Maxwell WS 08-09

5/11/2018 Maxwell WS 08-09 - slidepdf.com

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Technische Universität Berlin

Institut für Konstruktion, Mikro - und Medizintechnik

Fachgebiet Mikrotechnik

Prof. Dr. rer. nat. Heinz Lehr

Integrierte Lehrveranstaltung

Engineering Tools II

Übungseinheit

MAXWELL

Wintersemester 2008 / 2009

Übungsleiter:

Walter Vogel

Tel. 030 - 314 - 24196

[email protected]



1

Inhaltsverzeichnis

1 Die Methode der finiten Elemente (FEM) ............................................................. 2

1.1 Schritte einer FEM-Analyse....................................................................................... 3

1.2 Randbedingungen (BCs) ............................................................................................ 4

1.3 Unterschied 2D zu 3D................................................................................................ 6

2 Kurzanleitung Maxwell (FEM-Software) .............................................................. 8

2.1 Bedienung des Programms......................................................................................... 8

3 Physikalische Grundlagen des Magnetismus....................................................... 14

3.1 Magnetische Feldstärke H........................................................................................14

3.2 Magnetische Induktion B .........................................................................................15

3.3 Magnetischer Fluß Φ ................................................................................................ 16

3.4 Magnetische Feldenergie.......................................................................................... 16

3.5 Ferromagnetische Materialien..................................................................................16

3.6 Hart- und weichmagnetische Materialien ................................................................18

3.7 Magnetkreisberechnung ...........................................................................................19

3.8 Ohm´sches Gesetz des Magnetismus.......................................................................22

3.9 Magnetkräfte ............................................................................................................24

3.9.1 Reluktantzkräfte ....................................................................................................... 24

3.9.2 Maxwell´sche Zugkraftformel..................................................................................26



2

1 Die Methode der finiten Elemente (FEM)

Die Methode der finiten Elemente (FEM) ist ein numerisches Verfahren zur Lösung von

partiellen Differentialgleichungen (pDGL) und von Systemen aus partiellen Differential-

gleichungen. Dazu wird das Lösungsgebiet in Intervalle aufgeteilt, die finite Elemente

genannt werden. Über jedem Intervall wird eine Interpolationsfunktion definiert, die geeignet

ist, die exakte Lösung innerhalb dieses Intervalls zu approximieren. Dazu werden meist

Polynome eines Grades verwendet, welche die Anforderungen des mathematischen Problems

hinsichtlich ihrer Differenzierbarkeit erfüllen. Beispielsweise ist ein Polynom zweiten Grades

ungeeignet, wenn in der pDGL die dritte Ableitung vorkommt, da diese dann verschwinden

würde.

Zusätzlich werden sogenannte Übergangsbedingungen an den Elementgrenzen formuliert, die

die Stetigkeit der Lösung sowie evtl. einer oder mehrerer Ableitungen an den Elementgrenzen

sicherstellen. Die Stetigkeit der Lösung bedeutet im mechanischen Fall, dass das Materialnicht auseinander gerissen wird. Da die Ableitungen der Interpolationsfunktionen bekannt

sind, lässt sich das pDGL-System auf diese Weise in ein algebraisches Gleichungssystem

übersetzten, welches automatisiert gelöst werden kann.

In Abbildung 1-1 ist diese Methodik für ein eindimensionales System der Eingangsvariablen

x veranschaulicht. y(x) sei die exakte Lösung dieses Systems. Das Lösungsgebiet ist bereits in

finite Elemente unterteilt. Je enger diese Unterteilung ist, desto genauer kann die exakte

Lösung angenähert werden. Dazu ist es hilfreich sich vorzustellen, die Interpolation zwischen

den Intervallgrenzen sei linear, wenngleich tatsächlich Polynome höherer Ordnung zur

Anwendung kommen.

Es wird außerdem klar, dass es sinnvoll ist, in Bereichen großer Krümmung feiner zu

elementieren. Bei eindimensionalen Problemen sind die finiten Elemente Strecken, die sich

lediglich in ihrer Länge unterscheiden können und die Elementgrenzen sind Punkte. Bei

zweidimensionalen und dreidimensionalen Problemen kommen dagegen Drei- und Vierecke

bzw. Tetraeder und Oktaeder zum Einsatz. Die Elementgrenzen sind entsprechend Strecken

bzw. Flächen, was die Erfüllung der Stetigkeitsforderung erschwert, so dass es schwieriger

ist, geeignete Interpolationsfunktionen zu finden.



3

x

y(x)

finites Element Knoten

Abb. 1-1 Annäherung der exakten Lösung y(x) einer DGL mit Hilfe von

finiten Elementen. In Bereichen starker Krümmung wird sinnvoller Weise

feiner elementiert als in Bereichen geringer Krümmung.

1.1 Schritte einer FEM-Analyse

Kommerzielle FEM-Software wird zur Berechnung mechanischer, fluiddynamischer, elektro-

magnetischer und anderer physikalischer Probleme genutzt. Trotz der Verschiedenheit der

physikalischen Fragestellung ähnelt sich die Vorgehensweise zur Modellierung in den unter-

schiedlichen Programmen stark. Sie gliedert sich in folgende Schritte:

1. Preprocessing

2.2. Erstellen der Geometrie

2.3. Zuweisen von Materialeigenschaften, z.B. magnetische Permeabilität oder

relativer Dielektrizitätskonstante

2.4. Zuweisen von Lasten (z. B. Kräfte in einer mechanische Analyse) und Randbe-

dingungen (z.B. Flux-parallel-Randbedingungen in einer elektromagnetischen

Analyse)

2.5. Elementierung

2. Solver2.6. Erstellen der Gleichungssysteme

2.7. Lösen der Gleichungssysteme

3. Postprocessing

2.8. Darstellung der Ergebnisse z. B. mit Feldliniendiagrammen

2.9. Interpretation der Ergebnisse



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Die Geometrieerstellung ähnelt der Konstruktion in einem CAD-Programm. In vielen FEM-

Programmen ist es außerdem möglich, CAD-Modelle zu importieren.

