mb Russell C. Hibbeler maschinenbau Technische … · 3 KINETIK EINES MASSENPUNKTES: ARBEIT UND...

ein Imprint von Pearson EducationMnchen Boston San Francisco Harlow, England

Don Mills, Ontario Sydney Mexico CityMadrid Amsterdam

Russell C. Hibbeler

10., berarbeitete und erweiterte Auflage

Technische Mechanik 3

maschinenbaumb

bersetzung aus dem Amerikanischen:

Fachliche Betreuung und Erweiterungen:

Dynamik

Jrg Wauer, Wolfgang Seemann

Georgia Mais

http://www.pearson-studium.de/main/main.asp?page=bookdetails&ProductID=81920http://www.pearsoned.dehttp://www.pearson-studium.de/main/main.asp?page=bookdetails&ProductID=81920

B

ER

BL

IC

K

3

Kinetik eines Massenpunktes: Arbeit und Energie

3.1 Arbeit einer Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

3.2 Arbeitssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

3.3 Arbeitssatz fr ein Massenpunktsystem . . . . . . . . . . . 200

3.4 Leistung und Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

3.5 Konservative Krfte und potenzielle Energie . . . . . . 211

3.6 Energieerhaltung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

3.7 Methode Energieintegral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220

KINETIK EINES MASSENPUNKTES: ARBEIT UND ENERGIE3

Bei der Dimensionierung des Loopings der Achterbahn muss sichergestellt sein, dass die Wagen gengend Energie zum Durchlaufen des Loopings haben und nicht herunterfallen.

193

3.1 Arbeit einer Kraft

3.1 Arbeit einer KraftIn der Mechanik leistet eine Kraft F nur dann Arbeit an einem Massen-punkt, wenn dieser eine Verschiebung in Richtung der Kraft erfhrt.Betrachten wir die Kraft F auf den Massenpunkt in Abbildung 3.1.Bewegt sich der Massenpunkt auf der durch die Bogenlnge s charakte-risierten Bahn von einem Anfangspunkt, beschrieben durch den Orts-vektor r zu einem Nachbarpunkt, beschrieben durch den Ortsvektor r',dann betrgt die differenzielle Lagenderung dr = r' r. Der Betragvon dr wird durch ds wiedergegeben, dem differenziellen Bogenlngen-element der Bahn. Der Winkel zwischen dr und F ist , Abbildung 3.1,und die Arbeit dW von F ist eine skalare Gre, definiert als

dW = F ds cos

Aufgrund der Definition des Skalarproduktes, siehe Gleichung (C.14),kann diese Gleichung auch in der Form

dW = Fdr

Abbildung 3.1geschrieben werden. Dieses Ergebnis kann auf zweierlei Weise interpre-tiert werden: als Produkt von F und der Verschiebung ds cos in Rich-tung der Kraft oder als Produkt von ds und des Kraftanteils F cos inRichtung der differenziellen Verschiebung. Fr 0 < 90 haben dieKraftkomponente und die differenzielle Verschiebung die gleiche Rich-tung, sodass die Arbeit positiv ist, whrend fr 90 < 180 dieseVektoren entgegengerichtet und die Arbeit damit negativ ist. Steht dieKraft senkrecht auf der Bewegungsbahn, gilt dW = 0, denn cos 90 = 0.Die Arbeit dW ist auch dann null, wenn die Kraft an einem raumfestenPunkt angreift, denn dann ist der zurckgelegte Weg gleich null.

Lernziele

Herleitung des Arbeitssatzes und seine Anwendung auf Auf-gaben zur Berechnung der Geschwindigkeit eines Massen-punktes unter der Einwirkung von Krften als Funktion des Weges

Untersuchung von Problemen bezglich Leistung und Wir-kungsgrad

Einfhrung des Begriffes einer konservativen Kraft und Anwendung des Energieerhaltungssatzes zur Lsung entspre-chender Kinetikaufgaben

F

drds

s

r'r

KINETIK EINES MASSENPUNKTES: ARBEIT UND ENERGIE

194

3

Die Grundeinheit der Arbeit im SI-System ist das Joule [J]. Diese Einheitverknpft die Einheiten von Kraft und Weg. Ein Joule Arbeit wird ver-richtet, wenn eine Kraft von einem Newton um einen Meter auf ihrerWirkungslinie verschoben wird, d.h. 1 [J] = 1 [Nm]. Das Moment einerKraft hat ebenfalls die Einheit [Nm], die Begriffe Moment und Arbeitsind jedoch in keiner Weise verknpft. Ein Moment ist eine Vektorgre,whrend die Arbeit ein Skalar ist.

Arbeit einer variablen Kraft entlang einem endlichen Weg Legt einMassenpunkt auf seiner Bewegungsbahn eine endliche Strecke, charak-terisiert durch die Ortsvektoren r1 und r2 bzw. die Bogenlnge von s1nach s2 (gemessen von einem bestimmten Ausgangspunkt auf der Bahn-kurve) zurck, siehe Abbildung 3.2a, wird die Arbeit durch Integrationberechnet. Mit F beispielsweise als Funktion des Ortes, F = F(s), ergibtsich unmittelbar

(3.1)

Wird der Arbeit leistende Anteil der Kraft, F cos , als Funktion von saufgetragen, Abbildung 3.2b, entspricht das Integral in dieser Gleichungder Flche unter der Kurve zwischen s1 und s2.

Arbeit einer konstanten Kraft entlang einer Geraden Hat die Kraft F0einen konstanten Betrag und eine Wirkungslinie, die den konstantenWinkel mit dieser Wirkungslinie einschliet, Abbildung 3.3a, sobetrgt die Koordinate von F0 in Richtung der Bahn F0 cos . Die von F0geleistete Arbeit fr die Strecke des Massenpunktes von s1 nach s2 wirdmit Gleichung (3.1) bestimmt. Es ergibt sich

Abbildung 3.2 ,

d.h.

(3.2)

Die Arbeit von F0 entspricht hier der Flche des Rechtecks in Abbildung3.3b.

Abbildung 3.3

2 2

1 1

1 2 cosr s

r s

W d F ds = = F r

F

r1

r2

F cos

s2

s1

s

(a)

(b)

F cos

dss2s1

s

F cos

2

1

1 2 0 coss

s

W F ds =

( )1 2 0 2 1cosW F s s =

s

(b)

F cos

F0 cos

s2s1

F0

F0 cos s2s1

s

(a)

195


Arbeit eines Gewichts Betrachten wir einen Massenpunkt, der auf dergekrmmten Bahn, beschrieben durch die Bogenlnge s in Abbildung 3.4die Strecke von s1 nach s2 zurcklegt. Fr einen Punkt dazwischenbetrgt die zurckgelegte differenzielle Wegstrecke dr = dxi + dyj + dzk.Wir wenden Gleichung (3.1) mit G = Gj an und erhalten

d.h.

(3.3)

Abbildung 3.4Die geleistete Arbeit ist also gleich dem Betrag des Gewichts des Mas-senpunktes mal der von ihm zurckgelegten vertikalen Strecke. Frden in Abbildung 3.4 dargestellten Fall ist die Arbeit negativ, denn G istnach unten und y nach oben gerichtet. Wird der Massenpunkt jedochnach unten verschoben, so ist die Arbeit positiv. Warum?

Arbeit einer Federkraft Der Betrag einer ueren vorgegebenen Kraft,die eine linear elastische Feder um s auslenkt, betrgt FF = cs; c ist dieFederkonstante der Feder. Wird die Feder aus der Lage s1 in die Lage s2gedehnt oder gestaucht, Abbildung 3.5a, dann leistet FF an der Federpositive Arbeit, denn in jedem Fall haben Kraft und Auslenkung diegleiche Richtung, d.h. es gilt

Diese Gleichung beschreibt die Trapezflche unter der Geraden FF = cs,Abbildung 3.5b.

Abbildung 3.5

( ) ( )

( )

2 2

1 1

2

1

1 2

2 1

r r

r r

y

y

W d G dx dy dz

Gdy G y y

= = + +

= =

F r j i j k

1 2W G y =

dr

s r1r2

y

Gs2

s1

z

xy1

y2

2 2

1 1

1 2

2 22 1

1 12 2

s s

Fs s

W F ds cs ds

cs cs

= =

=

FF

s1 s2

ds

ds

s

s

c

c

ungedehnt, s = 0

Kraft aufdie Feder

(a)

FF

FF

s

FF = cs

s1 s2

(b)


196

3

Abbildung 3.5

Ist ein Massenpunkt (oder ein Krper) an einer Feder befestigt, so entstehtbei seiner Bewegung s eine Kraft FF von der Feder auf den Massenpunkt,die der Bewegungsrichtung entgegenwirkt, Abbildung 3.5c. Folglich leis-tet diese Kraft negative Arbeit bezglich des Massenpunktes, wenn diesersich bewegt und dabei die Feder weiter verlngert (oder gestaucht) wird.Dann ergibt sich

(3.4)

Bei der Anwendung dieser Gleichung wird ein Vorzeichenfehler leichtvermieden, wenn man einfach die Richtung der Federkraft auf denMassenpunkt betrachtet und diese mit der Bewegungsrichtung desMassenpunkts vergleicht. Sind beide gleich gerichtet, ist die Arbeitpositiv, sind sie entgegengesetzt gerichtet, dann ist die Arbeit negativ.

Die Krfte auf den Karren, der die Strecke s den Hang hinaufgezogen wird, sind im Freikrperbildeingetragen. Die konstante Zugkraft T leistet die positive Arbeit WT = (T cos ) s, das Gewichtdie negative Arbeit WG = (G sin ) s, die Normalkraft N jedoch keine Arbeit, denn dieseKraft steht senkrecht auf der Bewegungsbahn.

ungedehnt, s = 0

FF

s

Kraft aufMassenpunkt

(c)

c

( )2 21 2 2 11 12 2W cs cs =

N

T

W

197


Abbildung 3.6

Die Masse m ruht auf der glatten schiefen Ebene, sieheAbbildung 3.6a. Die Feder ist dabei um s1 gedehnt. Eine hori-zontale Kraft P (die grer ist als jene, die im Ruhezustand

vorhanden war) schiebt die Masse die schiefe Ebene die zustzliche Wegstrecke shinauf. Berechnen Sie die gesamte Arbeit, die alle Krfte an der Masse leisten.m = 10 kg, s = 2 m, s1 = 0,5 m, c = 30 N/m, P = 400 N, = 30

Lsung

Zunchst wird das Freikrperbild der Masse mit allen realen Krften (d.h. den ein-geprgten Krften und den Zwangskrften) gezeichnet, um alle Einzelbeitrgeauf die am Massenpunkt geleistete Arbeit zu erkennen, Abbildung 3.6b.

Horizontale Kraft P Da diese Kraft konstant ist, wird die Arbeit mit Glei-chung (3.4) bestimmt. Die Arbeit kann zum einen als Kraft mal Weganteil in Rich-tung der Kraft berechnet werden, d.h.

WP = P(s cos ) = 400 N (2 m cos 30) = 692,8 J

oder auch als Verschiebung entlang der schiefen Ebene mal Kraftanteil in Richtungder Bewegung, d.h.

WP = (P cos )s = (400 N cos 30)(2 m) = 692,8 J

Federkraft FF In der Ausgangslage ist die Feder um s1 gedehnt, in der Endlageum s2 = s1 + s. Es ergibt sich eine negative Arbeit, denn Kraft und Bewegunghaben entgegengesetzte Richtungen. Die Arbeit von FF ist somit

Gewicht G Da das Gewicht nach unten, dem vertikalen Anteil der Verschie-bung entlang der schiefen Ebene entgegenwirkt, ist die Arbeit negativ, d.h.

WG = G(s sin ) = 98,1 N (2 m sin 30) = 98,1 J

Es kann auch der Gewichtsanteil in Bewegungsrichtung betrachtet werden:

WG = (G sin )s = (98,1 sin 30N) 2 m = 98,1 J

Normalkraft N Diese Kraft leistet keine Arbeit, denn sie steht immer senk-recht auf der Bewegungsbahn.

