·π4

6.6a)ObereReihe:B,AUntereReihe:D,Cb)EineVeränderungdesParametersdgegenüberd=0führtzueinerVerschiebungdesGrapheninRichtungder

y-AchseumdEinheiten.6.7a)ObereReihe:D,AUntereReihe:B,C

b)DerGraphwirdinhorizontalerRichtungumdieHälftegestaucht.6.8a)ObereReihe:C,BUntereReihe:D,A

b)DieFunktionswertewerdenvervierfacht.6.9a)x0=−π,t0=4

3,x0=−14,x0=1

3b)B,C,D,A6.10a)2,4,π,4·πb)2·π

3,4,π3,π

6.11a)y=2·sin(0,5·x)b)y=8·sin(2x−π2)+4c)y=2·sin(x−3π2)−1d)y=0,5·sin(4x−3π2)

6.12ZumBeispiel:y(t)=7,5·sin(2·π·t+π2)

6.13a)a=50,d=50b)b=14,4c)c=π2

d)bistabhängigdavon,wieoftproLängeneinheit(incm)eineganzePeriodedurchlaufenwird:Wirdrbeispielsweisekleiner,sowirdauchderUmfangukleiner,währenddieAnzahlderschwarzenFeldergleichbleibt.DadurchwerdenproLängeneinheitmehrganzePeriodendurchlaufenundbentsprechendgrößer.

e)vonobennachunten:C,D,B,A

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