Das Zuweisen der Materialeigenschaften beschränkt sich auf die für die jeweilige Analyse

wesentlichen Eigenschaften, beispielsweise des E-Moduls und der Querkontraktionszahl

(mechanische Analyse), der magnetischen Permeabilität bzw. BH-Kurve (magnetostatischeAnalyse), oder der relativen Dielektrizitätskonstante und elektrischen Leitfähigkeit

(elektrostatische Analyse).

Unter Lasten versteht man im mechanischen Fall beispielsweise Kräfte oder Drücke, während

man den Begriff Randbedingungen im mathematischen Sinne der Differentialgleichung

versteht. Ein Beispiel hierfür sind Symmetriebedingung, welche es ermöglichen, nur Teile der

Struktur zu modellieren, wenn diese Symmetrien aufweist (s. u.). Die Lasten werden im

elektromagnetischen Fall meist als Erregung (Excitation) bezeichnet. Hierunter fallen

beispielsweise Strom- und Spannungsquellen.

Unter der Elementierung oder Vernetzung (englisch: Mesh) versteht man die Unterteilung des

Lösungsgebietes in die finiten Elemente. Anders als in den meisten anderen FEM-

Programmen kann die Elementierung in Maxwell vollständig von der Software übernommen

werden. Sie wird dabei mit Hilfe von Energiebetrachtungen in mehreren Rechenzyklen so

lange verfeinert, bis die gewünschte Rechengenauigkeit erreicht ist. Der Anwender hat jedoch

auch die Möglichkeit, die Elementierung durch Meshseeds (wörtlich: Elementierungs-Saat)

zu beeinflussen. Dies ist jedoch meist nicht nötig.

Die Ecken der Elemente bezeichnet man als Knoten. An diesen Knoten sind die Variablen

definiert, welche letztlich das lineare Gleichungssystem bilden. Im Fall einer mechanischen3D-Analyse sind dies die Verschiebungen in den drei Raumrichtungen, im

elektromagnetischen Fall ist es das magnetische Vektorpotential. Dieses Gleichungssystem

wird vom Solver gelöst. Alle anderen Größen, z. B. mechanische Spannungen bzw.

magnetische Induktion etc. werden hieraus anschließend im Postprocesser errechnet. Der

Anwender hat die Möglichkeit, sich diese Ergebnisse auf vielerlei Weise graphisch

anschaulich darstellen zu lassen.

1.2 Randbedingungen (BCs)

Da die Anzahl der Rechenschritte und damit die Rechenzeit zur Lösung eines

Gleichungssystems exponentiell mit der Anzahl an Variablen steigt, ist es sinnvoll, das

Modell und damit die Element und Knotenzahl mit Hilfe von Randbedingungen so klein wie

möglich zu halten. Dazu werden Symmetriebedingungen definiert, welche auf den

Symmetrieflächen des Modells zugewiesen werden. In Maxwell stehen verschiedene Arten

von Randbedingungen zu Verfügung. Diese werden im Folgenden kurz erläutert. Zu beachten

ist, dass die Wirkung auf magnetische und elektrische Felder genau invertiert ist.



5

Symmetry odd

Diese Randbedingung bewirkt, dass der magnetische Fluss, also die Feldlinien des B-Feldes,

tangential zur Grenzfläche verlaufen (vgl. Abbildung 1-2). Im Fall eines E-Feldes treten die

Feldlinien normal durch die Grenzfläche ein- oder aus.

Symmetry even

Diese Randbedingung bewirkt, dass der magnetische Fluss, also die Feldlinien des B-Feldes,

normal in die Grenzfläche ein- bzw. austreten (vgl. Abbildung 1-2). E-Feldlinien dagegen

laufen tangential zu dieser Grenzfläche.

Symmetry even(flux normal)

S y m m e t r y o d d

( f l u x p a r a l l e l )

Abb. 1-2 Feld eines Stabmagneten (links), Verkleinerung des Untersuchungsgebietes mit Hilfe

von Symmetriebedingungen (mittig) und zugehörige Elementierung (rechts)

Master und Slave

Mit Hilfe der Master & Slave BC können zyklische Symmetrien ausgenutzt werden (vgl.

Abbildung 1-3). Sie bewirkt, dass die Freiheitsgrade auf zwei Grenzflächen des Systems als

identisch angenommen werden. Dazu müssen die Elementierungen auf beiden Grenzflächen

kompatibel sein, d.h. die Knoten müssen an den gleichen Positionen liegen.

In Maxwell wird eine dieser Grenzflächen als Master, die andere als Slave bezeichnet. Dabei

gibt es die Möglichkeit die entsprechenden Freiheitsgrade mittels

• Master = Slave

• Master = -Slave

zu verknüpfen.



6

(a) (b) (c)

Zyklische SymmetrieMaster = - Slave

Zyklische SymmetrieMaster = Slave

Abb. 1-3 Ausgelenkte Magnetkupplung. Ein 120°-Segment weist zyklische Symmetrie des Typs

Master = Slave auf (a), während ein 60°-Segment zyklische Symmetrie des Typs Master = - Slavezeigt (b). Der Unterschied zwischen beiden besteht darin, dass die Magnete, die von den

Segmentgrenzen geschnitten werden, in (a) gleichsinnig und in (b) gegensinnig magnetisiert sind.