Gesamtarbeit Die Arbeit aller Krfte bei einer Verschiebung der Masse um dieStrecke s ist die Summe:

Wges = WP + WF + WG = 692,8 J 90 J 98,1 N = 505 J

Beispiel 3.1

s cos

P

(a)

c

Ausgangslageder Masse

s sin

s

P

FFNB

30G = mg

(b)

( )

( )( ) ( )( )

2 21 2 1

2 2

1 12 21 30 N/m 0,5 m 2 m 30 N/m 0,5 m 90 J2

FW c s s cs = +

= + =


198

3

3.2 ArbeitssatzBetrachten wir einen Massenpunkt, siehe Abbildung 3.7, der sich zumbetreffenden Zeitpunkt gemessen in einem Inertialsystem im Punkt Pbefindet. Der Massenpunkt hat die Masse m und eine Reihe uerer Krftegreifen an ihm an, die durch ihre Resultierende FR = F reprsentiertwerden. Das Newtonsche Grundgesetz fr den Massenpunkt in tangen-tialer Richtung lautet dann Ft = mat. Mit der kinematischen Gleichungat = v dv/ds, der Integration beider Seiten und der Annahme, dass derMassenpunkt in der Anfangslage s = s1 die Geschwindigkeit v = v1, aberspter in der Lage s = s2 die Geschwindigkeit v = v2 hat, erhalten wir

Abbildung 3.7 (3.5)

Gem Abbildung 3.7 gilt Ft = F cos und mit der Definition derArbeit aus Gleichung (3.1) schreiben wir als Ergebnis

(3.6)

Diese Gleichung als ein erstes Integral des Newtonschen Grundgesetzesbezglich des Ortes ist der so genannte Arbeitssatz fr den Massenpunkt.Der Term auf der linken Seite ist die Summe der Arbeit aller tatsch-lichen Krfte auf den Massenpunkt, wenn dieser sich von Punkt 1 nachPunkt 2 bewegt. Die beiden Terme auf der rechten Seite in der allgemei-nen Form definieren die kinetische Energie des Massenpunk-tes am Anfang und am Ende der betrachteten Bewegung. Diese Termesind immer positive Skalare. Gleichung (3.6) ist offenbar einheitlich inden Dimensionen, die kinetische Energie hat die gleiche Einheit wiedie Arbeit, z.B. Joule [J].

Bei Anwendung der Gleichung (3.6) wird diese oft in der Form

(3.7)

geschrieben. Das bedeutet, dass die kinetische Anfangsenergie des Mas-senpunktes plus die von allen Krften geleistete Arbeit, wenn der Mas-senpunkt die Wegstrecke vom Anfangs- zum Endpunkt zurcklegt,gleich seiner kinetischen Energie am Ende der Bewegung ist.

Der Arbeitssatz ist also ein Integral der Beziehung Ft = mat unter Ver-wendung der kinematischen Gleichung at = v dv/ds. Somit ist dieser Satz

Fhrt ein Auto auf diese Sto-Barrieren, so wirddie kinetische Energie des Wagens in Arbeitumgewandelt, die die Barrieren und in einemgewissen Ausma auch das Auto verformt. Istdie Energie bekannt, die jede Tonne aufnimmt,so kann eine Stoabsorbereinrichtung, wie hierdargestellt, konstruiert werden.

eine einfache Substitution der Bewegungsgleichung Ft = mat fr denFall, dass kinetische Aufgaben zu lsen sind, in denen die Geschwin-digkeit als Funktion des Weges bei einwirkenden Krften auf den Mas-senpunkt gesucht werden, denn genau diese Variablen sind in Gleichung(3.7) miteinander verknpft. Ist z.B. die Anfangsgeschwindigkeit desMassenpunktes bekannt, und kann die Arbeit aller auf den Massenpunktwirkenden Krfte bestimmt werden, dann kann mit Gleichung (3.7)direkt die Endgeschwindigkeit v2 des Massenpunktes nach Zurcklegen

s

z

v

x

y

1

2

n

FR

tFt

Fn

P

ds

Inertialsystem2 2

1 1

2

1

2 22 1

1 12 2

s v

ts v

s

ts

Fds mv dv

Fds mv mv

=

=

2 21 2 2 1

1 12 2W mv mv =

212T mv=

1 1 2 2T W T+ =

199

3.2 Arbeitssatz

einer bestimmten Wegstrecke berechnet werden. Sollte aber v2 aus derursprnglichen Bewegungsgleichung bestimmt werden, so sind in derTat zwei Schritte erforderlich: Zunchst liefert die BewegungsgleichungFt mat = 0 die Beschleunigung at; anschlieend ermittelt man dieGeschwindigkeit v2 durch Integration von at = v dv/ds. Der Arbeitssatzfasst diese beiden Schritte also zusammen.

Beachten Sie, dass der Arbeitssatz nicht zur Berechnung von Krftenverwendet werden kann, die senkrecht auf der Bewegungsbahn stehen,denn diese Krfte verrichten keine Arbeit am Massenpunkt. Zur Berech-nung der Normalkraft hat man die Gleichung Fn = man zu verwenden.Bei nicht geradlinigen Bahnkurven ist der Betrag der Normalkraft aller-dings eine Funktion der Geschwindigkeit. Es ist dann eventuell einfa-cher, die Geschwindigkeit mit Hilfe des Arbeitssatzes zu bestimmen,diesen Wert in die Zwangskraftgleichung Fn = mv2/ einzusetzen unddie Normalkraft daraus zu berechnen.

Die Anwendung dieses Lsungsweges wird zusammen mit den zuAbschnitt 3.3 gehrenden Beispielen erlutert.

Lsungsweg

Der Arbeitssatz dient zur Lsung von kinetischen Aufgaben, in denen dieGeschwindigkeit eines Massenpunktes unter der Einwirkung von Krften alsFunktion des Weges gesucht ist. Folgender Lsungsweg wird vorgeschlagen:

Arbeit (Freikrperbild)

Fhren Sie ein Inertialsystem ein und zeichnen Sie ein Freikrperbild desMassenpunktes, um alle realen Krfte zu erfassen, die whrend der Bewe-gung am Massenpunkt Arbeit verrichten.

Arbeitssatz

Wenden Sie den Arbeitssatz an: T1 + W1-2 = T2. Die kinetische Energie am Anfang und am Ende ist immer positiv, denn sie

enthlt das Quadrat der Geschwindigkeit ( ) Eine Kraft verrichtet Arbeit, wenn sie eine Wegstrecke in Kraftrichtung

zurcklegt. Arbeit ist positiv, wenn die Kraft die gleiche Richtung hat wie die Verschie-

bung des Massenpunktes, sonst ist sie negativ. Fr Krfte, die wegabhngig sind, ist die Arbeit durch Integration zu erhalten.

Grafisch wird die Arbeit durch die Flche unter der Kraft-Weg-Kurve repr-sentiert.

Die Arbeit des Gewichts ist das Produkt von Gewichtsbetrag und des vertika-len Verschiebungsanteils, WG = G y. Sie ist positiv, wenn sich das Gewichtnach unten bewegt.

Die Arbeit einer Feder ist , worin c die Federkonstante und s dieDehnung bzw. Stauchung der Feder gegenber dem ungedehnten Zustand ist.

212T mv=

212FW cs=


200

3

3.3 Arbeitssatz fr ein MassenpunktsystemDer Arbeitssatz kann auch auf ein System von n endlich vielen Massen-punkten in einem abgeschlossenen Gebiet des Raums, siehe Abbildung3.8, erweitert werden. An einem beliebigen i-ten Massenpunkt derMasse mi greift die resultierende uere Kraft Fi und die resultierendeinnere Kraft fi, die alle anderen Massenpunkte auf den i-ten Massen-punkt ausben, an. Mit Gleichung (3.5) in tangentialer Richtung ergibtsich der Arbeitssatz fr den i-ten Massenpunkt:

Abbildung 3.8 Analoge Gleichungen ergeben sich, wenn der Arbeitssatz auf die anderenMassenpunkte des Systems angewendet wird. Da Arbeit und kinetischeEnergie skalare Gren sind, kann das Ergebnis algebraisch addiert wer-den und man erhlt

Diese Gleichung kann auch in der Form

(3.8)

geschrieben werden. Sie besagt, dass die anfngliche kinetische Energie(T1) plus der von allen ueren und inneren Krften an den Massen-punkten geleistete Arbeit (W1-2) gleich der kinetischen Energie desSystems von Massenpunkten am Ende der Bewegung (T2) ist. In dieseGleichung muss wirklich die gesamte Arbeit aller ueren und innerenKrfte einbezogen werden. Dabei ist zu bercksichtigen, dass, auchwenn die inneren Krfte zwischen benachbarten Massenpunkten ingleich groen, aber entgegengesetzt wirkenden kollinearen Paaren auf-treten, die gesamte Arbeit aller Krfte sich im Allgemeinen nicht auf-hebt, denn die Bahnkurven der verschiedenen Massenpunkte sindunterschiedlich. Es gibt allerdings zwei wichtige, hufig auftretendeAusnahmen dieser Regel. Befinden sich die Massenpunkte innerhalbeines translatorisch bewegten starren Krpers, erfahren alle innerenKrfte die gleiche Verschiebung und die innere Arbeit wird gleich null.Massenpunkte, die miteinander durch ein undehnbares Seil verbundensind, bilden ein System mit inneren Krften, die um gleiche Betrgeverschoben werden. In diesem Fall ben benachbarte Massenpunktegleiche, aber entgegengesetzt gerichtete innere Krfte aufeinander aus,deren Komponenten gleich verschoben werden. Daher hebt sich dieArbeit dieser Krfte gegenseitig auf. Geht man andererseits davon aus,dass der Krper nicht starr ist, werden die Massenpunkte des Krpersentlang unterschiedlicher Bahnkurven verschoben, etwas von der Ener-gie kann bei den Wechselwirkungen der Krfte abgegeben und alsWrme verloren gehen oder wird im Krper gespeichert, wenn dauer-hafte Verformungen auftreten. Diese Effekte werden kurz am Ende die-ses Abschnittes und etwas ausfhrlicher in Abschnitt 3.4 diskutiert.

( ) ( )2 2

1 1

2 21 2

1 12 2

i i

i i

s s

i i i i i it ts s

m v F ds f ds m v+ + =

si

i

Inertialsystem

fi

Fit

n

( ) ( )2 2

1 1

2 21 2

1 12 2

i i

i i

s s

i i i i i it ts s

m v F ds f ds m v+ + =

1 1 2 2T W T+ =

201

3.3 Arbeitssatz fr ein Massenpunktsystem

Hier wird der Arbeitssatz nur auf Probleme angewendet, bei denenEnergieverluste nicht bercksichtigt werden mssen.

Der in Abschnitt 3.2 dargestellte Lsungsweg stellt auch zur Anwen-dung der Gleichung (3.8) eine Bearbeitungsmethode zur Verfgung, aller-dings gilt diese Gleichung fr das gesamte System. Sind Massenpunktedurch Seile verbunden, knnen im Allgemeinen weitere Gleichungenzur Verknpfung der Massenpunktgeschwindigkeiten mit den kinemati-schen Aussagen aus Abschnitt 2.9 hergeleitet werden, siehe Beispiel 3.6.

Reibungsarbeit bei Gleitvorgngen Eine besondere Art von Proble-men, die im Folgenden behandelt wird, erfordert eine besonders sorg-fltige Anwendung von Gleichung (3.8), wenn nmlich das Gleiteneines Krpers auf einem anderen unter Bercksichtigung der Reibungdiskutiert werden soll. Betrachten wir als Beispiel die Masse in Abbil-dung 3.9a, der auf der rauen Oberflche die Strecke s zurcklegt. Dieaufgebrachte Kraft P soll gerade mit der resultierenden ReibungskraftgN im Gleichgewicht sein, siehe Abbildung 3.9b. Aufgrund des Gleich-gewichts wird eine konstante Bewegungsgeschwindigkeit v aufrechtgehalten und Gleichung (3.8) kann wie folgt angewendet werden:

Diese Gleichung ist fr P = gN erfllt, die beide auch denselben Weg szurcklegen. Allerdings sind P und s gleich gerichtet, whrend gN und sin entgegengesetzter Richtung weisen. Die antreibende Kraft P fhrt demmechanischen System (der Masse) also Energie zu, whrend die Reibungs-kraft gN Energie dissipiert, vom mechanischen System also abfhrt. Deraus der Erfahrung heraus bekannte Sachverhalt, dass reibungsbehaftetesGleiten Wrme erzeugt, kann damit einfach erklrt werden. Die infolgeGleitreibung dissipierte Energie wird nmlich durch die von P aufge-brachte mechanische Energie verbraucht, wird in Wrme an die Umge-bung (einschlielich einer Erwrmung der Masse) abgegeben und istmechanisch nicht mehr zurck zu gewinnen. Fr den Klotz kommt es zueiner Zunahme der inneren Energie, die zu einer Temperaturerhhungdesselben fhrt. Deshalb erwrmen sich bei der Vollbremsung einesAutos sowohl die Bremsbelge als auch die Bremsscheibe ziemlich stark.

Abbildung 3.9Gleichung (3.8) kann also auch auf Aufgaben mit Gleitreibung ange-wendet werden, wobei jedoch zu beachten ist, dass die Arbeit gNs derresultierenden Reibungskraft in andere Formen der inneren Energie wieWrme umgewandelt wird.1

In analoger Weise lassen sich die berlegungen auch auf Bewegungenanwenden, die beispielsweise durch einen Stodmpfer beeinflusst wer-den. Auch dieses Bauelement entzieht dem mechanischen System Ener-gie in Form von Wrme, die bei Aufrechterhaltung der Bewegung demSystem durch einen entsprechenden Antrieb zugefhrt werden muss. Oftarbeiten derartige Stodmpfer geschwindigkeitsproportional (Dmpfer-konstante k), sodass die auf eine bewegende Masse entstehende Rck-stellkraft FD = kv ist, die in die Gegenrichtung der Bewegung weist.