Bildteil (c) zeigt die Berechnung des Feldes mit Hilfe von Master = - Slave. Es ist zu erkennen, dass

die Feldlinien an den Segmenträndern ineinander münden. Allerdings ist die Feldrichtung genau

gegensinnig (Master = - Slave), was hier nicht zu erkennen ist.

1.3 Unterschied 2D zu 3D

Ziel dieses Abschnittes ist es aufzuzeigen, wann es sinnvoll ist, dreidimensionale FEM-Programme einzusetzen und aufzuzeigen, dass es durchaus eine Berechtigung für die Nutzung

von zweidimensionalen Systeme gibt.

In der Übung „Maxwell 2D – Elektrostatik“ ist ein einfacher FEM-Ansatz für die Berechnung

des elektrischen Feldes in einem sehr einfachen System berechnet worden. Gelöst worden ist

dabei zuerst die Potentialverteilung im System. Daraus kann dann das elektrische Feld

berechnet werden.

Der Lösungsansatz über das Potentialfeld ist insofern speziell, als dass das Potential ein

skalares Feld und kein vektorielles Feld ist. Ebenso sind die „Lasten“ des Systems, dieLadungen, eine skalare Größe. Sie haben keinen gerichteten Charakter.

Soll aber ein vektorielles Feld gelöst werden, wie z.B. in magnetostatischen Anwendungen, so

erhöht sich die Komplexität der Matrix mit der Anzahl der Raumdimensionen. Während ein

skalares Feld in jedem Raumpunkt nur einen Funktionswert besitzt, so verfügt ein vektorielles

Feld über genau so viele Funktionswerte, wie die Anzahl der betrachteten Raumdimensionen.

Die Knotenverschiebung eines Stabwerkes beispielsweise hat als 2D Problem also zwei Werte

und in drei Dimensionen drei. Für jede dieser Werte muss in der Steifigkeitsmatrix eine

Gleichung vorgesehen werden. Hinzu kommt, dass im dreidimensionalen Fall mehr Knoten

benötigt werden als im zweidimensionalen Fall.



7

Die zu lösenden Gleichungssysteme werden also bei 3D Problemen schnell deutlich

komplexer als im zweidimensionalen Fall und die Rechenzeit nimmt beträchtlich zu. Daher

sollte einer zweidimensionalen Modellierung des Problems der Vorzug gegeben werden,

solange dies möglich ist.

Ist es aber notwendig ein Problem in drei Dimensionen zu berechnen, so sollte versuchtwerden, das Gleichungssystem durch Nutzung von Symmetrien so weit wie möglich zu

reduzieren.

Abb. 1-4 Objekt nicht mit 2D Software darstellbar.

Der Vorteil von dreidimensionalen FEM-Systemen liegt vor allem darin, dass prinzipiell jede

beliebige Geometrie und Problemstellung berechnet werden kann. Während

zweidimensionale Programme zwar ressourcenschonender sind und im Allgemeinen schneller

Lösungen bieten, scheitert Ihr Einsatz häufig daran, dass das zu berechnende System durch

eine zweidimensionale Modellierung nicht befriedigend abgebildet werden kann.

Ein weiterer Vorteil dreidimensionaler Systeme ergibt sich im Hinblick auf Marketing

gegenüber inneren und äußeren Kunden. 3D Systeme wirken professioneller und die

ausgegeben Bilder sind optisch ansprechender. Nicht zuletzt erlauben sie es auch im Lesen

von technischen Zeichnungen ungeübten Personen die Geometrie zu erkennen.



8

2 Kurzanleitung Maxwell (FEM-Software)

2.1 Bedienung des Programms

Diese kurze Zusammenstellung kann weder die Teilnahme an der Lehrveranstaltung, noch das

eigene Arbeiten mit dem Programm ersetzen, sie erhebt auch keinen Anspruch auf Voll-

ständigkeit. Sie dient als Nachschlagewerk und soll den Schreibaufwand während der Lehr-

veranstaltung reduzieren.

Im folgenden Beispiel wird das Magnetfeld eines einfachen Elektromagneten mit einer Spule

(siehe Abbildung 2-1) berechnet.

Abb. 2-1 Elektromagnet für die Modelberechnung

Nach dem Start von Maxwell erscheint zunächst die in der Abbildung 2-2 dargestellte

Benutzeroberfläche. Als erstes sollte man den Arbeitsraum definieren, man hat die Auswahl

zwischen dem 2D und 3D Raum (siehe Abbildung 2-2). Für das folgende Beispiel ist das 2D-

Koordinaten-System relevant.

Abb. 2-2 Maxwell Benutzeroberfläche



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Im Weiteren geht man in der oberen Menüleiste auf >>Maxwell 2D >> Solution Type, so

dass das in der Abbildung 2-3 dargestelltes Fenster aufgerufen wird. Hier wird zwischen

magnetischen bzw. elektrostatischen Modellrechnungen unterschieden. Außerdem stellt

Maxwell 2D zwei Koordinatensysteme (kartesisches XY und zylindrisches XZ) zur Verfü-

gung.

Abb. 2-3 Auswahl der Simulationsart

Nach der Festlegung physikalischen Modells und des Koordinatensystems für die Rechnung,

wird die Geometrie des Objekts definiert. Unten links werden die Orientierung der Achsen

und die aktuellen Koordinaten angezeigt. Oben befinden sich die Menüleiste, über die alle

Funktionen erreichbar sind und darunter eine Reihe von Piktogrammen zur Schnellauswahl

häufig genutzter Funktionen. Wird die linke Maustaste auf einem Piktogramm gedrückt

gehalten eine Kurzbeschreibung der Funktion eingeblendet. In der unteren Zeile werden kurze

Bedienungshinweise der jeweiligen Funktion angezeigt. Das Zeichnen erfolgt über dieAnfangs-, End- und gegebenenfalls Zwischenpunkte der Skizzenelemente. Diese werden

jeweils mit der linken Maustaste gesetzt, ein Gedrückthalten zwischen den Punkten ist nicht

notwendig. Die zu erstellende Geometrie ist in der Abbildung 2-4 zu sehen.