2 21 12 2gmv Ps Ns mv+ =

P P

v v

s

(a)

P

F = g N

(b)

G

N

(c)

1 Vgl. B.A. Sherwood und W.H. Bernard, Work and Heat Transfer in the Presenceof Sliding Friction, Am.J.Phys. 52, 1001 (1984)


202

3

Abbildung 3.10

Das Auto mit dem Gewicht G, siehe Abbildung 3.10a, fhrt mit der konstantenGeschwindigkeit v die Strae mit der Neigung hinunter. Der Fahrer tritt heftig auf dieBremse, sodass die Rder blockieren. Wie weit rutscht das Fahrzeug auf der Strae?Der Gleitreibungskoeffizient g zwischen den Rdern und der Strae ist gegeben.G = 17,5 kN, v = 6 m/s, = 10, g = 0,5

Lsung I

Diese Aufgabe kann mit dem Arbeitssatz gelst werden, da ein Zusammenhangzwischen Kraft, Geschwindigkeit und Weg diskutiert werden soll.

Arbeit (Freikrperbild) Wie in Abbildung 3.10b dargestellt, leistet die Nor-malkraft N keine Arbeit, denn sie steht senkrecht auf der Bewegungsrichtung ent-lang der schiefen Ebene. Das Gewicht G wird um s sin verschoben und leistetpositive Arbeit. Warum? Die Reibungskraft R leistet negative Arbeit, wenn sie diegedachte Verschiebung s erfhrt, denn sie wirkt der Bewegung entgegen. DieGleichgewichtsbedingung senkrecht zur schiefen Ebene fhrt auf

Fn = 0; N G cos = 0

N = 17234,1 N

Somit ergibt sich R = gN = 8617,1 N

ArbeitssatzT1 + W1

2 = T2

Wir lsen nach s auf und erhalten

= 5,75 m

Lsung II

Bei der Lsung auf der Basis der Bewegungsgleichung sind zwei Schritte erforder-lich. Die Bewegungsgleichung erhlt man beispielsweise ber das Prinzip vondAlembert mit dem dynamischen Krftegleichgewicht entlang der schiefen Ebenegem dem generalisierten Freikrperbild in Abbildung 3.10c:

Fs mAas = 0; G sin R (G/m)a = 0

a = 3,13 m/s2

Mit a ds = v dv (Kinematik) und der konstanten Beschleunigung a ergibt dieIntegration

Beispiel 3.2

v

(a)

sA

(b)

sG

R

N

(c)

sG

R

N

a aGg

( )21 sin 02

Gv G s Rs

g

+ =

( )

2

2 sinGv

sg R G

=

( )2 20 0 025,75 m

v v a s s

s

= +

=

203


Abbildung 3.11

Fr eine bestimmte Zeit hebt der Kran in Abbildung 3.11a denBalken der Masse m mit Hilfe der Kraft F hoch. Ermitteln Siedie Geschwindigkeit nach einer vertikalen Wegstrecke s. Wie

lange braucht er, um diese Hhe aus der Ruhe zu erreichen?m = 2500 kg, F = (b + cs2), s = 3 m, b = 28 kN, c = 3 kN/m2

Lsung

Wir knnen den ersten Teil der Aufgabe mit dem Arbeitssatz lsen, denn Kraft,Geschwindigkeit und Weg in ihrer Wechselwirkung sind zu diskutieren. Die Zeitwird dann mittels einer kinematischen Aussage bestimmt.

Arbeit (Freikrperbild) Wie in Abbildung 3.11b dargestellt, leistet die Zug-kraft F positive Arbeit, die durch Integration bestimmt werden muss, weil die Kraftwegabhngig ist. Das Gewicht ist konstant und leistet negative Arbeit, denn dieVerschiebung ist nach oben gerichtet.

Arbeitssatz

T1 + W1

2 = T2

Fr s = 3 m ergibt sich

v = 5,47 m/s

Kinematik Da die Geschwindigkeit als Funktion des Weges geschrieben werdenkann, wird die Zeit mittels v = ds/dt bestimmt. Es ist

Die Integration wird beispielsweise mit einem Taschenrechner durchgefhrt. DasErgebnis ist

t = 1,79 s

Beispiel 3.3

mg

F

( )

2

0

2 2

0

3

10 2

22

22

3

s

s

Fds mgs mv

v b cs ds gsm

csbs gs

m

+ =

= +

= +

1/23

1/230

22

3

22

3

s

ds csbs gs

dt m

dst

csbs gs

m

= +

=

+


204

3

Die Plattform P in Abbildung 3.12a hat eine vernachlssigbare Masse und wird sogehalten, dass die undehnbaren Seile der Lnge lS die Feder der Steifigkeit c und derLnge lF um s = lF lS stauchen, wenn die Plattform unbelastet ist. Anschlieendwird ein Klotz der Masse m darauf gelegt und die Plattform mit Klotz um d nachunten gedrckt, siehe Abbildung 3.12b. Bestimmen Sie die maximale Hhe hmax berdem Boden, die der Klotz nach dem Loslassen aus der Ruhe heraus in die Luft fliegt.m = 2 kg, lS = 0,4 m, lF = 1 m, d = 0,1 m, c = 200 N/m

Abbildung 3.12

Lsung

Arbeit (Freikrperbild) Da die Plattform mit Klotz aus der Ruhe losgelassenwird und spter die maximale Hhe erreicht, sind die Anfangs- und die Endge-schwindigkeit gleich null. Das Freikrperbild des Klotzes in Kontakt mit der Bhne istin Abbildung 3.12c dargestellt. Das Gewicht leistet positive Arbeit, die Federkraftnegative Arbeit. Warum? Die Anfangsstauchung der Feder betrgt s1 = s + d. Auf-grund der undehnbaren Seile kann die Stauchung das Ma s2 = s nicht unter-schreiten. Im Moment des Abhebens des Klotzes von der Plattform ist also dieEndstauchung der Feder genau s2 = s. Die Unterseite des Klotzes steigt dann vonder Hhe h0 = s1 = lS d auf die Endhhe hmax.

Arbeitssatz

T1 + W1

2 = T2

Da hier s1 > s2 gilt, ist die mit Gleichung (3.4) berechnete Arbeit der Feder positiv.Das fhrt auf

Das ergibthmax = 0,963 m

Beispiel 3.4

(c)

G

FF

ls

(a)

ls

d Ursprungshheh

P

(b)

c

2 2 2 21 2 1 2

1 1 1 12 2 2 2

mv cs cs G y mv

+ =

( )2 22 1 01 1

0 02 2 max

cs cs G h h

+ =

205


Abbildung 3.13

Pakete mit der Masse m werden mit der Geschwindigkeit v0von einem Transportband auf eine glatte kreisfrmige Rampemit dem Radius r befrdert, siehe Abbildung 3.13a. Bestim-

men Sie den Winkel max, unter dem die Pakete die Oberflche verlassen.m = 2 kg, r = 0,5 m, v0 = 1 m/s

Lsung

Arbeit (Freikrperbild) Das Freikrperbild eines Paketes in allgemeiner Lage mit allen realen Krften wird gezeichnet. Das Gewicht G leistet beim reibungsfreienGleiten auf der Unterlage positive Arbeit. Ein Paket verlsst bei max die Rampe, dabeierfhrt die Gewichtskraft eine vertikale Verschiebung (r r cos max), sieheAbbildung 3.13b.

Arbeitssatz

T1 + W1

2 = T2

(1)

Bewegungsgleichung In Gleichung (1) gibt es zwei Unbekannte, max und v2.Das Newtonsche Grundgesetz (oder das Prinzip von dAlembert) in Normalenrichtung(siehe Freikrperbild) liefert die Verknpfung dieser beiden Variablen. (Der Arbeitssatzersetzt ja Ft = mat, wie bei der Herleitung dargelegt.) Somit ergibt sich

Beim Verlassen der Rampe bei max ist N = 0 und v = v2 und daraus folgt

(2)

Die Unbekannte fllt durch Umformen der Gleichungen (1) und (2) heraus:

Somit erhalten wir

Diese Aufgabe wurde bereits in Beispiel 2.9 gelst. Beim Vergleich der beidenWege sieht man, dass der Arbeitssatz eine direktere Lsung liefert.

Beispiel 3.5 v0

(a)

r

(b)

maxr

n

r G

NBt

(r cos max)

( )

( )

2 20 2

2 22 0

1 1cos

2 2

2 1 cos

max

max

mv mg r r mv

v gr v

+ =

= +

2

; cosn nv

F ma N mg mr

= + =

22cos max

vgr

=

22v

( ) 20cos 2 1 cosmax maxgr gr v = +

cos 0,735

42,7max

max

=

=


206

3

Abbildung 3.14

Die Massen mA und mB sind in Abbildung 3.14a dargestellt. Bestimmen Sie dieStrecke, die B zwischen der Hhe, in der sie losgelassen wird, und der Hhe, in dersie die Geschwindigkeit vB erreicht, zurcklegt.mA = 10 kg, mB = 100 kg, vB = 2 m/s

Lsung

Die Aufgabe kann durch separates Betrachten der einzelnen Massen und Anwen-den des Arbeitssatzes auf jede Masse gelst werden. Die Arbeit der (unbekannten)Seilkraft fllt heraus, wenn man die beiden Kltze A und B als System gemeinsambetrachtet. Die Lsung erfordert die simultane Auswertung des Arbeitssatzes undeiner kinematischen Beziehung. Fr eine konsistente Vorzeichenkonvention neh-men wir an, dass sich beide Massen in positiver Richtung nach unten bewegen.

Arbeit (Freikrperbild) Wie im Freikrperbild des Systems, Abbildung 3.12b,dargestellt, leisten die Seilkraft T und die Reaktionskrfte FR1 und FR2 keineArbeit, denn es handelt sich um die Reaktionen von der Decke und den Lagern derSeilrollen, die bei der Bewegung der Massen nicht verschoben werden. Die beidenGewichtskrfte leisten positive Arbeit, denn wie oben erlutert nehmen wir an,dass beide Massen nach unten verschoben werden.

Arbeitssatz Da beide Massen aus der Ruhe losgelassen werden, gilt

T1 + W1

2 = T2

(1)

Kinematik Auf der Basis der Verfahren zur Berechnung kinematischer Zusam-menhnge bei abhngigen Bewegungen aus Abschnitt 1.9 zeigt Abbildung 3.14a,dass zu einem beliebigen Zeitpunkt die Gesamtlnge l aller vertikalen Seilseg-mente durch die Ortskoordinaten sA und sB ausgedrckt werden kann:

sA + 4sB = l

Eine Lagenderung fhrt demnach zur Beziehung

(2)

auf Lageebene. Beide Verschiebungen sA und sB sind nach unten positiv. Ablei-tung nach der Zeit fhrt zu

vA = 4vB = 4(2 m/s) = 8 m/s

Beibehalten des negativen Vorzeichens in Gleichung (2) und Einsetzen in Gleichung (1)ergibt

d.h. tatschlich eine Verschiebung der Masse B nach unten (whrend sich A nachoben bewegt).

Beispiel 3.6

Nullniveau

B

mAg

sB

sA

(a)

mB

A

B

A

(b)

mBg

mAg

T R1 R2

( ) ( ){ } { }( ) ( ){ }

2 2

1 1

2 2

2 2

1 12 2

1 12 2

A A B B A A B B

A A B B

m v m v m g s m g s

m v m v

+ + +

= +

4 0

4A B

A B

s s

s s

+ =

=

0,883 mBs =

207

3.4 Leistung und Wirkungsgrad

3.4 Leistung und WirkungsgradLeistung Die Leistung ist definiert als Arbeit pro Zeiteinheit. Somit istdie momentane Leistung einer Maschine, welche die Arbeit dW im dif-ferenziellen Zeitintervall dt verrichtet,

(3.9)

Verwendet man die Arbeit in der Form dW = Fdr, so lautet die Glei-chung

,

d.h.(3.10)

Die Leistung ist also eine skalare Gre, v ist die Geschwindigkeit desKraftangriffspunktes von F.

Die SI-Grundeinheit der Leistung ist das Watt [W]. Diese Einheit istdefiniert als

1 W = 1 J/s = 1 Nm/s.

Die abgegebene Leistung dieser Lokomotive ent-steht durch die antreibende Reibungskraft Fihrer Rder. Diese Kraft berwindet den Reibwi-derstand der angehngten Wagen und kann dasGewicht des Zuges eine Steigung hinaufziehen.

Der Begriff der Leistung ist also die Grundlage zur Bestimmung deserforderlichen Maschinentyps, innerhalb einer bestimmten Zeit einebestimmte Menge Arbeit zu leisten. Zwei Pumpen knnen beispielsweiseeinen Behlter leeren, wenn sie gengend Zeit dafr haben. Die Pumpemit der greren Leistung wird dies aber in krzerer Zeit schaffen, wennnur eine Pumpe allein arbeitet.

Wirkungsgrad Der mechanische Wirkungsgrad einer Maschine istdefiniert als das Verhltnis der abgegebenen Nutzleistung zur zugefhr-ten Leistung. Es gilt also

(3.11)

Geschieht die Energiezufuhr einer Maschine im gleichen Zeitintervallwie die Energieabfuhr, kann der Wirkungsgrad auch als Verhltnis vonabgegebener und zugefhrter Energie geschrieben werden:

(3.12)

dWP

dt=

dW d dP

dt dt dt

= = = F r r

F

P = Fv

abgegebene Leistungzugefhrte Leistung

=

abgegebene Energiezugefhrte Energie

=


208

3

Besteht die Maschine aus mehreren beweglichen Teilen, treten in derMaschine immer Reibungskrfte auf, die dann durch zustzliche Ener-gie berwunden werden mssen. Folglich gilt fr den Wirkungsgradeiner Maschine immer < 1.