10

Abb. 2-4 Geometrie des Elektromagneten

Alle in Maxwell erstellten Objekte werden automatisch als Vakuum definiert, so dass das

nachträgliche Zuweisen von Materialeigenschaften immer notwendig ist. Dies erfolgt am ein-

fachsten in folgenden Schritten:

> Markieren des Objekts durch einen Mausklick > rechter Mausklick und Auswahl Assign Material (siehe Abbildung 2-5)

> dadurch gelangt man zur Tabelle mit den in Maxwell gespeicherten Werkstoffen (siehe

Abbildung 2-6)

> Auswahl steel_1008

Die beiden Spulenhälften sollen analog als Kupfer definiert werden.

Abb. 2-5 Zuweisen der Materialeigenschaften



11

Abb. 2-6 Auswahl des Materials

Für die Definition der Bestromung der Spule sollen folgende Schritte durchgeführt werden

(siehe Abbildung 2-7):

> Markieren einer der Hälften

> rechter Mausklick

> Assign Excitation

> Current

Zu beachten ist, dass der Strom durch die beide Spulenhälften betragsmäßig gleich, aber mit

entgegen gesetzter Richtung einzugeben ist.

Abb. 2-7 Zuweisen des Stroms durch die Spule



12

Bevor die Berechnung gestartet werden kann, muss die Berechnungsgrenze festgelegt werden.

Dafür wird der Button Region in der oberen Menüleiste angeklickt und die Regiongröße in

Prozent (typischerweise 200-500 Prozent des zu berechneten Modells) eingestellt. Die Linien

welche die Grenze des Berechnungsraums (Region) darstellen, werden im Weiteren markiert

und als Baloon definiert (siehe Abbildung 2-8).

Abb. 2-8 Definieren der Berechnungsgrenze

Danach sollen die Einstellungen zur Rechnung vorgenommen werden. Dieses erfolgt über den

rechten Mausklick auf Analysis in Project Manager (siehe Abbildung 2-9). Für die erste

Modellrechnung bleiben die Einstellungen auf Standard.

Abb. 2-9 Solution Setup



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Nach diesen Schritten kann die Analyse, durch einen Klick auf das Ausrufezeichen in der

oberen Menüleiste, gestartet werden.

Die Vorgehensweise zur Darstellung der Ergebnisse (in diesem Fall das B-Feld) ist in der

Abbildung 2-10 zu sehen. Man markiert alle Elemente, in denen der Feldverlauf angezeigt

werden soll und geht in Project Manager auf Field Overlays >Fields >B > Mag_B

Abb. 2-10 Darstellung der Ergebnisse



14

3 Physikalische Grundlagen des Magnetismus

Das Programm Maxwell (Ansoft) dient der numerischen Berechnung von elektrostatischen

und magnetischen Feldern. Für den Umgang mit dieser Software im Rahmen der

Lehrveranstaltung „Engineering Tools“ am Fachgebiet Mikrotechnik der TU Berlin ist daher

die Kenntnis einiger physikalischer Grundlagen erforderlich. Dieses Skript dient zur

Vermittlung der wesentlichen physikalischen Theorie – unabhängig von der verwendeten

Software – auf der die Übungen und Hausaufgaben basieren. Dabei wird auf eine

grundlegende und umfassende Beschreibung verzichtet und lediglich auf die

übungsrelevanten Fragestellungen eingegangen. Zum weiteren Verständnis wird auf

entsprechende Literatur verwiesen.

3.1 Magnetische Feldstärke H

Die magnetische Feldstärke H ist ein Hilfsfeld, welches beispielsweise den Einfluss vonmakroskopischen, z.B. in Drähten fließenden Strömen beschreibt. Wo immer ein Strom fließt,

wird dieser von einem H-Feld umgeben. Dies wird durch die erste Maxwellsche Gleichung

ohne Verschiebungsstrom ausgedrückt.

(1) ∫ Θ=⋅= sdH , jHrotr

rrr

Hiernach ist die Rotation des H-Feldes an jeder Stelle gleich der es verursachenden

Stomdichte j. Nach dem Satz von Stokes ist dies gleichbedeutend mit der Aussage, dass jedes

geschlossene Linienintegral des H-Feldes gleich der Durchflutung Θ = N·I ist, der durch dievom Integrationsweg eingeschlossenen Fläche fließt.

Im Inneren von Spulen konzentriert sich das H -Feld aus geometrischen Gründen. Für

schlanke Zylinderspulen folgt aus (1)

Il

NH ⋅=

mit der Windungszahl N, der Spulenlänge l und dem Spulenstrom I.

H

I

Abb. 3-1 Jeder Strom wird von einem H-Feld umgeben



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3.2 Magnetische Induktion B

Die magnetische Induktion B wird heute als das eigentliche Magnetfeld betrachtet1. Sie

bestimmt die magnetischen Kräfte, wie Lorentzkraft und Maxwellkraft und kann mit Hilfe

von geeigneten Sensoren (z.B. Feldplatten oder Hallsensoren) gemessen werden. Die

magnetische Induktion wird auch magnetische Flussdichte genannt, weil ihr Flächenintegral

den magnetischen Fluss ergibt (s.u.). Damit stellt sie das Pendant zur Stromdichte in

elektrischen Kreisen dar.

Auch der Begriff der magnetischen Feldlinien bezieht sich auf die magnetische Induktion.

Ihre Richtung stimmt in jedem Punkt mit der Richtung des dortigen B-Vektors überein und

ihre Dichte ist proportional zum Betrag von B.

Das B-Feld ist quellenfrei, was mit der Aussage identisch ist, dass es keine magnetischen

Monopole gibt. Dieser Zusammenhang wird mathematisch durch die zweite Maxwellsche

Gleichung ausgedrückt.

(2) 0AdB ,0Bdiv =⋅= ∫ rrr

Eine magnetische Induktion kann entweder mit Hilfe eines Permanentmagneten oder durch

eine Spule nach dem Zusammenhang

(3) HBrr

μ=

hervorgerufen werden. Die Proportionalitätskonstante µ heißt magnetische Permeabilität. Siesetzt sich nach

(4) µ = µ0 µr

aus der magnetischen Feldkonstante oder Vakuumpermeabilität µ0 =1,257·10-6 Vs/Am und der

relativen Permeabilität µr zusammen. Letztere ist eine Materialeigenschaft. Für Luft hat sie

etwa den Wert 1, während ferromagnetische Werkstoffe Permeabiliäten von bis zu 100000

aufweisen. Allerdings ist diese hierbei eine Funktion von H, also µr,Fe=µr,Fe(H) (s.u.).

Materialien mit hohem µr reagieren bei gleichem H-Feld mit viel höherer magnetischen

Induktion B als Luft oder Werkstoffe mit niedrigem µr .

In Permanentmagneten gilt anstelle von (3)

(5) HBB Mr

rrr

μ+= ,

da hier die Remanenz Br , also die durch den Magneten verursachte magnetische Induktion

(s.u.) hinzukommt. Dies wird in Abschnitt 3.8 erläutert.

1 Im Folgenden wird der Begriff Magnetfeld immer das B-Feld bezeichnen.



16

3.3 Magnetischer Fluß Φ

Der magnetische Fluß Φ ist definiert als das Flächenintegral der magnetischen Induktion.

(6) ∫ ⋅=Φ AdBrr

Ist B über dem gesamten Querschnitt konstant und tritt senkrecht durch A, so vereinfacht sich

dies zu Φ = BA. Dies gilt näherungsweise in den meisten magnetischen Kreisen mit kleinen

Luftspalten.

3.4 Magnetische Feldenergie

Die magnetische Energiedichte ist gegeben durch

(7) HB

2

1w mag

rr

⋅= .

Da B und H nach (3) außerhalb von Permanentmagneten in gleicher Richtung verlaufen,

vereinfacht sich dies dort zu

(8) μ

=2

mag

B

2

1w .

Die gesamte Feldenergie des Systems ergibt sich als Volumenintegral seiner Energiedichte zu

(9) ∫ =V

magmag dVwW .

3.5 Ferromagnetische Materialien

Zunächst sei ein Ringkern betrachtet, auf den eine Spule gewickelt ist (vgl. Abbildung 3-2).

Bei einer Windungszahl von N tritt also ein Gesamtstrom von NI ( I: Spulenstrom) durch den

Kreisring. Wendet man (1) in Integralform auf dieses System, also

(10) NIsdH =⋅∫ r

r

und wählt man als Integrationsweg die gestrichelt eingezeichnete Linie mit dem Umfang l, soergibt sich Hl=NI, also

(11) l

NI)I(H = .

Die magnetische Feldstärke im Kreis ist also proportional zum Spulenstrom I. Das

Ringmaterial reagiert darauf mit einer magnetischen Induktion B=B(H). Dieser

Zusammenhang ist bei ferromagnetischen Materialien nichtlinear und hysteresebehaftet (siehe

Abbildung 3-2).

Ist der Ring anfangs unmagnetisiert, so wird B bei steigendem Spulenstrom und damit beisteigendem H zunächst der Neukurve folgen. An Punkt A würde eine weitere Erhöhung des

H-Feldes nur noch ein geringes Ansteigen der Induktion B nach (3) mit der



17

Vakuumpermeabilität µ0 zur Folge haben. An diesem Punkt ist der Eisenkern magnetisch

gesättigt. Reduziert man den Strom nun wieder bis auf Null, so folgt B dem eingezeichneten

Verlauf bis zum Punkt B. Obwohl jetzt kein strombedingtes H-Feld mehr wirkt, bleibt eine

magnetische Induktion BR zurück, die Remanenz genannt wird. Diese Remanenz ist es, die

einen Dauermagneten zum Magneten im herkömmlichen Sinne macht.Bestromt man die Spule nun in Gegenrichtung, erreicht man bei der Feldstärke HC, die

Koerzitivfeldstärke genannt wird, den Punkt C, an dem die magnetische Induktion den Wert

Null annimmt. Erhöht man den Betrag des H-Feldes weiter in negativer Richtung, so erreicht

man schließlich den Punkt D, an dem das Eisen in umgekehrter Richtung gesättigt ist als an

Punkt A. Bei einer erneuten Stromumkehr würde die magnetische Induktion nun der unteren

Kurve der Hystereseschleife bis zum Punkt A folgen.

Die in der Hystereseschleife enthaltenen Fläche entspricht der Energie, die aufgebracht

werden muss, um die Schleife einmal zu durchfahren. Diese Energie macht sich in

Transformatoren als Magnetisierungsverlust bemerkbar.