Der Leistungsbedarf des Aufzuges hngt von der vertikalenKraft F ab, die auf ihn wirkt und ihn nach oben bewegt.Bei der Geschwindigkeit v betrgt die abgegebene LeistungP = Fv.

Lsungsweg

Die einem Krper zugefhrte Energie wird folgendermaen berechnet:

Bestimmen Sie zunchst die uere Kraft F auf den Krper, die die Bewe-gung hervorruft. Die Kraft wird normalerweise durch einen Antrieb erzeugt,der entweder innerhalb oder auch auerhalb des Krpers platziert werdenkann.

Im Falle einer Beschleunigung des Krpers kann es erforderlich sein, seinFreikrperbild zu zeichnen und mit der Bewegungsgleichung (F = ma)die Antriebskraft F zu bestimmen.

Nach Ermittlung von F und der Geschwindigkeit v des Punktes, an dem Fangreift, wird die Leistung durch Multiplikation des Kraftbetrages mit demGeschwindigkeitsanteil in Richtung von F bestimmt, (d.h. P = Fv =Fv cos ).

Die Leistung kann durch Berechnung der Arbeit von F pro Zeiteinheit ermit-telt werden, entweder als mittlere Leistung, Pmittel = W/t, oder alsmomentane Leistung P = dW/dt.

F

209

3.4 Leistung und Wirkungsgrad

Abbildung 3.15

Der Motor M des Hebezeugs in Abbildung 3.15a hat den Wir-kungsgrad . Wie gro muss die zugefhrte Leistung sein, umdie Kiste K mit dem Gewicht G in dem Moment zu heben, in

dem Punkt P des Seiles die Beschleunigung a und die Geschwindigkeit v erfhrt.Vernachlssigen Sie die Masse des Flaschenzugs.G = 375 N, a = 1,2 m/s2, v = 0,6 m/s, = 0,85

Lsung

Zur Berechnung der abgegebenen Leistung muss zunchst die bentigte Zugkraftim Seil ermittelt werden, denn diese Kraft wird vom Motor erzeugt.Aus dem Freikrperbild der Kiste im Sinne dAlemberts, Abbildung 3.15b, erhalten wir

(1)

Die Beschleunigung aK der Kiste wird ber eine kinematische Beziehung mit derbekannten Beschleunigung von Punkt P, Abbildung 3.15a, verknpft. Mit den Verfah-ren aus Abschnitt 1.9 werden zunchst auf Lageebene die Koordinaten sK und sP inAbbildung 3.15a unter Bercksichtigung eines konstanten Seillngenabschnitts l inBeziehung gesetzt, der sich aus den Lagenderungen sK und sP in vertikaler und hori-zontaler Richtung zusammensetzt: 2sK + sP = l. Zweimaliges Ableiten fhrt auf

2aK = aP (2)

Mit aP = a = +1,2 m/s2 berechnen wir aK = a/2 = 0,6 m/s2. Was bedeu-tet das negative Vorzeichen? Wir setzen dieses Ergebnis unter Bercksichtigungdes negativen Vorzeichens in Gleichung (1) ein denn die Beschleunigung wird inbeiden Gleichungen (1) und (2) als nach unten positiv angenommen und erhalten

Die zum Ziehen des Seils mit der momentanen Geschwindigkeit v erforderlicheabgegebene Leistung ist somit

P = Tv = (199 N)(0,6 m/s) = 119,4 W

Bei dieser abgegebenen Leistung muss eine Leistung

zugefhrt werden. Da die Geschwindigkeit der Kiste sich stndig ndert, gilt dieserLeistungsbedarf nur fr den betrachteten Zeitpunkt.

Beispiel 3.7

P M

sP

sK

K

(a)

Null-niveau

Nullniveau

y

aK

2T

G

(b)

maK

0; 2 0y y KG

F ma T G ag

= + =

2 0

1199,0 N

2

K

K

GT G a

g

GT a G

g

+ =

= + =

( )

1

1119,4 W 140,5 W

0,85

zu abP P=

= =


210

3

Der Sportwagen mit der Masse m in Abbildung 3.16a fhrt mit der Geschwindig-keit v, als er mit allen Rdern abgebremst wird. Der Gleitreibungskoeffizient g istgegeben. Bestimmen Sie die Leistung der Reibungskraft beim Rutschen des Autos.Ermitteln Sie anschlieend die Geschwindigkeit des Autos nach einem Rutschenber die Strecke s.m = 2000 kg, v1 = 25 m/s, s = 10 m, g = 0,35

Abbildung 3.16

Lsung

Wie im Freikrperbild, Abbildung 3.15b, gezeigt, sind die Normalkraft N und dieReibungskraft R die resultierenden Krfte aller vier Rder. Zur Ermittlung von N wenden wir die (statische) Gleichgewichtsbedingung in y-Rich-tung an und erhalten

Die kinetische Reibungskraft ist somit

R = g(mg) = 0,35(19,62) kN = 6,867 kN

Die Geschwindigkeit des Autos nach der Wegstrecke s kann mit dem Arbeitssatzbestimmt werden. Warum?

Die Leistung der Reibungskraft zu Beginn des Bremsvorgangs ist somit

Beispiel 3.8

(a)

v

(b)

R

N

G

0;yF = 19,62 kNN G mg= = =

1 1 2 2

2 21 2

2

1 12 2

23,59 m/s

T W T

mv Rs mv

v

+ =

=

=

( )36,867(10 ) N 25 m/s 172 kWP = = =R v

211

3.5 Konservative Krfte und potenzielle Energie


Konservative Krfte Wenn die Arbeit einer Kraft, die einen Massen-punkt verschiebt, unabhngig von der Bahnkurve des Massenpunktesist, und nur von Anfangs- und Endpunkt auf der Bahn abhngt, dannheit diese Kraft konservativ. Das Gewicht des Massenpunktes und dieKraft einer elastischen Feder sind zwei typische Beispiele fr konserva-tive Krfte in der Mechanik. Die Arbeit des Gewichtes eines Massen-punktes ist unabhngig von der Bahnkurve, denn sie hngt nur von demvertikalen Verschiebungsanteil ab. Die Arbeit einer Feder auf einen Mas-senpunkt ist ebenfalls unabhngig von der Bahnkurve des Massenpunk-tes, denn sie hngt nur von der Dehnung oder Stauchung s der Feder ab.

Als Gegensatz zu einer konservativen Kraft betrachten wir die Gleit-reibungskraft von einer ortsfesten Unterlage auf ein gleitendes Objekt.Die Arbeit dieser Reibungskraft hngt von der Bahnkurve ab je lngerder Weg ist, desto grer die Arbeit. Folglich sind Reibungskrfte nichtkonservativ. Die Arbeit wird vom Krper in Form von Wrme dissipiert.

Potenzielle Energie Energie kann definiert werden als Mglichkeit,Arbeit zu leisten. Wenn die Energie von der Bewegung des Massenpunk-tes herrhrt, heit sie kinetische Energie. Wenn sie sich auf die Positiondes Massenpunktes bezglich eines festen Nullniveaus bezieht, heit siepotenzielle Energie. Somit ist die potenzielle Energie ein Ma fr dieArbeit einer konservativen Kraft, wenn sie sich von einer gegebenenPosition zum Nullniveau verschiebt. In der Mechanik spielt die poten-zielle Energie infolge Gravitationskraft (Gewicht) oder elastischer Feder-kraft eine wichtige Rolle.

Schwerepotenzial Befindet sich ein Massenpunkt im Abstand y ober-halb eines beliebig gewhlten Nullniveaus, siehe Abbildung 3.17, sohat das Gewicht G das positive Schwerepotenzial VG, denn G hat dieMglichkeit, positive Arbeit zu leisten, wenn der Massenpunkt zurckzum Nullniveau verschoben wird. Befindet sich der Massenpunktunterhalb des Nullniveaus, dann ist VG negativ, denn das Gewicht leis-tet negative Arbeit, wenn der Massenpunkt zurck zum Nullniveau ver-schoben wird. Auf Hhe des Nullniveaus gilt VG = 0.

Im Allgemeinen gilt, wenn y nach oben positiv ist, fr das Schwere-potenzial eines Massenpunktes mit dem Gewicht2 G

(3.13)

2 Das Gewicht wird hier als konstant angenommen. Diese Annahme ist fr kleineHhenunterschiede y richtig. Bei groen Hhenunterschieden muss die Ver-nderung des Gewichtes mit der Hhe allerdings bercksichtigt werden, (sieheAufgabe 3.97).

GV Gy=


212

3

Abbildung 3.17

Elastisches Federpotenzial Wird eine elastische Feder um s verlngertoder gestaucht, so kann die elastische potenzielle Energie VF als

(3.14)

geschrieben werden.VF ist immer positiv, denn in der verformten Lage hat die Federkraft die

Mglichkeit, immer positive Arbeit am Massenpunkt zu verrichten, wenndie Feder in ihre Ausgangslage zurckkehrt, siehe Abbildung 3.18.

Abbildung 3.18

G

G

G+ y

y

Nullniveau

Schwerepotenzial

Vg = +Gy

Vg = 0

Vg = Gy

212FV cs=+

VF = 0

ungedehnt, s = 0

Elastisches Federpotenzial

s

+s

VF = + cs21

2

VF = + cs21

2

c

c

c

213


Potenzialfunktion Greifen an einem Massenpunkt Gewichts- und elas-tische Federkrfte an, dann wird seine potenzielle Energie durch diealgebraische Summe, die so genannte Potenzialfunktion, bestimmt:

(3.15)

Der Betrag von V hngt gem den Gleichungen (3.13) und (3.14) von derPosition des Massenpunktes bezglich der Referenzlage ab.

Befindet sich der Massenpunkt an einem beliebigen Punkt (x,y,z) imRaum, so gilt fr die Potenzialfunktion V = V(x,y,z). Die von einerkonservativen Kraft beim Verschieben des Massenpunktes vom Punkt(x1,y1,z1) nach (x2,y2,z2) geleistete Arbeit wird durch die Differenz die-ser Funktion angegeben:

W12 = V1 V2 (3.16)

Die Potenzialfunktion fr einen Massenpunkt mit dem Gewicht G, der aneiner Feder hngt, wird in Abhngigkeit von seiner Lage s bezglich einesNullniveaus bei ungedehnter Federlnge angegeben, Abbildung 3.19. Esergibt sich

Senkt sich der Massenpunkt von s1 nach s2 ab, dann gilt fr die Arbeitvon G und FF

Abbildung 3.19

Wird eine infinitesimale Strecke entlang der Bahnkurve von Punkt (x,y,z)nach (x + dx, y + dy, z + dz) zurckgelegt, dann nimmt Gleichung (3.16)die Form

dW = V(x,y,z) V(x + dx, y + dx, z + dz) = dV(x,y,z) (3.17)

V = VG + VF

212

G FV V V

Gs cs

= +

= +

( ) ( )( ) ( )

2 21 2 1 2 1 1 2 2

2 22 1 2 1

1 12 2

1 12 2

W V V Gs cs Gs cs

G s s cs cs

= = + +

=

G

s

Nullniveau

FF

c


214

3

an. Werden Kraft und Verschiebung beispielsweise in kartesischen Koor-dinaten angegeben, so kann die Arbeit auch als

dW = Fdr = (Fxi + Fyj + Fzk )(dxi + dyj + dzk) = Fxdx + Fydy + Fzdx

formuliert werden. Setzen wir dieses Ergebnis in Gleichung (3.17) einund schreiben das totale Differenzial dV(x,y,z) mit seinen partiellenAbleitungen

bezglich V, ist diese Gleichung, da alle nderungen von x, y und z von-einander unabhngig sind, genau dann erfllt, wenn

(3.18)

gilt. Somit ist

oder

(3.19)

wobei der Nabla-Operator ber = (/x)i + (/y)j + (/z)k erklrt ist.Gleichung (3.19) verknpft eine Kraft F mit ihrer Potenzialfunktion V

und stellt damit ein mathematisches Kriterium zum Nachweis dafrdar, dass F konservativ ist. Das Schwerepotenzial eines Krpers mitdem Gewicht G in der Hhe y ber dem Nullniveau ist z.B. VG = Gy.Zum Nachweis, dass das Gewicht G konservativ ist, muss gezeigt wer-den, dass G die Gleichung (3.19) (oder 3.18) erfllt:

Offensichtlich ist dies fr die nach unten gerichtete Gewichtskraft G,entgegengesetzt zum positiven, nach oben gerichteten y, der Fall.