B, H

Eisenring

Spule

l

Abb. 3-2 Geschlossener Eisenkreis mit Spule (links) und die BH-Kurve

ferromagnetischer Materialien (rechts)



18

3.6 Hart- und weichmagnetische Materialien

In Abbildung 3-3 sind die B-H-Kurven eines hart- und eines weichmagnetischen Materials

abgebildet. Hartmagnetische Materialien weisen eine breite Hysterese mit hoher

Koerzitivfeldstärke HC und großer Remanenz BR auf und werden daher als Permanentmagnete

eingesetzt.

Bei weichmagnetischen Materialen ist die Hysterese sehr schmal ausgeprägt. Sowohl ihre

Koerzitivfeldstärke als auch ihre Remanenz ist deutlich geringer als bei hartmagnetischen

Materialen. Ihre Sättigungsinduktion hingegen ist im Idealfall sehr hoch. Aufgrund dieser

Eigenschaften wird Weicheisen zur Feldverstärkung in Spulen und als Leitung für den

magnetischen Fluss verwendet.

BB

HHHcHc

BR

BR

hartmagnetisches Material weichmagnetisches Material

Abb. 3-3 BH-Kurven für ein hartmagnetisches (links) und für ein weichmagnetisches Material (rechts)



19

3.7 Magnetkreisberechnung

Beispiel 1: Weicheisenkreis mit Spule und Luftspalt

Versieht man den magnetischen Kreis aus Abbildung 3-2 mit einem Luftspalt, so ergibt sichder in Abbildung 3-4 gezeigte Aufbau. Dabei wirkt der Luftspalt aufgrund seiner niedrigen

Permeabilität als magnetischer Widerstand, was gegenüber dem Kreis ohne Luftspalt einen

geringeren Magnetfluss zur Folge hat. Aus (10) folgt

(12) lHFe + δHL=NI.

Da Φ wegen (2) überall im Kreis, also auch im Luftspalt, den gleichen Wert haben muss, gilt

Φ=ΦFe=ΦL=const. Da der Kreisquerschnitt A im gesamten Kreis konstant ist, folgt daraus

wegen Φ=BA, B=BL=BFe. Berücksichtigt man weiterhin, dass B=BL=µLHL, so ergibt sich aus

(12)

(13) FeLL

L Hl

NIBBδ

μ−

δ

μ== .

Zusammen mit der BH-Kurve von Eisen BFe=BFe(HFe), ergibt sich ein Gleichungssystem, das

sich nach B auflösen lässt. Da die BH-Kurve jedoch nichtlinear ist, muss diese Lösung

numerisch oder graphisch erfolgen, wie in Abb. Abb. 3-4 dargestellt. Für die folgende

Betrachtung soll von einer linearen BH-Kurve

(14) B=BFe=µFe H

ausgegangen werden. Damit lässt sich das Gleichungssystem (12),(14) lösen. Für den

Arbeitspunkt ergibt sich dann

(15)

l

NI

lB

Fe

L

L

δ+

μ

μμ

=

Da µFe>>µL, verringert sich der Einfluss des Summanden µL/µFe gegenüber dem

geometrieabhängigen Summanden δ/l bei gebräuchlichen Magnetkreisgeometrien deutlich.

Der Einfluss von µFe und damit auch die Nichtlinearität der BH-Kurve des Eisens nehmen

daher durch den Luftspalt ab. Vernachlässigt man den Summanden µL/µFe in (15), so ergibt

sich für die magnetische Induktion im Kreis in guter Näherung

(16) NIB L

δμ

≈ .

Das gleiche Ergebnis hätte man erhalten, wenn man den Eisenterm in (12) von vorn herein

weggelassen hätte. Dies bedeutet, dass der magnetische Widerstand des Eisens in

magnetischen Kreisen, ähnlich wie der elektrische Widerstand des Kupfers in elektrischen

Kreisen, im Vergleich zu dem in Luft vernachlässigt werden kann.



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B, H

Spulel

δ

FeLL

L Hl NIBBδ

μ−δμ==

BFe=BFe(HFe) (Neukurve) NIL

δ

μ

Arbeitspunkt

HFe

B

Abb. 3-4 Magnetischer Kreis mit Luftspalt (links) und graphische Ermittlung

seines Arbeitspunktes in der BH-Neukurve von Weicheisen (rechts)

Die oben angeführten analytischen Rechnungen basieren auf der Annahme, dass die

Querschnittsfläche des magnetischen Flusses im Eisen und im Luftspalt gleich groß ist.

Tatsächlich kann es jedoch zu Kurzschlüssen zwischen den Eisenteilen und Streuflüssen um

den Arbeitsspalt herum kommen (siehe Abb. 3-5 bis Abb. 3-7). Die Berechnungen zu den

Abbildungen entstammen aus Maxwell 2D. Hierbei ist θ = NI = 4000 A, Eisenrückschluss aus

Baustahl St37 mit 30 x 30 mm2 Querschnittsfläche, Luftspaltlänge δ = 10 mm.

Abb. 3-5 Magnetischer Kreis mit Luftspalt. Darstellung der Feldlinien (Maxwell 2D)

In Abbildung 3-7 ist der Verlauf der magnetischen Induktion B über der x-Achse (horizontale

Symmetrieachse, die durch die Mitte der Spule über dem linken Eisenschenkel sowie durch

den Luftspalt verläuft) dargestellt. Innerhalb des linken Eisenschenkels herrscht über eine

Breite von 30 mm eine Induktion von knapp 1,1 T. Würde der magnetische Fluss perfekt

durch das Eisen geführt und in einem parallelen Flussbündel durch den Arbeitspalt δ

verlaufen, so herrschten aufgrund der Flusserhaltung in einem 30 mm breiten Luftspalt

ebenfalls knapp 1,1 T. Aus dem Diagramm ist jedoch zu entnehmen, dass es unmittelbar außerhalb des linken vertikalen Eisenschenkels – und nicht nur im Arbeitspalt – zu

Rückflüssen kommt. Die Induktion in dem Luftspalt beträgt aufgrund dieser Streuverluste in



21

dem dargestellten Aufbau knapp 0,5 T. Eine Integration der Induktion über die x-Achse ergibt

in der Summe Null.