3.6 EnergieerhaltungGreifen an einem Massenpunkt konservative und nichtkonservativeKrfte an, so ist der Anteil der Arbeit, der von konservativen Krftenherrhrt, gem Gleichung (3.16) die Differenz ihrer potenziellen Ener-gien: (W12)konservativ = V1 V2. Der Arbeitssatz lautet folglich

T1 + V1 + (W12)nichtkonservativ = T2 + V2 (3.20)

(W12)nichtkonservativ ist die Arbeit der am Massenpunkt angreifenden,nichtkonservativen Krfte.

( )x y zV V V

dV F dx F dy F dz dx dy dzx y z

= + + = + +

, ,x y zV V V

F F Fx y z

= = =

V V Vx y z

Vx y z

=

=

F i j k

i j k

V=F

( );y yV

F F Gy Gy y

= = =

215

3.6 Energieerhaltung

Greifen nur konservative Krfte am Krper an, ist dieser Anteil gleichnull und wir erhalten

(3.21)

Das Gewicht der Scke auf der Hebebhne repr-sentiert potenzielle Energie, die in den Sttzfederngespeichert wird. Wird ein Sack entfernt, hebt sichdie Bhne ein Stck, denn ein Teil der potenziellenEnergie der Federn wird in zustzliche potenzielleSchwereenergie der brigen Scke umgewandelt.Mit der Vorrichtung kann man Scke wegnehmen,ohne sich zu bcken, whrend sie abgeladen wer-den.

Diese Gleichung spiegelt die Erhaltung der mechanischen Energie widerund wird deshalb Energieerhaltungssatz genannt. Der Satz besagt, dasswhrend der Bewegung die Summe der kinetischen und der potenziellenEnergie konstant bleibt. Damit dies zutrifft, muss kinetische Energie inpotenzielle Energie umgewandelt werden und umgekehrt. Fllt ein Ballmit dem Gewicht G aus der Hhe h ber dem Boden (Nullniveau), Abbil-dung 3.20, ist die potenzielle Energie des Balles maximal, bevor er fllt.Zu dieser Zeit ist die kinetische Energie gleich null. Die gesamte mecha-nische Energie des Balles in seiner Ausgangslage ist somit

E = T2 + V2 = 0 + Gh = Gh

Abbildung 3.20

Hat der Ball die Fallhhe h/2 durchlaufen, so gilt fr seine Geschwin-digkeit die Gleichung . Diese Beziehung fhrt auf

. Die Energie des Balles in der halben Hhe ist also

Unmittelbar bevor der Ball auf den Boden auftrifft, ist seine potenzielleEnergie gleich null (fr das gewhlte Nullniveau) und seine Geschwin-digkeit wird . Die gesamte Energie des Balles ist dann

Wenn der Ball den Boden berhrt, so verformt er sich ein wenig, undwenn der Boden hart genug ist, dann prallt er wieder zurck und erreichtdie neue Hhe h', die geringer ist als die ursprngliche Hhe h. UnterVernachlssigung des Luftwiderstandes entspricht der Hhenunterschiedeinem Energieverlust E = G(h h'), der whrend des Stoes auftritt.Dieser fhrt teilweise zu Geruschen (durch den abgestrahlten Schallinfolge des Stoes), lokaler Verformung des Balles und des Bodens sowiezu Wrme.

T1 + V1 = T2 + V2

Nullniveau

h2

h

potentielle Energie (maximal)kinetische Energie (null)

potentielle Energie undkinetische Energie

potentielle Energie (null)kinetische Energie (maximal)

( )2 20 0 02v v a y y= + ( )2 2v g h gh= =

( )22 212 2

G hE T V gh G Gh

g= + = + =

2v gh=

( )23 31

2 02

GE T V gh Gh

g= + = + =


216

3

Massenpunktsysteme Greifen an einem System von Massenpunktennur konservative Krfte an, dann kann eine Gleichung hnlich Gleichung(3.14) fr die einzelnen Massenpunkte angeschrieben werden. Mit entspre-chenden berlegungen wird dann Gleichung (3.8), T1 + W12 = T2,in

(3.22)

bergehen. Die Summe der ursprnglichen kinetischen und potenziel-len Energien des Systems ist gleich der Summe der kinetischen und derpotenziellen Energien des Systems zu einem anderen Zeitpunkt, d.h. esgilt T + V = konstant zu jedem Zeitpunkt.

Wesentlich ist, dass nur Aufgaben mit konservativen Krftesystemen(Gewichte und Federn) mit dem Energieerhaltungssatz als Sonderfall desArbeitssatzes gelst werden knnen. Wie oben festgestellt, sind Reibungund andere Widerstandskrfte nicht konservativ. Ein Teil der Arbeit die-ser Krfte wird in Wrmeenergie umgewandelt, wird also in die Umge-bung abgegeben und kann nicht mehr zurckgewonnen werden.

Lsungsweg

Mit dem Energieerhaltungssatz werden Aufgaben gelst, bei denen dieGeschwindigkeit als Funktion des Weges unter der Einwirkung rein konservati-ver Krfte berechnet werden soll. Diese Aufgabe ist im Allgemeinen einfacherzu behandeln als der Arbeitssatz, denn fr den Energieerhaltungssatz ist ledig-lich die Angabe der kinetischen und potenziellen Energie des Massenpunktesan nur zwei Punkten der Bahn erforderlich, und nicht die Bestimmung derArbeit, wenn der Massenpunkt eine Strecke zurcklegt. Zur Anwendung wirdder folgende Lsungsweg vorgeschlagen.

Potenzielle Energie

Erstellen Sie eine Zeichnung, die den Massenpunkt in seiner Anfangs- undseiner Endlage auf der Bahn zeigt.

Fhren Sie ein ortsfestes horizontales Nullniveau ein, wenn der Massenpunkteine vertikale Strecke zurcklegt. Das Schwerepotenzial VG des Massenpunk-tes wird bezglich dieses Nullniveaus berechnet.

Die Hhe des Massenpunktes bezglich des Nullniveaus und die Dehnungbzw. Stauchung s von auftretenden Federn werden geometrisch aus denbeiden Zeichnungen ermittelt.

Es gilt VG = Gy, worin y bezogen auf das Nullniveau nach oben positiv undnach unten negativ ist. Entsprechend ist immer positiv.

Energieerhaltung

Wenden Sie den Energieerhaltungssatz T1 + V1 = T2 + V2 an.

Bei der Berechnung der kinetischen Energie, , muss die Geschwin-digkeit v bezglich eines Inertialsystems gemessen werden.

T1 + V1 = T2 + V2

212FV cs=

212T mv=

217


Mit dem Portalkran im Foto wird die Reaktion eines Flugzeugsbei einem Absturz getestet. Wie in Abbildung 3.21a dargestellt,wird das Flugzeug der Masse m bis zum Winkel = 1 ange-

hoben. Nachdem das Flugzeug zur Ruhe gekommen ist, wird das Seil AC gekappt.Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs kurz vor dem Auftreffen auf demBoden bei = 2. Wie gro ist die maximale Zugkraft im Halteseil whrend derBewegung. Vernachlssigen Sie den Auftrieb durch die Tragflchen whrend derBewegung und die Gre des Flugzeuges.m = 8000 kg, l = 20 m, 1 = 60, 2 = 15

Abbildung 3.21

Lsung

Da die Seilkraft keine Arbeit am Flugzeug verrichtet, weil sie immer senkrecht aufder kreisfrmigen Bewegungsbahn des Flugzeuges steht, wird diese mittels New-tonschem Grundgesetz oder Prinzip von dAlembert aus der Zwangskraftgleichungermittelt. Wir mssen allerdings zunchst die Geschwindigkeit des Flugzeugs in Bbestimmen. Dazu kann der Energieerhaltungssatz angewandt werden.

Potenzielle Energie Aus Grnden der Einfachheit wird das Nullniveau in dieHhe der oberen Kante des Portals gelegt.

Energieerhaltung

Zwangskraftgleichung Aus dem Freikrperbild fr Punkt B, siehe Abbildung3.21b, liefert das Newtonsche Grundgesetz in Normalenrichtung

Beispiel 3.9

G

T

2

(b)

C

B

A

l

Nullniveau

( )

2 21 2

1 2

1 1cos cos2 2

2 cos cos 13,5 m/s

A A B B

A B

B

T V T V

mv mgl mv mgl

v gl

+ = +

=

= =

;n nF ma=2

2

2

2

cos

cos 149 N

B

B

vT mg m

lv

T mg ml

=

= + =


218

3

3

3 Die zweite Wurzel, sA = 0,148 m, ist physikalisch sinnlos. Da positive s nachunten gemessen werden, bedeutet ein negatives s, dass die Feder A nach obengedehnt werden msste, um den Kolben zum Anhalten zu bringen.

Abbildung 3.22

Der Rammkolben in Abbildung 3.22a mit der Masse m wird in der Hhe h berder Feder A (Federkonstante cA) aus der Ruhe freigegeben. Eine zweite Feder B(Federkonstante cB) ist in A eingebettet. Bestimmen Sie den Federweg sA von A,bei dem der Rammkolben zur Ruhe kommt. Die ungedehnte Lnge jeder Feder istgegeben. Vernachlssigen Sie die Masse der Federn.m = 100 kg, l0A = 0,4 m, l0B = 0,3 m, h = 0,75 m, cA = 12 kN/m, cB = 15 kN/m

Lsung

Potenzielle Energie Wir nehmen an, dass der Rammkolben in dem Moment,wenn er zur Ruhe kommt, beide Federn staucht. Das Nullniveau liegt in Hhe derAusgangslage des Kolbens, siehe Abbildung 3.22b. Wenn die kinetische Energieerneut null wird (v2 = 0), dann wird A um sA und B um sB = sA (l0A l0B )gestaucht.

Energieerhaltung

Wir stellen die Gleichung um und erhalten

Wir lsen die quadratische Gleichung und berechnen die positive Wurzel3 von sA zu

sA = 0,331 m

Fr sB ergibt sich sB = 0,331 m 0,1 m = 0,231 m, also ein positiver Wert.Die Annahme, dass beide Federn vom Kolben gestaucht werden, ist also korrekt.

Beispiel 3.10

R

h

l0Al0B

cA

A

B

cB(a)

h

sB = sA (l l )

(b)

1Nullniveau

mg

2

sA

sA

mg

0A 0B

( )( ) ( )

( ) ( )( )

1 1 2 2

22 21 0 0

22 20 0 0 0

1 1 102 2 21 10 22 2

A A B A A B A

A A B A A A B A B A

T V T V

mv c s c s l l mg h s

c s c s s l l l l mgh mgs

+ = +

+ = + +

= + +

( ) ( )( ) ( )( )22 0 0 0 01 1 1 02 2 2A B A B A B A B A Bc c s c l l mg s c l l mgh+ + + =

219


Abbildung 3.23

Die glatte Hlse C in Abbildung 3.23a passt spielfrei auf dievertikale Welle. Die Feder ist ungedehnt, wenn die Hlse inPosition A ist. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Hlse

bei y = y1, wenn sie (a) in A aus der Ruhe losgelassen wird, (b) in A mit derGeschwindigkeit vA nach oben gestartet wird.m = 2 kg, l0 = 0,75 m, c = 3 N/m, vA = 2 m/s, y1 = 1 m

Lsung

Teilaufgabe a)

Potenzielle Energie Aus Grnden der Einfachheit wird das Nullniveau durchAB gelegt, Abbildung 3.23b. Befindet sich die Hlse in C, so betrgt das Schwere-potenzial (mg)y1, denn sie befindet sich unterhalb des Nullniveaus, und diepotenzielle Federenergie betrgt . Die Lngennderung l der Federberechnet sich zu l = l l0 = 0,5 m, worin die verformte Federlnge mit

ermittelt werden kann.

Energieerhaltung

Diese Aufgabe kann auch durch Auswertung der Bewegungsgleichung oder mit demArbeitssatz gelst werden. Dabei mssen jeweils die nderung des Betrages und derRichtung der Federkraft bercksichtigt werden (siehe Beispiel 3.4). Das oben vorge-stellte Lsungsverfahren ist in diesem Fall jedoch deutlich einfacher, denn die Berech-nungen hngen nur von Werten am Anfangs- und am Endpunkt der Bahn ab.

Teilaufgabe b)

Energieerhaltung Man muss lediglich die kinetische Energie TA modifizieren,ansonsten bleibt die Rechnung unverndert:

Beachten Sie, dass die kinetische Energie der Hlse nur vom Quadrat der Geschwin-digkeit und damit nur von ihrem Betrag abhngt. Daher ist unerheblich, ob sich dieHlse nach oben oder nach unten bewegt, wenn sie in A mit endlicher Geschwin-digkeit gestartet wird.

Beispiel 3.11

y

A

C

(a)

l0

c

B

y1

A

C

(b)

Nullniveau

G

G

vC

l = l02 + y1

2 l0

l0

B

l02 + y1

2

( )212 c l

2 21 0 1,25 ml y l= + =

( ){ }( ){ }

( ){ }

22 21

221

21

1 1 102 2 21 10 0 2 2

2 1 4,39 m/s2

A A C C

A C

C

C

T V T V

mv mv c l mgy

mv c l mgy

v c l mgym

+ = +

+ = +

+ = +

= =

( ){ }( ){ }( ){ }

22 21

22 21

221

1 1 102 2 21 1 12 2 2

2 1 4,82 m/s2

A A C C

A C

C A

C A

T V T V

mv mv c l mgy

mv mv c l mgy

v v c l mgym

+ = +

+ = +

=

= =


220

3

3.7 Methode EnergieintegralDas Verfahren dient bei konservativen mechanischen Systemen zurBerechnung der Lage r(t) aus der mit Hilfe des Energieerhaltungssatzesals erstes Integral gefundenen Beziehung durch nochmalige Integra-tion. Dabei wird vorausgesetzt, dass sich die Lage des Massenpunktesdurch eine Koordinate, z.B. die Bogenlnge s, beschreiben lsst.