Da diese Streueffekte sehr stark von der Geometrie des Magnetkreises und den nicht-linearen

magnetischen Eigenschaften der Werkstoffe abhängen, lässt sich kein verlässlicher

Verlustfaktor ermitteln, der diese Verluste in den analytischen Rechnungen berücksichtigenkönnte. In diesem Zusammenhang wird die Bedeutung der numerischen Methoden ersichtlich,

bei denen sämtliche dieser Einflüsse berücksichtigt werden.

Abb. 3-6 Magnetischer Kreis mit Luftspalt. Darstellung der Induktion B

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

-100 -50 0 50 100 150 200 250 300

Position x [mm]

I n d

u k t i o n

B

[ T ]

Abb. 3-7: Magnetischer Kreis mit Luftspalt. Darstellung des Verlaufs der

Induktion B entlang der x-Achse (siehe Abb. 3-6).

x

y

Polbreite über

Luftspalt



22

3.8 Ohmsches Gesetz des Magnetismus

Zur einfacheren Berechnung von Magnetkreisen, die aus Spulen und Weicheisen bestehen,

lässt sich das ohmsche Gesetz des Magnetismus nutzen. Es stellt eine Analogie zwischen

elektromagnetischen und elektrischen Kreisen dar und lautet

(17) Φ⋅=θ mR

Die magnetische Spannung zwischen zwei Punkten des Magnetkreises ist hierin definiert als

(18) ∫ ⋅=θQ

Pr dHr

r

Der magnetische Widerstand ist definiert als

(19) A

lR

r 0

m μμ=

Das Pendant zum elektrischen Strom ist der magnetische Fluss Φ nach (6). Das Gesetz ist einetriviale Folge aus (3), (6) und der Definition (18). Tatsächlich hat es nichts mit einem

Leitungsmechanismus zu tun, sondern vereinfacht lediglich die Berechnung magnetischer

Kreise.

Angewandt auf den Kreis nach Abb. 18 würde es lauten:

(20) )AA

l()R R ( NI

Luft0FeFe0

Luft,mFe,m μδ

+μμ

Φ=+⋅Φ=

Unter Verwendung von AFe=ALuft=A sowie Φ=BA ergibt sich hieraus selbstverständlich das

gleiche Ergebnis wie in (15).

Wegen (2) gilt übrigens auch die Knotenregel

∑ =Φi

i 0

und wegen (1) zusammen mit der Definition (18) auch die Maschenregel für θ. Damit sind

aller Rechenverfahren zur Berechnung elektrischer Kreise auch auf magnetische Kreise

anwendbar

Die Entsprechungen zwischen elektrischen und magnetischen Kreisen sind in Tabelle 1

zusammengefasst.

Magnetische Größe Elektrisches Pendant

magnetische Spannung θ=NI elektrische Spannung U

magnetischer Fluss Φ=BA elektrischer Strom I

magnetischer Widerstand Al

m r 0R μμ= elektrischer Widerstand R

Tabelle 1 Analogie zwischen magnetischen und elektrischen Größen



23

Beispiel 2: Kreis mit Permanentmagnet und Luftspalt

N

S

B, H

Permanent-magnet δ

lM

BM=BM(HM)(allgemein)

Arbeitspunkt

HFe

B

BM=BR +µMHM (NdFeB)

ML HlBδ

μ−=

Abb. 3-8 Permanentmagnetischer Kreis mit Luftspalt (links) und die graphische Ermittlung seines

Arbeitspunktes im zweiten Quadranten der BH -Kennlinie eines Permanentmagneten (rechts)

Aus (10) folgt für den permanentmagnetischen Kreis nach Abbildung 3-8

(21) 0lHlHlH LLFeFeMM =++ .

Im Folgenden wird davon Gebrauch gemacht, dass der magnetische Widerstand von Eisen

vernachlässigbar ist (s.o.). Damit verkürzt sich dies zu

(22) 0lHlH LLMM =+

Diese Gleichung kann nur dann erfüllt sein, wenn HM und HL entgegengesetzte Vorzeichen

haben. Da im Luftspalt wegen (3) HL parallel zu BL verläuft und damit positiv ist und B

wegen (6) überall im Kreis die gleiche Richtung hat, muss HM in Permanentmagneten negativ

sein. Damit befindet sich der Arbeitspunkt eines Permanentmagneten zwangsläufig im

zweiten Quadranten der BH-Kurve, da nur hier B positiv und H negativ ist.

Da Φ wegen (6) überall im Kreis, also auch im Luftspalt, den gleichen Wert haben muss, gilt

Φ=ΦM=ΦL=const. Da der Kreisquerschnitt A im gesamten Kreis konstant ist, folgt daraus

wegen Φ=BA, B=BM=BFe. Berücksichtigt man weiterhin, dass B=BL=µLHL, so ergibt sich aus

(22)

(23) ML Hl

Bδ

μ−=

Zusammen mit der BH-Kurve des Permanentmagneten BM=BM(HM) ergibt sich ein

Gleichungssystem, das sich nach B auflösen lässt. Da die BH-Kurve jedoch nichtlinear ist,

muss diese Lösung numerisch oder, wie in Abbildung 3-8 dargestellt, graphisch erfolgen.