Ausgangspunkt ist der Energieerhaltungssatz fr einen einzelnenMassenpunkt in der Form

Auflsen nach liefert

und nach Trennen der Vernderlichen

kann formal und zwar bestimmt integriert werden:

(3.23)

Nach (numerischer) Auswertung der rechten Seite erhalten wir t(s) undnach Bilden der Umkehrfunktion s(t) und damit auch r(t).

Als Ergebnis knnen wir festhalten, dass fr ein konservatives Ein-massen-System, dessen Lage durch eine Koordinate beschrieben wird(und nur dann), mit dem Energieerhaltungssatz als Ausgangspunkt dieZeit-Weg-Berechnung auf ein bestimmtes Integral (eine so genannteQuadratur) zurckgefhrt werden kann.

Bereits in Beispiel 3.3 waren wir auf diesen Sachverhalt gestoen. Dortwurde die hier allgemein gezeigte Prozedur fr die geradlinige Bewegungeines Massenpunktes im Schwerkraftfeld der Erde durchgefhrt.

( )r r

( ) ( )2 20 0, d.h.2 2m m

V E s V s E+ = + =r r

s

( )02ds

s E V sdt m

= =

( )02

dsdt

E V sm

=

( )0

0

0

2

s

s

dst t

m E V s

=

221

Zusammenfassung

Z U S A M M E N F A S S U N G

Arbeit einer Kraft Eine Kraft leistet Arbeit, wenn sie entlang ihrer Wir-kungslinie verschoben wird. Ist die Kraft ortsabhngig, dann gilt W = Fds.Grafisch wird die Arbeit durch die Flche unter dem F-s-Diagramm reprsen-tiert. Bei einer konstanten Kraft und der Verschiebung s in Richtung derKraft gilt W = Fs.Ein typisches Beispiel dafr ist die Arbeit des Gewichts, W = Gy. Hier ist ydie vertikale Verschiebung. Eine Federkraft F = cs hngt von der Dehnung bzw. Stauchung s der Federab. Diese Arbeit wird durch Integration bestimmt und betrgt .

Arbeitssatz Wird das Newtonsche Grundgesetz in (tangentialer) Bewe-gungsrichtung, Ft = mat, mit der kinematischen Gleichung atds = v dvverknpft, so erhalten wir den Arbeitssatz:

T1 + W12 = T2Die kinetische Anfangsenergie eines Massenpunktes plus derArbeit W12 aller realen Krfte auf ihn, whrend er sich von der Anfangslagezur Endlage bewegt, ist gleich der kinetischen Energie des Mas-senpunktes in der Endlage.Mit dem Arbeitssatz kann man Aufgaben lsen, in denen die Geschwindigkeiteines Krpers unter der Einwirkung von Krften als Funktion des Weges ge-sucht ist. Zur Anwendung sollte ein Freikrperbild gezeichnet werden, um dieKrfte zu erkennen, die Arbeit leisten.

Leistung und Wirkungsgrad Leistung ist Arbeit pro Zeit und wird de-finiert als P = dW/dt, d.h. P = Fv. Zur Anwendung muss die Kraft F unddie Geschwindigkeit v ihres Angriffspunktes bekannt sein. Der Wirkungsgradgibt das Verhltnis von zugefhrter und abgefhrter Energie an. Aufgrundvon Reibungsverlusten ist er immer kleiner 1.

Energieerhaltung Eine konservative Kraft leistet eine von ihrer Bahnkurveunabhngige Arbeit. Zwei Beispiele dafr sind die Gewichtskraft und die Feder-kraft. Reibung ist eine nichtkonservative Kraft, denn die Arbeit hngt von derLnge der Bahn ab. Je lnger die zurckgelegte Wegstrecke ist, desto mehrArbeit wird geleistet. Die Arbeit einer konservativen Kraft kann durch die zu-gehrige potenzielle Energie ausgedrckt werden, die von einer Referenzlageabhngt. Fr das Gewicht betrgt sie VG = G y und ist positiv oberhalb einesgewhlten Nullniveaus. Fr eine Feder ist sie , wenn man an-nimmt, dass x bei unverformter Feder verschwindet. Sie ist immer positiv.Bei konservativen Systemen besteht die mechanische Energie aus kinetischerEnergie T, potenzieller Energie des Gewichts und potenzieller Federenergie.Gem dem Energieerhaltungssatz ist diese Summe konstant und hat an be-liebigen Punkten der Bahn den gleichen Wert, d.h. es gilt

T1 + V1 = T2 + V2 = E

Wird die Bewegung eines Massenpunktes nur von Gewichts- und Federkrf-ten hervorgerufen, dann knnen mit Hilfe des Energieerhaltungssatzes Aufga-ben gelst werden, bei denen die Geschwindigkeit als Funktion des Wegesbestimmt werden soll.

Z U S A M M E N F A S S U N G

212W cs=

21 1

12T mv=

22 2

12T mv=

212FV cx=


222

3

Aufgaben zu 3.1 bis 3.3

Lsungen finden Sie in Anhang D.

3.1 Eine Frau mit der Masse m steht in einem Aufzug, deraus dem Stand mit a nach unten beschleunigt. BestimmenSie die Arbeit, die ihr Gewicht leistet, und die Arbeit der Nor-malkraft vom Boden auf die Frau, wenn der Aufzug eineStrecke d zurcklegt. Erklren Sie, warum die Arbeit dieserKrfte unterschiedlich ist.Gegeben: m = 70 kg, a = 4 m/s2, d = 6 m

3.2 Das Auto mit der Masse m fhrt anfnglich mit derGeschwindigkeit v0. Welche Strecke muss das Auto mit derKraft F angetrieben werden, damit es die hhere Geschwin-digkeit v1 erreicht? Vernachlssigen Sie Reibung und Masseder Rder.Gegeben: m = 2000 kg, v0 = 2 m/s, v1 = 5 m/s, F = 4 kN, = 10, = 20

Abbildung A 3.2

3.3 An der Kiste mit der Masse m greift die nach Betrag undRichtung konstante Kraft F an. In der Lage s = s1 bewegt sichdie Kiste mit der Geschwindigkeit v1 nach rechts. Wie gro istdie Geschwindigkeit bei s = s2? Der Gleitreibungskoeffizientg zwischen Kiste und Boden ist gegeben.Gegeben: m = 20 kg, v1 = 8 m/s, s1 = 15 m, s2 = 25 m, F = 100 N, g = 0,25, = 30

Abbildung A 3.3

*3.4 Mit der Luftfeder A werden die Unterlage B und auchdas Spanngewicht C des Transportbandes D geschtzt, fallsdas Band reit. Die Kraft in der Feder als Funktion der Ln-gennderung ist grafisch dargestellt. Bestimmen Sie fr dieangegebenen Werte die maximale Verformung der Feder,wenn das Transportband reit. Vernachlssigen Sie die Mas-sen der Rolle und des Bandes.Gegeben: G = 500 N, d = 0,3 m, F = ks2, k = 2(106) N/m2

Abbildung A 3.4

3.5 Der glatte Kolben mit dem Gewicht G wird gegen eineReihe von Tellerfedern gedrckt, die um s zusammenge-drckt werden. Die Kraft der zusammengedrckten Federnauf den Kolben ist F. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit desKolbens, nachdem er keinen Kontakt mehr mit den Federnhat. Vernachlssigen Sie die Reibung.Gegeben: G = 200 N, s = 0,01 m, F = bs1/3, b = 51 N/m1/3

Abbildung A 3.5

F

F

d

B

A

DF

F = ks

s

C

2

223


3.6 Ein Projektil der Masse m wird aus einem Gewehrlaufder Lnge l abgefeuert; dabei verndert sich die Triebkraftauf das Projektil im Lauf gem dem dargestellten Kurven-verlauf. Bestimmen sie die Projektilgeschwindigkeit an derMndung. Vernachlssigen Sie Reibung im Lauf und nehmenSie an, dass der Lauf horizontal gerichtet ist.Gegeben: m = 7 kg, l = 2 m

Abbildung A 3.6

3.7 Fr die Konstruktion des Puffers B am Eisenbahnwaggonder Masse m ist eine nichtlineare Feder mit der dargestelltenLast-Verformungs-Kurve erforderlich. Whlen Sie den Wert kder Federkennlinie, bei dem die maximale Federauslenkung dnicht berschritten wird, wenn der Waggon mit der Geschwin-digkeit v auf den Prellbock auffhrt. Vernachlssigen Sie dieMasse der Waggonrder.Gegeben: m = 5000 kg, d = 0,2 m, v = 4 m/s

Abbildung A 3.7

*3.8 An der Kiste der Masse m greifen zwei Krfte an.Bestimmen Sie die Strecke, die sie aus der Ruhe beginnendgleitend zurcklegt, bis sie die Geschwindigkeit v erreicht. DerGleitreibungskoeffizient g zwischen Kiste und Gleitflche istgegeben.

Gegeben: m = 100 kg, v = 6 m/s, F1 = 800 N, F2 = 100 N, g = 0,2, = 30, tan = 3/4

Abbildung A 3.8

3.9 Der Kleinlaster fhrt mit der Geschwindigkeit v1, als derFahrer die Bremse bettigt. Der Laster rutscht noch die Strecked, bevor er zum Stehen kommt. Wie weit rutscht er nach derBremsbettigung bei einer hheren Fahrgeschwindigkeit v2,wenn er die Bremse in gleicher Weise bettigt?Gegeben: v1 = 40 km/h, v2 = 80 km/h, d = 3 m

Abbildung A 3.9

3.10 Ein Ball vernachlssigbarer Gre mit der Masse m wirdmit einer Spannvorrichtung auf die vertikale kreisrunde Bahngeschossen. Die Spannvorrichtung bewirkt, dass die Feder beis = 0 um d gestaucht bleibt. Wie weit (s1) muss die Feder mitder Federkonstanten c zurckgezogen und dann losgelassenwerden, damit der Ball bei = 1 die Bahn verlsst?Gegeben: m = 0,5 kg, d = 0,08 m, 1 = 135, r = 1,5 m, c = 500 N/m

Abbildung A 3.10

15

10

5

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0

F (MN)

s (m)

F (N)F = ks2

s (m)

B

F2

F1

s

c

r


224

3

3.11 Die Kraft F konstanter Richtung greift am Klotz derMasse m an. Ihre Gre ndert sich mit der Position s desKlotzes. Bestimmen Sie, wie weit sich der Klotz bewegt hat,um die Geschwindigkeit v1 zu erreichen. Bei s = 0 betrgt dieGeschwindigkeit des Klotzes v0 nach rechts. Der Koeffizientder Gleitreibung g zwischen Klotz und Unterlage ist gegeben.Gegeben: m = 20 kg, v0 = 2 m/s, v1 = 5 m/s, g = 0,3, tan = 3/4, k = 50 N/m2

*3.12 Die Kraft F konstanter Richtung greift am Klotz mit derMasse m an. Ihre Gre ndert sich mit der Position s desKlotzes. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Klotzes nachZurcklegen der Strecke s1. Bei s = 0 betrgt die Geschwin-digkeit des Klotzes v0 nach rechts. Der Koeffizient der Gleit-reibung g zwischen Klotz und Gleitflche ist gegeben.Gegeben: m = 20 kg, v0 = 2 m/s, s1 = 3 m, g = 0,3, tan =3/4, k = 50 N/m2

Abbildung A 3.11/3.12

3.13 Wie bei der Herleitung dargelegt, gilt der Arbeitssatzfr Beobachter in einem beliebigen Inertialsystem. ZeigenSie, dass dies gilt. Betrachten Sie dazu eine Masse m, die aufeiner glatten Oberflche ruht und an der eine horizontaleKraft F angreift. Befindet sich ein Beobachter A in einemortsfesten System x, bestimmen Sie die Endgeschwindigkeitdes Klotzes fr die Anfangsgeschwindigkeit v0, nachdem erdie Strecke s, jeweils nach rechts gerichtet und bezglich desortsfesten Systems gemessen, zurckgelegt hat. VergleichenSie das Ergebnis mit dem des Beobachters B, dessen x'-Achse sich mit konstanter Geschwindigkeit v' relativ zu Anach rechts bewegt. Hinweis: Die Strecke, welche die Massefr den Beobachter B zurcklegt, muss zuerst berechnetwerden; dann kann der Arbeitssatz angewendet werden. Gegeben: m = 10 kg, F = 6 N, v0 = 5 m/s, s = 10 m, v' = 2 m/s

Abbildung A 3.13

3.14 Bestimmen Sie die Geschwindigkeit der Masse mA nachLoslassen aus der Ruhe und nachdem sie sich um die Strecke sentlang der Ebene nach unten bewegt hat. Der Krper B hatdie Masse mB . Der Koeffizient der Gleitreibung g zwischenMasse A und schiefer Ebene ist gegeben. Wie gro ist dieZugkraft im Seil?Gegeben: mA = 20 kg, mB = 10 kg, s = 2 m, g = 0,2, = 60

Abbildung A 3.14

3.15 Klotz A hat das Gewicht GA und Klotz B das GewichtGB . Wie gro ist die Geschwindigkeit von Klotz A, nachdemer aus der Ruhe beginnend die Strecke sA zurckgelegt hat?Vernachlssigen Sie die Reibung und die Masse von Seilenund Rollen.Gegeben: GA = 600 N, GB = 100 N, sA = 1 m, tan = 3/4

Abbildung A 3.15

F (N)

F = ks2

s (m)

Fv

F

v

v'

s

Bx

x'

A

AB

BA

225


*3.16 Der glatte Zylinder mit dem Gewicht G wird gegeneine Reihe von Tellerfedern gedrckt, die um s zusammenge-drckt werden. Die Kraft der Feder auf den Zylinder ist F(s).Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Zylinders nach Los-lassen gerade in dem Moment, wenn er den Kontakt mit denmasselosen Federn wieder verliert, d.h. bei s = 0.Gegeben: G = 200 N, s = 0,01 m, F = bs1/3, b = 1710 N/m1/3

Abbildung A 3.16

3.17 Die Hlse der Masse m befindet sich auf dem glattenRundstab. Zwei Federn, die an der Hlse befestigt sind, stt-zen sich gegen die uere Berandung ab und halten dieHlse ihrer Mittellage. Dabei haben die Federn die unge-dehnte Lnge l0. Die Hlse wird um s1 verschoben und ausder Ruhe losgelassen. Wie gro ist ihre Geschwindigkeit beider Rckkehr zur Position s = 0?Gegeben: m = 20 kg, l0 = 1 m, c = 50 N/m, c' = 100 N/m, s1 = 0,5 m, b = 0,25 m

Abbildung A 3.17

3.18 Ermitteln Sie die Hhe h auf der Bahn D, die der Ach-terbahnwagen der Masse m erreicht, nachdem er in B miteiner Geschwindigkeit gestartet wurde, die gerade fr denberschlag in C ausreichend ist, ohne dass der Wagen ausden Schienen springt. Der Krmmungsradius C in C istgegeben.Gegeben: m = 200 kg, hC = 35 m, C = 25 m

Abbildung A 3.18

3.19 Am Klotz der Masse m greift die Kraft F konstanterRichtung an, ihr Betrag ist eine Funktion des Weges. Bei s = s1bewegt sich der Klotz gerade mit v1 nach links. Ermitteln Siedie Geschwindigkeit fr s = s2. Der Gleitreibungskoeffizientzwischen Klotz und Unterlage ist g .Gegeben: m = 2 kg, F = F0/(1 + s/s0), F0 = 300 N, s0 = 1 m s1 = 4 m, v1 = 8 m/s, s2 = 12 m, g = 0,25, = 30

Abbildung A 3.19

*3.20 Die Bewegung eines Lasters wird mittels einer Fahr-bahn aus losen Steinen AB und einer Reihe von Aufprallton-nen BC gebremst. Experimentell wird der Fahrwiderstand Rpro Rad bestimmt. Die Widerstandskraft F der Aufprallton-nen ist grafisch dargestellt. Bestimmen Sie die Strecke x desLasters mit dem Gewicht G, die er nach dem Kontakt mit denAufpralltonnen noch zurcklegt, wenn er sich mit derGeschwindigkeit v dem Beginn der Schlechtwegstrecke Anhert. Vernachlssigen Sie die Gre des Lasters.Gegeben: G = 22,5 kN, s = 10 m, v = 12 m/s, R = 800 N, F = bx3, b = 1,25(106) N/m3

Abbildung A 3.20

s

c c'

l0b

l0

s

h

DC

A B

hCC

v

s

F

v

C

s

BA

x

F = bx

x

F3


226

3

3.21 Der Aufprallschutz einer Leitplanke besteht aus einerGruppe von Tonnen mit einer Fllung aus dmpfendemMaterial. Die Widerstandskraft F des Aufprallschutzes wirdin Abhngigkeit von der Eindringtiefe des Fahrzeugs gemes-sen. Bestimmen Sie, wie tief ein Auto mit dem Gewicht G indie Leitplanke eindringt. Beim Auftreffen auf die Leitplankefhrt das Auto mit der Geschwindigkeit v.Gegeben: G = 20 kN, v = 11 m/s

Abbildung A 3.21

3.22 Die Gewichte GA und GB der beiden Kltze A und Bund der Gleitreibungskoeffizient g zwischen schiefer Ebeneund Klotz A sind gegeben. Bestimmen Sie die Geschwindig-keit von A nach Zurcklegen der Strecke s aus der Ruhe. Ver-nachlssigen Sie die Masse der Seile und der Rollen.Gegeben: GA = 600 N, GB = 100 N, s = 1 m, = tan 3/4, g = 0,2

Abbildung A 3.22

3.23 Pakete mit dem Gewicht G werden mit der Geschwin-digkeit vA zur Rutsche transportiert. Bestimmen Sie ihreGeschwindigkeit in den Punkten B und C. VernachlssigenSie die Reibung und die Gre der Pakete.Gegeben: G = 250 N, vA = 0,9 m/s, r = 1,5 m, = 30

Abbildung A 3.23

*3.24 Der Stahlblock mit der Masse m wird mit derGeschwindigkeit v nach links transportiert, als er auf eineineinander gebettete Federanordnung auftrifft. BestimmenSie die maximale Auslenkung jeder Feder, die zum Anhaltendes Stahlblocks erforderlich ist.Gegeben: m = 1800 kg, v = 0,5 m/s, cA = 5 kN/m, cB = 3 kN/m, l0A = 0,5 m, l0B = 0,45 m

3.25 Der Stahlblock mit der Masse m wird mit der Geschwin-digkeit v nach links transportiert, als er auf eine ineinandergebettete Federanordnung auftrifft. Bestimmen Sie fr diegegebene Federkonstante cA die erforderliche FederkonstantecB der inneren Feder, sodass der Stahlblock an der Stelleanhlt, wenn sich die Vorderseite C im Abstand d von derWand befindet.Gegeben: m = 1800 kg, v = 0,5 m/s, cA = 5 kN/m, l0A = 0,5 m, l0B = 0,45 m, d = 0,3 m


10,4 2 3Eindringtiefe des Fahrzeugs (m)

4 5

Wid

erst

ands

kraf

t (kN

)

180

135

90

45

0

BA

r

r

r

A

D

B

C

vA

l0Al0B

AC

cB

B

cA

227


3.26 Der Klotz A hat das Gewicht GA und Klotz B dasGewicht GB. Bestimmen Sie die Strecke, die A zurcklegt,bis er aus der Ruhe die Geschwindigkeit v erreicht. Wie groist dann die Zugkraft im Seil, das A hlt? VernachlssigenSie die Masse von Seil und Rollen.Gegeben: GA = 600 N, GB = 100 N, v = 2 m/s

Abbildung A 3.26

3.27 Der Klotz mit dem Gewicht G hat auf der halben Streckezwischen den Federn A und B die Anfangsgeschwindigkeit v0.Nach Auftreffen auf Feder B prallt er zurck und bewegt sichauf der horizontalen Ebene in Richtung Feder A usw. DerGleitreibungskoeffizient g zwischen Ebene und Klotz istgegeben. Bestimmen Sie die Gesamtstrecke, die der Klotzzurcklegt, bevor er zur Ruhe kommt.Gegeben: G = 250 N, v0 = 5 m/s, cA = 100 N/m, cB = 600 N/m, l = 1,2 m, g = 0,4

Abbildung A 3.27

*3.28 Der Ziegelstein mit dem Gewicht G gleitet ein glattesDach herunter und erreicht bei A die Geschwindigkeit v. Wiegro sind die Geschwindigkeit des Steins, unmittelbar bevorer in B die Dachflche verlsst, der Abstand d des Auftreff-punktes von der Wand und die Geschwindigkeit, mit der erauf dem Boden auftrifft.Gegeben: G = 20 N, v = 2 m/s, a = 12 m, tan = 3/4

Abbildung A 3.28

3.29 Achterbahnen sind so konstruiert, dass die Fahrgstemaximal das 3,5fache ihres Gewichts als Normalkraft inRichtung ihres Sitzes erfahren. Der Wagen hat am Scheitel-punkt die Geschwindigkeit v. Bestimmen Sie den kleinstenKrmmungsradius der Bahn an ihrem tiefsten Punkt. Ver-nachlssigen Sie die Reibung.Gegeben: v = 1 m/s, h1 = 24 m, h2 = 2 m

Abbildung A 3.29

B

A

l

l/2

v0

cA cB

A B

a

d

A

B

a2

v

x

y

h1

h2


228

3

3.30 Die Katapultvorrichtung treibt den Krper A derMasse m auf glatter Bahn nach rechts. Dazu wird mit demKolben P die Rolle an der Rundstange BC schnell nach linksgezogen. Der Kolben bringt auf die Rundstange BC die kon-stante Kraft F auf, und diese bewegt sich um s. BestimmenSie die Geschwindigkeit des Krpers A, der aus der Ruhe dieBewegung beginnt. Vernachlssigen Sie die Masse von Rollen,Seil, Kolben und Rundstange BC.Gegeben: m = 10 kg, F = 20 kN, s = 0,2 m

Abbildung A 3.30

3.31 Die Hlse der Masse m gleitet auf dem glatten Rund-stab. Zwei Federn, die an der Hlse befestigt sind, sttzensich gegen die uere Berandung ab und halten die Hlse inihrer Mittellage. Dabei haben die Federn die ungedehnteLnge l0. Die Hlse hat bei s = 0 die Geschwindigkeit v0nach rechts. Wie gro ist die maximale Zusammendrckungder Federn aufgrund der Hin- und Herbewegung der Hlse?Gegeben: m = 20 kg, l0 = 1 m, cA = 50 N/m, cB = 100 N/m, v0 = 2 m/s, d = 0,25 m

Abbildung A 3.31

*3.32 Der Radfahrer fhrt nach links und hat bei Erreichendes Punktes A die Geschwindigkeit vA. Dann lsst er sichden gekrmmten Abhang hochrollen. Bestimmen Sie dieNormalkraft, die er auf die Strae in B ausbt. Die Masse mvon Rad und Fahrer ist gegeben. Vernachlssigen Sie die Rei-bung, die Masse der Rder und die Gre des Fahrrades.Gegeben: m = 75 kg, vA = 8 m/s, xA = 4 m, yC = 4 m, = 45

3.33 Der Radfahrer fhrt nach links und hat bei Erreichen desPunktes A die Geschwindigkeit vA. Dann lsst er sich dengekrmmten Abhang hochrollen. Bestimmen Sie die Hhe, dieder Fahrer erreicht. Wie gro sind die Normalkraft auf dieStrae in diesem Punkt und seine Beschleunigung? Die Massem von Rad und Fahrer ist gegeben. Vernachlssigen Sie dieReibung, die Masse der Rder und die Gre des Fahrrades.Gegeben: m = 75 kg, vA = 4 m/s, xA = 4 m, yC = 4 m, = 45


3.34 Die Kiste A mit dem Gewicht G rutscht aus der Ruhedie glatte Rampe herunter und auf die Ladeflche einesWagens. Dieser ist befestigt und kann sich nicht bewegen.Bestimmen Sie den Abstand s des Wagenendes bis zumPunkt, an dem die Kiste zur Ruhe kommt. Der Gleitreibungs-koeffizient g zwischen Wagen und Kiste ist gegeben.Gegeben: G = 300 N, g = 0,6, l = 5 m, h = 2 m

Abbildung A 3.34

3.35 Der Mann am Fenster A mchte einen Sack B derMasse m auf den Boden werfen. Dazu bewegt er ihn aneinem masselosen Seil der Lnge l aus der Ruhe in B zumPunkt C hinunter und lsst dann dort unter dem Winkel = 1 das Seil los. Ermitteln Sie die Geschwindigkeit, mitder der Sack auf dem Boden auftritt und die Strecke R.Gegeben: m = 30 kg, l = 8 m, h = 16 m, 1 = 30

FB C

A

P

s

d

cA cB

l0 l0

yC

xA

B

C

y

xA

y = x

4xxA

4yyC

1/2 1/2

+ = 2

lhs

A

BC

229


Abbildung A 3.35

*3.36 Ein Klotz B mit dem Gewicht G ruht in A( = 0) aufder glatten halbzylindrischen Oberflche. Ein elastisches Seilmit der Federkonstanten c ist am Klotz B und an der Basisdes Halbzylinders in Punkt C befestigt. Der Klotz wird dannlosgelassen. Bestimmen Sie die ungedehnte Lnge l0 des Sei-les, fr die der Klotz bei einem Winkel = 1 die Oberflchedes Halbzylinders verlsst. Vernachlssigen Sie die Gre desKlotzes.Gegeben: G = 20 N, 1 = 45, r = 0,5 m, c = 60 N/m