Befindet sich der Arbeitspunkt hinter dem Knick der BH-Kurve, so ist ein Reduktion der

Remanenz und damit eine dauerhafte Schwächung des Permanentmagneten die Folge. Bei

NdFeB-Magneten (Neodym-Eisen-Bor), verläuft die BH-Kurve im gesamten zweitenQuadranten näherungsweise linear, so dass man sie durch



24

(24) MMR M HBB μ+=

beschreiben kann. Löst man das Gleichungssystem (23),(24), so erhält man die

Kreisinduktion.

(25)

ML

MR

l1

1BB δ

μ

μ+

=

Da µM≈µL, wird diese Beziehung vom Verhältnis aus Luftspaltlänge und Magnetlänge δ/lM

bestimmt. Ist der Luftspalt im Verhältnis zur Magnetlänge sehr klein, so herrscht im Kreis in

etwa die Remanenzinduktion BR . Sind Luftspalt- und Magnetlänge gleich, so herrscht etwa

BR /2. In Abb. 3-9 ist (25) als Funktion von δ/lM dargestellt.

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

0 1 2 3 δ/lM

B/BR

Abb. 3-9 Magnetische Induktion B als Funktion des Verhältnisses aus

Luftspaltlänge und Magnetlänge für einen permanentmagnetischen Kreis

3.9 Magnetkräfte

Es gibt zwei Arten von Kräften die durch Magnetfelder verursacht werden:

• Lorentzkraft

• Reluktanz- oder Maxwellkraft

Erstere wirkt auf bewegte Ladungen, während letztere auf dem Bestreben magnetischer

Systeme beruht, die Gesamtfeldenergie zu reduzieren. An dieser Stelle soll nur auf die

Reluktanzkraft eingegangen werden, da sie in der Aktorik genutzt wird.

3.9.1 Reluktantzkräfte

Jedes physikalische System, dessen Energiegehalt W sich durch die mechanische

Verschiebung einer Komponente reduzieren lässt, übt eine Kraft F auf diese Komponente in

der entsprechenden Richtung aus. Dies wird durch den Arbeitssatz ausgedrückt:



25

(26) )x(WradgFr

r

−=

Hierin ist xr

der Ortvektor der betrachteten Komponente.

In (26) liegt die Ursache für die Reluktanzkraft begründet. Da µ in (8) im Nenner steht,

verursacht ein durch Luft verlaufendes Magnetfeld viel höhere Energiedichten als ein durchEisen verlaufendes. Permanentmagnete haften deshalb an Weicheisen, weil dadurch das

Volumen des durch Luft verlaufenden Feldes und damit die Gesamtfeldenergie minimiert

wird.

Beispiel 3: Haltekraft eines Hufeisenmagneten

Für viele Systeme ist die Feldverteilung nicht analytisch berechenbar. Eine Ausnahme stellt

die Haltekraft eines Hufeisenmagneten nach Abbildung 3-10 dar.

N S

x

Permanentmagnet

Joch

F

A/2

Abb. 3-10 Haltekraft eines Hufeisenmagneten

Bei sehr kleinen Luftspalten x herrscht im Kreis näherungsweise die Remanenzinduktion des

Permanentmagneten. Außerdem bleibt die Feldenergie im Eisen dann unabhängig von x

konstant. Deshalb genügt es, nur die Feldenergie im Luftspalt zu betrachten.

Diese ergibt sich nach (8) und (9) zu

(27) AxB

2

1dV

B

2

1)x(W

VL

2

R

L

2

R ∫ μ=

μ=

mit der gesamten Berührfläche A zwischen Magnet und Joch (in Abbildung 3-10 über zwei

Teilflächen A/2 verteilt). In diesem Fall wird aus der Vektorgleichung (26) eine skalare

Gleichung. Dadurch wird aus dem Gradienten eine einfache Differentiation nach x. Für den

Betrag von F gilt damit

(28) AB

2

1Ax

B

2

1

xF

L

2

R

L

2

R

μ=⎟

⎟ ⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

μ∂∂

=

oder ausgedrückt durch den Fluss

(29) A2

1F

L

2

R

μ

Φ= .



26

3.9.2 Maxwellsche Zugkraftformel

Da das Joch, auf welches die Magnetkraft wirkt, nichts von der Existenz des

Permanentmagneten wissen kann, muss die Ursache der Kraft im Feld an sich begründet sein.

Sie wird letztlich durch den Austritt des B-Feldes aus einem hochpermeablen Material in Luft

verursacht. Deshalb müssen die Zusammenhänge (28), (29) ganz allgemein für jedes

ungesättigte Weicheisenteil aus dem Feldlinien austreten, gelten. Dieser Zusammenhang wird

als Maxwellsche Zugkraftformal bezeichnet.

(30) =μ

= AB

2

1F

L

2

A2

1

L

2

μΦ

Hierin bezieht sich B auf die durch die Oberfläche A des Teils tretende Induktion. Gelingt es,

die Feldverteilung um ein Weicheisenteil zu berechnen, so kann die Kraftwirkung mit Hilfe

von (30) für die gesamte Oberfläche einer Komponente bilanziert und so die resultierende

Reluktanzkraft berechnet werden. Diese Art der Kraftberechnungen ist in den entsprechenden

numerischen Computerprogrammen zur Feldberechnung implementiert. An dieser Stellen sei

noch einmal darauf hingewiesen, dass mögliche Fehler einer rein analytischen Berechnung

der Zugkraft bei der Bestimmung des magnetischen Flusses entstehen, da sich, wie bereits

erwähnt, die Verluste durch Streuflüsse analytisch schwer quantifizieren lassen und die nicht-

linearen Materialeigenschaften berücksichtigt werden müssen.

Maxwell WS 08-09

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