Abbildung A 3.36

3.37 Der Federpuffer stoppt die Bewegung des Klotzes mitdem Gewicht G, der mit der Geschwindigkeit v gegen ihnfhrt. Wie dargestellt, wird die Bewegung der Feder von derPlatte P und der Wand mittels undehnbarer Seile beschrnktund ihre vorgespannte Lnge ist somit l. Die Federkonstantec der Feder ist gegeben. Bestimmen Sie die erforderlicheungedehnte Lnge l0 der Feder so, dass die Platte um nichtmehr als s verschoben wird, nachdem der Klotz dort auftrifft.Vernachlssigen Sie Reibung, die Masse der Platte und derFeder und den Energieverlust zwischen Platte und Klotz beimZusammensto.Gegeben: G = 40 N, l = 0,5 m, d = 2 m, c = 1500 N/m, v = 3 m/s, s = 0,1 m

Abbildung A 3.37

3.38 Der Zylinder A hat die Masse mA und der Zylinder Bdie Masse mB . Bestimmen Sie die Geschwindigkeit vA derMasse mA nach Zurcklegen der Strecke s aus der Ruhenach oben. Vernachlssigen Sie die Masse des Flaschenzugs.Gegeben: mA = 3 kg, mB = 8 kg, s = 2 m

Abbildung A 3.38

3.39 Die Hlse der Masse m wird vom glatten Rundstabund den daran befestigten Federn in der Position d = d2, inder die Federn unverformt sind, gehalten. Durch die Kraft Fkommt die Hlse aus der Ruhe heraus in Bewegung. Bestim-men Sie die Geschwindigkeit der Hlse, nachdem eine Ver-schiebung der Hlse in die Position d = d1 vorliegt. Gegeben: m = 20 kg, d1 = 0,3 m, d2 = 0,5 m, F = 100 N, c = 25 N/m, c' = 15 N/m, = 60

Abbildung A 3.39

R

h

B

C

D

A

l

l

C A

B

c

r

PcvA

l dA

A

B

dc

c'

F


230

3

*3.40 Der Skispringer fhrt bei A aus dem Stand los undfhrt die Schanze hinunter. Reibung und Luftwiderstand kn-nen vernachlssigt werden. Bestimmen Sie seine Geschwin-digkeit vB in Punkt B. Ermitteln Sie ebenfalls die Strecke s biszum Punkt C, wo er landet. Er springt in B horizontal ab.Vernachlssigen Sie die Gre des Skispringers, der dieMasse m hat.Gegeben: m = 70 kg, hA = 50 m, hB = 4 m, = 30

Abbildung A 3.40

Aufgaben zu 3.4


3.41 Der Dieselmotor eines Zuges der Masse m erhht inder Zeit t die Zuggeschwindigkeit gleichmig auf der hori-zontalen Bahn aus dem Stand auf v1. Wie gro ist die mitt-lere abgegebene Leistung?Gegeben: m = 4105 kg, v1 = 10 m/s, t = 100 s

3.42 Bestimmen Sie die notwendige zuzufhrende Leistungeines Motors, der das Gewicht G mit konstanter Geschwindig-keit v anhebt. Der Wirkungsgrad des Motors ist gegeben.Gegeben: G = 3000 N, v = 2 m/s, = 0,65

3.43 Eine elektrische Straenbahn mit dem Gewicht G be-schleunigt auf einer horizontalen geraden Strae aus demStand so, dass die Leistung immer P betrgt. Wie lange brauchtdie Straenbahn, um die Geschwindigkeit v zu erreichen?Gegeben: G = 75 kN, P = 75 kW, v = 10 m/s

*3.44 Der Jeep mit dem Gewicht G hat einen Motor, der dieLeistung P gleichmig auf alle Rder bertrgt. NehmenSie an, dass die Rder nicht auf dem Boden rutschen, undermitteln Sie den Winkel der maximalen Steigung, die derJeep mit konstanter Geschwindigkeit v hinauffahren kann.Gegeben: G = 12,5 kN, P = 75 kW, v = 10 m/s

Abbildung A 3.44

3.45 Ein Auto der Masse m fhrt mit konstanter Geschwin-digkeit v die Steigung (Winkel ) hinauf. Vernachlssigen Siedie mechanische Reibung und den Windwiderstand und ermit-teln Sie die Leistung des Motors, der den Wirkungsgrad hat.Gegeben: m = 2000 kg, v = 100 km/h, = 7, = 0,65

Abbildung A 3.45

s

hAhB

A

B

C

v

231

Aufgaben zu 3.4

3.46 Ein beladener Lastwagen mit dem Gewicht G be-schleunigt auf der Strae innerhalb der Zeit t gleichmigvon v1 auf v2. Der Reibwiderstand gegen die Bewegungbetrgt R. Wie gro ist die notwendige Leistung, die auf dieRder bertragen werden muss?Gegeben: G = 80 kN, R = 1625 N, v1 = 5 m/s, v2 = 10 m/s, t = 4 s

3.47 Eine elektrische Straenbahn mit dem Gewicht Gbeschleunigt auf einer horizontalen geraden Strae aus demStand so, dass die Leistung immer P betrgt. Welche Streckelegt sie zurck, bis sie die Geschwindigkeit v erreicht?Gegeben: G = 75 kN, P = 75 kW, v = 10 m/s

*3.48 Die Rolltreppe fhrt mit konstanter Geschwindigkeitv. Die Hhe h und die Tiefe l der Stufen sind gegeben. Ermit-teln Sie die Leistung P des Motors, die zum Heben einer mitt-leren Masse m pro Stufe erforderlich ist. Es gibt n Stufen.Gegeben: m = 150 kg, v = 0,6 m/s, n = 32, h = 125 mm, l = 250 mm

3.49 Die Kiste mit dem Gewicht G beginnt die Bewegung ausdem Stand und erreicht in der Zeit t = t1 die Geschwindigkeitv =v1. Bestimmen Sie bei konstanter Beschleunigung diedem Motor zur Zeit t = t2 zuzufhrende Leistung. Der Motorhat den Wirkungsgrad . Vernachlssigen Sie die Masse desFlaschenzuges.Gegeben: G = 250 N, v1 = 3 m/s, t1 = 4 s, t2 = 2 s, = 0,76

Abbildung A 3.49

3.50 Ein Auto der Masse m beschleunigt auf einer horizon-talen geraden Strae aus dem Stand, sodass die Leistungimmer konstant P ist. Welche Strecke muss das Auto zurck-legen, um die Geschwindigkeit v zu erreichen.

3.51 Zur Erklrung der groen Energieverluste eines Auto-mobils betrachten Sie ein Auto mit dem Gewicht G, das mitder Geschwindigkeit v fhrt. Durch einen Abbremsvorgangwird das Auto zum Stehen gebracht. Wie lange muss eineGlhbirne der Leistung PG brennen, um die gleiche Energie-menge zu verbrauchen?Gegeben: G = 25 kN, PG = 100 W, v = 56 km/h

*3.52 Ein Motor M hebt die Aufzugkabine der Masse m mitder konstanten Geschwindigkeit vE und erhlt die zugefhrteelektrische Leistung P. Bestimmen Sie den Wirkungsgrad desMotors. Vernachlssigen Sie die Masse des Flaschenzuges.Gegeben: m = 500 kg, P = 60 kW, vE = 8 m/s

3.53 Der Aufzug mit der Masse m fhrt aus der Ruhe mitkonstanter Beschleunigung a0 nach oben. Ermitteln Sie dieabgegebene Leistung des Motors M zum Zeitpunkt t = t1.Vernachlssigen Sie die Masse des Flaschenzuges.Gegeben: m = 500 kg, a0 = 2 m/s2, t1 = 3 s

Abbildung A 3.53s

M

v

M

E


232

3

3.54 Die Kiste der Masse m ruht auf einer horizontalenUnterlage, fr die der Haft- (h) und der Gleitreibungskoeffi-zient (g ) gegeben sind. Der Motor liefert die Seilkraft F.Bestimmen Sie die vom Motor abgefhrte Leistung fr t = t1.Gegeben: m = 150 kg, F = at2 + b, a = 8 N/s2, b = 20 N, t1 = 5 s, h = 0,3, g = 0,2

Abbildung A 3.54

3.55 Der Aufzug E hat mit Last die Gesamtmasse mE undwird vom Motor und dem Gegengewicht C der Masse mC mitder konstanten Geschwindigkeit vE gehoben. Bestimmen Siefr den Wirkungsgrad die dem Motor zuzufhrende Energie.Gegeben: mE = 400 kg, mC = 60 kg, vE = 4 m/s, = 0,6

Abbildung A 3.55

*3.56 Die Kiste der Masse m wird mit dem Flaschenzug unddem Motor M aus der Ruhe die Schrge (Winkel ) hinauf-gezogen. Die Kiste erreicht mit konstanter Beschleunigungnach der Strecke s die Geschwindigkeit v. Ermitteln Sie diedem Motor zuzufhrende Leistung zu dieser Zeit. Vernachls-sigen Sie die Reibung auf der Ebene. Der Wirkungsgrad desMotors ist gegeben.Gegeben: m = 50 kg, v = 4 m/s, s = 8 m, = 0,74, = 30

Abbildung A 3.56

3.57 Das Sportauto der Masse m fhrt mit der Geschwindig-keit v, als der Fahrer mit a beschleunigt. Der Luftwiderstandauf den Wagen wird durch die Abhngigkeit FD(v) beschrie-ben. Berechnen Sie die zum Motor zuzufhrende Leistung indiesem Moment. Der Wirkungsgrad des Motors ist gegeben.Gegeben: m = 2300 kg, v = 28 m/s, a = 5 m/s2, FD = bv2, b = 0,3 Ns2/m2, = 0,68

3.58 Das Sportauto der Masse m fhrt mit der Geschwindig-keit v, als der Fahrer mit a beschleunigt. Der Luftwiderstandauf den Wagen wird durch die Funktion FD(v) beschrieben.Berechnen Sie die dem Motor zuzufhrende Leistung zur Zeitt = t1. Der Wirkungsgrad des Motors ist gegeben.Gegeben: m = 2300 kg, a = 6 m/s2, FD = bv, t1 = 5 s, = 0,68, b = 10 Ns/m


M

E

C

M

vE

M

FD

233

Aufgaben zu 3.4

3.59 Die Last G wird mit dem Flaschenzug und dem MotorM aus der Ruhelage um die Strecke s angehoben. Der Motorbt eine konstante Kraft F auf das Seil aus. Der Wirkungs-grad des Motors ist gegeben. Welche Leistung muss demMotor zugefhrt werden?Gegeben: G = 250 N, F = 150 N, s = 3 m, = 0,76

Abbildung A 3.59

*3.60 Der Raketenschlitten der Masse m fhrt aus derRuhe los und eine horizontale raue Bahn mit dem Gleitrei-bungskoeffizienten g entlang. Der Motor liefert einen kon-stanten Schub T. Ermitteln Sie die abgegebene Leistung desMotors als Funktion der Zeit. Vernachlssigen Sie den Treib-stoffverlust und den Luftwiderstand.Gegeben: m = 4000 kg, T = 150 kN, g = 0,20

Abbildung A 3.60

3.61 Die Hlse mit dem Gewicht G wird aus der Ruhe durchAufbringen einer konstanten Kraft F auf das Seil angehoben.Der Rundstab ist glatt. Bestimmen Sie die Leistung der Kraftbei = 1.Gegeben: G = 50 N, F = 125 N, 1 = 60, a = 1,2 m, b = 1 m

Abbildung A 3.61

3.62 Ein Sportler drckt gegen ein Sportgert mit einerKraft, die sich wie in der Abbildung oben dargestellt ndert.Die Geschwindigkeit seines Arms, die in die gleiche Richtungweist wie die Kraft, verndert sich mit der Zeit wie untendargestellt. Bestimmen Sie die Leistung als Funktion der Zeitund die geleistete Arbeit bis zur Zeit t = t2.Gegeben: F1 = 800 N, v2 = 20 m/s, t1 = 0,2 s, t2 = 0,3 s

3.63 Ein Sportler drckt gegen ein Sportgert mit einerKraft, die sich wie in der Abbildung oben dargestellt ndert.Die Geschwindigkeit des Arms, die in die gleiche Richtungweist wie die Kraft, ndert sich mit der Zeit wie unten dar-gestellt. Bestimmen Sie die maximale Leistung im Zeitraumbis zu t = t2.Gegeben: F1 = 800 N, v2 = 20 m/s, t1 = 0,2 s, t2 = 0,3 s


s

M

B

v

T

a

A

b

F

F1

t1 t2t

F

v2

t2t

v


234

3

Aufgaben zu 3.5 und 3.6


*3.64 Lsen Sie Aufgabe 3.18 mit dem Energieerhaltungssatz.

3.65 Lsen Sie Aufgabe 3.15 mit dem Energieerhaltungssatz.



*3.68 Lsen Sie Aufgabe 3.36 mit dem Energieerhaltungssatz.

3.69 Lsen Sie Aufga

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